Axioma privind condiția echivalenței perechilor de forțe în spațiu. În loc de vectorul moment al fiecărei perechi de forțe perpendicular pe planul desenului, este indicată doar direcția în care perechea de forțe tinde să rotească acest plan.

Perechile de forțe în spațiu sunt echivalente dacă momentele lor sunt egale din punct de vedere geometric. Fără a modifica acțiunea unei perechi de forțe asupra unui corp rigid, o pereche de forțe poate fi transferată în orice plan paralel cu planul de acțiune al perechii și, de asemenea, își poate modifica forțele și efectul de pârghie, păstrând modulul și direcția momentului său. constant. Astfel, vectorul moment al unei perechi de forțe poate fi transferat în orice punct, adică momentul unei perechi de forțe este un vector liber. Vectorul moment al unei perechi de forțe descrie toate cele trei elemente ale sale: poziția planului de acțiune al perechii, direcția de rotație și valoare numerica moment. Să ne uităm la adunarea a două perechi de forțe situate în planuri care se intersectează și să demonstrăm următoarea axiomă: suma geometrică a momentelor perechilor de forțe constitutive este egală cu momentul perechii echivalente cu acestea. Să fie necesară adăugarea a două perechi de forțe situate în planurile de intersectare I și II având momente

Orez. 34 După ce am ales ca forțele acestor perechi să fie egale ca mărime

Să definim umerii acestor perechi:

Să aranjam aceste perechi de forțe în așa fel încât forțele să fie orientate de-a lungul benzii de intersecție a planurilor KL în direcții opuse și să fie echilibrate. Forțele rămase formează o pereche de forțe echivalentă cu cele două perechi de forțe date. Această pereche de forțe are un umăr BC = d și un moment perpendicular pe planul de acțiune al perechii de forțe, egal ca mărime cu M = Pd.

Suma geometrică a momentelor perechilor de forțe constitutive este egală cu momentul perechii echivalente. Deoarece momentul unei perechi de forțe este un vector liber, să transferăm momentele perechilor de forțe constitutive în punctul B și să le adunăm, construind un paralelogram pe aceste momente. Diagonala acestui paralelogram

reprezintă momentul unei perechi echivalente. Rezultă că vectorul, adică suma geometrică a momentelor perechilor de forțe constitutive este egală cu momentul perechii echivalente de forțe:

Această metodă de adunare a momentelor perechilor de forțe se numește regula paralelogramului momentului. Construcția unui paralelogram de momente poate fi înlocuită cu construcția unui triunghi de momente.

Folosind construcția unui paralelogram sau a unui triunghi de momente, puteți rezolva și problema inversă, adică descompuneți orice pereche de forțe în două componente. Să fie necesară adăugarea mai multor perechi de forțe situate arbitrar în spațiu (Fig. 35). După ce au determinat momentele acestor perechi, acestea pot fi transferate în orice punct O al locului. Adunând momentele acestor perechi de forțe unul câte unul, se poate construi un poligon al momentelor perechilor, a cărui latură de închidere va determina momentul perechii echivalente de forțe. (Fig. 35) prezintă construcția unui poligon de moment când se adună 3 perechi.

Momentul unei perechi de forțe, forțe echivalente cu un sistem dat de perechi de forțe în spațiu, este egal cu suma geometrică a momentelor perechilor de forțe constitutive:
sau

Planul I al acțiunii unei perechi date de forțe este perpendicular pe direcția momentului său

Dacă momentul unei perechi echivalente de forțe este zero, atunci perechile de forțe sunt echilibrate reciproc:

Astfel, condiția de echilibru pentru perechile de forțe situate arbitrar în spațiu poate fi construită astfel: perechile de forțe situate arbitrar în spațiu sunt echilibrate reciproc în acest caz dacă suma geometrică a momentelor lor este zero. Dacă perechile de forțe sunt plasate în același plan (Fig. 36), atunci momentele acestor perechi de forțe, îndreptate de-a lungul unei linii drepte, se adună algebric.

Proprietățile perechilor de forțe sunt determinate de un număr de teoreme, care sunt date fără dovezi:

· Două perechi sunt echivalente dacă momentele lor vectoriale sunt egale ca mărime și au aceeași direcție.

· Acțiunea perechii asupra corpului nu se va schimba dacă este transferată în orice loc din planul de acțiune.

· Acțiunea perechii asupra corpului nu se va schimba dacă este transferată din planul de acțiune într-un plan paralel cu acesta.

· Efectul unui cuplu asupra corpului nu se va schimba dacă creșteți (scădeți) magnitudinea forței cuplului, în timp ce scădeți (creșteți) simultan umărul cuplului cu aceeași cantitate.

Concluzie: momentul vectorial al unei perechi de forțe care acționează asupra unui corp rigid este un vector liber, adică poate fi aplicat în orice punct al corpului rigid.

Să luăm în considerare adăugarea de perechi situate arbitrar în spațiu. Să demonstrăm teorema:

Un sistem de perechi situat arbitrar în spațiu este echivalent cu o pereche cu un moment egal cu suma geometrică a momentelor termenilor perechilor.

Să luăm două perechi () și (), situate pe plane care se intersectează la un unghi arbitrar. Să presupunem că umerii perechilor sunt egali cu și respectiv. Pe linia de intersecție a planurilor, marcați un segment arbitrar AB și aduceți fiecare dintre perechile sumand la brațul AB. Adunând forțele corespunzătoare (vezi figura) c și c, obținem o nouă pereche (), al cărei moment va fi egal cu

Fig. 2.18 Perechea de forțe rezultată

Un sistem de perechi de forțe care acționează asupra unui corp poate fi înlocuit, în conformitate cu teorema tocmai dovedită, cu o pereche egală cu suma vectorilor de moment ai perechilor sumand. În consecință, echilibrul unui sistem de perechi este posibil numai dacă condiția este îndeplinită

Proiectând condiția vectorială redusă pentru echilibrul perechilor pe oricare trei axe care nu se află în același plan și nu sunt paralele între ele, obținem ecuații scalare pentru echilibrul unui sistem de perechi.

Moment de putere. Câteva forțe.

1. Concepte de bază și definiții ale staticii.

Obiecte materiale în statică:

punct material,

sistem de puncte materiale,

corp absolut solid.

Un sistem de puncte materiale sau un sistem mecanic, este o colecție de puncte materiale în care poziția și mișcarea fiecărui punct depind de poziția și mișcarea altor puncte ale acestui sistem.

Corp absolut rigid este un corp a cărui distanță între două puncte nu se modifică.

Un corp solid poate fi într-o stare de repaus sau în mișcare de o anumită natură. Vom numi fiecare dintre aceste state starea cinematică a corpului.

	Forta- o măsură a interacțiunii mecanice a corpurilor, determinând intensitatea și direcția acestei interacțiuni. Forta poate fi aplicată într-un punct, atunci această forță este concentrat. Forta poate acționa asupra tuturor punctelor unui anumit volum sau suprafață a corpului, atunci această forță este distribuite.
	Sistem de forţe - cu totalitatea fortelor care actioneaza asupra corp dat.
	Rezultat se numește forță echivalentă cu un anumit sistem de forțe.
	O forță de echilibrare se numește forță egală ca mărime cu rezultanta și îndreptată de-a lungul liniei de acțiune a acesteia în direcția opusă.
	Un sistem de forțe care se echilibrează reciproc este un sistem de forțe care, atunci când este aplicat unui corp solid în repaus, nu îl îndepărtează din această stare.

Forțele interioare- acestea sunt forte care actioneaza intre punctele sau corpurile unui sistem dat.

Forțe externe- acestea sunt forțe care acționează din puncte sau corpuri care nu fac parte dintr-un sistem dat.

Sarcini statice:

- transformarea sistemelor de forţe care acţionează asupra unui corp solid în sisteme echivalente acestora;

- studiul condiţiilor de echilibru ale corpurilor sub influenţa forţelor aplicate acestora.

1. Axiomele staticii.

		3. Axioma adunării și excluderii forțelor de echilibrare. Acțiunea unui sistem de forțe asupra unui corp solid nu se va schimba dacă un sistem de forțe care se echilibrează reciproc este adăugat sau exclus din acesta. Consecinţă. Fără a modifica starea cinematică a unui corp absolut rigid, forța poate fi transferată de-a lungul liniei de acțiune a acestuia, păstrând modulul și direcția neschimbate. CU nămol - vector de alunecare.
	4. Axioma paralelogramului de forțe. Rezultanta a două forțe care se intersectează se aplică în punctul de intersecție a acestora și este reprezentată de diagonala unui paralelogram construit pe aceste forțe.

5. Axioma egalității de acțiune și reacție. Fiecare acțiune are o reacție egală și opusă.

2. Conexiunile și reacțiile lor

Un corp rigid se numește liber dacă se poate mișca în spațiu în orice direcție.

Un corp care limitează libertatea de mișcare a unui corp rigid dat este o legătură în raport cu acesta.

Un corp rigid a cărui libertate de mișcare este limitată de legături se numește non-liber.

Toate forțele care acționează asupra unui corp rigid neliber pot fi împărțite în:

• Setați activ)
• reacții de legătură

Setați forța exprimă acţiunea asupra unui corp dat a altor corpuri care poate provoca o modificare a stării sale cinematice.

Reacția de comunicare - aceasta este forta cu care o legatura data actioneaza asupra corpului, impiedicand una sau alta miscare a acestuia.

Principiul eliberării solidelor de legături - un corp solid neliber poate fi considerat ca un corp liber, asupra căruia, pe lângă forțele specificate, acționează și reacții de legături.

Cum se determină direcția unei reacții?

Dacă pe plan există două direcții reciproc perpendiculare, în una dintre ele conexiunea împiedică mișcarea corpului, iar în cealaltă nu, atunci direcția reacției sale este opusă primei direcții.

ÎN caz general reacția conexiunii este îndreptată în direcția opusă celei în care legătura nu permite mișcarea corpului.

	Balama fixă Mobil

3. Moment de forță în jurul centrului

Un moment de putere F relativ la un centru fix O este un vector situat perpendicular pe planul care trece prin vectorul de forță și centrul O îndreptat în acea direcție, astfel încât, privind de la capătul său, se poate vedea rotația forței. F faţă de centrul O în sens invers acelor de ceasornic.

Proprietățile momentului de forță relativ la centru:

	1) Modulul momentului de forță față de centru poate fi exprimat de două ori aria triunghiului OAV (1.1) 2) Momentul forței față de centru egal cu zeroîn cazul în care linia de acţiune a forţei trece prin acest punct, adică h = 0 .
	3) Dacă dintr-un punct DESPRE până la aplicarea forței A desenați un vector rază, atunci vectorul momentului de forță poate fi exprimat ca produs vectorial (1.2)
	4) Când o forță este transferată de-a lungul liniei de acțiune, vectorul momentului său relativ la un punct dat nu se modifică.

Dacă mai multe forțe situate în același plan sunt aplicate unui corp rigid, puteți calcula suma algebrică a momentelor acestor forțe în raport cu orice punct din acest plan.

Moment M O , egală cu suma algebrică a momentelor unui sistem dat relativ la orice punct din același plan, se numește momentul principal al sistemului de forţe relativ la acest punct.

3. Momentul de forță în jurul axei

Pentru a determina momentul forței în jurul unei axe, trebuie să:

1) trageți un plan perpendicular pe axa Z;

2) determinați punctul DESPRE intersecția unei axe cu un plan;

3) proiectați forța ortogonal F la acest avion;

4) găsiți momentul proiecției forței F raportat la punctul O de intersecție a axei cu planul.

Regula semnului:

Momentul de forță relativ la axă este considerat pozitiv dacă, privind spre axa Z , se poate vedea proiecția tinde să rotească planul eu în jurul axei Z în direcția opusă rotației în sensul acelor de ceasornic.

