Fundamentele rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi (LNDE-2) cu coeficienți constanți (PC)

Un LDDE de ordinul 2 cu coeficienți constanți $p$ și $q$ are forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, unde $f\left(x \right)$ este o funcție continuă.

În ceea ce privește LNDU 2 cu PC, următoarele două afirmații sunt adevărate.

Să presupunem că o funcție $U$ este o soluție parțială arbitrară a unei ecuații diferențiale neomogene. Să presupunem, de asemenea, că o funcție $Y$ este soluția generală (GS) a ecuației diferențiale liniare omogene corespunzătoare (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Atunci GR a LHDE-2 este egal cu suma soluțiilor private și generale indicate, adică $y=U+Y$.

Dacă partea dreaptă a unui LMDE de ordinul 2 este o sumă de funcții, adică $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, atunci mai întâi putem găsi PD-urile $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ care corespund la fiecare dintre funcțiile $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ și după aceea scrie CR LNDU-2 sub forma $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Soluție LPDE de ordinul 2 cu PC

Este evident că tipul unuia sau altul PD $U$ al unui LNDU-2 dat depinde de forma specifică a părții sale din dreapta $f\left(x\right)$. Cele mai simple cazuri de căutare a PD LNDU-2 sunt formulate sub forma următoarelor patru reguli.

Regula #1.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, adică se numește polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, unde $Q_(n) \left(x\right)$ este un alt polinom de același grad ca $P_(n) \left(x\right)$ și $r$ este numărul de rădăcini ecuație caracteristică corespunzător LOD-2, egal cu zero. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați (UK).

Regula nr. 2.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, unde $Q_(n ) \ left(x\right)$ este un alt polinom de același grad cu $P_(n) \left(x\right)$, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare egal cu $\alpha $. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NC.

Regula nr. 3.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, unde $a$, $b$ și $\beta$ sunt numere cunoscute. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, unde $A$ și $B$ sunt coeficienți necunoscuți, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a LODE-2 corespunzătoare, egal cu $i\cdot \beta $. Coeficienții $A$ și $B$ se găsesc folosind metoda nedistructivă.

Regula nr. 4.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $ n$, iar $P_(m) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $m$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, unde $Q_(s) \left(x\right)$ și $ R_(s) \left(x\right)$ sunt polinoame de grad $s$, numărul $s$ este maximul a două numere $n$ și $m$ și $r$ este numărul de rădăcini a ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare, egală cu $\alpha +i\cdot \beta $. Coeficienții polinoamelor $Q_(s) \left(x\right)$ și $R_(s) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NC.

Metoda NDT constă în utilizarea următoarea regulă. Pentru a găsi coeficienții necunoscuți ai polinomului care fac parte din soluția parțială a ecuației diferențiale neomogene LNDU-2, este necesar:

• înlocuiți PD $U$, scris în formă generală, în partea stanga LNDU-2;
• în partea stângă a LNDU-2, efectuați simplificări și grupați termeni cu aceleași puteri $x$;
• în identitatea rezultată, echivalează coeficienții termenilor cu aceleași puteri $x$ ale părților stângă și dreaptă;
• rezolva sistemul rezultat ecuatii lineare raportat la coeficienți necunoscuți.

Exemplul 1

Sarcină: găsiți SAU LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Găsiți și PD , îndeplinind condițiile inițiale $y=6$ pentru $x=0$ și $y"=1$ pentru $x=0$.

Notăm LOD-2 corespunzător: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Ecuația caracteristică: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Rădăcinile ecuației caracteristice sunt: ​​$k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Aceste rădăcini sunt valide și distincte. Astfel, OR-ul LODE-2 corespunzător are forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Partea dreaptă a acestui LNDU-2 are forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Este necesar să se ia în considerare coeficientul exponentului $\alpha =3$. Acest coeficient nu coincide cu niciuna dintre rădăcinile ecuației caracteristice. Prin urmare, PD-ul acestui LNDU-2 are forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Vom căuta coeficienții $A$, $B$ folosind metoda NC.

Găsim prima derivată a Republicii Cehe:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Găsim a doua derivată a Republicii Cehe:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Înlocuim funcțiile $U""$, $U"$ și $U$ în loc de $y""$, $y"$ și $y$ în NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ În plus, deoarece exponentul $e^(3\cdot x)$ este inclus ca factor în toate componentele, atunci acesta poate fi omis. Obținem:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Efectuăm acțiunile din partea stângă a egalității rezultate:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Folosim metoda NDT. Obținem un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Soluția acestui sistem este: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pentru problema noastră arată astfel: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

SAU $y=Y+U$ pentru problema noastră arată astfel: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ stânga(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Pentru a căuta un PD care îndeplinește condițiile inițiale date, găsim derivata $y"$ a OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Inlocuim in $y$ si $y"$ conditiile initiale $y=6$ pentru $x=0$ si $y"=1$ pentru $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Am primit un sistem de ecuații:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Să rezolvăm. Găsim $C_(1) $ folosind formula lui Cramer, iar $C_(2) $ determinăm din prima ecuație:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Astfel, PD-ul acestei ecuații diferențiale are forma: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Ne-am asigurat ca, in cazul in care se stie decizie comună liniar ecuație omogenă, puteți folosi metoda de variație a constantelor arbitrare pentru a găsi o soluție generală ecuație neomogenă. Cu toate acestea, întrebarea cum să găsiți o soluție generală la o ecuație omogenă a rămas deschisă. În cazul special când în ecuația diferențială liniară (3) toți coeficienții p i(X)= un i - constante, poate fi rezolvată destul de simplu, chiar și fără integrare.

