Secțiunea conține materiale de referință despre principalele funcții elementare și proprietățile acestora. Clasificarea este dată functii elementare. Mai jos sunt legături către subsecțiuni care discută proprietățile funcțiilor specifice - grafice, formule, derivate, antiderivate (integrale), expansiuni de serie, expresii prin variabile complexe.

Pagini de referință pentru funcțiile de bază

Clasificarea funcţiilor elementare

Funcția algebrică este o funcție care satisface ecuația:
,
unde este un polinom în variabila dependentă y și variabila independentă x. Se poate scrie ca:
,
unde sunt polinoame.

Funcțiile algebrice sunt împărțite în polinoame (funcții raționale întregi), funcții raționale și funcții iraționale.

Întreaga funcție rațională, care se mai numește polinom sau polinom, se obține din variabila x și un număr finit de numere folosind operațiile aritmetice de adunare (scădere) și înmulțire. După deschiderea parantezelor, polinomul este redus la forma canonică:
.

Funcție rațională fracțională, sau pur și simplu functie rationala, se obține din variabila x și un număr finit de numere folosind operațiile aritmetice de adunare (scădere), înmulțire și împărțire. Funcția rațională poate fi redusă la forma
,
unde și sunt polinoame.

Funcția irațională este o funcție algebrică care nu este rațională. De regulă, o funcție irațională este înțeleasă ca rădăcini și compozițiile lor cu funcții raționale. O rădăcină de grad n este definită ca soluție a ecuației
.
Se desemnează după cum urmează:
.

Funcții transcendentale se numesc funcţii non-algebrice. Acestea sunt exponențiale, trigonometrice, hiperbolice și funcțiile lor inverse.

Prezentare generală a funcțiilor elementare de bază

Toate funcțiile elementare pot fi reprezentate ca un număr finit de operații de adunare, scădere, înmulțire și împărțire efectuate pe o expresie de forma:
z t .
Funcțiile inverse pot fi exprimate și în termeni de logaritmi. Funcțiile elementare de bază sunt enumerate mai jos.

Funcția de putere:
y(x) = x p ,
unde p este exponentul. Depinde de baza gradului x.
Înapoi la functie de putere este, de asemenea, o funcție de putere:
.
Pentru o valoare întreagă nenegativă a exponentului p, este un polinom. Pentru o valoare întreagă p - o funcție rațională. Cu un sens rațional - o funcție irațională.

Funcții transcendentale

Functie exponentiala :
y(x) = a x ,
unde a este baza gradului. Depinde de exponentul x.
Funcția inversă este logaritmul la baza a:
x = log a y.

Exponent, e la puterea x:
y(x) = e x ,
Aceasta este o funcție exponențială a cărei derivată este egală cu funcția în sine:
.
Baza exponentului este numărul e:
≈ 2,718281828459045... .
Funcția inversă este logaritmul natural - logaritmul la baza numărului e:
x = ln y ≡ log e y.

Funcții trigonometrice:
Sinus: ;
Cosinus: ;
Tangenta: ;
Cotangent: ;
Aici i este unitatea imaginară, i 2 = -1.

Funcții trigonometrice inverse:
Arcsin: x = arcsin y, ;
Arccosinus: x = arccos y, ;
Arctangent: x = arctan y, ;
Arc tangentă: x = arcctg y, .

Funcția y=x^2 se numește funcție pătratică. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Forma generală Parabola este prezentată în figura de mai jos.

Funcția pătratică

Fig 1. Vedere generală a parabolei

După cum se poate vedea din grafic, este simetric față de axa Oy. Axa Oy se numește axa de simetrie a parabolei. Aceasta înseamnă că dacă desenați o linie dreaptă pe grafic paralelă cu axa Ox deasupra acestei axe. Apoi va intersecta parabola în două puncte. Distanța de la aceste puncte până la axa Oy va fi aceeași.

