INTEGRAL NEDETERMINAT

Începem să studiem integralele, care sunt utilizate pe scară largă în multe domenii ale tehnologiei. Să începem studiul nostru cu integrala nedefinită.

Antiderivat și integrală nedefinită

Sarcina principală a calculului diferențial este diferențierea funcțiilor date, cu alte cuvinte, sarcina de a găsi rata de schimbare a unei anumite funcții. Numeroase întrebări de ştiinţă şi tehnologie duc la formularea problemei inverse: conform funcţie dată f (x) restabiliți o funcție F(x) pentru care f (x) ar fi o derivată: F ¢ (x) = f (x).

Definiție. O funcție F(x) se numește antiderivată pentru f (x) dacă

F ¢ (x) = f (x) sau dF(x) = f (x) dx.

Exemple. 1) f (x) = 3x 2 , F (x) = x 3 ;

2) f (x) = cosx, F(x) = sinx.

Este ușor de observat că această funcție f (x) = 3x 2 nu corespunde unei antiderivate, ci unei mulțimi: x 3 ; x 3 + 1; x 3 - 1; x 3 + 5; x 3 - 100; x 3 + C.

Într-adevăr, (x 3)¢ = 3x 2 ; (x 3 + 1)¢ = 3x 2 ; (x 3 - 1) ¢ = 3x 2 ; . . . . (x 3 + C)¢ = 3x 2.

În general, dacă F(x) este o antiderivată a unei anumite funcții f (x), atunci funcția F(x) + c, „СОR va fi și o funcție antiderivată, deoarece:

¢ = F¢(x) = f (x).

Mulțimea tuturor antiderivatelor lui f (x) este epuizată de expresii de forma F(x) + C, sau există antiderivate ale acestei funcții care nu pot fi obținute din F(x) + C pentru orice valoare a lui C? Rezultă că afirmația este adevărată: nu există alte antiderivate ale funcției f (x). Cu alte cuvinte, dacă F 1 (x) și F 2 (x) sunt două antiderivate pentru f (x), atunci F 1 (x) = F 2 (x) + C,

unde C este o constantă.

Într-adevăr, pentru că F 1 (x) și F 2 (x) sunt antiderivate pentru f (x), atunci

Să luăm în considerare diferența pentru toate x.

Fie x 0 o valoare fixă ​​a argumentului,

x este o altă valoare arbitrară.

Conform formulei lui Lagrange

unde este un număr între x 0 și x. Deoarece:

Fiecare funcție f (x) are o antiderivată?

Teorema. Dacă o funcție f (x) este continuă pe un anumit interval, atunci are o antiderivată asupra ei (nicio dovadă).

Definiție. Dacă F (x) este un fel de antiderivată pentru f (x), atunci expresia F (x) + C, unde C este o constantă arbitrară, se numește integrală nedefinită și se notează: , în timp ce f (x) se numește o funcție integrand și expresia f (x) dx - prin integrand:

Acțiunea de a găsi o integrală nedefinită, în caz contrar, de a găsi toate antiderivatele unei funcții date, se numește integrare această funcție. Este evident că operaţiile de diferenţiere şi integrare sunt reciproc inverse.

Adunarea și scăderea, exponențiarea și extragerea rădăcinilor, înmulțirea și împărțirea oferă exemple de operații matematice inverse.

Definiția unei funcții antiderivate

• Funcţie y=F(x) se numește antiderivată a funcției y=f(x) la un interval dat X, dacă pentru toată lumea X ∈X egalitatea este valabilă: F′(x) = f(x)

Poate fi citit în două moduri:

1. f derivata unei functii F
2. F antiderivată a unei funcții f

Proprietatea antiderivatelor

• Dacă F(x)- antiderivată a unei funcţii f(x) pe un interval dat, atunci funcția f(x) are infinit de antiderivate și toate aceste antiderivate pot fi scrise sub forma F(x) + C, unde C este o constantă arbitrară.

Interpretare geometrică

• Grafice ale tuturor antiderivatelor unei funcții date f(x) sunt obținute din graficul oricărei antiderivate prin translații paralele de-a lungul axei O la.

Reguli pentru calcularea antiderivatelor

1. Antiderivată a sumei este egală cu suma antiderivatelor. Dacă F(x)- antiderivat pentru f(x), iar G(x) este o antiderivată pentru g(x), Acea F(x) + G(x)- antiderivat pentru f(x) + g(x).
2. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Dacă F(x)- antiderivat pentru f(x), Și k- constantă, atunci k·F(x)- antiderivat pentru k f(x).
3. Dacă F(x)- antiderivat pentru f(x), Și k, b- constantă și k ≠ 0, Acea 1/k F(kx + b)- antiderivat pentru f(kx + b).

Tine minte!

Orice funcție F(x) = x 2 + C , unde C este o constantă arbitrară și numai o astfel de funcție este o antiderivată pentru funcție f(x) = 2x.

• De exemplu:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, deoarece F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, deoarece F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Relația dintre graficele unei funcții și antiderivată:

1. Dacă graficul unei funcţii f(x)>0 pe interval, apoi graficul antiderivatei sale F(x) crește în acest interval.
2. Dacă graficul unei funcţii f(x) pe interval, apoi graficul antiderivatei sale F(x) scade în acest interval.
3. Dacă f(x)=0, apoi graficul antiderivatei sale F(x)în acest moment se schimbă de la crescător la descrescător (sau invers).

Pentru a desemna antiderivată se folosește semnul integralei nedefinite, adică integrala fără a indica limitele integrării.

Integrală nedefinită

Definiție:

• Nu integrala definita din functia f(x) se numeste expresia F(x) + C, adica multimea tuturor antiderivatelor unei functii date f(x). Integrala nedefinită se notează astfel: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- numita functie integrand;
• f(x) dx- numit integrand;
• X- numită variabila de integrare;
• F(x)- una dintre antiderivatele funcţiei f(x);
• CU- constantă arbitrară.

Proprietățile integralei nedefinite

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Factorul constant al integrandului poate fi scos din semnul integral: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Integrala sumei (diferența) funcțiilor este egală cu suma (diferența) integralelor acestor funcții: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Dacă k, b sunt constante și k ≠ 0, atunci \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.

Tabel cu antiderivate și integrale nedefinite

Funcţie f(x)	Antiderivat F(x) + C	Integrale nedefinite \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\nu =-1	F(x) = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C	\int x ( ^m ) dx = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( x )	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( x ) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e ( ^x ) dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac ( a^x ) ( l na ) + C	\int a ( ^x ) dx = \frac ( a^x ) ( l na ) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \sin ( ^2 ) x )	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = -\ctg x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \cos ( ^2 ) x )	F(x) = \tg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = \tg x + C
f(x) = \sqrt ( x )	F(x) =\frac ( 2x \sqrt ( x ) ) ( 3 ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x ) )	F(x) =2\sqrt ( x ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) )	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) =\arcsin x + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) )	F(x)=\arctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) =\arctg x + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) )	F(x)=\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) =\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) )	F(x)=\arctg \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) ) = \frac ( 1 ) ( a ) \arctg \frac ( x ) ( a ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( 1+x^2 )	F(x)=\arctg + C	\int \frac ( dx ) ( 1+x^2 ) =\arctg + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) (a \not= 0)	F(x)=\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) =\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sin x )	F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sin x ) = l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \cos x )	F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \cos x ) = l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C

formula Newton-Leibniz

Lăsa f(x) această funcție F antiderivatul său arbitrar.

\int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx =F(x)|_ ( a ) ^ ( b )= F(b) - F(a)

Unde F(x)- antiderivat pentru f(x)

Adică integrala funcției f(x) pe un interval este egală cu diferența de antiderivate la puncte bȘi A.

Aria unui trapez curbat

Trapez curbiliniu este o cifră mărginită de graficul unei funcții care este nenegativă și continuă pe un interval f, Axa bouului și liniile drepte x = aȘi x = b.

