Metoda Gauss, numită și metodă eliminare secvenţială necunoscute este după cum urmează. Folosind transformări elementare, un sistem de ecuații liniare este adus într-o astfel de formă încât matricea sa de coeficienți se dovedește a fi trapezoidal (la fel ca triunghiular sau în trepte) sau aproape de trapezoidal (cursă directă a metodei gaussiene, în continuare - pur și simplu cursă dreaptă). Un exemplu de astfel de sistem și soluția sa este în figura de mai sus.
Într-un astfel de sistem, ultima ecuație conține o singură variabilă și valoarea acesteia poate fi găsită fără ambiguitate. Valoarea acestei variabile este apoi înlocuită în ecuația anterioară ( cursa inversă metoda Gauss , apoi doar invers), din care se găsește variabila anterioară și așa mai departe.
Într-un sistem trapezoidal (triunghiular), după cum vedem, a treia ecuație nu mai conține variabile yȘi X, iar a doua ecuație este variabila X .
După ce matricea sistemului a luat o formă trapezoidală, nu mai este dificil să înțelegeți problema compatibilității sistemului, să determinați numărul de soluții și să găsiți soluțiile în sine.
Avantajele metodei:
- la rezolvarea sistemelor ecuatii lineare cu numărul de ecuații și necunoscute mai mare de trei, metoda Gauss nu este la fel de greoaie ca metoda Cramer, deoarece rezolvarea cu metoda Gauss necesită mai puține calcule;
- Folosind metoda Gauss, puteți rezolva sisteme nedefinite de ecuații liniare, adică având decizie comună(și le vom analiza în această lecție), dar folosind metoda lui Cramer, putem afirma doar că sistemul este incert;
- poți rezolva sisteme de ecuații liniare în care numărul de necunoscute nu este egal cu numărul de ecuații (le vom analiza și în această lecție);
- Metoda se bazează pe metode elementare (școlare) - metoda de substituire a necunoscutelor și metoda de adunare a ecuațiilor, pe care am atins-o în articolul corespunzător.
Pentru ca toată lumea să înțeleagă simplitatea cu care se rezolvă sistemele de ecuații liniare trapezoidale (triunghiulare, în trepte), prezentăm o soluție pentru un astfel de sistem folosind mișcarea inversă. O soluție rapidă la acest sistem a fost prezentată în imaginea de la începutul lecției.
Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind inversul:
Soluţie. În acest sistem trapezoidal variabila z poate fi găsit în mod unic din a treia ecuație. Inlocuim valoarea acesteia in a doua ecuatie si obtinem valoarea variabilei y:
Acum știm valorile a două variabile - zȘi y. Le înlocuim în prima ecuație și obținem valoarea variabilei X:
Din pașii anteriori scriem soluția sistemului de ecuații:
Pentru a obține un astfel de sistem trapezoidal de ecuații liniare, pe care l-am rezolvat foarte simplu, este necesar să folosim o cursă înainte asociată cu transformările elementare ale sistemului de ecuații liniare. De asemenea, nu este foarte greu.
Transformări elementare ale unui sistem de ecuații liniare
Repetând metoda școlară de adunare algebrică a ecuațiilor unui sistem, am aflat că la una dintre ecuațiile sistemului se mai poate adăuga o altă ecuație a sistemului, iar fiecare dintre ecuații poate fi înmulțită cu câteva numere. Ca rezultat, obținem un sistem de ecuații liniare echivalent cu acesta. În ea, o ecuație conținea deja o singură variabilă, înlocuind valoarea căreia în alte ecuații, ajungem la o soluție. O astfel de adăugare este unul dintre tipurile de transformare elementară a sistemului. Când folosim metoda Gaussiană, putem folosi mai multe tipuri de transformări.
Animația de mai sus arată cum sistemul de ecuații se transformă treptat într-unul trapezoidal. Adică, cea pe care ai văzut-o în prima animație și te-ai convins că este ușor să găsești din ea valorile tuturor necunoscutelor. Cum se realizează o astfel de transformare și, desigur, exemple vor fi discutate în continuare.
La rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu orice număr de ecuații și necunoscute în sistemul de ecuații și în matricea extinsă a sistemului Poate sa:
- rearanjați liniile (acest lucru a fost menționat chiar la începutul acestui articol);
- dacă alte transformări rezultă în rânduri egale sau proporționale, acestea pot fi șterse, cu excepția unuia;
- eliminați rândurile „zero” în care toți coeficienții sunt egali cu zero;
- înmulțiți sau împărțiți orice șir cu un anumit număr;
- la orice linie adăugați o altă linie, înmulțită cu un anumit număr.
În urma transformărilor, obținem un sistem de ecuații liniare echivalent cu acesta.
Algoritm și exemple de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare cu o matrice pătrată a sistemului folosind metoda Gauss
Să considerăm mai întâi rezolvarea sistemelor de ecuații liniare în care numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații. Matricea unui astfel de sistem este pătrată, adică numărul de rânduri din acesta este egal cu numărul de coloane.
Exemplul 2. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss
La rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metode școlare, am înmulțit una dintre ecuații termen cu termen, astfel încât coeficienții primei variabile din cele două ecuații să fie numere opuse. Când se adună ecuații, această variabilă este eliminată. Metoda Gauss funcționează similar.
A simplifica aspect solutii să creăm o matrice extinsă a sistemului:
În această matrice, coeficienții necunoscutelor sunt situați în stânga înaintea liniei verticale, iar termenii liberi sunt situați în dreapta după linia verticală.
Pentru comoditatea împărțirii coeficienților pentru variabile (pentru a obține împărțirea la unitate) Să schimbăm primul și al doilea rând din matricea sistemului. Obținem un sistem echivalent cu acesta, deoarece într-un sistem de ecuații liniare ecuațiile pot fi interschimbate:
Folosind noua prima ecuație elimina variabila X din a doua și din toate ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, la al doilea rând al matricei adăugăm primul rând, înmulțit cu (în cazul nostru, cu ), la al treilea rând - primul rând, înmulțit cu (în cazul nostru, cu ).
Acest lucru este posibil pentru că
Dacă ar fi mai mult de trei ecuații în sistemul nostru, atunci ar trebui să adunăm la toate ecuațiile ulterioare prima linie, înmulțită cu raportul coeficienților corespunzători, luate cu semnul minus.
Ca rezultat, obținem o matrice echivalentă cu acest sistem sistem nou ecuații în care toate ecuațiile, începând cu a doua nu conțin o variabilă X :
Pentru a simplifica a doua linie a sistemului rezultat, înmulțiți-o cu și obțineți din nou matricea unui sistem de ecuații echivalent cu acest sistem:
Acum, păstrând prima ecuație a sistemului rezultat neschimbată, folosind a doua ecuație eliminăm variabila y din toate ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, la al treilea rând al matricei sistemului adăugăm al doilea rând, înmulțit cu (în cazul nostru cu ).
Dacă ar fi mai mult de trei ecuații în sistemul nostru, atunci ar trebui să adăugăm o a doua linie la toate ecuațiile ulterioare, înmulțită cu raportul coeficienților corespunzători luați cu semnul minus.
Ca rezultat, obținem din nou matricea unui sistem echivalent cu acest sistem de ecuații liniare:
Am obținut un sistem trapezoidal echivalent de ecuații liniare:
Dacă numărul de ecuații și variabile este mai mare decât în exemplul nostru, atunci procesul de eliminare secvențială a variabilelor continuă până când matricea sistemului devine trapezoidală, ca în exemplul nostru demonstrativ.
Vom găsi soluția „de la sfârșit” - mișcarea inversă. Pentru aceasta din ultima ecuație pe care o determinăm z:
.
Înlocuind această valoare în ecuația anterioară, vom găsi y:
Din prima ecuație vom găsi X:
Răspuns: soluția acestui sistem de ecuații este 
.