Considerăm o ecuație diferențială liniară omogenă cu coeficienți constanți, adică ecuații de forma

y (n) + a 1 y (n – 1) +...a n – 1 y " + a n y = 0, (14)

Unde și eu- constante (i= 1, 2, ...,n).

După cum se știe, pentru o ecuație liniară omogenă de ordinul I soluția este o funcție a formei e kx. Vom căuta o soluție la ecuația (14) sub forma j (X) = e kx.

Să înlocuim funcția în ecuația (14) j (X) și derivatele sale de ordin m (1 £ m£ n)j (m) (X) = k m e kx. Primim

(k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + un n)e kx = 0,

Dar e k x ¹ 0 pentru orice X, De aceea

k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + a n = 0. (15)

Ecuația (15) se numește ecuație caracteristică, polinomul din partea stângă- polinom caracteristic , rădăcinile sale- rădăcini caracteristice ecuația diferențială (14).

Concluzie:

funcţiej (X) = e kx - soluție la ecuația liniară omogenă (14) dacă și numai dacă numărul k - rădăcina ecuației caracteristice (15).

Astfel, procesul de rezolvare a ecuației liniare omogene (14) se reduce la rezolvarea ecuației algebrice (15).

Sunt posibile diverse cazuri de rădăcini caracteristice.

1.Toate rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și distincte.

În acest caz n diferite rădăcini caracteristice k 1 ,k 2 ,..., k n corespunde n diferite soluții ale ecuației omogene (14)

Se poate arăta că aceste soluții sunt liniar independente și deci formează sistem fundamental decizii. Astfel, soluția generală a ecuației este funcția

Unde CU 1 , C 2 , ..., C n - constante arbitrare.

Exemplul 7. Aflați soluția generală a ecuației liniare omogene:

A) la¢ ¢ (X) - 6la¢ (X) + 8la(X) = 0,b) la¢ ¢ ¢ (X) + 2la¢ ¢ (X) - 3la¢ (X) = 0.

Soluţie. Să creăm o ecuație caracteristică. Pentru a face acest lucru, înlocuim derivata de ordine m funcții y(X) în gradul corespunzător

k(la (m) (X) « k m),

în timp ce funcţia în sine la(X) deoarece derivata de ordinul zero este înlocuită cu k 0 = 1.

În cazul (a) ecuația caracteristică are forma k 2 - 6k + 8 = 0. Rădăcinile acestei ecuații pătratice k 1 = 2,k 2 = 4. Întrucât sunt reale și diferite, soluția generală are forma j (X)= C 1 e 2X + C 2 e 4x.

Pentru cazul (b), ecuația caracteristică este ecuația de gradul 3 k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Să găsim rădăcinile acestei ecuații:

k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,

T . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.

Aceste rădăcini caracteristice corespund sistemului fundamental de soluții ale ecuației diferențiale:

j 1 (X)= e 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= e - 3X .

Soluția generală, conform formulei (9), este funcția

j (X)= C 1 + C 2 e x + C 3 e - 3X .

II . Toate rădăcinile ecuației caracteristice sunt diferite, dar unele dintre ele sunt complexe.

Toți coeficienții ecuației diferențiale (14) și, prin urmare, ai ecuației sale caracteristice (15)- numere reale, ceea ce înseamnă că dacă c printre rădăcinile caracteristice există o rădăcină complexă k 1 = a + ib, adică rădăcina sa conjugată k 2 = ` k 1 = a- ib.Până la prima rădăcină k 1 corespunde soluției ecuației diferențiale (14)

j 1 (X)= e (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)

(am folosit formula lui Euler e i x = cosx + isinx). La fel, rădăcina k 2 = a- ib corespunde soluției

j 2 (X)= e (a - -ib)X = e a x e - ib x= e ax(cosbx - isinbx).

Aceste soluții sunt complexe. Pentru a obține soluții reale din ele, folosim proprietățile soluțiilor unei ecuații liniare omogene (vezi 13.2). Funcții

sunt soluții reale ale ecuației (14). În plus, aceste soluții sunt liniar independente. Astfel, putem trage următoarea concluzie.

Regula 1.O pereche de rădăcini complexe conjugate a± ib al ecuației caracteristice din FSR a ecuației liniare omogene (14) corespunde două soluții parțiale realeȘi .

Exemplul 8. Găsiți soluția generală a ecuației:

A) la¢ ¢ (X) - 2la ¢ (X) + 5la(X) = 0 ;b) la¢ ¢ ¢ (X) - la¢ ¢ (X) + 4la ¢ (X) - 4la(X) = 0.

Soluţie. În cazul ecuației (a), rădăcinile ecuației caracteristice k 2 - 2k + 5 = 0 sunt două numere complexe conjugate

k 1, 2 = .

În consecință, conform regulii 1, ele corespund la două soluții reale liniar independente: și , iar soluția generală a ecuației este funcția

j (X)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x sin 2X.

În cazul (b), pentru a găsi rădăcinile ecuației caracteristice k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, factorizăm partea stângă:

k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.

