După cum vă amintiți de la curiculumul scolar Potrivit geometriei, un triunghi este o figură formată din trei segmente legate prin trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă. Un triunghi formează trei unghiuri, de unde și numele figurii. Definiția poate fi diferită. Un triunghi poate fi numit și poligon cu trei unghiuri, răspunsul va fi și el corect. Triunghiurile sunt împărțite în funcție de numărul de laturi egale și de dimensiunea unghiurilor din figuri. Astfel, triunghiurile se disting ca isoscele, echilaterale și scalene, precum și dreptunghiulare, acute și, respectiv, obtuze.

Există o mulțime de formule pentru calcularea ariei unui triunghi. Alegeți cum să găsiți aria unui triunghi, de ex. Ce formulă să folosești depinde de tine. Dar este de remarcat doar câteva dintre notațiile care sunt utilizate în multe formule pentru calcularea ariei unui triunghi. Deci, amintiți-vă:

S este aria triunghiului,

a, b, c sunt laturile triunghiului,

h este înălțimea triunghiului,

R este raza cercului circumscris,

p este semiperimetrul.

Iată notațiile de bază care vă pot fi utile dacă ați uitat complet cursul de geometrie. Mai jos sunt cele mai de înțeles și nu opțiuni complexe calcularea ariei necunoscute și misterioase a unui triunghi. Nu este dificil și va fi util atât pentru nevoile casnice, cât și pentru a vă ajuta copiii. Să ne amintim cum să calculăm cât mai ușor aria unui triunghi:

În cazul nostru, aria triunghiului este: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm². Amintiți-vă că aria se măsoară în centimetri pătrați (cm2).

Triunghi dreptunghic și aria lui.

Un triunghi dreptunghic este un triunghi în care un unghi este egal cu 90 de grade (de aici numit drept). Un unghi drept este format din două drepte perpendiculare (în cazul unui triunghi, două segmente perpendiculare). Într-un triunghi dreptunghic nu poate exista decât un singur unghi drept, pentru că... suma tuturor unghiurilor unui triunghi este egală cu 180 de grade. Se pare că alte 2 unghiuri ar trebui să împartă restul de 90 de grade, de exemplu 70 și 20, 45 și 45 etc. Deci, vă amintiți principalul lucru, tot ce rămâne este să aflați cum să găsiți zona triunghi dreptunghic. Să ne imaginăm că avem un astfel de triunghi dreptunghic în fața noastră și trebuie să-i găsim aria S.

1. Cel mai simplu mod de a determina aria unui triunghi dreptunghic este calculat folosind următoarea formulă:

În cazul nostru, aria triunghiului dreptunghic este: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm pătrați.

În principiu, nu mai este nevoie să verificați aria triunghiului în alte moduri, deoarece Doar acesta va fi util și va ajuta în viața de zi cu zi. Dar există și opțiuni pentru măsurarea ariei unui triunghi prin unghiuri ascuțite.

2. Pentru alte metode de calcul, trebuie să aveți un tabel de cosinus, sinusuri și tangente. Judecă singur, iată câteva opțiuni pentru calcularea ariei unui triunghi dreptunghic care poate fi încă folosit:

Am decis să folosim prima formulă și cu câteva pete minore (am desenat-o într-un caiet și am folosit o riglă și un raportor vechi), dar am obținut calculul corect:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Am obținut următoarele rezultate: 3,6=3,7, dar ținând cont de deplasarea celulelor, putem ierta această nuanță.

Triunghiul isoscel și aria sa.

Dacă vă confruntați cu sarcina de a calcula formula triunghi isoscel, atunci cel mai simplu mod este să utilizați principalul și ceea ce este considerat formula clasică pentru aria unui triunghi.

Dar mai întâi, înainte de a găsi aria unui triunghi isoscel, să aflăm ce fel de figură este aceasta. Un triunghi isoscel este un triunghi în care două laturi au aceeași lungime. Aceste două laturi se numesc laterale, a treia latură se numește bază. Nu confundați un triunghi isoscel cu un triunghi echilateral, adică. un triunghi regulat cu toate cele trei laturi egale. Într-un astfel de triunghi nu există tendințe speciale la unghiuri, sau mai degrabă la dimensiunea lor. Cu toate acestea, unghiurile de la bază într-un triunghi isoscel sunt egale, dar diferite de unghiul dintre laturile egale. Deci, știți deja prima și principala formulă; rămâne să aflați ce alte formule pentru determinarea ariei unui triunghi isoscel sunt cunoscute:

Un triunghi este așa figură geometrică, care constă din trei linii care se leagă în puncte care nu se află pe aceeași linie. Punctele de legătură ale liniilor sunt vârfurile triunghiului, care sunt desemnate prin litere latine (de exemplu, A, B, C). Liniile drepte de legătură ale unui triunghi se numesc segmente, care sunt de obicei notate cu litere latine. Se disting următoarele tipuri de triunghiuri:

• Dreptunghiular.
• Obtuz.
• Unghiular acut.
• Versatil.
• Echilateral.
• Isoscel.

Formule generale pentru calcularea ariei unui triunghi

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe lungime și înălțime

S= a*h/2,
unde a este lungimea laturii triunghiului a cărui zonă trebuie găsită, h este lungimea înălțimii trasate la bază.

Formula lui Heron

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
unde √ este Rădăcină pătrată, p este semiperimetrul triunghiului, a,b,c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului. Semiperimetrul unui triunghi poate fi calculat folosind formula p=(a+b+c)/2.

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe unghiul și lungimea segmentului

S = (a*b*sin(α))/2,
Unde b,c este lungimea laturilor triunghiului, sin(α) este sinusul unghiului dintre cele două laturi.

Formula pentru aria unui triunghi având în vedere raza cercului înscris și trei laturi

S=p*r,
unde p este semiperimetrul triunghiului a cărui zonă trebuie găsită, r este raza cercului înscris în acest triunghi.

Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului circumscris în jurul acestuia

S= (a*b*c)/4*R,
unde a,b,c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului, R este raza cercului circumscris triunghiului.

Formula pentru aria unui triunghi folosind coordonatele carteziene ale punctelor

Coordonatele carteziene ale punctelor sunt coordonate în sistemul xOy, unde x este abscisa, y este ordonata. Sistemul de coordonate carteziene xOy pe un plan este axele numerice reciproc perpendiculare Ox și Oy cu origine comună în punctul O. Dacă coordonatele punctelor din acest plan sunt date sub forma A(x1, y1), B(x2, y2). ) și C(x3, y3 ), atunci puteți calcula aria triunghiului folosind următoarea formulă, care se obține din produsul vectorial al doi vectori.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
unde || reprezintă modul.

Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este un triunghi cu un unghi care măsoară 90 de grade. Un triunghi poate avea doar un astfel de unghi.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic pe două laturi

S= a*b/2,
unde a,b este lungimea picioarelor. Picioarele sunt laturile adiacente unui unghi drept.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic bazată pe ipotenuză și unghiul ascuțit

S = a*b*sin(α)/ 2,
unde a, b sunt catetele triunghiului, iar sin(α) este sinusul unghiului la care se intersectează liniile a, b.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic bazată pe latura și unghiul opus

S = a*b/2*tg(β),
unde a, b sunt catetele triunghiului, tan(β) este tangenta unghiului la care catetele a, b sunt conectate.

Cum se calculează aria unui triunghi isoscel

Un triunghi isoscel este unul care are două laturi egale. Aceste laturi se numesc laturi, iar cealalta parte este baza. Pentru a calcula aria unui triunghi isoscel, puteți utiliza una dintre următoarele formule.

Formula de bază pentru calcularea ariei unui triunghi isoscel

S=h*c/2,
unde c este baza triunghiului, h este înălțimea triunghiului coborât la bază.

Formula unui triunghi isoscel bazat pe latură și bază

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
unde c este baza triunghiului, a este dimensiunea uneia dintre laturile triunghiului isoscel.

Cum să găsiți aria unui triunghi echilateral

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate laturile sunt egale. Pentru a calcula aria unui triunghi echilateral, puteți folosi următoarea formulă:
S = (√3*a*a)/4,
unde a este lungimea laturii triunghiului echilateral.

Formulele de mai sus vă vor permite să calculați aria necesară a triunghiului. Este important să rețineți că pentru a calcula aria triunghiurilor, trebuie să luați în considerare tipul de triunghi și datele disponibile care pot fi utilizate pentru calcul.

Aria unui triunghi - formule și exemple de rezolvare a problemelor

Mai jos sunt formule pentru găsirea ariei unui triunghi arbitrar care sunt potrivite pentru găsirea ariei oricărui triunghi, indiferent de proprietățile, unghiurile sau dimensiunile acestuia. Formulele sunt prezentate sub forma unei imagini, cu explicații pentru aplicarea lor sau justificarea corectitudinii lor. De asemenea, o figură separată arată corespondența dintre simbolurile literelor din formule și simbolurile grafice din desen.

Notă . Dacă triunghiul are proprietăți speciale(isoscel, dreptunghiular, echilateral), puteți utiliza formulele prezentate mai jos, precum și formule speciale suplimentare care sunt valabile numai pentru triunghiuri cu aceste proprietăți:

• „Formula pentru aria unui triunghi echilateral”

Formulele ariei triunghiulare

Explicații pentru formule:
a, b, c- lungimile laturilor triunghiului a cărui arie dorim să aflăm
r- raza cercului înscris în triunghi
R- raza cercului circumscris triunghiului
h- inaltimea triunghiului coborat lateral
p- semiperimetrul unui triunghi, 1/2 din suma laturilor acestuia (perimetrul)
α - unghi opus laturii a a triunghiului
β - unghi opus laturii b a triunghiului
γ - unghi opus laturii c a triunghiului
h A, h b , h c- înălțimea triunghiului coborât la laturile a, b, c

Vă rugăm să rețineți că notațiile date corespund figurii de mai sus, astfel încât atunci când rezolvați o problemă de geometrie reală, vă va fi mai ușor din punct de vedere vizual să înlocuiți valorile corecte în locurile potrivite din formulă.

• Aria triunghiului este jumătate din produsul înălțimii triunghiului și lungimea laturii cu care se coboară această înălțime(Formula 1). Corectitudinea acestei formule poate fi înțeleasă logic. Înălțimea coborâtă la bază va împărți un triunghi arbitrar în două dreptunghiulare. Dacă construiți fiecare dintre ele într-un dreptunghi cu dimensiunile b și h, atunci, evident, aria acestor triunghiuri va fi egală cu exact jumătate din aria dreptunghiului (Spr = bh)
• Aria triunghiului este jumătate din produsul celor două laturi ale sale și sinusul unghiului dintre ele(Formula 2) (vezi un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind această formulă mai jos). Chiar dacă pare diferit de precedentul, poate fi ușor transformat în el. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul B la latura b, rezultă că produsul laturii a și sinusul unghiului γ, conform proprietăților sinusului într-un triunghi dreptunghic, este egal cu înălțimea triunghiului pe care l-am desenat. , care ne oferă formula anterioară
• Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită prin muncă jumătate din raza cercului înscris în el prin suma lungimilor tuturor laturilor sale(Formula 3), pur și simplu, trebuie să înmulțiți semiperimetrul triunghiului cu raza cercului înscris (acest lucru este mai ușor de reținut)
• Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită prin împărțirea produsului tuturor laturilor sale la 4 raze ale cercului circumscris în jurul lui (Formula 4)
• Formula 5 este găsirea aria unui triunghi prin lungimile laturilor și semiperimetrului său (jumătate din suma tuturor laturilor sale)
• Formula lui Heron(6) este o reprezentare a aceleiași formule fără a folosi conceptul de semiperimetru, doar prin lungimile laturilor
• Aria unui triunghi arbitrar este egală cu produsul dintre pătratul laturii triunghiului și sinusurile unghiurilor adiacente acestei laturi împărțit la sinusul dublu al unghiului opus acestei laturi (Formula 7)
• Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită ca produsul a două pătrate ale cercului circumscris în jurul lui de sinusurile fiecăruia dintre unghiurile sale. (Formula 8)
• Dacă lungimea unei laturi și valorile a două unghiuri adiacente sunt cunoscute, atunci aria triunghiului poate fi găsită ca pătratul acestei laturi împărțit la suma dublă a cotangentelor acestor unghiuri (Formula 9)
• Dacă se cunoaște numai lungimea fiecărei înălțimi ale triunghiului (Formula 10), atunci aria unui astfel de triunghi este invers proporțională cu lungimile acestor înălțimi, așa cum se arată în formula lui Heron.
• Formula 11 vă permite să calculați aria unui triunghi bazată pe coordonatele vârfurilor sale, care sunt specificate ca valori (x;y) pentru fiecare dintre vârfuri. Vă rugăm să rețineți că valoarea rezultată trebuie luată modulo, deoarece coordonatele vârfurilor individuale (sau chiar ale tuturor) pot fi în regiunea valorilor negative.

Notă. Următoarele sunt exemple de rezolvare a problemelor de geometrie pentru a găsi aria unui triunghi. Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este similară aici, scrieți despre ea pe forum. În soluții, în locul simbolului „rădăcină pătrată”, se poate folosi funcția sqrt(), în care sqrt este simbolul rădăcinii pătrate, iar expresia radicalului este indicată în paranteze.Uneori, pentru expresii radicale simple, simbolul poate fi folosit √

Sarcină. Aflați aria dată celor două laturi și unghiul dintre ele

Laturile triunghiului sunt de 5 si 6 cm.Unghiul dintre ele este de 60 de grade. Găsiți aria triunghiului.

Soluţie.

Pentru a rezolva această problemă, folosim formula numărul doi din partea teoretică a lecției.
Aria unui triunghi poate fi găsită prin lungimile a două laturi și sinusul unghiului dintre ele și va fi egală cu
S=1/2 ab sin γ

Deoarece avem toate datele necesare pentru rezolvare (conform formulei), putem înlocui doar valorile din condițiile problemei în formula:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

În tabelul de valori funcții trigonometrice Să găsim și să înlocuim valoarea sinusului 60 de grade în expresie. Va fi egal cu rădăcina de trei ori doi.
S = 15 √3 / 2

Răspuns: 7,5 √3 (în funcție de cerințele profesorului, probabil că puteți lăsa 15 √3/2)

Sarcină. Aflați aria unui triunghi echilateral

Aflați aria unui triunghi echilateral cu latura de 3 cm.

Soluție.

Aria unui triunghi poate fi găsită folosind formula lui Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Deoarece a = b = c, formula pentru aria unui triunghi echilateral ia forma:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Răspuns: 9 √3 / 4.

Sarcină. Schimbarea suprafeței la modificarea lungimii laturilor

De câte ori va crește aria triunghiului dacă laturile sunt mărite de 4 ori?

Soluţie.

Deoarece dimensiunile laturilor triunghiului ne sunt necunoscute, pentru a rezolva problema vom presupune că lungimile laturilor sunt, respectiv, egale cu numerele arbitrare a, b, c. Apoi, pentru a răspunde la întrebarea problemei, vom găsi aria triunghiului dat, iar apoi vom găsi aria triunghiului ale cărui laturi sunt de patru ori mai mari. Raportul dintre ariile acestor triunghiuri ne va oferi răspunsul la problemă.

Mai jos oferim o explicație textuală a soluției problemei pas cu pas. Cu toate acestea, la final, aceeași soluție este prezentată într-o formă grafică mai convenabilă. Cei interesați pot coborî imediat soluțiile.

Pentru a rezolva, folosim formula lui Heron (vezi mai sus în partea teoretică a lecției). Arata cam asa:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vezi prima linie a imaginii de mai jos)

Lungimile laturilor unui triunghi arbitrar sunt specificate de variabilele a, b, c.
Dacă laturile sunt mărite de 4 ori, atunci aria noului triunghi c va fi:

S 2 = 1/4 pătrat((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(vezi a doua linie din imaginea de mai jos)

După cum puteți vedea, 4 este un factor comun care poate fi scos din paranteze din toate cele patru expresii conform reguli generale matematică.
Apoi

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - pe a treia linie a imaginii
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - a patra linie

Rădăcina pătrată a numărului 256 este extrasă perfect, așa că hai să o scoatem de sub rădăcină
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vezi al cincilea rând al imaginii de mai jos)

Pentru a răspunde la întrebarea pusă în problemă, trebuie doar să împărțim aria triunghiului rezultat cu aria celui original.
Să determinăm rapoartele ariei împărțind expresiile între ele și reducând fracția rezultată.

Uneori, în viață, există situații în care trebuie să vă adânciți în memorie în căutarea cunoștințelor școlare de mult uitate. De exemplu, trebuie să determinați suprafața unui teren în formă triunghiulară sau a venit timpul pentru o nouă renovare într-un apartament sau o casă privată și trebuie să calculați cât material va fi necesar pentru o suprafață cu o formă triunghiulară. A existat o perioadă în care ai putea rezolva o astfel de problemă în câteva minute, dar acum încerci cu disperare să-ți amintești cum să determini aria unui triunghi?

Nu vă faceți griji! La urma urmei, este destul de normal când creierul unei persoane decide să transfere cunoștințe neutilizate de multă vreme undeva într-un colț îndepărtat, din care uneori nu este atât de ușor să le extragi. Pentru a nu trebui să vă luptați cu căutarea cunoștințelor școlare uitate pentru a rezolva o astfel de problemă, acest articol conține diverse metode care facilitează găsirea zonei necesare a unui triunghi.

Este bine cunoscut faptul că un triunghi este un tip de poligon care este limitat la numărul minim posibil de laturi. În principiu, orice poligon poate fi împărțit în mai multe triunghiuri conectând vârfurile sale cu segmente care nu îi intersectează laturile. Prin urmare, cunoscând triunghiul, puteți calcula aria aproape oricărei figuri.

Dintre toate triunghiurile posibile care apar în viață, se pot distinge următoarele tipuri particulare: și dreptunghiulare.

Cel mai simplu mod de a calcula aria unui triunghi este atunci când unul dintre unghiurile sale este drept, adică în cazul unui triunghi dreptunghic. Este ușor de observat că este o jumătate de dreptunghi. Prin urmare, aria sa este egală cu jumătate din produsul laturilor care formează un unghi drept între ele.

Dacă cunoaștem înălțimea unui triunghi, coborât de la unul dintre vârfurile sale pe latura opusă, și lungimea acestei laturi, care se numește bază, atunci aria se calculează ca jumătate din produsul înălțimii și bazei. Aceasta se scrie folosind următoarea formulă:

S = 1/2*b*h, în care

S este aria necesară a triunghiului;

b, h - respectiv, înălțimea și baza triunghiului.

Este atât de ușor să calculați aria unui triunghi isoscel, deoarece înălțimea va diviza latura opusă și poate fi măsurată cu ușurință. Dacă aria este determinată, atunci este convenabil să luați lungimea uneia dintre laturile care formează un unghi drept ca înălțime.

Toate acestea sunt bineînțeles bune, dar cum să determinați dacă unul dintre unghiurile unui triunghi este drept sau nu? Dacă dimensiunea figurii noastre este mică, atunci putem folosi un unghi de construcție, un triunghi de desen, o carte poștală sau un alt obiect cu formă dreptunghiulară.

Dar dacă avem un teren triunghiular? În acest caz, procedați după cum urmează: numărați din partea de sus a așteptărilor unghi drept pe o parte distanța este multiplu de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), iar pe cealaltă se măsoară distanța în aceeași proporție care este multiplu de 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) . Acum trebuie să măsurați distanța dintre punctele de capăt ale acestor două segmente. Dacă rezultatul este un multiplu de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), atunci putem spune că unghiul este corect.

Dacă lungimea fiecăreia dintre cele trei laturi ale figurii noastre este cunoscută, atunci aria triunghiului poate fi determinată folosind formula lui Heron. Pentru ca acesta să aibă o formă mai simplă, se folosește o nouă valoare, care se numește semiperimetru. Aceasta este suma tuturor laturilor triunghiului nostru, împărțite la jumătate. După ce semi-perimetrul a fost calculat, puteți începe să determinați aria folosind formula:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), unde

sqrt - rădăcină pătrată;

p - valoarea semiperimetrului (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - muchiile (laturile) triunghiului.

Dar dacă triunghiul are formă neregulată? Există două moduri posibile aici. Prima dintre ele este să încercați să împărțiți o astfel de figură în două triunghiuri dreptunghiulare, a căror sumă a ariilor este calculată separat și apoi adăugată. Sau, dacă unghiul dintre două laturi și dimensiunea acestor laturi sunt cunoscute, atunci aplicați formula:

S = 0,5 * ab * sinC, unde

a,b - laturile triunghiului;

c este dimensiunea unghiului dintre aceste laturi.

Cel din urmă caz ​​este rar în practică, dar, cu toate acestea, totul este posibil în viață, așa că formula de mai sus nu va fi de prisos. Succes cu calculele tale!

Puteți găsi peste 10 formule pentru calcularea ariei unui triunghi pe Internet Multe dintre ele sunt folosite în probleme cu laturile și unghiurile cunoscute ale triunghiului. Cu toate acestea, există o serie de exemple complexe în care, conform condițiilor atribuirii, sunt cunoscute doar o latură și unghiurile unui triunghi, sau raza unui cerc circumscris sau înscris și încă o caracteristică. În astfel de cazuri, o formulă simplă nu poate fi aplicată.

Formulele de mai jos vă vor permite să rezolvați 95 la sută din problemele în care trebuie să găsiți aria unui triunghi.
Să trecem la a lua în considerare formulele pentru zone comune.
Luați în considerare triunghiul prezentat în figura de mai jos

În figură și mai jos în formule sunt introduse denumirile clasice ale tuturor caracteristicilor sale.
a,b,c – laturile triunghiului,
R – raza cercului circumscris,
r – raza cercului înscris,
h[b],h[a],h[c] – înălțimi trasate în conformitate cu laturile a,b,c.
alfa, beta, hamma – unghiuri în apropierea vârfurilor.

Formule de bază pentru aria unui triunghi

1. Aria este egală cu jumătate din produsul dintre latura triunghiului și înălțimea coborâtă pe această latură. În limbajul formulelor, această definiție poate fi scrisă după cum urmează

Astfel, dacă latura și înălțimea sunt cunoscute, atunci fiecare elev va găsi zona.
Apropo, din această formulă se poate deriva o relație utilă între înălțimi

2. Dacă luăm în considerare că înălțimea unui triunghi prin latura adiacentă se exprimă prin dependență

Apoi, prima formulă de zonă este urmată de a doua formulă de același tip

Priviți cu atenție formulele - sunt ușor de reținut, deoarece munca implică două laturi și unghiul dintre ele. Dacă desemnăm corect laturile și unghiurile triunghiului (ca în figura de mai sus), vom obține două laturile a,b iar unghiul este legat de al treilea Cu (hamma).

3. Pentru unghiurile unui triunghi, relația este adevărată

Dependența vă permite să utilizați următoarele formule pentru aria unui triunghi în calcule:

Exemplele de această dependență sunt extrem de rare, dar trebuie să vă amintiți că există o astfel de formulă.

4. Dacă se cunosc latura și două unghiuri adiacente, atunci aria se află prin formula

5. Formula pentru aria în termeni de latură și cotangente a unghiurilor adiacente este următoarea

Prin rearanjarea indexurilor puteți obține dependențe pentru alte părți.

6. Formula ariei de mai jos este folosită în probleme când vârfurile unui triunghi sunt specificate pe plan prin coordonate. În acest caz, aria este egală cu jumătate din determinantul luat modulo.

7. Formula lui Heron folosit în exemple cu laturile cunoscute ale unui triunghi.
Mai întâi găsiți semiperimetrul triunghiului

Și apoi determinați zona folosind formula

sau

Este destul de des folosit în codul programelor de calculator.

8. Dacă toate înălțimile triunghiului sunt cunoscute, atunci aria este determinată de formula

Este dificil de calculat pe un calculator, dar în pachetele MathCad, Mathematica, Maple zona este „timpul doi”.

9. Următoarele formule folosesc razele cunoscute ale cercurilor înscrise și circumscrise.

În special, dacă raza și laturile triunghiului sau perimetrul acestuia sunt cunoscute, atunci aria se calculează conform formulei

10. În exemplele în care sunt date laturile și raza sau diametrul cercului circumscris, aria se află folosind formula

11. Următoarea formulă determină aria unui triunghi în ceea ce privește latura și unghiurile triunghiului.

Și în sfârșit - cazuri speciale:
Aria unui triunghi dreptunghic cu catetele a și b egale cu jumătate din produsul lor

Formula pentru aria unui triunghi echilateral (regulat).=

= un sfert din produsul pătratului laturii și rădăcina lui trei.