1) Domeniul funcției și domeniul de funcții.

Domeniul unei funcții este setul tuturor valorilor argumentelor valide X(variabil X), pentru care funcția y = f(x) determinat. Domeniul unei funcții este mulțimea tuturor valorilor reale y, pe care funcția îl acceptă.

În matematica elementară, funcțiile sunt studiate numai pe mulțimea numerelor reale.

2) Zerourile funcției.

Funcția zero este valoarea argumentului la care valoarea funcției este egală cu zero.

3) Intervale de semn constant al unei funcții.

Intervalele de semn constant ale unei funcții sunt seturi de valori ale argumentului pe care valorile funcției sunt doar pozitive sau numai negative.

4) Monotonitatea funcției.

O funcţie crescătoare (într-un anumit interval) este o funcţie pentru care valoare mai mare argumentului din acest interval îi corespunde o valoare mai mare a funcției.

O funcție descrescătoare (într-un anumit interval) este o funcție în care o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mici a funcției.

5) Funcția par (impar)..

O funcție pară este o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare X din domeniul definirii egalitatea f(-x) = f(x). Graficul unei funcții pare este simetric față de ordonată.

O funcție impară este o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare X din domeniul definiției egalitatea este adevărată f(-x) = - f(x). Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

6) Funcții limitate și nelimitate.

O funcție se numește mărginită dacă există un număr M pozitiv astfel încât |f(x)| ≤ M pentru toate valorile lui x. Dacă un astfel de număr nu există, atunci funcția este nelimitată.

7) Periodicitatea funcției.

O funcție f(x) este periodică dacă există un număr T diferit de zero, astfel încât pentru orice x din domeniul de definire al funcției să fie valabile următoarele: f(x+T) = f(x). Acest număr cel mai mic se numește perioada funcției. Toate funcțiile trigonometrice sunt periodice. (Formulele trigonometrice).

19. De bază functii elementare, proprietățile și graficele lor. Aplicarea funcțiilor în economie.

Funcții elementare de bază. Proprietățile și graficele lor

1. Funcția liniară.

Funcție liniară se numește funcție de forma , unde x este o variabilă, a și b sunt numere reale.

Număr A numită panta dreptei, este egală cu tangentei unghiului de înclinare a acestei linii la direcția pozitivă a axei x. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Este definit de două puncte.

Proprietățile unei funcții liniare

1. Domeniul definiției - mulțimea tuturor numerelor reale: D(y)=R

2. Mulțimea valorilor este mulțimea tuturor numerelor reale: E(y)=R

3. Funcția ia o valoare zero când sau.

4. Funcția crește (descrește) pe întregul domeniu de definire.

5. O funcție liniară este continuă pe întregul domeniu al definiției, diferențiabilă și .

2. Funcția pătratică.

O funcție de forma, unde x este o variabilă, coeficienții a, b, c sunt numere reale, se numește pătratică

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Sunt prezentate proprietățile și graficele funcțiilor de putere sensuri diferite exponent. Formule de bază, domenii de definiție și seturi de valori, paritate, monotonitate, crescător și descrescător, extreme, convexitate, inflexiuni, puncte de intersecție cu axele de coordonate, limite, valori particulare.

Formule cu funcții de putere

Pe domeniul definirii functie de putere y = x p se aplică următoarele formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora

Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0

Dacă exponentul funcției de putere y = x p este egal cu zero, p = 0, atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este o constantă egală cu unu:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...

Considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural impar n = 1, 3, 5, ... . Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3, ... este un întreg nenegativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, ....

Domeniu: -∞ < x < ∞
Sensuri multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0 выпукла вверх
la 0< x < ∞ выпукла вниз
Puncte de inflexiune: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 1, funcția este inversul ei: x = y
pentru n ≠ 1, funcția inversă este rădăcina gradului n:

Funcția de putere cu exponent natural par, p = n = 2, 4, 6, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural par n = 2, 4, 6, ... . Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... - natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....

Domeniu: -∞ < x < ∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
pentru x ≤ 0 scade monoton
pentru x ≥ 0 crește monoton
Extreme: minim, x = 0, y = 0
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 2, Rădăcină pătrată:
pentru n ≠ 2, rădăcină de grad n:

Funcția de putere cu exponent întreg negativ, p = n = -1, -2, -3, ...

Se consideră funcția de putere y = x p = x n cu un număr întreg indicator negativ grade n = -1, -2, -3, ... . Dacă punem n = -k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca:

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ... .

Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....

Domeniu: x ≠ 0
Sensuri multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вверх
pentru x > 0: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
când n = -1,
la n< -2 ,

Exponent par, n = -2, -4, -6, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ....

Domeniu: x ≠ 0
Sensuri multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0: scade monoton
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
la n = -2,
la n< -2 ,

Funcția de putere cu exponent rațional (fracțional).

Considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au divizori comuni.

Numitorul indicatorului fracționar este impar

Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru valorile pozitive, cât și pentru cele negative ale argumentului x. Să luăm în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.

Valoarea p este negativă, p< 0

Fie exponentul rațional (cu numitor impar m = 3, 5, 7, ...) mai putin de zero: .

Grafice ale funcțiilor de putere cu un exponent negativ rațional pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... - impar.

Numător impar, n = -1, -3, -5, ...

Prezentăm proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent negativ rațional, unde n = -1, -3, -5, ... este un număr întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar.

Domeniu: x ≠ 0
Sensuri multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вверх
pentru x > 0: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = -2, -4, -6, ...

Proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional negativ, unde n = -2, -4, -6, ... este un întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar .

Domeniu: x ≠ 0
Sensuri multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0: scade monoton
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:

Valoarea p este pozitivă, mai mică de unu, 0< p < 1

Graficul unei funcții de putere cu exponent rațional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Numător impar, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeniu: -∞ < x < +∞
Sensuri multiple: -∞ < y < +∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вниз
pentru x > 0: convex în sus
Puncte de inflexiune: x = 0, y = 0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = 2, 4, 6, ...

Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional în 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeniu: -∞ < x < +∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y< +∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно убывает
pentru x > 0: crește monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în sus pentru x ≠ 0
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Semn: pentru x ≠ 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = 1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Indicele p este mai mare decât unu, p > 1

Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (p > 1) pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... - impar.

Numător impar, n = 5, 7, 9, ...

Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: . Unde n = 5, 7, 9, ... - impar natural, m = 3, 5, 7 ... - impar natural.

Domeniu: -∞ < x < ∞
Sensuri multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0 выпукла вверх
la 0< x < ∞ выпукла вниз
Puncte de inflexiune: x = 0, y = 0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = 4, 6, 8, ...

Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: . Unde n = 4, 6, 8, ... - natural par, m = 3, 5, 7 ... - natural impar.

Domeniu: -∞ < x < ∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 монотонно убывает
pentru x > 0 crește monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = 1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numitorul indicatorului fracționar este par

Fie numitorul exponentului fracționar par: m = 2, 4, 6, ... . În acest caz, funcția de putere x p nu este definită pentru valorile negative ale argumentului. Proprietățile sale coincid cu proprietățile unei funcții de putere cu un exponent irațional (vezi secțiunea următoare).

Funcția de putere cu exponent irațional

Se consideră o funcție de putere y = x p cu un exponent irațional p. Proprietățile unor astfel de funcții diferă de cele discutate mai sus prin faptul că nu sunt definite pentru valorile negative ale argumentului x. Pentru valori pozitive argument, proprietățile depind doar de valoarea exponentului p și nu depind dacă p este întreg, rațional sau irațional.

y = x p pentru diferite valori ale exponentului p.

Funcția de putere cu exponent negativ p< 0

Domeniu: x > 0
Sensuri multiple: y > 0
Monoton: scade monoton
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Limite: ;
Sens privat: Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0

Indicator mai mic de unu 0< p < 1

Domeniu: x ≥ 0
Sensuri multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în sus
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indicatorul este mai mare decât un p > 1

Domeniu: x ≥ 0
Sensuri multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Oferă date de referință privind funcția exponențială - proprietăți de bază, grafice și formule. Sunt luate în considerare următoarele aspecte: domeniul de definiție, set de valori, monotonitate, funcție inversă, derivată, integrală, expansiune în serie de puteriși reprezentarea folosind numere complexe.

Definiție

Functie exponentiala este o generalizare a produsului a n numere egale cu a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
la mulțimea numerelor reale x:
y (x) = ax.
Aici a este un număr real fix, care este numit baza functiei exponentiale.
Se mai numește și o funcție exponențială cu baza a exponent la baza a.

Generalizarea se realizează după cum urmează.
Pentru natural x = 1, 2, 3,... , functie exponentiala este produsul x factori:
.
Mai mult, are proprietăți (1,5-8) (), care decurg din regulile de înmulțire a numerelor. Pentru valorile zero și negative ale numerelor întregi, funcția exponențială este determinată folosind formulele (1.9-10). Pentru valori fracționale x = m/n numere rationale, , se determină prin formula (1.11). Pentru valori reale, funcția exponențială este definită ca limită de secvență:
,
unde este o succesiune arbitrară de numere raționale care converg către x: .
Cu această definiție, funcția exponențială este definită pentru toate , și satisface proprietățile (1.5-8), ca pentru x natural.

O formulare matematică riguroasă a definiției unei funcții exponențiale și demonstrarea proprietăților acesteia este dată la pagina „Definiția și demonstrarea proprietăților unei funcții exponențiale”.

Proprietățile funcției exponențiale

Funcția exponențială y = a x are următoarele proprietăți pe mulțimea numerelor reale ():
(1.1) definit si continuu, pentru , pentru toti ;
(1.2) pentru un ≠ 1 are multe semnificații;
(1.3) strict crește la , scade strict la ,
este constantă la ;
(1.4) la ;
la ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Alte formule utile.
.
Formula pentru conversia într-o funcție exponențială cu o bază de exponent diferită:

Când b = e, obținem expresia funcției exponențiale prin exponențială:

Valori private

, , , , .

Figura prezintă grafice ale funcției exponențiale
y (x) = ax
pentru patru valori baze de grad: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 și a = 1/8 . Se vede că pentru un > 1 funcţia exponenţială creşte monoton. Cu cât baza gradului a este mai mare, cu atât creșterea este mai puternică. La 0 < a < 1 funcţia exponenţială scade monoton. Cu cât exponentul a este mai mic, cu atât scăderea este mai puternică.

Urcând, coborând

Funcția exponențială pentru este strict monotonă și, prin urmare, nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.

	y = a x , a > 1	y = ax, 0 < a < 1
Domeniu	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Gama de valori	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monoton	crește monoton	scade monoton
Zerouri, y = 0	Nu	Nu
Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Funcție inversă

Inversa unei funcții exponențiale cu baza a este logaritmul cu baza a.

Daca atunci
.
Daca atunci
.

Diferențierea unei funcții exponențiale

Pentru a diferenția o funcție exponențială, baza acesteia trebuie redusă la numărul e, aplicați tabelul de derivate și regula de diferențiere functie complexa.

Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați proprietatea logaritmilor
și formula din tabelul derivatelor:
.

Să fie dată o funcție exponențială:
.
O aducem la baza e:

Să aplicăm regula de diferențiere a funcțiilor complexe. Pentru a face acest lucru, introduceți variabila

Apoi

Din tabelul derivatelor avem (înlocuiește variabila x cu z):
.
Deoarece este o constantă, derivata lui z față de x este egală cu
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.

Derivata unei functii exponentiale

.
Derivată de ordin al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Un exemplu de diferențiere a unei funcții exponențiale

Aflați derivata unei funcții
y = 3 5 x

Soluţie

Să exprimăm baza funcției exponențiale prin numărul e.
3 = e ln 3
Apoi
.
Introduceți o variabilă
.
Apoi

Din tabelul derivatelor găsim:
.
Deoarece 5ln 3 este o constantă, atunci derivata lui z față de x este egală cu:
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, avem:
.

Răspuns

Integral

Expresii folosind numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
f (z) = a z
unde z = x + iy; i 2 = - 1 .
Să exprimăm constanta complexă a în termeni de modul r și argument φ:
a = r e i φ
Apoi


.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. ÎN vedere generala
φ = φ 0 + 2 πn,
unde n este un număr întreg. Prin urmare, funcția f (z) nici nu este clar. Semnificația sa principală este adesea luată în considerare
.

Extinderea seriei

.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Secțiunea conține materiale de referință despre principalele funcții elementare și proprietățile acestora. Este dată o clasificare a funcțiilor elementare. Mai jos sunt legături către subsecțiuni care discută proprietățile funcțiilor specifice - grafice, formule, derivate, antiderivate (integrale), expansiuni de serie, expresii prin variabile complexe.

Pagini de referință pentru funcțiile de bază

Clasificarea funcţiilor elementare

Funcția algebrică este o funcție care satisface ecuația:
,
unde este un polinom în variabila dependentă y și variabila independentă x. Se poate scrie ca:
,
unde sunt polinoame.

Funcțiile algebrice sunt împărțite în polinoame (funcții raționale întregi), funcții raționale și funcții iraționale.

Întreaga funcție rațională, care se mai numește polinom sau polinom, se obține din variabila x și un număr finit de numere folosind operațiile aritmetice de adunare (scădere) și înmulțire. După deschiderea parantezelor, polinomul este redus la forma canonică:
.

Funcție rațională fracțională, sau pur și simplu functie rationala, se obține din variabila x și un număr finit de numere folosind operațiile aritmetice de adunare (scădere), înmulțire și împărțire. Funcția rațională poate fi redusă la forma
,
unde și sunt polinoame.

Funcția irațională este o funcție algebrică care nu este rațională. De regulă, o funcție irațională este înțeleasă ca rădăcini și compozițiile lor cu funcții raționale. O rădăcină de grad n este definită ca soluție a ecuației
.
Se desemnează după cum urmează:
.

Funcții transcendentale se numesc funcţii non-algebrice. Acestea sunt exponențiale, trigonometrice, hiperbolice și funcțiile lor inverse.

Prezentare generală a funcțiilor elementare de bază

Toate funcțiile elementare pot fi reprezentate ca un număr finit de operații de adunare, scădere, înmulțire și împărțire efectuate pe o expresie de forma:
z t .
Funcțiile inverse pot fi exprimate și în termeni de logaritmi. Funcțiile elementare de bază sunt enumerate mai jos.

Funcția de putere:
y(x) = x p ,
unde p este exponentul. Depinde de baza gradului x.
Inversa funcției de putere este, de asemenea, funcția de putere:
.
Pentru o valoare întreagă nenegativă a exponentului p, este un polinom. Pentru o valoare întreagă p - o funcție rațională. Cu un sens rațional - o funcție irațională.

Funcții transcendentale

Functie exponentiala :
y(x) = a x ,
unde a este baza gradului. Depinde de exponentul x.
Funcția inversă este logaritmul la baza a:
x = log a y.

Exponent, e la puterea x:
y(x) = e x ,
Aceasta este o funcție exponențială a cărei derivată este egală cu funcția în sine:
.
Baza exponentului este numărul e:
≈ 2,718281828459045... .
Funcția inversă este logaritmul natural - logaritmul la baza numărului e:
x = ln y ≡ log e y.

Funcții trigonometrice:
Sinus: ;
Cosinus: ;
Tangenta: ;
Cotangent: ;
Aici i este unitatea imaginară, i 2 = -1.

Funcții trigonometrice inverse:
Arcsin: x = arcsin y, ;
Arccosinus: x = arccos y, ;
Arctangent: x = arctan y, ;
Arc tangentă: x = arcctg y, .