Proprietățile momentului de forță raportat la axa 1) Momentul de forță relativ la axă este reprezentat de un segment trasat de-a lungul axei Z din punctul O în direcția pozitivă dacă > 0 și în direcția negativă dacă< 0. 2) Valoarea momentului de forță în jurul axei poate fi exprimată de două ori aria Δ (1.5) 3) Momentul de forță față de axă este zero în două cazuri: Dacă F 1 = 0, adică linia de acțiune a forței este paralelă cu axa; dacă h 1 = 0 , adică linia de acțiune a forței intersectează axa.

4. Cuplu de forțe. Momentul vectorial și algebric al unei perechi de forțe

Un sistem de două forțe egale ca mărime, paralele și direcționate opus și se numește câteva forțe.

Se numeste planul in care se afla liniile de actiune ale fortelor si planul de acţiune al unei perechi de forţe.

Cea mai scurtă distanță hîntre liniile de acţiune ale forţelor care alcătuiesc perechea se numeşte umăr de câteva forţe.

Moment de câteva forțe este determinată de produsul modulului uneia dintre forțele perechii și umărului.

Regula semnelor

Vectorul moment M al perechii este îndreptat perpendicular pe planul de acțiune al perechii de forțe în așa direcție încât, privind către acest vector, se poate vedea perechea de forțe care tind să rotească planul de acțiune al acesteia în direcția opusă. la rotația în sensul acelor de ceasornic.

1. 4. Proprietățile perechilor de forțe pe un plan

Proprietatea 1. Vector de moment M perechi ca mărime și direcție este egală cu produsul vectorial al razei vectorului AB la cea a forţelor acestei perechi, spre începutul căreia este îndreptat vectorul rază AB, acesta este

(1.7)

Proprietatea 2. Momentul principal al forțelor care alcătuiesc o pereche față de un punct arbitrar din planul de acțiune al perechii nu depinde de poziția acestui punct și este egal cu momentul acestei perechi de forțe.

5. Condiții pentru echivalența perechilor de forțe

Teoremă privind condiția echivalenței perechilor de forțe,

culcat în același plan.

Cu câteva forțe este un sistem de două forțe egale ca mărime, paralele și direcționate în direcții opuse, care acționează asupra unui corp absolut rigid.

Teorema adunării perechilor de forțe. Două perechi de forțe care acționează asupra aceluiași corp solid și aflate în planuri care se intersectează pot fi înlocuite cu o pereche echivalentă de forțe, al cărei moment este egal cu suma momentelor perechilor de forțe date.

Dovada: Să fie două perechi de forțe situate în planuri care se intersectează. O pereche de forțe dintr-un plan este caracterizată de un moment, iar o pereche de forțe dintr-un plan este caracterizată de un moment. Să aranjam perechile de forțe astfel încât brațul perechilor să fie comun și situat pe linia de intersecție a avioanelor. Adunăm forțele aplicate în punctul A și în punctul B. Primim câteva forțe.

Condiții pentru echilibrul perechilor de forțe.

Dacă asupra unui corp solid acţionează mai multe perechi de forţe, situate arbitrar în spaţiu, atunci prin aplicarea secvenţială a regulii paralelogramului la fiecare două momente ale perechilor de forţe, orice număr de perechi de forţe poate fi înlocuit cu o pereche echivalentă de forţe. , al cărui moment este egal cu suma momentelor perechilor de forțe date.

Teorema. Pentru echilibrul perechilor de forțe aplicate unui corp solid, este necesar și suficient ca momentul perechii echivalente de forțe să fie egal cu zero.

Teorema. Pentru echilibrul perechilor de forțe aplicate unui corp rigid, este necesar și suficient ca suma algebrică a proiecțiilor momentelor perechilor de forțe pe fiecare dintre cele trei axele de coordonate a fost egal cu zero.

20.dinamic ecuatii diferentiale raportat la deplasarea unui punct material. Teorema Coriolis dinamică

Ecuații diferențiale ale mișcării unui punct material liber.

Pentru a deriva ecuațiile, vom folosi axiomele a doua și a patra ale dinamicii. Conform celei de-a doua axiome ma = F (1)

unde, conform celei de-a patra axiome, F este rezultanta tuturor forțelor aplicate punctului.

Ținând cont de ultima remarcă, expresia (1) este adesea numită ecuația de bază a dinamicii. Sub formă de scriere, reprezintă a doua lege a lui Newton, în care o forță, conform axiomei independenței acțiunii forțelor, este înlocuită cu rezultanta tuturor forțelor aplicate unui punct material. Reamintind că a = dV / dt = d2r / dt = r"", obținem din (1) ecuația diferențială a mișcării unui punct material în formă vectorială: mr"" = F (2)

ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct material neliber.

Conform axiomei legăturilor, înlocuind conexiunile cu reacțiile lor, se poate considera un punct material neliber ca liber, sub influența forțelor active și a reacțiilor legăturilor.Conform celei de-a patra axiome a dinamicii, F va fi rezultanta lui forţe active şi reacţii ale conexiunilor.

Prin urmare, ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct material liber pot fi folosite pentru a descrie mișcarea unui punct neliber, amintindu-ne că proiecțiile forțelor pe axele dreptunghiulare Fx, Fy, Fz din ecuațiile (4) și proiecțiile lui forțele pe axele naturale Fτ, Fn, Fb în ecuațiile (6 ) includ nu numai proiecții ale forțelor active, ci și proiecții ale reacțiilor de legătură.

Prezența reacțiilor de constrângere în ecuațiile de mișcare a unui punct complică în mod firesc rezolvarea problemelor de dinamică, deoarece în ele apar necunoscute suplimentare. Pentru a rezolva probleme, trebuie să cunoașteți proprietățile legăturilor și să aveți ecuații ale legăturilor, dintre care ar trebui să existe tot atâtea câte reacții ale legăturilor.

Forța Coriolis este egală cu:

unde m este o masă punctuală, w este vectorul vitezei unghiulare a unui cadru de referință rotativ, v este vectorul vitezei de mișcare a unei mase punctiforme din acest cadru de referință, parantezele pătrate indică funcționarea produsului vectorial.

Mărimea se numește accelerație Coriolis.

Forța Coriolis este una dintre forțele inerțiale care există într-un cadru de referință non-inerțial datorită rotației și legilor inerției, manifestându-se atunci când se deplasează într-o direcție unghiulară față de axa de rotație.

Teoremă: un sistem de perechi de forțe care acționează asupra unui corp absolut rigid într-un plan este echivalent cu o pereche de forțe cu un moment egal cu suma algebrică a momentelor perechilor sistemului.

O pereche rezultantă este o pereche de forțe care înlocuiește acțiunea acestor perechi de forțe aplicate unui corp solid într-un singur plan.

Condiție pentru echilibrul unui sistem de perechi de forțe: pentru echilibrul unui sistem plan de perechi de forțe, este necesar și suficient ca suma momentelor lor să fie egală cu 0.

Moment de forță în jurul unui punct.

Momentul unei forțe raportat la un punct este produsul dintre modulul de forță și umărul acestuia față de un punct dat, luat cu semnul plus sau minus. Brațul unei forțe relativ la un punct este lungimea perpendicularei trase de la un punct dat la linia de acțiune a forței. Admis următoarea regulă semne: momentul unei forțe în jurul unui punct dat este pozitiv dacă forța tinde să rotească corpul în jurul acestui punct în sens invers acelor de ceasornic și negativ în cazul opus. Dacă linia de acțiune a unei forțe trece printr-un anumit punct, atunci în raport cu acest punct pârghia forței și momentul ei sunt egale cu zero. Momentul de forță relativ la un punct este determinat de formula.

Proprietățile momentului de forță relativ la un punct:

1. Momentul forței relativ la un punct dat nu se modifică atunci când forța este transferată de-a lungul liniei sale de acțiune, deoarece în acest caz, nici modulul de forță și nici efectul de pârghie nu se modifică.

2. Momentul forței relativ la un punct dat este egal cu zero dacă linia de acțiune a forței trece prin acest punct, deoarece în acest caz braţul de forţă este zero: a=0

Teorema lui Poinsot privind aducerea unei forțe la un punct.

O forță poate fi transferată paralel cu linia de acțiune; în acest caz, este necesar să adăugați o pereche de forțe cu un moment egal cu produsul dintre modulul forței și distanța pe care este transferată forța.

Operația de transfer paralel al forței se numește aducerea forței la un punct, iar perechea rezultată se numește pereche atașată.

Efectul opus este de asemenea posibil: o forță și o pereche de forțe situate în același plan pot fi întotdeauna înlocuite cu o forță egală cu o forță dată transferată paralel cu direcția sa inițială într-un alt punct.

Dat: forța într-un punct A(Fig. 5.1).

Adăugați la un moment dat ÎN sistem echilibrat de forțe (F"; F"). Se formează câteva forțe (F; F"). Să luăm forța la punct ÎN iar momentul perechii m.

Aducerea unui sistem plan de forțe localizate în mod arbitrar într-un singur centru. Vector principal și punctul principal sisteme de forţe.

Liniile de acțiune ale unui sistem arbitrar de forțe nu se intersectează la un moment dat, prin urmare, pentru a evalua starea corpului, un astfel de sistem ar trebui simplificat. Pentru a face acest lucru, toate forțele sistemului sunt transferate într-un punct selectat în mod arbitrar - punctul de reducere (PO). Aplica teorema lui Poinsot. Ori de câte ori o forță este transferată într-un punct care nu se află pe linia de acțiune, se adaugă câteva forțe.

Perechile care apar în timpul transferului se numesc perechi atașate.

SSS obținut în punctul O este pliat conform metodei poligonului de forță și obținem o forță în punctul O - acesta este vectorul principal.

Se poate adăuga și sistemul rezultat de perechi de forțe atașate și se obține o pereche de forțe, al cărei moment se numește momentul principal.

Vectorul principal este egal cu suma geometrică a forțelor. Momentul principal este egal cu suma algebrică a momentelor perechilor de forțe atașate sau a momentelor forțelor inițiale relativ la punctul de reducere.

Definiția și proprietățile vectorului principal și ale momentului principal al unui sistem plan de forțe.

Proprietățile vectorului principal și ale momentului principal

1 Modulul și direcția vectorului principal nu depind de alegerea centrului de reducere, deoarece în centrul reducerii, poligonul de forță construit din aceste forțe va fi același)

2. Mărimea și semnul momentului principal depind de alegerea centrului de reducere, deoarece când se schimbă centrul de aducție, umerii forțelor se schimbă, dar modulele lor rămân neschimbate.

3. Vectorul principal și rezultanta sistemului de forțe sunt egale vectorial, dar în cazul general nu sunt echivalente, deoarece mai este un moment

4. Vectorul principal și rezultanta sunt echivalente numai în cazul special când momentul principal al sistemului este egal cu zero, iar aceasta este în cazul când centrul de reducere se află pe linia de acțiune a rezultantei

Luați în considerare un sistem plat de forțe ( F 1 ,F 2 , ...,F n), acţionând asupra unui corp solid în planul de coordonate Oxy.

Vectorul principal al sistemului de forțe numit vector R, egal suma vectoriala aceste forte:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F i.

Pentru un sistem plan de forțe, vectorul său principal se află în planul de acțiune al acestor forțe.

Punctul principal al sistemului de forțe relativ la centrul O se numeste vector L O, egală cu suma momentelor vectoriale ale acestor forțe în raport cu punctul O:

L O= M O( F 1) +M O( F 2) + ... +M O( F n) = M O( F i).

Vector R nu depinde de alegerea centrului O și a vectorului L Când poziția centrului se schimbă, O se poate schimba în general.

Pentru un sistem plan de forțe, în locul unui moment principal vectorial, se folosește conceptul de moment principal algebric. Punctul principal algebric L O al unui sistem plan de forțe relativ la centrul O situat în planul de acțiune al forțelor se numește suma momentelor algebrice uh forțe silențioase în raport cu centrul O.

Vectorul principal și momentul principal al unui sistem plan de forțe sunt de obicei calculate prin metode analitice.