Pentru a determina aria unui triunghi, puteți utiliza diferite formule. Dintre toate metodele, cea mai ușoară și mai des folosită este să înmulțiți înălțimea cu lungimea bazei și apoi să împărțiți rezultatul la două. in orice caz aceasta metoda departe de singurul. Mai jos puteți citi cum să găsiți aria unui triunghi folosind diferite formule.

Separat, vom analiza modalități de a calcula aria unor tipuri specifice de triunghiuri - dreptunghiulare, isoscel și echilaterale. Însoțim fiecare formulă cu o scurtă explicație care vă va ajuta să înțelegeți esența ei.

Metode universale pentru găsirea ariei unui triunghi

Formulele de mai jos folosesc notații speciale. Vom descifra fiecare dintre ele:

  • a, b, c – lungimile celor trei laturi ale figurii pe care o luăm în considerare;
  • r este raza cercului care poate fi înscris în triunghiul nostru;
  • R este raza cercului care poate fi descris în jurul acestuia;
  • α este mărimea unghiului format de laturile b și c;
  • β este mărimea unghiului dintre a și c;
  • γ este mărimea unghiului format de laturile a și b;
  • h este înălțimea triunghiului nostru, coborâtă din unghiul α în latura a;
  • p – jumătate din suma laturilor a, b și c.

Este clar din punct de vedere logic de ce puteți găsi aria unui triunghi în acest fel. Triunghiul poate fi completat cu ușurință într-un paralelogram, în care o latură a triunghiului va acționa ca o diagonală. Aria unui paralelogram se găsește prin înmulțirea lungimii uneia dintre laturile sale cu valoarea înălțimii trase de el. Diagonala împarte acest paralelogram condiționat în 2 triunghiuri identice. Prin urmare, este destul de evident că aria triunghiului nostru original trebuie să fie egală cu jumătate din aria acestui paralelogram auxiliar.

S=½ a b sin γ

Conform acestei formule, aria unui triunghi se găsește înmulțind lungimile celor două laturi ale sale, adică a și b, cu sinusul unghiului format de acestea. Această formulă este derivată logic din cea anterioară. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul β la latura b, atunci, conform proprietăților triunghi dreptunghic, la înmulțirea lungimii laturii a cu sinusul unghiului γ, obținem înălțimea triunghiului, adică h.

Aria figurii în cauză se găsește înmulțind jumătate din raza cercului care poate fi înscris în el cu perimetrul său. Cu alte cuvinte, găsim produsul semiperimetrului și raza cercului menționat.

S= a b c/4R

Conform acestei formule, valoarea de care avem nevoie poate fi găsită împărțind produsul laturilor figurii la 4 raze ale cercului descris în jurul acesteia.

Aceste formule sunt universale, deoarece fac posibilă determinarea ariei oricărui triunghi (scalen, isoscel, echilateral, dreptunghiular). Acest lucru se poate face folosind calcule mai complexe, asupra cărora nu ne vom opri în detaliu.

Arii de triunghiuri cu proprietăți specifice

Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic? Particularitatea acestei figuri este că cele două laturi ale sale sunt simultan înălțimile sale. Dacă a și b sunt catete și c devine ipotenuză, atunci găsim aria astfel:

Cum să găsești zona triunghi isoscel? Are două laturi cu lungimea a și o parte cu lungimea b. În consecință, aria sa poate fi determinată împărțind la 2 produsul pătratului laturii a la sinusul unghiului γ.

Cum să găsiți aria unui triunghi echilateral? În ea, lungimea tuturor laturilor este egală cu a, iar mărimea tuturor unghiurilor este α. Înălțimea sa este egală cu jumătate din produsul lungimii laturii a și rădăcinii pătrate a lui 3. Pentru a găsi aria unui triunghi obișnuit, trebuie să înmulțiți pătratul laturii a cu rădăcina pătrată a lui 3 și să împărțiți cu 4.

După cum vă amintiți de la curiculumul scolar Potrivit geometriei, un triunghi este o figură formată din trei segmente legate prin trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă. Un triunghi formează trei unghiuri, de unde și numele figurii. Definiția poate fi diferită. Un triunghi poate fi numit și poligon cu trei unghiuri, răspunsul va fi și el corect. Triunghiurile sunt împărțite în funcție de numărul de laturi egale și de dimensiunea unghiurilor din figuri. Astfel, triunghiurile se disting ca isoscele, echilaterale și scalene, precum și dreptunghiulare, acute și, respectiv, obtuze.

Există o mulțime de formule pentru calcularea ariei unui triunghi. Alegeți cum să găsiți aria unui triunghi, de ex. Ce formulă să folosești depinde de tine. Dar este de remarcat doar câteva dintre notațiile care sunt utilizate în multe formule pentru calcularea ariei unui triunghi. Deci, amintiți-vă:

S este aria triunghiului,

a, b, c sunt laturile triunghiului,

h este înălțimea triunghiului,

R este raza cercului circumscris,

p este semiperimetrul.

