Găsiți limite minunate Este dificil nu numai pentru mulți studenți din anul I și II care studiază teoria limitelor, ci și pentru unii profesori.

Formula pentru prima limită remarcabilă

Consecințele primei limite remarcabile hai sa o scriem in formule
1. 2. 3. 4. Dar pe cont propriu formule generale limitele remarcabile nu ajută pe nimeni la un examen sau test. Ideea este că sarcinile reale sunt construite astfel încât să mai trebuie să ajungeți la formulele scrise mai sus. Iar majoritatea elevilor care lipsesc la cursuri, studiază acest curs în lipsă sau au profesori care ei înșiși nu înțeleg întotdeauna ceea ce explică, nu pot calcula cele mai elementare exemple până la limite remarcabile. Din formulele primei limite remarcabile vedem că cu ajutorul lor se pot studia incertitudini de tip zero împărțit la zero pentru expresii cu funcții trigonometrice. Să luăm mai întâi în considerare o serie de exemple pentru primul limita minunata y, apoi vom studia a doua limită remarcabilă.

Exemplul 1. Aflați limita funcției sin(7*x)/(5*x)
Soluție: După cum puteți vedea, funcția sub limită este aproape de prima limită remarcabilă, dar limita funcției în sine nu este cu siguranță egală cu unul. În acest gen de sarcini pe limite, ar trebui să se selecteze la numitor o variabilă cu același coeficient cu cel conținut în variabila sub sinus. În acest caz, împărțiți și înmulțiți cu 7

Pentru unii, astfel de detalii vor părea inutile, dar pentru majoritatea elevilor cărora le este greu să înțeleagă limitele, îi va ajuta să înțeleagă mai bine regulile și să învețe material teoretic.
De asemenea, dacă există o formă inversă a unei funcții, aceasta este și prima limită minunată. Și totul pentru că limita minunată este egală cu unu

Aceeași regulă se aplică și în cazul consecințelor primei limite remarcabile. Prin urmare, dacă ești întrebat: „Care este prima limită remarcabilă?” Ar trebui să răspunzi fără ezitare că este o unitate.

Exemplul 2. Aflați limita funcției sin(6x)/tan(11x)
Soluție: Pentru a înțelege rezultatul final, să scriem funcția în formă

Pentru a aplica regulile limitei remarcabile, înmulțiți și împărțiți cu factori

În continuare, scriem limita unui produs de funcții prin produsul limitelor

Fără formule complexe, am găsit limita chaska funcții trigonometrice. Pentru a stăpâni formule simple, încearcă să găsești și să găsești limita pe 2 și 4, formula pentru corolarul unei limite minunate. Ne vom uita la probleme mai complexe.

Exemplul 3: Calculați limita (1-cos(x))/x^2
Rezolvare: Când verificăm prin substituție, obținem o incertitudine de 0/0. Mulți oameni nu știu cum să reducă un astfel de exemplu la o limită remarcabilă. Aici ar trebui să folosești formula trigonometrică

În acest caz, limita se va transforma într-o formă clară

Am reușit să reducem funcția la pătratul unei limite remarcabile.

Exemplul 4. Găsiți limita
Soluție: Când înlocuim, obținem caracteristica familiară 0/0. Cu toate acestea, variabila tinde spre Pi mai degrabă decât zero. Prin urmare, pentru a aplica prima limită remarcabilă, vom efectua o astfel de modificare a variabilei x astfel încât noua variabilă să ajungă la zero. Pentru a face acest lucru, notăm numitorul ca o nouă variabilă Pi-x=y

Astfel, folosind formula trigonometrică dată în sarcina anterioară, exemplul este redus la 1 limită remarcabilă.

Exemplul 5: Calculați limita
Soluție: La început nu este clar cum să simplificăm limitele. Dar din moment ce există un exemplu, atunci trebuie să existe un răspuns. Faptul că variabila merge la unitate dă, la înlocuire, o trăsătură de forma zero înmulțită cu infinit, deci tangenta trebuie înlocuită folosind formula

După aceasta obținem incertitudinea necesară 0/0. În continuare, efectuăm o schimbare de variabile în limită și folosim periodicitatea cotangentei

Ultimele înlocuiri ne permit să folosim Corolarul 1 al limitei remarcabile.

A doua limită remarcabilă este egală cu exponențiala

Acesta este un clasic care nu este întotdeauna ușor de atins în problemele limită reale.
În calcule veți avea nevoie limitele sunt consecințele celei de-a doua limite remarcabile:
1. 2. 3. 4.
Datorită celei de-a doua limite remarcabile și consecințele sale, este posibil să explorezi incertitudini precum zero împărțit la zero, unu la puterea infinitului și infinitul împărțit la infinit și chiar în același grad

Să începem cu exemple simple.

Exemplul 6. Găsiți limita unei funcții
Soluție: aplicarea directă a celei de-a doua limite remarcabile nu va funcționa. În primul rând, ar trebui să transformați exponentul astfel încât să arate ca inversul termenului dintre paranteze

Aceasta este tehnica reducerii la a 2-a limită remarcabilă și, în esență, a deducerii formulei a 2-a pentru corolarul limitei.

Exemplul 7. Găsiți limita unei funcții
Soluție: Avem sarcini pentru formula 3 a corolarului 2 al unei limite minunate. Înlocuirea zero dă o singularitate de forma 0/0. Pentru a ridica limita la o regulă, întoarcem numitorul astfel încât variabila să aibă același coeficient ca în logaritm

De asemenea, este ușor de înțeles și de executat la examen. Dificultățile elevilor în calcularea limitelor încep cu următoarele probleme.

Exemplul 8. Calculați limita unei funcții[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Rezolvare: Avem o singularitate de tip 1 la puterea infinitului. Dacă nu mă credeți, puteți înlocui infinitul cu „X” peste tot și vă asigurați de asta. Pentru a construi o regulă, împărțim numărătorul la numitor în paranteze; pentru a face acest lucru, efectuăm mai întâi manipulările

Să substituim expresia în limită și să o transformăm în 2 limită minunată

Limita este egală cu puterea exponențială a lui 10. Constantele care sunt termeni cu o variabilă, atât în ​​paranteză, cât și într-un grad, nu introduc nicio „vreme” - acest lucru trebuie reținut. Și dacă profesorii vă întreabă: „De ce nu convertiți indicatorul?” (Pentru acest exemplu din x-3), apoi spuneți că „Când o variabilă tinde spre infinit, atunci chiar adăugați 100 la ea sau scădeți 1000, iar limita va rămâne aceeași ca a fost!”
Există o a doua modalitate de a calcula limitele de acest tip. Vom vorbi despre asta în sarcina următoare.

Exemplul 9. Găsiți limita
Soluție: Acum să scoatem variabila din numărător și numitor și să transformăm o caracteristică în alta. Pentru a obține valoarea finală, folosim formula Corolarul 2 al limitei remarcabile

Exemplul 10. Găsiți limita unei funcții
Soluție: Nu toată lumea poate găsi limita dată. Pentru a ridica limita la 2, imaginați-vă că sin (3x) este o variabilă și trebuie să transformați exponentul

Apoi, scriem indicatorul ca o putere la o putere


Argumentele intermediare sunt descrise între paranteze. Ca urmare a utilizării primei și a doua limite remarcabile, am obținut exponențialul în cub.

Exemplul 11. Calculați limita unei funcții sin(2*x)/ln(3*x+1)
Rezolvare: Avem o incertitudine de forma 0/0. În plus, vedem că funcția ar trebui convertită pentru a folosi ambele limite minunate. Să efectuăm transformările matematice anterioare

În plus, fără dificultate, limita va lua valoarea

Așa vă veți simți liber la sarcini, teste, module dacă învățați să scrieți rapid funcții și să le reduceți la prima sau a doua limită minunată. Dacă vă este dificil să memorați metodele date pentru găsirea limitelor, atunci puteți oricând să comandați de la noi o lucrare de test despre limite.
Pentru a face acest lucru, completați formularul, furnizați date și atașați un fișier cu exemple. Am ajutat mulți studenți - și noi vă putem ajuta!

Există mai multe limite remarcabile, dar cele mai cunoscute sunt prima și a doua limite remarcabile. Lucrul remarcabil la aceste limite este că sunt utilizate pe scară largă și cu ajutorul lor se pot găsi și alte limite întâlnite în numeroase probleme. Aceasta este ceea ce vom face în partea practică a acestei lecții. Pentru a rezolva probleme reducându-le la prima sau a doua limită remarcabilă, nu este nevoie să dezvăluim incertitudinile conținute în ele, deoarece valorile acestor limite au fost deduse de multă vreme de marii matematicieni.

Prima limită minunată se numește limita raportului dintre sinusul unui arc infinitezimal și același arc, exprimat în radiani:

Să trecem la rezolvarea problemelor la prima limită remarcabilă. Notă: dacă există o funcție trigonometrică sub semnul limită, aceasta este aproape semn sigur că această expresie poate fi dusă la prima ei limită remarcabilă.

Exemplul 1. Găsiți limita.

Soluţie. Înlocuire în schimb X zero duce la incertitudine:

.

Numitorul este sinus, prin urmare, expresia poate fi adusă la prima limită remarcabilă. Să începem transformarea:

.

Numitorul este sinusul a trei X, dar numărătorul are doar un X, ceea ce înseamnă că trebuie să obțineți trei X la numărător. Pentru ce? A introduce 3 X = Ași obțineți expresia .

Și ajungem la o variație a primei limite remarcabile:

pentru că nu contează ce literă (variabilă) din această formulă este în locul lui X.

Înmulțim X cu trei și împărțim imediat:

.

În conformitate cu prima limită remarcabilă observată, înlocuim expresia fracțională:

Acum putem rezolva în sfârșit această limită:

.

Exemplul 2. Găsiți limita.

Soluţie. Substituția directă duce din nou la incertitudinea „zero împărțit la zero”:

.

Pentru a obține prima limită remarcabilă, este necesar ca x sub semnul sinus la numărător și doar x la numitor să aibă același coeficient. Fie acest coeficient egal cu 2. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă coeficientul curent pentru x ca mai jos, efectuând operații cu fracții, obținem:

.

Exemplul 3. Găsiți limita.

Soluţie. Când înlocuim, obținem din nou incertitudinea „zero împărțit la zero”:

.

Probabil că deja înțelegeți că din expresia originală puteți obține prima limită minunată înmulțită cu prima limită minunată. Pentru a face acest lucru, descompunem pătratele lui x la numărător și sinusul la numitor în factori identici, iar pentru a obține aceiași coeficienți pentru x și sinus, împărțim x din numărător cu 3 și imediat înmulțim cu 3. Obținem:

.

Exemplul 4. Găsiți limita.

Soluţie. Din nou, obținem incertitudinea „zero împărțit la zero”:

.

Putem obține raportul dintre primele două limite remarcabile. Împărțim atât numărătorul cât și numitorul cu x. Apoi, pentru ca coeficienții pentru sinusuri și axe să coincidă, înmulțim x superior cu 2 și împărțim imediat cu 2 și înmulțim x inferior cu 3 și împărțim imediat cu 3. Obținem:

Exemplul 5. Găsiți limita.

Soluţie. Și din nou incertitudinea „zero împărțit la zero”:

Ne amintim din trigonometrie că tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, iar cosinusul lui zero este egal cu unu. Efectuăm transformările și obținem:

.

Exemplul 6. Găsiți limita.

Soluţie. Funcția trigonometrică sub semnul unei limite sugerează din nou utilizarea primei limite remarcabile. O reprezentăm ca raportul dintre sinus și cosinus.

Formula pentru a doua limită remarcabilă este lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. O altă formă de scriere arată astfel: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Când vorbim despre a doua limită remarcabilă, trebuie să ne ocupăm de incertitudinea formei 1 ∞, i.e. unitate într-un grad infinit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Să luăm în considerare problemele în care capacitatea de a calcula a doua limită remarcabilă va fi utilă.

Exemplul 1

Aflați limita limită x → ​​∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Soluţie

Să înlocuim formula necesară și să efectuăm calculele.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Răspunsul nostru s-a dovedit a fi unul la puterea infinitului. Pentru a determina metoda de rezolvare, folosim tabelul de incertitudine. Să alegem a doua limită remarcabilă și să facem o schimbare de variabile.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Dacă x → ​​∞, atunci t → - ∞.

Să vedem ce avem după înlocuire:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Răspuns: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Exemplul 2

Calculați limita limită x → ​​∞ x - 1 x + 1 x .

Soluţie

Să înlocuim infinitul și să obținem următoarele.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

În răspuns, am primit din nou același lucru ca în problema anterioară, prin urmare, putem folosi din nou a doua limită remarcabilă. În continuare trebuie să selectăm la bază functie de putereîntreaga parte:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

După aceasta, limita ia următoarea formă:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Înlocuiți variabilele. Să presupunem că t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; dacă x → ​​∞, atunci t → ∞.

După aceea, notăm ce am obținut în limita inițială:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Pentru a efectua această transformare, am folosit proprietățile de bază ale limitelor și puterilor.

Răspuns: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Exemplul 3

Calculați limita limită x → ​​∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Soluţie

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

După aceea, trebuie să transformăm funcția pentru a aplica cea de-a doua mare limită. Avem următoarele:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Deoarece acum avem aceiași exponenți în numărătorul și numitorul fracției (egal cu șase), limita fracției la infinit va fi egală cu raportul acestor coeficienți la puteri mai mari.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Prin înlocuirea t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 obținem o a doua limită remarcabilă. Înseamnă ceea ce:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Răspuns: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

concluzii

Incertitudinea 1 ∞, i.e. unitatea la o putere infinită este o incertitudine a legii puterii, prin urmare, poate fi dezvăluită folosind regulile pentru găsirea limitelor funcțiilor de putere exponențiale.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Din articolul de mai sus puteți afla care este limita și cu ce se mănâncă - acest lucru este FOARTE important. De ce? S-ar putea să nu înțelegi ce sunt determinanții și să-i rezolvi cu succes; s-ar putea să nu înțelegi deloc ce este o derivată și să le găsești cu un „A”. Dar dacă nu înțelegeți ce este o limită, atunci rezolvarea sarcinilor practice va fi dificilă. De asemenea, ar fi o idee bună să vă familiarizați cu soluțiile eșantionului și cu recomandările mele de proiectare. Toate informațiile sunt prezentate într-o formă simplă și accesibilă.

Și în scopul acestei lecții vom avea nevoie de următoarele materiale didactice: Limite minunateȘi Formule trigonometrice. Ele pot fi găsite pe pagină. Cel mai bine este să tipăriți manualele - este mult mai convenabil și, în plus, va trebui adesea să le consultați offline.

Ce este atât de special la limitele remarcabile? Lucrul remarcabil la aceste limite este că au fost dovedite de cele mai mari minți ale matematicienilor celebri, iar descendenții recunoscători nu trebuie să sufere de limite teribile cu o grămadă de funcții trigonometrice, logaritmi, puteri. Adică, atunci când găsim limitele, vom folosi rezultate gata făcute care au fost dovedite teoretic.

Există câteva limite minunate, dar în practică, în 95% din cazuri, studenții cu fracțiune de normă au două limite minunate: Prima limită minunată, A doua limită minunată. Trebuie remarcat faptul că acestea sunt nume consacrate istoric, iar când, de exemplu, se vorbește despre „prima limită remarcabilă”, ele înțeleg prin aceasta un lucru foarte specific, și nu o limită aleatorie luată din plafon.

Prima limită minunată

Luați în considerare următoarea limită: (în loc de litera nativă „el” voi folosi litera greacă „alfa”, acest lucru este mai convenabil din punctul de vedere al prezentării materialului).

Conform regulii noastre de găsire a limitelor (vezi articolul Limite. Exemple de soluții) încercăm să înlocuim zero în funcție: la numărător obținem zero (sinusul lui zero este zero), iar la numitor, evident, există și zero. Astfel, ne confruntăm cu o incertitudine a formei, care, din fericire, nu trebuie dezvăluită. Știu analiză matematică, se dovedește că:

Acest fapt matematic se numește Prima limită minunată. Nu voi da o dovadă analitică a limitei, dar iată-o: sens geometricîl vom privi în clasă despre funcții infinitezimale.

Adesea, în sarcinile practice, funcțiile pot fi aranjate diferit, acest lucru nu schimbă nimic:

- aceeași primă limită minunată.

Dar nu poți rearanja numitorul și numitorul singur! Dacă o limită este dată în forma , atunci aceasta trebuie rezolvată în aceeași formă, fără a rearanja nimic.

În practică, nu doar o variabilă poate acționa ca parametru, ci și functie elementara, functie complexa. Singurul lucru important este că tinde spre zero.

Exemple:
, , ,

Aici , , , , și totul este bine - se aplică prima limită minunată.

Dar următoarea intrare este erezie:

De ce? Deoarece polinomul nu tinde spre zero, tinde spre cinci.

Apropo, o întrebare rapidă: care este limita? ? Răspunsul poate fi găsit la sfârșitul lecției.

În practică, nu totul este atât de simplu; aproape niciodată unui student nu i se oferă să rezolve o limită gratuită și să obțină o trecere ușoară. Hmmm... Scriu aceste rânduri și mi-a venit în minte un gând foarte important - la urma urmei, este mai bine să ne amintim definițiile și formulele matematice „libere” pe de rost, acest lucru poate oferi un ajutor neprețuit în test, când întrebarea va fi să fie decis între „doi” și „trei”, iar profesorul decide să pună elevului o întrebare simplă sau să ofere de rezolvat cel mai simplu exemplu(„poate el (e) mai știe ce?!”).

Să trecem la a lua în considerare exemple practice:

Exemplul 1

Găsiți limita

Dacă observăm un sinus în limită, atunci acest lucru ar trebui să ne conducă imediat să ne gândim la posibilitatea aplicării primei limite remarcabile.

În primul rând, încercăm să substituim 0 în expresia de sub semnul limită (facem acest lucru mental sau într-o schiță):

Deci avem o incertitudine a formei asigurați-vă că indicațiîn luarea unei decizii. Expresia sub semnul limită este asemănătoare cu prima limită minunată, dar nu este tocmai aceasta, este sub sinus, ci în numitor.

În astfel de cazuri, trebuie să organizăm singuri prima limită remarcabilă, folosind o tehnică artificială. Linia de raționament ar putea fi următoarea: „sub sinus avem , ceea ce înseamnă că trebuie să intrăm și în numitor”.
Și acest lucru se face foarte simplu:

Adică, numitorul este înmulțit artificial în acest caz cu 7 și împărțit la același șapte. Acum, înregistrarea noastră a căpătat o formă familiară.
Când sarcina este întocmită manual, este recomandabil să marcați prima limită remarcabilă cu un creion simplu:

Ce s-a întâmplat? De fapt, expresia noastră încercuită s-a transformat într-o unitate și a dispărut în lucrare:

Acum tot ce rămâne este să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Cine a uitat de simplificarea fracțiilor cu mai multe niveluri, vă rugăm să reîmprospătați materialul din cartea de referință Formule fierbinți pentru cursul școlar de matematică .

Gata. Răspuns final:

Dacă nu doriți să utilizați semne de creion, atunci soluția poate fi scrisă astfel:

“

Să folosim prima limită minunată

“

Exemplul 2

Găsiți limita

Din nou vedem o fracție și un sinus în limită. Să încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Într-adevăr, avem incertitudine și, prin urmare, trebuie să încercăm să organizăm prima limită minunată. La lectie Limite. Exemple de soluții am considerat regula că atunci când avem incertitudine, trebuie să factorizăm numărătorul și numitorul. Aici este același lucru, vom reprezenta gradele ca produs (multiplicatori):

Similar cu exemplul anterior, desenăm un creion în jurul limitelor remarcabile (aici sunt două dintre ele) și indicăm că acestea tind spre unitate:

De fapt, răspunsul este gata:

În următoarele exemple, nu voi face artă în Paint, mă gândesc cum să elaborez corect o soluție într-un caiet - ați înțeles deja.

Exemplul 3

Găsiți limita

Inlocuim zero in expresia sub semnul limita:

S-a obținut o incertitudine care trebuie dezvăluită. Dacă există o tangentă în limită, atunci aceasta este aproape întotdeauna convertită în sinus și cosinus folosind binecunoscuta formulă trigonometrică (apropo, ei fac aproximativ același lucru cu cotangente, vezi Fig. material metodologic Formule trigonometrice fierbinți Pe pagina Formule matematice, tabele și materiale de referință).

În acest caz:

Cosinusul lui zero este egal cu unu și este ușor să scapi de el (nu uitați să marcați că tinde spre unu):

Astfel, dacă în limită cosinusul este un MULTIPLICATOR, atunci, în linii mari, trebuie transformat într-o unitate, care dispare în produs.

Aici totul a ieșit mai simplu, fără înmulțiri și împărțiri. Prima limită remarcabilă se transformă și ea într-una și dispare în produs:

Ca rezultat, se obține infinitul și se întâmplă acest lucru.

Exemplul 4

Găsiți limita

Să încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Se obține incertitudinea (cosinusul lui zero, după cum ne amintim, este egal cu unu)

Folosim formula trigonometrică. Ia-ti notite! Din anumite motive, limitele care utilizează această formulă sunt foarte frecvente.

Să mutăm factorii constanți dincolo de pictograma limită:

Să organizăm prima limită minunată:

Aici avem o singură limită remarcabilă, care se transformă într-una și dispare în produs:

Să scăpăm de structura cu trei etaje:

Limita este de fapt rezolvată, indicăm că sinusul rămas tinde spre zero:

Exemplul 5

Găsiți limita

Acest exemplu este mai complicat, încercați să vă dați seama singur:

Unele limite pot fi reduse la prima limită remarcabilă prin schimbarea unei variabile, puteți citi despre asta puțin mai târziu în articol Metode de rezolvare a limitelor.

A doua limită minunată

În teoria analizei matematice s-a dovedit că:

Acest fapt se numește a doua limită minunată.

Referinţă: este un număr irațional.

Parametrul poate fi nu numai o variabilă, ci și o funcție complexă. Singurul lucru important este că tinde spre infinit.

Exemplul 6

Găsiți limita

Când expresia de sub semnul limită este într-un grad, acesta este primul semn că trebuie să încercați să aplicați a doua limită minunată.

Dar mai întâi, ca întotdeauna, încercăm să înlocuim la nesfârșit număr mareîn expresia pe ce principiu se face acest lucru, discutată în lecție Limite. Exemple de soluții.

Este ușor de observat că atunci când baza gradului este , iar exponentul este , adică există incertitudinea formei:

Această incertitudine este dezvăluită tocmai cu ajutorul celei de-a doua limite remarcabile. Dar, așa cum se întâmplă adesea, a doua limită minunată nu se află pe un platou de argint și trebuie să fie organizată artificial. Se poate raționa astfel: în în acest exemplu parametru, ceea ce înseamnă că în indicator trebuie să organizăm și . Pentru a face acest lucru, ridicăm baza la putere și, pentru ca expresia să nu se schimbe, o ridicăm la putere:

Când sarcina este finalizată manual, notăm cu un creion:

Aproape totul este gata, gradul teribil s-a transformat într-o scrisoare frumoasă:

În acest caz, mutăm pictograma limită în sine la indicator:

Exemplul 7

Găsiți limita

Atenţie! Acest tip de limită apare foarte des, vă rugăm să studiați acest exemplu cu atenție.

Să încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresia de sub semnul limită:

Rezultatul este incertitudinea. Dar a doua limită remarcabilă se aplică incertitudinii formei. Ce să fac? Trebuie să convertim baza gradului. Raționăm astfel: la numitor avem , ceea ce înseamnă că la numărător trebuie să organizăm și .