: în acest caz se va da același răspuns dacă sistemul are o soluție unică. Dacă sistemul are un număr infinit de soluții, atunci acesta va fi răspunsul și acesta este subiectul celei de-a cincea părți a acestei lecții.
Rezolvați singur un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss, apoi uitați-vă la soluție
Aici avem din nou un exemplu de sistem consistent și definit de ecuații liniare, în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute. Diferența față de exemplul nostru demonstrativ de la algoritm este că există deja patru ecuații și patru necunoscute.
Exemplul 4. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss:
Acum trebuie să utilizați a doua ecuație pentru a elimina variabila din ecuațiile ulterioare. Să ducem la îndeplinire munca pregatitoare. Pentru a face mai convenabil raportul dintre coeficienți, trebuie să obțineți unul în a doua coloană a celui de-al doilea rând. Pentru a face acest lucru, scădeți a treia din a doua linie și înmulțiți a doua linie rezultată cu -1.
Să efectuăm acum eliminarea efectivă a variabilei din a treia și a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a doua linie, înmulțită cu , la a treia linie și a doua, înmulțită cu , la a patra linie.
Acum, folosind a treia ecuație, eliminăm variabila din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a treia linie la a patra linie, înmulțită cu . Obținem o matrice trapezoidală extinsă.
Am obținut un sistem de ecuații cu care sistemul dat este echivalent:
În consecință, sistemele rezultate și date sunt compatibile și definite. Găsim soluția finală „de la capăt”. Din a patra ecuație putem exprima direct valoarea variabilei „x-four”:
Inlocuim aceasta valoare in a treia ecuatie a sistemului si obtinem
,
,
În sfârșit, înlocuirea valorii
Prima ecuație dă
,
unde găsim „x primul”:
Răspuns: acest sistem de ecuații are o soluție unică 
.
De asemenea, puteți verifica soluția sistemului pe un calculator folosind metoda lui Cramer: în acest caz, același răspuns va fi dat dacă sistemul are o soluție unică.
Rezolvarea problemelor aplicate folosind metoda Gauss folosind exemplul unei probleme pe aliaje
Sistemele de ecuații liniare sunt folosite pentru a modela obiecte reale din lumea fizică. Să rezolvăm una dintre aceste probleme - aliajele. Probleme similare sunt probleme legate de amestecuri, costul sau ponderea bunurilor individuale într-un grup de mărfuri și altele asemenea.
Exemplul 5. Trei bucăți de aliaj au o masă totală de 150 kg. Primul aliaj conține 60% cupru, al doilea - 30%, al treilea - 10%. Mai mult, în al doilea și al treilea aliaj luate împreună este cu 28,4 kg mai puțin cupru decât în primul aliaj, iar în al treilea aliaj este cu 6,2 kg mai puțin cupru decât în al doilea. Aflați masa fiecărei piese din aliaj.
Soluţie. Compunem un sistem de ecuații liniare:
Înmulțim a doua și a treia ecuație cu 10, obținem un sistem echivalent de ecuații liniare:
Creăm o matrice extinsă a sistemului:
Atenție, drept înainte. Adunând (în cazul nostru, scăzând) un rând înmulțit cu un număr (se aplică de două ori), cu matricea extinsă a sistemului apar următoarele transformări:
Mișcarea directă s-a încheiat. Am obținut o matrice trapezoidală extinsă.
Aplicăm mișcarea inversă. Soluția o găsim de la final. Noi vedem asta.
Din a doua ecuație găsim
Din a treia ecuație -
De asemenea, puteți verifica soluția sistemului pe un calculator folosind metoda lui Cramer: în acest caz, același răspuns va fi dat dacă sistemul are o soluție unică.
Simplitatea metodei lui Gauss este dovedită de faptul că matematicianului german Carl Friedrich Gauss i-a luat doar 15 minute pentru a o inventa. În plus față de metoda numită după el, din lucrările lui Gauss se cunoaște zicala „Nu trebuie să confundăm ceea ce ni se pare incredibil și nefiresc cu absolut imposibil” - un fel de scurtă instrucțiune despre a face descoperiri.
În multe probleme aplicate s-ar putea să nu existe o a treia constrângere, adică o a treia ecuație, atunci trebuie să rezolvi un sistem de două ecuații cu trei necunoscute folosind metoda Gaussiană sau, dimpotrivă, există mai puține necunoscute decât ecuații. Vom începe acum să rezolvăm astfel de sisteme de ecuații.
Folosind metoda Gaussiană, puteți determina dacă orice sistem este compatibil sau incompatibil n ecuații liniare cu n variabile.
Metoda Gauss și sisteme de ecuații liniare cu un număr infinit de soluții
Următorul exemplu este un sistem consistent, dar nedeterminat de ecuații liniare, adică având un număr infinit de soluții.
După efectuarea transformărilor în matricea extinsă a sistemului (rearanjarea rândurilor, înmulțirea și împărțirea rândurilor cu un anumit număr, adăugarea altuia la un rând), pot apărea rânduri ale formularului
Dacă în toate ecuaţiile având forma
Termenii liberi sunt egali cu zero, asta înseamnă că sistemul este nedefinit, adică are un număr infinit de soluții, iar ecuațiile de acest tip sunt „de prisos” și le excludem din sistem.
Exemplul 6.
Soluţie. Să creăm o matrice extinsă a sistemului. Apoi, folosind prima ecuație, eliminăm variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați la a doua, a treia și a patra rânduri primul, înmulțit cu:
Acum să adăugăm a doua linie la a treia și a patra.
Ca urmare, ajungem la sistem
Ultimele două ecuații s-au transformat în ecuații de formă. Aceste ecuații sunt satisfăcute pentru orice valoare a necunoscutelor și pot fi aruncate.
Pentru a satisface a doua ecuație, putem alege valori arbitrare pentru și , apoi valoarea pentru va fi determinată în mod unic: 
. Din prima ecuație se găsește și valoarea pentru: 
.
Atât sistemul dat, cât și ultimul sunt consecvenți, dar incerti, și formulele
pentru arbitrare și să ne dea toate soluțiile unui sistem dat.
Metoda Gauss și sisteme de ecuații liniare fără soluții
Următorul exemplu este un sistem inconsecvent de ecuații liniare, adică unul care nu are soluții. Răspunsul la astfel de probleme este formulat astfel: sistemul nu are soluții.
După cum sa menționat deja în legătură cu primul exemplu, după efectuarea transformărilor, rândurile formularului ar putea apărea în matricea extinsă a sistemului
corespunzătoare unei ecuaţii de formă
Dacă printre ele există cel puțin o ecuație cu un termen liber diferit de zero (adică ), atunci acest sistem de ecuații este inconsecvent, adică nu are soluții și soluția sa este completă.
Exemplul 7. Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss:
Soluţie. Compunem o matrice extinsă a sistemului. Folosind prima ecuație, excludem variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați prima linie înmulțită cu la a doua linie, prima linie înmulțită cu a treia linie și prima linie înmulțită cu a patra linie.
Acum trebuie să utilizați a doua ecuație pentru a elimina variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a obține rapoarte întregi ale coeficienților, schimbăm al doilea și al treilea rând din matricea extinsă a sistemului.
Pentru a exclude a treia și a patra ecuație, adăugați a doua înmulțită cu , la a treia linie, iar a doua înmulțită cu , la a patra linie.
Acum, folosind a treia ecuație, eliminăm variabila din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a treia linie la a patra linie, înmulțită cu .
Prin urmare, sistemul dat este echivalent cu următorul:
Sistemul rezultat este inconsecvent, deoarece ultima sa ecuație nu poate fi satisfăcută de nicio valoare a necunoscutelor. Prin urmare, acest sistem nu are soluții.
În acest articol, metoda este considerată ca o metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare (SLAE). Metoda este analitică, adică vă permite să scrieți un algoritm de soluție vedere generalași apoi înlocuiți valorile din exemple specifice de acolo. Spre deosebire de metoda matricei sau formulele lui Cramer, atunci când rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss, puteți lucra și cu cele care au un număr infinit de soluții. Sau nu o au deloc.
Ce înseamnă să rezolvi folosind metoda Gaussiană?
În primul rând, trebuie să scriem sistemul nostru de ecuații în Arata astfel. Luați sistemul:
Coeficienții se scriu sub formă de tabel, iar termenii liberi sunt înscriși într-o coloană separată din dreapta. Coloana cu termeni liberi este separată pentru comoditate.Matricea care include această coloană se numește extinsă.
În continuare, matricea principală cu coeficienți trebuie redusă la o formă triunghiulară superioară. Acesta este punctul principal al rezolvării sistemului folosind metoda Gaussiană. Pur și simplu, după anumite manipulări, matricea ar trebui să arate astfel încât partea sa din stânga jos să conțină doar zerouri:
Apoi, dacă scrieți din nou noua matrice ca sistem de ecuații, veți observa că ultimul rând conține deja valoarea uneia dintre rădăcini, care este apoi înlocuită în ecuația de mai sus, se găsește o altă rădăcină și așa mai departe.
Aceasta este o descriere a soluției prin metoda Gaussiană în cea mai mare parte schiță generală. Ce se întâmplă dacă dintr-o dată sistemul nu are nicio soluție? Sau sunt infinit de multe dintre ele? Pentru a răspunde la aceste întrebări și la multe alte întrebări, este necesar să luăm în considerare separat toate elementele utilizate în rezolvarea metodei gaussiene.
Matrici, proprietățile lor
Nici unul ințelesuri ascunse nu în matrice. Acesta este pur și simplu o modalitate convenabilă de a înregistra date pentru operațiunile ulterioare cu acesta. Nici școlarilor nu trebuie să le fie frică de ei.
Matricea este întotdeauna dreptunghiulară, deoarece este mai convenabilă. Chiar și în metoda Gauss, unde totul se reduce la construirea unei matrice de formă triunghiulară, în intrare apare un dreptunghi, doar cu zerouri în locul în care nu există numere. Este posibil ca zerourile să nu fie scrise, dar sunt subînțelese.
Matricea are o dimensiune. „Lățimea” este numărul de rânduri (m), „lungimea” este numărul de coloane (n). Apoi dimensiunea matricei A (litere mari majuscule latine sunt de obicei folosite pentru a le desemna) va fi notată ca A m×n. Dacă m=n, atunci această matrice este pătrată, iar m=n este ordinul său. În consecință, orice element al matricei A poate fi notat prin numerele sale de rând și coloane: a xy ; x - numărul rândului, modificări, y - numărul coloanei, modificări.
B nu este punctul principal al deciziei. În principiu, toate operațiile pot fi efectuate direct cu ecuațiile în sine, dar notația va fi mult mai greoaie și va fi mult mai ușor să vă confundați în ea.
Determinant
Matricea are și un determinant. Aceasta este o caracteristică foarte importantă. Nu este nevoie să-i aflați acum semnificația; puteți pur și simplu să arătați cum este calculată și apoi să spuneți ce proprietăți ale matricei determină. Cel mai simplu mod de a găsi determinantul este prin diagonale. Diagonalele imaginare sunt desenate în matrice; se înmulțesc elementele situate pe fiecare dintre ele, apoi se adaugă produsele rezultate: diagonale cu pantă spre dreapta - cu semn plus, cu pantă spre stânga - cu semn minus.
Este extrem de important de menționat că determinantul poate fi calculat doar pentru o matrice pătrată. Pentru o matrice dreptunghiulară, puteți face următoarele: alegeți cel mai mic dintre numărul de rânduri și numărul de coloane (fie k), apoi marcați aleatoriu k coloane și k rânduri în matrice. Elementele situate la intersecția coloanelor și rândurilor selectate vor forma un nou matrice pătrată. Dacă determinantul unei astfel de matrice este un număr diferit de zero, se numește baza minoră a matricei dreptunghiulare inițiale.
Înainte de a începe să rezolvați un sistem de ecuații folosind metoda Gauss, nu strica să calculați determinantul. Dacă se dovedește a fi zero, atunci putem spune imediat că matricea are fie un număr infinit de soluții, fie deloc. Într-un caz atât de trist, trebuie să mergeți mai departe și să aflați despre rangul matricei.
Clasificarea sistemului
Există așa ceva ca rangul unei matrice. Aceasta este ordinea maximă a determinantului său diferit de zero (dacă ne amintim despre baza minoră, putem spune că rangul unei matrice este ordinea bazei minore).
Pe baza situației cu rang, SLAE poate fi împărțit în:
- Comun. UÎn sistemele comune, rangul matricei principale (formată numai din coeficienți) coincide cu rangul matricei extinse (cu o coloană de termeni liberi). Astfel de sisteme au o soluție, dar nu neapărat una, prin urmare, în plus, sistemele de îmbinare sunt împărțite în:
- - anumit- având o singură soluție. În anumite sisteme, rangul matricei și numărul de necunoscute (sau numărul de coloane, care este același lucru) sunt egale;
- - nedefinit - cu un număr infinit de soluții. Rangul matricelor în astfel de sisteme este mai mic decât numărul de necunoscute.
- Incompatibil. UÎn astfel de sisteme, rândurile matricelor principale și extinse nu coincid. Sistemele incompatibile nu au soluție.
Metoda Gauss este bună deoarece în timpul rezolvării permite obținerea fie unei dovezi clare a inconsecvenței sistemului (fără a calcula determinanții matricilor mari), fie o soluție în formă generală pentru un sistem cu un număr infinit de soluții.
Transformări elementare
Înainte de a trece direct la rezolvarea sistemului, îl puteți face mai puțin greoi și mai convenabil pentru calcule. Acest lucru se realizează prin transformări elementare - astfel încât implementarea lor să nu schimbe în niciun fel răspunsul final. Trebuie remarcat faptul că unele dintre transformările elementare date sunt valabile numai pentru matrice, a căror sursă a fost SLAE. Iată o listă cu aceste transformări:
- Rearanjarea liniilor. Evident, dacă modificați ordinea ecuațiilor din înregistrarea sistemului, acest lucru nu va afecta în niciun fel soluția. În consecință, și rândurile din matricea acestui sistem pot fi schimbate, fără a uita, bineînțeles, coloana de termeni liberi.
- Înmulțirea tuturor elementelor unui șir cu un anumit coeficient. De mare ajutor! Poate fi folosit pentru a scurta numere mariîn matrice sau eliminați zerourile. Multe decizii, ca de obicei, nu se vor schimba, dar operațiunile ulterioare vor deveni mai convenabile. Principalul lucru este că coeficientul nu este egal cu zero.
- Eliminarea rândurilor cu factori proporționali. Aceasta rezultă parțial din paragraful anterior. Dacă două sau mai multe rânduri dintr-o matrice au coeficienți proporționali, atunci când unul dintre rânduri este înmulțit/împarte la coeficientul de proporționalitate, se obțin două (sau, din nou, mai multe) rânduri absolut identice, iar cele suplimentare pot fi eliminate, lăsând unul singur.
- Eliminarea unei linii nule. Dacă, în timpul transformării, se obține undeva un rând în care toate elementele, inclusiv termenul liber, sunt zero, atunci un astfel de rând poate fi numit zero și aruncat din matrice.
- Adăugând elementelor unui rând elementele altuia (în coloanele corespunzătoare), înmulțite cu un anumit coeficient. Cea mai neevidentă și mai importantă transformare dintre toate. Merită să ne oprim asupra ei mai detaliat.
