Unul dintre cele mai importante concepte din teoria probabilității este conceptul variabilă aleatorie.
Aleatoriu numit mărimea, care, în urma testării, acceptă anumite valori posibile, necunoscut în prealabil și în funcție de motive aleatorii care nu pot fi luate în considerare în prealabil.
Variabilele aleatoare sunt desemnate cu majuscule ale alfabetului latin X, Y, Z etc. sau cu majuscule ale alfabetului latin cu un index dreapta jos și valorile pe care variabilele aleatoare le pot lua - cu literele mici corespunzătoare ale alfabetului latin X, y, z etc.
Conceptul de variabilă aleatoare este strâns legat de conceptul de eveniment aleatoriu. Conexiune cu un eveniment aleatoriu constă în faptul că acceptarea unei variabile aleatorii a unora valoare numerică este un eveniment aleatoriu caracterizat prin probabilitate 
.
În practică, există două tipuri principale de variabile aleatoare:
1. Variabile aleatoare discrete;
2. Variabile aleatoare continue.
O variabilă aleatoare este o funcție numerică a evenimentelor aleatoare.
De exemplu, o variabilă aleatorie este numărul de puncte obținute la aruncare zaruri, sau înălțimea unui elev selectat aleatoriu din grupul de studiu.
Variabile aleatoare discrete sunt numite variabile aleatoare care iau doar valori la distanță între ele, care pot fi listate în prealabil.
Legea distribuției(funcția de distribuție și seria de distribuție sau densitatea de probabilitate) descriu complet comportamentul unei variabile aleatoare. Dar într-o serie de probleme este suficient să cunoaștem unele caracteristici numerice ale cantității studiate (de exemplu, valoarea medie a acesteia și posibila abatere de la aceasta) pentru a răspunde la întrebarea pusă. Să luăm în considerare principalele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare discrete.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete fiecare relație este numită , stabilirea unei conexiuni între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare acestora .
Legea distribuției unei variabile aleatoare poate fi reprezentată ca Mese:
| … | … | ||||
| … | … |
Suma probabilităților tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare este egală cu unu, adică
Legea distribuției poate fi descrisă grafic: valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt reprezentate de-a lungul axei absciselor, iar probabilitățile acestor valori sunt reprezentate de-a lungul axei ordonatelor; punctele rezultate sunt legate prin segmente. Polilinia construită se numește poligon de distribuție.
Exemplu. Un vânător cu 4 cartușe trage în joc până când face prima lovitură sau consumă toate cartușele. Probabilitatea de a lovi la prima lovitură este de 0,7, cu fiecare lovitură ulterioară scade cu 0,1. Întocmește o lege de distribuție a numărului de cartușe cheltuite de un vânător.
Soluţie. Deoarece un vânător, având 4 cartușe, poate trage patru focuri, apoi variabila aleatorie X- numărul de cartușe cheltuite de vânător poate lua valori 1, 2, 3, 4. Pentru a găsi probabilitățile corespunzătoare, introducem evenimentele:
- „Lovi cu eu- o împușcat”, ;
- „Doar când eu- om shot”, iar evenimentele și sunt independente perechi.
În funcție de condițiile de problemă avem:
, 
Folosind teorema înmulțirii pentru evenimente independente și teorema adunării pentru evenimente incompatibile, găsim:
(vânătorul a lovit ținta cu prima lovitură);
(vânătorul a lovit ținta cu a doua lovitură);
(vânătorul a lovit ținta cu a treia lovitură);
(vânătorul a lovit ținta cu a patra lovitură sau a ratat toate cele patru ori).
Verificați: - adevărat.
Astfel, legea distribuției unei variabile aleatoare X are forma:
| 0,7 | 0,18 | 0,06 | 0,06 |
Exemplu. Un muncitor operează trei mașini. Probabilitatea ca în decurs de o oră prima mașină să nu necesite ajustare este de 0,9, a doua - 0,8, a treia - 0,7. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de mașini care vor necesita ajustare într-o oră.
Soluţie. Valoare aleatoare X- numărul de mașini care vor necesita ajustare într-o oră poate lua valori 0,1, 2, 3. Pentru a găsi probabilitățile corespunzătoare, introducem evenimentele:
- “i- mașina va necesita reglare în decurs de o oră,” ;
- “i- mașina nu va necesita ajustare în decurs de o oră,” .
În funcție de condițiile problemei avem:
, 
.
Pe această pagină am adunat o scurtă teorie și exemple de rezolvare a unor probleme educaționale în care o variabilă aleatoare discretă este deja specificată prin seria sa de distribuție (forma tabelară) și este necesară studierea acesteia: găsirea caracteristicilor numerice, construirea graficelor etc. Exemple pe specii cunoscute distribuțiile pot fi găsite la următoarele link-uri:
Scurtă teorie despre DSV
O variabilă aleatorie discretă este specificată de seria sa de distribuție: o listă de valori $x_i$ pe care le poate lua și probabilitățile corespunzătoare $p_i=P(X=x_i)$. Numărul de valori ale unei variabile aleatoare poate fi finit sau numărabil. Pentru certitudine, vom lua în considerare cazul $i=\overline(1,n)$. Atunci reprezentarea tabelară a variabilei aleatoare discrete are forma:
$$ \begin(array)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end(array) $ $
În acest caz, condiția de normalizare este îndeplinită: suma tuturor probabilităților trebuie să fie egală cu unu
$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$
Grafic, seria de distribuție poate fi reprezentată poligon de distribuție(sau poligon de distribuție). Pentru a face acest lucru, punctele cu coordonatele $(x_i,p_i)$ sunt trasate pe plan și conectate în ordine printr-o linie întreruptă. Veți găsi exemple detaliate.
Caracteristicile numerice ale DSV
Valorea estimata:
$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$
Dispersie:
$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $
Deviație standard:
$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$
Coeficientul de variație:
$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.
Mod: valoarea $Mo=x_k$ cu cea mai mare probabilitate $p_k=\max_i(p_i)$.
Puteți utiliza calculatoare online pentru a calcula valoarea așteptată, varianța și abaterea standard a DSV.
Funcția de distribuție DSV
Din seria de distribuție se poate compila funcția de distribuție variabilă aleatoare discretă $F(x)=P(X\lt x)$. Această funcție specifică probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia o valoare mai mică decât un anumit număr $x$. Exemple de construcție cu calcule detaliateși grafice pe care le veți găsi în exemplele de mai jos.
Exemple de probleme rezolvate
Sarcina 1. O variabilă aleatorie discretă este specificată de o serie de distribuție:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Construiți un poligon de distribuție și o funcție de distribuție $F(x)$. Calculați: $M[X], D[X], \sigma[X]$, precum și coeficientul de variație, asimetrie, curtoză, mod și mediană.
Sarcina 2. Este dată legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X. Necesar:
a) determina valorea estimata M(x), varianța D(x) și abaterea standard (x) ale variabilei aleatoare X; b) construiți un grafic al acestei distribuții.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02
Sarcina 3. Pentru o variabilă aleatoare X cu o serie de distribuție dată
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
A) găsiți $p_1$ și $p_2$ astfel încât $M(X)=0,5$
B) după aceasta, calculați așteptarea și varianța matematică a variabilei aleatoare $X$ și reprezentați grafic funcția de distribuție a acesteia
Sarcina 4. SV discret $X$ poate lua doar două valori: $x_1$ și $x_2$ și $x_1 \lt x_2$. Sunt cunoscute probabilitatea $P$ a unei valori posibile, așteptarea matematică $M(x)$ și varianța $D(x)$. Aflați: 1) Legea distribuției acestei variabile aleatoare; 2) Funcția de distribuție SV $X$; 3) Construiți un grafic al lui $F(x)$.
$P=0,3; M(x)=6,6; D(x)=13,44.$
Sarcina 5. Variabila aleatoare X ia trei valori: 2, 4 și 6. Aflați probabilitățile acestor valori dacă $M(X)=4.2$, $D(X)=1.96$.
Sarcina 6. Este dată o serie de distribuție a r.v. discretă. $X$. Aflați caracteristicile numerice ale poziției și dispersiei r.v. $X$. Găsiți m.o. și dispersie r.v. $Y=X/2-2$, fără a scrie seria de distribuție r.v. $Y$, verificați rezultatul folosind funcția de generare.
Construiți funcția de distribuție a r.v. $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0,3¦ 0,1¦ 0,3¦ 0,2¦ 0,1¦
Sarcina 7. Distribuția unei variabile aleatoare discrete $X$ este dată de următorul tabel (rând de distribuție):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Determinați valoarea lipsă în tabelul de distribuție. Calculați principalele caracteristici numerice ale distribuției: $M_x, D_x, \sigma_x$. Găsiți și construiți funcția de distribuție $F(x)$. Determinați probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia următoarele valori:
A) mai mult de 6,
B) mai puțin de 12,
c) nu mai mult de 9.
Sarcina 8. Problema presupune găsirea: a) așteptării matematice; b) dispersie; c) abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete X conform unei legi date a distribuției sale, dată într-un tabel (primul rând al tabelului indică valori posibile, al doilea rând indică probabilitățile unor valori posibile).
Sarcina 9. Este dată legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete $X$ (prima linie arată valorile posibile ale lui $x_i$, a doua linie arată probabilitățile de valori posibile ale $p_i$).
Găsi:
A) așteptarea matematică $M(X)$, varianța $D(X)$ și abaterea standard $\sigma(X)$;
B) alcătuiți funcția de distribuție a variabilei aleatoare $F(x)$ și construiți graficul acesteia;
C) se calculează probabilitatea ca o variabilă aleatoare $X$ să se încadreze în intervalul $x_2 \lt X \lt x_4$, folosind funcția de distribuție compilată $F(x)$;
D) întocmește o lege de distribuție pentru valoarea $Y=100-2X$;
D) calculați așteptarea și varianța matematică a variabilei aleatoare compilate $Y$ în două moduri, i.e. a profita
proprietatea așteptării și dispersiei matematice, precum și direct conform legii de distribuție a variabilei aleatoare $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
Problema 10. O variabilă aleatoare discretă este dată unui tabel. Calculați momentele sale inițiale și centrale până la ordinul 4 inclusiv. Aflați probabilitățile evenimentelor $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi $.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1
Instituția de învățământ „Statul Belarus
Academia Agricolă"
Catedra de Matematică Superioară
Instrucțiuni
să studieze tema „Variabile aleatorii” de către studenții Facultății de Contabilitate pentru Educație prin Corespondență (NISPO)
Gorki, 2013
Variabile aleatoare
Variabile aleatoare discrete și continue
Unul dintre conceptele principale din teoria probabilității este conceptul variabilă aleatorie . Variabilă aleatorie este o cantitate care, în urma testării, ia doar una dintre numeroasele sale valori posibile și nu se știe dinainte care dintre ele.
Există variabile aleatorii discretă și continuă . Variabilă aleatorie discretă (DRV) este o variabilă aleatorie care poate lua un număr finit de valori izolate unele de altele, adică dacă valorile posibile ale acestei cantități pot fi recalculate. Variabilă aleatoare continuă (CNV) este o variabilă aleatorie, toate valorile posibile ale cărora umplu complet un anumit interval al liniei numerice.
Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin X, Y, Z etc. Valorile posibile ale variabilelor aleatoare sunt indicate prin litere mici corespunzătoare.
Record 
înseamnă „probabilitatea ca o variabilă aleatorie X va lua o valoare de 5, egală cu 0,28.”
Exemplul 1 . Zarurile se aruncă o dată. În acest caz, pot apărea numere de la 1 la 6, indicând numărul de puncte. Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de puncte aruncate). Această variabilă aleatoare ca rezultat al testului poate lua doar una dintre cele șase valori: 1, 2, 3, 4, 5 sau 6. Prin urmare, variabila aleatoare X există DSV.
Exemplul 2 . Când o piatră este aruncată, ea parcurge o anumită distanță. Să notăm variabila aleatoare X=(distanta de zbor de piatra). Această variabilă aleatoare poate lua orice valoare dintr-un anumit interval, dar numai una. Prin urmare, variabila aleatoare X există NSV.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
O variabilă aleatorie discretă este caracterizată de valorile pe care le poate lua și de probabilitățile cu care sunt luate aceste valori. Se numește corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete și probabilitățile lor corespunzătoare legea distribuției unei variabile aleatoare discrete .
Dacă sunt cunoscute toate valorile posibile 
variabilă aleatorie Xși probabilități 
apariția acestor valori, atunci se crede că legea de distribuție a DSV X este cunoscut și poate fi scris sub formă de tabel:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Legea distribuției DSV poate fi reprezentată grafic dacă punctele sunt reprezentate într-un sistem de coordonate dreptunghiular 
,
,
…,
și leagă-le cu segmente de linie dreaptă. Figura rezultată se numește poligon de distribuție.
Exemplul 3 . Cerealele destinate curățării conțin 10% buruieni. 4 boabe au fost selectate la întâmplare. Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de buruieni dintre cele patru selectate). Construiți legea distribuției DSV Xși poligonul de distribuție.
Soluţie . Conform condițiilor exemplu. Apoi:
Să notăm legea de distribuție a DSV X sub forma unui tabel și să construim un poligon de distribuție:
|
|
Așteptarea unei variabile aleatoare discrete
Cele mai importante proprietăți ale unei variabile aleatoare discrete sunt descrise de caracteristicile sale. Una dintre aceste caracteristici este valorea estimata variabilă aleatorie.
Să fie cunoscută legea distribuției DSV X:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Așteptări matematice
DSV X este suma produselor fiecărei valori a acestei mărimi și probabilitatea corespunzătoare: 
.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt aproximativ egale cu media aritmetică a tuturor valorilor sale. Prin urmare, în problemele practice, valoarea medie a acestei variabile aleatoare este adesea luată ca așteptare matematică.
Exemplu 8 . Trăgătorul marchează 4, 8, 9 și 10 puncte cu probabilități de 0,1, 0,45, 0,3 și 0,15. Găsiți așteptarea matematică a numărului de puncte cu o singură lovitură.
Soluţie . Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de puncte înscrise). Apoi . Astfel, numărul mediu așteptat de puncte marcate cu o singură lovitură este de 8,2, iar cu 10 lovituri - 82.
Proprietăți principale așteptările matematice sunt:
.
.
, Unde 
,
.
.
, Unde XȘi Y sunt variabile aleatoare independente.
Diferență 
numit deviere
variabilă aleatorie X din așteptările sale matematice. Această diferență este o variabilă aleatorie și așteptarea sa matematică este zero, adică. 
.
Varianta unei variabile aleatoare discrete
Pentru a caracteriza o variabilă aleatoare, pe lângă așteptarea matematică, folosim și dispersie , ceea ce face posibilă estimarea dispersiei (împrăștierii) valorilor unei variabile aleatorii în jurul așteptării sale matematice. Când se compară două variabile aleatoare omogene cu așteptări matematice egale, valoarea „cea mai bună” este considerată a fi cea care are mai puțin răspândire, adică. mai puțină dispersie.
Varianta variabilă aleatorie X se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică: .
În problemele practice, se utilizează o formulă echivalentă pentru a calcula varianța.
Principalele proprietăți ale dispersiei sunt:
.
Capitolul 1. Variabilă aleatorie discretă
§ 1. Concepte de variabilă aleatoare.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete.
Definiție : Aleatorie este o cantitate care, în urma testării, ia doar o singură valoare dintr-un set posibil de valori, necunoscută în prealabil și în funcție de motive aleatorii.
Există două tipuri de variabile aleatoare: discrete și continue.
Definiție : Se numește variabila aleatoare X discret (discontinuu) dacă mulțimea valorilor sale este finită sau infinită, dar numărabilă.
Cu alte cuvinte, valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete pot fi renumerotate.
O variabilă aleatoare poate fi descrisă folosind legea distribuției sale.
Definiție : Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete numiți corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestora.
Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X poate fi specificată sub forma unui tabel, în primul rând al căruia toate valorile posibile ale variabilei aleatoare sunt indicate în ordine crescătoare, iar în al doilea rând probabilitățile corespunzătoare ale acestora valori, adică
unde р1+ р2+…+ рn=1
Un astfel de tabel se numește o serie de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.
Dacă mulțimea de valori posibile ale unei variabile aleatoare este infinită, atunci seria p1+ p2+…+ pn+… converge și suma sa este egală cu 1.
Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X poate fi reprezentată grafic, pentru care o linie întreruptă este construită într-un sistem de coordonate dreptunghiular, conectând secvențial puncte cu coordonatele (xi; pi), i=1,2,…n. Linia rezultată este numită poligon de distribuție (Fig. 1).
Chimie organică" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">chimie organică sunt 0,7, respectiv 0,8. Întocmește o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X - numărul de examene pe care studentul le va promova.
Soluţie. Variabila aleatoare X considerată ca urmare a examenului poate lua una dintre următoarele valori: x1=0, x2=1, x3=2.
Să aflăm probabilitatea acestor valori. Să notăm evenimentele:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Deci, legea de distribuție a variabilei aleatoare X este dată de tabelul:
Control: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Funcția de distribuție
O descriere completă a unei variabile aleatoare este dată și de funcția de distribuție.
Definiție: Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X se numește funcție F(x), care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x:
F(x)=P(X<х)
Din punct de vedere geometric, funcția de distribuție este interpretată ca probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea care este reprezentată pe dreapta numerică de un punct situat la stânga punctului x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) este o funcție nedescrescătoare pe (-∞;+∞);
3) F(x) - continuu in stanga in punctele x= xi (i=1,2,...n) si continuu in toate celelalte puncte;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Dacă legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X este dată sub forma unui tabel:
atunci funcția de distribuție F(x) este determinată de formula:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 pentru x≤ x1,
р1 la x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 la x2< х≤ х3
1 pentru x> xn.
Graficul său este prezentat în Fig. 2:
§ 3. Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare discrete.
Una dintre caracteristicile numerice importante este așteptarea matematică.
Definiție: Așteptări matematice M(X) variabila aleatoare discretă X este suma produselor tuturor valorilor sale și probabilitățile lor corespunzătoare:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Așteptările matematice servesc ca o caracteristică a valorii medii a unei variabile aleatorii.
Proprietățile așteptărilor matematice:
1)M(C)=C, unde C este o valoare constantă;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), unde X, Y sunt variabile aleatoare independente;
5)M(X±C)=M(X)±C, unde C este o valoare constantă;
Pentru a caracteriza gradul de dispersie a valorilor posibile ale unei variabile aleatoare discrete în jurul valorii sale medii, se utilizează dispersia.
Definiție: Varianta D ( X ) variabila aleatoare X este așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la așteptarea ei matematică:
Proprietăți de dispersie:
1)D(C)=0, unde C este o valoare constantă;
2)D(X)>0, unde X este o variabilă aleatorie;
3)D(C X)=C2 D(X), unde C este o valoare constantă;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), unde X, Y sunt variabile aleatoare independente;
Pentru a calcula varianța, este adesea convenabil să folosiți formula:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
unde M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Varianta D(X) are dimensiunea unei variabile aleatoare la pătrat, ceea ce nu este întotdeauna convenabil. Prin urmare, valoarea √D(X) este folosită și ca indicator al dispersiei valorilor posibile ale unei variabile aleatoare.
Definiție: Deviație standard σ(X) variabila aleatoare X se numește rădăcina pătrată a varianței:
Sarcina nr. 2. Variabila aleatoare discretă X este specificată de legea distribuției:
Găsiți P2, funcția de distribuție F(x) și reprezentați graficul acesteia, precum și M(X), D(X), σ(X).
Soluţie: Deoarece suma probabilităților valorilor posibile ale variabilei aleatoare X este egală cu 1, atunci
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Să găsim funcția de distribuție F(x)=P(X Geometric, această egalitate poate fi interpretată după cum urmează: F(x) este probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valoarea reprezentată pe axa numerelor de punctul situat în stânga punctului x. Dacă x≤-1, atunci F(x)=0, deoarece nu există o singură valoare a acestei variabile aleatoare pe (-∞;x); Dacă -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Daca 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) există două valori x1=-1 și x2=0; Daca 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Daca 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Dacă x>3, atunci F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, deoarece patru valori x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 se încadrează în intervalul (-∞;x) și x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 la x≤-1, 0,1 la -1<х≤0, 0,2 la 0<х≤1, F(x)= 0,5 la 1<х≤2, 0,7 la 2<х≤3, 1 la x>3 Să reprezentăm grafic funcția F(x) (Fig. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Legea distribuției binomiale variabilă aleatoare discretă, legea lui Poisson. Definiție: Binom
se numește legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X - numărul de apariții ale evenimentului A în n încercări repetate independente, în fiecare din care evenimentul A poate să apară cu probabilitatea p sau să nu apară cu probabilitatea q = 1-p. Atunci P(X=m) - probabilitatea de apariție a evenimentului A de exact de m ori în n încercări este calculată folosind formula Bernoulli: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Așteptările matematice, dispersia și abaterea standard a unei variabile aleatoare X distribuite conform unei legi binare se găsesc, respectiv, folosind formulele: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Probabilitatea evenimentului A - „lansarea unui cinci” în fiecare încercare este aceeași și egală cu 1/6 , adică P(A)=p=1/6, apoi P(A)=1-p=q=5/6, unde - „Eșecul de a obține A.” Variabila aleatoare X poate lua următoarele valori: 0;1;2;3. Găsim probabilitatea fiecăreia dintre valorile posibile ale lui X folosind formula lui Bernoulli: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Acea. legea de distribuție a variabilei aleatoare X are forma: Control: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Să găsim caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Sarcina nr. 4. O mașină automată ștampilă piesele. Probabilitatea ca o piesă fabricată să fie defectă este de 0,002. Găsiți probabilitatea ca între 1000 de părți selectate să fie: a) 5 defecte; b) cel puțin unul este defect. Soluţie:
Numărul n=1000 este mare, probabilitatea producerii unei piese defecte p=0,002 este mică, iar evenimentele luate în considerare (partea se dovedește a fi defectă) sunt independente, prin urmare formula Poisson este valabilă: Рn(m)= e-
λ
λm Să găsim λ=np=1000 0,002=2. a) Aflați probabilitatea ca să fie 5 piese defecte (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Aflați probabilitatea ca cel puțin o piesă defectă să fie. Evenimentul A - „cel puțin una dintre părțile selectate este defectă” este opusul evenimentului - „toate părțile selectate nu sunt defecte.” Prin urmare, P(A) = 1-P(). Prin urmare, probabilitatea dorită este egală cu: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Sarcini pentru munca independentă.
1.1
1.2.
Variabila aleatoare dispersată X este specificată de legea distribuției: Găsiți p4, funcția de distribuție F(X) și trasați graficul acesteia, precum și M(X), D(X), σ(X). 1.3.
În cutie sunt 9 markere, dintre care 2 nu mai scriu. Luați 3 markere la întâmplare. Variabila aleatoare X este numărul de markeri de scriere dintre cei luați. Întocmește o lege de distribuție a unei variabile aleatoare. 1.4.
Există 6 manuale aranjate aleatoriu pe un raft al bibliotecii, dintre care 4 sunt legate. Bibliotecarul ia la întâmplare 4 manuale. Variabila aleatoare X este numărul de manuale legate dintre cele luate. Întocmește o lege de distribuție a unei variabile aleatoare. 1.5.
Pe bilet sunt două sarcini. Probabilitate decizia corectă prima problemă este 0,9, a doua este 0,7. Variabila aleatoare X este numărul de probleme rezolvate corect din bilet. Elaborați o lege de distribuție, calculați așteptarea matematică și varianța acestei variabile aleatoare și, de asemenea, găsiți funcția de distribuție F(x) și construiți graficul acesteia. 1.6.
Trei trăgători trag într-o țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu o lovitură este de 0,5 pentru primul trăgător, 0,8 pentru al doilea și 0,7 pentru al treilea. Variabila aleatorie X este numărul de lovituri pe țintă dacă trăgătorii trag câte o lovitură la un moment dat. Aflați legea distribuției, M(X),D(X). 1.7.
Un jucător de baschet aruncă mingea în coș cu o probabilitate de a lovi fiecare lovitură de 0,8. Pentru fiecare lovitură, el primește 10 puncte, iar dacă ratează, nu i se acordă niciun punct. Întocmește o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X - numărul de puncte primite de un baschetbalist în 3 lovituri. Găsiți M(X),D(X), precum și probabilitatea ca el să obțină mai mult de 10 puncte. 1.8.
Pe cartonașe sunt scrise litere, în total 5 vocale și 3 consoane. Se aleg la întâmplare 3 cărți și de fiecare dată cardul luat este returnat înapoi. Variabila aleatoare X este numărul de vocale dintre cele luate. Întocmește o lege de distribuție și află M(X),D(X),σ(X). 1.9.
În medie, 60% din contracte Companie de asigurari plătește sume de asigurare în legătură cu producerea unui eveniment asigurat. Întocmește o lege de repartizare a variabilei aleatoare X - numărul de contracte pentru care a fost plătită suma de asigurare dintre patru contracte selectate aleatoriu. Aflați caracteristicile numerice ale acestei mărimi. 1.10.
Postul de radio trimite indicative de apel (nu mai mult de patru) la anumite intervale până când se stabilește o comunicare bidirecțională. Probabilitatea de a primi un răspuns la un indicativ de apel este de 0,3. Variabila aleatoare X este numărul de indicative de apel trimise. Întocmește o lege de distribuție și află F(x). 1.11.
Sunt 3 chei, dintre care doar una se potrivește în încuietoare. Întocmește o lege pentru distribuirea variabilei aleatoare X-număr de încercări de a deschide încuietoarea, dacă cheia încercată nu participă la încercările ulterioare. Găsiți M(X),D(X). 1.12.
Pentru fiabilitate, sunt efectuate teste independente consecutive a trei dispozitive. Fiecare dispozitiv ulterior este testat numai dacă cel anterior s-a dovedit a fi fiabil. Probabilitatea de a trece testul pentru fiecare dispozitiv este de 0,9. Elaborați o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X-număr de dispozitive testate. 1.13
.Variabila aleatoare discretă X are trei valori posibile: x1=1, x2, x3 și x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Blocul dispozitivului electronic conține 100 de elemente identice. Probabilitatea de defectare a fiecărui element în timpul T este de 0,002. Elementele funcționează independent. Aflați probabilitatea ca nu mai mult de două elemente să eșueze în timpul T. 1.15.
Manualul a fost publicat într-un tiraj de 50.000 de exemplare. Probabilitatea ca manualul să fie legat incorect este de 0,0002. Aflați probabilitatea ca circulația să conțină: a) patru cărți defecte, b) mai puțin de două cărți defecte. 1
.16.
Numărul de apeluri care sosesc la PBX în fiecare minut este distribuit conform legii lui Poisson cu parametrul λ=1,5. Găsiți probabilitatea ca într-un minut să sosească următoarele: a) două apeluri; b) cel puţin un apel. 1.17.
Găsiți M(Z),D(Z) dacă Z=3X+Y. 1.18.
Sunt date legile de distribuție a două variabile aleatoare independente: Găsiți M(Z),D(Z) dacă Z=X+2Y. Raspunsuri:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 la x≤-2, 0,3 la -2<х≤0, F(x)= 0,5 la 0<х≤2, 0,9 la 2<х≤5, 1 la x>5 0,3 la -1<х≤0, 0,4 la 0<х≤1, F(x)= 0,6 la 1<х≤2, 0,7 la 2<х≤3, 1 la x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 la x≤0, 0,03 la 0<х≤1, F(x)= 0,37 la 1<х≤2, 1 pentru x>2 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a)0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b) 0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Capitolul 2. Variabilă aleatoare continuă
Definiție: Continuu
este o mărime ale cărei toate valorile posibile umplu complet un interval finit sau infinit al dreptei numerice. Evident, numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit. O variabilă aleatoare continuă poate fi specificată folosind o funcție de distribuție. Definiție: F funcția de distribuție
o variabilă aleatoare continuă X se numește funcție F(x), care determină pentru fiecare valoare xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Funcția de distribuție este uneori numită funcție de distribuție cumulativă. Proprietățile funcției de distribuție:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Pentru o variabilă aleatoare continuă, funcția de distribuție este continuă în orice punct și diferențiabilă peste tot, cu excepția, poate, în puncte individuale. 3) Probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să cadă într-unul dintre intervalele (a;b), [a;b], [a;b], este egală cu diferența dintre valorile funcției F(x) la punctele a și b, adică R(a)<Х 4) Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să ia o valoare separată este 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Specificarea unei variabile aleatoare continue folosind o funcție de distribuție nu este singura modalitate. Să introducem conceptul de densitate de distribuție a probabilității (densitate de distribuție). Definiție
:
Densitatea distribuției probabilităților
f
(
X
)
a unei variabile aleatoare continue X este derivata funcției sale de distribuție, adică: Funcția de densitate de probabilitate este uneori numită funcție de distribuție diferențială sau lege de distribuție diferențială. Se numește graficul distribuției densității de probabilitate f(x). curba de distribuție a probabilității
.
Proprietăți ale distribuției densității de probabilitate:
1) f(x) ≥0, la xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" înălțime ="62 src="> 0 la x≤2, f(x)= c(x-2) la 2<х≤6, 0 pentru x>6. Aflați: a) valoarea lui c; b) funcția de distribuție F(x) și reprezentați-o grafic; c) P(3≤x<5) Soluţie:
+
∞ a) Găsim valoarea lui c din condiția de normalizare: ∫ f(x)dx=1. Prin urmare, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x daca 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" width="14" height="62"> 0 la x≤2, F(x)= (x-2)2/16 la 2<х≤6, 1 pentru x>6. Graficul funcției F(x) este prezentat în Fig. 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 la x≤0, F(x)= (3 arctan x)/π la 0<х≤√3, 1 pentru x>√3. Găsiți funcția de distribuție diferențială f(x) Soluţie:
Deoarece f(x)= F’(x), atunci https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> Toate proprietățile așteptării și dispersiei matematice, discutate mai devreme pentru variabilele aleatoare dispersate, sunt valabile și pentru cele continue. Sarcina nr. 3. Este dată variabila aleatoare X functie diferentiala f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Probleme pentru rezolvare independentă.
2.1.
O variabilă aleatoare continuă X este specificată de funcția de distribuție: 0 la x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pentru x≤ π/6, F(x)= - cos 3x la π/6<х≤ π/3, 1 pentru x> π/3. Găsiți funcția de distribuție diferențială f(x) și, de asemenea Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 la x≤2, f(x)= c x la 2<х≤4, 0 pentru x>4. 2.4.
O variabilă aleatoare continuă X este specificată de densitatea distribuției: 0 la x≤0, f(x)= c √x la 0<х≤1, 0 pentru x>1. Aflați: a) numărul c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> la x, 0 la x. Aflați: a) F(x) și construiți graficul său; b) M(X),D(X), σ(X); c) probabilitatea ca în patru încercări independente valoarea lui X să ia exact de 2 ori valoarea aparținând intervalului (1;4). 2.6.
Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este dată: f(x)= 2(x-2) la x, 0 la x. Aflați: a) F(x) și construiți graficul său; b) M(X),D(X), σ (X); c) probabilitatea ca în trei încercări independente valoarea lui X să ia exact de 2 ori valoarea aparținând segmentului . 2.7.
Funcția f(x) este dată astfel: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Funcția f(x) este dată astfel: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Aflați: a) valoarea constantei c la care funcția va fi densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare X; b) funcţia de distribuţie F(x). 2.9.
Variabila aleatoare X, concentrată pe intervalul (3;7), este specificată de funcția de distribuție F(x)= . Găsiți probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua valoarea: a) mai mică de 5, b) nu mai mică de 7. 2.10.
Variabila aleatoare X, concentrată pe intervalul (-1;4), este dat de funcţia de distribuţie F(x)= . Găsiți probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua valoarea: a) mai mică de 2, b) nu mai mică de 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Aflați: a) numărul c; b) M(X); c) probabilitatea P(X> M(X)). 2.12.
Variabila aleatoare este specificată de funcția de distribuție diferențială: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Aflați: a) M(X); b) probabilitatea P(X≤M(X)) 2.13.
Distribuția Rem este dată de densitatea de probabilitate: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> pentru x ≥0. Demonstrați că f(x) este într-adevăr o funcție de densitate de probabilitate. 2.14.
Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este dată: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Fig. 4) 2.16.
Variabila aleatoare X este distribuită conform legii „ triunghi dreptunghic„în intervalul (0;4) (Fig. 5). Găsiți o expresie analitică pentru densitatea de probabilitate f(x) pe întreaga dreaptă numerică. Răspunsuri
0 la x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pentru x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x la π/6<х≤ π/3, 0 pentru x> π/3. O variabilă aleatoare continuă X are o lege de distribuție uniformă pe un anumit interval (a;b), care conține toate valorile posibile ale lui X, dacă densitatea distribuției de probabilitate f(x) este constantă pe acest interval și egală cu 0 în afara lui , adică 0 pentru x≤a, f(x)= pentru a<х 0 pentru x≥b. Graficul funcției f(x) este prezentat în Fig. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Sarcina nr. 1. Variabila aleatoare X este distribuită uniform pe segment. Găsi: a) densitatea distribuției de probabilitate f(x) și reprezentați-o grafic; b) funcția de distribuție F(x) și reprezentați-o grafic; c) M(X),D(X), σ(X). Soluţie:
Folosind formulele discutate mai sus, cu a=3, b=7, găsim: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> la 3≤х≤7, 0 pentru x>7 Să construim graficul său (Fig. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 la x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Fig. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 la x<0, f(x)= λе-λх pentru x≥0. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X, distribuită conform legii exponențiale, este dată de formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)= Astfel, așteptarea matematică și abaterea standard a distribuției exponențiale sunt egale între ele. Probabilitatea ca X să cadă în intervalul (a;b) se calculează prin formula: P(a<Х Sarcina nr. 2. Timpul mediu de funcționare fără defecțiuni a dispozitivului este de 100 de ore. Presupunând că timpul de funcționare fără defecțiuni a dispozitivului are o lege de distribuție exponențială, găsiți: a) densitatea distribuției de probabilitate; b) funcţia de distribuţie; c) probabilitatea ca timpul de funcționare fără defecțiuni a dispozitivului să depășească 120 de ore. Soluţie:
Conform condiției, distribuția matematică M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 la x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x pentru x≥0. b) F(x)= 0 la x<0, 1-e -0,01x la x≥0. c) Găsim probabilitatea dorită folosind funcția de distribuție: P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3.Legea distribuției normale Definiție:
O variabilă aleatoare continuă X are legea normală distribuții (legea lui Gauss),
dacă densitatea sa de distribuție are forma: unde m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Curba de distribuție normală se numește curba normala sau gaussiana
(Fig.7) Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X, distribuită conform legii normale, se exprimă prin funcția Laplace Ф (x) după formula: unde este funcția Laplace. Cometariu:
Funcția Ф(x) este impară (Ф(-х)=-Ф(х)), în plus, pentru x>5 putem presupune Ф(х) ≈1/2. Graficul funcției de distribuție F(x) este prezentat în Fig. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Probabilitatea ca valoare absolută abaterile mai mici decât un număr pozitiv δ sunt calculate prin formula: În special, pentru m=0 este valabilă următoarea egalitate: „Regula celor trei sigma”
Dacă o variabilă aleatoare X are o lege de distribuție normală cu parametrii m și σ, atunci este aproape sigur că valoarea ei se află în intervalul (a-3σ; a+3σ), deoarece https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Să folosim formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Din tabelul cu valorile funcției Ф(х) găsim Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413. Deci, probabilitatea dorită: P(28 Sarcini pentru munca independentă
3.1.
Variabila aleatoare X este distribuită uniform în intervalul (-3;5). Găsi: b) funcţia de distribuţie F(x); c) caracteristici numerice; d) probabilitatea P(4<х<6). 3.2.
Variabila aleatoare X este distribuită uniform pe segment. Găsi: a) densitatea distribuției f(x); b) funcţia de distribuţie F(x); c) caracteristici numerice; d) probabilitatea P(3≤х≤6). 3.3.
Pe autostradă există un semafor automat, în care semaforul verde este aprins timp de 2 minute, galben timp de 3 secunde, roșu timp de 30 de secunde etc. O mașină circulă de-a lungul autostrăzii într-un moment aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca o mașină să treacă de un semafor fără să se oprească. 3.4.
Trenurile de metrou circulă regulat la intervale de 2 minute. Un pasager intră pe platformă la un moment dat. Care este probabilitatea ca un pasager să fie nevoit să aștepte mai mult de 50 de secunde pentru un tren? Găsiți așteptarea matematică a variabilei aleatoare X - timpul de așteptare pentru tren. 3.5.
Aflați varianța și abaterea standard a distribuției exponențiale date de funcția de distribuție: F(x)= 0 la x<0, 1-8x pentru x≥0. 3.6.
O variabilă aleatoare continuă X este specificată de densitatea distribuției de probabilitate: f(x)= 0 la x<0, 0,7 e-0,7x la x≥0. a) Numiți legea de distribuție a variabilei aleatoare luate în considerare. b) Aflați funcția de distribuție F(X) și caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare X. 3.7.
Variabila aleatoare X este distribuită conform legii exponențiale specificate de densitatea distribuției de probabilitate: f(x)= 0 la x<0, 0,4 e-0,4 x la x≥0. Aflați probabilitatea ca în urma testului X să ia o valoare din intervalul (2.5;5). 3.8.
O variabilă aleatoare continuă X este distribuită conform legii exponențiale specificate de funcția de distribuție: F(x)= 0 la x<0, 1-0,6x la x≥0 Găsiți probabilitatea ca, în urma testului, X să ia o valoare din segment. 3.9.
Valoarea așteptată și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite normal sunt 8 și, respectiv, 2. Aflați: a) densitatea distribuției f(x); b) probabilitatea ca în urma testului X să ia o valoare din intervalul (10;14). 3.10.
Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu o așteptare matematică de 3,5 și o varianță de 0,04. Găsi: a) densitatea distribuției f(x); b) probabilitatea ca în urma testului X să ia o valoare din segmentul . 3.11.
Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu M(X)=0 și D(X)=1. Care dintre evenimente: |X|≤0,6 sau |X|≥0,6 este mai probabil? 3.12.
Variabila aleatoare X este distribuită normal cu M(X)=0 și D(X)=1. Din ce interval (-0,5;-0,1) sau (1;2) este mai probabil să ia o valoare în timpul unui test? 3.13.
Prețul curent pe acțiune poate fi modelat folosind legea distribuției normale cu M(X)=10 den. unitati şi σ (X)=0,3 den. unitati Găsi: a) probabilitatea ca prețul curent al acțiunii să fie de la 9,8 den. unitati până la 10,4 zile unități; b) folosind „regula trei sigma”, găsiți limitele în care va fi situat prețul actual al acțiunilor. 3.14.
Se cântărește substanța fără erori sistematice. Erorile de cântărire aleatoare sunt supuse legii normale cu raportul pătrat mediu σ=5g. Găsiți probabilitatea ca în patru experimente independente să nu apară o eroare în trei cântăriri în valoarea absolută 3r. 3.15.
Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu M(X)=12,6. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în intervalul (11,4;13,8) este 0,6826. Găsiți abaterea standard σ. 3.16.
Variabila aleatoare X este distribuită normal cu M(X)=12 și D(X)=36. Aflați intervalul în care variabila aleatoare X va cădea ca rezultat al testului cu o probabilitate de 0,9973. 3.17.
O piesă fabricată de o mașină automată este considerată defectă dacă abaterea X a parametrului său controlat de la valoarea nominală depășește modulo 2 unități de măsură. Se presupune că variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu M(X)=0 și σ(X)=0,7. Ce procent de piese defecte produce mașina? 3.18.
Parametrul X al piesei este distribuit normal cu o așteptare matematică de 2 egală cu valoarea nominală și o abatere standard de 0,014. Aflați probabilitatea ca abaterea lui X de la valoarea nominală să nu depășească 1% din valoarea nominală. Răspunsuri
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 pentru x≤-3, F(x)= stânga"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Legea distribuției variabilei aleatoare X: Exemplul nr. 2. Probabilitatea ca un trăgător să lovească ținta cu o singură lovitură pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea trăgător – 0,85. Trăgătorii au tras o singură lovitură în țintă. Considerând lovirea țintei ca evenimente independente pentru trăgători individuali, găsiți probabilitatea evenimentului A – exact o lovitură pe țintă.
1.2.
p4=0,1; 0 la x≤-1,
(Fig.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pentru x≤a,
,
Curba normală este simetrică față de dreapta x=m, are un maxim la x=a, egal cu .
,
Soluţie.
Probabilitatea ca nu au fost desenate embleme: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5
*0,5*0,5 + 0,5*0,5
*0,5 + 0,5*0,5*0,5
= 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5
*0,5
*0,5 + 0,5
*0,5*0,5
+ 0,5*0,5
*0,5
= 3*0,125=0,375
Probabilitatea de a obține trei steme: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Verificați: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1 X 0
1
2
3
P 0,125
0,375
0,375
0,125
Soluţie.
Luați în considerare evenimentul A - o lovitură pe țintă. Opțiunile posibile pentru ca acest eveniment să aibă loc sunt următoarele:
Atunci probabilitatea evenimentului A – exact o lovitură pe țintă – va fi egală cu: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97