Să fie matrice pătrată A de dimensiunea n x n.
Definiție. Determinantul este suma algebrică a tuturor produselor posibile ale elementelor, luate câte unul din fiecare coloană și fiecare rând al matricei A. Dacă în fiecare astfel de produs (termenul determinantului) factorii sunt aranjați în ordinea coloanelor (adică cei doi indici ai elementelor a ij din produs sunt aranjați în ordine crescătoare), atunci cu semnul (+) cei se iau produse a căror permutare a primilor indici este pară, iar cu semn (-) – cele pentru care este impar.
.
Iată numărul de inversiuni în permutarea indicilor i 1, i 2, ..., i n.

Metode de găsire a determinanților

  1. Determinant al unei matrice prin extinderea rândurilor și coloanelor prin minori.
  2. Determinant prin metoda reducerii la forma triunghiulara (metoda Gauss)

Proprietatea determinanților

  1. Când o matrice este transpusă, determinantul ei nu se schimbă.
  2. Dacă schimbați două rânduri sau două coloane ale unui determinant, determinantul își va schimba semnul și valoare absolută Nu se va schimba.
  3. Fie C = AB unde A și B sunt matrici pătrate. Atunci detC = detA ∙ detB.
  4. Un determinant cu două rânduri identice sau două coloane identice este egal cu 0. Dacă toate elementele unui anumit rând sau coloană sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.
  5. Un determinant cu două rânduri sau coloane proporționale este 0.
  6. Determinantul unei matrici triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonale. Determinantul unei matrici diagonale este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală.
  7. Dacă toate elementele unui rând (coloană) sunt înmulțite cu același număr, atunci determinantul va fi înmulțit cu acest număr.
  8. Dacă fiecare element dintr-un anumit rând (coloană) al unui determinant este prezentat ca sumă a doi termeni, atunci determinantul este egal cu suma a doi determinanți, în care toate rândurile (coloanele) cu excepția acestuia sunt aceleași, iar în acest rând (coloană) primul determinant este primul, iar în al doilea - al doilea termen.
  9. Teorema lui Jacobi: Dacă la elementele unei anumite coloane a determinantului adăugăm elementele corespunzătoare unei alte coloane, înmulțite cu un factor arbitrar λ, atunci valoarea determinantului nu se va modifica.
Astfel, determinantul matricei rămâne neschimbat dacă:
  • matrice de transpunere;
  • adăugați la orice șir un alt șir înmulțit cu orice număr.

Exercitiul 1. Calculați determinantul extinzându-l pe rând sau coloană.
Soluție :xml :xls
Exemplul 1 :xml :xls

Sarcina 2. Calculați determinantul în două moduri: a) folosind regula „triunghiurilor”; b) expansiunea de-a lungul unei linii.

Soluţie.
a) Termenii incluși în semnul minus se construiesc în același mod față de diagonala laterală.

2 2 1
-1 0 4
-2 2 0
=
= 2 0 0 - 2 4 2 - (-1) 2 0 + (-1) 1 2 + (-2) 2 4 - (-2) 1 0 = -34
b) Scriem matricea sub forma:
A=
2 2 1
-1 0 4
-2 2 0

Principalul determinant:
∆ = 2 (0 0-2 4)-(-1 (2 0-2 1))+(-2 (2 4-0 1)) = -34

Sarcina 3. Indicați cu ce este egal determinantul unei matrice pătrate de ordinul al patrulea A dacă rangul ei r(A)=1.
Răspuns: det(A) = 0.

Cursul 2.calificative

    Determinanți de ordinul doi

    Determinanți de ordinul trei

    Complemente algebrice și minore

    Extinderea determinantului pe rând sau coloană

    Proprietățile determinanților

    matrice inversă

    Proprietățile unei matrice inverse

1. Determinanți de ordinul doi

Se introduce conceptul de determinant numai pentru matrice pătrată.

Determinant este un număr care se calculează după anumite reguli. Ordine determinantă este de ordinul matricei pătrate. Dacă s-au folosit paranteze rotunde pentru a specifica matrice, atunci în teoria determinanților se folosesc paranteze drepte.

Să asociem fiecare matrice pătrată cu un anumit număr, pe care îl vom numi determinant al matricei,și indicați regula pentru calculul acesteia. Denumiri :


.

Exemplul 1.
.

2. Determinanți de ordinul trei


Fiecare produs nu conține numere dintr-o coloană sau dintr-un rând.

Să dăm o diagramă pentru reamintirea ordinii de obținere a termenilor în determinant.

Produsul numerelor pe o diagonală este luat cu semnul „+” (aceasta este diagonala principală a matricei), iar pe cealaltă – cu semnul opus.

Exemplul 2.

3. Complemente și minore algebrice

Pentru a calcula determinanții de ordine mai mari de trei, se folosesc alte metode de calcul.

Exemplul 3. Minor
determinant Există.

.

Este util să ne amintim asta
Și
.

Exemplul 4.În exemplul 3, adunarea algebrică

4. Extinderea determinantului într-un rând sau coloană

Calculul determinantului Ordinea poate fi redusă la calcularea determinanților de ordine
folosind următoarele formule.

Acest număr este egal cu suma produselor elemente orice th linii pe complementele lor algebrice.

Exemplul 5. Calculați determinant de ordinul trei
extinderea de-a lungul primului rând.

Soluţie

Acest număr este egal cu suma produselor elementelor oricăror coloana la complementele lor algebrice.

Indiferent de metoda de descompunere, se obține întotdeauna același răspuns.

5. Proprietăţi ale determinanţilor

1. La transpunerea unei matrice pătrate determinantul său nu se modifică:
.

Concluzie. Proprietățile determinanților formulați pentru rânduri sunt valabile și pentru coloane.

2. La rearanjarea a două șiruri (coloane) determinantul schimbă semnul opus. De exemplu,
.

3. Determinantul este zero , Dacă:

a) are un rând (coloană) zero
;

b) are rânduri (coloane) proporționale (identice)
.

4. Factor comun în rând (coloană) poate fi scos ca semn determinant. De exemplu,
.

5. Determinantul nu se schimbă , dacă adăugați (scădeți) elementele corespunzătoare dintr-un alt rând la elementele unui rând, înmulțite cu orice număr.

De exemplu,
.

6. Dacă în determinant fiecare elementul rând este suma doi termeni, atunci acest determinant este egal cu suma a doi determinanți:

.

7. Determinant al produsului a două matrici pătrate de același ordin este egal cu produsul determinanților acestor matrici:

.

8. Determinant al unei matrice pătrate în aparență triunghiulară egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală:

.

6. Matrice inversă

În locul operației de divizare a matricei, este introdus conceptul matrice inversă.

Notat prin matrice inversă
, acesta este .

Analogia cu numerele este evidentă: pentru numărul 2, numărul ½ este invers, deoarece
. De aceea se notează matricea inversă lui A
.

Teorema „Condiție necesară și suficientă pentru existență matrice inversă». Pentru o matrice pătrată avea o matrice inversă
, este necesar și suficient ca determinantul matricei nu era egal cu zero.

Regula pentru aflarea matricei inverse

0) Să vedem dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci matricea inversă nu există; dacă este pătrat, treceți la pasul 1.

1) Calcularea determinantului matricei
: dacă nu este zero, atunci există matricea inversă:
; dacă este egal cu zero, atunci nu există o matrice inversă.

2) Pentru fiecare element de matrice îi calculăm complementul algebric .

3) Compunem o matrice de adunări algebrice, pe care apoi le transpunem:
.

4) Fiecare element al matricei
împărțiți la determinant :
Obținem inversul matricei acesteia.

7. Aflarea matricei inverse pentru matrice de ordinul doi

Exemplul 6. Dată o matrice
. Aflați matricea inversă.

Soluţie.


Examinare. Să ne asigurăm că matricea inversă este într-adevăr găsită. Să găsim produsul matricelor Și
.

8. Proprietăţile matricei inverse

1.
,

unde A și B sunt matrici pătrate nesingulare de același ordin.

2.
.

3.
.

4.
.

Întrebări de control

    Ce este un determinant de ordinul doi?

    Cum se calculează determinantul de ordinul trei?

    Cum se calculează determinantul de ordinul 3 folosind regula triunghiului?

    Care este complementul algebric al unui element al unui determinant? Dați exemple pentru determinanții de ordinul 2 și 3.

    Scrieți expansiuni ale determinantului de ordinul trei asupra elementelor unui rând și unei coloane arbitrare.



a i, j

Determinanți

det(2A )= det(2E ) detA = 0 2 0 (− 2)= 23 (− 2)= − 16 . 0 0 2

(d) De asemenea,

det(− 3A )= det(− 3E ) detA = (− 3)3 (− 2)= 54.

(e) Mai întâi găsim matricea (A − 2E) și apoi determinantul ei:

− 1 5

A − 2 E=

−1

−3

det(A − 2E )= 0 (− 1) (− 3)= 0 .

2.4. Calculul determinanților

Aici ne vom uita la două metode de calculare a determinanților. Esența unuia dintre ele este de a descompune determinantul în elemente ale unui rând sau coloană, drept urmare determinantul inițial de ordinul n-lea este exprimat prin n determinanți de ordin inferior. O altă metodă se bazează pe proprietățile determinanților și este asociată cu transformarea determinantului într-o formă mai simplă. Combinația celor două metode dă cel mai mult mod eficient calculul determinanților.

2.4.1. Descompunerea determinantului în elemente ale unui rând sau coloană

Să introducem mai întâi câteva concepte care sunt importante pentru prezentarea ulterioară.

Se consideră o matrice pătrată de ordinul al n-lea. Să selectăm elementul i,j al acestei matrice și să tăiem rândul i și coloana j. Ca urmare

obţinem o matrice de ordinul (n – 1) al cărei determinant se numeşte minorul elementului a i, j şi se notează prin simbolul M i, j.

Determinanți

Complement algebric A i, j ale elementului i, j este determinată de formula

A i, j= (− 1) i + j M i, j.

Este ușor de observat că complementul algebric al elementului i, j coincide cu minorul acestui element dacă suma indicilor care numerotează rândul și coloana elementului este un număr par. Pentru valorile impare i+j, complementul algebric diferă de minor doar în semn.

Teorema expansiunii determinantului în elemente ale unui șir.

Determinantul matricei A este egal cu suma produselor elementelor de rând și a complementelor lor algebrice:

det A = a i ,1A i ,1+ a i ,2A i ,2+K+ a i ,n A i ,n =

= ∑ a i, jA i, j j= 1

Dovada: Prin definiție, determinantul matricei A este suma

det A =

∑ a 1,k 1 a 2,k 2 K a i ,k i K a n ,k n (− 1) P ( k 1 , k 2 , K , k n )

(k 1 ,k 2 ,K k i ,K k n )

conform tuturor permutărilor posibile ale indicilor care numerotează coloanele. Să alegem un șir la întâmplare, de exemplu, cu

numărul i. Unul dintre elementele acestei linii este reprezentat în fiecare produsa 1, k 1 a 2, k 2 K a i, k i K a n, k n. Prin urmare, termenii sumei (*)

pot fi regrupate prin combinarea în primul grup a celor care conțin elementul a i ,1 ca factor comun, în al doilea grup - membri

Cu alte cuvinte, expresia (*) poate fi reprezentată ca o combinație liniară de elemente a i, j (j = 1,2,L,n),

Determinanți

∑ a 1,k 1 a 2,k 2 K a i ,j K a n ,k n (− 1) P ( k 1 , k 2 , K , k n ) =

det A = ∑

j = 1( k1 , k2 , K j, K kn )

∑ a 1, k1 a 2, k2 K a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 a n, kn (− 1) P ( k 1 , k 2 , K , k n ) =

= ∑ a i , j

j = 1

(k 1 ,k 2 ,K j ,K k n )

= ∑ a i ,j A i ,j = a i ,1A i ,1+ a i ,2A i ,2+K+ a i ,n A i ,n ,

j = 1

∑ a 1, k1 a 2, k2 L a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 K a n, kn (− 1) P (k 1 , L , k i − 1 , j , k i + 1 , L ) , k n ).

A i, j=

(k 1 ,L ,k i − 1 ,k i = j ,k i + 1 ,L ,k n )

Să arătăm asta

A i, j reprezintă algebricul

plus

elementul a i, j.

Se consideră paritatea permutației (k 1, L, k i − 1, j, k i + 1, L, k n).

In primul rand,

necesită i –1 transpuneri ale elementului j cu

vecine

elemente pentru a obține permutarea ( j , k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n ) .

În al doilea rând, în permutarea rezultată, elementul j formează j –1 inversiuni cu alte elemente.

Prin urmare,

(− 1) P (k 1 ,L ,k i − 1 ,j ,k i + 1 ,L ,k n )= (− 1) i − 1+ j − 1(− 1) P (k 1 ,L ,k i − 1 ,k i + 1 ,L ,k n )=

= (− 1) i+ j(− 1) P(k1 , L , ki − 1 , ki + 1 , L , kn )

∑ L a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 K (− 1) P (k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n ) = M i, j( k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n )

reprezintă minorul elementului a i, j.

Astfel, A i, j = (− 1) i + j M i, j, așa cum este necesar pentru a fi demonstrat.

Deoarece det A = det A T , atunci este de asemenea adevărată următoarele

Teorema expansiunii determinantului în elemente ale unei coloane.

Determinantul matricei A este egal cu suma produselor elementelor coloanei și a complementelor lor algebrice:

det A = a 1,j A 1,j + a 2,j A 2,j +K+ a n ,j A n ,j

= ∑ a i, jA i, j

i = 1

Determinanți

Teoremele despre expansiunea determinantului au importantîn cercetarea teoretică. Ei stabilesc că problema calculării determinantului de ordinul n se reduce la problema calculării a n determinanți de ordinul (n–1).

Exemple:

1) Calculați determinantul unei matrice arbitrare A = ||a ij || al treilea

ordinea expansiunii în elemente

(i) prima linie;

(ii) a doua coloană.

Soluţie:

−a

det A =

A 11(a 22a 33− a 23a 32) − a 12(a 21a 33− a 23a 31) + a 13(a 21a 32− a 22a 31)

A 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32− a 11a 23a 32− a 12a 21a 33− a 13a 22a 31,

−a

det A =

= −a

= − a 12(a 12a 33− a 23a 31) + a 22(a 11a 33− a 13a 31) − a 32(a 11a 23− a 13a 21)

A 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32− a 11a 23a 32− a 12a 21a 33− a 13a 22a 31.

Rezultatele obţinute prin diferite metode sunt identice.

Calculați determinant

−5

descompunere elementară

−3

(i) prima linie,

(ii) a doua coloană.

Soluţie:

Extinderea determinantului în elementele primului rând dă

−5

− (− 5)

−3

−3

− 3 7

2 4 5 + 5 1 5+ 3(7+ 12)= 122.

(ii) Același rezultat se obține atunci când se extinde determinantul în elemente din a doua coloană:

Determinanți

−5

= −(−5)

−7

−3

−3

− 3 5

5(5 + 0)+ 4 (10+ 9)− 7(0− 3)= 122.

2.4.2. Calculul determinanților prin metoda elementară

transformări

Prin transformări elementare înțelegem următoarele operații.

Ținând cont de egalitatea rândurilor și coloanelor determinantului, operațiuni similare sunt pe deplin aplicabile coloanelor.

Ideea metodei este de a reduce determinantul la o formă triunghiulară folosind transformări elementare de rânduri și coloane, ceea ce rezolvă problema calculului său.

O puteți face puțin diferit: folosind transformări elementare, obțineți un rând (sau coloană) care conține un singur element diferit de zero și apoi extindeți determinantul rezultat în elementele acestui rând (coloană). Această procedură scade ordinea determinantului cu o unitate.

Exemple.

−4

−3

Calculați det A, reducând matricea la

1) Fie A =
r 2+ 3 r 3

−3

↔r 3

→r 3

−8

−5

Determinantul unei matrici triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonale ale acesteia:

det A = − 1 8 9= − 72 . 2) Calculați determinantul matricei

−2

−1

Soluție: În primul rând, transformăm primul rând folosind operații elementare pe coloane, încercând să obținem numărul maxim posibil de zerouri în el. În acest scop, scădeți din a doua coloană a cincea coloană, înmulțită anterior cu 5, și adăugați dublu a doua coloană la a treia coloană:

− 2 0

c → c− 5 s

−1

→c 2

2 din 1

− 14

−1

det A =

− 35

− 15

Acum să extindem determinantul în elementele primei linii:

det A =

− 14

−1

− 35

− 15

Al doilea ordin este un număr egal cu diferența dintre produsul numerelor care formează diagonala principală și produsul numerelor de pe diagonala secundară; puteți găsi următoarea notație pentru determinant: ; ; ; detA(determinant).

.

Exemplu:
.

Determinant al unei matrice de ordinul trei este un număr sau o expresie matematică calculată conform următoarei reguli

Cea mai simplă modalitate de a calcula determinantul de ordinul trei este să adăugați primele două linii sub determinant.

În tabelul de numere rezultat, elementele situate pe diagonala principală și pe diagonalele paralele cu cea principală sunt înmulțite, semnul rezultatului produsului nu se modifică. Următoarea etapă a calculelor este o înmulțire similară a elementelor situate pe diagonala laterală și a celor paralele cu aceasta. Semnele rezultatelor produsului sunt inversate. Apoi adunăm cei șase termeni rezultați.

Exemplu:

Descompunerea unui determinant în elemente dintr-un anumit rând (coloană).

Minor M ij element şi ij matrice pătrată A este un determinant alcătuit din elemente de matrice A, rămânând după ștergere eu- oh linii și j a coloana.

De exemplu, minor la element un 21 matrici de ordinul trei
va fi un determinant
.

Vom spune că elementul şi ij ocupă un loc uniform dacă i+j(suma numerelor rândurilor și coloanelor la intersecția cărora se află acest element) - număr par, loc ciudat dacă i+j- numar impar.

Complement algebric A ij element şi ij matrice pătrată A numită expresie (sau valoarea minorului corespunzător, luată cu semnul „+” dacă elementul matricei ocupă o poziție pară și cu semnul „-” dacă elementul ocupă o poziție impară).

Exemplu:

un 23= 4;

- complement algebric al unui element un 22= 1.

teorema lui Laplace. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor unui anumit rând (coloană) și a complementelor algebrice corespunzătoare.

Să ilustrăm cu exemplul unui determinant de ordinul trei. Puteți calcula determinantul de ordinul al treilea extinzând pe primul rând după cum urmează:

În mod similar, puteți calcula determinantul de ordinul trei prin extinderea pe orice rând sau coloană. Este convenabil să extindeți determinantul de-a lungul rândului (sau coloanei) care conține mai multe zerouri.

Exemplu:

Astfel, calculul determinantului de ordinul 3 se reduce la calculul a 3 determinanți de ordinul doi. ÎN caz general se poate calcula determinantul unei matrice pătrate n-a ordinul, reducându-l la calcul n determinanti ( n-1)-a ordine

Cometariu. Nu exista moduri simple pentru calcularea determinanților de ordin superior, similar cu metodele de calcul al determinanților de ordinul 2 și 3. Prin urmare, pentru a calcula determinanții de peste ordinul al treilea, se poate folosi doar metoda expansiunii.


Exemplu. Calculați determinantul de ordinul al patrulea.

Să extindem determinantul în elementele celui de-al treilea rând

Proprietățile determinanților:

1. Determinantul nu se va schimba dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloane și invers.

2. La rearanjarea a două rânduri (coloane) adiacente, determinantul își schimbă semnul în cel opus.

3. Un determinant cu două rânduri (coloane) identice este egal cu 0.

4. Factorul comun al tuturor elementelor unui anumit rând (coloană) al determinantului poate fi scos din semnul determinantului.

5. Determinantul nu se va schimba dacă elementele corespunzătoare ale oricărei alte coloane (rând) sunt adăugate elementelor uneia dintre coloanele (rândurile) ale acesteia, înmulțite cu un anumit număr.

Pentru determinanții de ordinul al patrulea și superior, alte metode de calcul decât utilizarea formulelor gata făcute sunt de obicei utilizate ca pentru calcularea determinanților de ordinul doi și trei. Una dintre metodele de calculare a determinanților de ordine superioară este utilizarea unui corolar al teoremei lui Laplace (teorema însăși poate fi găsită, de exemplu, în cartea lui A.G. Kurosh „Cursul de algebră superioară”). Acest corolar ne permite să extindem determinantul în elemente ale unui anumit rând sau coloană. În acest caz, calculul determinantului de ordinul n se reduce la calculul a n determinanți de ordinul (n-1). De aceea o astfel de transformare se numește reducerea ordinului determinantului. De exemplu, calcularea determinantului de ordinul al patrulea se reduce la găsirea a patru determinanți de ordinul trei.

Să presupunem că ni se dă o matrice pătrată de ordinul al n-lea, adică. $A=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end(array) \right)$. Determinantul acestei matrice poate fi calculat prin extinderea acesteia pe rând sau coloană.

Să reparăm o linie al cărei număr este $i$. Apoi determinantul matricei $A_(n\times n)$ poate fi extins pe al-lea rând selectat folosind următoarea formulă:

\begin(equation) \Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(ecuație)

$A_(ij)$ denotă complementul algebric al elementului $a_(ij)$. Pentru informatii detaliate Recomand să vă uitați la subiectul Complementări algebrice și minore despre acest concept. Notația $a_(ij)$ indică elementul matricei sau determinantului situat la intersecție I-a linie j-a coloană. Pentru mai mult informatii complete Puteți consulta subiectul Matrix. Tipuri de matrice. Termeni de bază.

Să presupunem că vrem să găsim suma $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Ce expresie poate descrie intrarea $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$? Putem spune așa: aceasta este suma unui pătrat, două pătrate, trei pătrate, patru pătrate și cinci pătrate. Sau o putem spune mai pe scurt: aceasta este suma pătratelor întregi de la 1 la 5. Pentru a exprima suma mai pe scurt, o putem scrie folosind litera $\sum$ (aceasta este litera greacă „sigma”). .

În loc de $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ putem folosi următoarea notație: $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2$. Se numește litera $i$ indicele de însumare, iar numerele 1 (valoarea inițială $i$) și 5 (valoarea finală $i$) sunt numite limitele inferioare și superioare de însumare respectiv.

Să descifrăm în detaliu intrarea $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2$. Dacă $i=1$, atunci $i^2=1^2$, deci primul termen al acestei sume va fi numărul $1^2$:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+\ldots $$

Următorul întreg după unu este doi, deci înlocuind $i=2$, obținem: $i^2=2^2$. Suma va fi acum:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+\ldots $$

După doi, următorul număr este trei, deci înlocuind $i=3$ vom avea: $i^2=3^2$. Și suma va arăta astfel:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+3^2+\ldots $$

Au mai rămas doar două numere de înlocuit: 4 și 5. Dacă înlocuiți $i=4$, atunci $i^2=4^2$, iar dacă înlocuiți $i=5$, atunci $i^2=5 ^2$. Valorile $i$ au atins limita superioară de însumare, deci termenul $5^2$ va fi ultimul. Deci, suma finală este acum:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2. $$

Această sumă poate fi calculată prin simpla adăugare a numerelor: $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2=55$.

Pentru practică, încercați să scrieți și să calculați următoarea sumă: $\sum\limits_(k=3)^(8)(5k+2)$. Indicele de însumare aici este litera $k$, limita inferioară de însumare este 3, iar limita superioară de însumare este 8.

$$ \sum\limits_(k=3)^(8)(5k+2)=17+22+27+32+37+42=177. $$

Un analog al formulei (1) există și pentru coloane. Formula pentru extinderea determinantului în a j a coloană este următoarea:

\begin(equation) \Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(ecuație)

Regulile exprimate prin formulele (1) și (2) pot fi formulate astfel: determinantul este egal cu suma produselor elementelor unui anumit rând sau coloană prin complementele algebrice ale acestor elemente. Pentru claritate, luați în considerare determinantul de ordinul al patrulea, scris în formă generală:

$$\Delta=\stanga| \begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) & a_(14) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) & a_(24) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) & a_(34) \\ a_(41) & a_(42) & a_(43) & a_(44) \\ \end(array) \right| $$

Să alegem o coloană arbitrară în acest determinant. Să luăm, de exemplu, coloana numărul 4. Să scriem formula pentru descompunerea determinantului peste a patra coloană selectată:

În mod similar, alegând, de exemplu, a treia linie, obținem o descompunere pentru această linie:

Exemplul nr. 1

Calculați determinantul matricei $A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end(array) \right)$ folosind extinderea pe primul rând și pe a doua coloană.

Trebuie să calculăm determinantul de ordinul trei $\Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end(array) \right|$. Pentru a o extinde de-a lungul primei linii, trebuie să utilizați formula. Să scriem această expansiune în formă generală:

$$ \Delta A= a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13). $$

Pentru matricea noastră $a_(11)=5$, $a_(12)=-4$, $a_(13)=3$. Pentru a calcula adunările algebrice $A_(11)$, $A_(12)$, $A_(13)$, vom folosi formula nr. 1 din subiectul de pe . Deci, complementele algebrice necesare sunt:

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot \left| \begin(array) (cc) 2 & -1 \\ 0 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-(-1)\cdot 0=8;\\ & A_(12)=( -1)^3\cdot \left| \begin(array) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=-(7\cdot 4-(-1)\cdot 9)=-37;\\ & A_( 13)=(-1)^4\cdot \left| \begin(array) (cc) 7 & 2 \\ 9 & 0 \end(array) \right|=7\cdot 0-2\cdot 9=-18. \end(aliniat)

Cum am găsit complementele algebrice? arată ascunde

Înlocuind toate valorile găsite în formula scrisă mai sus, obținem:

$$ \Delta A= a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)=5\cdot(8)+(-4) \cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. $$

După cum puteți vedea, am redus procesul de găsire a determinantului de ordinul trei la calcularea valorilor a trei determinanți de ordinul doi. Cu alte cuvinte, am coborât ordinea determinantului inițial.

De obicei în astfel de cazuri simple ele nu descriu soluția în detaliu, găsind separat complementele algebrice și abia apoi substituindu-le în formula pentru a calcula determinantul. Cel mai adesea ei continuă să înregistreze formula generala, - până la primirea unui răspuns. Așa vom aranja determinantul în a doua coloană.

Deci, să începem să extindem determinantul din a doua coloană. Nu vom efectua calcule auxiliare; pur și simplu vom continua formula până când primim răspunsul. Vă rugăm să rețineți că în a doua coloană un element este egal cu zero, adică. $a_(32)=0$. Aceasta sugerează că termenul $a_(32)\cdot A_(32)=0\cdot A_(23)=0$. Folosind formula de extindere din a doua coloană, obținem:

$$ \Delta A= a_(12)\cdot A_(12)+a_(22)\cdot A_(22)+a_(32)\cdot A_(32)=-4\cdot (-1)\cdot \ stânga| \begin(array) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \end(array) \right|+2\cdot \left| \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134. $$

Răspunsul a fost primit. Desigur, rezultatul expansiunii de-a lungul celei de-a doua coloane a coincis cu rezultatul expansiunii de-a lungul primului rând, deoarece extindeam același determinant. Observați că atunci când am extins în a doua coloană, am făcut mai puține calcule, deoarece un element din a doua coloană era zero. Pe baza unor astfel de considerații, pentru descompunere, încearcă să aleagă coloana sau rândul care conține mai multe zerouri.

Răspuns: $\Delta A=134$.

Exemplul nr. 2

Calculați determinantul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$ folosind extinderea pe rândul sau coloana selectată.

Pentru descompunere, cel mai profitabil este să alegeți rândul sau coloana care conține cele mai multe zerouri. Desigur, în acest caz are sens să se extindă de-a lungul celei de-a treia linii, deoarece conține două elemente egale cu zero. Folosind formula, scriem expansiunea determinantului de-a lungul celei de-a treia linii:

$$ \Delta A= a_(31)\cdot A_(31)+a_(32)\cdot A_(32)+a_(33)\cdot A_(33)+a_(34)\cdot A_(34). $$

Deoarece $a_(31)=-5$, $a_(32)=0$, $a_(33)=-4$, $a_(34)=0$, atunci formula scrisă mai sus va fi:

$$ \Delta A= -5 \cdot A_(31)-4\cdot A_(33). $$

Să ne întoarcem la adunări algebrice$A_(31)$ și $A_(33)$. Pentru a le calcula, vom folosi formula nr. 2 din subiectul dedicat determinanților de ordinul doi și trei (în aceeași secțiune există exemple detaliate de aplicare a acestei formule).

\begin(aligned) & A_(31)=(-1)^4\cdot \left| \begin(array) (ccc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=10;\\ & A_(33)=( -1)^6\cdot \left| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=-34. \end(aliniat)

Înlocuind datele obținute în formula pentru determinant, vom avea:

$$ \Delta A= -5 \cdot A_(31)-4\cdot A_(33)=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$

În principiu, întreaga soluție poate fi scrisă pe o singură linie. Dacă omiteți toate explicațiile și calculele intermediare, atunci soluția va fi scrisă după cum urmează:

$$ \Delta A= a_(31)\cdot A_(31)+a_(32)\cdot A_(32)+a_(33)\cdot A_(33)+a_(34)\cdot A_(34)= \\= -5 \cdot (-1)^4\cdot \left| \begin(array) (ccc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|-4\cdot (-1)^6\cdot \left| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=-5\cdot 10-4\cdot ( -34)=86. $$

Răspuns: $\Delta A=86$.