Adăugarea unui șir înmulțit cu un factor
Pentru ușurință de înțelegere, merită defalcat acest proces pas cu pas. Din matrice sunt luate două rânduri:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Să presupunem că trebuie să adăugați primul la al doilea, înmulțit cu coeficientul „-2”.
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Apoi, al doilea rând din matrice este înlocuit cu unul nou, iar primul rămâne neschimbat.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Trebuie remarcat faptul că coeficientul de înmulțire poate fi selectat în așa fel încât, ca urmare a adunării a două rânduri, unul dintre elementele noului rând să fie egal cu zero. Prin urmare, este posibil să se obțină o ecuație într-un sistem în care va exista una mai puțin necunoscută. Și dacă obțineți două astfel de ecuații, atunci operația poate fi făcută din nou și obțineți o ecuație care va conține două necunoscute mai puține. Și dacă de fiecare dată când transformați un coeficient din toate rândurile care sunt sub cel inițial la zero, atunci puteți, ca pe scări, să coborâți chiar în partea de jos a matricei și să obțineți o ecuație cu o necunoscută. Aceasta se numește rezolvarea sistemului folosind metoda Gaussiană.
În general
Să existe un sistem. Are m ecuații și n rădăcini necunoscute. Îl poți scrie după cum urmează:
Matricea principală este compilată din coeficienții sistemului. O coloană de termeni liberi este adăugată la matricea extinsă și, pentru comoditate, separați printr-o linie.
- primul rând al matricei este înmulțit cu coeficientul k = (-a 21 /a 11);
- se adaugă primul rând modificat și al doilea rând al matricei;
- în locul celui de-al doilea rând, rezultatul adunării din paragraful anterior este introdus în matrice;
- acum primul coeficient din noul al doilea rând este a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Acum se realizează aceeași serie de transformări, fiind implicate doar primul și al treilea rând. În consecință, la fiecare pas al algoritmului, elementul a 21 este înlocuit cu un 31. Apoi totul se repetă pentru un 41, ... un m1. Rezultatul este o matrice în care primul element din rânduri este zero. Acum trebuie să uitați de linia numărul unu și să efectuați același algoritm, începând de la linia a doua:
- coeficientul k = (-a 32 /a 22);
- a doua linie modificată este adăugată la linia „actuală”;
- rezultatul adunării este înlocuit în rândurile a treia, a patra și așa mai departe, în timp ce prima și a doua rămân neschimbate;
- în rândurile matricei primele două elemente sunt deja egale cu zero.
Algoritmul trebuie repetat până când apare coeficientul k = (-a m,m-1 /a mm). Aceasta înseamnă că în ultima data algoritmul a fost efectuat numai pentru ecuația inferioară. Acum matricea arată ca un triunghi sau are o formă în trepte. În linia de jos există egalitatea a mn × x n = b m. Se cunosc coeficientul si termenul liber, iar prin ele se exprima radacina: x n = b m /a mn. Rădăcina rezultată este înlocuită în linia superioară pentru a găsi x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Și așa mai departe prin analogie: în fiecare linie următoare există o nouă rădăcină și, după ce ați ajuns în „vârful” sistemului, puteți găsi multe soluții. Va fi singurul.
Când nu există soluții
Dacă într-unul dintre rândurile matricei toate elementele, cu excepția termenului liber, sunt egale cu zero, atunci ecuația corespunzătoare acestui rând arată ca 0 = b. Nu are solutie. Și deoarece o astfel de ecuație este inclusă în sistem, atunci setul de soluții al întregului sistem este gol, adică este degenerat.
Când există un număr infinit de soluții
Se poate întâmpla ca în matricea triunghiulară dată să nu existe rânduri cu un element coeficient al ecuației și un termen liber. Există doar linii care, atunci când sunt rescrise, ar arăta ca o ecuație cu două sau mai multe variabile. Aceasta înseamnă că sistemul are număr infinit deciziilor. În acest caz, răspunsul poate fi dat sub forma unei soluții generale. Cum să o facă?
Toate variabilele din matrice sunt împărțite în de bază și libere. Cele de bază sunt cele care stau „pe marginea” rândurilor din matricea pașilor. Restul sunt gratuite. În soluția generală, variabilele de bază sunt scrise prin intermediul unor libere.
Pentru comoditate, matricea este mai întâi rescrisă înapoi într-un sistem de ecuații. Apoi, în ultima dintre ele, unde exact mai rămâne o singură variabilă de bază, aceasta rămâne pe o parte și totul este transferat pe cealaltă. Acest lucru se face pentru fiecare ecuație cu o variabilă de bază. Apoi, în ecuațiile rămase, acolo unde este posibil, expresia obținută pentru aceasta este înlocuită în locul variabilei de bază. Dacă rezultatul este din nou o expresie care conține o singură variabilă de bază, aceasta este din nou exprimată de acolo și așa mai departe, până când fiecare variabilă de bază este scrisă ca o expresie cu variabile libere. Aceasta este soluția generală a SLAE.
Puteți găsi, de asemenea, soluția de bază a sistemului - dați variabilelor libere orice valoare și apoi, pentru acest caz specific, calculați valorile variabilelor de bază. Există un număr infinit de soluții particulare care pot fi date.
Rezolvare cu exemple concrete
Iată un sistem de ecuații.
Pentru comoditate, este mai bine să-i creați imediat matricea
Se știe că atunci când se rezolvă prin metoda gaussiană, ecuația corespunzătoare primului rând va rămâne neschimbată la sfârșitul transformărilor. Prin urmare, va fi mai profitabil dacă elementul din stânga sus al matricei este cel mai mic - atunci primele elemente ale rândurilor rămase după operații se vor transforma la zero. Aceasta înseamnă că în matricea compilată va fi avantajos să punem al doilea rând în locul primului.
a doua linie: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
a treia linie: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Acum, pentru a nu vă confunda, trebuie să scrieți o matrice cu rezultatele intermediare ale transformărilor.
Evident, o astfel de matrice poate fi făcută mai convenabilă pentru percepție folosind anumite operații. De exemplu, puteți elimina toate „minusurile” din a doua linie înmulțind fiecare element cu „-1”.
De asemenea, este de remarcat faptul că în a treia linie toate elementele sunt multipli de trei. Apoi puteți scurta șirul cu acest număr, înmulțind fiecare element cu „-1/3” (minus - în același timp, pentru a elimina valorile negative).
Arata mult mai frumos. Acum trebuie să lăsăm prima linie în pace și să lucrăm cu a doua și a treia. Sarcina este de a adăuga a doua linie la a treia linie, înmulțită cu un astfel de coeficient încât elementul a 32 să devină egal cu zero.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (dacă în timpul unor transformări răspunsul nu se dovedește a fi un întreg, se recomandă menținerea preciziei calculelor pentru a lăsa este „ca atare”, sub forma fracție comună, și numai atunci, când răspunsurile sunt primite, decideți dacă rotunjiți și convertiți la o altă formă de înregistrare)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matricea este scrisă din nou cu valori noi.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
După cum puteți vedea, matricea rezultată are deja o formă în trepte. Prin urmare, nu sunt necesare transformări suplimentare ale sistemului folosind metoda Gaussiană. Ceea ce se poate face aici este să eliminați din a treia linie coeficient global "-1/7".
Acum totul este frumos. Tot ce rămâne de făcut este să scrieți din nou matricea sub forma unui sistem de ecuații și să calculați rădăcinile
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Algoritmul prin care vor fi găsite acum rădăcinile se numește mișcare inversă în metoda Gaussiană. Ecuația (3) conține valoarea z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Și prima ecuație ne permite să găsim x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Avem dreptul să numim un astfel de sistem comun, și chiar definitiv, adică având o soluție unică. Răspunsul este scris în următoarea formă:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Un exemplu de sistem incert
S-a analizat varianta de rezolvare a unui anumit sistem prin metoda Gauss; acum este necesar să luăm în considerare cazul în care sistemul este incert, adică se pot găsi infinite soluții pentru acesta.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Însuși aspectul sistemului este deja alarmant, deoarece numărul de necunoscute este n = 5, iar rangul matricei sistemului este deja exact mai mic decât acest număr, deoarece numărul de rânduri este m = 4, adică cea mai mare ordine a patratului-determinant este 4. Aceasta înseamnă că există un număr infinit de soluții și trebuie să cauți aspectul general al acestuia. Metoda Gauss pentru ecuații liniare vă permite să faceți acest lucru.
Mai întâi, ca de obicei, este compilată o matrice extinsă.
A doua linie: coeficient k = (-a 21 /a 11) = -3. În a treia linie, primul element este înaintea transformărilor, deci nu trebuie să atingeți nimic, trebuie să îl lăsați așa cum este. A patra linie: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Înmulțind pe rând elementele primului rând cu fiecare dintre coeficienții lor și adunându-le la rândurile necesare, obținem matricea următorul tip:
După cum puteți vedea, al doilea, al treilea și al patrulea rând constau din elemente proporționale între ele. Al doilea și al patrulea sunt în general identice, așa că unul dintre ele poate fi eliminat imediat, iar cel rămas poate fi înmulțit cu coeficientul „-1” și obține linia numărul 3. Și din nou, din două linii identice, lăsați una.
Rezultatul este o matrice ca aceasta. Deși sistemul nu a fost încă notat, este necesar să se determine aici variabilele de bază - cele care stau la coeficienții a 11 = 1 și a 22 = 1, iar cele libere - toate celelalte.
În a doua ecuație există o singură variabilă de bază - x 2. Aceasta înseamnă că poate fi exprimat de acolo prin scrierea lui prin variabilele x 3 , x 4 , x 5 , care sunt libere.
Inlocuim expresia rezultata in prima ecuatie.
Rezultatul este o ecuație în care singura variabilă de bază este x 1 . Să facem la fel cu ea ca și cu x 2.
Toate variabilele de bază, dintre care există două, sunt exprimate în termeni de trei variabile libere; acum putem scrie răspunsul în formă generală.
De asemenea, puteți specifica una dintre soluțiile particulare ale sistemului. Pentru astfel de cazuri, zerourile sunt de obicei alese ca valori pentru variabilele libere. Atunci răspunsul va fi:
16, 23, 0, 0, 0.
Un exemplu de sistem non-cooperativ
Soluţie sisteme incompatibile ecuații prin metoda Gaussiană - cea mai rapidă. Se termină imediat ce la una dintre etape se obține o ecuație care nu are soluție. Adică, etapa de calcul a rădăcinilor, care este destul de lungă și plictisitoare, este eliminată. Se are în vedere următorul sistem:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Ca de obicei, matricea este compilată:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Și se reduce la o formă în trepte:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
După prima transformare, a treia linie conține o ecuație de formă
fara o solutie. În consecință, sistemul este inconsecvent, iar răspunsul va fi setul gol.
Avantajele și dezavantajele metodei
Dacă alegeți ce metodă să rezolvați SLAE-urile pe hârtie cu un stilou, atunci metoda despre care a fost discutată în acest articol arată cea mai atractivă. Este mult mai dificil să fii confuz în transformările elementare decât dacă trebuie să cauți manual un determinant sau o matrice inversă complicată. Cu toate acestea, dacă utilizați programe pentru lucrul cu date de acest tip, de exemplu, foi de calcul, atunci se dovedește că astfel de programe conțin deja algoritmi pentru calcularea parametrilor principali ai matricelor - determinant, minori, invers și așa mai departe. Și dacă sunteți sigur că aparatul va calcula singur aceste valori și nu va greși, este mai indicat să utilizați metoda matricei sau formulele lui Cramer, deoarece aplicarea lor începe și se termină cu calculul determinanților și matrici inverse.
Aplicație
Deoarece soluția gaussiană este un algoritm, iar matricea este de fapt o matrice bidimensională, poate fi folosită în programare. Dar, deoarece articolul se poziționează ca un ghid „pentru manechin”, ar trebui spus că cel mai ușor loc în care să pui metoda este foile de calcul, de exemplu, Excel. Din nou, orice SLAE introdus într-un tabel sub forma unei matrice va fi considerat de Excel ca o matrice bidimensională. Iar pentru operații cu ele există multe comenzi drăguțe: adunare (poți doar să adaugi matrice de aceeași dimensiune!), înmulțire cu un număr, înmulțire de matrice (tot cu anumite restricții), găsirea matricelor inverse și transpuse și, cel mai important , calculând determinantul. Dacă această sarcină consumatoare de timp este înlocuită cu o singură comandă, este posibil să se determine rangul matricei mult mai rapid și, prin urmare, să se stabilească compatibilitatea sau incompatibilitatea acesteia.
Instituția de învățământ „Statul Belarus
Academia Agricolă"
Catedra de Matematică Superioară
pentru a studia tema „Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de liniare
ecuații" de către studenții Facultății de Contabilitate de Educație prin Corespondență (NISPO)
Gorki, 2013
Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
Sisteme echivalente de ecuații
Se spune că două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte. Procesul de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare constă în transformarea secvențială a acestuia într-un sistem echivalent folosind așa-numitul transformări elementare , care sunt:
1) rearanjarea oricăror două ecuații ale sistemului;
2) înmulțirea ambelor părți ale oricărei ecuații a sistemului cu un număr diferit de zero;
3) adăugarea la orice ecuație a unei alte ecuații înmulțite cu orice număr;
4) tăierea unei ecuații constând din zerouri, adică ecuații ale formei
eliminarea gaussiană
Luați în considerare sistemul m ecuații liniare cu n necunoscut:
Esența metodei gaussiene sau a metodei de eliminare secvențială a necunoscutelor este următoarea.
În primul rând, folosind transformări elementare, necunoscutul este eliminat din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei. Astfel de transformări de sistem se numesc Etapa de eliminare gaussiană . Necunoscutul este numit variabilă de activare la primul pas de transformare. Se numeste coeficientul factor de rezoluție , se numește prima ecuație ecuația de rezolvare , iar coloana de coeficienți la coloana de permisiuni .
Când efectuați un pas de eliminare gaussiană, trebuie să utilizați următoarele reguli:
1) coeficienții și termenul liber al ecuației de rezolvare rămân neschimbate;
2) coeficienții coloanei de rezoluție situate sub coeficientul de rezoluție devin zero;
3) toți ceilalți coeficienți și termeni liberi la efectuarea primului pas se calculează conform regulii dreptunghiului:
, Unde i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.
Vom efectua transformări similare pe a doua ecuație a sistemului. Acest lucru va duce la un sistem în care necunoscutul va fi eliminat în toate ecuațiile, cu excepția primelor două. Ca urmare a unor astfel de transformări asupra fiecărei ecuații ale sistemului (progresia directă a metodei Gauss), sistemul original este redus la un sistem în trepte echivalent de unul dintre următoarele tipuri.
Metoda Gaussiană inversă
Sistem de trepte
Are vedere triunghiularăȘi asta e tot 
(i=1,2,…,n). Un astfel de sistem are o soluție unică. Necunoscutele se determină pornind de la ultima ecuație (reversul metodei gaussiene).
Sistemul pas are forma
unde, adica numărul de ecuații ale sistemului este mai mic sau egal cu numărul de necunoscute. Acest sistem nu are soluții, deoarece ultima ecuație nu va fi satisfăcută pentru nicio valoare a variabilei.
Sistem tip pas
are nenumarate solutii. Din ultima ecuație, necunoscutul este exprimat prin necunoscute 
. Apoi, în penultima ecuație, în loc de necunoscut, expresia ei este substituită prin necunoscute. . Continuând inversul metodei gaussiene, necunoscutele 
poate fi exprimat în termeni de necunoscute . În acest caz, necunoscutele sunt numite gratuit
și poate lua orice valoare, și necunoscut 
de bază.
Când rezolvați sisteme în practică, este convenabil să efectuați toate transformările nu cu un sistem de ecuații, ci cu o matrice extinsă a sistemului, constând din coeficienți pentru necunoscute și o coloană de termeni liberi.
Exemplul 1. Rezolvarea sistemului de ecuații 
Soluţie. Să creăm o matrice extinsă a sistemului și să efectuăm transformări elementare:
.
În matricea extinsă a sistemului, numărul 3 (este evidențiat) este coeficientul de rezoluție, primul rând este rândul de rezoluție, iar prima coloană este coloana de rezoluție. Când treceți la următoarea matrice, rândul de rezoluție nu se modifică; toate elementele coloanei de rezoluție de sub elementul de rezoluție sunt înlocuite cu zerouri. Și toate celelalte elemente ale matricei sunt recalculate conform regulii patrulaterului. În locul elementului 4 din a doua linie scriem 
, în locul elementului -3 din a doua linie se va scrie 
etc. Astfel, se va obține a doua matrice. Elementul de rezoluție al acestei matrice va fi numărul 18 din al doilea rând. Pentru a forma următoarea (a treia matrice), lăsăm al doilea rând neschimbat, în coloana de sub elementul de rezoluție scriem zero și recalculăm celelalte două elemente: în loc de numărul 1 scriem 
, iar în locul numărului 16 scriem .
Ca urmare, sistemul original a fost redus la un sistem echivalent
Din a treia ecuație găsim 
. Să înlocuim această valoare în a doua ecuație: 
y=3. Să înlocuim valorile găsite în prima ecuație yȘi z: 
, X=2.
Astfel, soluția acestui sistem de ecuații este X=2, y=3, 
.
Exemplul 2. Rezolvarea sistemului de ecuații 
Soluţie. Să efectuăm transformări elementare pe matricea extinsă a sistemului:
În a doua matrice, fiecare element din al treilea rând este împărțit la 2.
În a patra matrice, fiecare element din al treilea și al patrulea rând a fost împărțit la 11.
. Matricea rezultată corespunde sistemului de ecuații 
Rezolvând acest sistem, găsim 
, 
, .
Exemplul 3. Rezolvarea sistemului de ecuații
Soluţie. Să scriem matricea extinsă a sistemului și să facem transformări elementare:
.
În a doua matrice, fiecare element din al doilea, al treilea și al patrulea rând a fost împărțit la 7.
Ca rezultat, s-a obținut un sistem de ecuații
echivalent cu cel original.
Deoarece există două ecuații mai puține decât necunoscute, atunci din a doua ecuație 
. Să substituim expresia pentru în prima ecuație: , 
.
Astfel, formulele 
dați o soluție generală acestui sistem de ecuații. Necunoscutele sunt gratuite și pot lua orice valoare.
Să, de exemplu, 
Apoi 
Și 
. Soluţie 
este una dintre soluțiile particulare ale sistemului, dintre care există nenumărate.
Întrebări pentru autocontrolul cunoștințelor
1) Ce transformări sisteme liniare se numesc elementare?
2) Ce transformări ale sistemului se numesc pasul de eliminare gaussian?
3) Ce este o variabilă de rezoluție, coeficient de rezoluție, coloană de rezoluție?
4) Ce reguli ar trebui folosite atunci când se efectuează un pas de eliminare gaussiană?
Carl Friedrich Gauss, cel mai mare matematician pentru o lungă perioadă de timp a ezitat, alegând între filozofie și matematică. Poate că tocmai această mentalitate i-a permis să facă o „moștenire” atât de vizibilă în știința mondială. În special, prin crearea „Metodei Gauss”...
De aproape 4 ani, articolele de pe acest site se referă educația școlară, în principal din partea filozofiei, principiile (ne)înțelegerii introduse în conștiința copiilor. Vine timpul pentru mai multe detalii, exemple și metode... Cred că tocmai aceasta este abordarea familiarului, confuz și important domenii ale vieții dă rezultate mai bune.
Noi oamenii suntem proiectați în așa fel încât indiferent cât de mult vorbim gândire abstractă, Dar înţelegere Mereu se întâmplă prin exemple. Dacă nu există exemple, atunci este imposibil să înțelegi principiile... Așa cum este imposibil să ajungi în vârful unui munte decât mergând pe toată panta de la picior.
La fel și cu școala: deocamdată povești vii Nu este suficient să continuăm instinctiv să-l privim ca pe un loc în care copiii sunt învățați să înțeleagă.
De exemplu, predarea metodei Gauss...
Metoda Gauss în clasa a V-a
Voi face o rezervare imediat: metoda Gauss are o aplicație mult mai largă, de exemplu, atunci când rezolvăm sisteme de ecuații liniare. Despre ce vom vorbi se desfășoară în clasa a V-a. Acest a început, după ce am înțeles care, este mult mai ușor de înțeles „opțiunile mai avansate”. În acest articol vorbim despre Metoda (metoda) lui Gauss pentru aflarea sumei unei serii
Iată un exemplu pe care l-am adus de la școală fiul mai mic, urmând clasa a V-a la un gimnaziu din Moscova.
Demonstrarea școlară a metodei Gauss
Profesor de matematică folosind tablă interactivă (metode moderne antrenament) le-a arătat copiilor o prezentare a istoriei „creării metodei” de către micul Gauss.
Profesorul de școală l-a biciuit pe micuțul Karl (o metodă învechită, nefolosită în școli în zilele noastre) pentru că el
în loc să adăugați succesiv numere de la 1 la 100, găsiți suma lor observat că perechile de numere distanțate egal de marginile unei progresii aritmetice se adună la același număr. de exemplu, 100 și 1, 99 și 2. După ce a numărat numărul de astfel de perechi, micuțul Gauss a rezolvat aproape instantaneu problema propusă de profesor. Pentru care a fost executat în fața unui public uluit. Pentru ca alții să fie descurajați să gândească.
Ce a făcut micuțul Gauss? dezvoltat simțul numerelor? observat unele caracteristici serie de numere cu pas constant (progresie aritmetică). ȘI exact asta mai târziu l-a făcut un mare om de știință, cei care știu să observe, având sentiment, instinct de înțelegere.
Acesta este motivul pentru care matematica este valoroasă, în curs de dezvoltare capacitatea de a vedea general în special - gândire abstractă . Prin urmare, majoritatea părinților și angajatorilor consideră instinctiv matematica o disciplină importantă ...
„Atunci trebuie să înveți matematica, pentru că îți pune mintea în ordine.
M.V.Lomonosov”.
Cu toate acestea, adepții celor care biciuiau viitoarele genii cu vergele au transformat Metoda în ceva opus. După cum a spus supervizorul meu în urmă cu 35 de ani: „Întrebarea a fost învățată”. Sau, așa cum a spus ieri fiul meu cel mic despre metoda lui Gauss: „Poate că nu merită să facem o știință mare din asta, nu?”
Consecințele creativității „oamenilor de știință” sunt vizibile în nivelul actual al matematicii școlare, nivelul predării acesteia și înțelegerea „Reginei științelor” de către majoritatea.
Totuși, să continuăm...
Metode de explicare a metodei Gauss în clasa a V-a
Un profesor de matematică la un gimnaziu din Moscova, explicând metoda Gauss conform lui Vilenkin, a complicat sarcina.
Ce se întâmplă dacă diferența (pasul) unei progresii aritmetice nu este unul, ci un alt număr? De exemplu, 20.
Problema pe care a pus-o elevilor de clasa a cincea:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Înainte de a face cunoștință cu metoda gimnazială, să aruncăm o privire pe internet: cum fac profesorii de școală și profesorii de matematică?...
Metoda gaussiană: explicația nr. 1
Un tutore cunoscut de pe canalul său YOUTUBE oferă următorul raționament:
„Să scriem numerele de la 1 la 100 după cum urmează:
mai întâi o serie de numere de la 1 la 50, iar strict sub ea o altă serie de numere de la 50 la 100, dar în ordine inversă”
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
„Vă rugăm să rețineți: suma fiecărei perechi de numere de pe rândurile de sus și de jos este aceeași și este egală cu 101! Să numărăm numărul de perechi, acesta este 50 și să înmulțim suma unei perechi cu numărul de perechi! Voila: The raspunsul este gata!"
„Dacă nu ai putut înțelege, nu te supăra!” a repetat profesorul de trei ori în timpul explicației. „Vei lua această metodă în clasa a IX-a!”
Metoda gaussiană: explicația nr. 2
Un alt tutore, mai puțin cunoscut (judecând după numărul de vizualizări), adoptă o abordare mai științifică, oferind un algoritm de soluție de 5 puncte care trebuie completat secvenţial.
Pentru cei neinițiați, 5 este unul dintre numerele Fibonacci considerate în mod tradițional magice. O metodă în 5 pași este întotdeauna mai științifică decât o metodă în 6 pași, de exemplu. ... Și acesta nu este un accident, cel mai probabil, Autorul este un susținător ascuns al teoriei Fibonacci
Având în vedere o progresie aritmetică: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algoritm pentru găsirea sumei numerelor dintr-o serie folosind metoda Gauss:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
În același timp, trebuie să vă amintiți plus o regulă : trebuie să adăugăm unul la coeficientul rezultat: altfel vom obține un rezultat care este mai mic cu unu decât număr adevărat paragrafe: 42 + 1 = 43.
Aceasta este suma necesară a progresiei aritmetice de la 4 la 256 cu o diferență de 6!
Metoda Gauss: explicație în clasa a V-a la un gimnaziu din Moscova
Iată cum se rezolvă problema găsirii sumei unei serii:
20+40+60+ ... +460+480+500
în clasa a V-a a unui gimnaziu din Moscova, manualul lui Vilenkin (după spusele fiului meu).
După ce a prezentat prezentarea, profesorul de matematică a arătat câteva exemple folosind metoda Gaussiană și a dat clasei sarcina de a găsi suma numerelor dintr-o serie în trepte de 20.
Acest lucru a necesitat următoarele:
După cum puteți vedea, acesta este mai compact și tehnică eficientă: numărul 3 este, de asemenea, un membru al șirului Fibonacci
Comentariile mele despre versiunea școlară a metodei Gauss
Marele matematician ar fi ales cu siguranță filosofia dacă ar fi prevăzut în ce „metoda” sa va fi transformată de adepții săi profesor de germană, care l-a biciuit pe Karl cu vergele. Ar fi văzut simbolismul, spirala dialectică și prostia nemuritoare a „profesorilor”, încercând să măsoare armonia gândirii matematice vii cu algebra neînțelegerii ....
Apropo: știai. că sistemul nostru de învățământ are rădăcini în școala germană din secolele al XVIII-lea și al XIX-lea?
Dar Gauss a ales matematica.
Care este esența metodei sale?
ÎN simplificare. ÎN observând și apucând modele simple de numere. ÎN transformând aritmetica şcolară uscată în interesant și activitate incitantă , activând în creier dorința de a continua, mai degrabă decât blocarea activității mentale costisitoare.
Este posibil să folosiți una dintre „modificările metodei lui Gauss” date pentru a calcula suma numerelor unei progresii aritmetice aproape? imediat? Potrivit „algoritmilor”, micuțul Karl ar fi garantat să evite loviturile, să dezvolte o aversiune față de matematică și să-și suprime impulsurile creative din răsputeri.
De ce profesorul i-a sfătuit cu atâta insistență pe elevii de clasa a cincea „să nu se teamă de înțelegere greșită” a metodei, convingându-i că vor rezolva „astfel” probleme încă din clasa a IX-a? Acțiune analfabetă psihologic. A fost o mișcare bună de remarcat: "Te văd deja in clasa a 5-a poti rezolvă probleme pe care le vei finaliza doar în 4 ani! Ce tip grozav ești!”
Pentru a utiliza metoda Gauss, este suficient un nivel de clasa 3, când copiii normali știu deja să adună, să înmulțească și să împartă numere din 2-3 cifre. Problemele apar din cauza incapacității profesorilor adulți care sunt „deconectați” de a explica cele mai simple lucruri în limbajul uman normal, ca să nu mai vorbim de matematică... Ei sunt incapabili să-i intereseze pe oameni de matematică și să-i descurajeze complet chiar și pe cei care sunt „ capabil."
Sau, după cum a comentat fiul meu: „a face o mare știință din asta”.
Metoda Gauss, explicațiile mele
Eu și soția mea i-am explicat copilului nostru această „metodă”, se pare, chiar înainte de școală...
Simplitate în loc de complexitate sau un joc de întrebări și răspunsuri
"Uite, aici sunt numerele de la 1 la 100. Ce vezi?"
Ideea nu este exact ceea ce vede copilul. Trucul este să-l faci să se uite.
„Cum le poți pune împreună?” Fiul și-a dat seama că astfel de întrebări nu sunt puse „doar așa” și trebuie să te uiți la întrebarea „cumva altfel, altfel decât face el de obicei”.
Nu contează dacă copilul vede soluția imediat, este puțin probabil. Este important ca el a încetat să-mi fie frică să se uite, sau cum spun eu: „am mutat sarcina”. Acesta este începutul călătoriei către înțelegere
„Ce este mai ușor: adăugați, de exemplu, 5 și 6 sau 5 și 95?” O întrebare principală... Dar orice pregătire se rezumă la „îndrumarea” unei persoane către „răspunsul” - în orice mod acceptabil pentru el.
În această etapă, pot apărea deja presupuneri despre cum să „economisiți” calculele.
Tot ce am făcut a fost un indiciu: metoda „frontală, liniară” de numărare nu este singura posibilă. Dacă un copil înțelege acest lucru, atunci mai târziu va veni cu multe alte astfel de metode, pentru ca este interesant!!!Și cu siguranță va evita „înțelegerea greșită” a matematicii și nu se va simți dezgustat de ea. El a câștigat!
Dacă copil descoperit că adăugarea perechilor de numere care însumează o sută este o simplă, atunci „progresie aritmetică cu diferența 1”- un lucru destul de sumbru și neinteresant pentru un copil - dintr-o dată a găsit viață pentru el . Ordinea a apărut din haos, iar acest lucru provoacă întotdeauna entuziasm: asa suntem facuti!
O întrebare la care trebuie să răspunzi: de ce, după intuiția primită de un copil, ar trebui să fie condus din nou în cadrul unor algoritmi seci, care sunt, de asemenea, inutili funcțional în acest caz?!
De ce forțați rescrierile stupide? numere de ordine într-un caiet: astfel încât nici cei capabili să nu aibă o singură șansă de a înțelege? Statistic, desigur, dar educația de masă este orientată spre „statistică”...
Unde s-a dus zeroul?
Și totuși, adăugarea numerelor care adună până la 100 este mult mai acceptabilă pentru minte decât a celor care adună până la 101...
„Metoda Școlii Gauss” necesită exact acest lucru: pliază fără minte perechi de numere echidistante de centrul progresiei, In ciuda a tot.
Dacă te uiți?
Încă zero - cea mai mare invenție umanitatea, care are mai bine de 2.000 de ani. Și profesorii de matematică continuă să-l ignore.
Este mult mai ușor să transformi o serie de numere care încep cu 1 într-o serie care începe cu 0. Suma nu se va schimba, nu-i așa? Trebuie să încetezi să „gândești în manuale” și să începi să cauți...Și vezi că perechile cu suma de 101 pot fi complet înlocuite cu perechile cu suma de 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Cum să desființezi „regula plus 1”?
Sincer să fiu, am auzit prima dată despre o astfel de regulă de la acel tutor YouTube...
Ce mai fac atunci când trebuie să stabilesc numărul de membri ai unei serii?
Mă uit la secvența:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
iar când ești complet obosit, treci la un rând mai simplu:
1, 2, 3, 4, 5
și îmi dau seama: dacă scazi unul din 5, obții 4, dar sunt absolut clar Înțeleg 5 numere! Prin urmare, trebuie să adăugați unul! Sensul numărului dezvoltat în școala elementară sugerează: chiar dacă există un întreg Google de membri ai seriei (puterea de la 10 la a suta), modelul va rămâne același.
Ce dracu sunt regulile?...
Așa încât în câțiva sau trei ani să poți umple tot spațiul dintre frunte și ceafă și să nu te mai gândești? Cum să-ți câștigi pâinea și untul? La urma urmei, ne mișcăm în rânduri egale în era economiei digitale!
Mai multe despre metoda școlară a lui Gauss: „de ce să facem știință din asta?...”
Nu degeaba am postat o captură de ecran din caietul fiului meu...
— Ce s-a întâmplat în clasă?
"Ei bine, am numărat imediat, am ridicat mâna, dar ea nu a întrebat. Prin urmare, în timp ce ceilalți numărau, am început să fac temele în rusă ca să nu pierd timpul. Apoi, când ceilalți au terminat de scris (? ??), ea m-a chemat la bord. Am spus răspunsul."
„Așa este, arată-mi cum ai rezolvat”, a spus profesorul. Am arătat-o. Ea a spus: „Greșit, trebuie să numeri așa cum am arătat eu!”
"Este bine că nu a dat o notă proastă. Și m-a pus să scriu în caietul lor "cursul soluției" în felul lor. De ce să faci o știință mare din asta?..."
Crima principală a unui profesor de matematică
Abia după acel incident Carl Gauss a experimentat un sentiment ridicat de respect pentru profesorul său de matematică din școală. Dar dacă știa cum adepţii acelui profesor va distorsiona însăși esența metodei...ar urlă de indignare și până la capăt organizatie mondiala proprietate intelectuală OMPI a interzis folosirea numelui său bun în manualele școlare!...
Ce principala greseala abordarea școlară? Sau, după cum spun eu, o infracțiune a profesorilor de matematică din școală împotriva copiilor?
Algoritmul neînțelegerii
Ce fac metodologii școlii, dintre care marea majoritate nu știu să gândească?
Ei creează metode și algoritmi (vezi). Acest o reacție defensivă care îi protejează pe profesori de critici („Totul se face după...”) și pe copii de înțelegere. Și astfel – din dorința de a critica profesorii!(A doua derivată a „înțelepciunii” birocratice, o abordare științifică a problemei). O persoană care nu înțelege sensul va învinovăți mai degrabă propria sa neînțelegere, decât prostia sistemului școlar.
Iată ce se întâmplă: părinții își dau vina pe copii, iar profesorii... fac același lucru pentru copiii care „nu înțeleg matematica!”
Esti destept?
Ce a făcut micul Karl?
O abordare complet neconvențională a unei sarcini formulate. Aceasta este esența abordării Sale. Acest principalul lucru care ar trebui predat la școală este să gândiți nu cu manuale, ci cu capul. Desigur, există și o componentă instrumentală care poate fi folosită... în căutarea mai simplu şi metode eficiente conturi.
Metoda Gauss conform lui Vilenkin
La școală ei învață că metoda lui Gauss este să
Ce, dacă numărul de elemente ale seriei este impar, ca în problema care i-a fost atribuită fiului meu?...
„Captura” este că în acest caz ar trebui să găsiți un număr „în plus” în serieși se adaugă la suma perechilor. În exemplul nostru, acest număr este 260.
Cum să detectăm? Copierea tuturor perechilor de numere într-un caiet!(De aceea, profesorul i-a făcut pe copii să facă această treabă stupidă de a încerca să predea „creativitatea” folosind metoda Gaussiană... Și de aceea o astfel de „metodă” este practic inaplicabilă seriilor mari de date, ȘI de aceea este nu metoda Gauss.)
Puțină creativitate în rutina școlii...
Fiul a procedat diferit.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Nu e greu, nu?
Dar, în practică, este făcut și mai ușor, ceea ce vă permite să degajați 2-3 minute pentru teledetecție în rusă, în timp ce restul „se numără”. În plus, reține numărul de pași ai metodei: 5, ceea ce nu permite ca abordarea să fie criticată pentru că este neștiințifică.
Evident, această abordare este mai simplă, mai rapidă și mai universală, în stilul Metodei. Dar... profesorul nu numai că nu a lăudat-o, dar a și forțat-o să rescrie” în mod corect„(vezi captura de ecran). Adică a făcut o încercare disperată de a înăbuși impulsul creativ și capacitatea de a înțelege matematica la rădăcină! Aparent, pentru ca ulterior să se angajeze ca tutore... A atacat persoana nepotrivită. ..
Tot ceea ce am descris atât de mult și plictisitor poate fi explicat unui copil normal în maxim o jumătate de oră. Alături de exemple.
Și în așa fel încât să nu uite niciodată.
Și va fi pas spre înțelegere...nu doar matematicieni.
Recunoaște: de câte ori în viața ta ai adăugat folosind metoda Gaussiană? Și nu am făcut-o niciodată!
Dar instinctul de înțelegere, care se dezvoltă (sau se stinge) în procesul de învăţare metode matematice la școală... O!.. Acesta este cu adevărat un lucru de neînlocuit!
Mai ales în era digitalizării universale, în care am intrat în liniște sub conducerea strictă a Partidului și a Guvernului.
Câteva cuvinte în apărarea profesorilor...
Este nedrept și greșit să punem toată responsabilitatea pentru acest stil de predare numai asupra profesorilor de școală. Sistemul este în vigoare.
niste profesorii înțeleg absurditatea a ceea ce se întâmplă, dar ce să facă? Legea privind educația, standardele educaționale ale statului federal, metodele, harti tehnologice lecții... Totul trebuie făcut „în conformitate cu și pe baza” și totul trebuie documentat. Dă-te deoparte - a stat la coadă pentru a fi concediat. Să nu fim ipocriți: salariile profesorilor din Moscova sunt foarte bune... Dacă te concediază, unde să mergi?...
Prin urmare acest site nu despre educatie. El este cam educație individuală, numai cale posibilă ieși din mulțime generația Z ...
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss. Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la sistem din n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.
Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvenţială a variabilelor necunoscute: mai întâi eliminarea x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua, este exclus în continuare x 2 din toate ecuațiile, începând cu a treia și așa mai departe, până când doar variabila necunoscută rămâne în ultima ecuație x n. Acest proces de transformare a ecuațiilor de sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește metoda Gaussiană directă. După finalizarea progresiei înainte a metodei gaussiene, din ultima ecuație găsim x n, folosind această valoare din penultima ecuație pe care o calculăm xn-1, și așa mai departe, din prima ecuație pe care o găsim x 1. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.
Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.
Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Eliminați variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe primul, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma 
unde si 
.
Am ajunge la același rezultat dacă ne-am exprima x 1 prin alte variabile necunoscute din prima ecuație a sistemului și expresia rezultată a fost înlocuită în toate celelalte ecuații. Deci variabila x 1 exclus din toate ecuațiile, începând cu a doua.
În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură 
Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului adăugăm a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație adăugăm a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe al doilea, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma 
unde si 
. Deci variabila x 2 exclus din toate ecuațiile începând cu a treia.
Apoi trecem la eliminarea necunoscutului x 3, în acest caz procedăm similar cu partea de sistem marcată în figură 
Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma 
Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca, folosind valoarea obținută x n găsim xn-1 din penultima ecuație și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație.
Exemplu.
Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare 
metoda Gauss.