Sarcina nr. 3. Faceți un desen și calculați aria figurii, limitat de linii
Aplicarea integralei la rezolvarea problemelor aplicate
Calculul suprafeței
Integrala definită a unei funcții continue nenegative f(x) este numeric egală cu aria unui trapez curbiliniu delimitată de curba y = f(x), axa O x și liniile drepte x = a și x = b. În conformitate cu aceasta, formula ariei este scrisă după cum urmează:
Să ne uităm la câteva exemple de calcul a ariilor figurilor plane.
Sarcina nr. 1. Calculați aria delimitată de liniile y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Soluţie. Să construim o figură a cărei arie va trebui să o calculăm.
y = x 2 + 1 este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, iar parabola este deplasată în sus cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 1).
Figura 1. Graficul funcției y = x 2 + 1
Sarcina nr. 2. Calculați aria delimitată de liniile y = x 2 – 1, y = 0 în intervalul de la 0 la 1.
 |
Soluţie. Graficul acestei funcții este o parabolă de ramuri care sunt îndreptate în sus, iar parabola este deplasată față de axa O y în jos cu o unitate (Figura 2).
Figura 2. Graficul funcției y = x 2 – 1
Sarcina nr. 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii
y = 8 + 2x – x 2 și y = 2x – 4.
Soluţie. Prima dintre aceste două linii este o parabolă cu ramurile sale îndreptate în jos, deoarece coeficientul lui x 2 este negativ, iar a doua linie este o dreaptă care intersectează ambele axe de coordonate.
Pentru a construi o parabolă, găsim coordonatele vârfului acesteia: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisa vârfului; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 este ordonata sa, N(1;9) este vârful.
Acum să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei prin rezolvarea sistemului de ecuații:
Echivalarea părților drepte ale unei ecuații ale cărei părți stângi sunt egale.
Se obține 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 sau x 2 – 12 = 0, de unde 
.
Deci, punctele sunt punctele de intersecție ale unei parabole și ale unei linii drepte (Figura 1).
Figura 3 Grafice ale funcțiilor y = 8 + 2x – x 2 și y = 2x – 4
Să construim o dreaptă y = 2x – 4. Ea trece prin punctele (0;-4), (2;0) de pe axele de coordonate.
Pentru a construi o parabolă, puteți folosi și punctele sale de intersecție cu axa 0x, adică rădăcinile ecuației 8 + 2x – x 2 = 0 sau x 2 – 2x – 8 = 0. Folosind teorema lui Vieta, este ușor pentru a-i găsi rădăcinile: x 1 = 2, x 2 = 4.
Figura 3 prezintă o figură (segment parabolic M 1 N M 2) delimitată de aceste drepte.
A doua parte a problemei este să găsiți zona acestei figuri. Aria sa poate fi găsită folosind o integrală definită conform formulei 
.
În raport cu această condiție, obținem integrala: 
2 Calculul volumului unui corp de rotație
Volumul corpului obținut din rotirea curbei y = f(x) în jurul axei O x se calculează prin formula:
Când se rotește în jurul axei O y, formula arată astfel:
Sarcina nr. 4. Determinați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbat delimitat de drepte x = 0 x = 3 și curba y = în jurul axei O x.
Soluţie. Să desenăm o imagine (Figura 4).
Figura 4. Graficul funcției y =
Volumul necesar este 
Sarcina nr. 5. Calculați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbat mărginit de curba y = x 2 și de linii drepte y = 0 și y = 4 în jurul axei O y.
Soluţie. Avem:
Întrebări de revizuire
De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atâtea cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, așa că cunoștințele și abilitățile tale de desen vor fi o problemă mult mai presantă. În acest sens, este util să vă reîmprospătați memoria graficelor funcțiilor elementare de bază și, cel puțin, să puteți construi o linie dreaptă și o hiperbolă.
Un trapez curbat este o figură plată delimitată de o axă, linii drepte și graficul unei funcții continuă pe un segment care nu își schimbă semnul în acest interval. Să fie localizată această cifră nu mai puțin axa x:
Apoi aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o integrală definită. Orice integrală definită (care există) are un foarte bun sens geometric.
Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.
Acesta este, o anumită integrală (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită. Integrandul definește o curbă pe planul situat deasupra axei (cei care doresc pot face un desen), iar integrala definită însăși este numeric egal cu aria trapezul curbat corespunzător.
Exemplul 1
Aceasta este o declarație tipică de atribuire. În primul rând și cel mai important moment soluții – desen desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.
Când construiți un desen, vă recomand următoarea ordine: la început este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai Apoi- parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Este mai profitabil să construiești grafice ale funcțiilor punct cu punct.
În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să desenăm desenul (rețineți că ecuația definește axa):
Pe segment se află graficul funcției deasupra axei, De aceea:
Răspuns:
După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „prin ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Exemplul 3
Calculați aria figurii delimitată de linii și axele de coordonate.
Soluţie: Hai să facem un desen:
Dacă este localizat un trapez curbat sub ax(sau cel puțin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz:
Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:
1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare trecem la exemple mai semnificative.
Exemplul 4
Aflați aria unei figuri plane delimitată de liniile , .
Soluţie: Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:
Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării este , limita superioară a integrării este .
Dacă este posibil, este mai bine să nu utilizați această metodă..
Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.
Să revenim la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să facem desenul:
Și acum formula de lucru: Dacă există o funcție continuă pe segment mai mare sau egal cu niste functie continua, atunci aria figurii limitată de graficele acestor funcții și liniile , , poate fi găsită folosind formula: 
Aici nu mai trebuie să vă gândiți la locul în care se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează care grafic este MAI MARE(față de alt grafic), și care este JOS.
În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din
Soluția finalizată ar putea arăta astfel:
Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:
Răspuns:
Exemplul 4
Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .
Soluţie: Mai întâi, să facem un desen:
Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch” în care trebuie să găsiți zona unei figuri care este umbrită în verde!
Acest exemplu este util și prin faptul că calculează aria unei figuri folosind două integrale definite.
Într-adevăr:
1) Pe segmentul de deasupra axei se află un grafic al unei drepte;
2) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic al unei hiperbole.
Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:
În secțiunea anterioară, dedicată analizei semnificației geometrice a unei integrale definite, am primit o serie de formule pentru calcularea ariei unui trapez curbiliniu:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nenegativă y = f (x) pe intervalul [ a ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nepozitivă y = f (x) pe intervalul [ a ; b ] .
Aceste formule sunt aplicabile pentru rezolvarea unor probleme relativ simple. În realitate, de multe ori va trebui să lucrăm cu figuri mai complexe. În acest sens, vom dedica această secțiune unei analize a algoritmilor pentru calcularea ariei figurilor care sunt limitate de funcții în formă explicită, de exemplu. cum ar fi y = f(x) sau x = g(y).
TeoremaFie definite şi continue funcţiile y = f 1 (x) şi y = f 2 (x) pe intervalul [ a ; b ] și f 1 (x) ≤ f 2 (x) pentru orice valoare x din [ a ; b ] . Apoi formula pentru calcularea ariei figurii G, mărginită de liniile x = a, x = b, y = f 1 (x) și y = f 2 (x) va arăta ca S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
O formulă similară va fi aplicabilă pentru aria unei figuri mărginite de liniile y = c, y = d, x = g 1 (y) și x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dovada
Să ne uităm la trei cazuri pentru care formula va fi valabilă.
În primul caz, ținând cont de proprietatea de aditivitate a ariei, suma ariilor figurii originale G și a trapezului curbiliniu G 1 este egală cu aria figurii G 2. Înseamnă că
Prin urmare, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Putem efectua ultima tranziție folosind a treia proprietate a integralei definite.
În al doilea caz, egalitatea este adevărată: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Ilustrația grafică va arăta astfel:
Dacă ambele funcții sunt nepozitive, obținem: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrația grafică va arăta astfel:
Să trecem la considerare caz general, când y = f 1 (x) și y = f 2 (x) intersectează axa O x.
Punctele de intersecție notăm ca x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Aceste puncte despart segmentul [a; b ] în n părţi x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, unde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Prin urmare,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Putem face ultima tranziție folosind a cincea proprietate a integralei definite.
Să ilustrăm cazul general pe grafic.
Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x poate fi considerată dovedită.
Acum să trecem la analizarea exemplelor de calcul al ariei figurilor care sunt limitate de liniile y = f (x) și x = g (y).
Vom începe analiza oricăruia dintre exemple prin construirea unui grafic. Imaginea ne va permite să reprezentăm forme complexe ca uniuni de forme mai simple. Dacă construirea de grafice și figuri pe ele vă provoacă dificultăți, puteți studia secțiunea de bază functii elementare, transformarea geometrică a graficelor de funcții, precum și construcția de grafice în timpul studiului unei funcții.
Exemplul 1
Este necesar să se determine aria figurii, care este limitată de parabola y = - x 2 + 6 x - 5 și linii drepte y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Soluţie
Să desenăm liniile pe grafic în sistemul de coordonate carteziene.
Pe segmentul [ 1 ; 4 ] graficul parabolei y = - x 2 + 6 x - 5 este situat deasupra dreptei y = - 1 3 x - 1 2. În acest sens, pentru a obține răspunsul folosim formula obținută mai devreme, precum și metoda de calcul a integralei definite folosind formula Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Răspuns: S(G) = 13
Să ne uităm la un exemplu mai complex.
Exemplul 2
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x + 2, y = x, x = 7.
Soluţie
În acest caz, avem o singură linie dreaptă situată paralelă cu axa x. Acesta este x = 7. Aceasta ne cere să găsim noi înșine a doua limită a integrării.
Să construim un grafic și să trasăm pe el liniile date în enunțul problemei.
Având graficul în fața ochilor, putem determina cu ușurință că limita inferioară de integrare va fi abscisa punctului de intersecție a graficului dreptei y = x și semi-parabola y = x + 2. Pentru a găsi abscisa folosim egalitățile:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Rezultă că abscisa punctului de intersecție este x = 2.
Vă atragem atenția asupra faptului că în exemplu generalîn desen, liniile y = x + 2, y = x se intersectează în punctul (2; 2), astfel încât astfel de calcule detaliate pot părea inutile. Am adus asta aici solutie detaliata doar pentru că sunt mai multe cazuri dificile soluția poate să nu fie atât de evidentă. Aceasta înseamnă că este întotdeauna mai bine să calculați coordonatele intersecției liniilor analitic.
Pe intervalul [ 2 ; 7] graficul funcției y = x este situat deasupra graficului funcției y = x + 2. Să aplicăm formula pentru a calcula suprafața:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Răspuns: S (G) = 59 6
Exemplul 3
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de graficele funcțiilor y = 1 x și y = - x 2 + 4 x - 2.
Soluţie
Să trasăm liniile pe grafic.
Să definim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale liniilor prin echivalarea expresiilor 1 x și - x 2 + 4 x - 2. Cu condiția ca x să nu fie zero, egalitatea 1 x = - x 2 + 4 x - 2 devine echivalentă cu ecuația de gradul trei - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 cu coeficienți întregi. Pentru a vă reîmprospăta memoria algoritmului pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, ne putem referi la secțiunea „Rezolvarea ecuațiilor cubice”.
Rădăcina acestei ecuații este x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Împărțind expresia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 la binomul x - 1, obținem: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Putem găsi rădăcinile rămase din ecuația x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Am găsit intervalul x ∈ 1; 3 + 13 2, în care figura G este cuprinsă deasupra liniei albastre și sub linia roșie. Acest lucru ne ajută să determinăm aria figurii:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Răspuns: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Exemplul 4
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de curbele y = x 3, y = - log 2 x + 1 și de axa absciselor.
Soluţie
Să trasăm toate liniile pe grafic. Putem obține graficul funcției y = - log 2 x + 1 din graficul y = log 2 x dacă îl poziționăm simetric față de axa x și îl mutăm cu o unitate în sus. Ecuația axei x este y = 0.
Să marchem punctele de intersecție ale dreptelor.
După cum se poate observa din figură, graficele funcțiilor y = x 3 și y = 0 se intersectează în punctul (0; 0). Acest lucru se întâmplă deoarece x = 0 este singura rădăcină reală a ecuației x 3 = 0.
x = 2 este singura rădăcină a ecuației - log 2 x + 1 = 0, deci graficele funcțiilor y = - log 2 x + 1 și y = 0 se intersectează în punctul (2; 0).
x = 1 este singura rădăcină a ecuației x 3 = - log 2 x + 1 . În acest sens, graficele funcțiilor y = x 3 și y = - log 2 x + 1 se intersectează în punctul (1; 1). Ultima afirmație poate să nu fie evidentă, dar ecuația x 3 = - log 2 x + 1 nu poate avea mai mult de o rădăcină, deoarece funcția y = x 3 este strict crescătoare, iar funcția y = - log 2 x + 1 este strict în scădere.
Soluția ulterioară implică mai multe opțiuni.
Opțiunea 1
Putem reprezenta figura G ca suma a doi trapeze curbilinii, situat deasupra axei x, primul fiind situat sub linia mediană pe segmentul x ∈ 0; 1, iar al doilea este sub linia roșie pe segmentul x ∈ 1; 2. Aceasta înseamnă că aria va fi egală cu S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opțiunea nr. 2
Figura G poate fi reprezentată ca diferența a două figuri, dintre care prima este situată deasupra axei x și sub linia albastră de pe segmentul x ∈ 0; 2, iar al doilea între liniile roșii și albastre de pe segmentul x ∈ 1; 2. Acest lucru ne permite să găsim zona după cum urmează:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
În acest caz, pentru a găsi aria va trebui să utilizați o formulă de forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fapt, liniile care delimitează figura pot fi reprezentate ca funcții ale argumentului y.
Să rezolvăm ecuațiile y = x 3 și - log 2 x + 1 în raport cu x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Obținem zona necesară:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Răspuns: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Exemplul 5
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Soluţie
Vom trasa o linie pe grafic cu o linie roșie, dat de functie y = x. Desenăm linia y = - 1 2 x + 4 în albastru, iar linia y = 2 3 x - 3 în negru.
Să marchem punctele de intersecție.
Să găsim punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor y = x și y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Verificați: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nu Este soluția ecuației x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 este soluția ecuației ⇒ (4; 2) punctul de intersecție i y = x și y = - 1 2 x + 4
Să găsim punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y = x și y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verificați: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 este soluția ecuației ⇒ (9 ; 3) punctul a s y = x și y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Nu există o soluție a ecuației
Să găsim punctul de intersecție al dreptelor y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punctul de intersecție y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3
Metoda nr. 1
Să ne imaginăm aria figurii dorite ca suma suprafețelor figurilor individuale.
Atunci aria figurii este:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda nr. 2
Aria figurii originale poate fi reprezentată ca suma a altor două figuri.
Apoi rezolvăm ecuația dreptei relativ la x și numai după aceea aplicăm formula de calcul a ariei figurii.
y = x ⇒ x = y 2 linie roșie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linie neagră y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Deci zona este:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
După cum puteți vedea, valorile sunt aceleași.
Răspuns: S (G) = 11 3
Rezultate
Pentru a găsi aria unei figuri care este limitată de linii date, trebuie să construim linii pe un plan, să găsim punctele lor de intersecție și să aplicăm formula pentru a găsi aria. În această secțiune, am examinat cele mai comune variante de sarcini.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
A)
Soluţie.
Primul și cel mai important punct al deciziei este construcția desenului.
Să facem desenul:
Ecuația y=0 setează axa „x”;
- x=-2 Și x=1 - drept, paralel cu axa OU;
- y=x 2 +2 - o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, cu vârful în punctul (0;2).
Cometariu. Pentru a construi o parabolă, este suficient să găsiți punctele de intersecție a acesteia cu axele de coordonate, adică. punând x=0 găsiți intersecția cu axa OU și hotărând în consecință ecuație pătratică, găsiți intersecția cu axa Oh .
Vârful unei parabole poate fi găsit folosind formulele: 
De asemenea, puteți construi linii punct cu punct.
Pe intervalul [-2;1] graficul funcției y=x 2 +2 situat deasupra axei Bou , De aceea:
Răspuns: S =9 unități mp
După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „prin ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Ce trebuie să faceți dacă este localizat trapezul curbat sub ax Oh?
b) Calculați aria unei figuri delimitate de linii y=-e x , x=1 și axele de coordonate.
Soluţie.
Să facem un desen.
Dacă un trapez curbat complet situat sub ax Oh , atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
Răspuns: S=(e-1) unități mp" 1,72 unități mp
Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:
1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior.
Cu) Găsiți aria unei figuri plane delimitată de drepte y=2x-x 2, y=-x.
Soluţie.
Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei 
si drept 
Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică.
Rezolvam ecuatia:
Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării a=0 , limita superioară a integrării b=3 .
|
Construim dreptele date: 1. Parabola - vârf în punctul (1;1); intersecția axelor Oh - punctele (0;0) și (0;2). 2. Linie dreaptă - bisectoarea celui de-al 2-lea și al 4-lea unghi de coordonate. Și acum Atenție! Dacă pe segmentul [ a;b] oarecare funcție continuă f(x) mai mare sau egală cu o funcție continuă g(x), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită folosind formula: Și nu contează unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar ceea ce contează este care grafic este MAI ÎNALT (față de un alt grafic) și care este JOS. În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din |
.Puteți construi linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale).
Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment 
, conform formulei corespunzătoare:
Răspuns: S =4,5 unități mp
Problema 1(despre calcularea ariei unui trapez curbat).
În sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian xOy, este dată o cifră (a se vedea figura) delimitată de axa x, drepte x = a, x = b (a de un trapez curbiliniu. Este necesar să se calculeze aria unui curbiliniu trapez.
Soluţie. Geometria ne oferă rețete pentru calcularea ariilor poligoanelor și a unor părți ale unui cerc (sector, segment). Folosind considerații geometrice, putem găsi doar o valoare aproximativă a ariei necesare, raționând după cum urmează.
Să împărțim segmentul [a; b] (baza unui trapez curbat) în n părți egale; această partiție se realizează folosind punctele x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Să tragem linii drepte prin aceste puncte paralele cu axa y. Apoi, trapezul curbiliniu dat va fi împărțit în n părți, în coloane înguste. Aria întregului trapez este egală cu suma ariilor coloanelor.
Să luăm în considerare coloana k-a separat, adică. un trapez curbat a cărui bază este un segment. Să-l înlocuim cu un dreptunghi cu aceeași bază și înălțime egală cu f(x k) (vezi figura). Aria dreptunghiului este egală cu \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), unde \(\Delta x_k \) este lungimea segmentului; Este firesc să luăm în considerare produsul rezultat ca o valoare aproximativă a ariei coloanei k-a. 
Dacă procedăm acum la fel cu toate celelalte coloane, vom ajunge la următorul rezultat: aria S a unui trapez curbiliniu dat este aproximativ egală cu aria S n a unei figuri în trepte formată din n dreptunghiuri (vezi figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aici, de dragul uniformității notației, presupunem că a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - lungimea segmentului, \(\Delta x_1 \) - lungimea segmentului etc.; în acest caz, așa cum am convenit mai sus, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Deci, \(S \approx S_n \), iar această egalitate aproximativă este mai precisă, cu cât n este mai mare.
Prin definiție, se crede că aria necesară a unui trapez curbiliniu este egală cu limita secvenței (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Problema 2(despre mutarea unui punct)
Un punct material se deplasează în linie dreaptă. Dependența vitezei de timp este exprimată prin formula v = v(t). Aflați mișcarea unui punct într-o perioadă de timp [a; b].
Soluţie. Dacă mișcarea ar fi uniformă, atunci problema s-ar rezolva foarte simplu: s = vt, adică. s = v(b-a). Pentru mișcarea neuniformă, trebuie să utilizați aceleași idei pe care s-a bazat soluția la problema anterioară.
1) Împărțiți intervalul de timp [a; b] în n părți egale.
2) Considerați o perioadă de timp și presupuneți că în această perioadă de timp viteza a fost constantă, la fel ca la momentul t k. Deci presupunem că v = v(t k).
3) Să găsim valoarea aproximativă a mișcării punctului într-o perioadă de timp; vom nota această valoare aproximativă ca s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Aflați valoarea aproximativă a deplasării s:
\(s \aprox S_n \) unde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Deplasarea necesară este egală cu limita secvenței (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Să rezumam. Soluțiile la diferite probleme au fost reduse la același model matematic. Multe probleme din diverse domenii ale științei și tehnologiei duc la același model în procesul de soluționare. Deci asta model matematic trebuie studiate special.
Conceptul de integrală definită
Să dăm o descriere matematică a modelului care a fost construit în cele trei probleme luate în considerare pentru funcția y = f(x), continuă (dar nu neapărat nenegativă, așa cum sa presupus în problemele luate în considerare) pe intervalul [a; b]:
1) împărțiți segmentul [a; b] în n părți egale;
2) alcătuiți suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculați $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Știu analiză matematică s-a dovedit că această limită există în cazul unei funcţii continue (sau continuă pe bucăţi). El este numit o anumită integrală a funcției y = f(x) peste segmentul [a; b]și notată după cum urmează:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Numerele a și b se numesc limite de integrare (inferioară și respectiv superioară).
Să revenim la sarcinile discutate mai sus. Definiția zonei dată în problema 1 poate fi acum rescrisă după cum urmează:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aici S este aria trapezului curbat prezentat în figura de mai sus. Aceasta este semnificația geometrică a unei integrale definite.
Definiția deplasării s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză v = v(t) în perioada de timp de la t = a la t = b, dată în problema 2, poate fi rescrisă după cum urmează:
formula Newton-Leibniz
Mai întâi, să răspundem la întrebarea: care este legătura dintre integrala definită și antiderivată?
Răspunsul poate fi găsit în problema 2. Pe de o parte, deplasarea s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză v = v(t) pe perioada de timp de la t = a la t = b se calculează prin formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Pe de altă parte, coordonatele unui punct în mișcare este o antiderivată pentru viteză - să o notăm s(t); aceasta înseamnă că deplasarea s este exprimată prin formula s = s(b) - s(a). Ca rezultat obținem:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
unde s(t) este antiderivata lui v(t).
Următoarea teoremă a fost demonstrată în cursul analizei matematice.
Teorema. Dacă funcția y = f(x) este continuă pe intervalul [a; b], atunci formula este valabilă
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
unde F(x) este antiderivata lui f(x).
Formula dată este de obicei numită formula Newton-Leibnizîn onoarea fizicianului englez Isaac Newton (1643-1727) și a filozofului german Gottfried Leibniz (1646-1716), care l-au primit independent unul de celălalt și aproape simultan.
În practică, în loc să scrie F(b) - F(a), ei folosesc notația \(\left. F(x)\right|_a^b \) (uneori se numește dubla substitutie) și, în consecință, rescrieți formula Newton-Leibniz în această formă:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Când calculați o integrală definită, găsiți mai întâi antiderivată și apoi efectuați o dublă substituție.
Pe baza formulei Newton-Leibniz, putem obține două proprietăți ale integralei definite.
Proprietatea 1. Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Calcularea ariilor figurilor plane folosind o integrală definită
Folosind integrala, puteți calcula zonele nu numai ale trapezelor curbate, ci și ale figurilor plane de tip mai complex, de exemplu, cea prezentată în figură. Figura P este limitată de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor continue y = f(x), y = g(x), iar pe segmentul [a; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este valabilă. Pentru a calcula aria S a unei astfel de figuri, vom proceda după cum urmează:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Deci, aria S a unei figuri mărginite de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor y = f(x), y = g(x), continuă pe segment și astfel încât pentru orice x din segment [A; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este satisfăcută, calculată prin formula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)