Pătrat trapez curbat găsit folosind formula Newton-Leibniz:

S= \int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx

Sarcina principală a calculului diferențial este de a găsi diferența unei funcții date sau derivata acesteia. Calculul integral rezolvă problema inversă: dată o diferenţială şi, în consecinţă, derivata unei funcţii necunoscute F(x), trebuie să definiți această funcție. Cu alte cuvinte, având expresia

sau în consecință

,

Unde f(x)– funcție cunoscută, trebuie să găsiți funcția F(x). Funcție necesară F(x) se numeste funcția antiderivatăîn raport cu funcţia f(x). Pentru simplitate, vom presupune că egalitatea (1) este valabilă pentru un interval finit sau infinit.

Definiție: Funcție antiderivată pentru o funcție dată f(x) pe un interval dat se numește o astfel de funcție F(x), a cărui derivată este egală cu f(x) sau a căror diferenţială este egală cu f(x)dx pe intervalul luat în considerare.

De exemplu, una dintre funcțiile antiderivate pentru o funcție va fi , deoarece . Funcția antiderivată nu este unică, deoarece etc. și, prin urmare, funcțiile și așa mai departe. sunt și antiderivate pentru funcție. În consecință, această funcție are un număr infinit de antiderivate.

În exemplul nostru, fiecare două antiderivate diferă unul de celălalt printr-un anumit termen constant. Să arătăm că acest lucru se va întâmpla și în cazul general.

Teorema: Două antiderivate diferite ale aceleiași funcții definite pe un anumit interval diferă una de alta pe acest interval printr-un termen constant.

Dovada: De fapt, lasă f(x)– o funcție definită pe interval , Și F 1 (x), F 2 (x)– primitivele sale, i.e.

Și .

De aici .

y=F 1 (x)

y=F 2 (x)

F 1 (x)

F2(x)

CU

M 2

M 1

X

α

X

α

Y

Orez. 1.

Dar dacă două funcții au aceleași derivate, atunci aceste funcții diferă una de cealaltă printr-un termen constant. Prin urmare,

F 1 (x) - F 2 (x) = C,

Unde CU– valoare constantă. Teorema a fost demonstrată.

Luați în considerare o ilustrație geometrică. Dacă y = F 1 (x) și Y = F 2 (x)

Antiderivate cu aceeași funcție f(x), apoi tangente la graficele lor în puncte cu o abscisă comună X paralele între ele (fig. 1):

tgα = = f(x).

În acest caz, distanța dintre aceste curbe de-a lungul axei OU ramane constant: F 2 (x) – F 1 (x) = C, acestea. aceste curbe sunt într-un fel „paralele” între ele.

Consecinţă: Adăugând la orice funcție antiderivată f(x), definit pe interval , toate constantele posibile CU, vom obține toate antiderivatele pentru funcție f(x).

De fapt, dacă F(x) există o funcţie antiderivată pt f(x), apoi functia F(x)+C, Unde CU- orice constantă va fi și o antiderivată a funcției f(x), deoarece .

Pe de altă parte, am demonstrat că fiecare antiderivată a funcției f(x) poate fi obținută dintr-o funcție F(x) prin adăugarea unui termen constant selectat corespunzător CU.

Prin urmare, expresia F(x) + C, Unde , (2)

Unde F(x)– orice antiderivat pentru o funcție f(x), epuizează întregul set de antiderivate pentru o funcție dată f(x).

În cele ce urmează vom presupune, dacă nu se specifică altfel în mod explicit, că funcția luată în considerare f(x) definit și continuu pe un interval finit sau infinit .

Să introducem acum conceptul de bază al calculului integral - conceptul de integrală nedefinită.

Definiție: Expresie generală pentru toate antiderivatele unei funcții continue date f(x) numită integrală nedefinită a funcției f(x) sau din expresia diferenţială f(x)dxși este indicată prin simbol .

În acest caz, funcția f(x) se numește integrand, iar expresia f(x)dx se numește integrand.

Conform definiției integralei nedefinite, putem scrie

, (3)

C 4

C 3

C 2

C 1

X

Y

Orez. 2.

Unde , constant CU poate lua orice valoare și de aceea se numește constantă arbitrară.

Exemplu. După cum am văzut, pentru o funcție unul dintre antiderivate este funcția. De aceea .

Integrală nedefinită geometric y=F(x)+C reprezintă o familie de curbe „paralele” (Fig. 2).

Am văzut că derivata are numeroase întrebuințări: derivata este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); derivata este panta tangentei la graficul functiei; folosind derivata, puteți examina o funcție pentru monotonitate și extreme; derivata ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.

Dar în viata reala De asemenea, trebuie rezolvate probleme inverse: de exemplu, alături de problema găsirii vitezei conform unei legi cunoscute a mișcării, există și problema restabilirii legii mișcării conform unei viteze cunoscute. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.

Exemplul 1. Un punct material se deplasează în linie dreaptă, viteza sa la momentul t este dată de formula u = tg. Găsiți legea mișcării.

Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = u"(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să alegeți funcţie s = s(t), a cărui derivată este egală cu tg. Nu este greu de ghicit asta

Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Am constatat că, de fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție a formei o constantă arbitrară poate servi drept lege a mișcării, deoarece

Pentru a face sarcina mai specifică, trebuia să remediem situația inițială: indicați coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu, la t=0. Dacă, să spunem, s(0) = s 0, atunci din egalitate obținem s(0) = 0 + C, adică S 0 = C. Acum legea mișcării este definită în mod unic:
În matematică, se atribuie operații reciproce nume diferite, veniți cu notații speciale: de exemplu, pătrarea (x 2) și extragerea rădăcină pătrată sine(sinх) și arcsinus(arcsin x), etc. Procesul de găsire a derivatei unei funcții date se numește diferențiere, iar operația inversă, i.e. procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată – integrare.
Termenul „derivat” în sine poate fi justificat „în termeni de zi cu zi”: funcția y - f(x) „produce în existență” optiune noua y"= f"(x) Funcția y = f(x) acționează ca „părinte”, dar matematicienii, desigur, nu o numesc „părinte” sau „producător”, ei spun că este, în raport cu funcția y"=f"(x), imaginea primară sau, pe scurt, antiderivată.

Definiția 1. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe un interval dat X dacă pentru tot x din X este valabilă egalitatea F"(x)=f(x).

În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).

Aici sunt cateva exemple:

1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru tot x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată.
2) funcția y - x 3 este antiderivată pentru funcția y-3x 2, deoarece pentru tot x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată.
3) Funcția y-sinх este antiderivată pentru funcția y = cosx, deoarece pentru tot x egalitatea (sinx)" = cosx este adevărată.
4) Funcția este antiderivată pentru o funcție pe interval deoarece pentru toate x > 0 egalitatea este adevărată
În general, cunoscând formulele pentru găsirea derivatelor, nu este dificil să alcătuiești un tabel cu formule pentru găsirea antiderivatelor.

Sperăm că înțelegeți cum este compilat acest tabel: derivata funcției, care este scrisă în a doua coloană, este egală cu funcția care este scrisă în rândul corespunzător din prima coloană (verificați-o, nu fi leneș, este foarte util). De exemplu, pentru funcția y = x 5 antiderivată, după cum veți stabili, este funcția (vezi al patrulea rând al tabelului).

Note: 1. Mai jos vom demonstra teorema că, dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x ) + C. Prin urmare, ar fi mai corect să adăugați termenul C peste tot în a doua coloană a tabelului, unde C este un număr real arbitrar.
2. Din motive de concizie, uneori, în loc de expresia „funcția y = F(x) este o antiderivată a funcției y = f(x),” ei spun că F(x) este o antiderivată a lui f(x) .”

2. Reguli pentru găsirea antiderivatelor

La găsirea antiderivatelor, precum și la găsirea derivatelor, se folosesc nu numai formule (sunt enumerate în tabelul de la p. 196), ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.

Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.

Vă atragem atenția asupra oarecum „ușurință” a acestei formulări. De fapt, ar trebui formulată teorema: dacă funcțiile y = f(x) și y = g(x) au antiderivate pe intervalul X, respectiv y-F(x) și y-G(x), atunci suma funcțiilor y = f(x)+g(x) are o antiderivată pe intervalul X, iar această antiderivată este funcția y = F(x)+G(x). Dar de obicei, atunci când formulează reguli (și nu teoreme), ele pleacă numai Cuvinte cheie- acest lucru face mai convenabil aplicarea regulii în practică

Exemplul 2. Aflați antiderivată pentru funcția y = 2x + cos x.

Soluţie. Antiderivata pentru 2x este x"; antiderivata pentru cox este sin x. Aceasta înseamnă că antiderivata pentru funcția y = 2x + cos x va fi funcția y = x 2 + sin x (și în general orice funcție de forma Y = x 1 + sinx + C) .
Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 2. Factorul constant poate fi scos din semnul antiderivatei.

Exemplul 3.

Soluţie. a) Antiderivata pentru sin x este -soz x; Aceasta înseamnă că pentru funcția y = 5 sin x funcția antiderivată va fi funcția y = -5 cos x.

b) Antiderivata pentru cos x este sin x; Aceasta înseamnă că antiderivată a unei funcții este funcția
c) Antiderivata pentru x 3 este antiderivata pentru x, antiderivata pentru functia y = 1 este functia y = x. Folosind prima și a doua reguli pentru găsirea antiderivatelor, aflăm că antiderivată pentru funcția y = 12x 3 + 8x-1 este funcția
Cometariu. După cum se știe, derivata unui produs nu este egală cu produsul derivatelor (regula de diferențiere a unui produs este mai complexă), iar derivata unui cot nu este egală cu câtul derivatelor. Prin urmare, nu există reguli pentru găsirea antiderivatei produsului sau a antiderivatei coeficientului a două funcții. Atenție!
Să obținem o altă regulă pentru găsirea antiderivatelor. Știm că derivata funcției y = f(kx+m) se calculează prin formula

Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 3. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y=f(kx+m) este funcția

Într-adevăr,

Aceasta înseamnă că este o antiderivată pentru funcția y = f(kx+m).
Sensul celei de-a treia reguli este următorul. Dacă știți că antiderivata funcției y = f(x) este funcția y = F(x) și trebuie să găsiți antiderivata funcției y = f(kx+m), atunci procedați astfel: luați aceeași funcție F, dar în locul argumentului x, înlocuiți expresia kx+m; în plus, nu uitați să scrieți „factor de corecție” înainte de semnul funcției
Exemplul 4. Găsiți antiderivate pentru funcții date:

Soluţie, a) Antiderivata pentru sin x este -soz x; Aceasta înseamnă că pentru funcția y = sin2x antiderivată va fi funcția
b) Antiderivata pentru cos x este sin x; Aceasta înseamnă că antiderivată a unei funcții este funcția

c) Antiderivată pentru x 7 înseamnă că pentru funcția y = (4-5x) 7 antiderivată va fi funcția

3. Integrală nedefinită

Am observat deja mai sus că problema găsirii unei antiderivate pentru o funcție dată y = f(x) are mai multe soluții. Să discutăm această problemă mai detaliat.

Dovada. 1. Fie y = F(x) antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X. Aceasta înseamnă că pentru tot x din X este valabilă egalitatea x"(x) = f(x). găsiți derivata oricărei funcții de forma y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Deci, (F(x)+C) = f(x). Aceasta înseamnă că y = F(x) + C este o antiderivată pentru funcția y = f(x).
Astfel, am demonstrat că dacă funcția y = f(x) are o antiderivată y=F(x), atunci funcția (f = f(x) are infinite de antiderivate, de exemplu, orice funcție de forma y = F(x) +C este o antiderivată.
2. Să demonstrăm acum că tipul indicat de funcții epuizează întregul set de antiderivate.

Fie y=F 1 (x) și y=F(x) două antiderivate pentru funcția Y = f(x) pe intervalul X. Aceasta înseamnă că pentru tot x din intervalul X sunt valabile următoarele relații: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Să considerăm funcția y = F 1 (x) -.F(x) și să găsim derivata ei: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Se știe că dacă derivata unei funcții pe un interval X este identic egală cu zero, atunci funcția este constantă pe intervalul X (vezi Teorema 3 din § 35). Aceasta înseamnă că F 1 (x) - F (x) = C, adică. Fx) = F(x)+C.

Teorema a fost demonstrată.

Exemplul 5. Legea schimbării vitezei cu timpul este dată: v = -5sin2t. Aflați legea mișcării s = s(t), dacă se știe că la momentul t=0 coordonata punctului era egală cu numărul 1,5 (adică s(t) = 1,5).

Soluţie. Deoarece viteza este o derivată a coordonatei în funcție de timp, trebuie mai întâi să găsim antiderivata vitezei, adică. antiderivată pentru funcția v = -5sin2t. Unul dintre astfel de antiderivate este funcția , iar mulțimea tuturor antiderivatelor are forma:

A găsi sens specific constanta C, folosim condițiile inițiale, conform cărora s(0) = 1,5. Înlocuind valorile t=0, S = 1,5 în formula (1), obținem:

Înlocuind valoarea găsită a lui C în formula (1), obținem legea mișcării care ne interesează:

Definiția 2. Dacă o funcție y = f(x) are o antiderivată y = F(x) pe un interval X, atunci mulțimea tuturor antiderivatelor, i.e. multimea functiilor de forma y = F(x) + C se numeste integrala nedefinita a functiei y = f(x) si se noteaza cu:

(a se citi: „integrală nedefinită ef din x de x”).
În paragraful următor vom afla ce este ințelesuri ascunse denumirea indicată.
Pe baza tabelului de antiderivate disponibil în această secțiune, vom compila un tabel cu principalele integrale nedefinite:

Pe baza celor trei reguli de mai sus pentru găsirea antiderivatelor, putem formula regulile de integrare corespunzătoare.

Regula 1. Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor acestor funcții:

Regula 2. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

Regula 3. Dacă

Exemplul 6. Găsiți integrale nedefinite:

Soluţie, a) Folosind prima și a doua reguli de integrare, obținem:

Acum să folosim formula de integrare a 3-a și a 4-a:

Ca rezultat obținem:

b) Folosind a treia regulă de integrare și formula 8, obținem:

c) Pentru a găsi direct o integrală dată, nu avem nici formula corespunzătoare, nici regula corespunzătoare. În astfel de cazuri, transformările identice efectuate anterior ale expresiei conținute sub semnul integral ajută uneori.

Să profităm formula trigonometrică Reducerea gradului:

Apoi găsim secvenţial:

A.G. Mordkovich Algebra clasa a X-a

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, Matematică la școală

Funcţie F(X ) numit antiderivat pentru functie f(X) pe un interval dat, dacă este pentru toate X din acest interval egalitatea este valabilă

F"(X ) = f(X ) .

De exemplu, funcția F(x) = x 2 f(X ) = 2X , deoarece

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Proprietatea principală a antiderivatei

Dacă F(x) - antiderivată a unei funcţii f(x) pe un interval dat, apoi funcția f(x) are infinit de antiderivate, iar toate aceste antiderivate pot fi scrise sub forma F(x) + C, Unde CU este o constantă arbitrară.

De exemplu. Funcţie F(x) = x 2 + 1 este o antiderivată a funcției f(X ) = 2X , deoarece F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funcţie F(x) = x 2 - 1 este o antiderivată a funcției f(X ) = 2X , deoarece F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funcţie F(x) = x 2 - 3 este o antiderivată a funcției f(X) = 2X , deoarece F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); orice functie F(x) = x 2 + CU , Unde CU - o constantă arbitrară și numai o astfel de funcție este o antiderivată a funcției f(X) = 2X . ◄

Reguli pentru calcularea antiderivatelor

1. Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , A G(x) - antiderivat pentru g(x) , Acea F(x) + G(x) - antiderivat pentru f(x) + g(x) . Cu alte cuvinte, antiderivata sumei este egala cu suma antiderivatelor .
2. Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , Și k - constantă, atunci k · F(x) - antiderivat pentru k · f(x) . Cu alte cuvinte, factorul constant poate fi scos din semnul derivatei .
3. Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , Și k,b- constantă și k ≠ 0 , Acea 1 / k F( k x+ b ) - antiderivat pentru f(k x+ b) .

Integrală nedefinită

Integrală nedefinită din functie f(x) numită expresie F(x) + C, adică mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date f(x) . Integrala nedefinită se notează după cum urmează:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- Ei suna funcția integrand ;

f(x) dx- Ei suna integrand ;

X - Ei suna variabila de integrare ;

F(x) - una dintre funcţiile primitive f(x) ;

CU este o constantă arbitrară.

De exemplu, ∫ 2 x dx =X 2 + CU , ∫ cosx dx = păcat X + CU și așa mai departe. ◄

Cuvântul „integral” provine din cuvântul latin întreg , care înseamnă „restaurat”. Avand in vedere integrala nedefinita a 2 X, se pare că restabilim funcția X 2 , a cărui derivată este egală cu 2 X. Restaurarea unei funcții din derivata ei sau, ceea ce este același lucru, găsirea unei integrale nedefinite peste un integrand dat se numește integrare această funcție. Integrarea este operația inversă de diferențiere Pentru a verifica dacă integrarea a fost efectuată corect este suficient să diferențiem rezultatul și să obținem integrandul.

Proprietățile de bază ale integralei nedefinite

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Factorul constant al integrandului poate fi scos din semnul integral:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Integrala sumei (diferența) funcțiilor este egală cu suma (diferența) integralelor acestor funcții:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Dacă k,b- constantă și k ≠ 0 , Acea

∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .

Tabel cu antiderivate și integrale nedefinite

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
eu.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Integrale antiderivate și nedefinite date în acest tabel sunt de obicei numite antiderivate tabulare Și integrale de tabel .

Integrala definita

Lasă între ele [A; b] dat functie continua y = f(x) , Apoi integrală definită de la a la b funcții f(x) se numește increment al antiderivatei F(x) această funcție, adică

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Numerele AȘi b sunt numite în consecință inferior Și top limitele integrării.

Reguli de bază pentru calcularea integralei definite

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) unde k - constant;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), unde f(x) — funcția uniformă;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), unde f(x) este o funcție ciudată.

cometariu . În toate cazurile, se presupune că integranții sunt integrabili pe intervale numerice ale căror limite sunt limitele integrării.

Sensul geometric și fizic al integralei definite

Sensul geometric integrala definita	Sensul fizic integrala definita
Pătrat S trapez curbiliniu (o cifră limitată de graficul unui pozitiv continuu pe interval [A; b] funcții f(x) , axa Bou și drept x=a , x=b ) se calculează prin formula $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	cale s, pe care punctul material a depășit-o, deplasându-se rectiliniu cu o viteză care variază conform legii v(t) , pentru o perioadă de timp a ; b] , apoi aria figurii limitată de graficele acestor funcții și linii drepte x = a , x = b , calculat prin formula $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	De exemplu. Să calculăm aria figurii, limitat de linii y = x 2 Și y = 2- X . Să reprezentăm schematic graficele acestor funcții și să evidențiem într-o culoare diferită figura a cărei zonă trebuie găsită. Pentru a găsi limitele integrării, rezolvăm ecuația: X 2 = 2- X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Volumul unui corp de rotație

	Dacă se obţine un corp ca urmare a rotaţiei în jurul unei axe Bou trapez curbiliniu mărginit de un grafic continuu și nenegativ pe interval [A; b] funcții y = f(x) și drept x = aȘi x = b , atunci se numește corpul de rotație . Volumul unui corp de revoluție se calculează prin formula $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Dacă se obține un corp de revoluție ca rezultat al rotației unei figuri mărginite deasupra și dedesubt de grafice de funcții y = f(x) Și y = g(x) , în consecință, atunci $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	De exemplu. Să calculăm volumul unui con cu rază r si inaltime h . Să poziționăm conul într-un sistem de coordonate dreptunghiular astfel încât axa lui să coincidă cu axa Bou , iar centrul bazei era situat la origine. Rotația generatorului AB definește un con. Din moment ce ecuația AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
iar pentru volumul conului avem $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac(((1-\frac(x)(h)))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