Exemplul 1. În prima urnă: trei bile roșii, una albă. În a doua urnă: una roșie, trei bile albe. Se aruncă la întâmplare o monedă: dacă este stemă, se alege din prima urnă, în caz contrar, din a doua.
Soluţie:
a) probabilitatea ca o minge roșie să fi fost extrasă
A – am o minge roșie
P 1 – a căzut stema, P 2 – în caz contrar
b) Bila roșie este selectată. Aflați probabilitatea ca acesta să fie luat din prima urna din a doua urna.
B 1 – din prima urnă, B 2 – din a doua urnă
,
Exemplul 2. Într-o cutie sunt 4 bile. Poate fi: numai alb, doar negru sau alb și negru. (Compoziție necunoscută).
Soluţie:
A – probabilitatea de apariție bila alba
a) Tot alb:
(probabilitatea ca ai obtinut una dintre cele trei optiuni unde sunt albe)
(probabilitatea ca o minge albă să apară acolo unde toată lumea este albă)
b) Scos acolo unde toată lumea este neagră
c) a scos opțiunea în care toată lumea este albă și/sau neagră
- cel putin unul dintre ele este alb
Pa +P b +P c =
Exemplul 3. Într-o urnă sunt 5 bile albe și 4 negre. Se scot din el 2 bile la rând. Aflați probabilitatea ca ambele bile să fie albe.
Soluţie:
5 bile albe, 4 negre
P(A 1) – mingea albă a fost scoasă
P(A 2) – probabilitatea ca a doua bilă să fie și ea albă
P(A) – bile albe alese pe rând
Exemplul 3a. Pachetul contine 2 bancnote false si 8 bancnote reale. 2 bancnote au fost scoase din pachet la rând. Găsiți probabilitatea ca ambele să fie false.
Soluţie:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022
Exemplul 4. Există 10 coșuri. Sunt 9 urne cu 2 bile negre si 2 albe. Există 5 albi și 1 negru într-o urnă. Dintr-o urnă a fost extrasă o minge luată la întâmplare.
Soluţie:
P(A) - ? se ia o minge alba dintr-o urna care contine 5 albe
B – probabilitatea de a fi extras dintr-o urna care contine 5 albi
, - scos de la alții
C 1 – probabilitatea ca o minge albă să apară la nivelul 9.
C 2 – probabilitatea apariției unei mingi albe, unde sunt 5
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
Exemplul 5. 20 role cilindrice și 15 conice. Culegătorul ia 1 rolă, apoi încă una.
Soluţie:
a) ambele role sunt cilindrice
P(C1)=; P(Ts 2)=
C 1 – primul cilindru, C 2 – al doilea cilindru
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) Cel puțin un cilindru
R 1 – primul în formă de con.
K 2 - al doilea în formă de con.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;
c) primul cilindru, dar nu al doilea
P(C)=P(C1)P(K2)
e) Nici un singur cilindru.
P(D)=P(K 1)P(K 2)
e) Exact 1 cilindru
P(E)=P(C1)P(K2)+P(K1)P(K2)
Exemplul 6. Există 10 piese standard și 5 piese defecte într-o cutie.
Trei părți sunt desenate la întâmplare
a) Una dintre ele este defectă
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – probabilitatea produselor defecte
q – probabilitatea pieselor standard
n=3, trei părți
b) două din trei părți sunt defecte P(2)
c) cel puţin un standard
P(0) - nu este defect
P=P(0)+ P(1)+ P(2) - probabilitatea ca cel puțin o parte să fie standard
Exemplul 7. Prima urna contine 3 bile albe si negre, iar a 2-a urna contine 3 bile albe si 4 negre. Se transferă 2 bile din prima urnă în a 2-a fără să se uite, apoi se extrag 2 bile din a 2-a. Care este probabilitatea ca ei Culori diferite?
Soluţie:
La mutarea bilelor din prima urna sunt posibile urmatoarele optiuni:
a) a scos 2 bile albe la rând
P BB 1 =
În a doua etapă va fi întotdeauna o minge mai puțin, deoarece la prima etapă o minge a fost deja scoasă.
b) a scos o bilă albă și una neagră
Situația în care este extrasă prima bila albă, apoi cea neagră
P focos =
Situația când a fost extrasă prima bila neagră, apoi cea albă
P BW =
Total: P focos 1 =
c) a scos 2 bile negre la rând
P HH 1 =
Din moment ce 2 bile au fost transferate din prima urna in a doua urna, atunci numărul total Vor fi 9 bile în a doua urnă (7 + 2). În consecință, vom căuta toate opțiunile posibile:
a) mai întâi s-a luat o bilă albă și apoi o bilă neagră din a doua urnă
P BB 2 P BB 1 - înseamnă probabilitatea ca mai întâi să fi fost extrasă o bilă albă, apoi o bilă neagră, cu condiția ca 2 bile albe să fie extrase din prima urnă la rând. De aceea, numărul de bile albe în acest caz este 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - înseamnă probabilitatea ca mai întâi să fi fost extrasă o bilă albă, apoi o bilă neagră, cu condiția ca din prima urnă să fie extrase bile albe și negre. De aceea, numărul de bile albe în acest caz este 4 (3+1), iar numărul de bile negre este de cinci (4+1).
P BC 2 P BC 1 - înseamnă probabilitatea ca mai întâi să fi fost extrasă o bilă albă, apoi o bilă neagră, cu condiția ca ambele bile negre să fie extrase din prima urnă la rând. De aceea, numărul de bile negre în acest caz este 6 (4+2).
Probabilitatea ca 2 bile extrase să fie de culori diferite este egală cu:
Răspuns: P = 0,54
Exemplul 7a. Din prima urna care contine 5 bile albe si 3 negre, 2 bile au fost transferate aleatoriu in a 2-a urna care contine 2 bile albe si 6 negre. Apoi a fost extrasă la întâmplare 1 minge din a 2-a urnă.
1) Care este probabilitatea ca mingea extrasă din a 2-a urnă să se dovedească a fi albă?
2) Mingea luată din a 2-a urnă s-a dovedit a fi albă. Calculați probabilitatea ca bile de diferite culori să fi fost mutate din prima urnă în a 2-a.
Soluţie.
1) Evenimentul A - mingea extrasă din a 2-a urnă se dovedește a fi albă. Să luăm în considerare următoarele opțiuni pentru apariția acestui eveniment.
a) Două bile albe au fost plasate din prima urnă în a doua: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
În a doua urnă sunt în total 4 bile albe. Atunci probabilitatea de a extrage o minge albă din a doua urnă este P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Bilele albe și negre au fost plasate din prima urnă în a doua: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
În a doua urnă sunt în total 3 bile albe. Atunci probabilitatea de a extrage o minge albă din a doua urnă este P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Două bile negre au fost plasate din prima urna în a doua: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
În a doua urnă sunt în total 2 bile albe. Atunci probabilitatea de a extrage o minge albă din a doua urnă este P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Atunci probabilitatea ca mingea extrasă din a 2-a urna să se dovedească a fi albă este:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) Mingea luată din a 2-a urnă s-a dovedit a fi albă, adică. probabilitatea totală este P(A)=13/32.
Probabilitatea ca în a doua urnă să fi fost plasate bile de diferite culori (alb-negru) și s-a ales alb: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
Exemplul 7b. Prima urna contine 8 bile albe si 3 negre, a doua urna contine 5 bile albe si 3 negre. O minge este aleasă la întâmplare din prima și două bile din a doua. După aceasta, o minge este luată la întâmplare din cele trei bile selectate. Această ultimă minge s-a dovedit a fi neagră. Găsiți probabilitatea ca o minge albă să fie extrasă din prima urna.
Soluţie.
Să luăm în considerare toate variantele evenimentului A - din trei bile, bila extrasă se dovedește a fi neagră. Cum s-a putut întâmpla ca printre cele trei bile să fie una neagră?
a) Din prima urna s-a luat o bila neagra, iar din a doua urna s-au luat doua bile albe.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) S-a luat o bilă neagră din prima urnă, s-au luat două bile negre din a doua urnă.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) S-a luat o bilă neagră din prima urnă, s-a luat o bilă albă și una neagră din a doua urnă.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Din prima urna s-a luat o bila alba, iar din a doua urna au fost luate doua bile negre.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) Din prima urna s-a luat o bila alba, din a doua urna s-a luat o bila alba si una neagra.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Probabilitatea totală este: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Probabilitatea ca dintr-o urnă albă să fie extrasă o bilă albă este:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Atunci probabilitatea ca o bilă albă să fi fost aleasă din prima urna, având în vedere că o bilă neagră a fost aleasă dintre trei bile, este egală cu:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57
Exemplul 7c. Prima urnă conține 12 bile albe și 16 negre, a doua urnă conține 8 bile albe și 10 bile negre. În același timp, se extrage câte o minge din urna 1 și 2, se amestecă și se returnează câte una în fiecare urnă. Apoi se extrage o minge din fiecare urna. S-au dovedit a fi de aceeași culoare. Determinați probabilitatea ca în prima urnă să rămână tot atâtea bile albe câte erau la început.
Soluţie.
Evenimentul A - o minge este extrasă simultan din prima și a doua urnă.
Probabilitatea extragerii unei bile albe din prima urna: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Probabilitatea extragerii unei bile negre din prima urna: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Probabilitatea de a extrage o minge albă din a doua urnă: P2(B) = 8/18 = 4/9
Probabilitatea de a extrage o minge neagră din a doua urnă: P2(H) = 10/18 = 5/9
S-a întâmplat evenimentul A. Evenimentul B - se extrage o minge din fiecare urna. După amestecare, probabilitatea ca o minge albă sau neagră să revină în urnă este de ½.
Să luăm în considerare opțiunile pentru evenimentul B - s-au dovedit a fi de aceeași culoare.
Pentru prima urnă
1) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost extrasă o bilă albă, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă albă, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost scoasă o bilă albă, cu condiția ca o bilă neagră să fi fost scoasă mai devreme, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost scoasă una neagră, cu condiția ca o bilă albă să fie scoasă mai devreme, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost scoasă una neagră, cu condiția ca o bilă neagră să fi fost scoasă mai devreme, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost extrasă o bilă albă, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă albă, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost extrasă o bilă albă, cu condiția ca o bilă neagră să fie extrasă mai devreme, P1(B/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) s-a pus o bilă neagră în prima urnă și s-a scos una neagră, cu condiția ca o bilă albă să fie scoasă mai devreme, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost scoasă una neagră, cu condiția ca o bilă neagră să fie extrasă mai devreme, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
Pentru a doua urnă
1) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost extrasă o bilă albă, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă albă, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost scoasă o bilă albă, cu condiția ca o bilă neagră să fi fost scoasă mai devreme, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) s-a pus o bilă albă în prima urnă și s-a scos una neagră, cu condiția ca o bilă albă să fie scoasă mai devreme, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost scoasă una neagră, cu condiția ca o bilă neagră să fi fost scoasă mai devreme, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) a fost introdusă o bilă neagră în prima urnă și a fost scoasă o bilă albă, cu condiția ca o bilă albă să fi fost scoasă mai devreme, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost scoasă o bilă albă, cu condiția ca o bilă neagră să fi fost scoasă mai devreme, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) s-a pus o bilă neagră în prima urnă și s-a scos una neagră, cu condiția ca o bilă albă să fie scoasă mai devreme, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost extrasă una neagră, cu condiția ca o bilă neagră să fi fost extrasă mai devreme, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
Bilele s-au dovedit a fi de aceeași culoare:
un alb
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) negru
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
Exemplul 7d. Prima cutie conține 5 bile albe și 4 albastre, a doua conține 3 și 1, iar a treia conține 4 și, respectiv, 5. O cutie a fost aleasă la întâmplare și o minge scoasă din ea s-a dovedit a fi albastră. Care este probabilitatea ca această minge să fie din a doua cutie?
Soluţie.
A - eveniment de extragere a unei mingi albastre. Să luăm în considerare toate rezultatele posibile ale unui astfel de eveniment.
H1 - mingea extrasă din prima casetă,
H2 - mingea scoasă din a doua cutie,
H3 - o minge extrasă din a treia casetă.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Conform condițiilor problemei, probabilitățile condiționate ale evenimentului A sunt egale cu:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Probabilitatea ca această minge să fie din a doua casetă este:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2
Exemplul 8. Cinci cutii cu câte 30 de bile conțin fiecare 5 bile roșii (aceasta este o cutie din compoziția H1), alte șase cutii cu câte 20 de bile fiecare conțin 4 bile roșii (aceasta este o cutie din compoziția H2). Aflați probabilitatea ca o minge roșie luată la întâmplare să fie conținută într-una dintre primele cinci casete.
Soluție: Problema este aplicarea formulei probabilității totale.
P(H1) = 5/11
Probabilitatea ca orice mingea luată este conținută într-una dintre cele șase cutii:
P(H2) = 6/11
S-a întâmplat evenimentul - mingea roșie a fost scoasă. Prin urmare, acest lucru se poate întâmpla în două cazuri:
a) scoase din primele cinci cutii.
P 5 = 5 bile roșii * 5 cutii / (30 bile * 5 cutii) = 1/6
P(P5/H1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) scos din alte șase cutii.
P 6 = 4 bile roșii * 6 cutii / (20 bile * 6 cutii) = 1/5
P(P6/H2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Total: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Prin urmare, probabilitatea ca o bilă roșie extrasă la întâmplare să fie conținută într-una dintre primele cinci casete este:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61
Exemplul 9. Urna conține 2 bile albe, 3 negre și 4 roșii. Trei bile sunt extrase la întâmplare. Care este probabilitatea ca cel puțin două bile să fie de aceeași culoare?
Soluţie. Există trei rezultate posibile:
a) printre cele trei bile extrase au fost cel puţin două albe.
P b (2) = P 2b
Numărul total de rezultate elementare posibile pentru aceste teste este egal cu numărul de moduri în care pot fi extrase 3 bile din 9:
Să aflăm probabilitatea ca dintre cele 3 bile selectate, 2 să fie albe.
Numărul de opțiuni de a alege dintre 2 bile albe:
Numărul de opțiuni de a alege din alte 7 bile a treia bilă:
b) dintre cele trei bile extrase au fost cel puțin două negre (adică fie 2 negre, fie 3 negre).
Să aflăm probabilitatea ca dintre cele 3 bile selectate, 2 să fie negre.
Numărul de opțiuni de a alege dintre 3 bile negre:
Numărul de opțiuni de a alege din alte 6 bile dintr-o singură minge:
P2h = 0,214
Să aflăm probabilitatea ca toate bilele selectate să fie negre.
P h (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259
c) dintre cele trei bile extrase au fost cel puțin două roșii (adică fie 2 roșii, fie 3 roșii).
Să aflăm probabilitatea ca dintre cele 3 bile selectate, 2 să fie roșii.
Numărul de opțiuni de a alege dintre 4 bile negre:
Număr de opțiuni din care să alegeți: 5 bile albe, rămase 1 albă:
Să aflăm probabilitatea ca toate bilele selectate să fie roșii.
P la (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Atunci probabilitatea ca cel puțin două bile să fie de aceeași culoare este egală cu: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138
Exemplul 10. Prima urna contine 10 bile, 7 dintre ele albe; A doua urnă conține 20 de bile, dintre care 5 sunt albe. Din fiecare urnă se extrage o minge la întâmplare, apoi se extrage o minge la întâmplare din aceste două bile. Aflați probabilitatea ca bila albă să fie extrasă.
Soluţie. Probabilitatea ca o minge albă să fie extrasă din prima urnă este P(b)1 = 7/10. În consecință, probabilitatea de a extrage o bilă neagră este P(h)1 = 3/10.
Probabilitatea ca o minge albă să fie extrasă din a doua urnă este P(b)2 = 5/20 = 1/4. În consecință, probabilitatea de a extrage o bilă neagră este P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Evenimentul A - o bilă albă este luată din două bile
Să luăm în considerare rezultatul posibil al evenimentului A.
- Din prima urna a fost extrasa o bila alba, iar din a doua urna a fost extrasa o bila alba. Apoi a fost extrasă o minge albă din aceste două bile. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
- Din prima urna a fost extrasa o bila alba si din a doua urna a fost extrasa o bila neagra. Apoi a fost extrasă o minge albă din aceste două bile. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
- Din prima urna a fost extrasa o bila neagra, iar din a doua urna a fost extrasa o bila alba. Apoi a fost extrasă o minge albă din aceste două bile. P3 = 3/10*1/4 = 3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
Exemplul 11. Sunt n mingi de tenis în cutie. Dintre acestea, m au fost jucate. Pentru primul joc, două mingi au fost luate la întâmplare și puse înapoi după joc. Pentru al doilea joc am luat și două mingi la întâmplare. Care este probabilitatea ca al doilea joc să fie jucat cu mingi noi?
Soluţie. Luați în considerare evenimentul A - jocul a fost jucat pentru a doua oară cu mingi noi. Să vedem ce evenimente pot duce la asta.
Să notăm cu g = n-m numărul de bile noi înainte de a fi scoase.
a) pentru primul joc au fost scoase două mingi noi.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) pentru primul joc, au scos o minge nouă și una a jucat deja una.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) pentru primul joc au fost scoase două mingi jucate.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
Să ne uităm la evenimentele celui de-al doilea joc.
a) Au fost extrase două bile noi, cu condiția P1: deoarece bile noi au fost deja extrase pentru primul joc, apoi pentru al doilea joc numărul lor a scăzut cu 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Au fost extrase două bile noi, în condiția P2: deoarece o bilă nouă fusese deja extrasă pentru primul joc, apoi pentru al doilea joc numărul lor a scăzut cu 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Au fost extrase două bile noi, cu condiția P3: deoarece anterior nu erau folosite bile noi pentru primul joc, numărul acestora nu s-a schimbat pentru al doilea joc g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
Probabilitate totală P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Răspuns: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Exemplul 12. Prima, a doua și a treia cutie conțin 2 bile albe și 3 negre, a patra și a cincea cutie conțin 1 bilă albă și 1 neagră. O cutie este aleasă aleatoriu și din ea se extrage o minge. Care este probabilitatea condiționată ca a patra sau a cincea casetă să fie aleasă dacă mingea extrasă este albă?
Soluţie.
Probabilitatea de a alege fiecare casetă este P(H) = 1/5.
Să luăm în considerare probabilitățile condiționate ale evenimentului A - extragerea bilei albe.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Probabilitatea totală de a extrage o minge albă:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Probabilitatea condiționată ca a patra casetă să fie selectată
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Probabilitate condiționată ca a cincea casetă să fie selectată
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
În total, probabilitatea condiționată ca a patra sau a cincea casetă să fie selectată este
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546
Exemplul 13. În urnă erau 7 bile albe și 4 roșii. Apoi o altă minge de culoare albă sau roșie sau neagră a fost pusă în urnă și după amestecare a fost scoasă o minge. S-a dovedit a fi roșu. Care este probabilitatea ca a) să fi fost plasată o minge roșie? b) bila neagra?
Soluţie.
a) bila rosie
Evenimentul A - se extrage mingea roșie. Evenimentul H - este plasată mingea roșie. Probabilitatea ca o minge roșie să fi fost plasată în urnă P(H=K) = 1 / 3
Atunci P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) bila neagră
Evenimentul A - se extrage mingea roșie. Evenimentul H - este plasată o minge neagră.
Probabilitatea ca o bilă neagră să fi fost plasată în urnă P(H=H) = 1/3
Atunci P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0,111
Exemplul 14. Sunt două urne cu bile. Unul are 10 bile roșii și 5 albastre, al doilea are 5 bile roșii și 7 albastre. Care este probabilitatea ca o bila rosie sa fie extrasa la intamplare din prima urna si o bila albastra din a doua?
Soluţie. Fie evenimentul A1 o bila rosie extrasa din prima urna; A2 - se extrage o bila albastra din a doua urna:
,
Evenimentele A1 și A2 sunt independente. Probabilitatea apariției comune a evenimentelor A1 și A2 este egală cu
Exemplul 15. Există un pachet de cărți (36 de piese). Două cărți sunt extrase la întâmplare pe rând. Care este probabilitatea ca ambele cărți extrase să fie roșii?
Soluţie. Fie evenimentul A 1 primul cartonaș roșu extras. Evenimentul A 2 - al doilea cartonaș roșu extras. B - ambele cărți scoase sunt roșii. Deoarece atât evenimentul A 1 cât și evenimentul A 2 trebuie să aibă loc, atunci B = A 1 · A 2 . Evenimentele A1 și A2 sunt dependente, prin urmare, P(B):
,
De aici
Exemplul 16. Două urne conțin bile care diferă doar prin culoare, iar în prima urnă sunt 5 bile albe, 11 bile negre și 8 roșii, iar în a doua sunt 10, 8, respectiv 6 bile. Din ambele urne se extrage o minge la întâmplare. Care este probabilitatea ca ambele bile să aibă aceeași culoare?
Soluţie. Fie ca indicele 1 să însemne culoare alba, indice 2 - negru; 3 - culoare roșie. Fie evenimentul A i ca din prima urna se extrage o bila de culoarea i-a; evenimentul B j - din a doua urnă se extrage o minge de culoare j; evenimentul A - ambele bile au aceeași culoare.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. Evenimentele A i și B j sunt independente, iar A i · B i și A j · B j sunt incompatibile pentru i ≠ j. Prin urmare,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
Exemplul 17. Dintr-o urna cu 3 bile albe si 2 negre se extrag bilele pe rand pana apare negru. Găsiți probabilitatea ca 3 bile să fie extrase din urnă? 5 bile?
Soluţie.
1) probabilitatea ca 3 bile să fie extrase din urnă (adică a treia bilă va fi neagră, iar primele două vor fi albe).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) probabilitatea ca 5 bile să fie extrase din urnă
Această situație nu este posibilă, deoarece doar 3 bile albe.
P=0
4) Există trei urne cu aspect identic: prima conține 5 bile albe și 10 negre; al doilea contine 9 bile albe si 6 negre; în al treilea sunt doar bile negre. Se extrage o minge dintr-o urna aleasa aleatoriu. Care este probabilitatea ca această minge să fie neagră.
Soluţie
Eveniment A- a scos o minge neagră. Eveniment A
H
H
H
Deoarece urnele de vot arată identice, atunci:
A pentru fiecare ipoteză.
Bila neagră a fost luată din prima urnă:
De asemenea:
Răspuns:
5) Sunt două urne: prima conține 5 bile albe și 10 negre; a doua urna contine 9 bile albe si 6 negre. O minge este transferată din prima urnă în a doua fără să se uite. După aceasta, se extrage o minge din a doua urnă. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie neagră.
Soluţie
Eveniment A– din a doua urnă s-a luat o minge neagră. Eveniment A se poate întâmpla cu unul dintre evenimentele incompatibile (ipoteze):
H 1 – s-a transferat o minge albă din prima urnă în a doua;
H 2 – o minge neagră a fost transferată din prima urnă în a doua.
Probabilități de ipoteze:
Să găsim probabilitățile condiționate ale evenimentului A. Dacă o bilă albă este transferată din prima urnă în a doua, atunci a doua urna conține 10 bile albe și 6 negre. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a obține o minge neagră din ea este egală cu:
De asemenea:
Conform formulei probabilității totale:
Răspuns:
6) Sunt trei urne: prima contine 5 bile albe si 10 negre; al doilea contine 9 bile albe si 6 negre; a treia urnă conține 15 bile negre (fără bile albe). O minge a fost luată dintr-o urna aleasă aleatoriu. Această minge s-a dovedit a fi neagră. Găsiți probabilitatea ca mingea să fi fost extrasă din a doua urnă.
Soluţie
Eveniment A– o minge a fost luată dintr-o urna aleasă aleatoriu.
Eveniment A se poate întâmpla cu unul dintre evenimentele incompatibile (ipoteze):
H 1 – mingea a fost luată din prima urnă;
H 2 – mingea a fost luată din a doua urnă;
H 3 – mingea a fost luată din a treia urnă.
Probabilitățile anterioare ale ipotezelor sunt:
În problema 4 se găsesc probabilitățile condiționate ale evenimentului Ași probabilitatea sa totală:
Să găsim probabilitatea posterioară a ipotezei folosind formula lui Bayes H 2 .
Bila neagră este luată din a doua urnă:
Să comparăm și:
Astfel, dacă se știe că a fost extrasă o bilă neagră, atunci probabilitatea ca aceasta să fi fost extrasă din a doua urnă scade (aceasta corespunde condiției ca a doua urnă să conțină cel mai mic număr de bile negre).
Răspuns: .
formula lui Bernoulli
7) În familie sunt șase copii. Probabilitatea de a avea o fată este de 0,49. Găsiți probabilitatea ca printre acești copii unul să fie o fată.
Soluţie
Eveniment A- s-a născut o fată.
P= P(A) = 0,49;
q= 1 – p= 1 – 0,49 = 0,51.
Formula Bernoulli:
Doar șase copii, adică n=6.
Trebuie să găsim probabilitatea ca printre ei să fie exact o fată, ceea ce înseamnă m= 1.
Răspuns:
8) Segment ABîmpărțit la exact Cîntr-un raport de 2:1. 6 puncte sunt aruncate la întâmplare pe acest segment. Se presupune că probabilitatea ca un punct să cadă pe un segment este proporțională cu lungimea segmentului și nu depinde de locația acestuia. Găsiți probabilitatea ca mai mult de un punct să fie la dreapta unui punct C.
Soluţie
Eveniment A– un punct aleatoriu cade pe segment C.B.(în dreapta punctului C).
Deoarece C desparte ABîntr-un raport de 2:1, atunci:
2C.B.=A.C.;
2C.B.+C.B.=A.C.+C.B.;
3C.B.=AB;
Pe baza definiției geometrice a probabilității, obținem:
formula lui Bernoulli.
Să considerăm un grup complet de evenimente (incompatibile în perechi, care se numesc ipoteze), iar dacă un eveniment poate avea loc numai atunci când apare una dintre aceste ipoteze, atunci probabilitatea evenimentului se calculează prin formula probabilitatii totale:
,
unde este probabilitatea ipotezei. 
.
– probabilitatea condiționată a unui eveniment conform acestei ipoteze. Dacă înainte de experiment probabilitățile ipotezelor erau , și ca urmare a experimentului a apărut un eveniment, atunci ținând cont de acest eveniment, „nou”, adică condiționat, probabilitățile ipotezelor sunt calculate prin Formula Bayes:
.
Formula lui Bayes face posibilă reestimarea probabilităților ipotezelor, ținând cont deja rezultat cunoscut experienţă.
Exemplul 1.
Sunt trei urne identice. În primul sunt bile albe și cele negre; în al doilea - alb și negru; a treia conține doar bile albe. Cineva se apropie de una dintre urne la întâmplare și scoate o minge din ea. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.
Soluţie.
Fie ca evenimentul să fie aspectul unei mingi albe. Formulăm ipoteze: – alegerea primei urne;
– alegerea celei de-a doua urne;
– alegerea celei de-a treia urne;
,
, 
, 
;
conform formulei probabilității totale
Exemplul 2.
Există două urne: prima conține bile albe și cele negre, a doua conține ambele bile negre. O minge este transferată din prima urnă în a doua; Bilele sunt amestecate și apoi o minge este transferată din a doua urnă în prima. După aceasta, o minge este luată la întâmplare din prima urna. Găsiți probabilitatea ca el să fie alb.
Soluţie.
Ipoteze: – nu s-a schimbat compozitia bilelor din prima urna;
– în prima urna o bila neagra se inlocuieste cu una alba;
– în prima urna o bila alba este inlocuita cu una neagra;
; 
Soluția rezultată sugerează că probabilitatea de a extrage o minge albă nu se va schimba dacă ponderea bilelor albe și a bilelor negre din ambele urne sunt aceleași 
.
Răspuns: 
.
Exemplul 3.
Dispozitivul este format din două noduri, funcționarea fiecărui nod este absolut necesară pentru funcționarea dispozitivului în ansamblu. Fiabilitatea (probabilitatea de funcționare fără defecțiuni pentru o perioadă de timp) a primului nod este egală cu cea a celui de-al doilea. Dispozitivul este testat pentru o perioadă de timp, în urma căreia se descoperă că a eșuat (eșec). Găsiți probabilitatea ca doar primul nod să fi eșuat, iar al doilea să fie operațional.
Soluţie.
Înainte de experiment, sunt posibile patru ipoteze:
– ambele unități sunt operaționale;
– primul nod a eșuat, al doilea este operațional;
– primul este funcțional, al doilea este defect;
– ambele noduri au eșuat;
Probabilități de ipoteze:
A fost observat un eveniment - dispozitivul a eșuat:
Conform formulei lui Bayes:
Repetarea experimentelor
Dacă experimentele independente sunt efectuate în condiții identice și în fiecare dintre ele apare probabil un eveniment, atunci probabilitatea ca evenimentul să se producă exact o dată în aceste experimente este exprimată prin formula:
,
Probabilitatea ca cel puțin o apariție a unui eveniment în timpul experimentelor independente în condiții identice este egală cu:
.
Probabilitatea ca evenimentul să se producă a) mai puțin de o dată; b) de mai multe ori; c) cel puțin o dată; d) nu găsim mai mult de ori după formulele:
Teorema generala despre repetarea experimentelor
Dacă experimentele independente sunt efectuate în condiții diferite și probabilitatea unui eveniment în al-lea experiment este egală cu , atunci probabilitatea ca evenimentul să apară în aceste experimente exact o dată este egală cu coeficientul at în expansiunea puterilor functie generatoare
, Unde .
Exemplul 1.
Dispozitivul este format din 10 noduri. Fiabilitate (probabilitatea de funcționare fără defecțiuni în timp) pentru fiecare nod . Nodurile eșuează independent unul de celălalt. Găsiți probabilitatea ca în timp:
a) cel puțin un nod va eșua;
b) exact un nod va eșua;
c) exact două noduri vor eșua;
d) cel puțin două noduri vor eșua.
Soluţie.
Exemplul 2.
Într-o urnă sunt 30 de bile albe și 15 negre. Se scot 5 bile la rând, iar fiecare bilă scoasă este returnată în urnă înainte ca următoarea să fie scoasă și bilele din urnă sunt amestecate. Care este probabilitatea ca din 5 bile extrase să fie 3 albe?
Soluţie.
Probabilitatea de a extrage o minge albă poate fi considerată aceeași în toate cele 5 încercări: apoi probabilitatea de a nu apărea o minge albă. Folosind formula lui Bernoulli obținem:
Exemplul 3.
Moneda este aruncată de opt ori. Care este probabilitatea ca acesta să aterizeze cu susul în jos de șase ori?
Soluţie.
Avem o schemă de testare Bernoulli. Probabilitatea ca Ge să apară într-o singură încercare 
, Apoi
Răspuns: 0,107.
Exemplul 4.
Sunt trase patru focuri independente, iar probabilitatea de a lovi ținta este media probabilităților
Găsiți probabilități: 
.
Soluţie.
După formula lui Bernoulli avem
Exemplul 5.
Există cinci stații cu care se menține comunicarea. Din când în când, comunicarea este întreruptă din cauza interferențelor atmosferice. Datorită distanței stațiilor între ele, întreruperea comunicării cu fiecare dintre ele are loc independent de celelalte cu o probabilitate de 0,2. Găsiți probabilitatea ca în acest moment comunicarea se va menține cu cel mult două stații.
Soluţie.
Eveniment – există comunicare cu cel mult două stații.
Răspuns: 0,72.
Exemplul 6.
Un sistem de stații radar monitorizează un grup de obiecte format din zece unități. Fiecare dintre obiecte poate fi pierdut (indiferent de celelalte) cu probabilitate 0,1. Găsiți probabilitatea ca cel puțin unul dintre obiecte să se piardă.
Soluţie.
Probabilitatea de a pierde cel puțin un obiect poate fi găsită folosind formula:
dar este mai ușor să folosiți probabilitatea evenimentului opus - nu se pierde un singur obiect - și să o scădeți din unitate
Răspuns: 0,65.
Opțiuni pentru sarcini pentru testul nr. 5
Opțiunea 1
1. Două au fost aruncate zaruri. Aflați probabilitatea ca suma punctelor extrase să fie 7.
2. Fie trei evenimente arbitrare. Scrieți o expresie pentru evenimentele care constau în care dintre acestea trei evenimente au avut loc cel puțin două evenimente.
3. Moneda este aruncată de 5 ori. Găsiți probabilitatea ca „stama” să apară: a) de cel puțin două ori, b) de mai puțin de două ori.
4. Sunt 2 urne identice. Prima urna contine 3 bile albe si 5 negre, a doua urna contine 3 bile albe si 7 negre. Se extrage o minge dintr-o urnă aleasă aleatoriu. Determinați probabilitatea ca mingea
negru.
5. La campionatul național de fotbal participă 18 echipe.La fiecare două echipe se întâlnesc de 2 ori pe terenurile de fotbal. Câte meciuri se joacă într-un sezon?
Opțiunea 2
1. În timp ce forma un număr de telefon, abonatul a uitat ultimele 3 cifre și, amintindu-și doar că aceste cifre sunt diferite, le-a format la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca numerele necesare să fie formate.
2. Este adevărat? 
.
3. Găsiți probabilitatea ca evenimentul să se producă de cel puțin 2 ori în 4 încercări independente, dacă probabilitatea ca evenimentul să se producă într-o singură încercare este 0,6.
4. Aparatele electrice sunt furnizate magazinului de trei fabrici. Primul furnizează 50%, al doilea – 20%, al treilea – 30% din toate produsele. Probabilităţile de a produce un aparat de cea mai bună calitate de către fiecare plantă sunt respectiv egale cu: . Determinați probabilitatea ca un dispozitiv achiziționat într-un magazin să fie de cea mai bună calitate.
5. Literele de cod Morse sunt formate ca o succesiune de puncte și
liniuță. Câte litere diferite pot fi formate dacă folosiți 5
personaje?
Opțiunea 3
1. Într-o cutie sunt 10 bile numerotate cu numere de la 1 la 10. Se scoate o minge. Care este probabilitatea ca numărul bilei extrase să nu depășească 10?
2. Este adevărată egalitatea? 
?
3. Probabilitatea ca un eveniment să apară cel puțin o dată în timpul a trei încercări este de 0,936. Găsiți probabilitatea ca evenimentul să se producă în timpul unei încercări.
4. Există trei urne identice. Prima urna contine 5 bile albe si 5 negre, a doua contine 3 bile albe si 2 negre, iar a treia contine 7 bile albe si 3 negre. Se extrage o minge dintr-o urna aleasa aleatoriu. Determinați probabilitatea ca mingea să fie albă.
5. În câte moduri pot fi așezate 12 persoane la o masă pe care sunt așezate 12 tacâmuri?
Opțiunea 4
1. În atelier lucrează 6 bărbați și 4 femei. 7 persoane au fost selectate la întâmplare folosind numerele lor de personal. Aflați probabilitatea ca printre persoanele selectate să fie 3 femei.
2. Demonstrează că 
.
3. Fie probabilitatea ca o parte aleasă aleatoriu să nu fie standard este egală cu 0,1. Găsiți probabilitatea ca dintre 5 părți luate la întâmplare, nu mai mult de două să fie nestandard.
4. Există trei urne identice. Prima urnă conține 3 bile albe și 3 negre, a doua conține 2 bile albe și 6 negre, iar a treia conține 5 bile albe și 2 negre. Se extrage o minge dintr-o urna aleasa aleatoriu. Determinați probabilitatea ca mingea să fie neagră.
5. Este necesară crearea unui program de plecare a trenurilor pentru diferite zile ale săptămânii. În acest caz, este necesar ca: 3 zile – 2 trenuri pe zi, 2 zile – 1 tren pe zi, 2 zile – 3 trenuri pe zi. Câte programe diferite poți crea?
Opțiunea 5
1. Un cub, ale cărui margini sunt colorate, este tăiat în 64 de cuburi de aceeași dimensiune, care sunt apoi amestecate. Găsiți probabilitatea ca un cub desenat aleatoriu să aibă două fețe colorate.
2. Demonstrează că 
.
3. Fie probabilitatea ca televizorul să necesite reparații în perioada de garanție să fie egală cu 0,2. Găsiți probabilitatea ca în perioada de garanție din 6 televizoare: a) nu mai mult de 1 să necesite reparații, b) cel puțin 1 să nu necesite reparații.
4. Trei linii automate produc piese similare. Din cauza defecțiunilor mașinii, se pot produce produse defecte: prin prima linie cu o probabilitate de 0,02; al doilea – cu probabilitate 0,01; al treilea - cu o probabilitate de 0,05. Prima linie oferă 70%, a doua – 20%, a treia – 10% din producția totală. Determinați probabilitatea de a obține un defect.
5. Într-o urnă sunt bile albe și negre. În câte moduri poți alege dintr-o urnă de bile, dintre care vor fi și albe? (Bingele de fiecare culoare sunt numerotate.)
Opțiunea 6
1. Într-o urnă sunt 12 bile: 3 albe, 4 negre și 5 roșii. Care este probabilitatea de a scoate o minge roșie din urnă?
2. Demonstrează că .
3. Probabilitatea de a câștiga la un bilet de loterie este de . Găsiți probabilitatea de a câștiga la cel puțin 2 bilete din 6.
4. Două cutii conțin același tip de piese: în prima cutie sunt 8 reparabile și 2 defecte, în a doua sunt 6 reparabile și 4 defecte. Două părți sunt luate la întâmplare din prima casetă și o parte din a doua. Părțile au fost amestecate și plasate în a treia cutie, din care o parte a fost luată la întâmplare. Determinați probabilitatea ca această piesă să fie utilă.
5. În câte moduri poți alege 2 pică dintr-un pachet de 36 de cărți?
Opțiunea 7
1. Într-o urnă sunt 15 bile cu numere de la 1 la 15. Care este probabilitatea de a extrage o bilă cu numărul 18?
2. Demonstrează că .
3. Probabilitatea de a lovi fiecare lovitură este de 0,4. Găsiți probabilitatea de distrugere a unui obiect dacă sunt necesare cel puțin 3 lovituri și sunt trase 15 focuri.
4. Două urne identice conțin bile albe și negre. O minge este transferată din prima urnă în a doua. În a doua urnă, bilele sunt amestecate, iar o minge este transferată în prima urnă. Apoi se extrage o minge din prima urna. Aflați probabilitatea ca mingea să fie albă.
5. Două numere sunt selectate secvenţial din set fără a reveni. Câte seturi există în care al doilea număr este mai mare decât primul?
Opțiunea 8
1. Există un cerc în interiorul elipsei. Aflați probabilitatea ca un punct să cadă într-un inel delimitat de o elipsă și un cerc.
2. Fie trei evenimente arbitrare. Găsiți expresii pentru evenimente constând în următoarele: a) evenimentele au avut loc, dar evenimentul nu a avut loc; b) s-au petrecut exact 2 evenimente.
3. Aflați probabilitatea ca într-o familie cu 6 copii, cel puțin
2 fete. (Probabilitățile de a avea un băiat și o fată sunt considerate aceleași.)
4. Sunt două urne. Prima urna contine 3 bile albe si 5 negre, a doua urna contine 4 bile albe si 6 negre. Două bile sunt transferate din prima urnă în a doua fără să se uite. Bilele din a doua urnă sunt bine amestecate și se ia o minge din ea. Găsiți probabilitatea ca mingea să o facă
alb.
5. În câte moduri pot fi desemnate cu litere vârfurile unui triunghi dat? 
?
Opțiunea 9
1. Cuvântul „carte” este format din cinci litere ale alfabetului împărțit. Un copil care nu poate citi a împrăștiat aceste scrisori și apoi le-a strâns în ordine aleatorie. Găsiți probabilitatea ca el să primească din nou cuvântul „carte”.
2. Găsiți toate evenimentele astfel încât 
, unde și sunt unele evenimente.
3. Din 15 bilete de loterie sunt câștigătoare 4. Care este probabilitatea ca dintre 6 bilete luate la întâmplare să fie două câștigătoare?
4. Sunt trei urne identice. Prima urna contine 4 bile albe si 2 negre, a doua - 3 bile albe si 3 negre, a treia - 1 bile albe si 5 negre. Din a doua și a treia urnă, fără să te uiți, transferă două bile în prima urnă. Bilele din prima urnă sunt amestecate și două bile sunt extrase din ea la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca acestea să fie albe.
5. Din cei cinci jucători de șah, doi trebuie să fie trimiși pentru a participa la turneu. În câte moduri se poate face acest lucru?
Opțiunea 10
1. Trei sunt extrași la întâmplare dintr-un pachet de 52 de cărți. Găsiți probabilitatea ca acesta să fie un trei, un șapte și un as.
2. Având în vedere două blocuri duplicat și . Înregistrați evenimentul că sistemul este sănătos.
3. Pentru a semnala un accident, sunt instalate două alarme care funcționează independent. Probabilitatea ca alarma să se declanșeze în timpul unui accident este de 0,95 pentru primul și 0,9 pentru al doilea. Găsiți probabilitatea ca în timpul unui accident să se declanșeze o singură alarmă.
4. Trei linii automate produc piese cu același nume. Prima linie oferă 70%, a doua – 20%, a treia – 10% din producția totală. Probabilitățile de a primi produse defecte pe fiecare linie sunt, respectiv, egale cu: 0,02; 0,01; 0,05. Partea luată pentru noroc s-a dovedit a fi defectă. Determinați probabilitatea ca piesa să fi fost fabricată pe prima linie.
5. Se selectează 10 puncte pe cerc. Câte acorduri pot fi desenate cu capete în aceste puncte.
Opțiunea 11
1. O urnă conține bile albe, negre și roșii. Trei bile sunt extrase la întâmplare. Care este probabilitatea ca acestea să aibă culori diferite.
2. Este adevărată egalitatea? 
?
3. Departamentul de control tehnic verifică standarditatea produselor. Probabilitatea ca produsul să fie standard este de 0,9. Aflați probabilitatea ca a două produse testate doar unul să fie standard.
4. Trei trăgători trag în țintă independent unul de celălalt, fiecare trăgând o lovitură. Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,4, pentru al doilea - 0,6 și pentru al treilea - 0,7. După împușcare, au fost detectate două lovituri la țintă. Determinați probabilitatea ca acestea să aparțină primei și a treia săgeți.
5. În câte moduri pot fi așezate pe rând 5 bile roșii, 4 negre și 5 albe, astfel încât bilele aflate pe margini să aibă aceeași culoare?
Opțiunea 12
1. O întâlnire de 25 de persoane, inclusiv 5 femei, selectează o delegație de 3 persoane. Avand in vedere ca fiecare dintre cei prezenti poate fi ales cu aceeasi probabilitate. Găsiți probabilitatea ca delegația să includă 2 femei și un bărbat.
3. Aflați probabilitatea din probabilitățile date 
, 
.
4. Codul 1111 cu probabilitatea 0.2, codul 0000 cu probabilitatea 0.3 și codul 1001 cu probabilitatea 0.5 pot fi transmise prin canalul de comunicare. Datorită influenței interferenței, probabilitatea de a primi corect fiecare cifră (0 sau 1) a codului este de 0,9, iar cifrele sunt distorsionate independent unele de altele. Găsiți probabilitatea ca codul 1111 să fie transmis dacă codul 1011 este primit la dispozitivul de recepție.
5. Câte trasee diferite poate alege un pieton dacă decide să meargă 9 blocuri, 5 dintre ele spre vest, 4 către nord.
Opțiunea 13
1. Un grup de 10 bărbați și 10 femei este împărțit aleatoriu în două părți egale. Aflați probabilitatea ca în fiecare parte să existe un număr egal de bărbați și femei.
2. și – unele evenimente. Este adevărată egalitatea? 
?
3. Aflați probabilitatea din probabilitățile date , , 
.
4. Peste linia de comunicație, este posibil să se transmită codul 1234 cu o probabilitate de 0,6 și codul 4321 cu o probabilitate de 0,4. Codul este afișat pe afișaj, ceea ce poate distorsiona numerele. Probabilitatea de a lua 1 ca 1 este 0,8, iar 1 ca 4 este 0,2. Probabilitatea de a lua 4 pentru 4 este 0,9, iar 4 pentru 1 este 0,1. Probabilitatea de a confunda 2 cu 2 și 3 cu 3 este de 0,7. Probabilitatea de a lua 2 pentru 3 și 3 pentru 2 este 0,3. Operatorul a acceptat codul 4231. Determinați probabilitatea ca codul să fie acceptat:
a) 1234; b) 4321.
5. Între trei persoane - trebuie să împărțiți 15 diverse articole, și ar trebui să primească 2 articole, – 3 și – 10. În câte moduri poate fi efectuată această distribuție?
Opțiunea 14
1. Intr-un lot de 10 produse sunt 4 defecte. Ei aleg la întâmplare
5 produse. Determinați probabilitatea ca printre aceste 5 produse să fie trei defecte.
2. Demonstrați că , , formează un grup complet de evenimente.
3. Elevul cunoaște 20 din 25 de întrebări din program. Aflați probabilitatea ca elevul să răspundă la 2 întrebări propuse de examinator.
4. Există 4 loturi de piese. În primul lot sunt 3% defecte, în al doilea – 4%, în al treilea și al patrulea lot nu există defecte. Care este probabilitatea de a lua o piesă defectă dacă o piesă este luată dintr-un lot selectat aleatoriu? Care este probabilitatea ca piesa luată să aparțină primului lot dacă se dovedește a fi defectă?
5. Studentul trebuie să promoveze 4 examene în termen de 10 zile. În câte moduri îi poți crea un program?
Opțiunea 15
1. În sală sunt 50 de locuri. Aflați probabilitatea ca din 10 persoane 5 să ocupe anumite locuri dacă locurile sunt ocupate de ei în mod aleatoriu.
2. Demonstrează că .
3. Trei trăgători trag la țintă independent unul de celălalt. Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,75, pentru al doilea – 0,8, pentru al treilea – 0,9. Găsiți probabilitatea ca toți cei trei trăgători să lovească ținta.
4. O minge de culoare necunoscută se pierde dintr-o urna care conține 4 bile negre și 6 albe. Pentru a determina compoziția bilelor din urnă, din aceasta au fost extrase la întâmplare două bile. S-au dovedit a fi albi. Găsiți probabilitatea ca mingea albă să fi fost pierdută.
5. În câte moduri pot fi aranjate 7 cărți pe un raft dacă două anumite cărți ar trebui să stea mereu una lângă alta?
4. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,7. Determinați probabilitatea ca șase lovituri independente să aibă ca rezultat cinci lovituri.
5. Mașina are 7 locuri. În câte moduri pot intra 7 persoane în această mașină dacă doar trei dintre ei pot ocupa locul șoferului?
Opțiunea 18
1. Pentru practica industrială sunt prevăzute 15 locuri pentru 30 de studenți la Moscova, 8 în Taiga și 7 la Novosibirsk. Care este probabilitatea ca doi studenți anumiți să facă un stagiu în același oraș?
2. Fie trei evenimente arbitrare. Găsiți expresii pentru evenimente constând din ceea ce s-a întâmplat: a) numai ; b) un singur eveniment.
3. Într-o cutie sunt 6 bile albe și 8 negre. Două bile sunt scoase din cutie (fără a întoarce mingea scoasă în cutie). Aflați probabilitatea ca ambele bile să fie albe.
3. În prima casetă sunt 2 bile albe și 10 negre, în a doua sunt 8 bile albe și
4 bile negre. S-a luat câte o minge din fiecare cutie. Care este probabilitatea ca ambele bile să fie albe?
4. Sunt testate 25 de motoare. Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a fiecărui motor este aceeași și egală cu 0,95. Determinați numărul cel mai probabil de motoare defectate.
5. Tanya are 20 de mărci, Natasha are 30. În câte moduri poți schimba o notă Tanya cu o Natasha?
Opțiunea 20
1. Se aruncă 4 zaruri. Găsiți probabilitatea ca toată lumea să obțină același număr de puncte.
2. Evenimentele și dacă este necesar să coincidă?
3. Trei trăgători trag la țintă independent unul de celălalt. Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,75, pentru al doilea - 0,8. pentru al treilea – 0,9. Determinați probabilitatea ca cel puțin un trăgător să lovească ținta.
4. Se testează un lot de tranzistori. Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a fiecărui tranzistor este de 0,92. Determinați câți tranzistori trebuie testați astfel încât cel puțin o defecțiune să poată fi detectată cu o probabilitate de cel puțin 0,95.
5. Câte numere din cinci cifre pot fi făcute din cifrele 1, 2, 4, 6, 7, 8, dacă fiecare cifră din orice număr este folosită nu mai mult de o dată?
Există trei urne cu aspect identic; in prima urna sunt 2 bile albe si 1 neagra; in a doua urna sunt 3 bile albe si 1 neagra; al treilea contine 2 bile albe si 2 negre.
Cineva alege una dintre urne la întâmplare și trage o minge din ea. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.
Să luăm în considerare trei ipoteze:
H1-selectarea primei urne
H2-selectarea celei de-a doua urne
H3-alegerea celei de-a treia urne
Un grup complet de evenimente incompatibile.
Fie evenimentul A aspectul unei mingi albe. Deoarece ipotezele, conform condițiilor problemei sunt la fel de posibile, atunci P(H1) = P(H2) = P(H3) =1\3
Probabilitățile condiționate ale evenimentului A în aceste ipoteze sunt, respectiv, egale: P(A/H1) =2\3; P(A/H2) =3\4; P(A/H3) = 1/2.
Conform formulei probabilității totale
P(A) =1\3*3\2+1\3*3\4+1\3*1\2=23\36
Răspuns: 23\36
P.2. Teorema ipotezelor.
O consecință a teoremei înmulțirii și a formulei probabilității totale este așa-numita teoremă de ipoteză sau formula lui Bayes.
Să punem următoarea problemă.
Există un grup complet de ipoteze inconsistente H1, H2,. . Nn. probabilitățile acestor ipoteze sunt cunoscute înainte de experimente și sunt egale, respectiv, cu P(H1), P(H2) ..., P(Hn). A fost efectuat un experiment în urma căruia a fost observată apariția unui eveniment A. Întrebarea este cum ar trebui modificate probabilitățile ipotezelor în legătură cu apariția acestui eveniment?
Aici, în esență despre care vorbim despre găsirea probabilității condiționate P(H1/A) pentru fiecare ipoteză.
Din teorema înmulțirii avem:
Р(A*Нi) =P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3, . n) sau, aruncând partea stanga Nutrend enduro bcaa 120caps cumpara.
P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,. .,n)
Unde P (Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷P(A),(i=1,2,3, . . n)
Exprimând cu P(A) folosind probabilitatea totală, avem
P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷∑P(Hi) P(A\Hi),(i=1,2,3, . . n) (2)
Formula (2) se numește formula Bays sau teorema ipotezei
Exemplul 2. într-o fabrică, 30% din produse sunt produse cu mașina I, 25% din produse cu mașina II, restul produse cu mașina III. Pentru mașina I, 1% din produsele sale sunt casate, pentru mașina II - 1,5%, pentru mașina III - 2%, o unitate de producție aleasă aleatoriu s-a dovedit a fi defectă. Care este probabilitatea ca acesta să fi fost produs de mașina I?
Să introducem notația pentru evenimente.
A-produsul selectat s-a dovedit a fi defect
H1-produs produs de mașina I
H2 - produs produs de mașina II
H3 - produs produs de mașina III
P(H1) = 0,30; P(H2) = 0,25; P(H3) = 0,45
P(A/H1) = 0,01,
P(A/H2) = 0,015
P(A/H3) = 0,02
P(A) =0,01*0,30+0,015*0,25+0,02*0,45=0,015,
P(H1/A) = 0,01*0,30÷0,015=0,20
Răspuns: 20% din toate produsele defecte sunt produse de mașina I.
§9. formula lui Bernoulli
Legea numerelor mari
Fie A un eveniment aleatoriu în raport cu o experiență σ. Ne va interesa doar dacă evenimentul A a avut loc sau nu în urma experimentului, de aceea vom accepta următorul punct de vedere: spațiul evenimentelor elementare asociate experienței σ este format din doar două elemente - A și A .Notam probabilitatile acestor elemente, respectiv, cu p si q , (p+q=1).
Să presupunem acum că experimentul σ în condiții neschimbate se repetă de un anumit număr de ori, de exemplu, de 3 ori. Să fim de acord să considerăm realizarea triplă a lui σ ca o anumită experiență nouă η. Dacă continuăm să fim interesați doar de apariția sau neapariția lui A., atunci ar trebui să acceptăm în mod evident că spațiul evenimentelor elementare corespunzător experienței η este format din toate secvențele posibile de lungime 3: (A, A, A) , (A, A, A), ( A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), ( A, A, A), care poate fi compus din A și A.
Fiecare dintre secvențele indicate înseamnă una sau alta secvență de apariție sau neapariție a evenimentelor A în trei experimente σ, de exemplu, secvența (A, A, A) înseamnă că A a avut loc în primul experiment și A a avut loc în al doilea și al treilea. Să definim ce probabilități ar trebui să fie atribuite fiecăreia dintre secvențele (1)
Condiția ca toate cele trei ori experimentul σ să fie efectuate în condiții neschimbate ar trebui să însemne următorul lucru: rezultatul fiecăruia dintre cele trei experimente nu depinde de ce rezultate au avut loc în celelalte două experimente. Acestea. orice combinație a rezultatelor a trei experimente reprezintă un triplu de evenimente independente. În acest caz, este firesc să atribuim o probabilitate egală cu p*q*q unui eveniment elementar (A, A, A) și o probabilitate egală cu q*y*y evenimentului (A, A, A) , etc.
Acea. Ajungem la următoarea descriere a modelului probabilistic pentru experimentul η (adică pentru implementarea triplă a experimentului σ). Spațiul Ω al evenimentelor elementare este un set de 2 până la 3 secvențe de putere. (1). Fiecare secvență este asociată ca probabilitate cu numărul p la puterea lui k, q la puterea lui e, unde exponenții determină de câte ori apar simbolurile A și A în expresia pentru o anumită secvență.
Modelele probabilistice de acest fel sunt numite scheme Bernoulli. ÎN caz general Schema lui Bernoulli este determinată de valoarea numerelor n și p, unde n este numărul de repetări ale experimentului inițial σ (în experimentul anterior am considerat n=3), iar p este probabilitatea evenimentului A în raport cu experimentul σ.
Teorema 1. Fie probabilitatea evenimentului A egală cu p, iar Pmn probabilitatea ca într-o serie de n încercări independente acest eveniment să se producă de m ori.
Atunci formula lui Bernoulli este valabilă.
Pmn=Cn la puterea lui m *P la puterea lui m *q to grade n-m
Moneda este aruncată de 10 ori. Care este probabilitatea ca stema să apară exact de 3 ori?
În acest caz, succesul este considerat a fi pierderea stemei; probabilitatea p pentru acest eveniment în fiecare experiment este egală cu 1\2.
Prin urmare: Р10.3=С10 până la 3 grade*(1\2) până la 3 grade*(1\2) până la 7 grade=10*9*8÷1*2*3*(1÷2 până la 10 grade) = 15\128
Răspuns: 15\128
La un numar mare teste, frecvența relativă de apariție a unui eveniment diferă puțin de probabilitatea acestui eveniment. Formularea matematică a acestei afirmații calitative este dată de legea numerelor mari a lui Bernoulli, care a fost rafinată de Cebyshev.
Teorema 2. Fie probabilitatea evenimentului A din testul p egală cu p și să fie efectuate o serie de n repetări independente ale acestui test.
Dacă evenimentul A poate avea loc numai împreună cu unul dintre evenimentele ,,...,, formând un grup complet de evenimente incompatibile (aceste evenimente se numesc ipoteze), atunci probabilitatea de apariție a evenimentului A se calculează prin formula probabilitate deplină :
. (4.1)
Lasă în schema descrisă mai sus evenimentul A s-a întâmplat și trebuie să aflați probabilitatea ca acesta să se fi întâmplat împreună cu una dintre ipoteze. Această probabilitate este calculată prin Formule Bayes :
,
.
(4.2)
Exemple de rezolvare a problemelor
Exemplu1 ‑ Există trei urne cu aspect identic; in prima sunt 2 bile albe si 3 negre, in a doua – 4 bile albe si 1 neagra, in a treia – 3 bile albe. Una dintre urne este selectată la întâmplare și din ea se extrage o minge. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.
Soluţie
Experiența sugerează trei ipoteze:
-selectarea primei urne;
-selectarea celei de-a doua urne;
-alegerea celei de-a treia urne, .
Luați în considerare evenimentul de interes A - bila extrasă este albă. Acest eveniment poate avea loc numai împreună cu una dintre ipotezele:
Folosind formula probabilității totale (4.1) obținem
Răspuns: .
Exemplu2 ‑ Două mașini produc piese identice care merg pe un transportor comun. Productivitatea primei mașini este de două ori mai mare decât a celei de-a doua. Prima mașină produce în medie 60% din piese de calitate excelentă, iar a doua - 84%. Piesa luată la întâmplare de pe linia de asamblare s-a dovedit a fi de o calitate excelentă. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fi fost produsă de prima mașină.
Soluţie
Se pot face două ipoteze (ipoteze): - piesa a fost produsă de prima mașină și (deoarece prima mașină produce de două ori mai multe piese decât a doua); - piesa a fost produsă de a doua mașină și .
Probabilitatea condiționată ca o piesă să fie de calitate excelentă dacă este produsă de prima mașină, dacă este produsă de a doua mașină.
Probabilitatea ca o parte luată la întâmplare să fie de calitate excelentă, conform formulei probabilității totale (4.1), este egală cu:
Probabilitatea necesară ca piesa excelentă selectată să fie produsă de prima mașină, conform formulei lui Bayes, este egală cu:
.
Răspuns: .
Probleme de rezolvat independent
1 Grupul de sportivi include 20 de schiori, 6 biciclisti si 4 alergatori. Probabilitatea de a îndeplini standardul de calificare este: pentru un schior - 0,9, pentru un biciclist - 0,8 și pentru un alergător - 0,75. Găsiți probabilitatea ca un sportiv ales la întâmplare să îndeplinească norma.
2 Dintr-o urna care contine 5 bile albe si 3 negre, se extrage o bila la intamplare si se pune intr-o alta urna, care continea anterior 2 bile albe si 7 negre. Culoarea mingii transferate nu este fixă. O minge este extrasă la întâmplare din a doua urnă. Care este probabilitatea ca această minge să fie albă?
3 Există 5 puști în piramidă, dintre care trei sunt echipate vizor optic. Probabilitatea ca un trăgător să lovească ținta atunci când trage o pușcă cu o vizor telescopic este de 0,95; pentru o pușcă cu lunetă obișnuită, această probabilitate este de 0,7. Găsiți probabilitatea ca ținta să fie lovită dacă trăgătorul trage o lovitură dintr-o pușcă luată la întâmplare.
4 În condițiile sarcinii anterioare, trăgătorul a lovit ținta. Determinați probabilitatea ca a împușcat: dintr-o pușcă cu o vizor optic; dintr-o pușcă cu o vizor convențional.
5 Pentru a participa la competițiile sportive de calificare a studenților au fost selectați 4 studenți din prima grupă a cursului, 6 din a doua și 5 din a treia.Probabilitățile ca un elev din prima, a doua și a treia grupă să fie inclus în clasamentul institutului. echipa sunt, respectiv, egale cu 0,9; 0,7 și 0,8. Un elev ales aleatoriu a ajuns în echipa națională în urma competiției. Cărui grup a aparținut cel mai probabil acest elev?
6 Prima urna contine 10 bile, dintre care 8 sunt albe; A doua urnă conține 20 de bile, dintre care 4 sunt albe. Din fiecare urnă se extrage o minge la întâmplare, apoi se extrage o minge la întâmplare din aceste două bile. Aflați probabilitatea ca bila albă să fie extrasă.
7 Într-un grup de 10 elevi care au susținut examenul, 3 erau excelent pregătiți, 4 bine pregătiți, 2 mediocri, 1 slab pregătit. Lucrările de examen conțin 20 de întrebări. Un elev excelent pregătit știe toate cele 20 de întrebări, un elev bine pregătit știe 16, un elev mediocru pregătit știe 10, iar un elev sărac știe 5. Un elev chemat la întâmplare răspunde la trei la întâmplare întrebări puse. Găsiți probabilitatea ca acest elev să fie pregătit: excelent; Prost.
8 Fiecare dintre cele trei urne conține 6 bile negre și 4 albe. O minge este extrasă la întâmplare din prima urna și plasată în a doua urna, după care o bilă este extrasă la întâmplare din a doua urna și plasată în a treia urna. Găsiți probabilitatea ca o minge extrasă la întâmplare din a treia urnă să fie albă.
9 Trei focuri independente sunt trase asupra obiectului. Probabilitatea de a lovi prima lovitură este de 0,4; cu al doilea – 0,5; cu al treilea - 0,7. Pentru a dezactiva un obiect, trei lovituri sunt în mod evident suficiente, cu două lovituri, acesta eșuează cu o probabilitate de 0,6; cu unu – cu o probabilitate de 0,2. Găsiți probabilitatea ca obiectul să fie dezactivat în urma a trei lovituri.
10 Trei trăgători au tras o salvă, cu două gloanțe lovind ținta. Găsiți probabilitatea ca cel de-al treilea trăgător să lovească ținta dacă probabilitățile de a lovi ținta cu primul, al doilea și, respectiv, al treilea trăgător, sunt 0,6; 0,5 și 0,4.
Teme pentru acasă.
1 Repetarea testelor. formulele Bernoulli și Poisson. Teoreme locale și integrale ale lui Laplace.
2 Rezolva probleme.
Sarcină1 . Sunt două urne. Prima urnă conține două bile albe și trei negre, a doua conține trei bile albe și cinci negre. Fără să vă uitați, luați câte o minge din prima și a doua urnă și puneți-le în a treia urnă. Bilele din a treia urnă sunt amestecate și se ia o minge din ea la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.
Sarcină2 . Unul dintre cei trei trăgători este chemat la linia de tragere și trage un foc. Ținta este lovită. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură pentru primul trăgător este de 0,3, pentru al doilea – 0,5, pentru al treilea – 0,8. Găsiți probabilitatea ca focul să fi fost tras de al doilea trăgător.
Sarcină3 . Prima mașină primește 40% din piese pentru asamblare, a doua - 35%, iar a treia - 25% din piese. Dintre piesele primei mașini, 0,2% sunt defecte, din a doua - 0,3%, din a treia - 0,5%. Găsiți probabilitatea ca:
a) piesa primită pentru asamblare este defectă;
b) piesa care s-a dovedit a fi defectă a fost fabricată la a doua mașină.
Sarcină4 . Într-un grup de 20 de trăgători, sunt cinci excelenți, nouă buni și șase mediocri. Cu o lovitură, un trăgător excelent lovește ținta cu o probabilitate de 0,9, unul bun cu o probabilitate de 0,8 și unul mediocru cu o probabilitate de 0,7. Un trăgător ales aleatoriu a tras de două ori; A fost o lovitură și una ratată. Ce fel de shooter a fost cel mai probabil: excelent, bun sau mediocru?