Axa de simetrie împarte graficul unei parabole în două părți. Aceste părți sunt numite ramuri ale parabolei. Iar punctul unei parabole care se află pe axa de simetrie se numește vârful parabolei. Adică, axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Coordonatele acestui punct sunt (0;0).

Proprietățile de bază ale unei funcții pătratice

1. La x =0, y=0 și y>0 la x0

2. Funcția pătratică atinge valoarea minimă la vârf. Ymin la x=0; De asemenea, trebuie remarcat faptul că funcția nu are o valoare maximă.

3. Funcția scade pe intervalul (-∞;0] și crește pe intervalul ; inegalitate A<X<b – intervalși se notează cu () ; inegalități și - semiintervaleși sunt notate cu și respectiv. De asemenea, de multe ori trebuie să aveți de-a face cu intervale infinite și semiintervale: , , , și . Este convenabil să le sunați pe toate la intervale .

Interval, adică set de puncte care satisfac inegalitatea (unde), se numeste -vecinatatea punctului A.

Conceptul de funcție. Proprietățile de bază ale unei funcții

Dacă fiecare element X seturi X un singur element este potrivit y seturi Y, apoi spun că pe platou X dat funcţie y=f(X). în care X numit variabila independenta sau argument, A y – variabilă dependentă sau funcţie, A f denotă legea corespondenței. O multime de X numit domeniul definirii funcții și un set Y – intervalul de valori funcții.

Există mai multe moduri de a specifica funcții.


1) Metoda analitica - functia este data printr-o formula a formei y=f(X).

2) Metoda tabulară - funcția este specificată printr-un tabel care conține valorile argumentului și valorile funcției corespunzătoare y=f(X).

3) Metoda grafică - înfățișarea unui grafic al unei funcții, i.e. set de puncte ( X; y) plan de coordonate, ale cărui abscise reprezintă valorile argumentului, iar ordonatele reprezintă valorile corespunzătoare ale funcției y=f(X).

4) Metoda verbală - o funcție este descrisă de regula pentru alcătuirea ei. De exemplu, funcția Dirichlet ia valoarea 1 dacă X este un număr rațional și 0 dacă X- număr irațional.

Se disting următoarele proprietăți principale ale funcțiilor.

1 Par și impar Funcţie y=f(X) se numește chiar, dacă pentru orice valoare X din domeniul său de definire este satisfăcută f(–X)=f(X), Și ciudat, Dacă f(–X)=–f(X). Dacă nici una dintre egalitățile enumerate nu este satisfăcută, atunci y=f(X) se numește functia generala. Graficul unei funcții pare este simetric față de axă Oi, iar graficul funcției impare este simetric față de origine.

2 Monotonie Funcţie y=f(X) se numește crescând (in scadere) pe interval X, dacă o valoare a argumentului mai mare din acest interval corespunde unei valori mai mari (mai mici) a funcției. Lăsa X 1 ,X 2 Î X, X 2 >X 1 . Apoi funcția crește pe interval X, Dacă f(X 2)>f(X 1), și scade dacă f(X 2)<f(X 1).

Alături de funcțiile crescătoare și descrescătoare, sunt luate în considerare funcțiile nedescrescătoare și necrescătoare. Funcția este numită nescădere (necrescătoare), eu gras X 1 ,X 2 Î X, X 2 >X 1 inegalitatea este valabilă f(X 2)≥f(X 1) (f(X 2)≤f(X 1)).

Funcțiile crescătoare și descrescătoare, precum și funcțiile necrescătoare și nedescrescătoare se numesc monotone.

3 Limitat Funcţie y=f(X) se numește mărginit pe interval X, dacă există un astfel de număr pozitiv M>0, ce | f(X)|≤M pentru oricine XÎ X. În caz contrar, se spune că funcția este nemărginită X.

4 Frecvență Funcţie y=f(X) se numește periodic cu punct T≠0, dacă există X din domeniul funcției f(X+T)=f(X). În cele ce urmează, prin perioadă înțelegem cea mai mică perioadă pozitivă a unei funcții.

Funcția este numită explicit, dacă este dat de o formulă de formă y=f(X). Dacă funcția este dată de ecuație F(X, y)=0, nepermis în raport cu variabila dependentă y, atunci se numește implicit.

Lăsa y=f(X) este o funcție a variabilei independente definite pe mulțime X cu raza de actiune Y. Să le potrivim pe fiecare yÎ Y sens unic XÎ X, la care f(X)=y.Apoi functia rezultata X=φ (y), definite pe platou Y cu raza de actiune X, numit verso si este desemnat y=f –1 (X). Graficele funcțiilor reciproc inverse sunt simetrice față de bisectoarea primului și al treilea sferturi de coordonate.

Lasă funcția y=f(u) este o funcție a unei variabile u, definit pe platou U cu raza de actiune Y, și variabila u la rândul său este o funcție u=φ (X), definite pe platou X cu raza de actiune U. Apoi dat pe platou X funcţie y=f(φ (X)) se numește functie complexa (compunerea funcțiilor, suprapunerea funcțiilor, funcția unei funcții).

Funcții elementare

Principalele funcții elementare includ:

Din funcțiile elementare de bază se pot obține funcții noi folosind operații algebrice și suprapunerea funcțiilor.

Funcțiile construite din funcții elementare de bază folosind un număr finit de operații algebrice și un număr finit de operații de suprapunere se numesc elementar.

Algebric este o funcție în care se efectuează un număr finit de operații algebrice asupra argumentului. Funcțiile algebrice includ:

· o întreagă funcție rațională (polinom sau polinom)

· funcție fracțională-rațională (raportul a două polinoame)

· funcţie iraţională (dacă operaţiile asupra argumentului includ extragerea rădăcinii).

Se numește orice funcție non-algebrică transcendental. Funcțiile transcendentale includ funcții exponențiale, logaritmice, trigonometrice și trigonometrice inverse.

gimnaziul rusesc

ABSTRACT

Efectuat

elev din clasa a 10-a „F” Burmistrov Sergey

Supraveghetor

profesor de matematică

Yulina O.A.

Nijni Novgorod


Funcția și proprietățile sale

Funcţie- dependență variabilă la din variabilă X , dacă fiecare valoare X se potrivește cu o singură valoare la .

variabila x- variabilă sau argument independent.

variabila y- variabilă dependentă

Valoarea funcției- sens la, corespunzătoare valorii specificate X .

Domeniul de aplicare al funcției este toate valorile pe care le ia variabila independentă.

Domeniu de funcții (set de valori) - toate valorile pe care funcția le acceptă.

Funcția este egală- dacă pentru oricine X f(x)=f(-x)

Funcția este ciudată- dacă pentru oricine X din domeniul definirii functiei egalitatea f(-x)=-f(x)

Funcția de creștere- dacă pentru oricare x 1Și x 2, astfel încât x 1 < x 2, inegalitatea este valabilă f( x 1 ) x 2 )

Funcție descrescătoare- dacă pentru oricare x 1Și x 2, astfel încât x 1 < x 2, inegalitatea este valabilă f( x 1 )>f( x 2 )

Metode pentru specificarea unei funcții

¨ Pentru a defini o funcție, trebuie să specificați un mod în care, pentru fiecare valoare de argument, poate fi găsită valoarea funcției corespunzătoare. Cel mai comun mod de a specifica o funcție este utilizarea unei formule la =f(x), Unde f(x)- expresie cu o variabilă X. În acest caz, ei spun că funcția este dată de o formulă sau că funcția este dată analitic.

¨ În practică este adesea folosit tabular modalitate de a specifica o funcție. Cu această metodă, este furnizat un tabel care indică valorile funcției pentru valorile argumentului disponibile în tabel. Exemple muncă la masă funcțiile sunt tabelul pătratelor, tabelul cuburilor.

Tipuri de funcții și proprietăți ale acestora

1) Funcție constantă- funcţie dată de formulă y= b , Unde b- oarecare număr. Graficul funcției constante y=b este o dreaptă paralelă cu axa absciselor și care trece prin punctul (0;b) de pe axa ordonatelor

2) Proporționalitate directă - funcţie dată de formulă y= kx , unde k¹0. Număr k numit factor de proporționalitate .

Proprietățile funcției y=kx :

1. Domeniul unei funcții este mulțimea tuturor numerelor reale

2. y=kx- functie impara

3. Când k>0 funcția crește, iar când k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Funcție liniară- funcție, care este dată de formula y=kx+b, Unde kȘi b - numere reale. Dacă în special k=0, atunci obținem o funcție constantă y=b; Dacă b=0, atunci obținem proporționalitate directă y=kx .

Proprietățile funcției y=kx+b :

1. Domeniu - setul tuturor numerelor reale

2. Funcția y=kx+b formă generală, adică nici par, nici impar.

3. Când k>0 funcția crește, iar când k<0 убывает на всей числовой прямой

Graficul funcției este Drept .

4)proporționalitate inversă- funcţie dată de formulă y=k /X, unde k¹0 Număr k numit coeficient de proporţionalitate inversă.

Proprietățile funcției y=k / X:

1. Domeniu - setul tuturor numerelor reale cu excepția zero

2. y=k / X - funcţie ciudată

3. Dacă k>0, atunci funcția scade pe intervalul (0;+¥) și pe intervalul (-¥;0). Dacă k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Graficul funcției este hiperbolă .

5)Funcţie y=x2

Proprietățile funcției y=x2:

2. y=x2 - chiar funcția

3. Pe interval funcția scade

Graficul funcției este parabolă .

6)Funcţie y=x 3

Proprietățile funcției y=x 3:

1. Domeniul definiției - întreaga linie numerică

2. y=x 3 - funcţie ciudată

3. Funcția crește de-a lungul întregii drepte numerice

Graficul funcției este parabolă cubică

7)Funcția de putere cu exponent natural - funcţie dată de formulă y=x n, Unde n- numar natural. Când n=1 obținem funcția y=x, proprietățile acesteia sunt discutate în paragraful 2. Pentru n=2;3 obţinem funcţiile y=x 2 ; y=x3. Proprietățile lor sunt discutate mai sus.

Fie n un număr par arbitrar mai mare decât doi: 4,6,8... În acest caz, funcția y=x n are aceleași proprietăți ca și funcția y=x 2. Graficul funcției seamănă cu o parabolă y=x 2, numai ramurile graficului pentru |x|>1 se ridică mai abrupt cu cât n este mai mare, iar pentru |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Fie n un număr impar arbitrar mai mare de trei: 5,7,9... În acest caz, funcția y=x n are aceleași proprietăți ca și funcția y=x 3 . Graficul funcției seamănă cu o parabolă cubică.

8)Funcția de putere cu un exponent întreg negativ - funcţie dată de formulă y=x -n , Unde n- numar natural. Pentru n=1 obținem y=1/x; proprietățile acestei funcții sunt discutate în paragraful 4.

Fie n un număr impar mai mare decât unu: 3,5,7... În acest caz, funcția y=x -n are practic aceleași proprietăți ca și funcția y=1/x.

Fie n un număr par, de exemplu n=2.

Proprietățile funcției y=x -2 :

1. Funcția este definită pentru toate x¹0

2. y=x -2 - chiar funcția

3. Funcția scade cu (0;+¥) și crește cu (-¥;0).

Orice funcții cu n chiar mai mare decât doi au aceleași proprietăți.

9)Funcţie y= Ö X

Proprietățile funcției y= Ö X :

1. Domeniul definirii - raza)