Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articolul intitulat LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple, legătură între LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), Și Atentie speciala Să ne concentrăm pe rezolvarea exemplelor. În primul rând, vom arăta cum se calculează LCM a două numere folosind MCD-ul acestor numere. În continuare, ne vom uita la găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceasta, ne vom concentra pe găsirea LCM a trei sau mai multe numere și, de asemenea, acordăm atenție calculării LCM a numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM) prin GCD

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Conexiune existentăîntre LCM și GCD vă permite să calculați cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive utilizând cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare este LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Să ne uităm la exemple de găsire a LCM folosind formula dată.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al două numere 126 și 70.

Soluţie.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim legătura dintre LCM și GCD, exprimată prin formula LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere folosind formula scrisă.

Să găsim GCD(126, 70) folosind algoritmul euclidian: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, prin urmare, GCD(126, 70)=14.

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Răspuns:

LCM(126, 70)=630.

Exemplu.

Cu ce ​​este LCM(68, 34) egal?

Soluţie.

Deoarece 68 este divizibil cu 34, apoi MCD(68, 34)=34. Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Răspuns:

LCM(68, 34)=68 .

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a.

Aflarea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă compuneți un produs din toți factorii primi ai numerelor date și apoi excludeți din acest produs toți factorii primi comuni prezenți în descompunerea numerelor date, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al numerelor date. .

Din egalitate rezultă regula stabilită pentru găsirea LCM LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în extinderea numerelor a și b. La rândul său, GCD(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (așa cum este descris în secțiunea despre găsirea GCD folosind expansiunea numerelor în factori primi).

Să dăm un exemplu. Să știm că 75=3·5·5 și 210=2·3·5·7. Să compunem produsul din toți factorii acestor expansiuni: 2·3·3·5·5·5·7 . Acum din acest produs excludem toți factorii prezenți atât în ​​extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2·3·5·5·7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al lui 75 și 210, adică NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Exemplu.

Factorizați numerele 441 și 700 în factori primi și găsiți cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Soluţie.

Să factorăm numerele 441 și 700 în factori primi:

Obținem 441=3·3·7·7 și 700=2·2·5·5·7.

Acum să creăm un produs din toți factorii implicați în extinderea acestor numere: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Prin urmare, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Răspuns:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Regula pentru găsirea LCM folosind factorizarea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă factorii lipsă din extinderea numărului b se adaugă factorilor din extinderea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b..

De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, descompunerea lor în factori primi sunt următoarele: 75=3·5·5 și 210=2·3·5·7. La factorii 3, 5 și 5 din extinderea numărului 75 adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din extinderea numărului 210, obținem produsul 2·3·5·5·7, a cărui valoare este egal cu LCM(75, 210).

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Soluţie.

Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2·2·3·7 și 648=2·2·2·3·3·3·3. La factorii 2, 2, 3 și 7 din extinderea numărului 84 ​​adăugăm factorii lipsă 2, 3, 3 și 3 din extinderea numărului 648, obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7, care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al lui 84 ​​și 648 este 4.536.

Răspuns:

LCM(84, 648)=4.536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea secvenţială a LCM a două numere. Să ne amintim teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.

Teorema.

Fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, a k, cel mai mic multiplu comun m k dintre aceste numere se găsește prin calcularea secvențială m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Să luăm în considerare aplicarea acestei teoreme folosind exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Exemplu.

Aflați LCM a patru numere 140, 9, 54 și 250.

Soluţie.

În acest exemplu, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Mai întâi găsim m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm GCD(140, 9), avem 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, prin urmare, GCD(140, 9)=1 , de unde GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140.9:1=1.260. Adică m2 =1 260.

Acum găsim m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Să-l calculăm prin GCD(1 260, 54), pe care îl determinăm și folosind algoritmul euclidian: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Apoi mcd(1.260, 54)=18, din care mcd(1.260, 54)= 1.260·54:gcd(1.260, 54)= 1.260·54:18=3.780. Adică m 3 = 3 780.

Tot ce rămâne este de găsit m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3,780, 250) folosind algoritmul euclidian: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prin urmare, GCM(3.780, 250)=10, de unde GCM(3.780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Adică m4 =94.500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

Răspuns:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

În multe cazuri, este convenabil să găsiți cel mai mic multiplu comun a trei sau mai multe numere folosind descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, ar trebui să respectați următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din expansiunea primului număr. al treilea număr se adaugă factorilor rezultați și așa mai departe.

Să ne uităm la un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind factorizarea prime.

Exemplu.

Găsiți cel mai mic multiplu comun al celor cinci numere 84, 6, 48, 7, 143.

Soluţie.

Mai întâi, obținem descompunerea acestor numere în factori primi: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 este un număr prim, coincide cu descompunerea ei în factori primi) şi 143=11·13.

Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2, 2, 3 și 7), trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6. Descompunerea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în descompunerea primului număr 84. În continuare, la factorii 2, 2, 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48, obținem un set de factori 2, 2, 2, 2, 3 și 7. Nu va fi nevoie să adăugați multiplicatori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2, 2, 2, 2, 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din extinderea numărului 143. Obținem produsul 2·2·2·2·3·7·11·13, care este egal cu 48.048.

Calculator online vă permite să găsiți rapid cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun atât al doi cât și al oricărui alt număr de numere.

Calculator pentru găsirea GCD și LCM

Găsiți GCD și LOC

GCD și LOC găsite: 5806

Cum se folosește calculatorul

• Introduceți numere în câmpul de introducere
• Dacă introduceți caractere incorecte, câmpul de introducere va fi evidențiat cu roșu
• faceți clic pe butonul „Găsiți GCD și LOC”.

Cum se introduc numerele

• Numerele sunt introduse separate de un spațiu, punct sau virgulă
• Lungimea numerelor introduse nu este limitată, deci găsirea GCD și LCM de numere lungi nu este dificilă

Ce sunt GCD și NOC?

Cel mai mare divizor comun mai multe numere este cel mai mare număr întreg natural prin care toate numerele originale sunt divizibile fără rest. Cel mai mare divizor comun este prescurtat ca GCD.
Cel mai mic multiplu comun mai multe numere este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele originale fără rest. Cel mai mic multiplu comun este prescurtat ca NOC.

Cum se verifică dacă un număr este divizibil cu un alt număr fără rest?

Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu altul fără rest, puteți folosi unele proprietăți de divizibilitate a numerelor. Apoi, combinându-le, puteți verifica divizibilitatea unora dintre ele și combinațiile lor.

Câteva semne de divizibilitate a numerelor

1. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 2
Pentru a determina dacă un număr este divizibil cu doi (dacă este par), este suficient să ne uităm la ultima cifră a acestui număr: dacă este egal cu 0, 2, 4, 6 sau 8, atunci numărul este par, ceea ce înseamnă că este divizibil cu 2.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 2.
Soluţie: Ne uităm la ultima cifră: 8 - asta înseamnă că numărul este divizibil cu doi.

2. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 3
Un număr este divizibil cu 3 când suma cifrelor sale este divizibil cu trei. Astfel, pentru a determina dacă un număr este divizibil cu 3, trebuie să calculați suma cifrelor și să verificați dacă este divizibil cu 3. Chiar dacă suma cifrelor este foarte mare, puteți repeta din nou același proces.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 3.
Soluţie: Numărăm suma numerelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu trei.

3. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 5
Un număr este divizibil cu 5 când ultima lui cifră este zero sau cinci.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 5.
Soluţie: uită-te la ultima cifră: 8 înseamnă că numărul NU este divizibil cu cinci.

4. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 9
Acest semn este foarte asemănător cu semnul divizibilității cu trei: un număr este divizibil cu 9 când suma cifrelor sale este divizibil cu 9.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 9.
Soluţie: Numărăm suma numerelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 9, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu nouă.

Cum să găsiți MCD și LCM a două numere

Cum să găsiți mcd-ul a două numere

Cel mai într-un mod simplu Calcularea celui mai mare divizor comun a două numere înseamnă a găsi toți divizorii posibili ai acestor numere și a-l selecta pe cel mai mare dintre ei.

Să luăm în considerare această metodă folosind exemplul de găsire a GCD(28, 36):

1. Factorăm ambele numere: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Găsim factori comuni, adică cei pe care ambele numere îi au: 1, 2 și 2.
3. Calculăm produsul acestor factori: 1 2 2 = 4 - acesta este cel mai mare divizor comun al numerelor 28 și 36.

Cum se găsește LCM a două numere

Există două modalități cele mai comune de a găsi cel mai mic multiplu a două numere. Prima metodă este că poți nota primii multipli ai două numere, iar apoi să alegi dintre aceștia un număr care va fi comun ambelor numere și în același timp și cel mai mic. Și al doilea este să găsiți mcd-ul acestor numere. Să luăm în considerare doar asta.

Pentru a calcula LCM, trebuie să calculați produsul numerelor originale și apoi să îl împărțiți la GCD găsit anterior. Să găsim LCM pentru aceleași numere 28 și 36:

1. Aflați produsul numerelor 28 și 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), așa cum se știe deja, este egal cu 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Găsirea GCD și LCM pentru mai multe numere

Cel mai mare divizor comun poate fi găsit pentru mai multe numere, nu doar pentru două. Pentru a face acest lucru, numerele care trebuie găsite pentru cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi, apoi se găsește produsul factorilor primi comuni ai acestor numere. De asemenea, puteți utiliza următoarea relație pentru a găsi mcd-ul mai multor numere: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

O relație similară se aplică celui mai mic multiplu comun: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Exemplu: găsiți GCD și LCM pentru numerele 12, 32 și 36.

1. Mai întâi, să factorizăm numerele: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Să găsim factorii comuni: 1, 2 și 2.
3. Produsul lor va da GCD: 1·2·2 = 4
4. Acum să găsim LCM: pentru a face acest lucru, să găsim mai întâi LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Pentru a găsi NOC-ul tuturor trei numere, trebuie să găsiți GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2·3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Să rezolvăm problema. Avem două tipuri de cookie-uri. Unele sunt de ciocolată, iar altele sunt simple. Sunt 48 de ciocolată și 36 simple. Trebuie să faci cât mai mare număr posibil de cadouri din aceste fursecuri și trebuie să le folosești pe toate.

Mai întâi, să notăm toți divizorii fiecăruia dintre aceste două numere, deoarece ambele numere trebuie să fie divizibile cu numărul de cadouri.

Primim

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Să găsim printre divizorii comuni pe care îi au atât primul cât și al doilea număr.

Factorii comuni vor fi: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Cel mai mare divisor comun al tuturor este numărul 12. Acest număr se numește cel mai mare divisor comun al numerelor 36 și 48.

Pe baza rezultatelor obținute, putem concluziona că din toate biscuiții se pot face 12 cadouri. Un astfel de cadou va contine 4 fursecuri de ciocolata si 3 fursecuri obisnuite.

Găsirea celui mai mare divizor comun

• Cel mai grozav numar natural, prin care două numere a și b sunt împărțite fără rest, se numește cel mai mare divizor comun al acestor numere.

Uneori, abrevierea GCD este folosită pentru a scurta intrarea.

Unele perechi de numere au unul ca cel mai mare divizor comun. Se numesc astfel de numere numere prime reciproce. De exemplu, numerele 24 și 35 au GCD =1.

Cum să găsiți cel mai mare divizor comun

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun, nu este necesar să scrieți toți divizorii numerelor date.

O poți face altfel. Mai întâi, factorizează ambele numere în factori primi.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Acum, din factorii care sunt incluși în extinderea primului număr, îi vom elimina pe toți cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr. În cazul nostru, acestea sunt două două.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Factorii rămași sunt 2, 2 și 3. Produsul lor este 12. Acest număr va fi cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36.

Această regulă poate fi extinsă la cazul trei, patru etc. numere.

Schema generală pentru găsirea celui mai mare divizor comun

• 1. Împărțiți numerele în factori primi.
• 2. Din factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați-i pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere.
• 3. Calculați produsul factorilor rămași.

Lancinova Aisa

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Probleme privind GCD și LCM de numere Lucrarea unui elev de clasa a VI-a a MCOU „Școala secundară Kamyshovskaya” Lantsinova Aisa Supervizor Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, profesor de matematică p. Kamyshevo, 2013

Un exemplu de găsire a mcd-ului numerelor 50, 75 și 325. 1) Să factorăm numerele 50, 75 și 325 în factori primi. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Din factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, îi scoatem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celorlalte . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Aflați produsul factorilor rămași 5 ∙ 5 = 25 Răspuns: MCD (50, 75 și 325 cel mai mare natural = 25) număr cu care Când numerele a și b sunt împărțite fără rest, cel mai mare divizor comun al acestor numere se numește cel mai mare divizor comun al acestor numere.

Un exemplu de găsire a LCM a numerelor 72, 99 și 117. 1) Să factorăm numerele 72, 99 și 117 în factori primi 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Scrieți factorii incluși în expansiunea unuia dintre numerele 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 și adăugați la ei factorii lipsă ai numerelor rămase. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Aflați produsul factorilor rezultați. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Răspuns: LCM (72, 99 și 117) = 10296 Cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale a și b este cel mai mic număr natural care este multiplu al unui și b.

Foaia de carton are forma unui dreptunghi, a cărui lungime este de 48 cm și lățimea este de 40 cm.Această foaie trebuie tăiată în pătrate egale fără deșeuri. Care sunt cele mai mari pătrate care pot fi obținute din această fișă de lucru și câte? Rezolvare: 1) S = a ∙ b – aria dreptunghiului. S= 48 ∙ 40 = 1960 cm². – zona de carton. 2) a – latura pătratului 48: a – numărul de pătrate care pot fi așezate pe lungimea cartonului. 40: a – numărul de pătrate care pot fi așezate pe lățimea cartonului. 3) GCD (40 și 48) = 8 (cm) – latura pătratului. 4) S = a² – aria unui pătrat. S = 8² = 64 (cm²) – aria unui pătrat. 5) 1960: 64 = 30 (număr de pătrate). Răspuns: 30 de pătrate cu o latură de 8 cm fiecare. Probleme GCD

Semineul din camera trebuie sa fie placat cu gresie in forma de patrat. De câte plăci vor fi necesare pentru un șemineu care măsoară 195 ͯ 156 cm și care sunt acestea? dimensiunile cele mai mari gresie? Rezolvare: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – S de suprafața șemineului. 2) GCD (195 și 156) = 39 (cm) – partea plăcii. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) – suprafața unei plăci. 4) 30420: = 20 (bucați). Răspuns: 20 de plăci care măsoară 39 ͯ 39 (cm). Probleme GCD

Un teren de grădină care măsoară 54 ͯ 48 m în jurul perimetrului trebuie să fie împrejmuit; pentru a face acest lucru, trebuie amplasați stâlpi de beton la intervale regulate. Câți stâlpi trebuie aduși pentru șantier și la ce distanță maximă unul de celălalt vor fi plasați stâlpii? Rezolvare: 1) P = 2(a + b) – perimetrul sitului. P = 2(54 + 48) = 204 m. 2) GCD (54 și 48) = 6 (m) – distanța dintre stâlpi. 3) 204: 6 = 34 (stâlpi). Raspuns: 34 de stalpi, la o distanta de 6 m. Probleme GCD

Buchete au fost colectate din 210 trandafiri visiniu, 126 albi și 294 roșii, fiecare buchet conținând un număr egal de trandafiri de aceeași culoare. Care cel mai mare număr din acești trandafiri s-au făcut buchete și câți trandafiri de fiecare culoare sunt într-un singur buchet? Rezolvare: 1) GCD (210, 126 și 294) = 42 (buchete). 2) 210: 42 = 5 (trandafiri visinii). 3) 126: 42 = 3 (trandafiri albi). 4) 294: 42 = 7 (trandafiri rosii). Raspuns: 42 de buchete: 5 visiniu, 3 albi, 7 trandafiri rosii in fiecare buchet. Probleme GCD

Tanya și Masha au cumpărat același număr de truse poștale. Tanya a plătit 90 de ruble, iar Masha a plătit 5 ruble. Mai mult. Cât costă un set? Câte seturi a cumpărat fiecare persoană? Rezolvare: 1) 90 + 5 = 95 (frec.) Masha a plătit. 2) GCD (90 și 95) = 5 (rub.) – prețul 1 set. 3) 980: 5 = 18 (seturi) – cumpărat de Tanya. 4) 95: 5 = 19 (seturi) – cumpărat de Masha. Răspuns: 5 ruble, 18 seturi, 19 seturi. Probleme GCD

În orașul-port încep trei excursii turistice cu barca, dintre care prima durează 15 zile, a doua – 20 și a treia – 12 zile. După ce s-au întors în port, navele au pornit din nou în aceeași zi. Astăzi, navele au părăsit portul pe toate cele trei rute. Peste câte zile vor merge din nou la navigație împreună pentru prima dată? Câte călătorii va face fiecare navă? Rezolvare: 1) NOC (15,20 și 12) = 60 (zile) – ora întâlnirii. 2) 60: 15 = 4 (călătorii) – 1 navă. 3) 60: 20 = 3 (călătorii) – 2 nave. 4) 60: 12 = 5 (zboruri) – 3 nave. Răspuns: 60 de zile, 4 zboruri, 3 zboruri, 5 zboruri. Sarcinile NOC

Masha a cumpărat ouă pentru Urs de la magazin. În drum spre pădure și-a dat seama că numărul de ouă este divizibil cu 2,3,5,10 și 15. Câte ouă a cumpărat Masha? Soluție: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (ouă) Răspuns: Masha a cumpărat 30 de ouă. Sarcinile NOC

Este necesar să se facă o cutie cu fundul pătrat pentru a găzdui cutii de 16 ͯ 20 cm. Care este cea mai mică lungime a laturii fundului pătrat pentru a încadra cutiile strâns în cutie? Rezolvare: 1) LCM (16 și 20) = 80 (cutii). 2) S = a ∙ b – aria unei casete. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) – zona inferioară a unei cutii. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) – aria fundului pătrat. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – dimensiunile cutiei. Răspuns: 160 cm este latura fundului pătrat. Sarcinile NOC

De-a lungul drumului din punctul K sunt stalpi de curent la fiecare 45 m. Aceștia au decis înlocuirea acestor stâlpi cu alții, așezându-i la o distanță de 60 m unul de celălalt. Câți stâlpi au fost și câți vor fi? Rezolvare: 1) LCM (45 și 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – erau stâlpi. 3) 180: 60 = 3 – au devenit stâlpi. Răspuns: 4 stâlpi, 3 stâlpi. Sarcinile NOC

Câți soldați defilează pe terenul de paradă dacă mărșăluiesc în formație de 12 oameni pe rând și se schimbă într-o coloană de 18 persoane pe rând? Rezolvare: 1) NOC (12 și 18) = 36 (oameni) - marș. Răspuns: 36 de persoane. Sarcinile NOC

Găsirea celui mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere poate fi redusă la găsirea secvenţială a mcd a două numere. Am menționat acest lucru când am studiat proprietățile GCD. Acolo am formulat și demonstrat teorema: cel mai mare divizor comun al mai multor numere a 1 , a 2 , …, a k egală cu numărul dk, care se găsește prin calcul secvenţial GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d2, a3)=d3, GCD(d3, a4)=d4, …,GCD(dk-1, ak)=dk.

Să vedem cum arată procesul de găsire a mcd-ului mai multor numere uitându-ne la soluția exemplului.

Exemplu.

Găsiți cel mai mare divizor comun al patru numere 78 , 294 , 570 Și 36 .

Soluţie.

În acest exemplu a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

În primul rând, folosind algoritmul euclidian, determinăm cel mai mare divizor comun d 2 primele două numere 78 Și 294 . Când împărțim obținem egalitățile 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6Și 18=6·3. Prin urmare, d2 =GCD(78, 294)=6.

Acum hai să calculăm d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Să folosim din nou algoritmul euclidian: 570=6·95, prin urmare, d 3 =GCD(6, 570)=6.

Rămâne de calculat d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). Deoarece 36 impartit de 6 , Acea d 4 =GCD(6, 36)=6.

Astfel, cel mai mare divizor comun al celor patru numere date este egal cu d 4 =6, acesta este, GCD(78, 294, 570, 36)=6.

Răspuns:

GCD(78, 294, 570, 36)=6.

Factorizarea numerelor în factori primi vă permite, de asemenea, să calculați mcd-ul a trei sau mai multe numere. În acest caz, cel mai mare divizor comun se găsește ca produsul tuturor factorilor primi comuni ai numerelor date.

Exemplu.

Calculați mcd-ul numerelor din exemplul anterior utilizând factorizările lor prime.

Soluţie.

Să defalcăm cifrele 78 , 294 , 570 Și 36 prin factori primi, obținem 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Factorii primi comuni ai tuturor celor patru numere date sunt numerele 2 Și 3 . Prin urmare, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Răspuns:

GCD(78, 294, 570, 36)=6.

Începutul paginii

Găsirea GCD de numere negative

Dacă unul, mai multe sau toate numerele al căror divizor cel mai mare se află sunt numere negative, atunci mcd-ul lor este egal cu cel mai mare divizor comun al modulelor acestor numere. Acest lucru se datorează faptului că numerele opuse AȘi −a au aceiași divizori, așa cum am discutat când am studiat proprietățile divizibilității.

Exemplu.

Găsiți mcd-ul numerelor întregi negative −231 Și −140 .

Soluţie.

Valoarea absolută a unui număr −231 egală 231 , și modulul numărului −140 egală 140 , Și GCD(−231, −140)=GCD(231, 140). Algoritmul euclidian ne oferă următoarele egalități: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7Și 42=7 6. Prin urmare, GCD(231, 140)=7. Atunci cel mai mare divizor comun dorit al numerelor negative este −231 Și −140 egală 7 .

Răspuns:

GCD(−231, −140)=7.

Exemplu.

Determinați mcd-ul a trei numere −585 , 81 Și −189 .

Soluţie.

La găsirea celui mai mare divizor comun, numerele negative pot fi înlocuite cu ele valori absolute, acesta este, GCD(−585, 81, −189)=GCD(585, 81, 189). Extinderi de număr 585 , 81 Și 189 în factori primi au forma 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3Și 189=3·3·3·7. Factorii primi comuni ai acestor trei numere sunt 3 Și 3 . Apoi GCD(585, 81, 189)=3·3=9, prin urmare, GCD(−585, 81, −189)=9.

Răspuns:

GCD(−585, 81, −189)=9.

35. Rădăcinile unui polinom. teorema lui Bezout. (33 și mai sus)

36. Rădăcini multiple, criteriu pentru multiplicitatea rădăcinilor.