Prin urmare, avem trei rădăcini caracteristice: k 1 = 1,k 2 , 3 = ± 2i. Cornu k 1 corespunde soluției , și o pereche de rădăcini complexe conjugate k 2, 3 = ± 2eu = 0 ± 2i- două soluţii valide: şi . Compunem o soluție generală a ecuației:

j (X)= C 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 păcat 2X.

III . Printre rădăcinile ecuației caracteristice există multipli.

Lăsa k 1 - adevărată rădăcină a multiplicității m ecuația caracteristică (15), adică printre rădăcini există m rădăcini egale. Fiecare dintre ele corespunde aceleiași soluții la ecuația diferențială (14) Cu toate acestea, includeți m soluții egaleîn FSR este imposibil, deoarece ele constituie un sistem de funcții dependent liniar.

Se poate arăta că în cazul unei rădăcini multiple k 1 soluțiile ecuației (14), pe lângă funcție, sunt și funcțiile

Funcțiile sunt liniar independente pe întreaga axă numerică, deoarece , adică pot fi incluse în FSR.

Regula 2. Rădăcină caracteristică reală k 1 multiplicitate mîn FSR corespunde m solutii:

Dacă k 1 - multiplicitatea rădăcinilor complexe m ecuația caracteristică (15), atunci există o rădăcină conjugată k 1 multiplicitate m. Prin analogie obținem următoarea regulă.

Regula 3. O pereche de rădăcini complexe conjugate a± ib în FSR corespunde cu 2m soluții reale independente liniar:

, , ..., ,

, , ..., .

Exemplul 9. Găsiți soluția generală a ecuației:

A) la¢ ¢ ¢ (X) + 3la¢ ¢ (X) + 3la¢ (X)+ y ( X)= 0;b) la IV(X) + 6la¢ ¢ (X) + 9la(X) = 0.

Soluţie. În cazul (a) ecuația caracteristică are forma

k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0

(k + 1) 3 = 0,

adică k =- 1 - rădăcina multiplicității 3. Pe baza regulii 2, notăm soluția generală:

j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 X 2 .

Ecuația caracteristică în cazul (b) este ecuația

k 4 + 6k 2 + 9 = 0

sau altfel,

(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± i.

Avem o pereche de rădăcini complexe conjugate, fiecare având multiplicitatea 2. Conform regulii 3, soluția generală se scrie ca

j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 + C 4 X.

Din cele de mai sus rezultă că pentru orice ecuație liniară omogenă cu coeficienți constanți este posibil să se găsească un sistem fundamental de soluții și să se compună o soluție generală. În consecință, soluția ecuației neomogene corespunzătoare pentru orice funcție continuă f(X) din partea dreaptă poate fi găsită folosind metoda de variație a constantelor arbitrare (vezi secțiunea 5.3).

Exemplul 10. Folosind metoda variației, găsiți soluția generală a ecuației neomogene la¢ ¢ (X) - la¢ (X) - 6la(X) = x e 2X .

Soluţie. Mai întâi găsim soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare la¢ ¢ (X) - la¢ (X) - 6la(X) = 0. Rădăcinile ecuației caracteristice k 2 - k- 6 = 0 sunt k 1 = 3,k 2 = - 2, a soluția generală a ecuației omogene - funcţie ` la ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .

Vom căuta o soluție la ecuația neomogenă în formă

la( X) = CU 1 (X)e 3X + C 2 (X)e 2X . (*)

Să găsim determinantul Wronski

W[e 3X , e 2X ] = .

Să compunem un sistem de ecuații (12) pentru derivatele funcțiilor necunoscute CU ¢ 1 (X) Și CU¢ 2 (X):

Rezolvând sistemul folosind formulele lui Cramer, obținem

Integrarea, găsim CU 1 (X) Și CU 2 (X):

Înlocuirea funcțiilor CU 1 (X) Și CU 2 (X) în egalitate (*), obținem o soluție generală a ecuației la¢ ¢ (X) - la¢ (X) - 6la(X) = x e 2X :

În cazul în care partea dreaptă a unei ecuații liniare neomogene cu coeficienți constanți are o formă specială, o soluție particulară a ecuației neomogene poate fi găsită fără a recurge la metoda varierii constantelor arbitrare.

Luați în considerare ecuația cu coeficienți constanți

y (n) + a 1 y (n– 1) +...a n – 1a " + a n y = f (X), (16)

f( X) = etopor(P n(X)cosbx + R m(X)sinbx), (17)

Unde P n(X) Și Rm(X) - polinoame de grade n Și m respectiv.

Soluție privată y*(X) din ecuația (16) este determinată de formula

la* (X) = xse topor(Domnul(X)cosbx + Nr(X)sinbx), (18)

Unde Domnul(X) Și Nr(X) - polinoame de grade r = max(n, m) cu coeficienți incerti , A s egal cu multiplu al rădăcinii k 0 = a + ib polinomul caracteristic al ecuației (16) și presupunem s = 0 dacă k 0 nu este o rădăcină caracteristică.

Pentru a compune o anumită soluție folosind formula (18), trebuie să găsiți patru parametri - a, b, rȘi s. Primele trei sunt determinate din partea dreaptă a ecuației și r- acesta este de fapt cel mai înalt grad X, găsit în partea dreaptă. Parametru s găsite din compararea numerelor k 0 = a + ibȘi mulţimea tuturor (luând în considerare multiplicităţile) rădăcinilor caracteristice ale ecuaţiei (16), care se găsesc prin rezolvarea ecuaţiei omogene corespunzătoare.

Să luăm în considerare cazurile speciale ale formei funcției (17):

1) la A ¹ 0, b= 0f(X)= e ax P n(X);

2) când A= 0, b ¹ 0f(X)= P n(X) Cuosbx + R m(X)sinbx;

3) când A = 0, b = 0f(X)=Pn(X).

Observație 1. Dacă P n (x) º 0 sau Rm(x)º 0, atunci partea dreaptă a ecuației f(x) = e ax P n (x)с osbx sau f(x) = e ax R m (x)sinbx, adică conține doar una dintre funcții - cosinus sau sinus. Dar în înregistrarea unei anumite soluții, ambele trebuie să fie prezente, deoarece, conform formulei (18), fiecare dintre ele este înmulțită cu un polinom cu coeficienți nedeterminați de același grad r = max(n, m).

Exemplul 11. Determinați tipul de soluție parțială a unei ecuații liniare omogenă de ordinul al 4-lea cu coeficienți constanți dacă partea dreaptă a ecuației este cunoscută f(X) = e x(2xcos 3x+(X 2 + 1)păcat 3X) și rădăcinile ecuației caracteristice:

A ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;

b ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = ± 1;

V ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = 1 ± 3i.

Soluţie. În partea dreaptă găsim asta în soluția specială la*(X), care este determinat de formula (18), parametrii: A= 1, b= 3, r = 2. Ele rămân aceleași pentru toate cele trei cazuri, de unde și numărul k 0 care specifică ultimul parametru s formula (18) este egală cu k 0 = 1+ 3i. În cazul (a) nu există un număr între rădăcinile caracteristice k 0 = 1 + 3eu, Mijloace, s= 0, iar o anumită soluție are forma

y*(X) = X 0 e x(M 2 (X)cos 3x+N 2 (X)păcat 3X) =

= eX( (Topor 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 X 2 +B 1 x+C 1)păcat 3X.

În cazul (b) numărul k 0 = 1 + 3i apare o dată printre rădăcinile caracteristice, adică s = 1 Și

y*(X) = x e x((Topor 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 X 2 +B 1 x+C 1)păcat 3X.

Pentru cazul (c) avem s = 2 și

y*(X) = x 2 e x((Topor 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 X 2 +B 1 x+C 1)păcat 3X.

În exemplul 11, soluția particulară conține două polinoame de gradul 2 cu coeficienți nedeterminați. Pentru a găsi o soluție, trebuie să determinați valorile numerice ale acestor coeficienți. Să formulăm o regulă generală.

Pentru a determina coeficienții necunoscuți ai polinoamelor Domnul(X) Și Nr(X) egalitatea (17) este diferenţiată numărul potrivit ori, înlocuiți funcția y*(X) și derivatele sale în ecuația (16). Comparând partea stângă și dreaptă, obținem sistemul ecuații algebrice pentru a afla coeficienții.

Exemplul 12. Găsiți o soluție a ecuației la¢ ¢ (X) - la¢ (X) - 6la(X) = xe 2X, după ce s-a determinat o soluție particulară a ecuației neomogene prin forma părții din dreapta.

Soluţie. Soluția generală a ecuației neomogene are forma

la( X) = ` la(X)+ y*(X),

Unde ` la ( X) - soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare și y*(X) - soluție particulară a unei ecuații neomogene.

Mai întâi rezolvăm ecuația omogenă la¢ ¢ (X) - la¢ (X) - 6la(X) = 0. Ecuația sa caracteristică k 2 - k- 6 = 0 are două rădăcini k 1 = 3,k 2 = - 2, prin urmare, ` la ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .

Să folosim formula (18) pentru a determina tipul de soluție particulară la*(X). Funcţie f(X) = xe 2X reprezintă caz special(a) formulele (17), în timp ce a = 2,b = 0 Și r = 1, adică k 0 = 2 + 0eu = 2. Comparând cu rădăcinile caracteristice, concluzionăm că s = 0. Înlocuind valorile tuturor parametrilor în formula (18), avem y*(X) = (Ah + B)e 2X .

Pentru a afla valorile AȘi ÎN, să găsim derivatele de ordinul I și II ale funcției y*(X) = (Ah + B)e 2X :

y*¢ (X)= Ae 2X + 2(Ah + B)e 2X = (2Ah + Ah + 2B)e 2x,

y*¢ ¢ (X) = 2Ae 2X + 2(2Ah + Ah + 2B)e 2X = (4Ah + 4A+ 4B)e 2X .

După înlocuirea funcției y*(X) și derivatele sale în ecuația pe care o avem

(4Ah + 4A+ 4B)e 2X - (2Ah + Ah + 2B)e 2X - 6(Ah + B)e 2X =xe 2X Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.

Astfel, o soluție particulară a ecuației neomogene are forma

y*(X) = (- 1/4X- 3/16)e 2X ,

si solutia generala - la ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .

Nota 2.În cazul în care problema Cauchy este pusă pentru o ecuație neomogenă, trebuie mai întâi să găsim o soluție generală a ecuației

la( X) = ,

având determinate toate valorile numerice ale coeficienților în la*(X). Apoi utilizați condițiile inițiale și, înlocuindu-le în soluția generală (și nu în y*(X)), găsiți valorile constantelor C i.

Exemplul 13. Găsiți o soluție la problema Cauchy:

la¢ ¢ (X) - la¢ (X) - 6la(X) = xe 2X ,y(0) = 0, y ¢ (X) = 0.

