În prima parte ne-am uitat puțin material teoretic, metoda substituției, precum și metoda adunării termen cu termen a ecuațiilor de sistem. Recomand tuturor celor care au accesat site-ul prin această pagină să citească prima parte. Poate că unii vizitatori vor găsi materialul prea simplu, dar pe măsură ce rezolvăm sistemele ecuatii lineare Am făcut o serie de comentarii și concluzii foarte importante cu privire la rezolvarea problemelor matematice în general.

Acum vom analiza regula lui Cramer, precum și rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind matrice inversă(metoda matricei). Toate materialele sunt prezentate simplu, detaliat și clar; aproape toți cititorii vor putea învăța cum să rezolve sisteme folosind metodele de mai sus.

În primul rând, vom arunca o privire mai atentă la regula lui Cramer pentru un sistem de două ecuații liniare în două necunoscute. Pentru ce? – La urma urmei, cel mai simplu sistem poate fi rezolvat folosind metoda școlii, metoda adunării trimestriale!

Faptul este că, deși uneori, apare o astfel de sarcină - pentru a rezolva un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute folosind formulele lui Cramer. În al doilea rând, un exemplu mai simplu vă va ajuta să înțelegeți cum să folosiți regula lui Cramer pentru mai multe caz complex– sisteme de trei ecuații cu trei necunoscute.

În plus, există sisteme de ecuații liniare cu două variabile, care este recomandabil să le rezolve folosind regula lui Cramer!

Luați în considerare sistemul de ecuații

La primul pas, calculăm determinantul, se numește determinant principal al sistemului.

metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă doi determinanți:
Și

În practică, calificativele de mai sus pot fi notate și printr-o literă latină.

Găsim rădăcinile ecuației folosind formulele:
,

Exemplul 7

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Soluţie: Vedem că coeficienții ecuației sunt destul de mari, în partea dreaptă există zecimale cu virgulă. Virgula este un invitat destul de rar în sarcinile practice la matematică; am luat acest sistem dintr-o problemă econometrică.

Cum se rezolvă un astfel de sistem? Puteți încerca să exprimați o variabilă în termenii alteia, dar în acest caz veți ajunge probabil cu fracții fanteziste teribile, cu care sunt extrem de incomod de lucrat, iar designul soluției va arăta pur și simplu groaznic. Puteți înmulți a doua ecuație cu 6 și scădeți termen cu termen, dar aceleași fracții vor apărea și aici.

Ce să fac? În astfel de cazuri, formulele lui Cramer vin în ajutor.

;

;

Răspuns: ,

Ambele rădăcini au cozi infinite și se găsesc aproximativ, ceea ce este destul de acceptabil (și chiar banal) pentru problemele de econometrie.

Comentariile nu sunt necesare aici, deoarece sarcina este rezolvată folosind formule gata făcute, cu toate acestea, există o avertizare. Când să utilizați aceasta metoda, obligatoriu Un fragment al designului sarcinii este următorul fragment: „Aceasta înseamnă că sistemul are o soluție unică”. În caz contrar, recenzentul vă poate pedepsi pentru lipsa de respect față de teorema lui Cramer.

Nu ar fi de prisos să verificăm, ceea ce este convenabil de efectuat cu un calculator: înlocuim valorile aproximative în partea stanga fiecare ecuație a sistemului. Ca rezultat, cu o mică eroare, ar trebui să obțineți numere care sunt în partea dreaptă.

Exemplul 8

Prezentați răspunsul în mod obișnuit fracții improprii. Faceți o verificare.

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (un exemplu de design final și răspunsul de la sfârșitul lecției).

Să trecem la considerarea lui Cramer pentru un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:

Găsim principalul determinant al sistemului:

Dacă , atunci sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent (nu are soluții). În acest caz, regula lui Cramer nu va ajuta; trebuie să utilizați metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică și pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă trei determinanți:
, ,

Și în sfârșit, răspunsul este calculat folosind formulele:

După cum puteți vedea, cazul „trei câte trei” nu este în mod fundamental diferit de cazul „două câte doi”; coloana de termeni liberi „se plimbă” secvenţial de la stânga la dreapta de-a lungul coloanelor determinantului principal.

Exemplul 9

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Soluţie: Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer.

, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Răspuns: .