Iată notațiile de bază care vă pot fi utile dacă ați uitat complet cursul de geometrie. Mai jos sunt cele mai de înțeles și nu opțiuni complexe calcularea ariei necunoscute și misterioase a unui triunghi. Nu este dificil și va fi util atât pentru nevoile casnice, cât și pentru a vă ajuta copiii. Să ne amintim cum să calculăm cât mai ușor aria unui triunghi:

În cazul nostru, aria triunghiului este: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm². Amintiți-vă că aria se măsoară în centimetri pătrați (cm2).

Triunghi dreptunghic și aria lui.

Un triunghi dreptunghic este un triunghi în care un unghi este egal cu 90 de grade (de aici numit drept). Un unghi drept este format din două drepte perpendiculare (în cazul unui triunghi, două segmente perpendiculare). Într-un triunghi dreptunghic nu poate exista decât un singur unghi drept, pentru că... suma tuturor unghiurilor unui triunghi este egală cu 180 de grade. Se pare că alte 2 unghiuri ar trebui să împartă restul de 90 de grade, de exemplu 70 și 20, 45 și 45 etc. Deci, vă amintiți principalul lucru, tot ce rămâne este să aflați cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic. Să ne imaginăm că avem un astfel de triunghi dreptunghic în fața noastră și trebuie să-i găsim aria S.

1. Cel mai simplu mod de a determina aria unui triunghi dreptunghic este calculat folosind următoarea formulă:

În cazul nostru, aria triunghiului dreptunghic este: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm pătrați.

În principiu, nu mai este nevoie să verificați aria triunghiului în alte moduri, deoarece Doar acesta va fi util și va ajuta în viața de zi cu zi. Dar există și opțiuni pentru măsurarea ariei unui triunghi prin unghiuri ascuțite.

2. Pentru alte metode de calcul, trebuie să aveți un tabel de cosinus, sinusuri și tangente. Judecă singur, iată câteva opțiuni pentru calcularea ariei unui triunghi dreptunghic care poate fi încă folosit:

Am decis să folosim prima formulă și cu câteva pete minore (am desenat-o într-un caiet și am folosit o riglă și un raportor vechi), dar am obținut calculul corect:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Am obținut următoarele rezultate: 3,6=3,7, dar ținând cont de deplasarea celulelor, putem ierta această nuanță.

Triunghiul isoscel și aria sa.

Dacă vă confruntați cu sarcina de a calcula formula pentru un triunghi isoscel, atunci cel mai simplu mod este să utilizați principalul și ceea ce este considerat a fi formula clasică pentru aria unui triunghi.

Dar mai întâi, înainte de a găsi aria unui triunghi isoscel, să aflăm ce fel de figură este aceasta. Un triunghi isoscel este un triunghi în care două laturi au aceeași lungime. Aceste două laturi se numesc laterale, a treia latură se numește bază. Nu confundați un triunghi isoscel cu un triunghi echilateral, adică. un triunghi regulat cu toate cele trei laturi egale. Într-un astfel de triunghi nu există tendințe speciale la unghiuri, sau mai degrabă la dimensiunea lor. Cu toate acestea, unghiurile de la bază într-un triunghi isoscel sunt egale, dar diferite de unghiul dintre laturile egale. Deci, știți deja prima și principala formulă; rămâne să aflați ce alte formule pentru determinarea ariei unui triunghi isoscel sunt cunoscute:

Uneori, în viață, există situații în care trebuie să vă adânciți în memorie în căutarea cunoștințelor școlare de mult uitate. De exemplu, trebuie să determinați suprafața unui teren în formă triunghiulară sau a venit timpul pentru o nouă renovare într-un apartament sau o casă privată și trebuie să calculați cât material va fi necesar pentru o suprafață cu o formă triunghiulară. A existat o perioadă în care ai putea rezolva o astfel de problemă în câteva minute, dar acum încerci cu disperare să-ți amintești cum să determini aria unui triunghi?

Nu vă faceți griji! La urma urmei, este destul de normal când creierul unei persoane decide să transfere cunoștințe neutilizate de multă vreme undeva într-un colț îndepărtat, din care uneori nu este atât de ușor să le extragi. Pentru a nu trebui să vă luptați cu căutarea cunoștințelor școlare uitate pentru a rezolva o astfel de problemă, acest articol conține diverse metode care facilitează găsirea zonei necesare a unui triunghi.

Este bine cunoscut faptul că un triunghi este un tip de poligon care este limitat la numărul minim posibil de laturi. În principiu, orice poligon poate fi împărțit în mai multe triunghiuri conectând vârfurile sale cu segmente care nu îi intersectează laturile. Prin urmare, cunoscând triunghiul, puteți calcula aria aproape oricărei figuri.

Dintre toate triunghiurile posibile care apar în viață, se pot distinge următoarele tipuri particulare: și dreptunghiulare.

Cel mai simplu mod de a calcula aria unui triunghi este atunci când unul dintre unghiurile sale este drept, adică în cazul unui triunghi dreptunghic. Este ușor de observat că este o jumătate de dreptunghi. Prin urmare, aria sa este egală cu jumătate din produsul laturilor care formează un unghi drept între ele.

Dacă cunoaștem înălțimea unui triunghi, coborât de la unul dintre vârfurile sale pe latura opusă, și lungimea acestei laturi, care se numește bază, atunci aria se calculează ca jumătate din produsul înălțimii și bazei. Aceasta se scrie folosind următoarea formulă:

S = 1/2*b*h, în care

S este aria necesară a triunghiului;

b, h - respectiv, înălțimea și baza triunghiului.

Este atât de ușor să calculați aria unui triunghi isoscel, deoarece înălțimea va diviza latura opusă și poate fi măsurată cu ușurință. Dacă aria este determinată, atunci este convenabil să luați lungimea uneia dintre laturile care formează un unghi drept ca înălțime.

Toate acestea sunt bineînțeles bune, dar cum să determinați dacă unul dintre unghiurile unui triunghi este drept sau nu? Dacă dimensiunea figurii noastre este mică, atunci putem folosi un unghi de construcție, un triunghi de desen, o carte poștală sau un alt obiect cu formă dreptunghiulară.

Dar dacă avem un teren triunghiular? În acest caz, procedați după cum urmează: numărați din partea de sus a așteptărilor unghi drept pe o parte distanța este multiplu de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), iar pe cealaltă se măsoară distanța în aceeași proporție care este multiplu de 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) . Acum trebuie să măsurați distanța dintre punctele de capăt ale acestor două segmente. Dacă rezultatul este un multiplu de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), atunci putem spune că unghiul este corect.

Dacă lungimea fiecăreia dintre cele trei laturi ale figurii noastre este cunoscută, atunci aria triunghiului poate fi determinată folosind formula lui Heron. Pentru ca acesta să aibă o formă mai simplă, se folosește o nouă valoare, care se numește semiperimetru. Aceasta este suma tuturor laturilor triunghiului nostru, împărțite la jumătate. După ce semi-perimetrul a fost calculat, puteți începe să determinați aria folosind formula:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), unde

sqrt - Rădăcină pătrată;

p - valoarea semiperimetrului (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - muchiile (laturile) triunghiului.

Dar dacă triunghiul are formă neregulată? Există două moduri posibile aici. Prima dintre ele este să încercați să împărțiți o astfel de figură în două triunghiuri dreptunghiulare, a căror sumă a ariilor este calculată separat și apoi adăugată. Sau, dacă unghiul dintre două laturi și dimensiunea acestor laturi sunt cunoscute, atunci aplicați formula:

S = 0,5 * ab * sinC, unde

a,b - laturile triunghiului;

c este dimensiunea unghiului dintre aceste laturi.

Cel din urmă caz ​​este rar în practică, dar, cu toate acestea, totul este posibil în viață, așa că formula de mai sus nu va fi de prisos. Succes cu calculele tale!

Pătrat figură geometrică - o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței limitată de conturul închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.

Formulele ariei triunghiulare

  1. Formula pentru aria unui triunghi după latură și înălțime
    Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură
  2. Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului circumferitor
  3. Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului înscris
    Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris.
    4. unde S este aria triunghiului,
    - lungimile laturilor triunghiului,
    - înălțimea triunghiului,
    - unghiul dintre laturi și,
    - raza cercului înscris,
    R - raza cercului circumscris,

Formule de suprafață pătrată

  1. Formula pentru aria unui pătrat cu lungimea laturii
    Suprafata patrata egal cu pătratul lungimii laturii sale.
  2. Formula pentru aria unui pătrat de-a lungul lungimii diagonalei
    Suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.
    S=1 2
    2
    3. unde S este aria pătratului,
    - lungimea laturii pătratului,
    - lungimea diagonalei pătratului.

Formula zonei dreptunghiulare

    Aria unui dreptunghi egal cu produsul lungimilor celor două laturi adiacente ale sale

    unde S este aria dreptunghiului,
    - lungimile laturilor dreptunghiului.

Formule cu arii de paralelogram

  1. Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe lungimea și înălțimea laturii
    Aria unui paralelogram
  2. Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe două laturi și unghiul dintre ele
    Aria unui paralelogram este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.

    a b sin α

    3. unde S este aria paralelogramului,
    - lungimile laturilor paralelogramului,
    - lungimea înălțimii paralelogramului,
    - unghiul dintre laturile paralelogramului.

Formule pentru aria unui romb

  1. Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și înălțimea laturii
    Zona unui romb egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură.
  2. Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și unghiul laturii
    Zona unui romb este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului.
  3. Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimile diagonalelor sale
    Zona unui romb egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale.
    4. unde S este aria rombului,
    - lungimea laturii rombului,
    - lungimea înălțimii rombului,
    - unghiul dintre laturile rombului,
    1, 2 - lungimile diagonalelor.

Formule ale zonei trapezoidale

  1. Formula lui Heron pentru trapez

    Unde S este aria trapezului,
    - lungimile bazelor trapezului,
    - lungimile laturilor trapezului,

Puteți găsi peste 10 formule pentru calcularea ariei unui triunghi pe Internet Multe dintre ele sunt folosite în probleme cu laturile și unghiurile cunoscute ale triunghiului. Cu toate acestea, există o serie de exemple complexe în care, conform condițiilor atribuirii, sunt cunoscute doar o latură și unghiurile unui triunghi, sau raza unui cerc circumscris sau înscris și încă o caracteristică. În astfel de cazuri, o formulă simplă nu poate fi aplicată.

Formulele de mai jos vă vor permite să rezolvați 95 la sută din problemele în care trebuie să găsiți aria unui triunghi.
Să trecem la a lua în considerare formulele pentru zone comune.
Luați în considerare triunghiul prezentat în figura de mai jos

În figură și mai jos în formule sunt introduse denumirile clasice ale tuturor caracteristicilor sale.
a,b,c – laturile triunghiului,
R – raza cercului circumscris,
r – raza cercului înscris,
h[b],h[a],h[c] – înălțimi trasate în conformitate cu laturile a,b,c.
alfa, beta, hamma – unghiuri în apropierea vârfurilor.

Formule de bază pentru aria unui triunghi

1. Aria este egală cu jumătate din produsul dintre latura triunghiului și înălțimea coborâtă pe această latură. În limbajul formulelor, această definiție poate fi scrisă după cum urmează

Astfel, dacă latura și înălțimea sunt cunoscute, atunci fiecare elev va găsi zona.
Apropo, din această formulă se poate deriva o relație utilă între înălțimi

2. Dacă luăm în considerare că înălțimea unui triunghi prin latura adiacentă se exprimă prin dependență

Apoi, prima formulă de zonă este urmată de a doua formulă de același tip



Priviți cu atenție formulele - sunt ușor de reținut, deoarece munca implică două laturi și unghiul dintre ele. Dacă desemnăm corect laturile și unghiurile triunghiului (ca în figura de mai sus), vom obține două laturile a,b iar unghiul este legat de al treilea Cu (hamma).

3. Pentru unghiurile unui triunghi, relația este adevărată

Dependența vă permite să utilizați următoarele formule pentru aria unui triunghi în calcule:



Exemplele de această dependență sunt extrem de rare, dar trebuie să vă amintiți că există o astfel de formulă.

4. Dacă se cunosc latura și două unghiuri adiacente, atunci aria se află prin formula

5. Formula pentru aria în termeni de latură și cotangente a unghiurilor adiacente este următoarea

Prin rearanjarea indexurilor puteți obține dependențe pentru alte părți.

6. Formula ariei de mai jos este folosită în probleme când vârfurile unui triunghi sunt specificate pe plan prin coordonate. În acest caz, aria este egală cu jumătate din determinantul luat modulo.



7. Formula lui Heron folosit în exemple cu laturile cunoscute ale unui triunghi.
Mai întâi găsiți semiperimetrul triunghiului

Și apoi determinați zona folosind formula

sau

Este destul de des folosit în codul programelor de calculator.

8. Dacă toate înălțimile triunghiului sunt cunoscute, atunci aria este determinată de formula

Este dificil de calculat pe un calculator, dar în pachetele MathCad, Mathematica, Maple zona este „timpul doi”.

9. Următoarele formule folosesc razele cunoscute ale cercurilor înscrise și circumscrise.

În special, dacă raza și laturile triunghiului sau perimetrul acestuia sunt cunoscute, atunci aria se calculează conform formulei

10. În exemplele în care sunt date laturile și raza sau diametrul cercului circumscris, aria se află folosind formula

11. Următoarea formulă determină aria unui triunghi în ceea ce privește latura și unghiurile triunghiului.

Și în sfârșit - cazuri speciale:
Aria unui triunghi dreptunghic cu catetele a și b egale cu jumătate din produsul lor

Formula pentru aria unui triunghi echilateral (regulat).=

= un sfert din produsul pătratului laturii și rădăcina lui trei.