Soluţie. Soluția generală a acestei ecuații este

la(X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X

a fost găsit în Exemplul 12. Pentru a găsi o soluție particulară care să satisfacă condițiile inițiale ale acestei probleme Cauchy, obținem un sistem de ecuații

Rezolvând-o, avem C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Prin urmare, soluția problemei Cauchy este funcția

la(X) = 1/8e 3X + 1/16e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .

Nota 3(principiul suprapunerii). Dacă într-o ecuație liniară Ln[y(X)]=f(X), Unde f(X) =f 1 (X)+ f 2 (X) Și y* 1 (X) - soluția ecuației Ln[y(X)]=f 1 (X), A y* 2 (X) - soluția ecuației Ln[y(X)]=f 2 (X), apoi functia y*(X)= y* 1 (X)+ y* 2 (X) este rezolvarea ecuației Ln[y(X)]=f(X).

Exemplul 14. Indicați tipul de soluție generală a unei ecuații liniare

la¢ ¢ (X) + 4la(X) = x + sinx.

Soluţie. Rezolvarea generală a ecuației omogene corespunzătoare

` la(X) = C 1 cos 2x + C 2 păcat 2X,

întrucât ecuaţia caracteristică k 2 + 4 = 0 are rădăcini k 1, 2 = ± 2i.Latura dreaptă a ecuaţiei nu corespunde formulei (17), dar dacă introducem notaţia f 1 (X) = x, f 2 (X) = sinxși folosiți principiul suprapunerii , atunci o soluție particulară a ecuației neomogene poate fi găsită sub formă y*(X)= y* 1 (X)+ y* 2 (X), Unde y* 1 (X) - soluția ecuației la¢ ¢ (X) + 4la(X) = x, A y* 2 (X) - soluția ecuației la¢ ¢ (X) + 4la(X) = sinx. Conform formulei (18)

y* 1 (X) = Ax + B,y* 2 (X) = Ссosx + Dsinx.

Apoi soluția specială

y*(X) = Ax + B + Ccosx + Dsinx,

prin urmare, soluția generală are forma

la(X) = C 1 cos 2x + C 2 e - 2X + A x + B + Ccosx + Dsinx.

Exemplul 15. Un circuit electric constă dintr-o sursă de curent conectată în serie cu o fem e(t) = E sinw t, inductanţă Lși containere CU, și

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

Instrucțiuni

să studieze tema „Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi” de către studenții facultății de contabilitate de educație prin corespondență (NISPO)

Gorki, 2013

Liniar ecuatii diferentiale

de ordinul doi cu constantecoeficienți

Ecuații diferențiale liniare omogene

Ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți numită ecuație a formei

acestea. o ecuație care conține funcția dorită și derivatele ei doar până la primul grad și nu conține produsele acestora. În această ecuație Și
- niște numere și o funcție
dat pe un anumit interval
.

Dacă
pe interval
, atunci ecuația (1) va lua forma

, (2)

si se numeste liniar omogen . În caz contrar, se numește ecuația (1). liniar neomogen .

Luați în considerare funcția complexă

, (3)

Unde
Și
- functii reale. Dacă funcția (3) este o soluție complexă a ecuației (2), atunci partea reală
, și partea imaginară
solutii
separat sunt soluții ale aceleiași ecuații omogene. Astfel, orice soluție complexă a ecuației (2) generează două soluții reale ale acestei ecuații.

Soluțiile unei ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:

Dacă este o soluție a ecuației (2), apoi funcția
, Unde CU– o constantă arbitrară va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);

Dacă Și există soluții pentru ecuația (2), apoi funcția
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);

Dacă Și există soluții pentru ecuația (2), apoi combinația lor liniară
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2), unde Și
– constante arbitrare.

Funcții
Și
sunt numite dependent liniar pe interval
, dacă astfel de numere există Și
, nu egal cu zero în același timp, că pe acest interval egalitatea

Dacă egalitatea (4) apare numai când
Și
, apoi funcțiile
Și
sunt numite liniar independent pe interval
.

Exemplul 1 . Funcții
Și
sunt liniar dependente, deoarece
pe întreaga linie numerică. În acest exemplu
.

Exemplul 2 . Funcții
Și
sunt liniar independente pe orice interval, din moment ce egalitatea
este posibilă numai în cazul în care
, Și
.

Construirea unei soluții generale la o omogenă liniară

ecuații

Pentru a găsi o soluție generală a ecuației (2), trebuie să găsiți două dintre soluțiile sale liniar independente Și . Combinație liniară a acestor soluții
, Unde Și
sunt constante arbitrare și vor da o soluție generală unei ecuații liniare omogene.

Vom căuta soluții liniar independente ale ecuației (2) sub forma

, (5)

Unde – un anumit număr. Apoi
,
. Să substituim aceste expresii în ecuația (2):

sau
.

Deoarece
, Acea
. Deci funcția
va fi o soluție a ecuației (2) dacă va satisface ecuația

. (6)

Ecuația (6) se numește ecuație caracteristică pentru ecuația (2). Această ecuație este o ecuație algebrică pătratică.

Lăsa Și există rădăcini ale acestei ecuații. Ele pot fi fie reale și diferite, fie complexe, fie reale și egale. Să luăm în considerare aceste cazuri.

Lasă rădăcinile Și ecuațiile caracteristice sunt reale și distincte. Atunci soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile
Și
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece egalitatea
poate fi efectuată numai atunci când
, Și
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma

,

Unde Și
- constante arbitrare.

