Sistem m ecuatii lineare cu n necunoscute numit un sistem al formei
Unde a ijȘi b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sunt câteva numere cunoscute și x 1 ,…,x n– necunoscut. În desemnarea coeficienţilor a ij primul indice i denotă numărul ecuației, iar al doilea j– numărul necunoscutului la care se află acest coeficient.
Vom scrie coeficienții pentru necunoscute sub forma unei matrice 
, pe care o vom numi matricea sistemului.
Numerele din partea dreaptă a ecuațiilor sunt b 1 ,…,b m sunt numite membri liberi.
Totalitate n numere c 1 ,…,c n numit decizie a unui sistem dat, dacă fiecare ecuație a sistemului devine o egalitate după înlocuirea numerelor în ea c 1 ,…,c nîn locul necunoscutelor corespunzătoare x 1 ,…,x n.
Sarcina noastră va fi să găsim soluții pentru sistem. În acest caz, pot apărea trei situații:
Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește comun. Altfel, i.e. dacă sistemul nu are soluții, atunci este numit nearticulată.
Să luăm în considerare modalități de a găsi soluții pentru sistem.
METODĂ MATRIXĂ PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINARE
Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:
Luați în considerare matricea sistemului 
și coloane de matrice de termeni necunoscuți și liberi 
Să găsim de lucru
acestea. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale, acest sistem poate fi scris sub forma
sau mai scurt A∙X=B.
Iată matricele AȘi B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Este necesar să-l găsim, pentru că... elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.
Fie determinantul matricei diferit de zero | A| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolva in felul urmator. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei A: . Deoarece A -1 A = EȘi E∙X = X, apoi obținem o soluție a ecuației matriceale sub forma X = A -1 B .
Rețineți că din moment ce matrice inversă poate fi găsit doar pentru matrici pătrate, atunci metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, înregistrarea matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea A nu va fi pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.
Exemple. Rezolvarea sistemelor de ecuații.
REGULA LUI CRAMER
Să considerăm un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute:
Determinant de ordinul al treilea corespunzător matricei sistemului, i.e. compus din coeficienți pentru necunoscute,
numit determinant al sistemului.
Să mai compunem trei determinanți astfel: înlocuiți secvențial 1, 2 și 3 coloane din determinantul D cu o coloană de termeni liberi
Apoi putem demonstra următorul rezultat.
Teoremă (regula lui Cramer). Dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are una și o singură soluție și
Dovada. Deci, să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu complement algebric A 11 element un 11, a 2-a ecuație – pe A 21 iar al treilea – pe A 31:
Să adăugăm aceste ecuații:
Să ne uităm la fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Prin teorema expansiunii determinantului în elementele coloanei I
În mod similar, se poate demonstra că și .
În cele din urmă, este ușor de observat asta 
Astfel, obținem egalitatea: .
Prin urmare, .
Egalitățile și sunt derivate similar, din care urmează enunțul teoremei.
Astfel, observăm că dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică și invers. Dacă determinantul sistemului este egal cu zero, atunci sistemul fie are set infinit soluții, sau nu are soluții, de ex. incompatibil.
Exemple. Rezolvarea sistemului de ecuații
METODA GAUSS
Metodele discutate anterior pot fi folosite pentru a rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute, iar determinantul sistemului trebuie să fie diferit de zero. Metoda Gauss este mai universală și potrivită pentru sisteme cu orice număr de ecuații. Constă în eliminarea consecventă a necunoscutelor din ecuațiile sistemului.
Să considerăm din nou un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:
.
Vom lăsa prima ecuație neschimbată, iar din a 2-a și a 3-a vom exclude termenii care conțin x 1. Pentru a face acest lucru, împărțiți a doua ecuație la A 21 și înmulțiți cu - A 11, apoi adăugați-l la prima ecuație. În mod similar, împărțim a treia ecuație la A 31 și înmulțiți cu - A 11, apoi adăugați-l cu primul. Ca rezultat, sistemul original va lua forma:
Acum din ultima ecuație eliminăm termenul care conține x 2. Pentru a face acest lucru, împărțiți a treia ecuație cu, înmulțiți cu și adăugați cu a doua. Atunci vom avea un sistem de ecuații:
De aici, din ultima ecuație este ușor de găsit x 3, apoi din a 2-a ecuație x 2 si in final, de la 1 - x 1.
Când se utilizează metoda Gauss, ecuațiile pot fi schimbate dacă este necesar.
Adesea în loc să scrie sistem nou ecuațiile, sunt limitate la scrierea matricei extinse a sistemului:
iar apoi aduceți-o într-o formă triunghiulară sau diagonală folosind transformări elementare.
LA transformări elementare matricele includ următoarele transformări:
- rearanjarea rândurilor sau coloanelor;
- înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;
- adăugarea altor linii la o singură linie.
Exemple: Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gauss.
Astfel, sistemul are un număr infinit de soluții.
2.3.1. Definiție.
Să fie date ecuații liniare:
A 1 X + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)
A 2 X + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)
A 3 X + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)
Dacă trebuie să găsești decizie comună ecuațiile (2.3.1) ¾ (2.3.3), apoi spun că se formează sistem . Sistemul format din ecuațiile (2.3.1) ¾ (2.3.3) se notează după cum urmează:
Soluția generală a ecuațiilor care alcătuiesc sistemul se numește soluție de sistem . Rezolvați sistemul (2.3.4) ¾ aceasta înseamnă fie găsirea mulțimii tuturor soluțiilor sale, fie demonstrarea că nu există.
Ca și în cazurile anterioare, mai jos vom găsi condițiile în care sistemul (2.3.4) are o soluție unică, are mai multe soluții și nu are nicio soluție.
2.3.2. Definiție. Să fie dat sistemul (2.3.4) de ecuații liniare. Matrici
sunt numite în consecință ( de bază )matrice Și matrice extinsă sisteme.
2.3.3. Definițiile sistemelor echivalente de forma (2.3.4), precum și transformările elementare de tipul I și al II-lea, sunt introduse în același mod ca și pentru sistemele de două ecuații cu două și trei necunoscute.
Transformare elementară Al treilea tip de sistem (2.3.4) se numește schimbul a două ecuații ale acestui sistem. Similar cu cazurile anterioare ale sistemelor cu 2 ecuații cu transformări elementare ale sistemului se obţine sistemul,echivalent cu aceasta.
2.3.4. Exercițiu. Rezolvarea sistemelor de ecuații:
Soluţie. A)
(1) Am schimbat prima și a doua ecuație a sistemului (transformare de tip 3).
(2) Prima ecuație înmulțită cu 4 a fost scăzută din a doua, iar prima ecuație înmulțită cu 6 a fost scăzută din a treia (transformare de tip 2); astfel, necunoscutul a fost exclus din a doua și a treia ecuație X .
(3) A doua ecuație, înmulțită cu 14, a fost scăzută din a treia; necunoscutul a fost exclus din a treia y .
(4) Din ultima ecuație găsim z = 1, înlocuind care în al doilea, găsim y = 0. În final, înlocuind y = 0 și z = 1 în prima ecuație, găsim X = -2.ñ
(1) Am schimbat prima și a doua ecuație a sistemului.
(2) Prima ecuație înmulțită cu 4 a fost scăzută din a doua, iar prima ecuație înmulțită cu 6 a fost scăzută din a treia.
(3) A doua și a treia ecuație au coincis. Pe unul dintre ele îl excludem din sistem (sau, cu alte cuvinte, dacă îl scădem pe al doilea din a treia ecuație, atunci a treia ecuație se transformă în identitatea 0 = 0; este exclusă din sistem. Presupunem z = A .
(4) Înlocuitor z = A în a doua și prima ecuație.
(5) Înlocuirea y = 12 - 12A în prima ecuație, găsim X .
c) Dacă prima ecuație este împărțită la 4, iar a treia ¾ la 6, atunci ajungem la un sistem echivalent
care este echivalent cu ecuația X - 2y - z = -3. Soluțiile acestei ecuații sunt cunoscute (vezi Exemplul 2.2.3 b))
Ultima egalitate din sistemul rezultat este contradictorie. Prin urmare, sistemul nu are soluții.
Transformările (1) și (2) ¾ sunt exact aceleași cu transformările corespunzătoare ale sistemului b))
(3) Scădeți a doua din ultima ecuație.
Răspuns: a) (-2; 0; 1);
b) (21 - 23 A ; 12 - 12A ; A ), A Î R;
c) ((-3 + 2 A + b ; A ; b )|A , b Î R};
d) Sistemul nu are soluții.
2.3.5. Din exemplele anterioare rezultă că sistem cu trei necunoscute, ca un sistem cu două necunoscute, poate avea o singură soluție, un număr infinit de soluții și neavând o singură soluție. Mai jos vom analiza toate cazurile posibile. Dar mai întâi introducem o notație.
Fie D notează determinantul matricei sistemului:
Fie D 1 determinantul obținut din D prin înlocuirea primei coloane cu o coloană de termeni liberi:
În mod similar, să punem
D 2 = și D 3 = .
2.3.6. Teorema. Dacă D¹0, apoi sistemul(2.3.4)are o soluție unică
, , . (2.3.5)
Se numesc formulele (2.3.5). formule = = 0 pentru toți i ¹ j și cel puțin unul dintre determinanți , , nu este egal cu zero, atunci sistemul nu are soluții.
4) Dacă = = = = = = 0 pentru toți i ¹ j , atunci sistemul are un număr infinit de soluții, in functie de doi parametri.
O ecuație cu o necunoscută, care, după ce deschide parantezele și aduce termeni similari, ia forma
ax + b = 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu unul necunoscut. Astăzi ne vom da seama cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.
De exemplu, toate ecuațiile:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - liniar.
Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o egalitate adevărată decizie sau rădăcina ecuației .
De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 = 13 în loc de necunoscutul x înlocuim numărul 2, obținem egalitatea corectă 3 2 +7 = 13. Aceasta înseamnă că valoarea x = 2 este soluția sau rădăcina a ecuației.
Iar valoarea x = 3 nu transformă ecuația 3x + 7 = 13 într-o egalitate adevărată, deoarece 3 2 +7 ≠ 13. Aceasta înseamnă că valoarea x = 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.
Rezolvarea oricăror ecuații liniare se reduce la rezolvarea ecuațiilor de forma
ax + b = 0.
Să mutăm termenul liber din partea stângă a ecuației la dreapta, schimbând semnul din fața lui b la opus, obținem
Dacă a ≠ 0, atunci x = ‒ b/a .
Exemplul 1. Rezolvați ecuația 3x + 2 =11.
Să mutăm 2 din partea stângă a ecuației la dreapta, schimbând semnul din fața lui 2 în opus, obținem
3x = 11 – 2.
Să facem scăderea, atunci
3x = 9.
Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x = 9:3.
Aceasta înseamnă că valoarea x = 3 este soluția sau rădăcina ecuației.
Răspuns: x = 3.
Dacă a = 0 și b = 0, atunci obținem ecuația 0x = 0. Această ecuație are infinit de soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0 obținem 0, dar și b este egal cu 0. Soluția acestei ecuații este orice număr.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
Să extindem parantezele:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Iată câțiva termeni similari:
0x = 0.
Răspuns: x - orice număr.
Dacă a = 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x = - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0 obținem 0, dar b ≠ 0.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația x + 8 = x + 5.
Să grupăm termeni care conțin necunoscute în partea stângă și termeni liberi în partea dreaptă:
x – x = 5 – 8.
Iată câțiva termeni similari:
0х = ‒ 3.
Răspuns: fără soluții.
Pe figura 1 prezintă o diagramă pentru rezolvarea unei ecuații liniare
Să întocmim o schemă generală de rezolvare a ecuațiilor cu o variabilă. Să luăm în considerare soluția exemplului 4.
Exemplul 4. Să presupunem că trebuie să rezolvăm ecuația
1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.
2) După reducere obținem
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) Pentru a separa termenii care conțin termeni necunoscuți și cei liberi, deschideți parantezele:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) Să grupăm într-o parte termenii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - termeni liberi:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Să prezentăm termeni similari:
- 22х = - 154.
6) Împărțiți la – 22, obținem
x = 7.
După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.
In general asa ecuațiile pot fi rezolvate folosind următoarea schemă:
a) aduceți ecuația la forma sa întreagă;
b) deschideți parantezele;
c) grupează termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației, iar termenii liberi în cealaltă;
d) aduce membri similari;
e) rezolvați o ecuație de forma aх = b, care s-a obținut după aducerea unor termeni similari.
Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Când rezolvi multe altele ecuații simple trebuie să începi nu de la prima, ci de la a doua ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. 13) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.
Exemplul 5. Rezolvați ecuația 2x = 1/4.
Aflați necunoscutul x = 1/4: 2,
x = 1/8 .
Să ne uităm la rezolvarea unor ecuații liniare găsite în examenul de stat principal.
Exemplul 6. Rezolvați ecuația 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
Răspuns: - 0,125
Exemplul 7. Rezolvați ecuația – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Răspuns: 2.3
Exemplul 8. Rezolvați ecuația
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Exemplul 9. Aflați f(6) dacă f (x + 2) = 3 7
Soluţie
Deoarece trebuie să găsim f(6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 = 6.
Rezolvăm ecuația liniară x + 2 = 6,
obținem x = 6 – 2, x = 4.
Dacă x = 4 atunci
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Raspuns: 27.
Dacă mai aveți întrebări sau doriți să înțelegeți mai bine rezolvarea ecuațiilor, înscrieți-vă la lecțiile mele din PROGRAM. Voi fi bucuros să vă ajut!
TutorOnline vă recomandă, de asemenea, să vizionați o nouă lecție video de la profesorul nostru Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Un sistem de ecuații liniare este un set de mai multe ecuații liniare considerate împreună.
Un sistem poate avea orice număr de ecuații cu orice număr de necunoscute.
O soluție a unui sistem de ecuații este un set de valori de necunoscute care satisface toate ecuațiile sistemului, adică transformându-le în identități.
Un sistem care are o soluție se numește consistent; în caz contrar, se numește inconsecvent.
Pentru rezolvarea sistemului sunt folosite diferite metode.
Lăsa 
(numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute).
Metoda Cramer
Luați în considerare rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute:
(7)
Pentru a găsi necunoscute 
Să aplicăm formula lui Cramer:
(8)
Unde 
- determinant al sistemului, ale cărui elemente sunt coeficienții necunoscutelor:
.
obtinut prin inlocuirea primei coloane a determinantului 
coloana de membri liberi:
.
De asemenea:
;
.
Exemplul 1. Rezolvați sistemul folosind formula lui Cramer:
.
Soluție: Să folosim formulele (8):
;
;
;
;
Răspuns: 
.
Pentru orice sistem 
ecuații liniare cu 
necunoscutele pot fi afirmate:
Soluție matriceală
Să considerăm rezolvarea sistemului (7) din trei ecuații liniare cu trei necunoscute folosind o metodă matriceală.
Folosind regulile înmulțirii matriceale, acest sistem de ecuații poate fi scris astfel: 
, Unde
.
Lasă matricea 
nedegenerate, adică 
. Înmulțirea ambelor părți ale ecuației matriceale din stânga cu matricea 
, inversul matricei 
, primim: 
.
Având în vedere că 
, avem
(9)
Exemplul 2. Rezolvați sistemul folosind metoda matricei:
.
Soluție: Să introducem matricele:
- din coeficienții necunoscutelor;
- coloana de membri liberi.
Apoi sistemul poate fi scris ca o ecuație matriceală: 
.
Să folosim formula (9). Să găsim matricea inversă 
conform formulei (6):
;
.
Prin urmare,
A primit:
.
Răspuns: 
.
Metoda de eliminare secvențială a necunoscutelor (metoda Gauss)
Ideea principală a metodei utilizate este eliminarea secvenţială a necunoscutelor. Să explicăm semnificația acestei metode folosind un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:
.
Să presupunem că 
(Dacă 
, apoi schimbam ordinea ecuatiilor, alegand ca prima ecuatie cea in care coeficientul la 
nu este egal cu zero).
Primul pas: a) împărțiți ecuația 
pe 
; b) înmulțiți ecuația rezultată cu 
si scade din 
; c) apoi înmulțiți rezultatul cu 
si scade din 
. Ca rezultat al primului pas vom avea sistemul:
,
Al doilea pas: ne ocupăm de ecuație 
Și 
exact la fel ca în cazul ecuațiilor 
.
Ca urmare, sistemul original este transformat în așa-numita formă în trepte:
Din sistemul transformat, toate necunoscutele sunt determinate secvenţial fără dificultate.
Cometariu. În practică, este mai convenabil să reduceți la o formă treptată nu sistemul de ecuații în sine, ci o matrice de coeficienți, necunoscute și termeni liberi.
Exemplul 3. Rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:
.
Vom scrie trecerea de la o matrice la alta folosind semnul de echivalență ~.
~
~
~
~
~
.
Folosind matricea rezultată, scriem sistemul transformat:
.
Răspuns: 
.
Notă: Dacă sistemul are o soluție unică, atunci sistemul de trepte se reduce la una triunghiulară, adică la una în care ultima ecuație va conține o necunoscută. În cazul unui sistem incert, adică unul în care numărul de necunoscute este mai mare decât numărul de ecuații liniar independente, nu va exista un sistem triunghiular, deoarece ultima ecuație va conține mai mult de o necunoscută (sistemul are o număr infinit de soluții). Când sistemul este inconsecvent, atunci, după ce l-a redus la o formă treptată, va conține cel puțin unul 
valoarea formei 
, adică o ecuație în care toate necunoscutele au coeficienți zero și partea dreaptă este diferită de zero (sistemul nu are soluții). Metoda Gauss este aplicabilă unui sistem arbitrar de ecuații liniare (pentru orice 
Și 
).
Teoremă de existență pentru o soluție a unui sistem de ecuații liniare
La rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss, răspunsul la întrebarea dacă acest sistem este compatibil sau inconsecvent poate fi dat doar la sfârșitul calculelor. Cu toate acestea, este adesea important să se rezolve problema compatibilității sau incompatibilității unui sistem de ecuații fără a găsi soluțiile în sine. Răspunsul la această întrebare este dat de următoarea teoremă Kronecker-Capelli.
Să fie dat sistemul 
ecuații liniare cu 
necunoscut:
(10)
Pentru ca sistemul (10) să fie consecvent, este necesar și suficient ca rangul matricei sistemului
.
a fost egal cu rangul matricei sale extinse
.
Mai mult, dacă 
, atunci sistemul (10) are o soluție unică; dacă 
, atunci sistemul are un număr infinit de soluții.
Considerăm un sistem omogen (toți termenii liberi sunt egali cu zero) de ecuații liniare:
.
Acest sistem este întotdeauna consistent, deoarece are o soluție zero.
Următoarea teoremă oferă condiții în care sistemul are și alte soluții decât zero.
Terema. Pentru a sistem omogen ecuațiile de linie are o soluție zero, este necesar și suficient ca determinantul acestuia 
a fost egal cu zero:
.
Astfel, dacă 
, atunci soluția este singura. Dacă 
, atunci există un număr infinit de alte soluții diferite de zero. Să indicăm una dintre modalitățile de a găsi soluții pentru un sistem omogen de trei ecuații liniare cu trei necunoscute în cazul 
.
Se poate dovedi că dacă 
, iar prima și a doua ecuație sunt disproporționate (liniar independente), atunci a treia ecuație este o consecință a primelor două. Rezolvarea unui sistem omogen de trei ecuații cu trei necunoscute se reduce la soluția a două ecuații cu trei necunoscute. Apare o așa-numită necunoscută gratuită, căreia îi pot fi atribuite valori arbitrare.
Exemplul 4. Găsiți toate soluțiile sistemului:
.
Soluţie. Determinant al acestui sistem
.
Prin urmare, sistemul are soluții zero. Puteți observa că primele două ecuații, de exemplu, nu sunt proporționale, prin urmare, sunt liniar independente. A treia este o consecință a primelor două (se dovedește dacă adaugi de două ori pe a doua la prima ecuație). Respingându-l, obținem un sistem de două ecuații cu trei necunoscute:
.
Presupunând, de exemplu, 
, primim
.
Rezolvând un sistem de două ecuații liniare, exprimăm 
Și 
prin 
:
. Prin urmare, soluția sistemului poate fi scrisă astfel: 
, Unde 
- număr arbitrar.
Exemplul 5. Găsiți toate soluțiile sistemului:
.
Soluţie. Este ușor de observat că în acest sistem există o singură ecuație independentă (celelalte două sunt proporționale cu aceasta). Un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute a fost redus la o ecuație cu trei necunoscute. Apar două necunoscute gratuite. Aflarea, de exemplu, din prima ecuație 
pentru arbitrar 
Și 
, obținem soluții la acest sistem. Forma generală a soluției poate fi scrisă, unde 
Și 
- numere arbitrare.
Întrebări de autotest
Formulați regula lui Cramer pentru rezolvarea sistemului 
ecuații liniare cu 
necunoscut.
Care este esența metodei matriceale de rezolvare a sistemelor?
Care este metoda lui Gauss pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare?
Prezentați teorema Kronecker-Capelli.
Formulați o condiție necesară și suficientă pentru existența unor soluții nenule la un sistem omogen de ecuații liniare.
Exemple de auto-rezolvare
Găsiți toate soluțiile sistemelor:
1.
; 2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
;
7.
; 8.
;
9.
; 10.
;
11.
; 12.
;
13.
;
14.
;
15.
.
Stabiliți la ce valori 
Și 
sistem de ecuații
a) are o soluție unică;
b) nu are soluție;
c) are infinit de soluţii.
16.
; 17.
;
Găsiți toate soluțiile următoarelor sisteme omogene:
18.
; 19.
;
20.
; 21.
;
22.
; 23.
;
Răspunsuri la exemple
1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;
5.
- număr arbitrar.
6.
, Unde 
- număr arbitrar.
7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;
11.
, Unde 
- număr arbitrar.
12. , unde 
Și 
- numere arbitrare.
13.
; 14.
Unde 
Și 
- numere arbitrare.
15. Ǿ; 16. a) 
; b) 
; V) 
.
17. a) 
; b) 
; V) 
;
18.
; 19.
; 20., unde 
- număr arbitrar.
21. , unde 
- număr arbitrar.
22. , unde 
- număr arbitrar.
23. , unde 
Și 
- numere arbitrare.
Sistemele de trei ecuații liniare cu trei necunoscute au forma:
Unde a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s – numere date; x, y, z– necunoscut. Numerele A, b, c, e, f, g, p, q, r – coeficienţi pentru necunoscut ; d, h, s – membri liberi.Forma normală a unei ecuații de gradul întâi cu trei necunoscute .
Dacă în Ec.1 gradul cu 3 necunoscut X yȘi z, faceți anumite transformări, atunci vom aduce ecuația într-o formă (numită normală), în care sunt doar trei termeni în partea stângă a ecuației: unul cuX, altul cu la iar al treilea cu z, iar în partea dreaptă va fi un termen care nu conține necunoscute.
EXEMPLU:
Ecuația:
5X – 3la – 4z = –12.
Aspectul său general este următorul :
ax + by + cz = d,
Undea, b, c Șid unele numere relative .
Incertitudinea a două și o ecuație cu trei necunoscute .
EXEMPLU:
Să presupunem că ni se oferă un sistem 2 ecuatii cu3 necunoscut:
x = 2, y = 3 ;
Aceasta înseamnă că acest sistem cu 3 necunoscutele sunt satisfăcute la
x = 2 ; y = 3; z = 1.
Acum să-l dăm necunoscutului zun alt sens, de exemplu z = 0, și înlocuiți această valoare în acest sistem de ecuații, obținem :
x = 20 / 11 = 1 9 / 11 ;
y = 2 4 / 11 .
Aceasta înseamnă că acest sistem este satisfăcut când
x = 1 9 / 11 ;
y = 2 4 / 11 Și
z = 0 .
Fiind numit pentruz mai mult (a treia) valoare, vom primi din nou sistemul 2 ecuatii cu2 necunoscut, din care găsim noi valori pentru X Șila. Întrucât pentruzputem atribui oricâte numere diferite dorim, apoi pentru X Șila putem obține câte valori ne dorim (corespunzătoare valorilor luate z ).Mijloace, 2 ecuatii cu3 necunoscutele permit nenumărate soluții ;cu alte cuvinte, așa
sistem incert .
Va exista o incertitudine și mai mare dacă va exista1 ecuația c 3 necunoscut. Atunci va fi posibil pentru unii2 necunoscutele atribuie numere arbitrare; a treia necunoscută va fi găsită din ecuația dată, dacă înlocuiți în el valori luate în mod arbitrar cu două necunoscute.
Pentru a putea găsi valori numerice specifice pentru trei necunoscuteX, laȘi z, este necesar ca sistemul să fie specificat3 ecuații. Un astfel de sistem poate fi rezolvat prin substituție, precum și prin adunarea sau scăderea ecuațiilor. Să demonstrăm utilizarea acestor metode folosind următorul exemplu (fiecare ecuație este redusă anterior la forma normală):
EXEMPLU:
Metoda de înlocuire .
Dintr-o ecuație, de exemplu din prima, determinăm o necunoscută, de exemplu X, în funcţie de celelalte două necunoscute :
x =1, y = 3, z = 2
(ce se poate verifica prin verificare).
Metoda de adunare sau scădere .
Din3 dintre aceste ecuații, să luăm câteva, de exemplu. 1 -e și2 -e și, după ce au egalat coeficienții din ei în fața unei necunoscute, de exemplu, în fața z, excludem această necunoscută din ele prin adunare sau scădere ;de aici obținem o ecuație c 2 necunoscutX Șila. Apoi, să luăm alte două ecuații din 3 date, de ex.1 -e și3 -e(sau 2 -e și3 -e), și în același mod excludem din ele aceeași necunoscută, adică. z;de aici obținem o altă ecuație cu X Șila:
x = 1, y = 3 .
Să introducem aceste numere într-una dintre cele trei ecuații date, de exemplu, în prima :
3 × 1 – 2 × 3 + 5 z = 7;
5 z = 7 – 3 + 6 = 10;
z = 2.
Cometariu.
În aceleași două moduri putem aduce sistemul4 ecuatii cu 4 necunoscut de sistem3 ecuatii cu 3 necunoscut (și acest sistem - pentru sistem2 ecuatii cu 2 necunoscut etc.). În general sistemulm ecuatii cu mnecunoscute putem duce la un sistemm –1 ecuatii cu m –1 necunoscut (și acest sistem la sistemm –2 ecuatii cu m –2 necunoscut etc.).
Câteva cazuri speciale de sisteme de ecuații .
Cazul în care nu toate necunoscutele sunt incluse în fiecare dintre aceste ecuații .
EXEMPLU:
