I. Mărimi direct proporţionale.

Lasă valoarea y depinde de marime X. Dacă la creşterea X de mai multe ori mai mare la crește cu aceeași cantitate, apoi astfel de valori XȘi la se numesc direct proportionale.

Exemple.

1 . Cantitatea de bunuri achiziționate și prețul de achiziție (cu un preț fix pentru o unitate de mărfuri - 1 bucată sau 1 kg etc.) De câte ori s-au cumpărat mai multe bunuri, cu atât au plătit mai mult.

2 . Distanța parcursă și timpul petrecut pe ea (la viteză constantă). De câte ori cale mai lungă, vom petrece de atâtea ori mai mult timp pentru a trece prin asta.

3 . Volumul unui corp și masa acestuia. ( Dacă un pepene verde este de 2 ori mai mare decât altul, atunci masa lui va fi de 2 ori mai mare)

II. Proprietatea proporționalității directe a cantităților.

Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori luate în mod arbitrar ale primei cantități este egal cu raportul dintre două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități.

Sarcina 1. Pentru gem de zmeură am luat 12 kg zmeura si 8 kg Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua? 9 kg zmeura?

Soluţie.

Raționăm astfel: să fie necesar x kg zahăr pentru 9 kg zmeura Masa de zmeură și masa de zahăr sunt cantități direct proporționale: de câte ori sunt mai puține zmeură, de același număr de ori mai puțin zahăr este nevoie. Prin urmare, raportul dintre zmeura luată (în greutate) ( 12:9 ) va fi egal cu raportul de zahăr luat ( 8:x). Obținem proporția:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Răspuns: pe 9 kg trebuie luate zmeura 6 kg Sahara.

Rezolvarea problemei S-ar putea face astfel:

Dai drumul 9 kg trebuie luate zmeura x kg Sahara.

(Săgețile din figură sunt îndreptate într-o singură direcție, iar în sus sau în jos nu contează. Semnificație: de câte ori numărul 12 mai mult număr 9 , de același număr de ori 8 mai mult număr X, adică aici există o relație directă).

Răspuns: pe 9 kg Trebuie să iau niște zmeură 6 kg Sahara.

Sarcina 2. Masina pentru 3 ore a parcurs distanta 264 km. Cât îi va lua să călătorească? 440 km, dacă conduce cu aceeași viteză?

Soluţie.

Lasă pt x ore mașina va acoperi distanța 440 km.

Răspuns: va trece mașina 440 km in 5 ore.

Exemplu

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 etc.

Factorul de proporționalitate

Se numește o relație constantă de mărimi proporționale factor de proporționalitate. Coeficientul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate sunt pe unitatea alteia.

Proporționalitate directă

Proporționalitate directă- dependenta functionala, in care o anumita cantitate depinde de o alta marime in asa fel incat raportul acestora sa ramana constant. Cu alte cuvinte, aceste variabile se schimbă proporţional, în părți egale, adică dacă argumentul se schimbă de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.

Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:

f(X) = AX,A = const

Proporționalitate inversă

Proporționalitate inversă- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).

Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:

Proprietățile funcției:

Surse

Fundația Wikimedia. 2010.

Obiective de bază:

• introducerea conceptului de dependență directă și invers proporțională a cantităților;
• învață cum să rezolvi problemele folosind aceste dependențe;
• promovează dezvoltarea abilităților de rezolvare a problemelor;
• consolidarea abilității de a rezolva ecuații folosind proporții;
• repetă pașii cu obișnuit și zecimale;
• dezvolta gandire logica elevi.

ÎN CURILE CURĂRILOR

eu. Autodeterminare pentru activitate(Organizarea timpului)

- Baieti! Astăzi în lecție ne vom familiariza cu problemele rezolvate folosind proporții.

II. Actualizarea cunoștințelor și înregistrarea dificultăților în activități

2.1. Lucrări orale (3 min)

– Găsiți sensul expresiilor și aflați cuvântul criptat în răspunsuri.

14 – s; 0,1 – și; 7 – l; 0,2 – a; 17 – în; 25 – la

– Cuvântul rezultat este putere. Bine făcut!
– Motto-ul lecției noastre de astăzi: Puterea este în cunoaștere! Caut - asta înseamnă că învăț!
– Alcătuiți o proporție din numerele rezultate. (14:7 = 0,2:0,1 etc.)

2.2. Să luăm în considerare relația dintre cantitățile pe care le cunoaștem (7 min)

– distanta parcursa de masina cu viteza constanta, si timpul deplasarii acestuia: S = v t ( cu creșterea vitezei (timpului), distanța crește);
– viteza vehiculului și timpul petrecut în călătorie: v=S:t(cu cât timpul de parcurgere a traseului crește, viteza scade);
– costul bunurilor achiziționate la un preț și cantitatea acestuia: C = a · n (cu creșterea (scăderea) prețului, costul de cumpărare crește (descrește));
– prețul produsului și cantitatea acestuia: a = C: n (cu creșterea cantității, prețul scade)
– aria dreptunghiului și lungimea (lățimea): S = a · b (cu creșterea lungimii (lățimea), aria crește;
– lungime și lățime dreptunghi: a = S: b (cu cât lungimea crește, lățimea scade;
– numărul de muncitori care efectuează o anumită muncă cu aceeași productivitate a muncii și timpul necesar pentru finalizarea acestei lucrări: t = A: n (cu creșterea numărului de muncitori, timpul alocat efectuării muncii scade), etc. .

Am obținut dependențe în care, cu creșterea de mai multe ori a unei cantități, alta crește imediat cu aceeași cantitate (exemplele sunt prezentate cu săgeți) și dependențe în care, odată cu creșterea unei cantități de mai multe ori, a doua cantitate scade cu acelasi numar de ori.
Astfel de dependențe se numesc proporționalitate directă și inversă.
Dependență direct proporțională– o relație în care pe măsură ce o valoare crește (descrește) de mai multe ori, a doua valoare crește (descrește) cu aceeași cantitate.
Relație invers proporțională– o relație în care pe măsură ce o valoare crește (descrește) de mai multe ori, a doua valoare scade (crește) cu aceeași cantitate.

III. Stabilirea unei sarcini de învățare

– Ce problemă ne confruntăm? (Învățați să distingeți între dependențe directe și inverse)
- Acest - ţintă lecția noastră. Acum formulează subiect lecţie. (Relație directă și invers proporțională).
- Bine făcut! Notați subiectul lecției în caiete. (Profesorul scrie subiectul pe tablă.)

IV. „Descoperirea” de noi cunoștințe(10 minute)

Să ne uităm la problema nr. 199.

1. Imprimanta imprimă 27 de pagini în 4,5 minute. Cât timp va dura imprimarea a 300 de pagini?

27 pagini – 4,5 min.
300 de pagini - x?

2. Cutia contine 48 de pachete de ceai, cate 250 g fiecare. Câte pachete de 150 g din acest ceai vei primi?

48 pachete – 250 g.
X? – 150 g.

3. Mașina a parcurs 310 km, folosind 25 de litri de benzină. Cât de departe poate călători o mașină cu un rezervor plin de 40 de litri?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Unul dintre angrenajele ambreiajului are 32 de dinți, iar celălalt are 40. Câte rotații va face a doua treaptă în timp ce prima face 215 rotații?

32 dinți – 315 r.
40 de dinti – x?

Pentru a compila o proporție, este necesară o direcție a săgeților; pentru aceasta, în proporționalitate inversă, un raport este înlocuit cu inversul.

La tablă, elevii găsesc sensul cantităților; pe loc, elevii rezolvă o problemă la alegere.

– Formulați o regulă pentru rezolvarea problemelor cu dependență directă și invers proporțională.

Pe tablă apare un tabel:

V. Consolidarea primară în vorbirea externă(10 minute)

Atribuții pentru foile de lucru:

1. Din 21 kg de semințe de bumbac s-au obținut 5,1 kg de ulei. Cât ulei se va obține din 7 kg de semințe de bumbac?
2. Pentru a construi stadionul, 5 buldozere au curățat șantierul în 210 minute. Cât timp ar dura 7 buldozere pentru a curăța acest site?

VI. Lucru independent cu autotestare conform standardului(5 minute)

Doi elevi completează sarcina nr. 225 în mod independent pe plăci ascunse, iar restul - în caiete. Apoi verifică funcționarea algoritmului și o compară cu soluția de pe placă. Erorile sunt corectate și cauzele lor sunt determinate. Dacă sarcina este finalizată corect, atunci elevii pun un semn „+” lângă ei.
Elevii care greșesc în munca independentă pot apela la consultanți.

VII. Includerea în sistemul de cunoștințe și repetarea№ 271, № 270.

La consiliu lucrează șase persoane. După 3-4 minute, elevii care lucrează la tablă își prezintă soluțiile, iar restul verifică temele și participă la discuția lor.

VIII. Reflecție asupra activității (rezumatul lecției)

– Ce nou ai învățat la lecție?
-Ce au repetat?
– Care este algoritmul pentru rezolvarea problemelor de proporție?
– Ne-am atins scopul?
– Cum îți evaluezi munca?

Cele două mărimi sunt numite direct proportional, dacă atunci când unul dintre ele crește de mai multe ori, celălalt crește cu aceeași cantitate. În consecință, atunci când unul dintre ele scade de mai multe ori, celălalt scade cu aceeași cantitate.

Relația dintre astfel de cantități este o relație direct proporțională. Exemple de dependență direct proporțională:

1) la viteza constanta, distanta parcursa este direct proportionala cu timpul;

2) perimetrul unui pătrat și latura acestuia sunt mărimi direct proporționale;

3) costul unui produs achiziționat la un preț este direct proporțional cu cantitatea acestuia.

Pentru a distinge o relație direct proporțională de una inversă, puteți folosi proverbul: „Cu cât mai departe în pădure, cu atât mai mult lemn de foc”.

Este convenabil să rezolvi probleme care implică mărimi direct proporționale folosind proporții.

1) Pentru a face 10 piese ai nevoie de 3,5 kg de metal. Cât metal va intra în fabricarea a 12 dintre aceste piese?

(Raționăm astfel:

1. În coloana completată, plasați o săgeată în direcția de la Mai mult la mai putin.

2. Cu cât sunt mai multe piese, cu atât este nevoie de mai mult metal pentru a le face. Aceasta înseamnă că aceasta este o relație direct proporțională.

Fie nevoie de x kg de metal pentru a face 12 părți. Alcătuim proporția (în direcția de la începutul săgeții până la sfârșitul acesteia):

12:10=x:3,5

Pentru a găsi , trebuie să împărțiți produsul termenilor extremi la termenul mediu cunoscut:

Aceasta înseamnă că vor fi necesare 4,2 kg de metal.

Răspuns: 4,2 kg.

2) Pentru 15 metri de țesătură au plătit 1680 de ruble. Cât costă 12 metri dintr-o astfel de țesătură?

(1. În coloana completată, plasați o săgeată în direcția de la cel mai mare număr la cel mai mic.

2. Cu cât cumperi mai puțină țesătură, cu atât mai puțin trebuie să plătești pentru ea. Aceasta înseamnă că aceasta este o relație direct proporțională.

3. Prin urmare, a doua săgeată este în aceeași direcție cu prima).

Fie că x ruble costă 12 metri de țesătură. Facem o proporție (de la începutul săgeții până la sfârșitul ei):

15:12=1680:x

Pentru a găsi termenul extrem necunoscut al proporției, împărțiți produsul termenilor de mijloc la termenul extrem cunoscut al proporției:

Aceasta înseamnă că 12 metri costă 1344 de ruble.

Răspuns: 1344 de ruble.