A. Proiecția punctului A pe axa PQ (Fig. 4) este baza a perpendicularei coborâte dintr-un punct dat pe o axă dată. Axa pe care proiectăm se numește axa de proiecție.

b. Să fie date două axe și un vector A B, prezentate în Fig. 5.

Un vector al cărui început este proiecția începutului și sfârșitul este proiecția sfârșitului vector dat, se numește proiecția vectorului A B pe axa PQ.Se scrie așa;

Uneori indicatorul PQ nu este scris în partea de jos; acest lucru se face în cazurile în care, în afară de PQ, nu există un alt sistem de operare pe care ar putea fi proiectat.

Cu. Teorema I. Mărimile vectorilor care se află pe o axă sunt legate ca mărimile proiecțiilor lor pe orice axă.

Să fie date axele și vectorii indicați în Fig. 6. Din asemănarea triunghiurilor este clar că lungimile vectorilor sunt legate ca lungimile proiecțiilor lor, adică.

Deoarece vectorii din desen sunt direcționați în laturi diferite, atunci valorile lor au semne diferite, prin urmare,

Evident, mărimile proiecțiilor au și semne diferite:

înlocuind (2) în (3) în (1), obținem

Inversând semnele, obținem

Dacă vectorii sunt direcționați în mod egal, atunci proiecțiile lor vor fi și ele de aceeași direcție; nu vor exista semne minus în formulele (2) și (3). Înlocuind (2) și (3) în egalitatea (1), obținem imediat egalitatea (4). Deci, teorema a fost demonstrată pentru toate cazurile.

d. Teorema II. Mărimea proiecției unui vector pe orice axă este egală cu mărimea vectorului înmulțită cu cosinusul unghiului dintre axa proiecțiilor și axa vectorului Fie ca axele să fie date ca vector așa cum este indicat în fig. . 7. Să construim un vector cu aceeași direcție cu axa sa și reprezentat, de exemplu, din punctul de intersecție al axelor. Fie lungimea lui egală cu unu. Apoi amploarea sa

O descriere vectorială a mișcării este utilă, deoarece într-un desen puteți descrie întotdeauna mulți vectori diferiți și puteți obține o „imagine” vizuală a mișcării în fața ochilor dumneavoastră. Cu toate acestea, folosirea unei rigle și a unui raportor de fiecare dată pentru a efectua operații cu vectori este foarte laborioasă. Prin urmare, aceste acțiuni sunt reduse la acțiuni cu numere pozitive și negative - proiecții de vectori.

Proiecția vectorului pe axă numită mărime scalară egală cu produsul dintre modulul vectorului proiectat și cosinusul unghiului dintre direcțiile vectorului și axa de coordonate selectată.

Desenul din stânga prezintă un vector de deplasare, al cărui modul este de 50 km, și direcția lui formează unghi obtuz 150° cu direcția axei X. Folosind definiția, găsim proiecția deplasării pe axa X:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Deoarece unghiul dintre axe este de 90°, este ușor de calculat că direcția de mișcare formează un unghi ascuțit de 60° cu direcția axei Y. Folosind definiția, găsim proiecția deplasării pe axa Y:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

După cum puteți vedea, dacă direcția vectorului formează un unghi ascuțit cu direcția axei, proiecția este pozitivă; dacă direcția vectorului formează un unghi obtuz cu direcția axei, proiecția este negativă.

Desenul din dreapta arată un vector viteză, al cărui modul este de 5 m/s, iar direcția formează un unghi de 30° cu direcția axei X. Să găsim proiecțiile:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Este mult mai ușor să găsiți proiecții ale vectorilor pe axe dacă vectorii proiectați sunt paraleli sau perpendiculari pe axele selectate. Vă rugăm să rețineți că în cazul paralelismului sunt posibile două opțiuni: vectorul este co-direcțional față de axă și vectorul este opus axei, iar pentru cazul perpendicularității există o singură opțiune.

Proiecția unui vector perpendicular pe axă este întotdeauna zero (vezi sy și ay în desenul din stânga și sx și υx în desenul din dreapta). Într-adevăr, pentru un vector perpendicular pe axă, unghiul dintre acesta și axă este de 90°, deci cosinusul este zero, ceea ce înseamnă că proiecția este zero.

Proiecția unui vector codirecțional cu axa este pozitivă și egală cu valoarea sa absolută, de exemplu, sx = +s (vezi desenul din stânga). Într-adevăr, pentru un vector codirecțional cu axă, unghiul dintre acesta și axă este zero, iar cosinusul său este „+1”, adică proiecția este egală cu lungimea vectorului: sx = x – xo = + s .

Proiecția vectorului opus axei este negativă și egală cu modulul său luat cu semnul minus, de exemplu, sy = –s (vezi desenul din dreapta). Într-adevăr, pentru un vector opus axei, unghiul dintre acesta și axă este de 180°, iar cosinusul său este „–1”, adică proiecția este egală cu lungimea vectorului luat cu semn negativ: sy = y – yo = –s .

Partea dreaptă a ambelor desene arată alte cazuri în care vectorii sunt paraleli cu una dintre axele de coordonate și perpendiculari pe cealaltă. Vă invităm să vă asigurați că și în aceste cazuri sunt respectate regulile formulate în paragrafele precedente.

În primul rând, să ne amintim despre ce este vorba axa de coordonate , proiectia unui punct pe o axaȘi coordonatele unui punct de pe axă.

Axa de coordonate- Aceasta este o linie dreaptă căreia i se dă o anumită direcție. Vă puteți gândi la el ca la un vector cu un modul infinit de mare.

Axa de coordonate notată cu o literă: X, Y, Z, s, t... De obicei, pe axă se selectează (arbitrar) un punct, care se numește origine și, de regulă, este notat cu litera O. Din acest punct, sunt măsurate distanțele până la alte puncte de interes pentru noi.

Proiectia unui punct pe o axa- aceasta este baza perpendicularei coborâte din acest punct către această axă (Fig. 8). Adică, proiecția unui punct pe axă este un punct.

Coordonata punctului pe axa- acesta este numărul valoare absolută care este egală cu lungimea segmentului de axă (pe scara selectată) cuprins între originea axei și proiecția punctului pe această axă. Acest număr se ia cu semnul plus dacă proiecția punctului este situată în direcția axei de la origine și cu semnul minus dacă este în sens opus.

Proiecția scalară a unui vector pe o axă- Acest număr, a cărui valoare absolută este egală cu lungimea segmentului de axă (pe scara selectată) cuprinsă între proiecțiile punctului de început și punctul final al vectorului. Important! De obicei, în locul expresiei proiecția scalară a unui vector pe o axă ei spun pur si simplu - proiecția vectorului pe axă, adică cuvântul scalar coborât. Proiecție vectorială este notat cu aceeași literă cu vectorul proiectat (în scriere normală, fără caractere aldine), cu un index inferior (de regulă) al numelui axei pe care este proiectat acest vector. De exemplu, dacă un vector este proiectat pe axa X A, atunci proiecția sa se notează cu x. Când proiectați același vector pe o altă axă, de exemplu, axa Y, proiecția acestuia va fi notat cu y (Fig. 9).

A calcula proiecția vectorului pe axă(de exemplu, axa X), este necesar să se scadă coordonatele punctului de plecare din coordonatele punctului său final, adică

a x = x k − x n.

Trebuie să ne amintim: proiecția scalară a unui vector pe o axă (sau, pur și simplu, proiecția unui vector pe o axă) este un număr (nu un vector)! Mai mult, proiecția poate fi pozitivă dacă valoarea x k mai mare decât valoarea x n, negativ dacă valoarea lui x k este mai mică decât valoarea lui x n și egală cu zero dacă x k este egal cu x n (Fig. 10).

Proiecția unui vector pe o axă poate fi găsită și cunoscând modulul vectorului și unghiul pe care îl formează cu această axă.

Din figura 11 este clar că a x = a Cos α

Adică, proiecția vectorului pe axă este egală cu produsul dintre modulul vectorului și cosinusul unghiului între direcția axei și direcția vectorului. Dacă unghiul este ascuțit, atunci Cos α > 0 și a x > 0, iar dacă este obtuz, atunci cosinusul unghiului obtuz este negativ, iar proiecția vectorului pe axă va fi și ea negativă.

Unghiurile măsurate de pe axa în sens invers acelor de ceasornic sunt considerate pozitive, iar unghiurile măsurate de-a lungul axei sunt negative. Totuși, deoarece cosinusul este o funcție pară, adică Cos α = Cos (− α), atunci când se calculează proiecțiile, unghiurile pot fi numărate atât în ​​sensul acelor de ceasornic, cât și în sens invers acelor de ceasornic.

La rezolvarea problemelor se vor folosi adesea următoarele proprietăți ale proiecțiilor: dacă

A = b + c +…+ d, apoi a x = b x + c x +…+ d x (similar cu alte axe),

A= m b, apoi a x = mb x (în mod similar pentru alte axe).

Formula a x = a Cos α va fi De multe ori apar atunci când rezolvați probleme, așa că trebuie neapărat să știți. Trebuie să cunoașteți regula pentru determinarea proiecției pe de rost!

Tine minte!

Pentru a găsi proiecția unui vector pe o axă, modulul acestui vector trebuie înmulțit cu cosinusul unghiului dintre direcția axei și direcția vectorului.

Încă o dată - pe de rost!

Fie doi vectori și să fie dat în spațiu. Să amânăm dintr-un punct arbitrar O vectori și . Unghi dintre vectori se numește cel mai mic dintre unghiuri. Desemnat .

Luați în considerare axa lși trasează pe el un vector unitar (adică un vector a cărui lungime este egală cu unu).

La un unghi între vector și axă lînțelegeți unghiul dintre vectori și .

Asa ca lasa l este o axă și este un vector.

Să notăm prin A 1Și B 1 proiecții pe axă l respectiv puncte AȘi B. Să ne prefacem că A 1 are o coordonată x 1, A B 1– coordonate x 2 pe axa l.

Apoi proiecție vector pe axă l numită diferență x 1 – x 2între coordonatele proiecțiilor capătului și începutului vectorului pe această axă.

Proiecția vectorului pe axă l vom nota .

Este clar că dacă unghiul dintre vector și axă l picant atunci x 2> x 1, și proiecție x 2 – x 1> 0; dacă acest unghi este obtuz, atunci x 2< x 1și proiecție x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, Acea x 2= x 1Și x 2– x 1=0.

Astfel, proiecția vectorului pe axă l este lungimea segmentului A 1 B 1, luat cu un anumit semn. Prin urmare, proiecția vectorului pe axă este un număr sau un scalar.

Proiecția unui vector pe altul este determinată în mod similar. În acest caz, se găsesc proiecțiile capetelor acestui vector pe linia pe care se află al 2-lea vector.

Să ne uităm la câteva elemente de bază proprietăţile proiecţiilor.

SISTEME VECTORIALE LINEAR DEPENDENTE ȘI LINEAR INDEPENDENTE

Să luăm în considerare mai mulți vectori.

Combinație liniară dintre acești vectori este orice vector de forma , unde sunt unele numere. Numerele se numesc coeficienți de combinație liniară. Ei mai spun că în acest caz este exprimat liniar prin acești vectori, adică. se obţine din ele folosind acţiuni liniare.

De exemplu, dacă sunt dați trei vectori, atunci următorii vectori pot fi considerați combinația lor liniară:

Dacă un vector este reprezentat ca o combinație liniară a unor vectori, atunci se spune că este culcat de-a lungul acestor vectori.

Vectorii sunt numiți dependent liniar, dacă există numere, nu toate egale cu zero, astfel încât . Este clar că vectorii dați vor fi dependenți liniar dacă oricare dintre acești vectori este exprimat liniar în termenii celorlalți.

Altfel, i.e. când raportul efectuat numai atunci când , acești vectori sunt numiți liniar independent.

Teorema 1. Oricare doi vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă sunt coliniari.

Dovada:

Următoarea teoremă poate fi demonstrată în mod similar.

Teorema 2. Trei vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă sunt coplanari.

Dovada.

BAZĂ

Bază este o colecție de vectori independenți liniar diferit de zero. Vom nota elementele bazei prin .

ÎN paragraful anterior Am văzut că doi vectori necoliniari dintr-un plan sunt independenți liniar. Prin urmare, conform teoremei 1 din paragraful anterior, o bază pe un plan este oricare doi vectori necoliniari pe acest plan.

În mod similar, oricare trei vectori necoplanari sunt liniar independenți în spațiu. În consecință, numim trei vectori necoplanari o bază în spațiu.

Următoarea afirmație este adevărată.

Teorema. Să se dea o bază în spațiu. Atunci orice vector poate fi reprezentat ca o combinație liniară , Unde X, y, z- unele numere. Aceasta este singura descompunere.

Dovada.

Astfel, baza permite fiecărui vector să fie asociat în mod unic cu un triplu de numere - coeficienții de expansiune a acestui vector în vectorii de bază: . Este adevărat și invers, pentru fiecare trei numere x, y, z folosind baza, puteți compara vectorul dacă faceți o combinație liniară .

Dacă baza și , apoi numerele x, y, z sunt numite coordonate vector într-o bază dată. Coordonatele vectoriale sunt notate cu .

SISTEMUL DE COORDONATE CARTESIAN

Să fie dat un punct în spațiu Oși trei vectori necoplanari.

Sistemul de coordonate cartezieneîn spațiu (pe plan) este colecția unui punct și a unei baze, i.e. o mulțime de un punct și trei vectori necoplanari (2 vectori necoliniari) care emană din acest punct.

Punct O numită origine; liniile drepte care trec prin originea coordonatelor în direcția vectorilor de bază se numesc axe de coordonate - axa abscisă, ordonată și aplicată. Planurile care trec prin axele de coordonate se numesc planuri de coordonate.

Luați în considerare un punct arbitrar în sistemul de coordonate selectat M. Să introducem conceptul de coordonate punct M. Vector care leagă originea la un punct M. numit vector rază puncte M.

Un vector din baza selectată poate fi asociat cu un triplu de numere – coordonatele sale: .

Coordonatele vectorului raza punctului M. sunt numite coordonatele punctului M. în sistemul de coordonate luat în considerare. M(x,y,z). Prima coordonată se numește abscisă, a doua este ordonată, iar a treia este aplicată.

Coordonatele carteziene de pe plan sunt determinate în mod similar. Aici punctul are doar două coordonate - abscisă și ordonată.

Este ușor de observat că pentru un anumit sistem de coordonate, fiecare punct are anumite coordonate. Pe de altă parte, pentru fiecare triplă de numere există un punct unic care are aceste numere drept coordonate.

Dacă vectorii luați ca bază în sistemul de coordonate selectat au lungimea unitară și sunt perpendiculari pe perechi, atunci sistemul de coordonate se numește dreptunghiular cartezian.

Este ușor să arăți că.

Cosinusurile direcției unui vector determină complet direcția acestuia, dar nu spun nimic despre lungimea sa.

Definiție 1. Pe un plan, o proiecție paralelă a punctului A pe axa l este un punct - punctul de intersecție al axei l cu o dreaptă trasă prin punctul A paralel cu vectorul care specifică direcția de proiectare.

Definiție 2. Proiecția paralelă a unui vector pe axa l (față de vector) este coordonata vectorului relativ la bază axa l, unde punctele și sunt proiecții paralele ale punctelor A și B pe axa l, respectiv (Fig. 1).

Conform definiţiei pe care o avem

Definiţia 3. dacă și pe baza axei l Carteziană, adică proiecția vectorului pe axa l numite ortogonale (Fig. 2).

În spațiu, definiția 2 a proiecției vectoriale pe axă rămâne în vigoare, doar direcția de proiecție este specificată de doi vectori necoliniari (Fig. 3).

Din definiția proiecției unui vector pe o axă rezultă că fiecare coordonată a unui vector este o proiecție a acestui vector pe axa definită de vectorul de bază corespunzător. În acest caz, direcția de proiectare este specificată de alți doi vectori de bază dacă proiectul este realizat (considerat) în spațiu, sau de un alt vector de bază dacă proiectul este considerat pe un plan (Fig. 4).

Teorema 1. Proiecția ortogonală a unui vector pe axa l este egală cu produsul dintre modulul vectorului și cosinusul unghiului dintre direcția pozitivă a axei l și, i.e.

Pe cealaltă parte

Din noi găsim

Înlocuind AC în egalitatea (2), obținem

Din moment ce numerele Xși același semn în ambele cazuri luate în considerare ((Fig. 5, a) ; (Fig. 5, b), apoi din egalitate (4) rezultă

Cometariu. În cele ce urmează, vom lua în considerare doar proiecția ortogonală a vectorului pe axă și, prin urmare, cuvântul „ort” (ortogonal) va fi omis din notație.

Să prezentăm o serie de formule care sunt folosite mai târziu în rezolvarea problemelor.

a) Proiecția vectorului pe axă.

Dacă, atunci proiecția ortogonală pe vector conform formulei (5) are forma

c) Distanța de la un punct la un plan.

Fie b un plan dat cu un vector normal, M un punct dat,

d este distanța de la punctul M la planul b (fig. 6).

Dacă N este un punct arbitrar al planului b și și sunt proiecții ale punctelor M și N pe axă, atunci

• G) Distanța dintre liniile care se intersectează.

Fie a și b drepte care se încrucișează, fie un vector perpendicular pe ele, A și B fie puncte arbitrare ale dreptelor a și, respectiv b (Fig. 7), și și proiecții ale punctelor A și B pe, atunci

e) Distanța de la un punct la o dreaptă.

Lăsa l- o linie dreaptă dată cu un vector de direcție, M - un punct dat,

N - proiecția sa pe linie l, apoi - distanța necesară (Fig. 8).

Dacă A este un punct arbitrar pe o dreaptă l, apoi în triunghi dreptunghic Se pot găsi MNA, ipotenuza MA și catete. Mijloace,

f) Unghiul dintre o dreaptă și un plan.

Fie vectorul de direcție al acestei linii l, - vector normal al unui plan dat b, - proiecția unei drepte l la planul b (Fig. 9).

După cum se știe, unghiul μ dintre o linie dreaptă l iar proiecția sa pe planul b se numește unghiul dintre linie și plan. Avem

Să dăm exemple de rezolvare a problemelor metrice folosind metoda coordonatelor vectoriale.