De fapt, iar aici nu este nimic special de comentat, din cauza faptului că soluția urmează formule gata făcute. Dar există câteva comentarii.

Se întâmplă ca în urma calculelor să se obțină fracții ireductibile „rele”, de exemplu: .
Recomand următorul algoritm de „tratament”. Dacă nu aveți un computer la îndemână, procedați astfel:

1) Poate exista o eroare în calcule. De îndată ce întâlniți o fracțiune „rea”, trebuie să verificați imediat Condiția este rescrisă corect?. Dacă condiția este rescrisă fără erori, atunci trebuie să recalculați determinanții folosind expansiunea într-un alt rând (coloană).

2) Dacă nu sunt identificate erori ca urmare a verificării, atunci cel mai probabil a existat o greșeală de tipar în condițiile sarcinii. În acest caz, lucrați cu calm și CU ATENȚIE la sarcina până la capăt și apoi asigurați-vă că verificațiși o întocmim pe o foaie curată după decizie. Desigur, verificarea unui răspuns fracționat este o sarcină neplăcută, dar va fi un argument dezarmant pentru profesor, căruia îi place foarte mult să dea un minus pentru orice prostie de genul . Modul de manipulare a fracțiilor este descris în detaliu în răspunsul la Exemplul 8.

Dacă aveți un computer la îndemână, atunci utilizați un program automat pentru a verifica, care poate fi descărcat gratuit chiar la începutul lecției. Apropo, cel mai profitabil este să utilizați programul imediat (chiar înainte de a începe soluția); veți vedea imediat pasul intermediar în care ați greșit! Același calculator calculează automat soluția sistemului metoda matricei.

A doua remarcă. Din când în când există sisteme din ecuațiile cărora lipsesc unele variabile, de exemplu:

Aici în prima ecuație nu există variabilă, în a doua nu există variabilă. În astfel de cazuri, este foarte important să scrieți corect și CU ATENȚIE principalul determinant:
– zerourile sunt plasate în locul variabilelor lipsă.
Apropo, este rațional să deschideți determinanții cu zerouri în funcție de rândul (coloana) în care se află zero, deoarece există considerabil mai puține calcule.

Exemplul 10

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (o mostră din proiectul final și răspunsul de la sfârșitul lecției).

Pentru cazul unui sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute, formulele lui Cramer sunt scrise după principii similare. Puteți vedea un exemplu viu în lecția Proprietățile determinanților. Reducerea ordinului determinantului - cinci determinanți de ordinul 4 sunt destul de rezolvabili. Deși sarcina amintește deja foarte mult de pantoful unui profesor pe pieptul unui student norocos.

Rezolvarea sistemului folosind o matrice inversă

Metoda matricei inverse este în esență caz special ecuația matriceală(Vezi Exemplul nr. 3 al lecției specificate).

Pentru a studia această secțiune, trebuie să fiți capabil să extindeți determinanții, să găsiți inversul unei matrice și să efectuați înmulțirea matricei. Link-urile relevante vor fi furnizate pe măsură ce explicațiile progresează.

Exemplul 11

Rezolvați sistemul folosind metoda matricei

Soluţie: Să scriem sistemul sub formă de matrice:
, Unde

Vă rugăm să priviți sistemul de ecuații și matrice. Cred că toată lumea înțelege principiul prin care scriem elementele în matrice. Singurul comentariu: dacă unele variabile ar lipsi din ecuații, atunci ar trebui plasate zerouri în locurile corespunzătoare din matrice.

Găsim matricea inversă folosind formula:
, unde este matricea transpusă adunări algebrice elementele matricei corespunzătoare.

Mai întâi, să ne uităm la determinant:

Aici determinantul este extins pe prima linie.

Atenţie! Dacă , atunci matricea inversă nu există și este imposibil să se rezolve sistemul folosind metoda matricei. În acest caz, sistemul se rezolvă prin metoda eliminării necunoscutelor (metoda Gauss).

Acum trebuie să calculăm 9 minori și să le scriem în matricea minorilor

Referinţă: Este util să cunoaștem semnificația indicelor duble în algebra liniară. Prima cifră este numărul liniei în care se află elementul. A doua cifră este numărul coloanei în care se află elementul:

Adică, un indice dublu indică faptul că elementul este în primul rând, a treia coloană și, de exemplu, elementul este în 3 rânduri, 2 coloană

Să fie o matrice pătrată de ordinul al n-lea

Se numește matricea A -1 matrice inversăîn raport cu matricea A, dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea.

Matrice de identitate- o astfel de matrice pătrată în care toate elementele de-a lungul diagonalei principale, care trec din colțul din stânga sus în colțul din dreapta jos, sunt unul, iar restul sunt zerouri, de exemplu:

matrice inversă poate exista doar pentru matrici pătrate acestea. pentru acele matrici în care numărul de rânduri și coloane coincide.

Teorema pentru condiția de existență a unei matrici inverse

Pentru ca o matrice să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca aceasta să fie nesingulară.

Se numește matricea A = (A1, A2,...A n). nedegenerate, dacă vectorii coloanei sunt liniar independenți. Numărul de vectori coloană liniar independenți ai unei matrice se numește rangul matricei. Prin urmare, putem spune că pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acesteia, adică. r = n.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Scrieți matricea A în tabelul pentru rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gaussiană și atribuiți-i matricea E din dreapta (în loc de părțile din dreapta ale ecuațiilor).
2. Folosind transformările Jordan, reduceți matricea A la o matrice formată din coloane de unitate; în acest caz, este necesară transformarea simultană a matricei E.
3. Dacă este necesar, rearanjați rândurile (ecuațiile) ultimului tabel astfel încât sub matricea A a tabelului original să obțineți matricea de identitate E.
4. Notați matricea inversă A -1, care se află în ultimul tabel sub matricea E a tabelului original.

Exemplul 1

Pentru matricea A, găsiți matricea inversă A -1

Rezolvare: Scriem matricea A si atribuim in dreapta matricei de identitate E. Folosind transformarile Jordan, reducem matricea A la matricea de identitate E. Calculele sunt date in Tabelul 31.1.

Să verificăm corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală A și matricea inversă A -1.

Ca rezultat al înmulțirii matricei s-a obținut matricea de identitate. Prin urmare, calculele au fost făcute corect.

Răspuns:

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuațiile matriceale pot arăta astfel:

AX = B, HA = B, AXB = C,

unde A, B, C sunt matricele specificate, X este matricea dorită.

Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțirea ecuației cu matrici inverse.

De exemplu, pentru a găsi matricea din ecuație, trebuie să înmulțiți această ecuație cu din stânga.

Prin urmare, pentru a găsi o soluție la ecuație, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți cu matricea din partea dreaptă a ecuației.

Alte ecuații se rezolvă în mod similar.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația AX = B dacă

Soluţie: Deoarece matricea inversă este egală cu (vezi exemplul 1)

Metoda matriceală în analiza economică

Alături de altele, sunt și ele folosite metode matriceale. Aceste metode se bazează pe algebră liniară și vector-matrice. Astfel de metode sunt utilizate în scopul analizării fenomenelor economice complexe și multidimensionale. Cel mai adesea, aceste metode sunt utilizate atunci când este necesar să se facă o evaluare comparativă a funcționării organizațiilor și a diviziunilor lor structurale.

În procesul de aplicare a metodelor de analiză matriceală se pot distinge mai multe etape.

La prima etapă se formează un sistem de indicatori economici și pe baza acestuia este compilată o matrice de date inițiale, care este un tabel în care numerele sistemului sunt afișate în rândurile sale individuale (i = 1,2,....,n), iar în coloane verticale - numere de indicatori (j = 1,2,....,m).

La a doua etapă Pentru fiecare coloană verticală, este identificată cea mai mare dintre valorile indicatorului disponibile, care este luată ca una.

După aceasta, toate sumele reflectate în această coloană sunt împărțite la cea mai mare valoareși se formează o matrice de coeficienți standardizați.

La a treia etapă toate componentele matricei sunt la pătrat. Dacă au semnificații diferite, atunci fiecărui indicator matrice i se atribuie un anumit coeficient de greutate k. Valoarea acestuia din urmă este determinată de opinia expertului.

Pe ultimul, a patra etapă au găsit valori de rating R j sunt grupate în ordinea creșterii sau scăderii lor.

