Ecuațiile cuadratice apar adesea la rezolvarea diferitelor probleme de fizică și matematică. În acest articol ne vom uita la cum să rezolvăm aceste egalități într-un mod universal „printr-un discriminant”. În articol sunt prezentate și exemple de utilizare a cunoștințelor dobândite.

Despre ce ecuații vom vorbi?

Figura de mai jos prezintă o formulă în care x este o variabilă necunoscută, iar simbolurile latine a, b, c reprezintă unele numere cunoscute.

Fiecare dintre aceste simboluri se numește coeficient. După cum puteți vedea, numărul „a” apare înaintea variabilei x pătrat. Aceasta este puterea maximă a expresiei reprezentate, motiv pentru care se numește ecuație pătratică. Celălalt nume al său este adesea folosit: ecuație de ordinul doi. Valoarea a în sine este un coeficient pătrat (în picioare când variabila este pătrat), b este coeficient liniar(este situat langa variabila ridicata la prima putere), in sfarsit, numarul c este termenul liber.

Rețineți că tipul de ecuație prezentat în figura de mai sus este o expresie pătratică clasică generală. Pe lângă aceasta, există și alte ecuații de ordinul doi în care coeficienții b și c pot fi zero.

Când sarcina este setată să rezolve egalitatea în cauză, aceasta înseamnă că trebuie găsite astfel de valori ale variabilei x care să o satisfacă. Aici, primul lucru pe care trebuie să-l rețineți este următorul lucru: deoarece gradul maxim de X este 2, atunci acest tip de expresie nu poate avea mai mult de 2 soluții. Aceasta înseamnă că dacă, la rezolvarea unei ecuații, s-au găsit 2 valori ale lui x care o satisfac, atunci poți fi sigur că nu există un al treilea număr, înlocuindu-l cu x, egalitatea ar fi și ea adevărată. Soluțiile unei ecuații din matematică se numesc rădăcinile acesteia.

Metode de rezolvare a ecuațiilor de ordinul doi

Rezolvarea ecuațiilor de acest tip necesită cunoașterea unor teorii despre ele. La cursul de algebră școlară sunt luate în considerare 4 metode diferite de rezolvare. Să le enumerăm:

• folosind factorizarea;
• folosind formula pentru un pătrat perfect;
• prin aplicarea graficului funcției patratice corespunzătoare;
• folosind ecuația discriminantă.

Avantajul primei metode este simplitatea ei; cu toate acestea, nu poate fi folosită pentru toate ecuațiile. A doua metodă este universală, dar oarecum greoaie. A treia metodă se distinge prin claritatea sa, dar nu este întotdeauna convenabilă și aplicabilă. Și, în cele din urmă, utilizarea ecuației discriminante este o modalitate universală și destul de simplă de a găsi rădăcinile oricărei ecuații de ordinul doi. Prin urmare, în acest articol vom lua în considerare doar asta.

Formula pentru obținerea rădăcinilor ecuației

Să ne întoarcem la forma generală a ecuației pătratice. Să o scriem: a*x²+ b*x + c =0. Înainte de a utiliza metoda de rezolvare „printr-un discriminant”, ar trebui să aduceți întotdeauna egalitatea în forma sa scrisă. Adică trebuie să fie compus din trei termeni (sau mai puțin dacă b sau c este 0).

De exemplu, dacă există o expresie: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², atunci ar trebui mai întâi să mutați toți termenii săi într-o parte a egalității și să adăugați termenii care conțin variabila x în aceleași puteri.

În acest caz, această operație va duce la următoarea expresie: -6*x²-4*x+8=0, care este echivalentă cu ecuația 6*x²+4*x-8=0 (aici am înmulțit stânga și părţile drepte ale egalităţii prin -1) .

În exemplul de mai sus, a = 6, b=4, c=-8. Rețineți că toți termenii egalității luate în considerare sunt întotdeauna însumați împreună, deci dacă apare semnul „-”, aceasta înseamnă că coeficientul corespunzător este negativ, ca și numărul c în acest caz.

După ce am examinat acest punct, să trecem acum la formula însăși, care face posibilă obținerea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Arata ca cel din fotografia de mai jos.

După cum se poate vedea din această expresie, vă permite să obțineți două rădăcini (atenție la semnul „±”). Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți coeficienții b, c și a în el.

Conceptul de discriminant

În paragraful anterior, a fost dată o formulă care vă permite să rezolvați rapid orice ecuație de ordinul doi. În ea, expresia radicală este numită discriminant, adică D = b²-4*a*c.

De ce este evidențiată această parte a formulei și chiar a făcut-o Denumirea corectă? Faptul este că discriminantul conectează toți cei trei coeficienți ai ecuației într-o singură expresie. Ultimul faptînseamnă că transportă complet informații despre rădăcini, care pot fi exprimate în următoarea listă:

1. D>0: egalitatea are 2 diverse solutii, ambele fiind numere reale.
2. D=0: Ecuația are o singură rădăcină și este un număr real.

Sarcina de determinare discriminantă

Să dăm un exemplu simplu despre cum să găsim un discriminant. Să fie dată următoarea egalitate: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Să o aducem la forma standard, obținem: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, de la care ajungem la egalitate : -2*x² +2*x-11 = 0. Aici a=-2, b=2, c=-11.

Acum puteți folosi formula de mai sus pentru discriminant: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Numărul rezultat este răspunsul la sarcină. Întrucât în ​​exemplu discriminantul mai putin de zero, atunci putem spune că aceasta ecuație pătratică nu are rădăcini reale. Soluția sa va fi doar numere de tip complex.

Un exemplu de inegalitate prin discriminant

Să rezolvăm probleme de un tip ușor diferit: având în vedere egalitatea -3*x²-6*x+c = 0. Este necesar să găsim valori ale lui c pentru care D>0.

În acest caz, se cunosc doar 2 din 3 coeficienți, deci nu se poate calcula valoarea exactă a discriminantului, dar se știe că este pozitiv. Utilizăm ultimul fapt când compunem inegalitatea: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Rezolvarea inegalității rezultate duce la rezultatul: c>-3.

Să verificăm numărul rezultat. Pentru a face acest lucru, calculăm D pentru 2 cazuri: c=-2 și c=-4. Numărul -2 satisface rezultatul obţinut (-2>-3), discriminantul corespunzător va avea valoarea: D = 12>0. La rândul său, numărul -4 nu satisface inegalitatea (-4. Astfel, orice numere c care sunt mai mari decât -3 vor îndeplini condiția.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații

Să prezentăm o problemă care implică nu numai găsirea discriminantului, ci și rezolvarea ecuației. Este necesar să găsiți rădăcinile pentru egalitatea -2*x²+7-9*x = 0.

În acest exemplu, discriminantul este egal cu următoarea valoare: D = 81-4*(-2)*7= 137. Atunci rădăcinile ecuației sunt determinate după cum urmează: x = (9±√137)/(- 4). Acest valori exacte rădăcini, dacă calculezi rădăcina aproximativ, atunci obții numerele: x = -5,176 și x = 0,676.

Problemă geometrică

Vom rezolva o problemă care va necesita nu numai capacitatea de a calcula discriminantul, ci și aplicarea deprinderilor gândire abstractăși cunoștințe despre cum se scrie ecuații pătratice.

Bob avea o plapumă de 5 x 4 metri. Băiatul a vrut să o coasă pe tot perimetrul bandă continuă din tesatura frumoasa. Cât de groasă va fi această bandă dacă știm că Bob are 10 m² de material.

Lăsați banda să aibă o grosime de x m, apoi aria țesăturii de-a lungul părții lungi a păturii va fi (5+2*x)*x și, deoarece există 2 laturi lungi, avem: 2*x *(5+2*x). Pe partea scurtă, zona țesăturii cusute va fi de 4*x, deoarece există 2 dintre aceste laturi, obținem valoarea 8*x. Rețineți că valoarea 2*x a fost adăugată laturii lungi, deoarece lungimea păturii a crescut cu acel număr. Suprafața totală a țesăturii cusute pe pătură este de 10 m². Prin urmare, obținem egalitatea: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Pentru acest exemplu, discriminantul este egal cu: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Rădăcina sa este 22. Folosind formula, găsim rădăcinile necesare: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Evident, dintre cele două rădăcini, doar numărul 0,5 este potrivit în funcție de condițiile problemei.

Astfel, fâșia de material pe care Bob o coase pe pătură va avea o lățime de 50 cm.

Ecuație cuadratică - ușor de rezolvat! *Denumit în continuare „KU”. Prieteni, s-ar părea că nu poate fi nimic mai simplu în matematică decât rezolvarea unei astfel de ecuații. Dar ceva mi-a spus că mulți oameni au probleme cu el. Am decis să văd câte impresii la cerere oferă Yandex pe lună. Iată ce s-a întâmplat, uite:

Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că aproximativ 70.000 de oameni pe lună caută această informație, ce legătură are această vară cu ea și ce se va întâmpla printre an scolar— vor fi de două ori mai multe cereri. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece băieții și fetele aceia care au absolvit școala cu mult timp în urmă și se pregătesc pentru Examenul Unificat de Stat caută aceste informații, iar școlarii se străduiesc și ei să-și împrospăteze memoria.

În ciuda faptului că există o mulțime de site-uri care vă spun cum să rezolvați această ecuație, am decis să contribui și să public materialul. În primul rând, vreau ca vizitatorii să vină pe site-ul meu pe baza acestei solicitări; în al doilea rând, în alte articole, când apare subiectul „KU”, voi oferi un link către acest articol; în al treilea rând, vă voi spune puțin mai multe despre soluția lui decât se spune de obicei pe alte site-uri. Să începem! Conținutul articolului:

O ecuație pătratică este o ecuație de forma:

unde coeficienții a,bși c sunt numere arbitrare, cu a≠0.

În cursul școlar, materialul este dat în următoarea formă - ecuațiile sunt împărțite în trei clase:

1. Au două rădăcini.

2. *Ai o singură rădăcină.

3. Nu au rădăcini. Merită remarcat în special aici faptul că nu au rădăcini reale

Cum se calculează rădăcinile? Doar!

Calculăm discriminantul. Sub acest cuvânt „îngrozitor” se află o formulă foarte simplă:

Formulele rădăcinilor sunt următoarele:

*Trebuie să știi aceste formule pe de rost.

Puteți nota și rezolva imediat:

Exemplu:

1. Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini.

2. Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină.

3. Dacă D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Să ne uităm la ecuație:

În acest sens, când discriminantul este egal cu zero, cursul școlar spune că se obține o rădăcină, aici este egală cu nouă. Totul este corect, așa este, dar...

Această idee este oarecum incorectă. De fapt, există două rădăcini. Da, da, nu fi surprins, obții două rădăcini egale și, pentru a fi precis din punct de vedere matematic, atunci răspunsul ar trebui să scrie două rădăcini:

x 1 = 3 x 2 = 3

Dar așa este - o mică digresiune. La școală poți să-l notezi și să spui că există o singură rădăcină.

Acum următorul exemplu:

După cum știm, rădăcina unui număr negativ nu poate fi luată, așa că nu există o soluție în acest caz.

Acesta este tot procesul de decizie.

Funcția pătratică.

Aceasta arată cum arată soluția din punct de vedere geometric. Acest lucru este extrem de important de înțeles (în viitor, într-unul dintre articole vom analiza în detaliu soluția la inegalitatea pătratică).

Aceasta este o funcție a formei:

unde x și y sunt variabile

a, b, c – numere date, cu a ≠ 0

Graficul este o parabolă:

Adică, rezultă că rezolvând o ecuație pătratică cu „y” egal cu zero, găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Pot exista două dintre aceste puncte (discriminantul este pozitiv), unul (discriminantul este zero) și niciunul (discriminantul este negativ). Detalii despre funcția pătratică Puteți vizualiza articol de Inna Feldman.

Să ne uităm la exemple:

Exemplul 1: Rezolvați 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Răspuns: x 1 = 8 x 2 = –12

*A fost posibilă împărțirea imediată a părților stânga și dreaptă ale ecuației cu 2, adică simplificarea acesteia. Calculele vor fi mai ușoare.

Exemplul 2: Decide x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Am constatat că x 1 = 11 și x 2 = 11

Este permis să scrieți x = 11 în răspuns.

Răspuns: x = 11

Exemplul 3: Decide x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Discriminantul este negativ, nu există soluție în numerele reale.

Răspuns: nicio soluție

Discriminantul este negativ. Există o soluție!

Aici vom vorbi despre rezolvarea ecuației în cazul în care se obține un discriminant negativ. Știi ceva despre numere complexe? Nu voi intra în detaliu aici despre de ce și unde au apărut și care este rolul și necesitatea lor specifică în matematică; acesta este un subiect pentru un articol separat.

Conceptul de număr complex.

Puțină teorie.

Un număr complex z este un număr de formă

z = a + bi

unde a și b sunt numere reale, i este așa-numita unitate imaginară.

a+bi – acesta este un SINGUR NUMĂR, nu o adăugare.

Unitatea imaginară este egală cu rădăcina lui minus unu:

Acum luați în considerare ecuația:

Obținem două rădăcini conjugate.

Ecuație pătratică incompletă.

Să luăm în considerare cazurile speciale, atunci când coeficientul „b” sau „c” este egal cu zero (sau ambele sunt egale cu zero). Ele pot fi rezolvate cu ușurință, fără discriminare.

Cazul 1. Coeficientul b = 0.

Ecuația devine:

Să transformăm:

Exemplu:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Cazul 2. Coeficientul c = 0.

Ecuația devine:

Să transformăm și să factorizăm:

*Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Exemplu:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 sau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cazul 3. Coeficienții b = 0 și c = 0.

Aici este clar că soluția ecuației va fi întotdeauna x = 0.

Proprietăți utile și modele de coeficienți.

Există proprietăți care vă permit să rezolvați ecuații cu coeficienți mari.

AX 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

A + b+ c = 0, Acea

- dacă pentru coeficienţii ecuaţiei AX 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

A+ c =b, Acea

Aceste proprietăți ajută la rezolvarea unui anumit tip de ecuație.

Exemplul 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Suma cotelor este 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ceea ce înseamnă

Exemplul 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Egalitatea este valabilă A+ c =b, Mijloace

Regularități ale coeficienților.

1. Dacă în ecuația ax 2 + bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Exemplu. Luați în considerare ecuația 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Dacă în ecuația ax 2 – bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Dacă în Ec. ax 2 + bx – c = 0 coeficient „b” este egal cu (a 2 – 1), și coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Dacă în ecuația ax 2 – bx – c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 – 1), iar coeficientul c este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

teorema lui Vieta.

Teorema lui Vieta poartă numele celebrului matematician francez Francois Vieta. Folosind teorema lui Vieta, putem exprima suma și produsul rădăcinilor unui KU arbitrar în termeni de coeficienți.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

În total, numărul 14 dă doar 5 și 9. Acestea sunt rădăcinile. Cu o anumită îndemânare, folosind teorema prezentată, poți rezolva imediat multe ecuații pătratice pe cale orală.

Teorema lui Vieta, în plus. Este convenabil prin faptul că, după rezolvarea unei ecuații pătratice în mod obișnuit (printr-un discriminant), rădăcinile rezultate pot fi verificate. Recomand să faci asta mereu.

METODA DE TRANSPORT

Cu această metodă, coeficientul „a” este înmulțit cu termenul liber, ca și cum ar fi „aruncat” acestuia, motiv pentru care se numește metoda „transferului”. Această metodă este folosită atunci când rădăcinile ecuației pot fi găsite cu ușurință folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

Dacă A± b+c≠ 0, atunci se utilizează tehnica de transfer, de exemplu:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Folosind teorema lui Vieta din ecuația (2), este ușor de determinat că x 1 = 10 x 2 = 1

Rădăcinile rezultate ale ecuației trebuie împărțite la 2 (deoarece cele două au fost „aruncate” din x 2), obținem

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Care este rațiunea? Uite ce se întâmplă.

Discriminanții ecuațiilor (1) și (2) sunt egali:

Dacă te uiți la rădăcinile ecuațiilor, obții doar numitori diferiți, iar rezultatul depinde tocmai de coeficientul lui x 2:

Al doilea (modificat) are rădăcini de 2 ori mai mari.

Prin urmare, împărțim rezultatul la 2.

*Dacă reluăm cele trei, vom împărți rezultatul la 3 etc.

Răspuns: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mp. ur-ie și examenul de stat unificat.

Vă voi spune pe scurt despre importanța sa - TREBUIE SĂ PUTEȚI DECIZI rapid și fără să stați pe gânduri, trebuie să cunoașteți pe de rost formulele rădăcinilor și discriminanților. Multe dintre problemele incluse în sarcinile Unified State Examination se rezumă la rezolvarea unei ecuații pătratice (inclusiv cele geometrice).

Ceva demn de remarcat!

1. Forma de scriere a unei ecuații poate fi „implicita”. De exemplu, următoarea intrare este posibilă:

15+ 9x 2 - 45x = 0 sau 15x+42+9x 2 - 45x=0 sau 15 -5x+10x 2 = 0.

Trebuie să îl aduceți într-o formă standard (pentru a nu vă încurca atunci când rezolvați).

2. Amintiți-vă că x este o cantitate necunoscută și poate fi notat cu orice altă literă - t, q, p, h și altele.

Primul nivel

Ecuații cuadratice. Ghid cuprinzător (2019)

În termenul „ecuație pătratică”, cuvântul cheie este „quadratic”. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să conțină în mod necesar o variabilă (același x) pătrat și nu ar trebui să existe x la cea de-a treia putere (sau mai mare).

Rezolvarea multor ecuații se reduce la rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Să învățăm să determinăm că aceasta este o ecuație pătratică și nu o altă ecuație.

Exemplul 1.

Să scăpăm de numitor și să înmulțim fiecare termen al ecuației cu

Să mutăm totul la partea stangași aranjați termenii în ordinea descrescătoare a puterilor lui x

Acum putem spune cu încredere că ecuația dată este pătrat!

Exemplul 2.

Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu:

Această ecuație, deși a fost inițial în ea, nu este pătratică!

Exemplul 3.

Să înmulțim totul cu:

Infricosator? Gradul al patrulea și al doilea... Totuși, dacă facem o înlocuire, vom vedea că avem o ecuație pătratică simplă:

Exemplul 4.

Se pare că este acolo, dar să aruncăm o privire mai atentă. Să mutăm totul în partea stângă:

Vezi, este redusă - și acum este o simplă ecuație liniară!

Acum încercați să determinați singuri care dintre următoarele ecuații sunt pătratice și care nu:

Exemple:

Raspunsuri:

1. pătrat;
2. pătrat;
3. nu pătrat;
4. nu pătrat;
5. nu pătrat;
6. pătrat;
7. nu pătrat;
8. pătrat.

În mod convențional, matematicienii împart toate ecuațiile pătratice în următoarele tipuri:

• Completează ecuațiile pătratice- ecuații în care coeficienții și, precum și termenul liber c, nu sunt egali cu zero (ca în exemplu). În plus, printre ecuațiile pătratice complete există dat- acestea sunt ecuații în care coeficientul (ecuația din exemplul unu este nu numai completă, ci și redusă!)

• Ecuații patratice incomplete- ecuații în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:

  Sunt incomplete pentru că le lipsește un element. Dar ecuația trebuie să conțină întotdeauna x pătrat!!! În caz contrar, nu va mai fi o ecuație pătratică, ci o altă ecuație.

De ce au venit cu o asemenea împărțire? S-ar părea că există un X pătrat și bine. Această împărțire este determinată de metodele de soluție. Să ne uităm la fiecare dintre ele mai detaliat.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

În primul rând, să ne concentrăm pe rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mult mai simple!

Există tipuri de ecuații pătratice incomplete:

1. , în această ecuație coeficientul este egal.
2. , în această ecuație termenul liber este egal cu.
3. , în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

1. i. Pentru că știm să extragem Rădăcină pătrată, atunci să exprimăm din această ecuație

Expresia poate fi fie negativă, fie pozitivă. Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece la înmulțirea a două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv, deci: dacă, atunci ecuația nu are soluții.

Și dacă, atunci obținem două rădăcini. Nu este nevoie să memorezi aceste formule. Principalul lucru este că trebuie să știți și să vă amintiți întotdeauna că nu poate fi mai puțin.

Să încercăm să rezolvăm câteva exemple.

Exemplul 5:

Rezolvați ecuația

Acum tot ce rămâne este să extragi rădăcina din partea stângă și dreaptă. La urma urmei, îți amintești cum să extragi rădăcini?

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!!!

Exemplul 6:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 7:

Rezolvați ecuația

Oh! Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini!

Pentru astfel de ecuații care nu au rădăcini, matematicienii au venit cu o pictogramă specială - (set gol). Și răspunsul poate fi scris astfel:

Răspuns:

Astfel, această ecuație pătratică are două rădăcini. Nu există restricții aici, deoarece nu am extras rădăcina.
Exemplul 8:

Rezolvați ecuația

Să scoatem factorul comun din paranteze:

Prin urmare,

Această ecuație are două rădăcini.

Răspuns:

Cel mai simplu tip de ecuații pătratice incomplete (deși toate sunt simple, nu?). Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Ne vom dispensa de exemple aici.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete

Vă reamintim că o ecuație pătratică completă este o ecuație a ecuației de formă unde

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete este puțin mai dificilă (doar puțin) decât acestea.

Tine minte, Orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant! Chiar incomplet.

Celelalte metode te vor ajuta să o faci mai repede, dar dacă ai probleme cu ecuațiile pătratice, mai întâi stăpânește soluția folosind discriminantul.

1. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind un discriminant.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind această metodă este foarte simplă; principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule.

Dacă, atunci ecuația are rădăcină. Atentie speciala Fă un pas. Discriminantul () ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

• Dacă, atunci formula din pas se va reduce la. Astfel, ecuația va avea doar o rădăcină.
• Dacă, atunci nu vom putea extrage rădăcina discriminantului la pas. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

Să ne întoarcem la ecuațiile noastre și să vedem câteva exemple.

Exemplul 9:

Rezolvați ecuația

Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că ecuația are două rădăcini.

Pasul 3.

Răspuns:

Exemplul 10:

Rezolvați ecuația

Ecuația este prezentată în formă standard, deci Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină.

Răspuns:

Exemplul 11:

Rezolvați ecuația

Ecuația este prezentată în formă standard, deci Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că nu vom putea extrage rădăcina discriminantului. Nu există rădăcini ale ecuației.

Acum știm cum să scriem corect astfel de răspunsuri.

Răspuns: fara radacini

2. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta.

Dacă vă amintiți, există un tip de ecuație care se numește redusă (când coeficientul a este egal cu):

Astfel de ecuații sunt foarte ușor de rezolvat folosind teorema lui Vieta:

Suma rădăcinilor dat ecuația pătratică este egală, iar produsul rădăcinilor este egal.

Exemplul 12:

Rezolvați ecuația

Această ecuație poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta deoarece .

Suma rădăcinilor ecuației este egală, adică. obținem prima ecuație:

Și produsul este egal cu:

Să compunem și să rezolvăm sistemul:

• Și. Suma este egală cu;
• Și. Suma este egală cu;
• Și. Suma este egală.

și sunt soluția pentru sistem:

Răspuns: ; .

Exemplul 13:

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 14:

Rezolvați ecuația

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Răspuns:

ECUAȚII CADRATICE. NIVEL MEDIU

Ce este o ecuație pătratică?

Cu alte cuvinte, o ecuație pătratică este o ecuație de forma, unde - necunoscutul, - unele numere și.

Numărul se numește cel mai mare sau primul coeficient ecuație pătratică, - al doilea coeficient, A - membru gratuit.

De ce? Pentru că dacă ecuația devine imediat liniară, pentru că va disparea.

În acest caz, și poate fi egal cu zero. În această ecuație de scaun se numește incompletă. Dacă toți termenii sunt la locul lor, adică, ecuația este completă.

Soluții la diferite tipuri de ecuații pătratice

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete:

În primul rând, să ne uităm la metodele de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mai simple.

Putem distinge următoarele tipuri de ecuații:

I., în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

II. , în această ecuație coeficientul este egal.

III. , în această ecuație termenul liber este egal cu.

Acum să ne uităm la soluția pentru fiecare dintre aceste subtipuri.

Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece atunci când înmulțiți două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv. De aceea:

dacă, atunci ecuația nu are soluții;

dacă avem două rădăcini

Nu este nevoie să memorezi aceste formule. Principalul lucru de reținut este că nu poate fi mai puțin.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!

Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini.

Pentru a nota pe scurt că o problemă nu are soluții, folosim pictograma set gol.

Răspuns:

Deci, această ecuație are două rădăcini: și.

Răspuns:

Să scoatem factorul comun din paranteze:

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Aceasta înseamnă că ecuația are o soluție atunci când:

Deci, această ecuație pătratică are două rădăcini: și.

Exemplu:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Să factorizăm partea stângă a ecuației și să găsim rădăcinile:

Răspuns:

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice complete:

1. Discriminant

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este ușoară, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule. Amintiți-vă, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant! Chiar incomplet.

Ați observat rădăcina de la discriminant în formula pentru rădăcini? Dar discriminantul poate fi negativ. Ce să fac? Trebuie să acordăm o atenție deosebită pasului 2. Discriminantul ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

• Dacă, atunci ecuația are rădăcini:
• Dacă, atunci ecuația are aceleași rădăcini și, de fapt, o rădăcină:

  Astfel de rădăcini se numesc rădăcini duble.

• Dacă, atunci rădăcina discriminantului nu este extrasă. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

De ce este posibil cantități diferite rădăcini? Să ne întoarcem la sens geometric ecuație pătratică. Graficul funcției este o parabolă:

Într-un caz special, care este o ecuație pătratică, . Aceasta înseamnă că rădăcinile unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție cu axa (axa) absciselor. O parabolă poate să nu intersecteze axa deloc sau o poate intersecta într-unul (când vârful parabolei se află pe axă) sau două puncte.

În plus, coeficientul este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă, atunci în jos.

Exemple:

Solutii:

Răspuns:

Răspuns: .

Răspuns:

Asta înseamnă că nu există soluții.

Răspuns: .

2. Teorema lui Vieta

Este foarte ușor de folosit teorema lui Vieta: trebuie doar să alegeți o pereche de numere al căror produs este egal cu termenul liber al ecuației, iar suma este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus.

Este important să ne amintim că teorema lui Vieta poate fi aplicată numai în ecuații pătratice reduse ().

Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul #1:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Această ecuație poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta deoarece . Alți coeficienți: ; .

Suma rădăcinilor ecuației este:

Și produsul este egal cu:

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal și să verificăm dacă suma lor este egală:

• Și. Suma este egală cu;
• Și. Suma este egală cu;
• Și. Suma este egală.

și sunt soluția pentru sistem:

Astfel, și sunt rădăcinile ecuației noastre.

Răspuns: ; .

Exemplul #2:

Soluţie:

Să selectăm perechi de numere care dau în produs și apoi să verificăm dacă suma lor este egală:

si: dau in total.

si: dau in total. Pentru a obține, este suficient să schimbați pur și simplu semnele presupuselor rădăcini: și, la urma urmei, produsul.

Răspuns:

Exemplul #3:

Soluţie:

Termenul liber al ecuației este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este un număr negativ. Acest lucru este posibil numai dacă una dintre rădăcini este negativă, iar cealaltă este pozitivă. Prin urmare, suma rădăcinilor este egală cu diferențele modulelor lor.

Să selectăm perechi de numere care dau în produs și a căror diferență este egală cu:

și: diferența lor este egală - nu se potrivește;

și: - neadecvat;

și: - neadecvat;

şi: - potrivite. Tot ce rămâne este să ne amintim că una dintre rădăcini este negativă. Deoarece suma lor trebuie să fie egală, rădăcina cu modulul mai mic trebuie să fie negativă: . Verificăm:

Răspuns:

Exemplul #4:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Termenul liber este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este negativ. Și acest lucru este posibil numai atunci când o rădăcină a ecuației este negativă, iar cealaltă este pozitivă.

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal și apoi să determinăm care rădăcini ar trebui să aibă semn negativ:

Evident, doar rădăcinile și sunt potrivite pentru prima condiție:

Răspuns:

Exemplul #5:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Suma rădăcinilor este negativă, ceea ce înseamnă că cel puțin una dintre rădăcini este negativă. Dar, deoarece produsul lor este pozitiv, înseamnă că ambele rădăcini au semnul minus.

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal cu:

Evident, rădăcinile sunt numerele și.

Răspuns:

De acord, este foarte convenabil să veniți cu rădăcini oral, în loc să numărați acest discriminant urât. Încercați să utilizați teorema lui Vieta cât mai des posibil.

Dar teorema lui Vieta este necesară pentru a facilita și accelera găsirea rădăcinilor. Pentru a beneficia de pe urma folosirii lui, trebuie să aduci acțiunile la automatitate. Și pentru asta, rezolvă încă cinci exemple. Dar nu înșela: nu poți folosi un discriminant! Doar teorema lui Vieta:

Soluții la sarcini pentru munca independentă:

Sarcina 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Conform teoremei lui Vieta:

Ca de obicei, începem selecția cu piesa:

Nu este potrivit pentru că suma;

: suma este exact ceea ce ai nevoie.

Răspuns: ; .

Sarcina 2.

Și din nou teorema noastră preferată Vieta: suma trebuie să fie egală, iar produsul trebuie să fie egal.

Dar din moment ce nu trebuie să fie, dar, schimbăm semnele rădăcinilor: și (în total).

Răspuns: ; .

Sarcina 3.

Hmm... Unde este asta?

Trebuie să mutați toți termenii într-o singură parte:

Suma rădăcinilor este egală cu produsul.

Bine, oprește-te! Ecuația nu este dată. Dar teorema lui Vieta este aplicabilă numai în ecuațiile date. Deci mai întâi trebuie să dați o ecuație. Dacă nu poți conduce, renunță la această idee și rezolvă-o într-un alt mod (de exemplu, printr-un discriminant). Permiteți-mi să vă reamintesc că a da o ecuație pătratică înseamnă a egaliza coeficientul principal:

Grozav. Apoi suma rădăcinilor este egală cu și produsul.

Aici este la fel de ușor ca decojirea perelor să alegi: la urma urmei, este un număr prim (scuze pentru tautologie).

Răspuns: ; .

Sarcina 4.

Membrul liber este negativ. Ce e special la asta? Și adevărul este că rădăcinile vor avea semne diferite. Și acum, în timpul selecției, verificăm nu suma rădăcinilor, ci diferența dintre modulele lor: această diferență este egală, dar un produs.

Deci, rădăcinile sunt egale cu și, dar una dintre ele este minus. Teorema lui Vieta ne spune că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, adică. Aceasta înseamnă că rădăcina mai mică va avea un minus: și, din moment ce.

Răspuns: ; .

Sarcina 5.

Ce ar trebui să faci mai întâi? Așa este, dați ecuația:

Din nou: selectăm factorii numărului, iar diferența lor ar trebui să fie egală cu:

Rădăcinile sunt egale cu și, dar una dintre ele este minus. Care? Suma lor ar trebui să fie egală, ceea ce înseamnă că minusul va avea o rădăcină mai mare.

Răspuns: ; .

Lasă-mă să rezum:

1. Teorema lui Vieta este folosită numai în ecuațiile pătratice date.
2. Folosind teorema lui Vieta, puteți găsi rădăcinile prin selecție, oral.
3. Dacă ecuația nu este dată sau nu este găsită nicio ecuație pereche potrivită multiplicatori ai termenului liber, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini întregi și trebuie să-l rezolvați într-un alt mod (de exemplu, printr-un discriminant).

3. Metoda de selectare a unui pătrat complet

Dacă toți termenii care conțin necunoscutul sunt reprezentați sub formă de termeni din formule de înmulțire prescurtate - pătratul sumei sau al diferenței - atunci după înlocuirea variabilelor, ecuația poate fi prezentată sub forma unei ecuații pătratice incomplete de tipul.

De exemplu:

Exemplul 1:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

Exemplul 2:

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

ÎN vedere generala transformarea va arata astfel:

Asta implică: .

Nu-ți aduce aminte de nimic? Acesta este un lucru discriminatoriu! Exact așa am obținut formula discriminantă.

ECUAȚII CADRATICE. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Ecuație pătratică- aceasta este o ecuație de formă, unde - necunoscutul, - coeficienții ecuației pătratice, - termenul liber.

Ecuație pătratică completă- o ecuație în care coeficienții nu sunt egali cu zero.

Ecuație pătratică redusă- o ecuaţie în care coeficientul, adică: .

Ecuație pătratică incompletă- o ecuație în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:

• dacă coeficientul, ecuația arată astfel: ,
• dacă există un termen liber, ecuația are forma: ,
• dacă și, ecuația arată astfel: .

1. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

1.1. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să exprimăm necunoscutul: ,

2) Verificați semnul expresiei:

• dacă, atunci ecuația nu are soluții,
• dacă, atunci ecuația are două rădăcini.

1.2. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să scoatem factorul comun din paranteze: ,

2) Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Prin urmare, ecuația are două rădăcini:

1.3. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

Această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină: .

2. Algoritm pentru rezolvarea ecuaţiilor pătratice complete de forma unde

2.1. Soluție folosind discriminant

1) Să aducem ecuația la forma standard: ,

2) Să calculăm discriminantul folosind formula: , care indică numărul de rădăcini ale ecuației:

3) Aflați rădăcinile ecuației:

• dacă, atunci ecuația are rădăcini, care se găsesc prin formula:
• dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
• dacă, atunci ecuația nu are rădăcini.

2.2. Rezolvare folosind teorema lui Vieta

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse (ecuația formei unde) este egală, iar produsul rădăcinilor este egal, i.e. , A.

2.3. Rezolvare prin metoda selectării unui pătrat complet

Dacă o ecuație pătratică de formă are rădăcini, atunci se poate scrie sub forma: .

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliată si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - 499 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Continuând subiectul „Rezolvarea ecuațiilor”, materialul din acest articol vă va introduce în ecuațiile pătratice.

Să ne uităm la totul în detaliu: esența și înregistrarea ecuației pătratice, definiți termenii asociați, analizați schema pentru rezolvarea incompletă și ecuații complete, să ne familiarizăm cu formula rădăcinilor și discriminantului, să stabilim conexiuni între rădăcini și coeficienți și, bineînțeles, vom oferi o soluție vizuală exemplelor practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ecuația pătratică, tipurile sale

Definiția 1

Ecuație pătratică este o ecuație scrisă ca a x 2 + b x + c = 0, Unde X– variabilă, a , b și c– unele numere, în timp ce A nu este zero.

Adesea, ecuațiile pătratice sunt numite și ecuații de gradul doi, deoarece în esență o ecuație pătratică este ecuație algebrică gradul doi.

Să dăm un exemplu pentru a ilustra definiția dată: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 etc. Acestea sunt ecuații pătratice.

Definiția 2

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice a x 2 + b x + c = 0, în timp ce coeficientul A se numește primul, sau senior, sau coeficient la x 2, b - al doilea coeficient, sau coeficient la X, A c numit membru liber.

De exemplu, în ecuația pătratică 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 coeficientul principal este 6, al doilea coeficient este − 2 , iar termenul liber este egal cu − 11 . Să fim atenți la faptul că atunci când coeficienții bși/sau c sunt negative, apoi folosiți forma scurtaînregistrări ca 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, dar nu 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Să lămurim şi acest aspect: dacă coeficienţii Ași/sau b egal 1 sau − 1 , atunci ei nu pot participa în mod explicit la scrierea ecuației pătratice, ceea ce se explică prin particularitățile scrierii coeficienților numerici indicați. De exemplu, în ecuația pătratică y 2 − y + 7 = 0 coeficientul principal este 1, iar al doilea coeficient este − 1 .

Ecuații patratice reduse și nereduse

Pe baza valorii primului coeficient, ecuațiile pătratice sunt împărțite în reduse și nereduse.

Definiția 3

Ecuație pătratică redusă este o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1. Pentru alte valori ale coeficientului principal, ecuația pătratică este neredusă.

Să dăm exemple: ecuațiile pătratice x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sunt reduse, în fiecare dintre ele coeficientul principal este 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- ecuație pătratică neredusă, unde primul coeficient este diferit de 1 .

Orice ecuație pătratică neredusă poate fi convertită într-o ecuație redusă prin împărțirea ambelor părți la primul coeficient (transformare echivalentă). Ecuația transformată va avea aceleași rădăcini ca și ecuația neredusă dată sau, de asemenea, nu va avea deloc rădăcini.

Considerare exemplu concret ne va permite să demonstrăm clar trecerea de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplul 1

Având în vedere ecuația 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Este necesar să convertiți ecuația originală în forma redusă.

Soluţie

Conform schemei de mai sus, împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul de conducere 6. Apoi obținem: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, și acesta este același cu: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0și mai departe: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. De aici: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Astfel, se obține o ecuație echivalentă cu cea dată.

Răspuns: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Ecuații pătratice complete și incomplete

Să ne întoarcem la definiția unei ecuații pătratice. În el am precizat că a ≠ 0. O condiție similară este necesară pentru ecuație a x 2 + b x + c = 0 era tocmai pătrat, din moment ce or a = 0 se transformă în esență într-o ecuație liniară b x + c = 0.

În cazul în care coeficienţii bȘi c sunt egale cu zero (ceea ce este posibil, atât individual, cât și în comun), ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiția 4

Ecuație pătratică incompletă- o astfel de ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, unde cel puţin unul dintre coeficienţi bȘi c(sau ambele) este zero.

Ecuație pătratică completă– o ecuație pătratică în care toți coeficienții numerici nu sunt egali cu zero.

Să discutăm de ce tipurilor de ecuații pătratice li se dau exact aceste nume.

Când b = 0, ecuația pătratică ia forma a x 2 + 0 x + c = 0, care este la fel ca a x 2 + c = 0. La c = 0 ecuația pătratică se scrie ca a x 2 + b x + 0 = 0, care este echivalent a x 2 + b x = 0. La b = 0Și c = 0 ecuația va lua forma a x 2 = 0. Ecuațiile pe care le-am obținut diferă de ecuația pătratică completă prin aceea că laturile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber, sau ambele. De fapt, acest fapt a dat numele acestui tip de ecuație – incompletă.

De exemplu, x 2 + 3 x + 4 = 0 și − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sunt ecuații patratice complete; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ecuații patratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Definiția dată mai sus face posibilă evidențierea următoarele tipuri ecuații patratice incomplete:

• a x 2 = 0, această ecuație corespunde coeficienților b = 0şi c = 0;
• a · x 2 + c = 0 la b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 la c = 0.

Să considerăm secvenţial soluţia fiecărui tip de ecuaţie pătratică incompletă.

Rezolvarea ecuației a x 2 =0

După cum am menționat mai sus, această ecuație corespunde coeficienților bȘi c, egal cu zero. Ecuația a x 2 = 0 poate fi transformată într-o ecuație echivalentă x 2 = 0, pe care îl obținem împărțind ambele părți ale ecuației inițiale la număr A, nu este egal cu zero. Faptul evident este că rădăcina ecuației x 2 = 0 acesta este zero pentru că 0 2 = 0 . Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce poate fi explicat prin proprietățile gradului: pentru orice număr p, nu este egal cu zero, inegalitatea este adevărată p 2 > 0, din care rezultă că atunci când p ≠ 0 egalitate p 2 = 0 nu va fi niciodată atins.

Definiția 5

Astfel, pentru ecuația pătratică incompletă a x 2 = 0 există o singură rădăcină x = 0.

Exemplul 2

De exemplu, să rezolvăm o ecuație pătratică incompletă − 3 x 2 = 0. Este echivalent cu ecuația x 2 = 0, singura sa rădăcină este x = 0, atunci ecuația originală are o singură rădăcină - zero.

Pe scurt, soluția este scrisă după cum urmează:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rezolvarea ecuației a x 2 + c = 0

Urmează pe linie soluția ecuațiilor pătratice incomplete, unde b = 0, c ≠ 0, adică ecuații de forma a x 2 + c = 0. Să transformăm această ecuație prin mutarea unui termen dintr-o parte a ecuației în cealaltă, schimbând semnul în cel opus și împărțind ambele părți ale ecuației la un număr care nu este egal cu zero:

• transfer cîn partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 = − c;
• împărțiți ambele părți ale ecuației cu A, ajungem cu x = - c a .

Transformările noastre sunt echivalente; în consecință, ecuația rezultată este, de asemenea, echivalentă cu cea originală, iar acest fapt face posibilă tragerea de concluzii despre rădăcinile ecuației. Din ceea ce sunt valorile AȘi c valoarea expresiei - c a depinde: poate avea semnul minus (de exemplu, dacă a = 1Și c = 2, atunci - c a = - 2 1 = - 2) sau un semn plus (de exemplu, dacă a = − 2Și c = 6, atunci - c a = - 6 - 2 = 3); nu este zero pentru că c ≠ 0. Să ne oprim mai în detaliu asupra situațiilor când - c a< 0 и - c a > 0 .

În cazul în care - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p egalitatea p 2 = - c a nu poate fi adevărată.

Totul este diferit când - c a > 0: amintiți-vă rădăcina pătrată și va deveni evident că rădăcina ecuației x 2 = - c a va fi numărul - c a, deoarece - c a 2 = - c a. Nu este greu de înțeles că numărul - - c a este și rădăcina ecuației x 2 = - c a: într-adevăr, - - c a 2 = - c a.

Ecuația nu va avea alte rădăcini. Putem demonstra acest lucru folosind metoda contradicției. Pentru început, să definim notațiile pentru rădăcinile găsite mai sus ca x 1Și − x 1. Să presupunem că ecuația x 2 = - c a are și rădăcină x 2, care este diferit de rădăcini x 1Și − x 1. Știm că înlocuind în ecuație X rădăcinile sale, transformăm ecuația într-o egalitate numerică corectă.

Pentru x 1Și − x 1 scriem: x 1 2 = - c a , iar pentru x 2- x 2 2 = - c a . Pe baza proprietăților egalităților numerice, scădem un termen de egalitate corect cu termen dintr-un altul, ceea ce ne va da: x 1 2 − x 2 2 = 0. Folosim proprietățile operațiilor cu numere pentru a rescrie ultima egalitate ca (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Se știe că produsul a două numere este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre numere este zero. Din cele de mai sus rezultă că x 1 − x 2 = 0și/sau x 1 + x 2 = 0, care este la fel x 2 = x 1și/sau x 2 = − x 1. A apărut o contradicție evidentă, deoarece la început s-a convenit că rădăcina ecuației x 2 difera de x 1Și − x 1. Deci, am demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini decât x = - c a și x = - - c a.

Să rezumam toate argumentele de mai sus.

Definiția 6

Ecuație pătratică incompletă a x 2 + c = 0 este echivalentă cu ecuația x 2 = - c a, care:

• nu va avea rădăcini la - c a< 0 ;
• va avea două rădăcini x = - c a și x = - - c a pentru - c a > 0.

Să dăm exemple de rezolvare a ecuațiilor a x 2 + c = 0.

Exemplul 3

Având în vedere o ecuație pătratică 9 x 2 + 7 = 0. Este necesar să găsim o soluție.

Soluţie

Să mutam termenul liber în partea dreaptă a ecuației, apoi ecuația va lua forma 9 x 2 = − 7.
Să împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la 9 , ajungem la x 2 = - 7 9 . În partea dreaptă vedem un număr cu semnul minus, ceea ce înseamnă: ecuația dată nu are rădăcini. Apoi ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 + 7 = 0 nu va avea rădăcini.

Răspuns: ecuația 9 x 2 + 7 = 0 nu are rădăcini.

Exemplul 4

Ecuația trebuie rezolvată − x 2 + 36 = 0.

Soluţie

Să mutăm 36 în partea dreaptă: − x 2 = − 36.
Să împărțim ambele părți la − 1 , primim x 2 = 36. În partea dreaptă există un număr pozitiv, din care putem concluziona că x = 36 sau x = - 36 .
Să extragem rădăcina și să notăm rezultatul final: ecuație pătratică incompletă − x 2 + 36 = 0 are două rădăcini x=6 sau x = − 6.

Răspuns: x=6 sau x = − 6.

Rezolvarea ecuației a x 2 +b x=0

Să analizăm al treilea tip de ecuații pătratice incomplete, când c = 0. Pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică incompletă a x 2 + b x = 0, vom folosi metoda factorizării. Să factorizăm polinomul care se află în partea stângă a ecuației, luând factorul comun din paranteze X. Acest pas va face posibilă transformarea ecuației pătratice incomplete inițiale în echivalentul ei x (a x + b) = 0. Și această ecuație, la rândul său, este echivalentă cu un set de ecuații x = 0Și a x + b = 0. Ecuația a x + b = 0 liniară și rădăcina sa: x = − b a.

Definiția 7

Astfel, ecuația pătratică incompletă a x 2 + b x = 0 va avea două rădăcini x = 0Și x = − b a.

Să întărim materialul cu un exemplu.

Exemplul 5

Este necesar să găsim o soluție la ecuația 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Soluţie

O vom scoate Xîn afara parantezelor obținem ecuația x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Această ecuație este echivalentă cu ecuațiile x = 0și 2 3 x - 2 2 7 = 0. Acum ar trebui să rezolvați ecuația liniară rezultată: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Scrieți pe scurt soluția ecuației după cum urmează:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau x = 3 3 7

Răspuns: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminant, formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Pentru a găsi soluții la ecuații pătratice, există o formulă rădăcină:

Definiția 8

x = - b ± D 2 · a, unde D = b 2 − 4 a c– așa-numitul discriminant al unei ecuații pătratice.

Scrierea x = - b ± D 2 · a înseamnă în esență că x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Ar fi util să înțelegem cum a fost derivată această formulă și cum să o aplici.

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să ne confruntăm cu sarcina de a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0. Să efectuăm o serie de transformări echivalente:

• împărțiți ambele părți ale ecuației la un număr A, diferit de zero, obținem următoarea ecuație pătratică: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Să selectăm pătratul complet din partea stângă a ecuației rezultate:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  După aceasta, ecuația va lua forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Acum este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă, schimbând semnul în opus, după care obținem: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• În cele din urmă, transformăm expresia scrisă în partea dreaptă a ultimei egalități:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Astfel, ajungem la ecuația x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , echivalentă cu ecuația inițială a x 2 + b x + c = 0.

Am analizat soluția unor ecuații similare în paragrafele anterioare(rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete). Experiența acumulată deja face posibilă tragerea unei concluzii cu privire la rădăcinile ecuației x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• cu b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• când b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 ecuația este x + b 2 · a 2 = 0, atunci x + b 2 · a = 0.

De aici singura rădăcină x = - b 2 · a este evidentă;

• pentru b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, următoarele vor fi adevărate: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 sau x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , care este același cu x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 sau x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , adică. ecuația are două rădăcini.

Se poate concluziona că prezența sau absența rădăcinilor ecuației x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (și, prin urmare, ecuația inițială) depinde de semnul expresiei b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 scris în partea dreaptă. Iar semnul acestei expresii este dat de semnul numărătorului, (numitorul 4 la 2 va fi întotdeauna pozitiv), adică semnul expresiei b 2 − 4 a c. Această expresie b 2 − 4 a c se dă denumirea - discriminantul ecuației pătratice și litera D este definită ca desemnare a acesteia. Aici puteți nota esența discriminantului - pe baza valorii și semnului acestuia, ei pot concluziona dacă ecuația pătratică va avea rădăcini reale și, dacă da, care este numărul de rădăcini - una sau două.

Să revenim la ecuația x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Să o rescriem folosind notația discriminantă: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Să formulăm din nou concluziile noastre:

Definiția 9

• la D< 0 ecuația nu are rădăcini reale;
• la D=0 ecuaţia are o singură rădăcină x = - b 2 · a ;
• la D > 0 ecuația are două rădăcini: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 sau x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Pe baza proprietăților radicalilor, aceste rădăcini pot fi scrise sub forma: x = - b 2 · a + D 2 · a sau - b 2 · a - D 2 · a. Și, când deschidem modulele și aducem fracțiile la un numitor comun, obținem: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Deci, rezultatul raționamentului nostru a fost derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminant D calculate prin formula D = b 2 − 4 a c.

Aceste formule fac posibilă determinarea ambelor rădăcini reale atunci când discriminantul este mai mare decât zero. Când discriminantul este zero, aplicarea ambelor formule va da aceeași rădăcină ca singura soluție a ecuației pătratice. În cazul în care discriminantul este negativ, dacă încercăm să folosim formula rădăcinii pătratice, ne vom confrunta cu necesitatea de a lua rădăcina pătrată a unui număr negativ, ceea ce ne va duce dincolo de sfera numerelor reale. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu va avea rădăcini reale, dar este posibilă o pereche de rădăcini conjugate complexe, determinate de aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

Este posibil să se rezolve o ecuație pătratică folosind imediat formula rădăcinii, dar acest lucru se face în general atunci când este necesar să se găsească rădăcini complexe.

În majoritatea cazurilor, înseamnă de obicei să nu căutați rădăcini complexe, ci reale ale unei ecuații pătratice. Atunci este optim, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, să determinați mai întâi discriminantul și să vă asigurați că acesta nu este negativ (în caz contrar vom concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), apoi să trecem la calcularea valoarea rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus face posibilă formularea unui algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice.

Definiția 10

Pentru a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, necesar:

• conform formulei D = b 2 − 4 a c găsiți valoarea discriminantă;
• la D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pentru D = 0, găsiți singura rădăcină a ecuației folosind formula x = - b 2 · a ;
• pentru D > 0, determinați două rădăcini reale ale ecuației pătratice folosind formula x = - b ± D 2 · a.

Rețineți că atunci când discriminantul este zero, puteți utiliza formula x = - b ± D 2 · a, va da același rezultat ca și formula x = - b 2 · a.

Să ne uităm la exemple.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Să dăm o soluție la exemplele pt sensuri diferite discriminant.

Exemplul 6

Trebuie să găsim rădăcinile ecuației x 2 + 2 x − 6 = 0.

Soluţie

Să notăm coeficienții numerici ai ecuației pătratice: a = 1, b = 2 și c = − 6. În continuare procedăm conform algoritmului, adică. Să începem să calculăm discriminantul, pentru care vom înlocui coeficienții a, b Și cîn formula discriminantă: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Deci obținem D > 0, ceea ce înseamnă că ecuația originală va avea două rădăcini reale.
Pentru a le găsi, folosim formula rădăcină x = - b ± D 2 · a și, înlocuind valorile corespunzătoare, obținem: x = - 2 ± 28 2 · 1. Să simplificăm expresia rezultată prin eliminarea factorului din semnul rădăcinii și apoi reducând fracția:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 sau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 sau x = - 1 - 7

Răspuns: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Exemplul 7

Trebuie să rezolvăm o ecuație pătratică − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Soluţie

Să definim discriminantul: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Cu această valoare a discriminantului, ecuația inițială va avea o singură rădăcină, determinată de formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Răspuns: x = 3,5.

Exemplul 8

Ecuația trebuie rezolvată 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Soluţie

Coeficienții numerici ai acestei ecuații vor fi: a = 5, b = 6 și c = 2. Folosim aceste valori pentru a găsi discriminantul: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Discriminantul calculat este negativ, astfel încât ecuația pătratică originală nu are rădăcini reale.

În cazul în care sarcina este de a indica rădăcini complexe, aplicăm formula rădăcinii, efectuând acțiuni cu numere complexe:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 sau x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i sau x = - 3 5 - 1 5 · i.

Răspuns: nu există rădăcini reale; rădăcinile complexe sunt următoarele: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

ÎN curiculumul scolar Nu există o cerință standard de a căuta rădăcini complexe, prin urmare, dacă în timpul soluției discriminantul este determinat ca fiind negativ, răspunsul este imediat scris că nu există rădăcini reale.

Formula rădăcină pentru chiar al doilea coeficienți

Formula rădăcină x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) face posibilă obținerea unei alte formule, mai compacte, care să permită găsirea soluțiilor ecuațiilor pătratice cu coeficient par pentru x ( sau cu un coeficient de forma 2 · n, de exemplu, 2 3 sau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Să arătăm cum este derivată această formulă.

Să ne confruntăm cu sarcina de a găsi o soluție la ecuația pătratică a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Procedăm conform algoritmului: determinăm discriminantul D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), iar apoi folosim formula rădăcinii:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Să se noteze expresia n 2 − a · c cu D 1 (uneori se notează D”). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice luate în considerare cu al doilea coeficient 2 · n va lua forma:

x = - n ± D 1 a, unde D 1 = n 2 − a · c.

Este ușor de observat că D = 4 · D 1, sau D 1 = D 4. Cu alte cuvinte, D 1 este un sfert din discriminant. Evident, semnul lui D 1 este același cu semnul lui D, ceea ce înseamnă că semnul lui D 1 poate servi și ca indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Definiția 11

Astfel, pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică cu un al doilea coeficient de 2 n, este necesar:

• găsiți D 1 = n 2 − a · c ;
• la D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• când D 1 = 0, determinați singura rădăcină a ecuației folosind formula x = - n a;
• pentru D 1 > 0, determinați două rădăcini reale folosind formula x = - n ± D 1 a.

Exemplul 9

Este necesar să se rezolve ecuația pătratică 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Soluţie

Putem reprezenta al doilea coeficient al ecuației date ca 2 · (− 3) . Apoi rescriem ecuația pătratică dată ca 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, unde a = 5, n = − 3 și c = − 32.

Să calculăm a patra parte a discriminantului: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Valoarea rezultată este pozitivă, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale. Să le determinăm folosind formula rădăcină corespunzătoare:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 sau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 sau x = - 2

Ar fi posibil să se efectueze calcule folosind formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz soluția ar fi mai greoaie.

Răspuns: x = 3 1 5 sau x = - 2 .

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori este posibil să se optimizeze forma ecuației originale, ceea ce va simplifica procesul de calcul al rădăcinilor.

De exemplu, ecuația pătratică 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 este în mod clar mai convenabil de rezolvat decât 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Mai des, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un anumit număr. De exemplu, mai sus am arătat o reprezentare simplificată a ecuației 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obținută prin împărțirea ambelor părți la 100.

O astfel de transformare este posibilă atunci când coeficienții ecuației pătratice nu sunt reciproc numere prime. Apoi, de obicei, împărțim ambele părți ale ecuației la cel mai mare divizor comun valori absolute coeficienții săi.

Ca exemplu, folosim ecuația pătratică 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Să determinăm GCD al valorilor absolute ale coeficienților săi: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Să împărțim ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6 și să obținem ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Înmulțind ambele părți ale unei ecuații pătratice, de obicei scapi de coeficienții fracționali. În acest caz, ele se înmulțesc cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților săi. De exemplu, dacă fiecare parte a ecuației pătratice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 este înmulțită cu LCM (6, 3, 1) = 6, atunci se va scrie în mai multe în formă simplă x 2 + 4 x − 18 = 0 .

În cele din urmă, observăm că aproape întotdeauna scăpăm de minus la primul coeficient al unei ecuații pătratice prin schimbarea semnelor fiecărui termen al ecuației, ceea ce se realizează prin înmulțirea (sau împărțirea) ambelor părți cu - 1. De exemplu, din ecuația pătratică − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, puteți merge la versiunea sa simplificată 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relația dintre rădăcini și coeficienți

Formula pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice, deja cunoscută nouă, x = - b ± D 2 · a, exprimă rădăcinile ecuației prin coeficienții ei numerici. Pe baza acestei formule, avem posibilitatea de a specifica alte dependențe între rădăcini și coeficienți.

Cele mai faimoase și aplicabile formule sunt teorema lui Vieta:

x 1 + x 2 = - b a și x 2 = c a.

În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, privind forma ecuației pătratice 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, este posibil să se determine imediat că suma rădăcinilor sale este 7 3 și produsul rădăcinilor este 22 3.

De asemenea, puteți găsi o serie de alte conexiuni între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. De exemplu, suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice poate fi exprimată în termeni de coeficienți:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Să luăm în considerare problema. Baza dreptunghiulara mai multa inaltime cu 10 cm, iar aria sa este de 24 cm². Aflați înălțimea dreptunghiului. Lăsa X centimetri este înălțimea dreptunghiului, apoi baza lui este egală cu ( X+10) cm. Aria acestui dreptunghi este X(X+ 10) cm². În funcție de condițiile problemei X(X+ 10) = 24. Deschizând parantezele și mutând numărul 24 cu semnul opus în partea stângă a ecuației, obținem: X² + 10 X-24 = 0. La rezolvarea acestei probleme s-a obţinut o ecuaţie care se numeşte pătratică.

O ecuație pătratică este o ecuație de formă

topor ²+ bx+c= 0

Unde a, b, c- numere date, și A≠ 0 și X- necunoscut.

Cote a, b, c Ecuația pătratică se numește de obicei: A— primul sau cel mai mare coeficient, b- al doilea coeficient, c- un membru gratuit. De exemplu, în problema noastră, coeficientul principal este 1, al doilea coeficient este 10, iar termenul liber este -24. Rezolvarea multor probleme din matematică și fizică se reduce la rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor cuadratice

Completează ecuațiile pătratice. Primul pas este de a aduce ecuația dată la forma standard topor²+ bx+ c = 0. Să revenim la problema noastră, în care ecuația poate fi scrisă ca X(X+ 10) = 24 să-l aducem la forma standard, deschidem parantezele X² + 10 X- 24 = 0, rezolvăm această ecuație folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice generale.

Expresia de sub semnul rădăcinii din această formulă se numește discriminant D = b² - 4 ac

Dacă D>0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini diferite, care pot fi găsite folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice.

Dacă D=0, atunci ecuația pătratică are o rădăcină.

Daca D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Să înlocuim valorile în formula noastră A= 1, b= 10, c= -24.

obținem D>0, deci obținem două rădăcini.

Să luăm în considerare un exemplu în care D=0, în această condiție ar trebui să existe o singură rădăcină.

25X² — 30 X+ 9 = 0

Luați în considerare un exemplu în care D<0, при этом условии решения не должно быть.

2X² + 3 X+ 4 = 0

Numărul de sub semnul rădăcinii (discriminant) este negativ; vom scrie răspunsul astfel: ecuația nu are rădăcini reale.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Ecuație pătratică topor² + bx+ c= 0 se numește incomplet dacă cel puțin unul dintre coeficienți b sau c egal cu zero. O ecuație pătratică incompletă este o ecuație de unul dintre următoarele tipuri:

topor² = 0,

topor² + c= 0, c≠ 0,

topor² + bx= 0, b≠ 0.

Să ne uităm la câteva exemple și să rezolvăm ecuația

Împărțirea ambelor părți ale ecuației la 5 dă ecuația X² = 0, răspunsul va avea o singură rădăcină X= 0.

Luați în considerare o ecuație de formă

3X² - 27 = 0

Împărțind ambele părți la 3, obținem ecuația X² - 9 = 0, sau poate fi scris X² = 9, răspunsul va avea două rădăcini X= 3 și X= -3.

Luați în considerare o ecuație de formă

2X² + 7 = 0

Împărțind ambele părți la 2, obținem ecuația X² = -7/2. Această ecuație nu are rădăcini reale, deoarece X² ≥ 0 pentru orice număr real X.

Luați în considerare o ecuație de formă

3X² + 5 X= 0

Factorizând partea stângă a ecuației, obținem X(3X+ 5) = 0, răspunsul va avea două rădăcini X= 0, X=-5/3.

Cel mai important lucru atunci când rezolvați ecuații pătratice este să aduceți ecuația pătratică într-o formă standard, să memorați formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice generale și să nu vă confundați în semne.