Multiplicare fracții obișnuite Să ne uităm la mai multe opțiuni posibile.

Înmulțirea unei fracții comune cu o fracție

Acesta este cel mai simplu caz în care trebuie să utilizați următoarele reguli de înmulțire a fracțiilor.

La înmulțiți fracția cu fracția, necesar:

  • înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul lor în numărătorul noii fracții;
  • înmulțiți numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul lor în numitorul noii fracții;

    • Înainte de a înmulți numărătorii și numitorii, verificați dacă fracțiile pot fi reduse. Reducerea fracțiilor în calcule vă va ușura mult calculele.

    Înmulțirea unei fracții cu un număr natural

    A face o fracție înmulțiți cu un număr natural Trebuie să înmulțiți numărătorul fracției cu acest număr și să lăsați numitorul fracției neschimbat.

    Dacă rezultatul înmulțirii este o fracție necorespunzătoare, nu uitați să o transformați într-un număr mixt, adică evidențiați întreaga parte.

    Înmulțirea numerelor mixte

    Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le transformați în fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite.

    O altă modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural

    Uneori, atunci când faceți calcule, este mai convenabil să folosiți o altă metodă de înmulțire a unei fracții comune cu un număr.

    Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să împărțiți numitorul fracției la acest număr și să lăsați numărătorul același.

    După cum se poate vedea din exemplu, această versiune a regulii este mai convenabilă de utilizat dacă numitorul fracției este divizibil cu un număr natural fără rest.

    Operații cu fracții

    Adunarea fracțiilor cu numitori similari

    Există două tipuri de adunări de fracții:

  • Adunarea fracțiilor cu numitori similari
  • Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

    • Mai întâi, să învățăm adunarea fracțiilor cu numitori similari. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat. De exemplu, să adăugăm fracțiile și . Adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:

    Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, obțineți pizza:

    Exemplul 2. Adăugați fracții și .

    Din nou, adunăm numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:

    Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție improprie. Când vine sfârșitul sarcinii, se obișnuiește să scapi de fracțiile improprii. Pentru a scăpa de o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte a acesteia. În cazul nostru, întreaga parte este ușor de izolat - doi împărțiți la doi egal cu unul:

    Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim despre o pizza care este împărțită în două părți. Dacă adăugați mai multă pizza la pizza, obțineți o pizza întreagă:

    Exemplul 3. Adăugați fracții și .

    Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați mai multă pizza la pizza, obțineți pizza:

    Exemplul 4. Găsiți valoarea unei expresii

    Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Număratorii trebuie adăugați și numitorul lăsat neschimbat:

    Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă adăugați pizza la o pizza și adăugați mai multe pizza, obțineți 1 pizza întreagă și mai multe pizza.

    După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

  1. Pentru a adăuga fracții cu același numitor, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul același;
  2. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să evidențiați întreaga parte a acestuia.

    3. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

    Acum să învățăm cum să adunăm fracții cu numitori diferiți. Când se adună fracții, numitorii fracțiilor trebuie să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.

    De exemplu, fracțiile pot fi adăugate deoarece au aceiași numitori.

    Dar fracțiile nu pot fi adăugate imediat, deoarece aceste fracții numitori diferiti. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

    Există mai multe moduri de a reduce fracțiile la același numitor. Astăzi ne vom uita doar la una dintre ele, deoarece celelalte metode pot părea complicate pentru un începător.

    Esența acestei metode este că mai întâi căutăm cel mai mic multiplu comun (LCM) al numitorilor ambelor fracții. LCM este apoi împărțit la numitorul primei fracții pentru a obține primul factor suplimentar. Ei fac același lucru cu a doua fracție - LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar.

    Numătorii și numitorii fracțiilor sunt apoi înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții.

    Exemplul 1. Să adăugăm fracțiile și

    Aceste fracții au numitori diferiți, așa că trebuie să le reduceți la același numitor (comun).

    În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6

    LCM (2 și 3) = 6

    Acum să revenim la fracții și . Mai întâi, împărțiți LCM la numitorul primei fracții și obțineți primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțind 6 la 3, obținem 2.

    Numărul rezultat 2 este primul multiplicator suplimentar. O notăm până la prima fracție. Pentru a face acest lucru, faceți o linie oblică mică peste fracție și notați factorul suplimentar găsit deasupra ei:

    Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împărțind 6 la 2, obținem 3.

    Numărul 3 rezultat este al doilea multiplicator suplimentar. O scriem la a doua fracție. Din nou, facem o linie oblică mică peste a doua fracție și notăm factorul suplimentar găsit deasupra ei:

    Acum avem totul pregătit pentru adăugare. Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii lor suplimentari:

    Privește cu atenție la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții. Să luăm acest exemplu până la capăt:

    Acest lucru completează exemplul. Se dovedește a adăuga.

    Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă adăugați pizza la o pizza, obțineți o pizza întreagă și o altă șesime dintr-o pizza:

    Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi, de asemenea, descrisă folosind o imagine. Reducând fracțiile și la un numitor comun, am obținut fracțiile și . Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași bucăți de pizza. Singura diferență va fi că de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor).

    Primul desen reprezintă o fracție (patru piese din șase), iar al doilea desen reprezintă o fracție (trei piese din șase). Adăugând aceste piese obținem (șapte bucăți din șase). Această fracție este improprie, așa că am evidențiat întreaga parte a ei. Drept urmare, am primit (o pizza întreagă și o altă pizza a șasea).

    Vă rugăm să rețineți că am descris acest exemplu prea detaliat. ÎN institutii de invatamant Nu este obișnuit să scrieți atât de detaliat. Trebuie să puteți găsi rapid LCM-ul ambilor numitori și al factorilor suplimentari la aceștia, precum și să înmulțiți rapid factorii suplimentari găsiți cu numărătorii și numitorii dvs. Dacă am fi la școală, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:

    Dar există și partea din spate medalii. Dacă nu luați note detaliate în primele etape ale studiului matematicii, atunci încep să apară întrebări de acest fel. „De unde vine acel număr?”, „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.

    Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți, puteți folosi următoarele instrucțiuni pas cu pas:

  3. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor;
  4. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un factor suplimentar pentru fiecare fracție;
  5. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora;
  6. Adaugă fracții care au aceiași numitori;
  7. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga sa parte;

    8. Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii .

    Să folosim diagrama oferită mai sus.

    Pasul 1. Găsiți LCM pentru numitorii fracțiilor

    Găsiți LCM pentru numitorii ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4. Trebuie să găsiți LCM pentru aceste numere:

    Pasul 2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un factor suplimentar pentru fiecare fracție

    Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 12 la 2, obținem 6. Primul factor suplimentar este 6. Îl scriem deasupra primei fracții:

    Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Obținem al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem deasupra celei de-a doua fracții:

    Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împărțim 12 la 4, obținem 3. Obținem al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem deasupra celei de-a treia fracții:

    Pasul 3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora

    Înmulțim numărătorii și numitorii cu factorii lor suplimentari:

    Pasul 4. Adaugă fracții cu aceiași numitori

    Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori (comuni). Tot ce rămâne este să adunăm aceste fracții. Adaugă:

    Adăugarea nu se potrivea pe o singură linie, așa că am mutat expresia rămasă pe următoarea linie. Acest lucru este permis la matematică. Când o expresie nu se încadrează pe o linie, ea este mutată pe următoarea linie și este necesar să se pună un semn egal (=) la sfârșitul primei rânduri și la începutul noii linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.

    Pasul 5. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci evidențiați întreaga sa parte

    Răspunsul nostru s-a dovedit a fi o fracție improprie. Trebuie să evidențiem o întreagă parte din ea. Subliniem:

    Am primit un răspuns

    Scăderea fracțiilor cu numitori similari

    Există două tipuri de scădere de fracții:

  8. Scăderea fracțiilor cu numitori similari
  9. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

În primul rând, să învățăm cum să scădem fracții cu numitori similari. Totul este simplu aici. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții, dar numitorul rămâne același.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei . Pentru a rezolva acest exemplu, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul același. Să o facem:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei.

Din nou, de la numărătorul primei fracții, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții și lăsați numitorul același:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Din numărătorul primei fracții trebuie să scădeți numărătorii fracțiilor rămase:

Răspunsul a fost o fracție improprie. Dacă exemplul este completat, atunci se obișnuiește să scapi de fracția necorespunzătoare. Să scăpăm de fracția improprie din răspuns. Pentru a face acest lucru, să selectăm întreaga sa parte:

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

  • Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul același;
  • Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să evidențiați întreaga sa parte.

    • Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

    De exemplu, puteți scădea o fracție dintr-o fracție deoarece fracțiile au aceiași numitori. Dar nu puteți scădea o fracție dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

    Numitorul comun se găsește folosind același principiu pe care l-am folosit atunci când adunăm fracții cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care se scrie deasupra primei fracții. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care este scris deasupra celei de-a doua fracții.

    Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. În urma acestor operații, fracțiile care au numitori diferiți sunt convertite în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții.

    Exemplul 1. Găsiți sensul expresiei:

    Mai întâi găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12

    LCM (3 și 4) = 12

    Acum să revenim la fracții și

    Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțiți 12 la 3, obținem 4. Scrieți un patru deasupra primei fracții:

    Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împărțiți 12 la 4, obținem 3. Scrieți un trei peste a doua fracție:

    Acum suntem pregătiți pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

    Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să luăm acest exemplu până la capăt:

    Am primit un răspuns

    Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza

    Aceasta este versiunea detaliată a soluției. Dacă am fi la școală, ar trebui să rezolvăm mai scurt acest exemplu. O astfel de soluție ar arăta astfel:

    Reducerea fracțiilor la un numitor comun poate fi reprezentată și folosind o imagine. Reducând aceste fracții la un numitor comun, am obținut fracțiile și . Aceste fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor):

    Prima imagine arată o fracție (opt bucăți din douăsprezece), iar a doua imagine arată o fracție (trei bucăți din douăsprezece). Tăiind trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracția descrie aceste cinci piese.

    Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

    Aceste fracții au numitori diferiți, așa că mai întâi trebuie să le reduceți la același numitor (comun).

    Să găsim LCM al numitorilor acestor fracții.

    Numitorii fracțiilor sunt numerele 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30

    LCM(10, 3, 5) = 30

    Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții.

    Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împărțim 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem deasupra primei fracții:

    Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem deasupra celei de-a doua fracții:

    Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împărțim 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem deasupra celei de-a treia fracții:

    Acum totul este gata pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

    Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori (comuni). Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.

    Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o linie, așa că mutam continuarea pe următoarea linie. Nu uitați de semnul egal (=) pe noua linie:

    Răspunsul s-a dovedit a fi o fracțiune obișnuită și totul pare să ni se potrivească, dar este prea greoi și urât. Ar fi necesar să fie mai simplu și mai plăcut din punct de vedere estetic. Ce se poate face? Puteți scurta această fracție. Amintiți-vă că reducerea unei fracții înseamnă împărțirea numărătorului și numitorului la cel mai mare divizor comun numărător și numitor.

    Pentru a reduce corect o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la cel mai mare divizor comun (MCD) al numerelor 20 și 30.

    GCD nu trebuie confundat cu NOC. Cea mai frecventă greșeală a multor începători. GCD este cel mai mare divizor comun. Găsim că reduce o fracție.

    Și LCM este cel mai mic multiplu comun. O găsim pentru a aduce fracții la același numitor (comun).

    Acum vom găsi cel mai mare divizor comun (MCD) al numerelor 20 și 30.

    Deci, găsim GCD pentru numerele 20 și 30:

    GCD (20 și 30) = 10

    Acum revenim la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la 10:

    Am primit un răspuns frumos

    Înmulțirea unei fracții cu un număr

    Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției date cu acel număr și să lăsați numitorul același.

    Exemplul 1. Înmulțiți o fracție cu numărul 1.

    Înmulțiți numărătorul fracției cu numărul 1

    Înregistrarea poate fi înțeleasă ca durând o jumătate de dată. De exemplu, dacă iei pizza o dată, primești pizza

    Din legile înmulțirii știm că dacă multiplicandul și factorul sunt schimbate, produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca , atunci produsul va fi tot egal cu . Din nou, regula pentru înmulțirea unui număr întreg și a unei fracții funcționează:

    Această notație poate fi înțeleasă ca luând jumătate din unu. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:

    Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

    Înmulțiți numărătorul fracției cu 4

    Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei 4 pizza, vei primi două pizza întregi

    Și dacă schimbăm multiplicandul și multiplicatorul, obținem expresia . De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:

    Înmulțirea fracțiilor

    Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, trebuie să evidențiați întreaga parte a acestuia.

    Exemplul 1. Găsiți valoarea expresiei.

    Am primit un răspuns. Este recomandabil să reduceți această fracție. Fracția poate fi redusă cu 2. Apoi soluția finală va lua următoarea formă:

    Expresia poate fi înțeleasă ca luând o pizza dintr-o jumătate de pizza. Să presupunem că avem jumătate de pizza:

    Cum să iau două treimi din această jumătate? Mai întâi trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:

    Și ia două din aceste trei bucăți:

    Vom face pizza. Amintiți-vă cum arată pizza când este împărțită în trei părți:

    O bucată din această pizza și cele două bucăți pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:

    Cu alte cuvinte, despre care vorbim pizza cam de aceeași dimensiune. Prin urmare, valoarea expresiei este

    Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

    Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

    Răspunsul a fost o fracție improprie. Să evidențiem întreaga parte a acesteia:

    Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii

    Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție obișnuită, dar ar fi bine dacă ar fi scurtat. Pentru a reduce această fracție, ea trebuie împărțită la mcd-ul numărătorului și al numitorului. Deci, să găsim mcd-ul numerelor 105 și 450:

    GCD pentru (105 și 150) este 15

    Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la mcd:

    Reprezentarea unui număr întreg sub formă de fracție

    Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca . Acest lucru nu va schimba sensul lui cinci, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unu”, iar acesta, după cum știm, este egal cu cinci:

    Numerele reciproce

    Acum ne vom familiariza cu foarte subiect interesantîn matematică. Se numește „numere inverse”.

    Definiție. Inversa la număr A este un număr care, atunci când este înmulțit cu A dă unul.

    Să înlocuim în această definiție în locul variabilei A numărul 5 și încercați să citiți definiția:

    Inversa la număr 5 este un număr care, atunci când este înmulțit cu 5 dă unul.

    Este posibil să găsim un număr care, înmulțit cu 5, dă unul? Se dovedește că este posibil. Să ne imaginăm cinci ca o fracție:

    Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numărătorul și numitorul. Cu alte cuvinte, înmulțiți o fracție cu ea însăși, doar invers:

    Ce se va întâmpla ca urmare a acestui fapt? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:

    Aceasta înseamnă că inversul numărului 5 este numărul , deoarece atunci când înmulțiți 5 cu obțineți unul.

    Reciproca unui număr poate fi găsită și pentru orice alt întreg.

    • reciproca lui 3 este o fracție
    • reciproca lui 4 este o fracție

      • Puteți găsi, de asemenea, reciproca oricărei alte fracții. Pentru a face acest lucru, doar întoarceți-l.

    Înmulțirea fracțiilor comune

    Să ne uităm la un exemplu.

    Să fie $\frac(1)(3)$ parte dintr-un măr pe o farfurie. Trebuie să găsim partea $\frac(1)(2)$ a acesteia. Partea necesară este rezultatul înmulțirii fracțiilor $\frac(1)(3)$ și $\frac(1)(2)$. Rezultatul înmulțirii a două fracții comune este o fracție comună.

    Înmulțirea a două fracții ordinare

    Regula pentru înmulțirea fracțiilor ordinare:

    Rezultatul înmulțirii unei fracții cu o fracție este o fracție al cărei numărător este egal cu produsul numărătorilor fracțiilor înmulțite, iar numitorul este egal cu produsul numitorilor:

    Exemplul 1

    Efectuați înmulțirea fracțiilor comune $\frac(3)(7)$ și $\frac(5)(11)$.

    Soluţie.

    Să folosim regula pentru înmulțirea fracțiilor obișnuite:

    \[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

    Răspuns:$\frac(15)(77)$

    Dacă înmulțirea fracțiilor are ca rezultat o fracție reductibilă sau improprie, trebuie să o simplificați.

    Exemplul 2

    Înmulțiți fracțiile $\frac(3)(8)$ și $\frac(1)(9)$.

    Soluţie.

    Folosim regula pentru înmulțirea fracțiilor obișnuite:

    \[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

    Ca rezultat, am obținut o fracție reductibilă (pe baza împărțirii cu $3$. Împărțiți numărătorul și numitorul fracției la $3$, obținem:

    \[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

    Soluție scurtă:

    \[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

    Răspuns:$\frac(1)(24).$

    Când înmulțiți fracții, puteți reduce numărătorii și numitorii până le găsiți produsul. În acest caz, numărătorul și numitorul fracției sunt descompuse în factori simpli, după care factorii care se repetă sunt anulați și se găsește rezultatul.

    Exemplul 3

    Calculați produsul fracțiilor $\frac(6)(75)$ și $\frac(15)(24)$.

    Soluţie.

    Să folosim formula pentru înmulțirea fracțiilor obișnuite:

    \[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

    În mod evident, numărătorul și numitorul conțin numere care pot fi reduse în perechi la numerele $2$, $3$ și $5$. Să factorizăm numărătorul și numitorul în factori simpli și să facem o reducere:

    \[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

    Răspuns:$\frac(1)(20).$

    Când înmulțiți fracții, puteți aplica legea comutativă:

    Înmulțirea unei fracții comune cu un număr natural

    Regula pentru înmulțirea unei fracții comune cu un număr natural:

    Rezultatul înmulțirii unei fracții cu un număr natural este o fracție în care numărătorul este egal cu produsul numărătorului fracției înmulțite cu numărul natural, iar numitorul este egal cu numitorul fracției înmulțite:

    unde $\frac(a)(b)$ este o fracție obișnuită, $n$ este un număr natural.

    Exemplul 4

    Înmulțiți fracția $\frac(3)(17)$ cu $4$.

    Soluţie.

    Să folosim regula pentru înmulțirea unei fracții obișnuite cu un număr natural:

    \[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

    Răspuns:$\frac(12)(17).$

    Nu uitați să verificați rezultatul înmulțirii prin reductibilitatea unei fracții sau cu o fracție improprie.

    Exemplul 5

    Înmulțiți fracția $\frac(7)(15)$ cu numărul $3$.

    Soluţie.

    Să folosim formula pentru înmulțirea unei fracții cu un număr natural:

    \[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

    Prin împărțirea la numărul $3$) putem determina că fracția rezultată poate fi redusă:

    \[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

    Rezultatul a fost o fracție incorectă. Să selectăm întreaga parte:

    \[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

    Soluție scurtă:

    \[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

    Fracțiile pot fi reduse și prin înlocuirea numerelor din numărător și numitor cu descompunerea lor în factori primi. În acest caz, soluția ar putea fi scrisă după cum urmează:

    \[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

    Răspuns:$1\frac(2)(5).$

    Când înmulțiți o fracție cu un număr natural, puteți folosi legea comutativă:

    Împărțirea fracțiilor

    Operația de împărțire este inversul înmulțirii și rezultatul ei este o fracție prin care o fracție cunoscută trebuie înmulțită pentru a obține produsul cunoscut al două fracții.

    Împărțirea a două fracții ordinare

    Regula pentru împărțirea fracțiilor ordinare: Evident, numărătorul și numitorul fracției rezultate pot fi factorizate și reduse:

    \[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

    Ca rezultat, obținem o fracție necorespunzătoare, din care selectăm întreaga parte:

    \[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

    Răspuns:$1\frac(5)(9).$

    § 87. Adunarea fracţiilor.

    Adunarea fracțiilor are multe asemănări cu adunarea numerelor întregi. Adunarea fracțiilor este o acțiune constând în faptul că mai multe numere (termeni) date sunt combinate într-un singur număr (suma), care conține toate unitățile și fracțiile unităților termenilor.

    Vom lua în considerare trei cazuri secvenţial:

    1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari.
    2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.
    3. Adunarea numerelor mixte.

    1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari.

    Luați în considerare un exemplu: 1/5 + 2/5.

    Să luăm segmentul AB (Fig. 17), să îl luăm ca unul și să îl împărțim în 5 părți egale, apoi partea AC a acestui segment va fi egală cu 1/5 din segmentul AB și o parte a aceluiași segment CD va fi egală cu 2/5 AB.

    Din desen este clar că dacă luăm segmentul AD, acesta va fi egal cu 3/5 AB; dar segmentul AD este tocmai suma segmentelor AC și CD. Deci putem scrie:

    1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

    Având în vedere acești termeni și suma rezultată, vedem că numărătorul sumei s-a obținut prin adunarea numărătorilor termenilor, iar numitorul a rămas neschimbat.

    De aici ajungem următoarea regulă: Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați același numitor.

    Să ne uităm la un exemplu:

    2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.

    Să adunăm fracțiile: 3 / 4 + 3 / 8 Mai întâi trebuie reduse la cel mai mic numitor comun:

    Legătura intermediară 6/8 + 3/8 nu a putut fi scrisă; am scris-o aici pentru claritate.

    Astfel, pentru a adăuga fracții cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să le reduceți la cel mai mic numitor comun, să adăugați numărătorii lor și să etichetați numitorul comun.

    Să luăm în considerare un exemplu (vom scrie factori suplimentari deasupra fracțiilor corespunzătoare):

    3. Adunarea numerelor mixte.

    Să adunăm numerele: 2 3/8 + 3 5/6.

    Să aducem mai întâi părțile fracționale ale numerelor noastre la un numitor comun și să le rescriem din nou:

    Acum adăugăm secvențial părțile întregi și fracționale:

    § 88. Scăderea fracțiilor.

    Scăderea fracțiilor este definită în același mod ca și scăderea numerelor întregi. Aceasta este o acțiune cu ajutorul căreia, dată fiind suma a doi termeni și unul dintre ei, se găsește un alt termen. Să luăm în considerare trei cazuri succesive:

    1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari.
    2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.
    3. Scăderea numerelor mixte.

    1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari.

    Să ne uităm la un exemplu:

    13 / 15 - 4 / 15

    Să luăm segmentul AB (Fig. 18), să-l luăm ca unitate și să-l împărțim în 15 părți egale; atunci partea AC a acestui segment va reprezenta 1/15 din AB, iar o parte AD a aceluiași segment va corespunde cu 13/15 AB. Să lăsăm deoparte un alt segment ED egal cu 4/15 AB.

    Trebuie să scădem fracția 4/15 din 13/15. În desen, aceasta înseamnă că segmentul ED trebuie scăzut din segmentul AD. Ca urmare, va rămâne segmentul AE, care este 9/15 din segmentul AB. Deci putem scrie:

    Exemplul pe care l-am făcut arată că numărătorul diferenței a fost obținut prin scăderea numărătorilor, dar numitorul a rămas același.

    Prin urmare, pentru a scădea fracții cu numitori similari, trebuie să scădeți numărătorul subtraendului de la numărătorul minuendului și să lăsați același numitor.

    2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

    Exemplu. 3/4 - 5/8

    Mai întâi, să reducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun:

    Intermediarul 6 / 8 - 5 / 8 este scris aici pentru claritate, dar poate fi omis mai târziu.

    Astfel, pentru a scădea o fracție dintr-o fracție, trebuie mai întâi să le reduceți la cel mai mic numitor comun, apoi să scădeți numărătorul minuendului de la numărătorul minuendului și să semnați numitorul comun sub diferența lor.

    Să ne uităm la un exemplu:

    3. Scăderea numerelor mixte.

    Exemplu. 10 3/4 - 7 2/3.

    Să reducem părțile fracționale ale minuendului și subtraendului la cel mai mic numitor comun:

    Am scăzut un întreg dintr-un întreg și o fracțiune dintr-o fracție. Dar există cazuri când partea fracționară a subtraendului este mai mare decât partea fracționară a minuendului. În astfel de cazuri, trebuie să luați o unitate din întreaga parte a minuendului, să o împărțiți în acele părți în care este exprimată partea fracțională și să o adăugați la partea fracțională a minuendului. Și apoi scăderea va fi efectuată în același mod ca în exemplul anterior:

    § 89. Înmulțirea fracțiilor.

    Când studiem înmulțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

    1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.
    2. Aflarea fracției dintr-un număr dat.
    3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.
    4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.
    5. Înmulțirea numerelor mixte.
    6. Conceptul de interes.
    7. Aflarea procentului unui număr dat. Să le luăm în considerare secvenţial.

    1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.

    Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg are același sens ca și înmulțirea unui număr întreg cu un număr întreg. A înmulți o fracție (multiplicand) cu un întreg (factor) înseamnă a crea o sumă de termeni identici, în care fiecare termen este egal cu multiplicandul, iar numărul de termeni este egal cu multiplicatorul.

    Aceasta înseamnă că, dacă trebuie să înmulțiți 1/9 cu 7, atunci se poate face astfel:

    Am obținut cu ușurință rezultatul, deoarece acțiunea s-a redus la adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Prin urmare,

    Luarea în considerare a acestei acțiuni arată că înmulțirea unei fracții cu un număr întreg echivalează cu creșterea acestei fracții de câte ori există unități în întregul număr. Și întrucât creșterea unei fracții se realizează fie prin creșterea numărătorului acesteia

    sau prin reducerea numitorului acestuia , atunci putem fie să înmulțim numărătorul cu un număr întreg, fie să împărțim numitorul cu acesta, dacă o astfel de împărțire este posibilă.

    De aici obținem regula:

    Pentru a înmulți o fracție cu un număr întreg, înmulțiți numărătorul cu acel număr întreg și lăsați numitorul același sau, dacă este posibil, împărțiți numitorul la acel număr, lăsând numărătorul neschimbat.

    La înmulțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

    2. Aflarea fracției dintr-un număr dat. Există multe probleme în care trebuie să găsiți sau să calculați o parte dintr-un anumit număr. Diferența dintre aceste probleme și altele este că ele dau numărul unor obiecte sau unități de măsură și trebuie să găsiți o parte din acest număr, care este indicat și aici printr-o anumită fracție. Pentru a facilita înțelegerea, vom da mai întâi exemple de astfel de probleme, apoi vom introduce o metodă de rezolvare a acestora.

    Sarcina 1. Am avut 60 de ruble; Am cheltuit 1/3 din acești bani pentru a cumpăra cărți. Cât au costat cărțile?

    Sarcina 2. Trenul trebuie să parcurgă o distanță între orașele A și B egală cu 300 km. A parcurs deja 2/3 din această distanță. Cati kilometri este asta?

    Sarcina 3.În sat sunt 400 de case, 3/4 din cărămidă, restul sunt din lemn. Câte case din cărămidă sunt în total?

    Acestea sunt câteva dintre numeroasele probleme pe care le întâlnim pentru a găsi o parte dintr-un anumit număr. Ele sunt de obicei numite probleme pentru a găsi fracția dintr-un număr dat.

    Rezolvarea problemei 1. De la 60 de ruble. Am cheltuit 1/3 pe cărți; Aceasta înseamnă că pentru a găsi costul cărților trebuie să împărțiți numărul 60 la 3:

    Rezolvarea problemei 2. Ideea problemei este că trebuie să găsiți 2/3 din 300 km. Să calculăm mai întâi 1/3 din 300; acest lucru se realizează prin împărțirea a 300 km la 3:

    300: 3 = 100 (adică 1/3 din 300).

    Pentru a găsi două treimi din 300, trebuie să dublați coeficientul rezultat, adică să înmulțiți cu 2:

    100 x 2 = 200 (adică 2/3 din 300).

    Rezolvarea problemei 3. Aici trebuie să determinați numărul de case din cărămidă care alcătuiesc 3/4 din 400. Să găsim mai întâi 1/4 din 400,

    400: 4 = 100 (adică 1/4 din 400).

    Pentru a calcula trei sferturi din 400, coeficientul rezultat trebuie triplat, adică înmulțit cu 3:

    100 x 3 = 300 (adică 3/4 din 400).

    Pe baza soluției la aceste probleme, putem deriva următoarea regulă:

    Pentru a găsi valoarea unei fracții dintr-un număr dat, trebuie să împărțiți acest număr la numitorul fracției și să înmulțiți câtul rezultat cu numărătorul său.

    3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.

    Anterior (§ 26) s-a stabilit că înmulțirea numerelor întregi trebuie înțeleasă ca adunarea unor termeni identici (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). În acest paragraf (punctul 1) s-a stabilit că înmulțirea unei fracții cu un întreg înseamnă găsirea sumei termenilor identici egală cu această fracție.

    În ambele cazuri, înmulțirea a constat în găsirea sumei termenilor identici.

    Acum trecem la înmulțirea unui număr întreg cu o fracție. Aici vom întâlni, de exemplu, înmulțirea: 9 2 / 3. Este clar că definiția anterioară a înmulțirii nu se aplică în acest caz. Acest lucru este evident din faptul că nu putem înlocui o astfel de înmulțire prin adăugarea de numere egale.

    Din această cauză, va trebui să dăm o nouă definiție a înmulțirii, adică, cu alte cuvinte, să răspundem la întrebarea ce ar trebui înțeles prin înmulțire cu o fracție, cum trebuie înțeleasă această acțiune.

    Sensul înmulțirii unui număr întreg cu o fracție este clar din următoarea definiție: înmulțirea unui număr întreg (multiplicand) cu o fracție (multiplicand) înseamnă găsirea acestei fracțiuni a multiplicandului.

    Și anume, înmulțirea a 9 cu 2/3 înseamnă a găsi 2/3 din nouă unități. ÎN paragraful anterior au fost rezolvate astfel de probleme; deci este ușor să ne dăm seama că vom ajunge cu 6.

    Dar acum apare o întrebare interesantă și importantă: de ce sunt așa diverse actiuni Cum este găsirea sumei numerelor egale și găsirea fracției dintr-un număr numită prin același cuvânt „înmulțire” în aritmetică?

    Acest lucru se întâmplă deoarece acțiunea anterioară (repetarea unui număr cu termeni de mai multe ori) și acțiunea nouă (găsirea fracțiunii unui număr) dau răspunsuri la întrebări omogene. Aceasta înseamnă că pornim aici de la considerentele că întrebări sau sarcini omogene sunt rezolvate prin aceeași acțiune.

    Pentru a înțelege acest lucru, luați în considerare următoarea problemă: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 4 m dintr-o astfel de pânză?

    Această problemă se rezolvă prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (4), adică 50 x 4 = 200 (ruble).

    Să luăm aceeași problemă, dar în ea cantitatea de pânză va fi exprimată ca o fracție: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 3/4 m dintr-o astfel de pânză?”

    Această problemă trebuie rezolvată și prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (3/4).

    Puteți schimba numerele din el de mai multe ori, fără a schimba sensul problemei, de exemplu, luați 9/10 m sau 2 3/10 m etc.

    Întrucât aceste probleme au același conținut și diferă doar în cifre, numim acțiunile folosite în rezolvarea lor același cuvânt - înmulțire.

    Cum se înmulțește un număr întreg cu o fracție?

    Să luăm numerele întâlnite în ultima problemă:

    Conform definiției, trebuie să găsim 3/4 din 50. Să găsim mai întâi 1/4 din 50 și apoi 3/4.

    1/4 din 50 este 50/4;

    3/4 din numărul 50 este .

    Prin urmare.

    Să luăm în considerare un alt exemplu: 12 5 / 8 =?

    1/8 din numărul 12 este 12/8,

    5/8 din numărul 12 este .

    Prin urmare,

    De aici obținem regula:

    Pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărul întreg cu numărătorul fracției și să faceți din acest produs numărătorul și să semnați numitorul acestei fracții ca numitor.

    Să scriem această regulă folosind litere:

    Pentru a face această regulă complet clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula pentru înmulțirea unui număr cu un coeficient, care a fost stabilită în § 38

    Este important să rețineți că înainte de a efectua înmulțirea, ar trebui să faceți (dacă este posibil) reduceri, De exemplu:

    4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.Înmulțirea unei fracții cu o fracție are aceeași semnificație ca și înmulțirea unui număr întreg cu o fracție, adică atunci când înmulțiți o fracție cu o fracție, trebuie să găsiți fracția care se află în factorul din prima fracție (multiplicand).

    Și anume, înmulțirea a 3/4 cu 1/2 (jumătate) înseamnă a găsi jumătate din 3/4.

    Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?

    Să luăm un exemplu: 3/4 înmulțit cu 5/7. Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți 5/7 din 3/4. Să găsim mai întâi 1/7 din 3/4 și apoi 5/7

    1/7 din numărul 3/4 va fi exprimat astfel:

    5/7 numere 3/4 vor fi exprimate astfel:

    Prin urmare,

    Un alt exemplu: 5/8 înmulțit cu 4/9.

    1/9 din 5/8 este ,

    4/9 din numărul 5/8 este .

    Prin urmare,

    Din aceste exemple se poate deduce următoarea regulă:

    Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea produs numitorul produsului.

    Aceasta este regula în vedere generala se poate scrie asa:

    La înmulțire, este necesar să se facă (dacă este posibil) reduceri. Să ne uităm la exemple:

    5. Înmulțirea numerelor mixte. Deoarece numerele mixte pot fi înlocuite cu ușurință cu fracții improprii, această circumstanță este de obicei folosită la înmulțirea numerelor mixte. Aceasta înseamnă că în cazurile în care multiplicantul, sau multiplicatorul sau ambii factori sunt exprimați numere mixte, apoi sunt înlocuite cu fracții improprii. Să înmulțim, de exemplu, numere mixte: 2 1/2 și 3 1/5. Să transformăm fiecare dintre ele într-o fracție improprie și apoi să înmulțim fracțiile rezultate conform regulii de înmulțire a unei fracții cu o fracție:

    Regulă. Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în fracții improprii și apoi să le înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor cu fracții.

    Notă. Dacă unul dintre factori este un număr întreg, atunci înmulțirea poate fi efectuată pe baza legii distribuției după cum urmează:

    6. Conceptul de interes. Când rezolvăm probleme și efectuăm diverse calcule practice, folosim tot felul de fracții. Dar trebuie avut în vedere faptul că multe cantități permit nu orice, ci diviziuni naturale pentru ele. De exemplu, puteți lua o sutime (1/100) dintr-o rublă, va fi o copecă, două sutimi sunt 2 copeici, trei sutimi sunt 3 copeici. Puteți lua 1/10 de rublă, va fi „10 copeici, sau o bucată de zece copeici. Puteți lua un sfert de rublă, adică 25 de copeici, jumătate de rublă, adică 50 de copeici (cincizeci de copeici). Dar practic nu o iau, de exemplu, 2/7 dintr-o rublă pentru că rubla nu este împărțită în șapte.

    Unitatea de greutate, adică kilogramul, permite în primul rând diviziuni zecimale, de exemplu 1/10 kg sau 100 g. Și astfel de fracții de kilogram precum 1/6, 1/11, 1/13 nu sunt comune.

    În general, măsurile noastre (metrice) sunt zecimale și permit diviziuni zecimale.

    Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că este extrem de util și convenabil într-o mare varietate de cazuri să folosiți aceeași metodă (uniformă) de subdivizare a cantităților. Mulți ani de experiență au arătat că o astfel de diviziune bine justificată este „a suta” diviziune. Să luăm în considerare câteva exemple referitoare la cele mai diverse domenii ale practicii umane.

    1. Prețul cărților a scăzut cu 12/100 din prețul anterior.

    Exemplu. Prețul anterior al cărții era de 10 ruble. A scăzut cu 1 rublă. 20 de copeici

    2. Băncile de economii plătesc deponenților 2/100 din suma depusă pentru economii în cursul anului.

    Exemplu. În casa de marcat sunt depuse 500 de ruble, venitul din această sumă pentru anul este de 10 ruble.

    3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5/100 din numărul total de elevi.

    EXEMPLU La școală erau doar 1.200 de elevi, dintre care 60 au absolvit.

    A sutimea parte a unui număr se numește procent.

    Cuvântul „procent” este împrumutat din latină, iar rădăcina lui „cent” înseamnă o sută. Împreună cu prepoziția (pro centum), acest cuvânt înseamnă „pentru o sută”. Sensul unei astfel de expresii rezultă din faptul că inițial în Roma antică dobânda erau banii pe care debitorul îi plătea creditorului „pentru fiecare sută”. Cuvântul „cent” se aude în cuvinte atât de familiare: centner (o sută de kilograme), centimetru (să spunem centimetru).

    De exemplu, în loc să spunem că în ultima lună fabrica a produs 1/100 din toate produsele produse de ea a fost defecte, vom spune așa: în ultima lună, fabrica a produs un procent din defecte. În loc să spunem: fabrica a produs cu 4/100 de produse mai multe decât planul stabilit, vom spune: uzina a depășit planul cu 4 la sută.

    Exemplele de mai sus pot fi exprimate diferit:

    1. Prețul cărților a scăzut cu 12 la sută față de prețul anterior.

    2. Băncile de economii plătesc deponenților 2 la sută pe an din suma depusă în economii.

    3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5 la sută din toți elevii școlii.

    Pentru a scurta litera, se obișnuiește să scrieți simbolul % în loc de cuvântul „procent”.

    Cu toate acestea, trebuie să rețineți că în calcule semnul % nu este de obicei scris; acesta poate fi scris în enunțul problemei și în rezultatul final. Când efectuați calcule, trebuie să scrieți o fracție cu numitorul 100 în loc de un număr întreg cu acest simbol.

    Trebuie să puteți înlocui un număr întreg cu pictograma indicată cu o fracție cu numitorul 100:

    Dimpotrivă, trebuie să vă obișnuiți să scrieți un număr întreg cu simbolul indicat în loc de o fracție cu numitorul 100:

    7. Aflarea procentului unui număr dat.

    Sarcina 1.Școala a primit 200 de metri cubi. m lemn de foc, cu lemn de foc de mesteacan 30%. Cât lemn de foc de mesteacăn era acolo?

    Sensul acestei probleme este că lemnul de foc de mesteacăn constituia doar o parte din lemnul de foc care a fost livrat școlii, iar această parte este exprimată în fracția 30/100. Aceasta înseamnă că avem sarcina de a găsi o fracțiune dintr-un număr. Pentru a o rezolva, trebuie să înmulțim 200 cu 30/100 (problemele de găsire a fracției unui număr se rezolvă prin înmulțirea numărului cu fracția.).

    Aceasta înseamnă că 30% din 200 este egal cu 60.

    Fracția 30/100 întâlnită în această problemă poate fi redusă cu 10. Ar fi posibil să se facă această reducere de la bun început; soluția problemei nu s-ar fi schimbat.

    Sarcina 2.În tabără erau 300 de copii de diferite vârste. Copiii de 11 ani au reprezentat 21%, copiii de 12 ani au reprezentat 61% și, în final, copiii de 13 ani au reprezentat 18%. Câți copii de fiecare vârstă erau în tabără?

    În această problemă trebuie să efectuați trei calcule, adică să găsiți succesiv numărul de copii de 11 ani, apoi de 12 ani și în final de 13 ani.

    Aceasta înseamnă că aici va trebui să găsiți fracțiunea numărului de trei ori. Hai să o facem:

    1) Câți copii de 11 ani au fost?

    2) Câți copii de 12 ani au fost?

    3) Câți copii de 13 ani erau acolo?

    După rezolvarea problemei, este util să adăugați numerele găsite; suma lor ar trebui să fie 300:

    63 + 183 + 54 = 300

    De asemenea, trebuie remarcat faptul că suma procentelor date în enunțul problemei este 100:

    21% + 61% + 18% = 100%

    Acest lucru sugerează că numărul total de copii din tabără a fost considerat 100%.

    3 a d a h a 3. Muncitorul primea 1.200 de ruble pe lună. Din acestea, a cheltuit 65% pe alimente, 6% pe apartamente și încălzire, 4% pe gaz, electricitate și radio, 10% pe nevoi culturale și 15% a făcut economii. Câți bani s-au cheltuit pentru nevoile indicate în problemă?

    Pentru a rezolva această problemă trebuie să găsiți de 5 ori fracția de 1200. Să facem asta.

    1) Câți bani s-au cheltuit pe mâncare? Problema spune că această cheltuială reprezintă 65% din câștigurile totale, adică 65/100 din numărul 1.200. Să facem calculul:

    2) Cati bani ati platit pentru un apartament cu incalzire? Raționând similar celui precedent, ajungem la următorul calcul:

    3) Câți bani ați plătit pentru gaz, electricitate și radio?

    4) Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoi culturale?

    5) Câți bani a economisit muncitorul?

    Pentru a verifica, este util să adunăm numerele găsite în aceste 5 întrebări. Suma ar trebui să fie de 1.200 de ruble. Toate câștigurile sunt luate ca 100%, ceea ce este ușor de verificat prin adunarea numerelor procentuale indicate în declarația problemei.

    Am rezolvat trei probleme. În ciuda faptului că aceste probleme s-au ocupat de lucruri diferite (livrarea lemnelor de foc pentru școală, numărul de copii de diferite vârste, cheltuielile muncitorului), acestea au fost rezolvate în același mod. Acest lucru s-a întâmplat deoarece în toate problemele a fost necesar să se găsească câteva procente din numerele date.

    § 90. Împărțirea fracțiilor.

    Pe măsură ce studiem împărțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

    1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.
    2. Împărțirea unei fracții la un număr întreg
    3. Împărțirea unui număr întreg la o fracție.
    4. Împărțirea unei fracții la o fracție.
    5. Împărțirea numerelor mixte.
    6. Găsirea unui număr din fracția lui dată.
    7. Găsirea unui număr după procentajul său.

    Să le luăm în considerare secvenţial.

    1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.

    După cum s-a indicat în departamentul numerelor întregi, împărțirea este acțiunea care constă în faptul că, dat fiind produsul a doi factori (dividend) și unul dintre acești factori (divizor), se găsește un alt factor.

    Ne-am uitat la împărțirea unui număr întreg la un număr întreg în secțiunea despre numere întregi. Am întâlnit două cazuri de împărțire acolo: împărțirea fără rest, sau „în întregime” (150: 10 = 15) și împărțirea cu rest (100: 9 = 11 și 1 rest). Putem spune deci că în domeniul numerelor întregi, împărțirea exactă nu este întotdeauna posibilă, deoarece dividendul nu este întotdeauna produsul divizorului cu întregul. După introducerea înmulțirii cu o fracție, putem considera posibil orice caz de împărțire a numerelor întregi (se exclude doar împărțirea cu zero).

    De exemplu, împărțirea lui 7 la 12 înseamnă găsirea unui număr al cărui produs cu 12 ar fi egal cu 7. Un astfel de număr este fracția 7 / 12 deoarece 7 / 12 12 = 7. Un alt exemplu: 14: 25 = 14 / 25, deoarece 14 / 25 25 = 14.

    Astfel, pentru a împărți un număr întreg la un număr întreg, trebuie să creați o fracție al cărei numărător este egal cu dividendul și numitorul este egal cu divizorul.

    2. Împărțirea unei fracții la un număr întreg.

    Împărțiți fracția 6 / 7 la 3. Conform definiției împărțirii dată mai sus, avem aici produsul (6 / 7) și unul dintre factorii (3); este necesar să se găsească un al doilea factor care, înmulțit cu 3, ar da produsul dat 6/7. Evident, ar trebui să fie de trei ori mai mic decât acest produs. Aceasta înseamnă că sarcina stabilită în fața noastră a fost să reducem fracția de 6/7 de 3 ori.

    Știm deja că reducerea unei fracții se poate face fie prin micșorarea numărătorului, fie prin creșterea numitorului. Prin urmare, puteți scrie:

    În acest caz, numărătorul 6 este divizibil cu 3, deci numărătorul trebuie redus de 3 ori.

    Să luăm un alt exemplu: 5 / 8 împărțit la 2. Aici numărătorul 5 nu este divizibil cu 2, ceea ce înseamnă că numitorul va trebui înmulțit cu acest număr:

    Pe baza acesteia, se poate face o regulă: Pentru a împărți o fracție la un număr întreg, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la acel număr întreg.(dacă este posibil), lăsând același numitor, sau înmulțiți numitorul fracției cu acest număr, rămânând același numărător.

    3. Împărțirea unui număr întreg la o fracție.

    Să fie necesar să împărțim 5 la 1/2, adică să găsim un număr care, după înmulțirea cu 1/2, va da produsul 5. Evident, acest număr trebuie să fie mai mare decât 5, deoarece 1/2 este o fracție proprie. , iar la înmulțirea unui număr produsul unei fracții adecvate trebuie să fie mai mic decât produsul înmulțit. Pentru a face acest lucru mai clar, să scriem acțiunile noastre după cum urmează: 5: 1 / 2 = X , ceea ce înseamnă x 1 / 2 = 5.

    Trebuie să găsim un astfel de număr X , care, înmulțit cu 1/2, ar da 5. Deoarece înmulțirea unui anumit număr cu 1/2 înseamnă găsirea a 1/2 din acest număr, atunci, prin urmare, 1/2 din numărul necunoscut X este egal cu 5 și numărul întreg X de două ori mai mult, adică 5 2 = 10.

    Deci 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

    Sa verificam:

    Să ne uităm la un alt exemplu. Să presupunem că doriți să împărțiți 6 la 2/3. Să încercăm mai întâi să găsim rezultatul dorit folosind desenul (Fig. 19).

    Fig.19

    Să desenăm un segment AB egal cu 6 unități și să împărțim fiecare unitate în 3 părți egale. În fiecare unitate, trei treimi (3/3) din întregul segment AB este de 6 ori mai mare, adică. e. 18/3. Folosind paranteze mici, conectăm cele 18 segmente rezultate din 2; Vor fi doar 9 segmente. Aceasta înseamnă că fracția 2/3 este conținută în 6 unități de 9 ori, sau, cu alte cuvinte, fracția 2/3 este de 9 ori mai mică decât 6 unități întregi. Prin urmare,

    Cum să obțineți acest rezultat fără un desen folosind numai calcule? Să raționăm astfel: trebuie să împărțim 6 la 2/3, adică trebuie să răspundem la întrebarea de câte ori 2/3 este conținut în 6. Să aflăm mai întâi: de câte ori 1/3 este conținut în 6? Într-o unitate întreagă sunt 3 treimi, iar în 6 unități sunt de 6 ori mai multe, adică 18 treimi; pentru a găsi acest număr trebuie să înmulțim 6 cu 3. Aceasta înseamnă că 1/3 este conținut în b unități de 18 ori, iar 2/3 este conținut în b unități nu de 18 ori, ci jumătate din câte ori, adică 18: 2 = 9 Prin urmare, când împărțim 6 la 2/3 am completat următoarele acțiuni:

    De aici obținem regula împărțirii unui număr întreg la o fracție. Pentru a împărți un număr întreg la o fracție, trebuie să înmulțiți acest număr întreg cu numitorul fracției date și, făcând din acest produs numărător, să îl împărțiți la numărătorul fracției date.

    Să scriem regula folosind litere:

    Pentru a face această regulă complet clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula împărțirii unui număr la un coeficient, care a fost stabilită în § 38. Vă rugăm să rețineți că aceeași formulă a fost obținută acolo.

    La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

    4. Împărțirea unei fracții la o fracție.

    Să presupunem că trebuie să împărțim 3/4 la 3/8. Ce va însemna numărul rezultat din împărțire? Va răspunde la întrebarea de câte ori este conținută fracția 3/8 în fracția 3/4. Pentru a înțelege această problemă, să facem un desen (Fig. 20).

    Să luăm un segment AB, să-l luăm ca unul, să-l împărțim în 4 părți egale și să marchem 3 astfel de părți. Segmentul AC va fi egal cu 3/4 din segmentul AB. Să împărțim acum fiecare dintre cele patru segmente originale în jumătate, apoi segmentul AB va fi împărțit în 8 părți egale și fiecare astfel de părți va fi egală cu 1/8 din segmentul AB. Să conectăm 3 astfel de segmente cu arce, apoi fiecare dintre segmentele AD și DC va fi egal cu 3/8 din segmentul AB. Desenul arată că un segment egal cu 3/8 este cuprins într-un segment egal cu 3/4 exact de 2 ori; Aceasta înseamnă că rezultatul împărțirii poate fi scris după cum urmează:

    3 / 4: 3 / 8 = 2

    Să ne uităm la un alt exemplu. Să presupunem că trebuie să împărțim 15/16 la 3/32:

    Putem raționa astfel: trebuie să găsim un număr care, după înmulțirea cu 3/32, va da un produs egal cu 15/16. Să scriem calculele astfel:

    15 / 16: 3 / 32 = X

    3 / 32 X = 15 / 16

    3/32 număr necunoscut X sunt 15/16

    1/32 dintr-un număr necunoscut X este ,

    32 / 32 de numere X inventa .

    Prin urmare,

    Astfel, pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și să înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua și să faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea numitorul.

    Să scriem regula folosind litere:

    La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

    5. Împărțirea numerelor mixte.

    Când împărțiți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în fracții improprii și apoi să împărțiți fracțiile rezultate conform regulilor de împărțire. numere fracționare. Să ne uităm la un exemplu:

    Să transformăm numerele mixte în fracții improprii:

    Acum să împărțim:

    Astfel, pentru a împărți numerele mixte, trebuie să le convertiți în fracții improprii și apoi să împărțiți folosind regula de împărțire a fracțiilor.

    6. Găsirea unui număr din fracția lui dată.

    Printre diversele probleme cu fracțiile, uneori există acelea în care este dată valoarea unei fracții dintr-un număr necunoscut și trebuie să găsiți acest număr. Acest tip de problemă va fi inversul problemei găsirii fracției dintr-un număr dat; acolo a fost dat un număr și a fost necesar să se găsească o fracțiune din acest număr, aici a fost dat o fracțiune dintr-un număr și a fost necesar să se găsească acest număr în sine. Această idee va deveni și mai clară dacă ne întoarcem la rezolvarea acestui tip de problemă.

    Sarcina 1.În prima zi, geamurile au vitrat 50 de ferestre, adică 1/3 din toate ferestrele casei construite. Câte ferestre sunt în casa asta?

    Soluţie. Problema spune că 50 de ferestre cu geam alcătuiesc 1/3 din toate ferestrele casei, ceea ce înseamnă că sunt de 3 ori mai multe ferestre în total, adică.

    Casa avea 150 de ferestre.

    Sarcina 2. Magazinul a vândut 1.500 kg de făină, adică 3/8 din stocul total de făină pe care îl avea magazinul. Care a fost rezerva inițială de făină a magazinului?

    Soluţie. Din condițiile problemei reiese clar că 1.500 kg de făină vândute constituie 3/8 din stocul total; Aceasta înseamnă că 1/8 din această rezervă va fi de 3 ori mai mică, adică pentru a o calcula trebuie să reduceți 1500 de 3 ori:

    1.500: 3 = 500 (aceasta este 1/8 din rezervă).

    Evident, întreaga aprovizionare va fi de 8 ori mai mare. Prin urmare,

    500 8 = 4.000 (kg).

    Stocul inițial de făină din magazin a fost de 4.000 kg.

    Luând în considerare această problemă, se poate deduce următoarea regulă.

    Pentru a găsi un număr dintr-o valoare dată a fracției sale, este suficient să împărțiți această valoare la numărătorul fracției și să înmulțiți rezultatul cu numitorul fracției.

    Am rezolvat două probleme la găsirea unui număr dat fiind fracția sa. Astfel de probleme, așa cum se vede în mod deosebit din ultima, sunt rezolvate prin două acțiuni: împărțirea (când se găsește o parte) și înmulțire (când se găsește întregul număr).

    Totuși, după ce am învățat împărțirea fracțiilor, problemele de mai sus pot fi rezolvate cu o singură acțiune și anume: împărțirea cu o fracție.

    De exemplu, ultima sarcină poate fi rezolvată într-o singură acțiune ca aceasta:

    În viitor, vom rezolva problemele de a găsi un număr din fracția sa cu o singură acțiune - împărțire.

    7. Găsirea unui număr după procentajul său.

    În aceste probleme, va trebui să găsiți un număr cunoscând câteva procente din acel număr.

    Sarcina 1. La începutul acestui an am primit 60 de ruble de la banca de economii. venit din suma pe care am pus-o în economii acum un an. Câți bani am băgat în banca de economii? (Casierele oferă deponenților o rentabilitate de 2% pe an.)

    Ideea problemei este că am pus o anumită sumă de bani într-o casă de economii și am stat acolo un an. După un an, am primit 60 de ruble de la ea. venit, care este 2/100 din banii pe care i-am depus. Câți bani am băgat?

    În consecință, cunoscând o parte din acești bani, exprimați în două moduri (în ruble și fracții), trebuie să găsim întreaga sumă, încă necunoscută. Aceasta este o problemă obișnuită de a găsi un număr având în vedere fracția sa. Următoarele probleme sunt rezolvate prin diviziune:

    Aceasta înseamnă că 3.000 de ruble au fost depuse la banca de economii.

    Sarcina 2. Pescarii au îndeplinit planul lunar cu 64% în două săptămâni, recoltând 512 tone de pește. Care era planul lor?

    Din condițiile problemei se știe că pescarii au finalizat o parte din plan. Această parte este egală cu 512 tone, ceea ce reprezintă 64% din plan. Nu știm câte tone de pește trebuie pregătite conform planului. Găsirea acestui număr va fi soluția problemei.

    Astfel de probleme sunt rezolvate prin diviziune:

    Aceasta înseamnă că, conform planului, trebuie pregătite 800 de tone de pește.

    Sarcina 3. Trenul a mers de la Riga la Moscova. Când a depășit cel de-al 276-lea kilometru, unul dintre pasageri a întrebat un conductor care trecea cât de mult au parcurs deja călătoria. La aceasta dirijorul a răspuns: „Am acoperit deja 30% din întreaga călătorie”. Care este distanța de la Riga la Moscova?

    Din condițiile de problemă este clar că 30% din traseul de la Riga la Moscova este de 276 km. Trebuie să găsim întreaga distanță dintre aceste orașe, adică, pentru această parte, găsim întregul:

    § 91. Numerele reciproce. Înlocuirea împărțirii cu înmulțirea.

    Să luăm fracția 2/3 și să înlocuim numărătorul în locul numitorului, obținem 3/2. Am obținut inversul acestei fracții.

    Pentru a obține o fracție care este inversa unei fracții date, trebuie să puneți numărătorul acesteia în locul numitorului și numitorul în locul numărătorului. În acest fel putem obține reciproca oricărei fracții. De exemplu:

    3/4, invers 4/3; 5/6, invers 6/5

    Două fracții care au proprietatea că numărătorul primei este numitorul celei de-a doua, iar numitorul primei este numărătorul celei de-a doua, se numesc reciproc invers.

    Acum să ne gândim la ce fracție va fi reciproca lui 1/2. Evident, va fi 2 / 1, sau doar 2. Căutând fracția inversă a celei date, am obținut un număr întreg. Și acest caz nu este izolat; dimpotrivă, pentru toate fracțiile cu numărător de 1 (un), reciprocele vor fi numere întregi, de exemplu:

    1/3, invers 3; 1/5, reversul 5

    Întrucât în ​​găsirea fracțiilor reciproce am întâlnit și numere întregi, în cele ce urmează nu vom vorbi despre fracții reciproce, ci despre numere reciproce X.

    Să ne dăm seama cum să scriem inversul unui număr întreg. Pentru fracții, acest lucru poate fi rezolvat simplu: trebuie să puneți numitorul în locul numărătorului. În același mod, puteți obține inversul unui număr întreg, deoarece orice număr întreg poate avea un numitor de 1. Aceasta înseamnă că inversul lui 7 va fi 1/7, deoarece 7 = 7/1; pentru numărul 10 inversul va fi 1/10, deoarece 10 = 10/1

    Această idee poate fi exprimată diferit: reciproca unui număr dat se obține prin împărțirea unu la un număr dat. Această afirmație este valabilă nu numai pentru numere întregi, ci și pentru fracții. De fapt, dacă trebuie să scriem inversul fracției 5/9, atunci putem lua 1 și îl împărțim la 5/9, adică.

    Acum să subliniem un lucru proprietate numere reciproce, care ne vor fi utile: produsul numerelor reciproce este egal cu unu.Într-adevăr:

    Folosind această proprietate, putem găsi numere reciproce în felul următor. Să presupunem că trebuie să găsim inversul lui 8.

    Să o notăm prin literă X , apoi 8 X = 1, prin urmare X = 1/8. Să găsim un alt număr care este inversul lui 7/12 și să îl notăm cu literă X , apoi 7/12 X = 1, prin urmare X = 1: 7 / 12 sau X = 12 / 7 .

    Am introdus aici conceptul de numere reciproce pentru a completa puțin informațiile despre împărțirea fracțiilor.

    Când împărțim numărul 6 la 3/5, facem următoarele:

    Te rog plateste Atentie speciala la expresia şi comparaţi-o cu cea dată: .

    Dacă luăm expresia separat, fără legătură cu cea anterioară, atunci este imposibil să rezolvăm problema de unde provine: de la împărțirea a 6 la 3/5 sau de la înmulțirea a 6 cu 5/3. În ambele cazuri se întâmplă același lucru. Prin urmare putem spune că împărțirea unui număr la altul poate fi înlocuită prin înmulțirea dividendului cu inversul divizorului.

    Exemplele pe care le oferim mai jos confirmă pe deplin această concluzie.

    Pentru a înmulți corect o fracție cu o fracție sau o fracție cu un număr, trebuie să știi reguli simple. Vom analiza acum aceste reguli în detaliu.

    Înmulțirea unei fracții comune cu o fracție.

    Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să calculați produsul numărătorilor și produsul numitorilor acestor fracții.

    \(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

    Să ne uităm la un exemplu:
    Înmulțim numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și, de asemenea, înmulțim numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții.

    \(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ ori 3)(7 \ori 3) = \frac(4)(7)\\\)

    Fracția \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) a fost redusă cu 3.

    Înmulțirea unei fracții cu un număr.

    În primul rând, să ne amintim regula, orice număr poate fi reprezentat ca o fracție \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

    Să folosim această regulă atunci când înmulțim.

    \(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

    Fracție improprie \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) convertit într-o fracție mixtă.

    Cu alte cuvinte, Când înmulțim un număr cu o fracție, înmulțim numărul cu numărător și lăsăm numitorul neschimbat. Exemplu:

    \(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

    Înmulțirea fracțiilor mixte.

    Pentru a înmulți fracțiile mixte, trebuie mai întâi să reprezentați fiecare fracție mixtă ca o fracție improprie și apoi să utilizați regula înmulțirii. Înmulțim numărătorul cu numărătorul și înmulțim numitorul cu numitorul.

    Exemplu:
    \(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

    Înmulțirea fracțiilor și numerelor reciproce.

    Fracția \(\bf \frac(a)(b)\) este inversul fracției \(\bf \frac(b)(a)\), cu condiția a≠0,b≠0.
    Fracțiile \(\bf \frac(a)(b)\) și \(\bf \frac(b)(a)\) se numesc fracții reciproce. Produsul fracțiilor reciproce este egal cu 1.
    \(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

    Exemplu:
    \(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

    Întrebări înrudite:
    Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?
    Răspuns: Produsul fracțiilor obișnuite este înmulțirea unui numărător cu un numărător, a unui numitor cu un numitor. Pentru a obține produsul fracțiilor mixte, trebuie să le convertiți într-o fracție necorespunzătoare și să le înmulțiți conform regulilor.

    Cum se înmulțesc fracții cu numitori diferiți?
    Răspuns: nu contează dacă fracțiile au numitori aceiași sau diferiți, înmulțirea are loc conform regulii de a găsi produsul unui numărător cu numărător, un numitor cu numitor.

    Cum se înmulțesc fracțiile mixte?
    Răspuns: în primul rând, trebuie să convertiți fracția mixtă într-o fracție necorespunzătoare și apoi să găsiți produsul folosind regulile de înmulțire.

    Cum se înmulțește un număr cu o fracție?
    Răspuns: înmulțim numărul cu numărătorul, dar numitorul lăsăm același.

    Exemplul #1:
    Calculați produsul: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)

    Soluţie:
    a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
    b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( roșu) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

    Exemplul #2:
    Calculați produsele unui număr și ale unei fracții: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

    Soluţie:
    a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
    b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

    Exemplul #3:
    Scrieți reciproca fracției \(\frac(1)(3)\)?
    Răspuns: \(\frac(3)(1) = 3\)

    Exemplul #4:
    Calculați produsul a două fracții reciproce: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

    Soluţie:
    a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

    Exemplul #5:
    Fracțiile reciproce pot fi:
    a) concomitent cu fracțiile proprii;
    b) simultan fracţii improprii;
    c) în acelaşi timp numere naturale?

    Soluţie:
    a) pentru a răspunde la prima întrebare, să dăm un exemplu. Fracția \(\frac(2)(3)\) este proprie, fracția sa inversă va fi egală cu \(\frac(3)(2)\) - o fracție improprie. Răspuns: nu.

    b) pentru aproape toate fracțiile, această condiție nu este îndeplinită, dar există unele numere care îndeplinesc condiția de a nu fi în același timp Fracțiunea corespunzătoare. De exemplu, fracția improprie este \(\frac(3)(3)\), fracția sa inversă este egală cu \(\frac(3)(3)\). Obținem două fracții improprii. Răspuns: nu întotdeauna în anumite condiții când numărătorul și numitorul sunt egali.

    c) numerele naturale sunt numere pe care le folosim atunci când numărăm, de exemplu, 1, 2, 3, …. Dacă luăm numărul \(3 = \frac(3)(1)\), atunci fracția sa inversă va fi \(\frac(1)(3)\). Fracția \(\frac(1)(3)\) nu este un număr natural. Dacă parcurgem toate numerele, reciproca numărului este întotdeauna o fracție, cu excepția lui 1. Dacă luăm numărul 1, atunci fracția sa reciprocă va fi \(\frac(1)(1) = \frac(1). )(1) = 1\). Numărul 1 este un număr natural. Răspuns: pot fi simultan numere naturale doar într-un singur caz, dacă acesta este numărul 1.

    Exemplul #6:
    Faceți produsul fracțiilor mixte: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

    Soluţie:
    a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
    b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

    Exemplul #7:
    Două reciproce pot fi numere mixte în același timp?

    Să ne uităm la un exemplu. Să luăm o fracție mixtă \(1\frac(1)(2)\), găsim fracția ei inversă, pentru a face acest lucru o transformăm într-o fracție improprie \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Fracția sa inversă va fi egală cu \(\frac(2)(3)\) . Fracția \(\frac(2)(3)\) este o fracție proprie. Răspuns: Două fracții care sunt reciproc inverse nu pot fi numere mixte în același timp.