Exemplul 3
.

Soluţie . Ecuația caracteristică pentru această diferență va fi
. Hotărând asta ecuație pătratică, să-i găsim rădăcinile
Și
. Funcții
Și
sunt soluții ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații este
.

Număr complex numită expresie a formei
, Unde Și sunt numere reale și
numită unitatea imaginară. Dacă
, apoi numărul
se numește pur imaginar. Dacă
, apoi numărul
este identificat cu un număr real .

Număr se numește partea reală a unui număr complex și - partea imaginară. Dacă două numere complexe diferă unul de celălalt doar prin semnul părții imaginare, atunci ele se numesc conjugate:
,
.

Exemplul 4 . Rezolvați ecuația pătratică
.

Soluţie . Ecuație discriminantă
. Apoi. De asemenea,
. Astfel, această ecuație pătratică are rădăcini complexe conjugate.

Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie complexe, i.e.
,
, Unde
. Rezolvarile ecuatiei (2) pot fi scrise sub forma
,
sau
,
. Conform formulelor lui Euler

,
.

Apoi ,. După cum se știe, dacă o funcție complexă este o soluție la o ecuație liniară omogenă, atunci soluțiile acestei ecuații sunt atât părțile reale, cât și cele imaginare ale acestei funcții. Astfel, soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile
Și
. De la egalitate

poate fi executat numai dacă
Și
, atunci aceste soluții sunt liniar independente. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma

Unde Și
- constante arbitrare.

Exemplul 5 . Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Ecuația
este caracteristică unui diferențial dat. Să o rezolvăm și să obținem rădăcini complexe
,
. Funcții
Și
sunt soluții liniar independente ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații este:

Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie reale și egale, adică.
. Atunci soluțiile ecuației (2) sunt funcțiile
Și
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece expresia poate fi identic egală cu zero numai atunci când
Și
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
.

Exemplul 6 . Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Ecuație caracteristică
are rădăcini egale
. În acest caz, soluțiile liniar independente ale ecuației diferențiale sunt funcțiile
Și
. Soluția generală are forma
.

Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți

și partea dreaptă specială

Soluția generală a ecuației liniare neomogene (1) este egală cu suma soluției generale
ecuația omogenă corespunzătoare și orice soluție particulară
ecuație neomogenă:
.

În unele cazuri, o anumită soluție la o ecuație neomogenă poate fi găsită destul de simplu prin forma părții din dreapta
ecuația (1). Să ne uităm la cazurile în care acest lucru este posibil.

acestea. partea dreaptă a ecuației neomogene este un polinom de grad m. Dacă
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci o soluție specială a ecuației neomogene ar trebui căutată sub forma unui polinom de grad m, adică

Cote
sunt determinate în procesul de găsire a unei anumite soluții.

Dacă
este rădăcina ecuației caracteristice, atunci o anumită soluție a ecuației neomogene trebuie căutată sub forma

Exemplul 7 . Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Ecuația omogenă corespunzătoare pentru ecuația dată este
. Ecuația sa caracteristică
are rădăcini
Și
. Soluția generală a ecuației omogene are forma
.

Deoarece
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci vom căuta o soluție particulară a ecuației neomogene sub forma unei funcții
. Să găsim derivatele acestei funcții
,
și înlocuiți-le în această ecuație:

sau . Să echivalăm coeficienții pentru și membri gratuiti:
După ce am rezolvat acest sistem, obținem
,
. Atunci o anumită soluție a ecuației neomogene are forma
, iar soluția generală a unei ecuații neomogene date va fi suma soluției generale a ecuației omogene corespunzătoare și soluția particulară a celei neomogene:
.

Fie ecuația neomogenă să aibă forma

Dacă
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci o soluție specială a ecuației neomogene ar trebui căutată în formă. Dacă
este rădăcina ecuației de multiplicitate caracteristică k (k=1 sau k=2), atunci în acest caz o soluție particulară a ecuației neomogene va avea forma .

Exemplul 8 . Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Ecuația caracteristică pentru ecuația omogenă corespunzătoare are forma
. Rădăcinile sale
,
. În acest caz, soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare se scrie sub formă
.

Deoarece numărul 3 nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, o anumită soluție a ecuației neomogene ar trebui căutată sub forma
. Să găsim derivatele primului și al doilea ordin:

Să substituim în ecuația diferențială:
+ +,
+,.

Să echivalăm coeficienții pentru și membri gratuiti:

De aici
,
. Atunci o anumită soluție a acestei ecuații are forma
, și soluția generală

.

Metoda Lagrange de variație a constantelor arbitrare

Metoda de variație a constantelor arbitrare poate fi aplicată oricărei ecuații liniare neomogene cu coeficienți constanți, indiferent de tipul de partea dreaptă. Această metodă vă permite să găsiți întotdeauna o soluție generală a unei ecuații neomogene dacă este cunoscută soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare.

Lăsa
Și
sunt soluții liniar independente ale ecuației (2). Atunci soluția generală a acestei ecuații este
, Unde Și
- constante arbitrare. Esența metodei de variație a constantelor arbitrare este că soluția generală a ecuației (1) este căutată sub forma

Unde
Și
- noi funcții necunoscute care trebuie găsite. Deoarece există două funcții necunoscute, pentru a le găsi, sunt necesare două ecuații care conțin aceste funcții. Aceste două ecuații alcătuiesc sistemul

care este un sistem algebric liniar de ecuații în raport cu
Și
. Rezolvând acest sistem, găsim
Și
. Integrând ambele părți ale egalităților obținute, găsim

Și
.

Înlocuind aceste expresii în (9), obținem o soluție generală a ecuației liniare neomogene (1).

Exemplul 9 . Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie. Ecuația caracteristică pentru ecuația omogenă corespunzătoare unei ecuații diferențiale date este
. Rădăcinile sale sunt complexe
,
. Deoarece
Și
, Acea
,
, iar soluția generală a ecuației omogene are forma. Apoi vom căuta o soluție generală la această ecuație neomogenă sub forma unde
Și
- funcții necunoscute.

Sistemul de ecuații pentru găsirea acestor funcții necunoscute are forma

După ce am rezolvat acest sistem, găsim
,
. Apoi

,
. Să substituim expresiile rezultate în formula soluției generale:

Aceasta este soluția generală a acestei ecuații diferențiale, obținută prin metoda Lagrange.

Întrebări pentru autocontrolul cunoștințelor

Ce ecuație diferențială se numește ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți?

Ce ecuație diferențială liniară se numește omogenă și care se numește neomogenă?

Ce proprietăți are o ecuație liniară omogenă?

Ce ecuație se numește caracteristică pentru o ecuație diferențială liniară și cum se obține?

În ce formă se scrie soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul diferitelor rădăcini ale ecuației caracteristice?

În ce formă este scrisă soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul rădăcinilor egale ale ecuației caracteristice?

În ce formă se scrie soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul rădăcinilor complexe ale ecuației caracteristice?

Cum se scrie soluția generală a unei ecuații liniare neomogene?

În ce formă se caută o anumită soluție a unei ecuații liniare neomogene dacă rădăcinile ecuației caracteristice sunt diferite și nu sunt egale cu zero, iar partea dreaptă a ecuației este un polinom de grad m?

În ce formă se caută o anumită soluție pentru o ecuație liniară neomogenă dacă există un zero între rădăcinile ecuației caracteristice și partea dreaptă a ecuației este un polinom de grad m?

Care este esența metodei lui Lagrange?

Acest articol abordează problema rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. Teoria va fi discutată împreună cu exemple de probleme date. Pentru a descifra termeni neclari, este necesar să ne referim la subiectul despre definițiile și conceptele de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale.

Să considerăm o ecuație diferențială liniară (LDE) de ordinul doi cu coeficienți constanți de forma y "" + p · y " + q · y = f (x), unde p și q sunt numere arbitrare și funcția existentă f (x) este continuă pe intervalul de integrare x.

Să trecem la formularea teoremei pentru soluția generală a LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Teorema soluției generale pentru LDNU

Teorema 1

O soluție generală, situată pe intervalul x, a unei ecuații diferențiale neomogene de forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) cu coeficienți de integrare continuă pe intervalul x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) și functie continua f (x) este egală cu suma soluției generale y 0, care corespunde LOD și unei soluții particulare y ~, unde ecuația neomogenă inițială este y = y 0 + y ~.

Aceasta arată că soluția unei astfel de ecuații de ordinul doi are forma y = y 0 + y ~ . Algoritmul pentru găsirea y 0 este discutat în articolul despre ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. După care ar trebui să trecem la definiția lui y ~.

Alegerea unei anumite soluții pentru LPDE depinde de tipul funcției disponibile f (x) situată în partea dreaptă a ecuației. Pentru a face acest lucru, este necesar să luăm în considerare separat soluțiile ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Când f (x) este considerat a fi un polinom de gradul al n-lea f (x) = P n (x), rezultă că o anumită soluție a LPDE este găsită folosind o formulă de forma y ~ = Q n (x ) x γ, unde Q n ( x) este un polinom de grad n, r este numărul de rădăcini zero ale ecuației caracteristice. Valoarea y ~ este o soluție particulară y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , apoi coeficienții disponibili care sunt definiți de polinom
Q n (x), găsim folosind metoda coeficienților nedeterminați din egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Exemplul 1

Calculați folosind teorema lui Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Soluţie

Cu alte cuvinte, este necesar să trecem la o anumită soluție a unei ecuații diferențiale neomogene liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți y "" - 2 y " = x 2 + 1, care va îndeplini condițiile date y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este suma soluției generale, care corespunde ecuației y 0 sau unei soluții particulare a ecuației neomogene y ~, adică y = y 0 + y ~.

În primul rând, vom găsi o soluție generală pentru LNDU și apoi una particulară.

Să trecem la găsirea y 0. Scrierea ecuației caracteristice vă va ajuta să găsiți rădăcinile. Înțelegem asta

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Am descoperit că rădăcinile sunt diferite și reale. Prin urmare, să scriem

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Să găsim y ~ . Se poate observa că partea dreaptă a ecuației date este un polinom de gradul doi, atunci una dintre rădăcini este egală cu zero. Din aceasta obținem că o soluție particulară pentru y ~ va fi

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, unde valorile lui A, B, C iau coeficienți nedeterminați.

Să le găsim dintr-o egalitate de forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Atunci obținem că:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Echivalând coeficienții cu aceiași exponenți ai lui x, obținem un sistem de expresii liniare - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Când rezolvăm prin oricare dintre metode, vom găsi coeficienții și vom scrie: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 și y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Această intrare se numește soluția generală a ecuației diferențiale neomogene liniare inițiale de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Pentru a găsi o anumită soluție care îndeplinește condițiile y (0) = 2, y "(0) = 1 4, este necesar să se determine valorile C 1Și C 2, pe baza unei egalități de forma y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Primim ca:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Lucrăm cu sistemul de ecuații rezultat de forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, unde C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Aplicând teorema lui Cauchy, avem asta

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Răspuns: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Când funcția f (x) este reprezentată ca produsul unui polinom cu gradul n și un exponent f (x) = P n (x) · e a x , atunci obținem că o anumită soluție a LPDE de ordinul doi va fi o ecuația de forma y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, unde Q n (x) este un polinom de gradul n, iar r este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice egal cu α.

Coeficienții aparținând lui Q n (x) se găsesc prin egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplul 2

Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Soluţie

Ecuația vedere generala y = y 0 + y ~ . Ecuația indicată corespunde LOD y "" - 2 y " = 0. Din exemplul anterior se poate observa că rădăcinile sale sunt egale k 1 = 0şi k 2 = 2 şi y 0 = C 1 + C 2 e 2 x prin ecuaţia caracteristică.

Se poate observa că partea dreaptă a ecuației este x 2 + 1 · e x . De aici LPDE se găsește prin y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, unde Q n (x) este un polinom de gradul doi, unde α = 1 și r = 0, deoarece ecuația caracteristică nu au rădăcina egală cu 1. De aici obținem asta

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C sunt coeficienți necunoscuți care pot fi găsiți prin egalitatea y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Am inteles

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Echivalăm indicatorii cu aceiași coeficienți și obținem un sistem de ecuații liniare. De aici găsim A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Răspuns: este clar că y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 este o soluție particulară a LNDDE și y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - o soluție generală pentru o ecuație diferită neomogenă de ordinul doi.

Când funcția este scrisă ca f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x și A 1Și ÎN 1 sunt numere, atunci o soluție parțială a LPDE este considerată a fi o ecuație de forma y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, unde A și B sunt considerați coeficienți nedeterminați, iar r este numărul de rădăcini conjugate complexe legate de ecuația caracteristică, egale cu ± i β . În acest caz, căutarea coeficienților se realizează folosind egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Exemplul 3

Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Soluţie

Înainte de a scrie ecuația caracteristică, găsim y 0. Apoi

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Avem o pereche de rădăcini conjugate complexe. Să transformăm și să obținem:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt considerate a fi perechea conjugată ± 2 i, atunci f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Aceasta arată că căutarea pentru y ~ se va face din y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Necunoscute Vom căuta coeficienții A și B dintr-o egalitate de forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Să transformăm:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Atunci este clar că

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Este necesar să se echivaleze coeficienții sinusurilor și cosinusurilor. Obtinem un sistem de forma:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Rezultă că y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Răspuns: se consideră soluția generală a LDDE inițială de ordinul doi cu coeficienți constanți

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Când f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), atunci y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Avem că r este numărul de perechi complexe de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică, egal cu α ± i β, unde P n (x), Q k (x), L m (x) și Nm(x) sunt polinoame de gradul n, k, m, m, unde m = m a x (n, k). Găsirea coeficienților Lm(x)Și Nm(x) se face pe baza egalităţii y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplul 4

Aflați soluția generală y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Soluţie

După condiție este clar că

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Atunci m = m a x (n, k) = 1. Găsim y 0 scriind mai întâi o ecuație caracteristică de forma:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

Am descoperit că rădăcinile sunt reale și distincte. Prin urmare y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. În continuare, este necesar să se caute o soluție generală bazată pe ecuația neomogenă y ~ a formei

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Se știe că A, B, C sunt coeficienți, r = 0, deoarece nu există o pereche de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică cu α ± i β = 3 ± 5 · i. Găsim acești coeficienți din egalitatea rezultată:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Găsirea termenilor derivati ​​și similari dă

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

După echivalarea coeficienților, obținem un sistem de forma

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Din toate rezultă că

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Răspuns: Acum am obținut o soluție generală pentru ecuația liniară dată:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritm pentru rezolvarea LDNU

Definiția 1

Orice alt tip de funcție f (x) pentru soluție necesită conformitatea cu algoritmul de soluție:

• găsirea unei soluții generale la ecuația liniară omogenă corespunzătoare, unde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, unde y 1Și y 2 sunt soluții parțiale liniar independente ale LODE, C 1Și C 2 sunt considerate constante arbitrare;
• adoptarea ca soluție generală a LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• determinarea derivatelor unei funcții printr-un sistem de forma C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) și găsirea funcțiilor C 1 (x)şi C2 (x) prin integrare.

Exemplul 5

Aflați soluția generală pentru y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Soluţie

Se trece la scrierea ecuației caracteristice, având scris anterior y 0, y "" + 36 y = 0. Să scriem și să rezolvăm:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Avem că soluția generală a ecuației date se va scrie ca y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Este necesar să trecem la definirea funcțiilor derivate C 1 (x)Și C2(x) conform unui sistem cu ecuații:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Trebuie luată o decizie cu privire la C 1" (x)Și C 2" (x) folosind orice metodă. Apoi scriem:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Fiecare dintre ecuații trebuie să fie integrată. Apoi scriem ecuațiile rezultate:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Rezultă că soluția generală va avea forma:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Răspuns: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter