Aici puteți rezolva sistemul gratuit ecuatii lineare Metoda Gauss online dimensiuni mariîn numere complexe cu o soluţie foarte detaliată. Calculatorul nostru poate rezolva online atât sistemul obișnuit definit cât și nedefinit de ecuații liniare prin metoda Gauss, care are set infinit decizii. În acest caz, în răspuns vei primi dependența unor variabile prin altele, libere. Puteți verifica, de asemenea, sistemul de ecuații pentru consecvența online, folosind soluția Gauss.

Dimensiunea matricei: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 38 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 82 8 8 8 8 8 8 8 8 8 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Despre metoda

La rezolvarea unui sistem de ecuații liniare online folosind metoda Gauss, se parcurg următorii pași.

1. Scriem matricea extinsă.
2. De fapt, soluția este împărțită în direct și cursa inversă metoda Gauss. Abordarea directă a metodei gaussiene este reducerea unei matrice la o formă în trepte. Reversul metodei gaussiene este reducerea unei matrice la o formă specială în trepte. Dar, în practică, este mai convenabil să eliminați imediat ceea ce este situat atât deasupra cât și sub elementul în cauză. Calculatorul nostru folosește exact această abordare.
3. Este important de reținut că, atunci când se rezolvă folosind metoda Gauss, prezența în matrice a cel puțin unui rând zero cu o parte dreaptă NON-zero (coloana de termeni liberi) indică inconsecvența sistemului. În acest caz, o soluție pentru sistemul liniar nu există.

Pentru a înțelege cel mai bine cum funcționează algoritmul gaussian online, introduceți orice exemplu, selectați „foarte solutie detaliata" și căutați soluția lui online.

1. Sistem de ecuații algebrice liniare

1.1 Conceptul de sistem de ecuații algebrice liniare

Un sistem de ecuații este o condiție constând în executarea simultană a mai multor ecuații în raport cu mai multe variabile. Un sistem de ecuații algebrice liniare (denumit în continuare SLAE) care conține m ecuații și n necunoscute se numește sistem de forma:

unde numerele a ij sunt numite coeficienți de sistem, numerele b i sunt numite termeni liberi, a ijȘi b i(i=1,…, m; b=1,…, n) reprezintă câteva numere cunoscute, iar x 1,…, x n– necunoscut. În desemnarea coeficienţilor a ij primul indice i desemnează numărul ecuației, iar al doilea j este numărul necunoscutului la care se află acest coeficient. Numerele x n trebuie găsite. Este convenabil să scrieți un astfel de sistem într-o formă de matrice compactă: AX=B. Aici A este matricea coeficienților sistemului, numită matrice principală;

– vector coloană de necunoscute xj.
este un vector coloană de termeni liberi bi.

Produsul matricelor A*X este definit, deoarece există tot atâtea coloane în matricea A câte rânduri sunt în matricea X (n bucăți).

Matricea extinsă a unui sistem este matricea A a sistemului, completată de o coloană de termeni liberi

1.2 Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare

Soluția unui sistem de ecuații este un set ordonat de numere (valori ale variabilelor), la înlocuirea acestora în loc de variabile, fiecare dintre ecuațiile sistemului se transformă într-o egalitate adevărată.

O soluție a unui sistem este n valori ale necunoscutelor x1=c1, x2=c2,..., xn=cn, prin înlocuirea cărora toate ecuațiile sistemului devin egalități adevărate. Orice soluție a sistemului poate fi scrisă ca o matrice coloane

Un sistem de ecuații se numește consistent dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are nicio soluție.

Se spune că un sistem consistent este determinat dacă are o singură soluție și nedefinit dacă are mai multe soluții. În acest din urmă caz, fiecare dintre soluțiile sale se numește o soluție particulară a sistemului. Mulțimea tuturor soluțiilor particulare se numește soluție generală.

Rezolvarea unui sistem înseamnă a afla dacă este compatibil sau inconsecvent. Dacă sistemul este consistent, găsiți-l decizie comună.

Două sisteme sunt numite echivalente (echivalente) dacă au aceeași soluție generală. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte și invers.

O transformare, a cărei aplicare transformă un sistem într-un nou sistem echivalent cu cel original, se numește transformare echivalentă sau echivalentă. Exemple de transformări echivalente includ următoarele transformări: schimbarea a două ecuații ale unui sistem, schimbarea a două necunoscute împreună cu coeficienții tuturor ecuațiilor, înmulțirea ambelor părți ale oricărei ecuații a unui sistem cu un număr diferit de zero.

Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero:

Un sistem omogen este întotdeauna consistent, deoarece x1=x2=x3=…=xn=0 este o soluție a sistemului. Această soluție se numește zero sau trivială.

2. Metoda de eliminare gaussiană

2.1 Esența metodei gaussiene de eliminare

Metoda clasică de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare este metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor - metoda gaussiana(se mai numeste si metoda de eliminare gaussiana). Aceasta este o metodă de eliminare secvenţială a variabilelor, când, folosind transformări elementare, un sistem de ecuaţii este redus la un sistem echivalent de formă treaptă (sau triunghiulară), din care toate celelalte variabile se găsesc secvenţial, începând cu ultima (prin număr) variabile.

Procesul de rezolvare folosind metoda Gauss constă din două etape: mișcări înainte și înapoi.

1. Lovitură directă.

În prima etapă, se realizează așa-numita mișcare directă, atunci când, prin transformări elementare peste rânduri, sistemul este adus la o formă în trepte sau triunghiulară, sau se stabilește că sistemul este incompatibil. Și anume, dintre elementele primei coloane a matricei, selectați unul diferit de zero, mutați-l în poziția de sus prin rearanjarea rândurilor și scădeți primul rând rezultat din rândurile rămase după rearanjare, înmulțindu-l cu o valoare. egal cu raportul dintre primul element al fiecăruia dintre aceste rânduri și primul element al primului rând, reducând astfel coloana de sub acesta.

După ce aceste transformări au fost finalizate, primul rând și prima coloană sunt tăiate mental și continuate până când rămâne o matrice de dimensiune zero. Dacă la orice iterație nu există niciun element diferit de zero printre elementele primei coloane, atunci mergeți la următoarea coloană și efectuați o operație similară.

În prima etapă (cursă directă), sistemul este redus la o formă în trepte (în special, triunghiulară).

Sistemul de mai jos are o formă în trepte:

,

Coeficienții aii sunt numiți elementele principale (lider) ale sistemului.

(dacă a11=0, rearanjați rândurile matricei astfel încât A 11 nu a fost egal cu 0. Acest lucru este întotdeauna posibil, deoarece altfel matricea conține o coloană zero, determinantul ei este egal cu zero și sistemul este inconsecvent).

Să transformăm sistemul eliminând necunoscuta x1 în toate ecuațiile cu excepția primei (folosind transformări elementare ale sistemului). Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu

și adăugați termen cu termen cu a doua ecuație a sistemului (sau din a doua ecuație scădeți termen cu termen cu prima, înmulțit cu ). Apoi înmulțim ambele părți ale primei ecuații cu și le adunăm la a treia ecuație a sistemului (sau din a treia o scădem pe prima înmulțită cu ). Astfel, înmulțim secvenţial prima linie cu un număr și adăugăm la i a linia, pentru i= 2, 3, …,n.

Continuând acest proces, obținem un sistem echivalent:

– noi valori ale coeficienților pentru necunoscute și termeni liberi în ultimele m-1 ecuații ale sistemului, care sunt determinate de formulele:

Astfel, la prima etapă, toți coeficienții aflați sub primul element conducător a 11 sunt distruși.

0, în a doua etapă elementele aflate sub cel de-al doilea element conducător a 22 (1) sunt distruse (dacă a 22 (1) 0), etc. Continuând acest proces în continuare, în final, la pasul (m-1), reducem sistemul original la un sistem triunghiular.

Dacă, în procesul de reducere a sistemului la o formă treptată, apar ecuații zero, adică. egalități de forma 0=0, acestea sunt aruncate. Dacă apare o ecuaţie a formei

atunci aceasta indică incompatibilitatea sistemului.

Aici se termină progresul direct al metodei lui Gauss.

2. Cursa inversă.

În a doua etapă, se efectuează așa-numita mișcare inversă, a cărei esență este de a exprima toate variabilele de bază rezultate în termeni de cele nebazice și de a construi sistem fundamental soluții sau, dacă toate variabilele sunt de bază, atunci exprimați numeric soluția unică a sistemului de ecuații liniare.

Această procedură începe cu ultima ecuație, din care se exprimă variabila de bază corespunzătoare (există doar una în ea) și se substituie în ecuațiile anterioare și așa mai departe, urcând „treptele”.

Fiecare linie corespunde exact unei variabile de bază, astfel încât la fiecare pas, cu excepția ultimului (cel mai de sus), situația repetă exact cazul ultimei linii.

Notă: în practică, este mai convenabil să lucrați nu cu sistemul, ci cu matricea sa extinsă, efectuând toate transformările elementare pe rândurile sale. Este convenabil ca coeficientul a11 să fie egal cu 1 (rearanjați ecuațiile sau împărțiți ambele părți ale ecuației la a11).

2.2 Exemple de rezolvare a SLAE-urilor folosind metoda Gaussiană

În această secțiune sunt trei diverse exemple Să arătăm cum metoda Gaussiană poate rezolva SLAE.

Exemplul 1. Rezolvați un SLAE de ordinul 3.

Să resetam coeficienții la

în rândurile a doua și a treia. Pentru a face acest lucru, înmulțiți-le cu 2/3 și, respectiv, 1 și adăugați-le la prima linie:

Să fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare care trebuie rezolvat (găsiți astfel de valori ale necunoscutelor xi care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o egalitate).

Știm că un sistem de ecuații algebrice liniare poate:

1) Nu au soluții (fi nearticulată).
2) Au infinit de soluții.
3) Aveți o singură soluție.

După cum ne amintim, regula lui Cramer și metoda matricei nu sunt potrivite în cazurile în care sistemul are infinite de soluții sau este inconsecvent. metoda Gauss – cel mai puternic și versatil instrument pentru găsirea de soluții la orice sistem de ecuații liniare, care în fiecare caz ne va conduce la răspuns! Algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri. Dacă metodele Cramer și matrice necesită cunoașterea determinanților, atunci pentru a aplica metoda Gauss ai nevoie doar de cunoștințe de operații aritmetice, ceea ce o face accesibilă chiar și elevilor de școală primară.

Transformări matriceale crescute ( aceasta este matricea sistemului - o matrice compusă numai din coeficienții necunoscutelor, plus o coloană de termeni liberi) sisteme de ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:

1) Cu troki matrici Poate sa rearanja in unele locuri.

2) dacă în matrice au apărut (sau există) proporționale (as caz special– linii identice, apoi urmează șterge Toate aceste rânduri sunt din matrice, cu excepția unuia.

3) dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el șterge.

4) un rând al matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice alt număr decât zero.

5) la un rând al matricei pe care o puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero.

În metoda Gauss, transformările elementare nu modifică soluția sistemului de ecuații.

Metoda Gauss constă din două etape:

1. „Mișcare directă” - folosind transformări elementare, aduceți matricea extinsă a unui sistem de ecuații algebrice liniare într-o formă de pas „triunghiulară”: elementele matricei extinse situate sub diagonala principală sunt egale cu zero (deplasare de sus în jos). De exemplu, la acest tip:

Pentru a face acest lucru, efectuați următorii pași:

1) Să considerăm prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul pentru x 1 este egal cu K. A doua, a treia etc. transformăm ecuațiile astfel: împărțim fiecare ecuație (coeficienții necunoscutelor, inclusiv termenii liberi) la coeficientul necunoscutului x 1, care se află în fiecare ecuație, și înmulțim cu K. După aceasta, o scădem pe prima din a doua ecuație (coeficienți de necunoscute și termeni liberi). Pentru x 1 din a doua ecuație obținem coeficientul 0. Din a treia ecuație transformată scădem prima ecuație până când toate ecuațiile, cu excepția primei, pentru necunoscut x 1, au coeficientul 0.

2) Să trecem la următoarea ecuație. Fie aceasta a doua ecuație și coeficientul pentru x 2 egal cu M. Continuăm cu toate ecuațiile „inferioare” așa cum este descris mai sus. Astfel, „sub” necunoscutul x 2 vor fi zerouri în toate ecuațiile.

3) Treceți la următoarea ecuație și așa mai departe până când rămâne o ultimă necunoscută și termenul liber transformat.

1. „Mișcarea inversă” a metodei Gauss este de a obține o soluție la un sistem de ecuații algebrice liniare (mișcarea „de jos în sus”). Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscuta x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n = B. În exemplul dat mai sus, x 3 = 4. Înlocuim valoarea găsită în următoarea ecuație „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 – 4 = 1, i.e. x 2 = 5. Și așa mai departe până găsim toate necunoscutele.

Exemplu.

Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss, așa cum ne sfătuiesc unii autori:

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Să o facem:
1 pas . La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o acțiune suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul).

Pasul 2 . Prima linie, înmulțită cu 5, a fost adăugată la a doua linie, prima linie, înmulțită cu 3, a fost adăugată la a treia linie.

Pasul 3 . Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.

Pasul 4 . A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu 2.

Pasul 5 . A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „proast”. Adică, dacă avem ceva de genul (0 0 11 |23) mai jos și, în consecință, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atunci cu un grad mare de probabilitate putem spune că a fost făcută o eroare în timpul elementului transformări.

Să facem invers; în proiectarea exemplelor, sistemul în sine nu este adesea rescris, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. ÎN în acest exemplu s-a dovedit a fi un cadou:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, deci x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Răspuns:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Să rezolvăm același sistem folosind algoritmul propus. Primim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Împărțim a doua ecuație la 5 și a treia la 3. Obținem:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Înmulțind a doua și a treia ecuație cu 4, obținem:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Scădeți prima ecuație din a doua și a treia ecuație, avem:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Împărțiți a treia ecuație la 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Înmulțiți a treia ecuație cu 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Scăzând a doua ecuație din a treia ecuație, obținem o matrice extinsă „în trepte”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Astfel, din moment ce eroarea acumulată în timpul calculelor, obținem x 3 = 0,96 sau aproximativ 1.

x 2 = 3 și x 1 = –1.

Rezolvând în acest fel, nu te vei încurca niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, vei obține rezultatul.

Această metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ține cont caracteristici specifice coeficienți pentru necunoscute, deoarece în practică (în calculele economice și tehnice) trebuie să se ocupe de coeficienți non-întregi.

Vă doresc succes! Ne vedem la ore! Tutore.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Definirea și descrierea metodei gaussiene

Metoda de transformare Gaussiană (cunoscută și ca metoda de eliminare secvențială a variabilelor necunoscute dintr-o ecuație sau matrice) pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare este o metodă clasică de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice (SLAE). Această metodă clasică este folosită și pentru a rezolva probleme precum obținerea matrici inverseși determinarea rangului matricei.

Transformarea folosind metoda Gaussiană constă în efectuarea unor mici modificări secvențiale (elementare) unui sistem de ecuații algebrice liniare, ducând la eliminarea variabilelor din acesta de sus în jos cu formarea unui nou sistem triunghiular de ecuații care este echivalent cu cel original. unu.

Definiția 1

Această parte a soluției se numește soluție Gaussiană înainte, deoarece întregul proces se desfășoară de sus în jos.

După reducerea sistemului original de ecuații la unul triunghiular, găsim pe toate variabile de sistem de jos în sus (adică primele variabile găsite ocupă exact ultimele linii ale sistemului sau ale matricei). Această parte a soluției este cunoscută și ca inversa soluției gaussiene. Algoritmul său este următorul: mai întâi, se calculează variabilele cele mai apropiate de partea de jos a sistemului de ecuații sau matrice, apoi valorile rezultate sunt substituite mai sus și astfel se găsește o altă variabilă și așa mai departe.

Descrierea algoritmului metodei gaussiene

Secvența de acțiuni pentru rezolvarea generală a unui sistem de ecuații folosind metoda Gaussiană constă în aplicarea alternativă a curselor înainte și înapoi la matrice pe baza SLAE. Fie sistemul inițial de ecuații să aibă următoarea formă:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cazuri)$

Pentru a rezolva SLAE-uri folosind metoda Gaussiană, este necesar să scrieți sistemul original de ecuații sub forma unei matrice:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Matricea $A$ se numește matricea principală și reprezintă coeficienții variabilelor scrise în ordine, iar $b$ se numește coloana termenilor săi liberi. Matricea $A$, scrisă printr-o bară cu o coloană de termeni liberi, se numește matrice extinsă:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Acum este necesar, folosind transformări elementare pe sistemul de ecuații (sau pe matrice, deoarece acest lucru este mai convenabil), să-l aducem la următoarea formă:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Matricea obținută din coeficienții sistemului transformat de ecuație (1) se numește matrice de etape; așa arată de obicei matricele de trepte:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) și b_3 \end(array)$

Aceste matrici sunt caracterizate de următorul set de proprietăți:

1. Toate liniile sale zero vin după linii diferite de zero
2. Dacă un rând al unei matrice cu numărul $k$ este diferit de zero, atunci rândul anterior al aceleiași matrice are mai puține zerouri decât acesta cu numărul $k$.

După obținerea matricei de etape, este necesar să se înlocuiască variabilele rezultate în ecuațiile rămase (începând de la sfârșit) și să se obțină valorile rămase ale variabilelor.

Reguli de bază și transformări permise la utilizarea metodei Gauss

Când simplificați o matrice sau un sistem de ecuații folosind această metodă, trebuie să utilizați numai transformări elementare.

Astfel de transformări sunt considerate a fi operații care pot fi aplicate unei matrice sau unui sistem de ecuații fără a-i schimba sensul:

• rearanjarea mai multor linii,
• adăugarea sau scăderea dintr-un rând al unei matrice a unui alt rând din aceasta,
• înmulțirea sau împărțirea unui șir cu o constantă diferită de zero,
• o linie constând doar din zerouri, obținută în procesul de calcul și simplificare a sistemului, trebuie ștearsă,
• De asemenea, trebuie să eliminați liniile proporționale inutile, alegând pentru sistem singura cu coeficienți care sunt mai potrivite și mai convenabile pentru calcule ulterioare.

Toate transformările elementare sunt reversibile.

Analiza celor trei cazuri principale care apar la rezolvarea ecuațiilor liniare folosind metoda transformărilor simple Gaussiene

Există trei cazuri care apar atunci când se utilizează metoda Gaussiană pentru a rezolva sisteme:

1. Când un sistem este inconsecvent, adică nu are soluții
2. Sistemul de ecuații are o soluție și una unică, iar numărul de rânduri și coloane diferite de zero din matrice este egal unul cu celălalt.
3. Sistemul are un anumit număr sau un set de soluții posibile, iar numărul de rânduri din el este mai mic decât numărul de coloane.

Rezultatul unei soluții cu un sistem inconsecvent

Pentru această opțiune, la rezolvare ecuația matriceală Metoda Gauss se caracterizează prin obținerea unei linii cu imposibilitatea îndeplinirii egalității. Prin urmare, dacă apare cel puțin o egalitate incorectă, sistemele rezultat și original nu au soluții, indiferent de celelalte ecuații pe care le conțin. Un exemplu de matrice inconsistentă:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

În ultima linie a apărut o egalitate imposibilă: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Un sistem de ecuații care are o singură soluție

Aceste sisteme, după ce au fost reduse la o matrice în trepte și au eliminat rândurile cu zerouri, au același număr de rânduri și coloane în matricea principală. Aici cel mai simplu exemplu un astfel de sistem:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Să o scriem sub forma unei matrice:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Pentru a aduce prima celulă din al doilea rând la zero, înmulțim rândul de sus cu $-2$ și îl scădem din rândul de jos al matricei și lăsăm rândul de sus în forma sa inițială, ca rezultat avem următorul :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Acest exemplu poate fi scris ca un sistem:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Ecuația inferioară dă următoarea valoare pentru $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Înlocuiți această valoare în ecuația superioară: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, obținem $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Un sistem cu multe soluții posibile

Acest sistem se caracterizează printr-un număr mai mic de rânduri semnificative decât numărul de coloane din el (se iau în considerare rândurile matricei principale).

Variabilele într-un astfel de sistem sunt împărțite în două tipuri: de bază și gratuite. La transformarea unui astfel de sistem, variabilele principale conținute în acesta trebuie lăsate în zona din stânga până la semnul „=”, iar variabilele rămase trebuie mutate în partea dreaptă a egalității.

Un astfel de sistem are doar o anumită soluție generală.

Să analizăm următorul sistem de ecuații:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Să o scriem sub forma unei matrice:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Sarcina noastră este să găsim o soluție generală pentru sistem. Pentru această matrice, variabilele de bază vor fi $y_1$ și $y_3$ (pentru $y_1$ - deoarece este primul, iar în cazul $y_3$ - este situat după zerouri).

Ca variabile de bază, le alegem exact pe cele care sunt primele din rând și nu sunt egale cu zero.

Variabilele rămase se numesc libere; trebuie să le exprimăm pe cele de bază prin ele.

Folosind așa-numita cursă inversă, analizăm sistemul de jos în sus; pentru a face acest lucru, mai întâi exprimăm $y_3$ din linia de jos a sistemului:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Acum înlocuim $y_3$ exprimat în ecuația superioară a sistemului $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Exprimăm $y_1$ în termeni de variabile libere $y_2$ și $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Soluția este gata.

Exemplul 1

Rezolvați slough folosind metoda Gaussiană. Exemple. Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare dat de o matrice 3 cu 3 folosind metoda Gaussiană

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$

Să scriem sistemul nostru sub forma unei matrice extinse:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Acum, pentru comoditate și practic, trebuie să transformați matricea astfel încât $1$ să fie în colțul de sus al coloanei celei mai exterioare.

Pentru a face acest lucru, la prima linie trebuie să adăugați linia din mijloc, înmulțită cu $-1$, și să scrieți linia de mijloc așa cum este, se dovedește:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Înmulțiți liniile de sus și ultima cu $-1$ și, de asemenea, schimbați ultima și cea de mijloc:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Și împărțiți ultima linie la $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Obținem următorul sistem de ecuații, echivalent cu cel inițial:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

Din ecuația superioară exprimăm $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Exemplul 2

Un exemplu de rezolvare a unui sistem definit folosind o matrice 4 cu 4 folosind metoda Gaussiană

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 și 37 \\ \end(array)$.

La început, schimbăm liniile de sus după el pentru a obține $1$ în colțul din stânga sus:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 și 37 \\ \end(array)$.

Acum înmulțiți linia de sus cu $-2$ și adăugați la a 2-a și a 3-a. La a 4-a adăugăm prima linie, înmulțită cu $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Acum la rândul numărul 3 adăugăm linia 2 înmulțită cu $4$, iar la linia 4 adăugăm linia 2 înmulțită cu $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Înmulțim linia 2 cu $-1$ și împărțim linia 4 cu $3$ și înlocuim linia 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 și 10 \\ \end(array)$

Acum adăugăm la ultima linie penultima, înmulțită cu $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 și 0 \\ \end(matrice)$

Rezolvăm sistemul de ecuații rezultat:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$

Două sisteme de ecuații liniare se numesc echivalente dacă mulțimea tuturor soluțiilor lor coincide.

Transformările elementare ale unui sistem de ecuații sunt:

1. Ștergerea ecuațiilor triviale din sistem, de ex. cele pentru care toți coeficienții sunt egali cu zero;
2. Înmulțirea oricărei ecuații cu un alt număr decât zero;
3. Adăugând la orice ecuație i-a orice ecuație j-a înmulțită cu orice număr.

O variabilă x i se numește liberă dacă această variabilă nu este permisă, dar este permis întregul sistem de ecuații.

Teorema. Transformările elementare transformă un sistem de ecuații într-unul echivalent.

Semnificația metodei gaussiene este de a transforma sistemul original de ecuații și de a obține un sistem echivalent rezolvat sau echivalent inconsistent.

Deci, metoda Gaussiană constă din următorii pași:

1. Să ne uităm la prima ecuație. Să alegem primul coeficient diferit de zero și să împărțim întreaga ecuație la el. Obtinem o ecuatie in care intra o variabila x i cu un coeficient de 1;
2. Să scădem această ecuație din toate celelalte, înmulțind-o cu astfel de numere încât coeficienții variabilei x i din ecuațiile rămase să fie zero. Obținem un sistem rezolvat față de variabila x i și echivalent cu cel inițial;
3. Dacă apar ecuații triviale (rar, dar se întâmplă; de exemplu, 0 = 0), le eliminăm din sistem. Ca rezultat, există o ecuație mai puțin;
4. Repetăm ​​pașii anteriori de cel mult n ori, unde n este numărul de ecuații din sistem. De fiecare dată când selectăm o nouă variabilă pentru „procesare”. Dacă apar ecuații inconsistente (de exemplu, 0 = 8), sistemul este inconsecvent.

Ca urmare, după câțiva pași vom obține fie un sistem rezolvat (eventual cu variabile libere), fie unul inconsistent. Sistemele permise se împart în două cazuri:

1. Numărul de variabile este egal cu numărul de ecuații. Aceasta înseamnă că sistemul este definit;
2. Numărul de variabile mai mult număr ecuații. Colectăm toate variabilele libere din dreapta - obținem formule pentru variabilele permise. Aceste formule sunt scrise în răspuns.

Asta e tot! Sistem de ecuații liniare rezolvat! Acesta este un algoritm destul de simplu și pentru a-l stăpâni nu trebuie să contactați un profesor superior de matematică. Să ne uităm la un exemplu:

Sarcină. Rezolvați sistemul de ecuații:

Descrierea etapelor:

1. Scădeți prima ecuație din a doua și a treia - obținem variabila permisă x 1;
2. Înmulțim a doua ecuație cu (−1), și împărțim a treia ecuație la (−3) - obținem două ecuații în care variabila x 2 intră cu coeficientul 1;
3. Adăugăm a doua ecuație la prima și scadem din a treia. Obținem variabila admisă x 2 ;
4. În final, scădem a treia ecuație din prima - obținem variabila admisă x 3;
5. Am primit un sistem aprobat, notează răspunsul.

Soluția generală a unui sistem simultan de ecuații liniare este sistem nou, echivalent cu cel original, în care toate variabilele permise sunt exprimate în termeni de cele libere.

Când ar putea fi necesară o soluție generală? Dacă trebuie să faceți mai puțini pași decât k (k este câte ecuații există). Cu toate acestea, motivele pentru care procesul se termină la un pas l< k , может быть две:

1. După pasul al 1-lea, am obținut un sistem care nu conține o ecuație cu număr (l + 1). De fapt, acest lucru este bine, pentru că... sistemul autorizat este încă obținut – chiar și cu câțiva pași mai devreme.
2. După pasul a 1-a, am obținut o ecuație în care toți coeficienții variabilelor sunt egali cu zero, iar coeficientul liber este diferit de zero. Aceasta este o ecuație contradictorie și, prin urmare, sistemul este inconsecvent.

Este important de înțeles că apariția unei ecuații inconsistente folosind metoda Gaussiană este o bază suficientă pentru inconsecvență. În același timp, observăm că, ca urmare a pasului al 1-lea, nu pot rămâne ecuații triviale - toate sunt tăiate chiar în proces.

Descrierea etapelor:

1. Scădeți prima ecuație, înmulțită cu 4, din a doua. De asemenea, adăugăm prima ecuație la a treia - obținem variabila permisă x 1;
2. Scădeți a treia ecuație, înmulțită cu 2, din a doua - obținem ecuația contradictorie 0 = −5.

Deci, sistemul este inconsecvent deoarece a fost descoperită o ecuație inconsistentă.

Sarcină. Explorați compatibilitatea și găsiți o soluție generală pentru sistem:

Descrierea etapelor:

1. Scădem prima ecuație din a doua (după înmulțirea cu doi) și a treia - obținem variabila admisă x 1;
2. Scădeți a doua ecuație din a treia. Deoarece toți coeficienții din aceste ecuații sunt aceiași, a treia ecuație va deveni trivială. În același timp, înmulțiți a doua ecuație cu (−1);
3. Scădeți a doua din prima ecuație - obținem variabila permisă x 2. Întregul sistem de ecuații este acum și el rezolvat;
4. Deoarece variabilele x 3 și x 4 sunt libere, le mutăm spre dreapta pentru a exprima variabilele permise. Acesta este răspunsul.

Deci, sistemul este consistent și nedeterminat, deoarece există două variabile permise (x 1 și x 2) și două libere (x 3 și x 4).