Set de numere raționale

Mulțimea numerelor raționale se notează și poate fi scrisă astfel:

Se pare că diferite notații pot reprezenta aceeași fracție, de exemplu, și , (toate fracțiile care pot fi obținute una de la alta prin înmulțirea sau împărțirea cu același număr natural reprezintă același număr rațional). Deoarece prin împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la cel mai mare divizor comun al lor, putem obține o singură reprezentare ireductibilă a unui număr rațional, putem vorbi de mulțimea lor ca de mulțime ireductibil fracții cu numărător întreg și numitor natural reciproc prim:

Iată cel mai mare divizor comun al numerelor și .

Mulțimea numerelor raționale este o generalizare naturală a mulțimii numerelor întregi. Este ușor de observat că, dacă un număr rațional are un numitor, atunci este un număr întreg. Mulțimea numerelor raționale este situată peste tot dens pe linia numerică: între oricare două numere raționale diferite există cel puțin un număr rațional (și prin urmare set infinit numere rationale). Cu toate acestea, se dovedește că mulțimea numerelor raționale are cardinalitate numărabilă (adică toate elementele sale pot fi renumerotate). Să remarcăm, de altfel, că grecii antici erau convinși de existența unor numere care nu pot fi reprezentate ca fracție (de exemplu, au demonstrat că nu există un număr rațional al cărui pătrat este 2).

Terminologie

Definiție formală

Formal, numerele raționale sunt definite ca mulțime de clase de echivalență de perechi în raport cu relația de echivalență dacă. În acest caz, operațiile de adunare și înmulțire sunt definite după cum urmează:

Definiții înrudite

Fracții proprii, improprii și mixte

Corect O fracție al cărei numărător este mai mic decât numitorul ei se numește fracție. Fracțiile proprii reprezintă numere raționale modulo mai mici decât unu. O fracție care nu este proprie se numește gresitși reprezintă un număr rațional mai mare sau egal cu unul în modul.

O fracție improprie poate fi reprezentată ca suma unui număr întreg și Fracțiunea corespunzătoare, numit fracție mixtă . De exemplu, . O notație similară (cu semnul de adunare lipsește), deși este folosită în aritmetica elementară, este evitată în literatura matematică strictă din cauza asemănării notației fracție mixtă cu notația pentru produsul dintre un întreg și o fracție.

Înălțimea loviturii

Înălțimea unei fracții comune este suma modulului numărătorului și numitorului acestei fracții. Înălțimea unui număr rațional este suma modulului numărătorului și numitorului fracției ordinare ireductibile corespunzătoare acestui număr.

De exemplu, înălțimea unei fracții este . Înălțimea numărului rațional corespunzător este egală cu , deoarece fracția poate fi redusă cu .

Un comentariu

Termen fracție (fracție) Uneori [ specifica] este folosit ca sinonim pentru termen Numar rational, și uneori un sinonim pentru orice număr care nu este întreg. În acest din urmă caz, numerele fracționale și raționale sunt lucruri diferite, deoarece atunci numerele raționale non-întregi sunt doar caz special fracționat.

Proprietăți

Proprietăți de bază

Mulțimea numerelor raționale satisface șaisprezece proprietăți de bază, care pot fi derivate cu ușurință din proprietățile numerelor întregi.

1. Ordine. Pentru orice numere raționale, există o regulă care vă permite să identificați în mod unic una și doar una dintre cele trei relații dintre ele: „”, „” sau „”. Această regulă se numește regula de ordonareși se formulează astfel: două numere pozitive și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; două numere nepozitive și sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; dacă dintr-o dată nu este negativ, ci - negativ, atunci .

   

   Adunarea fracțiilor

2. Operație de adăugare. regula de însumare Cantitate numerele și și se notează cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr se numește însumare. Regula însumării are următoarea vedere: .
3. Operația de înmulțire. Pentru orice numere raționale există un așa-numit regula înmulțirii, care le pune în corespondență cu un număr rațional. În acest caz, numărul în sine este numit muncă numerele și și se notează cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr se mai numește multiplicare. Regula înmulțirii are următoarea formă: .
4. Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu de numere raționale, și dacă este din ce în ce mai mic, atunci mai mic, iar dacă egal și egal, atunci egal.
5. Comutativitatea adunării. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.
6. Asociativitatea adunării. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul.
7. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.
8. Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care atunci când este adăugat la dă 0.
9. Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.
10. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.
11. Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.
12. Prezența numerelor reciproce. Orice număr rațional diferit de zero are un număr rațional invers, care atunci când este înmulțit cu dă 1.
13. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este coordonată cu operația de adunare prin legea distribuției:
14. Legătura relației de ordine cu operația de adunare. Același număr rațional poate fi adăugat la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale.
15. Legătura dintre relația de ordine și operația de înmulțire. Laturile stânga și dreapta ale unei inegalități raționale pot fi înmulțite cu același număr rațional pozitiv.
16. Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional, puteți lua atât de multe unități încât suma lor depășește.

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu se disting ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi dovedite pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția unui obiect matematic. . Astfel de proprietăți suplimentare asa de mult. Este logic să enumerați doar câteva dintre ele aici.

Numărabilitatea unui set

Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să dați un algoritm care enumeră numerele raționale, adică stabilește o bijecție între mulțimile de numere raționale și naturale. Un exemplu de astfel de construcție este următorul algoritm simplu. Este alcătuit un tabel nesfârșit de fracții obișnuite, pe fiecare rând din fiecare coloană din care se află o fracție. Pentru certitudine, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate începând de la unu. Celulele tabelului sunt desemnate , unde este numărul rândului tabelului în care se află celula și este numărul coloanei.

Tabelul rezultat este parcurs folosind un „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată pe baza primei potriviri.

În procesul unei astfel de parcurgeri, fiecare număr rațional nou este asociat cu un alt număr natural. Adică, fracțiilor li se atribuie numărul 1, fracțiilor li se atribuie numărul 2 etc. Trebuie remarcat că numai fracțiile ireductibile sunt numerotate. Un semn formal de ireductibilitate este că cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției este egal cu unu.

Urmând acest algoritm, putem enumera toate numerele raționale pozitive. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale pozitive este numărabilă. Este ușor să stabiliți o bijecție între mulțimile de numere raționale pozitive și negative prin simpla atribuire fiecărui număr rațional opusul său. Acea. mulţimea numerelor raţionale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este de asemenea numărabilă prin proprietatea seturilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca unire a unei mulțimi numărabile cu una finită.

Desigur, există și alte moduri de a enumera numerele raționale. De exemplu, pentru aceasta puteți folosi structuri precum arborele Kalkin-Wilf, arborele Stern-Broko sau seria Farey.

Afirmația despre numărabilitatea mulțimii numerelor raționale poate provoca o oarecare confuzie, deoarece la prima vedere pare că este mult mai extinsă decât mulțimea numerelor naturale. De fapt, nu este așa și există suficiente numere naturale pentru a le enumera pe toate raționale.

Lipsa numerelor raționale

Vezi si

Numere întregi
	Numere rationale

Numere reale Numere complexe Cuaternioane

Note

Literatură

• I. Kushnir. Manual de matematică pentru școlari. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Alexandrov. Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. - M.: capitol. ed. fizica si matematica aprins. ed. „Știință”, 1977
• I. L. Hmelnițki. Introducere în teoria sistemelor algebrice

numere întregi

Definiția numerelor naturale sunt numere întregi pozitive. Numerele naturale sunt folosite pentru a număra obiecte și în multe alte scopuri. Acestea sunt numerele:

Aceasta este o serie naturală de numere.
Este zero un număr natural? Nu, zero nu este un număr natural.
Câte numere naturale există? Există un număr infinit de numere naturale.
Care este cel mai mic număr natural? Unul este cel mai mic număr natural.
Care este cel mai mare număr natural? Este imposibil de precizat, deoarece există un număr infinit de numere naturale.

Suma numerelor naturale este un număr natural. Deci, adunând numerele naturale a și b:

Produsul numerelor naturale este un număr natural. Deci, produsul numerelor naturale a și b:

c este întotdeauna un număr natural.

Diferența numerelor naturale Nu există întotdeauna un număr natural. Dacă minuend este mai mare decât subtraend, atunci diferența numerelor naturale este un număr natural, altfel nu este.

Coeficientul numerelor naturale nu este întotdeauna un număr natural. Dacă pentru numerele naturale a și b

unde c este un număr natural, aceasta înseamnă că a este divizibil cu b. În acest exemplu, a este dividendul, b este divizorul, c este câtul.

Divizor numar natural este un număr natural cu care primul număr este divizibil cu un întreg.

Fiecare număr natural este divizibil cu unul și cu el însuși.

Numerele naturale prime sunt divizibile numai cu unul și cu ele însele. Aici ne referim la împărțit în întregime. Exemplu, numerele 2; 3; 5; 7 este divizibil doar cu unul și cu el însuși. Acestea sunt numere naturale simple.

Unul nu este considerat număr prim.

Numerele care sunt mai mari decât unu și care nu sunt prime se numesc numere compuse. Exemple numere compuse:

Unul nu este considerat un număr compus.

Mulțimea numerelor naturale este unul, numere primeși numere compuse.

Mulțimea numerelor naturale este notă cu litera latină N.

Proprietăți de adunare și înmulțire a numerelor naturale:

proprietate comutativă a adunării

proprietate asociativă a adunării

(a + b) + c = a + (b + c);

proprietatea comutativă a înmulțirii

proprietatea asociativă a înmulțirii

(ab) c = a (bc);

proprietatea distributivă a înmulțirii

A (b + c) = ab + ac;

Numere întregi

Numerele întregi sunt numerele naturale, zero și opusele numerelor naturale.

Opusul numerelor naturale sunt numerele întregi negative, de exemplu:

1; -2; -3; -4;...

Mulțimea numerelor întregi este notă cu litera latină Z.

Numere rationale

Numerele raționale sunt numere întregi și fracții.

Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție periodică. Exemple:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Din exemple, este clar că orice număr întreg este o fracție periodică cu perioada zero.

Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție m/n, unde m este un număr întreg număr, n natural număr. Să ne imaginăm numărul 3,(6) din exemplul anterior ca o astfel de fracție.

În această secțiune vom da mai multe definiții ale numerelor raționale. În ciuda diferențelor de formulare, toate aceste definiții au același sens: numerele raționale unesc numere întregi și fracții, la fel cum numerele întregi unesc numerele naturale, contrariile lor și numărul zero. Cu alte cuvinte, numerele raționale generalizează numerele întregi și fracționale.

Sa incepem cu definițiile numerelor raționale, care este perceput cel mai natural.

Definiție.

Numere rationale sunt numere care pot fi scrise ca o fracție pozitivă, o fracție negativă sau ca număr zero.

Din definiția menționată rezultă că un număr rațional este:

Orice număr natural n. Într-adevăr, puteți reprezenta orice număr natural ca o fracție obișnuită, de exemplu, 3=3/1 .

· Orice număr întreg, în special numărul zero. De fapt, orice număr întreg poate fi scris fie ca fracție pozitivă, fie ca fracție negativă, fie ca zero. De exemplu, 26=26/1 , .

· Orice fracție comună (pozitivă sau negativă). Acest lucru este confirmat direct de definiția dată a numerelor raționale.

· Orice număr mixt. Într-adevăr, puteți reprezenta întotdeauna un număr mixt ca o fracție improprie. De exemplu, și.

· Orice fracție zecimală finită sau fracție periodică infinită. Acest lucru se datorează faptului că fracțiile zecimale indicate sunt convertite în fracții obișnuite. De exemplu, a 0,(3)=1/3 .

De asemenea, este clar că orice fracție zecimală infinită neperiodică NU este un număr rațional, deoarece nu poate fi reprezentată ca o fracție comună.

Acum putem da cu ușurință exemple de numere raționale. Numerele 4 ,903 , 100 321 Acestea sunt numere raționale pentru că sunt numere naturale. Numere întregi 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 sunt și exemple de numere raționale. Fracții comune 4/9 , 99/3 , sunt și exemple de numere raționale. Numerele raționale sunt și numere.

Din exemplele de mai sus este clar că există atât numere raționale pozitive, cât și negative, iar numărul rațional zero nu este nici pozitiv, nici negativ.

Definiția de mai sus a numerelor raționale poate fi formulată într-o formă mai concisă.

Definiție.

Numere rationale numere numere care pot fi scrise ca fracții z/n, Unde z este un număr întreg și n- numar natural.

Să demonstrăm că această definiție a numerelor raționale este echivalentă cu definiția anterioară. Știm că putem considera linia unei fracții drept semn de împărțire, apoi din proprietățile împărțirii numerelor întregi și regulile de împărțire a numerelor întregi, urmează validitatea următoarelor egalități. Deci asta este dovada.

Să dăm exemple de numere raționale bazate pe această definiție. Numerele −5 , 0 , 3 , și sunt numere raționale, deoarece pot fi scrise ca fracții cu un numărător întreg și, respectiv, un numitor natural de forma și.

Definiția numerelor raționale poate fi dată în formularea următoare.

Definiție.

Numere rationale sunt numere care pot fi scrise ca periodice finite sau infinite zecimal.

Această definiție este, de asemenea, echivalentă cu prima definiție, deoarece fiecare fracție obișnuită corespunde unei fracții zecimale finite sau periodice și invers, iar orice număr întreg poate fi asociat cu o fracție zecimală cu zerouri după virgulă.

De exemplu, numerele 5 , 0 , −13 , sunt exemple de numere raționale, deoarece pot fi scrise ca următoarele fracții zecimale 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Și −7,(18) .

Să încheiem teoria acestui punct cu următoarele afirmații:

· numerele întregi și fracții (pozitive și negative) alcătuiesc mulțimea numerelor raționale;

· fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție cu un numărător întreg și un numitor natural, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un anumit număr rațional;

· fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un anumit număr rațional.

Începutul paginii

Adunarea numerelor raționale pozitive este comutativă și asociativă,

("a, b О Q +) a + b= b + a;

("a, b, c О Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Înainte de a formula definiția înmulțirii numerelor raționale pozitive, luați în considerare următoarea problemă: se știe că lungimea unui segment X se exprimă ca o fracție cu o unitate de lungime E, iar lungimea unui segment unitar se măsoară cu o unitate. E 1 și se exprimă ca fracție. Cum să găsiți numărul care va reprezenta lungimea segmentului X dacă este măsurat folosind unitatea de lungime E 1?

Deoarece X = E, atunci nX = mE, iar din faptul că E = E 1 rezultă că qE = pE 1. Să înmulțim prima egalitate obținută cu q, iar a doua cu m. Atunci (nq)X = (mq)E și (mq)E= (mp)E 1, de unde (nq)X= (mp)E 1. Această egalitate arată că lungimea segmentului x cu o unitate de lungime este exprimată ca fracție, ceea ce înseamnă , =, adică înmulțirea fracțiilor presupune trecerea de la o unitate de lungime la alta la măsurarea lungimii aceluiași segment.

Definiție: Dacă un număr pozitiv a este reprezentat printr-o fracție, iar un număr rațional pozitiv b este o fracție, atunci produsul lor este numărul a b, care este reprezentat printr-o fracție.

Înmulțirea numerelor raționale pozitive comutativ, asociativ și distributiv în ceea ce privește adunarea și scăderea. Dovada acestor proprietăți se bazează pe definiția înmulțirii și adunării numerelor raționale pozitive, precum și a proprietăților corespunzătoare de adunare și înmulțire a numerelor naturale.

46. ​​După cum se știe scădere- Aceasta este acțiunea opusă adunării.

Dacă AȘi b - numere pozitive, apoi scăderea numărului b din numărul a înseamnă găsirea unui număr c care, adăugat la numărul b, dă numărul a.
a - b = c sau c + b = a
Definiția scăderii este valabilă pentru toate numerele raționale. Adică, scăderea numerelor pozitive și negative poate fi înlocuită cu adunarea.
Pentru a scădea altul dintr-un număr, trebuie să adăugați numărul opus celui care se scade.
Sau, într-un alt mod, putem spune că scăderea numărului b este la fel cu adunarea, dar cu numărul opus lui b.
a - b = a + (- b)
Exemplu.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Exemplu.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Merită să ne amintim expresiile de mai jos.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Reguli pentru scăderea numerelor negative
Scăderea unui număr b înseamnă adăugarea lui cu numărul opus lui b.
Această regulă este valabilă nu numai atunci când scădeți un număr mai mic dintr-un număr mai mare, dar vă permite și să scădeți dintr-un număr mai mic. număr mai mare, adică poți găsi întotdeauna diferența dintre două numere.
Diferența poate fi un număr pozitiv, un număr negativ sau un număr zero.
Exemple de scădere a numerelor negative și pozitive.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Este convenabil să vă amintiți regula semnului, care vă permite să reduceți numărul de paranteze.
Semnul plus nu schimbă semnul numărului, așa că dacă există un plus în fața parantezei, semnul dintre paranteze nu se schimbă.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Semnul minus din fața parantezei inversează semnul numărului din paranteze.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Din egalități este clar că, dacă există semne identice înainte și în interiorul parantezelor, atunci obținem „+”, iar dacă semnele sunt diferite, atunci obținem „-”.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Regula semnului se aplică și dacă parantezele conțin nu doar un număr, ci o sumă algebrică de numere.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Vă rugăm să rețineți că dacă există mai multe numere între paranteze și există un semn minus în fața parantezelor, atunci semnele din fața tuturor numerelor din aceste paranteze trebuie să se schimbe.
Pentru a vă aminti regula semnelor, puteți crea un tabel pentru determinarea semnelor unui număr.
Regula semnelor pentru numere+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Sau învață o regulă simplă.
Două negative fac o afirmație,
Plus ori minus este egal cu minus.

Reguli pentru împărțirea numerelor negative.
Pentru a găsi modulul unui coeficient, trebuie să împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului.
Deci, pentru a împărți două numere cu aceleași semne, trebuie să:

· modulul dividendului se împarte la modulul divizorului;

· pune semnul „+” în fața rezultatului.

Exemple de împărțire a numerelor cu semne diferite:

De asemenea, puteți utiliza următorul tabel pentru a determina semnul coeficient.
Regula semnelor pentru împărțire
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

La calcularea expresiilor „lungi” în care apar doar înmulțirea și împărțirea, este foarte convenabil să folosiți regula semnului. De exemplu, pentru a calcula o fracție
Vă rugăm să rețineți că numărătorul are 2 semne minus, care atunci când sunt înmulțite vor da un plus. Există, de asemenea, trei semne minus în numitor, care atunci când sunt înmulțite vor da un semn minus. Prin urmare, în cele din urmă, rezultatul se va dovedi cu un semn minus.
Reducerea unei fracții (acțiuni ulterioare cu modulele de numere) se efectuează în același mod ca înainte:
Coeficientul de zero împărțit la un număr altul decât zero este zero.
0: a = 0, a ≠ 0
NU POȚI împărți la zero!
Toate regulile cunoscute anterior de împărțire la unu se aplică și setului de numere raționale.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, unde a este orice număr rațional.
Relațiile dintre rezultatele înmulțirii și împărțirii, cunoscute pentru numerele pozitive, rămân aceleași pentru toate numerele raționale (cu excepția zero):
dacă a × b = c; a = c: b; b = c: a;
dacă a: b = c; a = c × b; b = a: c
Aceste dependențe sunt folosite pentru a găsi multiplicator necunoscut, dividend și divizor (la rezolvarea ecuațiilor), precum și pentru verificarea rezultatelor înmulțirii și împărțirii.
Un exemplu de găsire a necunoscutului.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2

Informații conexe.

În acest articol vom începe să explorăm numere rationale. Aici vom da definiții numerelor raționale, vom oferi explicațiile necesare și vom da exemple de numere raționale. După aceasta, ne vom concentra asupra modului de a determina dacă un anumit număr este rațional sau nu.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de numere raționale

În această secțiune vom da mai multe definiții ale numerelor raționale. În ciuda diferențelor de formulare, toate aceste definiții au același sens: numerele raționale unesc numere întregi și fracții, la fel cum numerele întregi unesc numerele naturale, contrariile lor și numărul zero. Cu alte cuvinte, numerele raționale generalizează numerele întregi și fracționale.

Sa incepem cu definițiile numerelor raționale, care este perceput cel mai natural.

Din definiția menționată rezultă că un număr rațional este:

• Orice număr natural n. Într-adevăr, puteți reprezenta orice număr natural ca o fracție obișnuită, de exemplu, 3=3/1.
• Orice număr întreg, în special numărul zero. De fapt, orice număr întreg poate fi scris fie ca fracție pozitivă, fie ca fracție negativă, fie ca zero. De exemplu, 26=26/1, .
• Orice fracție comună (pozitivă sau negativă). Acest lucru este confirmat direct de definiția dată a numerelor raționale.
• Orice număr mixt. Într-adevăr, puteți reprezenta întotdeauna un număr mixt ca o fracție improprie. De exemplu, și.
• Orice fracție zecimală finită sau fracție periodică infinită. Acest lucru se datorează faptului că fracțiile zecimale indicate sunt convertite în fracții obișnuite. De exemplu, și 0,(3)=1/3.

De asemenea, este clar că orice fracție zecimală infinită neperiodică NU este un număr rațional, deoarece nu poate fi reprezentată ca o fracție comună.

Acum putem da cu ușurință exemple de numere raționale. Numerele 4, 903, 100.321 sunt numere raționale deoarece sunt numere naturale. Numerele întregi 58, −72, 0, −833.333.333 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale. Fracțiile comune 4/9, 99/3 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale. Numerele raționale sunt și numere.

Din exemplele de mai sus este clar că există atât numere raționale pozitive, cât și negative, iar numărul rațional zero nu este nici pozitiv, nici negativ.

Definiția de mai sus a numerelor raționale poate fi formulată într-o formă mai concisă.

Definiție.

Numere rationale sunt numere care pot fi scrise ca o fracție z/n, unde z este un număr întreg și n este un număr natural.

Să demonstrăm că această definiție a numerelor raționale este echivalentă cu definiția anterioară. Știm că putem considera linia unei fracții ca un semn de împărțire, apoi din proprietățile împărțirii numerelor întregi și regulile de împărțire a numerelor întregi, urmează validitatea următoarelor egalități și. Deci asta este dovada.

Să dăm exemple de numere raționale bazate pe această definiție. Numerele −5, 0, 3 și sunt numere raționale, deoarece pot fi scrise ca fracții cu un numărător întreg și, respectiv, un numitor natural de forma și.

Definiția numerelor raționale poate fi dată în formularea următoare.

Definiție.

Numere rationale sunt numere care pot fi scrise ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită.

Această definiție este, de asemenea, echivalentă cu prima definiție, deoarece fiecare fracție obișnuită corespunde unei fracții zecimale finite sau periodice și invers, iar orice număr întreg poate fi asociat cu o fracție zecimală cu zerouri după virgulă.

De exemplu, numerele 5, 0, -13 sunt exemple de numere raționale deoarece pot fi scrise ca următoarele fracții zecimale 5,0, 0,0, -13,0, 0,8 și -7, (18).

Să încheiem teoria acestui punct cu următoarele afirmații:

• numerele întregi și fracții (pozitive și negative) alcătuiesc mulțimea numerelor raționale;
• fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție cu un numărător întreg și un numitor natural, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un anumit număr rațional;
• fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un număr rațional.

Este acest număr rațional?

ÎN paragraful anterior Am învățat că orice număr natural, orice număr întreg, orice fracție, orice număr mixt, orice zecimală finită și orice zecimală periodică este un număr rațional. Această cunoaștere ne permite să „recunoaștem” numerele raționale dintr-un set de numere scrise.

Dar dacă numărul este dat sub forma unor , sau ca , etc., cum să răspunzi la întrebarea dacă acest număr este rațional? În multe cazuri, este foarte greu să răspunzi. Să indicăm câteva direcții de gândire.

Dacă un număr este dat ca expresie numerică care conține numai numere raționale și semne aritmetice (+, −, · și:), atunci valoarea acestei expresii este un număr rațional. Aceasta rezultă din modul în care sunt definite operațiile cu numere raționale. De exemplu, după efectuarea tuturor operațiilor din expresie, obținem numărul rațional 18.

Uneori, după ce am simplificat expresiile și le-am făcut mai complexe, devine posibil să se determine dacă un anumit număr este rațional.

Să mergem mai departe. Numărul 2 este un număr rațional, deoarece orice număr natural este rațional. Dar numărul? Este rațional? Rezultă că nu, nu este un număr rațional, este un număr irațional (dovada acestui fapt prin contradicție este dată în manualul de algebră pentru clasa a VIII-a, enumerat mai jos în lista de referințe). De asemenea, s-a dovedit că Rădăcină pătrată al unui număr natural este un număr rațional numai în acele cazuri când rădăcina conține un număr care este pătratul perfect al unui număr natural. De exemplu, și sunt numere raționale, deoarece 81 = 9 2 și 1 024 = 32 2, iar numerele și nu sunt raționale, deoarece numerele 7 și 199 nu sunt pătrate perfecte ale numerelor naturale.

Numărul este rațional sau nu? În acest caz, este ușor de observat că, prin urmare, acest număr este rațional. Este numărul rațional? S-a dovedit că rădăcina k a unui număr întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub semnul rădăcinii este puterea k a unui număr întreg. Prin urmare, nu este un număr rațional, deoarece nu există un număr întreg a cărui putere a cincea este 121.

Metoda prin contradicție vă permite să demonstrați că logaritmii unor numere nu sunt numere raționale din anumite motive. De exemplu, să demonstrăm că - nu este un număr rațional.

Să presupunem contrariul, adică să spunem că este un număr rațional și poate fi scris ca o fracție obișnuită m/n. Apoi dau următoarele egalități: . Ultima egalitate este imposibilă, deoarece în partea stângă există Nu număr par 5 n, iar în partea dreaptă este numărul par 2 m. Prin urmare, presupunerea noastră este incorectă, deci nu este un număr rațional.

În concluzie, este de remarcat în special faptul că atunci când se determină raționalitatea sau iraționalitatea numerelor, ar trebui să se abțină de la a face concluzii bruște.

De exemplu, nu ar trebui să afirmați imediat că produsul numerelor iraționale π și e este un număr irațional; acest lucru este „aparent evident”, dar nu este dovedit. Aceasta ridică întrebarea: „De ce ar fi un produs un număr rațional?” Și de ce nu, pentru că poți da un exemplu de numere iraționale, al căror produs dă un număr rațional: .

De asemenea, nu se știe dacă numerele și multe alte numere sunt raționale sau nu. De exemplu, există numere iraționale a căror putere irațională este un număr rațional. Pentru ilustrare, prezentăm un grad de forma , baza acestui grad și exponentul nu sunt numere raționale, ci , iar 3 este un număr rațional.

Bibliografie.

• Matematică. Clasa a VI-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Definiţia numerelor raţionale

Numerele raționale includ:

• Numerele naturale care pot fi reprezentate ca fracție comună. De exemplu, $7=\frac(7)(1)$.
• Numere întregi, inclusiv zero, care pot fi reprezentate ca o fracție pozitivă sau negativă sau ca zero. De exemplu, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Fracții comune (pozitive sau negative).
• Numere mixte care pot fi reprezentate ca o fracție improprie. De exemplu, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ și $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• O zecimală finită și o fracție periodică infinită care pot fi reprezentate ca o fracție. De exemplu, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Nota 1

Rețineți că o fracție zecimală neperiodică infinită nu aparține numerelor raționale, deoarece nu poate fi reprezentată ca o fracție obișnuită.

Exemplul 1

Numerele naturale $7, 670, 21\456$ sunt raționale.

Numerele întregi $76, –76, 0, –555\666$ sunt raționale.

Fracții comune $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ – numere raționale .

Astfel, numerele raționale sunt împărțite în pozitive și negative. Numărul zero este rațional, dar nu este un număr rațional nici pozitiv, nici negativ.

Să formulăm mai multe scurtă definiție numere rationale.

Definiția 3

Raţional sunt numere care pot fi reprezentate ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită.

Se pot trage următoarele concluzii:

• numerele și fracțiile întregi pozitive și negative aparțin mulțimii numerelor raționale;
• numerele raționale pot fi reprezentate ca o fracție care are un numărător întreg și un numitor natural și este un număr rațional;
• numerele raționale pot fi reprezentate ca orice fracție zecimală periodică care este un număr rațional.

Cum să determinați dacă un număr este rațional

1. Numărul este specificat ca o expresie numerică care constă numai din numere raționale și semne de operații aritmetice. În acest caz, valoarea expresiei va fi un număr rațional.
2. Rădăcina pătrată a unui număr natural este un număr rațional numai dacă rădăcina conține un număr care este pătratul perfect al unui număr natural. De exemplu, $\sqrt(9)$ și $\sqrt(121)$ sunt numere raționale, deoarece $9=3^2$ și $121=11^2$.
3. Rădăcina $n$a unui număr întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub semnul rădăcinii este puterea $n$a unui număr întreg. De exemplu, $\sqrt(8)$ este un număr rațional, deoarece $8=2^3$.

Pe axa numerelor, numerele raționale sunt dens distribuite pe tot cuprinsul: între fiecare două numere raționale care nu sunt egale între ele, poate fi localizat cel puțin un număr rațional (deci, o mulțime infinită de numere raționale). În același timp, mulțimea numerelor raționale se caracterizează prin cardinalitate numărabilă (adică toate elementele mulțimii pot fi numerotate). Grecii antici au demonstrat că există numere care nu pot fi scrise ca fracție. Ei au arătat că nu există un număr rațional al cărui pătrat este egal cu $2$. Apoi numerele raționale s-au dovedit a fi insuficiente pentru a exprima toate mărimile, ceea ce a dus mai târziu la apariția numerelor reale. Mulțimea numerelor raționale, spre deosebire de numerele reale, este zero-dimensională.