Metodele matricei prezentate ar trebui utilizate, de exemplu, într-o analiză comparativă a diferitelor proiecte de investiții, precum și în evaluarea altor indicatori economici ai activităților organizațiilor.

Tema 2. SISTEME DE ECUATII ALGEBRICE LINEARE.

Noțiuni de bază.

Definiția 1. Sistem m ecuații liniare cu n necunoscute este un sistem de forma:

unde și sunt numere.

Definiția 2. O soluție a sistemului (I) este un set de necunoscute în care fiecare ecuație a acestui sistem devine o identitate.

Definiția 3. Sistemul (I) este numit comun, dacă are cel puțin o soluție și nearticulată, daca nu are solutii. Sistemul articular este numit anumit, dacă are o soluție unică, și incert in caz contrar.

Definiția 4. Ecuația formei

numit zero, iar ecuația este de forma

numit incompatibil. Evident, un sistem de ecuații care conține o ecuație incompatibilă este inconsecvent.

Definiția 5. Se numesc două sisteme de ecuații liniare echivalent, dacă fiecare soluție a unui sistem servește ca soluție pentru altul și, invers, fiecare soluție a celui de-al doilea sistem este o soluție pentru primul.

Reprezentarea matricială a unui sistem de ecuații liniare.

Să luăm în considerare sistemul (I) (vezi §1).

Să notăm:

Matricea coeficienților pentru necunoscute

Matrice - coloană de termeni liberi

Matrice – coloană de necunoscute

.

Definiția 1. Matricea se numește matricea principală a sistemului(I), iar matricea este matricea extinsă a sistemului (I).

După definiția egalității matricelor, sistemul (I) corespunde egalității matricelor:

.

Partea dreaptă a acestei egalități prin definiția produsului matricelor ( vezi definiția 3 § 5 capitolul 1) poate fi factorizat:

, adică

Egalitatea (2) numit notația matricială a sistemului (I).

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer.

Lăsați sistemul (I) (vezi §1) m=n, adică numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, iar matricea principală a sistemului este nesingulară, adică. . Atunci sistemul (I) din §1 are o soluție unică

unde Δ = det A numit principal determinant al sistemului(I), Δ i se obţine din determinantul Δ prin înlocuire i a-a coloană la o coloană de membri liberi ai sistemului (I).

Exemplu: Rezolvați sistemul folosind metoda lui Cramer:

.

Prin formule (3) .

Calculăm determinanții sistemului:

,

,

.

Pentru a obține determinantul, am înlocuit prima coloană din determinant cu o coloană de termeni liberi; înlocuind a 2-a coloană din determinant cu o coloană de termeni liberi, obținem ; într-un mod similar, înlocuind a 3-a coloană din determinant cu o coloană de termeni liberi, obținem . Soluție de sistem:

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind o matrice inversă.

Lăsați sistemul (I) (vezi §1) m=n iar matricea principală a sistemului este nesingulară. Să scriem sistemul (I) sub formă de matrice ( vezi §2):

deoarece matrice A nesingular, atunci are o matrice inversă ( vezi Teorema 1 §6 din Capitolul 1). Să înmulțim ambele părți ale egalității (2) la matrice, atunci

Prin definiția unei matrici inverse. Din egalitate (3) avem

Rezolvați sistemul folosind matricea inversă

.

Să notăm

În exemplul (§ 3) am calculat determinantul, deci, matricea A are o matrice inversă. Apoi în vigoare (4) , adică

. (5)

Să găsim matricea ( vezi §6 capitolul 1)

, , ,

, , ,

,

.

metoda Gauss.

Să fie dat un sistem de ecuații liniare:

. (eu)

Este necesar să găsiți toate soluțiile sistemului (I) sau să vă asigurați că sistemul este inconsecvent.

Definiția 1.Să numim transformarea elementară a sistemului(I) oricare dintre cele trei acțiuni:

1) tăierea ecuației zero;

2) adunarea la ambele părți ale ecuației a părților corespunzătoare ale unei alte ecuații, înmulțite cu numărul l;

3) schimbarea termenilor în ecuațiile sistemului astfel încât necunoscutele cu aceleași numere în toate ecuațiile să ocupe aceleași locuri, i.e. dacă, de exemplu, în prima ecuație am schimbat termenii 2 și 3, atunci același lucru trebuie făcut în toate ecuațiile sistemului.

Metoda Gauss constă în faptul că sistemul (I) cu ajutorul transformărilor elementare se reduce la un sistem echivalent, a cărui soluție se găsește direct sau se stabilește insolubilitatea acestuia.

După cum este descris în §2, sistemul (I) este determinat în mod unic de matricea sa extinsă și orice transformare elementară a sistemului (I) corespunde unei transformări elementare a matricei extinse:

.

Transformarea 1) corespunde cu ștergerea rândului zero din matrice, transformarea 2) echivalează cu adăugarea unui alt rând la rândul corespunzător al matricei, înmulțit cu numărul l, transformarea 3) echivalează cu rearanjarea coloanelor din matrice.

Este ușor de observat că, dimpotrivă, fiecărei transformări elementare a matricei îi corespunde o transformare elementară a sistemului (I). Datorită celor de mai sus, în loc de operații cu sistemul (I), vom lucra cu matricea extinsă a acestui sistem.

În matrice, prima coloană este formată din coeficienți pt x 1, coloana a 2-a - din coeficienții pt x 2 etc. Dacă coloanele sunt rearanjate, trebuie luat în considerare faptul că această condiție este încălcată. De exemplu, dacă schimbăm prima și a doua coloană, atunci prima coloană va conține coeficienții pentru x 2, iar în coloana a 2-a - coeficienții pentru x 1.

Vom rezolva sistemul (I) folosind metoda Gaussiană.

1. Tăiați toate rândurile zero din matrice, dacă există (adică, tăiați toate ecuațiile zero din sistemul (I).

2. Să verificăm dacă printre rândurile matricei există un rând în care toate elementele cu excepția ultimului sunt egale cu zero (să numim un astfel de rând inconsecvent). Evident, o astfel de linie corespunde unei ecuații inconsistente în sistemul (I), prin urmare, sistemul (I) nu are soluții și aici se termină procesul.

3. Fie ca matricea să nu conțină rânduri inconsistente (sistemul (I) nu conține ecuații inconsistente). Dacă a 11 =0, apoi găsim în primul rând vreun element (cu excepția ultimului) altul decât zero și rearanjam coloanele astfel încât în ​​primul rând să nu fie zero pe locul 1. Vom presupune acum că (adică, vom schimba termenii corespunzători în ecuațiile sistemului (I)).

4. Înmulțiți prima linie cu și adăugați rezultatul cu a doua linie, apoi înmulțiți prima linie cu și adăugați rezultatul cu a treia linie etc. Evident, acest proces echivalează cu eliminarea necunoscutului x 1 din toate ecuațiile sistemului (I), cu excepția primei. În noua matrice obținem zerouri în prima coloană de sub element un 11:

.

5. Să tăiem toate rândurile zero din matrice, dacă există, și să verificăm dacă există un rând inconsecvent (dacă există unul, atunci sistemul este inconsecvent și soluția se termină acolo). Să verificăm dacă va fi a 22 / =0, dacă da, atunci găsim în al 2-lea rând un alt element decât zero și rearanjam coloanele astfel încât . Apoi, înmulțiți elementele din al 2-lea rând cu si se adauga cu elementele corespunzatoare liniei a 3-a, apoi - elementele liniei a 2-a si se adauga cu elementele corespunzatoare ale liniei a 4-a etc., pana obtinem zerouri sub a 22/

.

Acțiunile întreprinse sunt echivalente cu eliminarea necunoscutului x 2 din toate ecuațiile sistemului (I), cu excepția primei și a doua. Deoarece numărul de rânduri este finit, după un număr finit de pași obținem că fie sistemul este inconsecvent, fie ajungem la o matrice de pași ( vezi definiția 2 §7 capitolul 1) :

,

Să scriem sistemul de ecuații corespunzător matricei. Acest sistem este echivalent cu sistemul (I)

.

Din ultima ecuație pe care o exprimăm; înlocuiți în ecuația anterioară, găsiți etc., până când obținem .

Nota 1. Astfel, când rezolvăm sistemul (I) folosind metoda Gauss, ajungem la unul din următoarele cazuri.

1. Sistemul (I) este inconsecvent.

2. Sistemul (I) are o soluție unică dacă numărul de rânduri din matrice este egal cu numărul de necunoscute ().

3. Sistemul (I) are un număr infinit de soluții dacă numărul de rânduri din matrice număr mai mic necunoscut().

Prin urmare, următoarea teoremă este valabilă.

Teorema. Un sistem de ecuații liniare fie este inconsecvent, fie are o soluție unică, fie - set infinit deciziilor.

Exemple. Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda Gauss sau demonstrați inconsecvența acestuia:

b) ;

a) Să rescriem sistemul dat sub forma:

.

Am schimbat prima și a doua ecuație a sistemului original pentru a simplifica calculele (în loc de fracții, vom opera numai cu numere întregi folosind această rearanjare).

Să creăm o matrice extinsă:

.

Nu există linii nule; nu există linii incompatibile, ; Să excludem prima necunoscută din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei. Pentru a face acest lucru, înmulțiți elementele din primul rând al matricei cu „-2” și adăugați-le cu elementele corespunzătoare din al doilea rând, ceea ce este echivalent cu înmulțirea primei ecuații cu „-2” și adăugarea acesteia cu a doua. ecuaţie. Apoi înmulțim elementele primei linii cu „-3” și le adăugăm cu elementele corespunzătoare din a treia linie, adică. înmulțiți a 2-a ecuație a sistemului dat cu „-3” și adăugați-o la a 3-a ecuație. Primim

.

Matricea corespunde unui sistem de ecuaţii). - (vezi definiția 3§7 din capitolul 1).

Acesta este un concept care generalizează toate operațiile posibile efectuate cu matrice. Matricea matematică - tabelul elementelor. Despre o masă unde m linii şi n coloane, se spune că această matrice are dimensiunea m pe n.

Vedere generală a matricei:

Pentru soluții matriceale este necesar să înțelegeți ce este o matrice și să cunoașteți parametrii ei principali. Elementele principale ale matricei:

• Diagonala principală, constând din elemente un 11, un 22…..a mn.
• Diagonala laterală formată din elemente a 1n , a 2n-1 .....a m1.

Principalele tipuri de matrice:

• Pătratul este o matrice în care numărul de rânduri = numărul de coloane ( m=n).
• Zero - unde toate elementele matricei = 0.
• Matrice transpusă - matrice ÎN, care a fost obținut din matricea originală A prin înlocuirea rândurilor cu coloane.
• Unitate - toate elementele diagonalei principale = 1, toate celelalte = 0.
• O matrice inversă este o matrice care, atunci când este înmulțită cu matricea originală, are ca rezultat o matrice de identitate.

Matricea poate fi simetrică în raport cu diagonalele principale și secundare. Adică dacă a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, atunci matricea este simetrică față de diagonala principală. Doar matricele pătrate pot fi simetrice.

Metode de rezolvare a matricilor.

Aproape tot metode de rezolvare a matricei consta in gasirea determinantului acestuia n-a ordine și majoritatea sunt destul de greoaie. Pentru a găsi determinantul ordinului 2 și 3 există alte metode, mai raționale.

Găsirea determinanților de ordinul 2.

Pentru a calcula determinantul unei matrice A Ordinul 2, este necesar să se scadă produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale:

Metode de găsire a determinanților de ordinul 3.

Mai jos sunt regulile pentru găsirea determinantului de ordinul 3.

Regula simplificată a triunghiului ca una dintre metode de rezolvare a matricei, poate fi descris astfel:

Cu alte cuvinte, produsul elementelor din primul determinant care sunt legate prin linii drepte este luat cu semnul „+”; De asemenea, pentru al 2-lea determinant, produsele corespunzătoare sunt luate cu semnul „-”, adică conform următoarei scheme:

La rezolvarea matricilor folosind regula lui Sarrus, în dreapta determinantului, se adună primele 2 coloane și produsele elementelor corespunzătoare de pe diagonala principală și pe diagonalele care sunt paralele cu acesta se iau cu semnul „+”; și produsele elementelor corespunzătoare ale diagonalei secundare și diagonalele care sunt paralele cu aceasta, cu semnul „-”:

Descompunerea determinantului într-un rând sau coloană la rezolvarea matricilor.

Determinantul este egal cu suma produselor elementelor rândului determinantului și a complementelor lor algebrice. De obicei este selectat rândul/coloana care conține zerouri. Rândul sau coloana de-a lungul căreia se efectuează descompunerea va fi indicată printr-o săgeată.

Reducerea determinantului la formă triunghiulară la rezolvarea matricilor.

La rezolvarea matricilor metoda de reducere a determinantului la o formă triunghiulară, ele funcționează astfel: folosind transformări simple peste rânduri sau coloane, determinantul devine în aparență triunghiulară iar apoi valoarea sa, în conformitate cu proprietățile determinantului, va fi egală cu produsul elementelor care stau pe diagonala principală.

Teorema lui Laplace pentru rezolvarea matricilor.

Când rezolvați matrice folosind teorema lui Laplace, trebuie să cunoașteți teorema în sine. Teorema lui Laplace: Fie Δ - acesta este un factor determinant n-a ordine. Selectăm oricare k rânduri (sau coloane), furnizate k≤ n - 1. În acest caz, suma produselor tuturor minorilor k-a ordine conținută în selectat k rândurile (coloanele), prin complementele lor algebrice vor fi egale cu determinantul.

Rezolvarea matricei inverse.

Secvența de acțiuni pentru soluții cu matrice inversă:

1. Determinați dacă o matrice dată este pătrată. Dacă răspunsul este negativ, devine clar că nu poate exista o matrice inversă pentru acesta.
2. Calculăm complemente algebrice.
3. Compunem o matrice de unire (mutuală, adjunctă). C.
4. Compunem matricea inversă din adunări algebrice: toate elementele matricei adiacente Cîmpărțiți la determinantul matricei inițiale. Matricea finală va fi matricea inversă necesară față de cea dată.
5. Verificăm munca efectuată: înmulțiți matricea inițială și matricea rezultată, rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Rezolvarea sistemelor matriceale.

Pentru solutii ale sistemelor matriceale Cel mai des este folosită metoda Gaussiană.

Metoda Gauss este o metodă standard pentru rezolvarea sistemelor liniare ecuații algebrice(SLAE) și constă în faptul că variabilele sunt eliminate secvenţial, adică cu ajutorul modificărilor elementare, sistemul de ecuaţii este adus la un sistem echivalent de formă triunghiulară și din acesta, secvenţial, pornind de la ultimul (prin număr). ), fiecare element al sistemului este găsit.

metoda Gauss este cel mai versatil și cel mai bun instrument pentru găsirea de soluții matrice. Dacă un sistem are un număr infinit de soluții sau sistemul este incompatibil, atunci nu poate fi rezolvat folosind regula lui Cramer și metoda matricei.

Metoda Gauss implică, de asemenea, mișcări directe (reducerea matricei extinse la o formă în trepte, adică obținerea de zerouri sub diagonala principală) și inversă (obținerea de zerouri deasupra diagonalei principale a matricei extinse). Mișcarea înainte este metoda Gauss, mișcarea inversă este metoda Gauss-Jordan. Metoda Gauss-Iordan diferă de metoda Gauss doar în succesiunea eliminării variabilelor.

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Metoda matricei vă permite să găsiți soluții la SLAE-uri (sisteme de ecuații algebrice liniare) de orice complexitate. Întregul proces de rezolvare a SLAE-urilor se rezumă la două acțiuni principale:

Definirea unei matrici inverse pe baza matricea principală:

Înmulțirea matricei inverse rezultate cu un vector coloană de soluții.

Să presupunem că ni se dă un SLAE următorul tip:

\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]

Să începem soluția ecuația dată din scrierea matricei sistemului:

Matrice din partea dreaptă:

Să definim matricea inversă. Puteți găsi o matrice de ordinul 2 după cum urmează: 1 - matricea în sine trebuie să fie nesingulară; 2 - se schimbă elementele sale care se află pe diagonala principală, iar pentru elementele diagonalei secundare schimbăm semnul cu cel opus, după care împărțim elementele rezultate la determinantul matricei. Primim:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 matrice sunt considerate egale dacă elementele lor corespunzătoare sunt egale. Ca rezultat, avem următorul răspuns pentru soluția SLAE:

Unde pot rezolva un sistem de ecuații folosind metoda matricei online?

Puteți rezolva sistemul de ecuații pe site-ul nostru. O soluție online gratuită vă va permite să rezolvați ecuația online orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte.