Metoda Gauss este ușoară! De ce? Faimosul matematician german Johann Carl Friedrich Gauss a primit recunoaștere în timpul vieții sale cel mai mare matematician din toate timpurile, un geniu și chiar supranumit „regele matematicii”. Și totul ingenios, după cum știți, este simplu! Apropo, nu numai frații primesc bani, ci și genii - portretul lui Gauss era pe bancnota de 10 mărci germane (înainte de introducerea monedei euro), iar Gauss încă le zâmbește misterios nemților din mărcile poștale obișnuite.

Metoda Gauss este simplă prin faptul că CUNOAȘTEREA UNUI ELEV DE CLASA A V-A ESTE SUFICIENTĂ pentru a o stăpâni. Trebuie să știi să adun și să înmulți! Nu întâmplător metoda eliminare secvenţială necunoscutele sunt adesea luate în considerare de profesori la opțiunile de matematică din școală. Este un paradox, dar studenților li se pare că metoda Gauss este cea mai dificilă. Nimic surprinzător - totul este despre metodologie și voi încerca să vorbesc despre algoritmul metodei într-o formă accesibilă.

În primul rând, să sistematizăm puțin cunoștințele noastre despre sisteme ecuatii lineare. Un sistem de ecuații liniare poate:

1) Aveți o soluție unică.
2) Au infinit de soluții.
3) Nu au soluții (fi nearticulată).

Metoda Gauss este cel mai puternic și universal instrument pentru găsirea unei soluții orice sisteme de ecuații liniare. După cum ne amintim, Regula lui Cramer și metoda matricei sunt nepotrivite în cazurile în care sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent. Și metoda de eliminare secvențială a necunoscutelor Oricum ne va conduce la răspuns! În această lecție, vom lua în considerare din nou metoda Gauss pentru cazul nr. 1 (singura soluție a sistemului), articolul este dedicat situațiilor punctelor nr. 2-3. Observ că algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri.

Să revenim la cel mai simplu sistem din lecție Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?
și rezolvați-l folosind metoda Gaussiană.

Primul pas este să scrieți matrice de sistem extinsă:
. Cred că toată lumea poate vedea după ce principiu se scriu coeficienții. Linia verticală din interiorul matricei nu are nicio semnificație matematică - este pur și simplu o bară pentru ușurință de proiectare.

Referinţă :Vă recomand să vă amintiți termeni algebră liniară. Matricea sistemului este o matrice compusă numai din coeficienți pentru necunoscute, în în acest exemplu matricea sistemului: . Matrice de sistem extinsă– aceasta este aceeași matrice a sistemului plus o coloană de termeni liberi, în acest caz: . Pentru concizie, oricare dintre matrice poate fi numită pur și simplu matrice.

După ce matricea extinsă a sistemului este scrisă, este necesar să efectuați câteva acțiuni cu aceasta, care sunt, de asemenea, numite transformări elementare.

Există următoarele transformări elementare:

1) Siruri de caractere matrici Poate sa rearanja in unele locuri. De exemplu, în matricea luată în considerare, puteți rearanja fără durere primul și al doilea rând:

2) Dacă matricea are (sau a apărut) proporțională (cum ar fi caz special– linii identice, apoi urmează șterge din matrice toate aceste rânduri cu excepția unuia. Luați în considerare, de exemplu, matricea . În această matrice, ultimele trei rânduri sunt proporționale, deci este suficient să lăsați doar unul dintre ele: .

3) Dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el șterge. Nu voi desena, desigur, linia zero este linia în care toate zerourile.

4) Rândul matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice număr diferit de zero. Luați în considerare, de exemplu, matricea . Aici este recomandabil să împărțiți prima linie cu –3 și să înmulțiți a doua linie cu 2: . Această acțiune este foarte utilă deoarece simplifică transformările ulterioare ale matricei.

5) Această transformare provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt nici nu este nimic complicat. La un rând de matrice puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero. Să ne uităm la matricea noastră dintr-un exemplu practic: . Mai întâi voi descrie transformarea în detaliu. Înmulțiți prima linie cu –2: , Și la a doua linie adunăm prima linie înmulțită cu –2: . Acum prima linie poate fi împărțită „înapoi” cu –2: . După cum puteți vedea, linia care este ADAUGĂ LI – nu s-a schimbat. Mereu linia LA CARE SE ADAUGĂ se modifică UT.

În practică, desigur, nu o scriu atât de detaliat, ci o scriu pe scurt:

Încă o dată: la a doua linie a adăugat prima linie înmulțită cu –2. O linie este de obicei înmulțită oral sau pe o schiță, procesul de calcul mental mergând cam așa:

„Rescriu matricea și rescriu prima linie: »

„Prima coloană. În partea de jos trebuie să obțin zero. Prin urmare, îl înmulțesc pe cel de sus cu –2: , și îl adun pe primul la a doua linie: 2 + (–2) = 0. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Acum a doua coloană. În partea de sus, înmulțesc -1 cu -2: . Adaug primul la a doua linie: 1 + 2 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Și a treia coloană. În vârf înmulțesc -5 cu -2: . Adaug primul la a doua linie: –7 + 10 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

Vă rugăm să înțelegeți cu atenție acest exemplu și să înțelegeți algoritmul de calcul secvențial, dacă înțelegeți acest lucru, atunci metoda Gauss este practic în buzunar. Dar, desigur, vom lucra în continuare la această transformare.

Transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații

! ATENŢIE: manipulări considerate Nu pot folosi, dacă vi se oferă o sarcină în care matricele sunt date „de la sine”. De exemplu, cu „clasic” operatii cu matrici Sub nicio formă nu trebuie să rearanjați nimic în interiorul matricelor!

Să revenim la sistemul nostru. Este practic dus în bucăți.

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o reducem la vedere în trepte:

(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Și din nou: de ce înmulțim prima linie cu –2? Pentru a obține zero în partea de jos, ceea ce înseamnă a scăpa de o variabilă din a doua linie.

(2) Împărțiți a doua linie la 3.

Scopul transformărilor elementare – reduceți matricea la forma treptat: . În proiectarea sarcinii, ei doar marchează „scările” cu un creion simplu și, de asemenea, încercuiesc numerele care se află pe „trepte”. Termenul „vedere în trepte” în sine nu este în întregime teoretic; în literatura științifică și educațională este adesea numit vedere trapezoidală sau vedere triunghiulară.

În urma unor transformări elementare, am obţinut echivalent sistemul original de ecuații:

Acum, sistemul trebuie să fie „desfășurat” în direcția opusă - de jos în sus, acest proces este numit inversa metodei gaussiene.

În ecuația inferioară avem deja un rezultat gata făcut: .

Să luăm în considerare prima ecuație a sistemului și să o înlocuim deja valoare cunoscută„Y”:

Să luăm în considerare cea mai comună situație, când metoda Gaussiană necesită rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

Exemplul 1

Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda Gauss:

Să scriem matricea extinsă a sistemului:

Acum voi desena imediat rezultatul la care vom ajunge în timpul soluției:

Și repet, scopul nostru este să aducem matricea într-o formă treptată folosind transformări elementare. Unde să încep?

Mai întâi, uită-te la numărul din stânga sus:

Ar trebui să fie aproape întotdeauna aici unitate. În general vorbind, –1 (și uneori și alte numere) este potrivit, dar cumva s-a întâmplat în mod tradițional ca unul să fie de obicei plasat acolo. Cum se organizează o unitate? Ne uităm la prima coloană - avem o unitate terminată! Transformarea unu: schimbați prima și a treia linie:

Acum prima linie va rămâne neschimbată până la sfârșitul soluției. Acum bine.

Unitatea din colțul din stânga sus este organizată. Acum trebuie să obțineți zerouri în aceste locuri:

Obținem zerouri folosind o transformare „dificilă”. Mai întâi ne ocupăm de a doua linie (2, –1, 3, 13). Ce trebuie făcut pentru a obține zero în prima poziție? Trebuie sa la a doua linie se adaugă prima linie înmulțită cu –2. Mental sau pe o schiță, înmulțiți prima linie cu –2: (–2, –4, 2, –18). Și efectuăm în mod constant (din nou mental sau pe o schiță) adăugare, la a doua linie adăugăm prima linie, deja înmulțită cu –2:

Scriem rezultatul pe a doua linie:

Ne ocupăm de a treia linie în același mod (3, 2, –5, –1). Pentru a obține un zero în prima poziție, aveți nevoie la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu –3. Mental sau pe o schiță, înmulțiți prima linie cu –3: (–3, –6, 3, –27). ȘI la a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu –3:

Scriem rezultatul pe a treia linie:

În practică, aceste acțiuni sunt de obicei efectuate oral și scrise într-un singur pas:

Nu este nevoie să numărați totul deodată și în același timp. Ordinea calculelor și „scrierea” rezultatelor consistentși, de obicei, este așa: mai întâi rescriem prima linie și umflam încet pe noi înșine - CONSECUT și ATENT:


Și am discutat deja despre procesul mental al calculelor în sine.

În acest exemplu, acest lucru este ușor de făcut; împărțim a doua linie la –5 (deoarece toate numerele de acolo sunt divizibile cu 5 fără rest). În același timp, împărțim a treia linie la –2, pentru că ce număr mai mic, acestea solutie mai simpla:

În etapa finală a transformărilor elementare, trebuie să obțineți un alt zero aici:

Pentru aceasta la a treia linie adăugăm a doua linie înmulțită cu –2:


Încercați să vă dați seama singur această acțiune - înmulțiți mental a doua linie cu –2 și efectuați adunarea.

Ultima acțiune efectuată este coafura rezultatului, împărțiți a treia linie la 3.

Ca rezultat al transformărilor elementare, s-a obținut un sistem echivalent de ecuații liniare:

Misto.

Acum intră în joc inversul metodei gaussiene. Ecuațiile se „desfășoară” de jos în sus.

În a treia ecuație avem deja un rezultat gata:

Să ne uităm la a doua ecuație: . Sensul cuvântului „zet” este deja cunoscut, astfel:

Și în sfârșit, prima ecuație: . „Igrek” și „zet” sunt cunoscute, este doar o chestiune de lucruri mărunte:

Răspuns:

După cum sa menționat deja de mai multe ori, pentru orice sistem de ecuații este posibil și necesar să se verifice soluția găsită, din fericire, aceasta este ușor și rapid.

Exemplul 2

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, un eșantion al designului final și un răspuns la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că dvs progresul deciziei poate să nu coincidă cu procesul meu de decizie, și aceasta este o caracteristică a metodei Gauss. Dar răspunsurile trebuie să fie aceleași!

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Am facut asta:
(1) La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o mișcare suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul).

(2) La a doua linie a fost adăugată prima linie înmulțită cu 5. La a treia linie a fost adăugată prima linie înmulțită cu 3.

(3) Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.

(4) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 2.

(5) A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn rău care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „reu”. Adică, dacă avem ceva de genul , mai jos și, în consecință, , apoi cu un grad mare de probabilitate putem spune că s-a făcut o eroare în timpul transformărilor elementare.

Încărcăm invers, în proiectarea exemplelor, adesea nu rescriu sistemul în sine, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Ștergerea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. Da, iată un cadou:

Răspuns: .

Exemplul 4

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Acesta este un exemplu de rezolvat pe cont propriu, este ceva mai complicat. Este în regulă dacă cineva se încurcă. Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției. Soluția ta poate fi diferită de soluția mea.

În ultima parte ne vom uita la câteva caracteristici ale algoritmului gaussian.
Prima caracteristică este că uneori unele variabile lipsesc din ecuațiile sistemului, de exemplu:

Cum se scrie corect matricea sistemului extins? Am vorbit deja despre acest punct în clasă. regula lui Cramer. Metoda matricei. În matricea extinsă a sistemului, punem zerouri în locul variabilelor lipsă:

Apropo, e frumos exemplu simplu, deoarece există deja un zero în prima coloană și sunt mai puține conversii elementare de efectuat.

A doua caracteristică este aceasta. În toate exemplele luate în considerare, am plasat fie –1, fie +1 pe „trepte”. Ar putea fi alte numere acolo? În unele cazuri pot. Luați în considerare sistemul: .

Aici, în „pasul” din stânga sus avem un doi. Dar observăm faptul că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2 fără rest - iar celălalt este doi și șase. Și ni se vor potrivi cei doi din stânga sus! În primul pas, trebuie să efectuați următoarele transformări: adăugați prima linie înmulțită cu –1 la a doua linie; la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu –3. În acest fel vom obține zerourile necesare în prima coloană.

Sau un alt exemplu convențional: . Aici ni se potrivesc și cei trei de pe al doilea „pas”, deoarece 12 (locul în care trebuie să obținem zero) este divizibil cu 3 fără rest. Este necesar să se efectueze următoarea transformare: se adaugă a doua linie la a treia linie, înmulțită cu –4, în urma căreia se va obține zeroul de care avem nevoie.

Metoda lui Gauss este universală, dar există o particularitate. Învățați cu încredere să rezolvați sisteme folosind alte metode (metoda lui Cramer, metoda matricei) puteți literalmente prima dată - există un algoritm foarte strict. Dar pentru a te simți încrezător în metoda Gaussiană, trebuie să te pricepi la ea și să rezolvi cel puțin 5-10 sisteme. Prin urmare, la început pot exista confuzii și erori în calcule și nu este nimic neobișnuit sau tragic în acest sens.

Vreme ploioasă de toamnă în afara ferestrei.... Prin urmare, pentru toți cei care doresc un exemplu mai complex pe care să îl rezolve singuri:

Exemplul 5

Rezolvați un sistem de patru ecuații liniare cu patru necunoscute folosind metoda Gauss.

O astfel de sarcină nu este atât de rară în practică. Cred că chiar și un ceainic care a studiat temeinic această pagină va înțelege algoritmul pentru rezolvarea unui astfel de sistem în mod intuitiv. În principiu, totul este la fel - există doar mai multe acțiuni.

Cazurile în care sistemul nu are soluții (inconsecvente) sau are infinit de soluții sunt discutate în lecția Sisteme incompatibile și sisteme cu o soluție generală. Acolo puteți repara algoritmul considerat al metodei gaussiene.

Vă doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte.


Transformări elementare efectuate:
(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1. Atenţie! Aici ați putea fi tentat să scădeți prima din a treia linie; vă recomand cu căldură să nu o scădeți - riscul de eroare crește foarte mult. Doar pliază-l!
(2) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu –1). A doua și a treia linie au fost schimbate. Notă, că pe „trepte” ne mulțumim nu doar cu una, ci și cu –1, ceea ce este și mai convenabil.
(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 5.
(4) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu –1). A treia linie a fost împărțită la 14.

Verso:

Răspuns: .

Exemplul 4: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Conversii efectuate:
(1) La prima linie a fost adăugată o a doua linie. Astfel, unitatea dorită este organizată în „treapta” din stânga sus.
(2) Prima linie înmulțită cu 7 a fost adăugată la a doua linie, prima linie înmulțită cu 6 a fost adăugată la a treia linie.

Cu al doilea „pas” totul se înrăutățește , „candidații” pentru acesta sunt numerele 17 și 23 și avem nevoie fie de unul, fie de –1. Transformările (3) și (4) vor avea ca scop obținerea unității dorite

(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.
(4) A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –3.
(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 4. A doua linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –1.
(4) S-a schimbat semnul liniei a doua. A patra linie a fost împărțită la 3 și plasată în locul celei de-a treia rânduri.
(5) A treia linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –5.

Verso:

În acest articol, metoda este considerată ca o metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare (SLAE). Metoda este analitică, adică vă permite să scrieți un algoritm de soluție vedere generalași apoi înlocuiți valorile din exemple specifice de acolo. Spre deosebire de metoda matricei sau formulele lui Cramer, atunci când rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss, puteți lucra și cu cele care au un număr infinit de soluții. Sau nu o au deloc.

Ce înseamnă să rezolvi folosind metoda Gaussiană?

În primul rând, trebuie să scriem sistemul nostru de ecuații în Arata astfel. Luați sistemul:

Coeficienții se scriu sub formă de tabel, iar termenii liberi sunt înscriși într-o coloană separată din dreapta. Coloana cu termeni liberi este separată pentru comoditate.Matricea care include această coloană se numește extinsă.

În continuare, matricea principală cu coeficienți trebuie redusă la o formă triunghiulară superioară. Acesta este punctul principal al rezolvării sistemului folosind metoda Gaussiană. Pur și simplu, după anumite manipulări, matricea ar trebui să arate astfel încât partea sa din stânga jos să conțină doar zerouri:

Apoi, dacă scrieți din nou noua matrice ca sistem de ecuații, veți observa că ultimul rând conține deja valoarea uneia dintre rădăcini, care este apoi înlocuită în ecuația de mai sus, se găsește o altă rădăcină și așa mai departe.

Aceasta este o descriere a soluției prin metoda Gaussiană în cea mai mare parte schiță generală. Ce se întâmplă dacă dintr-o dată sistemul nu are nicio soluție? Sau sunt infinit de multe dintre ele? Pentru a răspunde la aceste întrebări și la multe alte întrebări, este necesar să luăm în considerare separat toate elementele utilizate în rezolvarea metodei gaussiene.

Matrici, proprietățile lor

Nici unul ințelesuri ascunse nu în matrice. Acesta este pur și simplu o modalitate convenabilă de a înregistra date pentru operațiunile ulterioare cu acesta. Nici școlarilor nu trebuie să le fie frică de ei.

Matricea este întotdeauna dreptunghiulară, deoarece este mai convenabilă. Chiar și în metoda Gaussiană, unde totul se reduce la construirea unei matrice în aparență triunghiulară, intrarea conține un dreptunghi, doar cu zerouri în locul în care nu există numere. Este posibil ca zerourile să nu fie scrise, dar sunt subînțelese.

Matricea are o dimensiune. „Lățimea” este numărul de rânduri (m), „lungimea” este numărul de coloane (n). Apoi dimensiunea matricei A (litere mari majuscule latine sunt de obicei folosite pentru a le desemna) va fi notată ca A m×n. Dacă m=n, atunci această matrice este pătrată, iar m=n este ordinul său. În consecință, orice element al matricei A poate fi notat prin numerele sale de rând și coloane: a xy ; x - numărul rândului, modificări, y - numărul coloanei, modificări.

B nu este punctul principal al deciziei. În principiu, toate operațiile pot fi efectuate direct cu ecuațiile în sine, dar notația va fi mult mai greoaie și va fi mult mai ușor să vă confundați în ea.

Determinant

Matricea are și un determinant. Aceasta este o caracteristică foarte importantă. Nu este nevoie să-i aflați acum semnificația; puteți pur și simplu să arătați cum este calculată și apoi să spuneți ce proprietăți ale matricei determină. Cel mai simplu mod de a găsi determinantul este prin diagonale. Diagonalele imaginare sunt desenate în matrice; se înmulțesc elementele situate pe fiecare dintre ele, apoi se adaugă produsele rezultate: diagonale cu pantă spre dreapta - cu semn plus, cu pantă spre stânga - cu semn minus.

Este extrem de important de menționat că determinantul poate fi calculat doar pentru o matrice pătrată. Pentru o matrice dreptunghiulară, puteți face următoarele: alegeți cel mai mic dintre numărul de rânduri și numărul de coloane (fie k), apoi marcați aleatoriu k coloane și k rânduri în matrice. Elementele situate la intersecția coloanelor și rândurilor selectate vor forma un nou matrice pătrată. Dacă determinantul unei astfel de matrice este un număr diferit de zero, se numește baza minoră a matricei dreptunghiulare inițiale.

Înainte de a începe să rezolvați un sistem de ecuații folosind metoda Gauss, nu strica să calculați determinantul. Dacă se dovedește a fi zero, atunci putem spune imediat că matricea are fie un număr infinit de soluții, fie deloc. Într-un caz atât de trist, trebuie să mergeți mai departe și să aflați despre rangul matricei.

Clasificarea sistemului

Există așa ceva ca rangul unei matrice. Aceasta este ordinea maximă a determinantului său diferit de zero (dacă ne amintim despre baza minoră, putem spune că rangul unei matrice este ordinea bazei minore).

Pe baza situației cu rang, SLAE poate fi împărțit în:

• Comun. UÎn sistemele comune, rangul matricei principale (formată numai din coeficienți) coincide cu rangul matricei extinse (cu o coloană de termeni liberi). Astfel de sisteme au o soluție, dar nu neapărat una, prin urmare, în plus, sistemele de îmbinare sunt împărțite în:
• - anumit- având o singură soluție. În anumite sisteme, rangul matricei și numărul de necunoscute (sau numărul de coloane, care este același lucru) sunt egale;
• - nedefinit - cu un număr infinit de soluții. Rangul matricelor în astfel de sisteme este mai mic decât numărul de necunoscute.
• Incompatibil. UÎn astfel de sisteme, rândurile matricelor principale și extinse nu coincid. Sistemele incompatibile nu au soluție.

Metoda Gauss este bună deoarece în timpul rezolvării permite obținerea fie unei dovezi clare a inconsecvenței sistemului (fără a calcula determinanții matricilor mari), fie o soluție în formă generală pentru un sistem cu un număr infinit de soluții.

Transformări elementare

Înainte de a trece direct la rezolvarea sistemului, îl puteți face mai puțin greoi și mai convenabil pentru calcule. Acest lucru se realizează prin transformări elementare - astfel încât implementarea lor să nu schimbe în niciun fel răspunsul final. Trebuie remarcat faptul că unele dintre transformările elementare date sunt valabile numai pentru matrice, a căror sursă a fost SLAE. Iată o listă cu aceste transformări:

1. Rearanjarea liniilor. Evident, dacă modificați ordinea ecuațiilor din înregistrarea sistemului, acest lucru nu va afecta în niciun fel soluția. În consecință, și rândurile din matricea acestui sistem pot fi schimbate, fără a uita, bineînțeles, coloana de termeni liberi.
2. Înmulțirea tuturor elementelor unui șir cu un anumit coeficient. De mare ajutor! Poate fi folosit pentru a scurta numere mariîn matrice sau eliminați zerourile. Multe decizii, ca de obicei, nu se vor schimba, dar operațiunile ulterioare vor deveni mai convenabile. Principalul lucru este că coeficientul nu este egal cu zero.
3. Eliminarea rândurilor cu factori proporționali. Aceasta rezultă parțial din paragraful anterior. Dacă două sau mai multe rânduri dintr-o matrice au coeficienți proporționali, atunci când unul dintre rânduri este înmulțit/împarte la coeficientul de proporționalitate, se obțin două (sau, din nou, mai multe) rânduri absolut identice, iar cele suplimentare pot fi eliminate, lăsând unul singur.
4. Eliminarea unei linii nule. Dacă, în timpul transformării, se obține undeva un rând în care toate elementele, inclusiv termenul liber, sunt zero, atunci un astfel de rând poate fi numit zero și aruncat din matrice.
5. Adăugând elementelor unui rând elementele altuia (în coloanele corespunzătoare), înmulțite cu un anumit coeficient. Cea mai neevidentă și mai importantă transformare dintre toate. Merită să ne oprim asupra ei mai detaliat.

Adăugarea unui șir înmulțit cu un factor

Pentru ușurință de înțelegere, merită defalcat acest proces pas cu pas. Din matrice sunt luate două rânduri:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Să presupunem că trebuie să adăugați primul la al doilea, înmulțit cu coeficientul „-2”.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Apoi, al doilea rând din matrice este înlocuit cu unul nou, iar primul rămâne neschimbat.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Trebuie remarcat faptul că coeficientul de înmulțire poate fi selectat în așa fel încât, ca urmare a adunării a două rânduri, unul dintre elementele noului rând să fie egal cu zero. Prin urmare, este posibil să se obțină o ecuație într-un sistem în care va exista una mai puțin necunoscută. Și dacă obțineți două astfel de ecuații, atunci operația poate fi făcută din nou și obțineți o ecuație care va conține două necunoscute mai puține. Și dacă de fiecare dată când transformați un coeficient din toate rândurile care sunt sub cel inițial la zero, atunci puteți, ca pe scări, să coborâți chiar în partea de jos a matricei și să obțineți o ecuație cu o necunoscută. Aceasta se numește rezolvarea sistemului folosind metoda Gaussiană.

În general

Să existe un sistem. Are m ecuații și n rădăcini necunoscute. Îl poți scrie după cum urmează:

Matricea principală este compilată din coeficienții sistemului. O coloană de termeni liberi este adăugată la matricea extinsă și, pentru comoditate, separați printr-o linie.

• primul rând al matricei este înmulțit cu coeficientul k = (-a 21 /a 11);
• se adaugă primul rând modificat și al doilea rând al matricei;
• în locul celui de-al doilea rând, rezultatul adunării din paragraful anterior este introdus în matrice;
• acum primul coeficient din noul al doilea rând este a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Acum se realizează aceeași serie de transformări, fiind implicate doar primul și al treilea rând. În consecință, la fiecare pas al algoritmului, elementul a 21 este înlocuit cu un 31. Apoi totul se repetă pentru un 41, ... un m1. Rezultatul este o matrice în care primul element din rânduri este zero. Acum trebuie să uitați de linia numărul unu și să efectuați același algoritm, începând de la linia a doua:

• coeficientul k = (-a 32 /a 22);
• a doua linie modificată este adăugată la linia „actuală”;
• rezultatul adunării este înlocuit în rândurile a treia, a patra și așa mai departe, în timp ce prima și a doua rămân neschimbate;
• în rândurile matricei primele două elemente sunt deja egale cu zero.

Algoritmul trebuie repetat până când apare coeficientul k = (-a m,m-1 /a mm). Aceasta înseamnă că în ultima data algoritmul a fost efectuat numai pentru ecuația inferioară. Acum matricea arată ca un triunghi sau are o formă în trepte. În linia de jos există egalitatea a mn × x n = b m. Se cunosc coeficientul si termenul liber, iar prin ele se exprima radacina: x n = b m /a mn. Rădăcina rezultată este înlocuită în linia superioară pentru a găsi x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Și așa mai departe prin analogie: în fiecare linie următoare există o nouă rădăcină și, după ce ați ajuns în „vârful” sistemului, puteți găsi multe soluții. Va fi singurul.

Când nu există soluții

Dacă într-unul dintre rândurile matricei toate elementele, cu excepția termenului liber, sunt egale cu zero, atunci ecuația corespunzătoare acestui rând arată ca 0 = b. Nu are solutie. Și deoarece o astfel de ecuație este inclusă în sistem, atunci setul de soluții al întregului sistem este gol, adică este degenerat.

Când există un număr infinit de soluții

Se poate întâmpla ca în matricea triunghiulară dată să nu existe rânduri cu un element coeficient al ecuației și un termen liber. Există doar linii care, atunci când sunt rescrise, ar arăta ca o ecuație cu două sau mai multe variabile. Aceasta înseamnă că sistemul are număr infinit deciziilor. În acest caz, răspunsul poate fi dat sub forma unei soluții generale. Cum să o facă?

Toate variabilele din matrice sunt împărțite în de bază și libere. Cele de bază sunt cele care stau „pe marginea” rândurilor din matricea pașilor. Restul sunt gratuite. În soluția generală, variabilele de bază sunt scrise prin intermediul unor libere.

Pentru comoditate, matricea este mai întâi rescrisă înapoi într-un sistem de ecuații. Apoi, în ultima dintre ele, unde exact mai rămâne o singură variabilă de bază, aceasta rămâne pe o parte și totul este transferat pe cealaltă. Acest lucru se face pentru fiecare ecuație cu o variabilă de bază. Apoi, în ecuațiile rămase, acolo unde este posibil, expresia obținută pentru aceasta este înlocuită în locul variabilei de bază. Dacă rezultatul este din nou o expresie care conține o singură variabilă de bază, aceasta este din nou exprimată de acolo și așa mai departe, până când fiecare variabilă de bază este scrisă ca o expresie cu variabile libere. Asta e decizie comună SLAU.

Puteți găsi, de asemenea, soluția de bază a sistemului - dați variabilelor libere orice valoare și apoi, pentru acest caz specific, calculați valorile variabilelor de bază. Există un număr infinit de soluții particulare care pot fi date.

Rezolvare cu exemple concrete

Iată un sistem de ecuații.

Pentru comoditate, este mai bine să-i creați imediat matricea

Se știe că atunci când se rezolvă prin metoda gaussiană, ecuația corespunzătoare primului rând va rămâne neschimbată la sfârșitul transformărilor. Prin urmare, va fi mai profitabil dacă elementul din stânga sus al matricei este cel mai mic - atunci primele elemente ale rândurilor rămase după operații se vor transforma la zero. Aceasta înseamnă că în matricea compilată va fi avantajos să punem al doilea rând în locul primului.

a doua linie: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

a treia linie: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Acum, pentru a nu vă confunda, trebuie să scrieți o matrice cu rezultatele intermediare ale transformărilor.

Evident, o astfel de matrice poate fi făcută mai convenabilă pentru percepție folosind anumite operații. De exemplu, puteți elimina toate „minusurile” din a doua linie înmulțind fiecare element cu „-1”.

De asemenea, este de remarcat faptul că în a treia linie toate elementele sunt multipli de trei. Apoi puteți scurta șirul cu acest număr, înmulțind fiecare element cu „-1/3” (minus - în același timp, pentru a elimina valorile negative).

Arata mult mai frumos. Acum trebuie să lăsăm prima linie în pace și să lucrăm cu a doua și a treia. Sarcina este de a adăuga a doua linie la a treia linie, înmulțită cu un astfel de coeficient încât elementul a 32 să devină egal cu zero.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (dacă în timpul unor transformări răspunsul nu se dovedește a fi un întreg, se recomandă menținerea preciziei calculelor pentru a lăsa este „ca atare”, sub forma unei fracții obișnuite și numai atunci, când sunt primite răspunsurile, decideți dacă să rotunjiți și să convertiți la o altă formă de înregistrare)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matricea este scrisă din nou cu valori noi.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

După cum puteți vedea, matricea rezultată are deja o formă în trepte. Prin urmare, nu sunt necesare transformări suplimentare ale sistemului folosind metoda Gaussiană. Ceea ce se poate face aici este să eliminați din a treia linie coeficient global "-1/7".

Acum totul este frumos. Tot ce rămâne de făcut este să scrieți din nou matricea sub forma unui sistem de ecuații și să calculați rădăcinile

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmul prin care vor fi găsite acum rădăcinile se numește mișcare inversă în metoda Gaussiană. Ecuația (3) conține valoarea z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Și prima ecuație ne permite să găsim x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Avem dreptul să numim un astfel de sistem comun, și chiar definitiv, adică având o soluție unică. Răspunsul este scris în următoarea formă:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Un exemplu de sistem incert

S-a analizat varianta de rezolvare a unui anumit sistem prin metoda Gauss; acum este necesar să luăm în considerare cazul în care sistemul este incert, adică se pot găsi infinite soluții pentru acesta.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Însuși aspectul sistemului este deja alarmant, deoarece numărul de necunoscute este n = 5, iar rangul matricei sistemului este deja exact mai mic decât acest număr, deoarece numărul de rânduri este m = 4, adică ordinul cel mai înalt al pătratului-determinant este 4. Aceasta înseamnă că există soluții set infinit, și trebuie să căutăm aspectul său general. Metoda Gauss pentru ecuații liniare vă permite să faceți acest lucru.

Mai întâi, ca de obicei, este compilată o matrice extinsă.

A doua linie: coeficient k = (-a 21 /a 11) = -3. În a treia linie, primul element este înaintea transformărilor, deci nu trebuie să atingeți nimic, trebuie să îl lăsați așa cum este. A patra linie: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Înmulțind pe rând elementele primului rând cu fiecare dintre coeficienții lor și adunându-le la rândurile necesare, obținem matricea următorul tip:

După cum puteți vedea, al doilea, al treilea și al patrulea rând constau din elemente proporționale între ele. Al doilea și al patrulea sunt în general identice, așa că unul dintre ele poate fi eliminat imediat, iar cel rămas poate fi înmulțit cu coeficientul „-1” și obține linia numărul 3. Și din nou, din două linii identice, lăsați una.

Rezultatul este o matrice ca aceasta. Deși sistemul nu a fost încă notat, este necesar să se determine aici variabilele de bază - cele care stau la coeficienții a 11 = 1 și a 22 = 1, iar cele libere - toate celelalte.

În a doua ecuație există o singură variabilă de bază - x 2. Aceasta înseamnă că poate fi exprimat de acolo prin scrierea lui prin variabilele x 3 , x 4 , x 5 , care sunt libere.

Inlocuim expresia rezultata in prima ecuatie.

Rezultatul este o ecuație în care singura variabilă de bază este x 1 . Să facem la fel cu ea ca și cu x 2.

Toate variabilele de bază, dintre care există două, sunt exprimate în termeni de trei variabile libere; acum putem scrie răspunsul în formă generală.

De asemenea, puteți specifica una dintre soluțiile particulare ale sistemului. Pentru astfel de cazuri, zerourile sunt de obicei alese ca valori pentru variabilele libere. Atunci răspunsul va fi:

16, 23, 0, 0, 0.

Un exemplu de sistem non-cooperativ

Soluţie sisteme incompatibile ecuații prin metoda Gaussiană - cea mai rapidă. Se termină imediat ce la una dintre etape se obține o ecuație care nu are soluție. Adică, etapa de calcul a rădăcinilor, care este destul de lungă și plictisitoare, este eliminată. Se are în vedere următorul sistem:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ca de obicei, matricea este compilată:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Și se reduce la o formă în trepte:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

După prima transformare, a treia linie conține o ecuație de formă

fara o solutie. În consecință, sistemul este inconsecvent, iar răspunsul va fi setul gol.

Avantajele și dezavantajele metodei

Dacă alegeți ce metodă să rezolvați SLAE-urile pe hârtie cu un stilou, atunci metoda despre care a fost discutată în acest articol arată cea mai atractivă. Este mult mai dificil să fii confuz în transformările elementare decât dacă trebuie să cauți manual un determinant sau o matrice inversă complicată. Cu toate acestea, dacă utilizați programe pentru lucrul cu date de acest tip, de exemplu, foi de calcul, atunci se dovedește că astfel de programe conțin deja algoritmi pentru calcularea parametrilor principali ai matricelor - determinant, minori, invers și așa mai departe. Și dacă sunteți sigur că mașina va calcula singură aceste valori și nu va face greșeli, este mai indicat să folosiți metoda matricei sau formulele lui Cramer, deoarece utilizarea lor începe și se termină cu calcularea determinanților și matrici inverse.

Aplicație

Deoarece soluția gaussiană este un algoritm, iar matricea este de fapt o matrice bidimensională, poate fi folosită în programare. Dar, deoarece articolul se poziționează ca un ghid „pentru manechin”, ar trebui spus că cel mai ușor loc în care să pui metoda este foile de calcul, de exemplu, Excel. Din nou, orice SLAE introdus într-un tabel sub forma unei matrice va fi considerat de Excel ca o matrice bidimensională. Iar pentru operații cu ele există multe comenzi drăguțe: adunare (poți doar să adaugi matrice de aceeași dimensiune!), înmulțire cu un număr, înmulțire de matrice (tot cu anumite restricții), găsirea matricelor inverse și transpuse și, cel mai important , calculând determinantul. Dacă această sarcină consumatoare de timp este înlocuită cu o singură comandă, este posibil să se determine rangul matricei mult mai rapid și, prin urmare, să se stabilească compatibilitatea sau incompatibilitatea acesteia.

Continuăm să luăm în considerare sistemele de ecuații liniare. Această lecție este a treia pe această temă. Dacă aveți o idee vagă despre ce este un sistem de ecuații liniare în general, dacă vă simțiți ca un ceainic, atunci vă recomand să începeți cu elementele de bază din pagina În continuare, este util să studiați lecția.

Metoda Gauss este ușoară! De ce? Faimosul matematician german Johann Carl Friedrich Gauss, în timpul vieții sale, a primit recunoașterea drept cel mai mare matematician al tuturor timpurilor, un geniu și chiar porecla „Regele matematicii”. Și totul ingenios, după cum știți, este simplu! Apropo, nu numai frații primesc bani, ci și genii - portretul lui Gauss era pe bancnota de 10 mărci germane (înainte de introducerea monedei euro), iar Gauss încă le zâmbește misterios nemților din mărcile poștale obișnuite.

Metoda Gauss este simplă prin faptul că CUNOAȘTEREA UNUI ELEV DE CLASA A V-A ESTE SUFICIENTĂ pentru a o stăpâni. Trebuie să știi să adun și să înmulți! Nu este o coincidență faptul că profesorii iau în considerare adesea metoda de excludere secvențială a necunoscutelor la opțiunile de matematică ale școlii. Este un paradox, dar studenților li se pare că metoda Gauss este cea mai dificilă. Nimic surprinzător - totul este despre metodologie și voi încerca să vorbesc despre algoritmul metodei într-o formă accesibilă.

În primul rând, să sistematizăm puține cunoștințe despre sistemele de ecuații liniare. Un sistem de ecuații liniare poate:

1) Aveți o soluție unică. 2) Au infinit de soluții. 3) Nu au soluții (fi nearticulată).

Metoda Gauss este cel mai puternic și universal instrument pentru găsirea unei soluții orice sisteme de ecuații liniare. După cum ne amintim, Regula lui Cramer și metoda matricei sunt nepotrivite în cazurile în care sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent. Și metoda de eliminare secvențială a necunoscutelor Oricum ne va conduce la răspuns! În această lecție, vom lua în considerare din nou metoda Gauss pentru cazul nr. 1 (singura soluție a sistemului), un articol este dedicat situațiilor de la punctele nr. 2-3. Observ că algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri.

Să revenim la cel mai simplu sistem din lecție Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?și rezolvați-l folosind metoda Gaussiană.

Primul pas este să scrieți matrice de sistem extinsă: . Cred că toată lumea poate vedea după ce principiu se scriu coeficienții. Linia verticală din interiorul matricei nu are nicio semnificație matematică - este pur și simplu o bară pentru ușurință de proiectare.

Referinţă : Vă recomand să vă amintiți termeni algebră liniară. Matricea sistemului este o matrice compusă doar din coeficienți pentru necunoscute, în acest exemplu matricea sistemului: . Matrice de sistem extinsă – aceasta este aceeași matrice a sistemului plus o coloană de termeni liberi, în acest caz: . Pentru concizie, oricare dintre matrice poate fi numită pur și simplu matrice.

După ce matricea extinsă a sistemului este scrisă, este necesar să efectuați câteva acțiuni cu aceasta, care sunt, de asemenea, numite transformări elementare.

Există următoarele transformări elementare:

1) Siruri de caractere matrici Poate sa rearanja in unele locuri. De exemplu, în matricea luată în considerare, puteți rearanja fără durere primul și al doilea rând:

2) Dacă există (sau au apărut) rânduri proporționale (ca caz special - identice) în matrice, atunci ar trebui să șterge din matrice toate aceste rânduri cu excepția unuia. Luați în considerare, de exemplu, matricea . În această matrice, ultimele trei rânduri sunt proporționale, deci este suficient să lăsați doar unul dintre ele: .

3) Dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el șterge. Nu voi desena, desigur, linia zero este linia în care toate zerourile.

4) Rândul matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice număr diferit de zero. Luați în considerare, de exemplu, matricea . Aici este recomandabil să împărțiți prima linie cu –3 și să înmulțiți a doua linie cu 2: . Această acțiune este foarte utilă deoarece simplifică transformările ulterioare ale matricei.

5) Această transformare provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt nici nu este nimic complicat. La un rând de matrice puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero. Să ne uităm la matricea noastră dintr-un exemplu practic: . Mai întâi voi descrie transformarea în detaliu. Înmulțiți prima linie cu –2: , Și la a doua linie adunăm prima linie înmulțită cu –2: . Acum prima linie poate fi împărțită „înapoi” cu –2: . După cum puteți vedea, linia care este ADAUGĂ LI – nu s-a schimbat. Mereu linia LA CARE SE ADAUGĂ se modifică UT.

În practică, desigur, nu o scriu atât de detaliat, ci o scriu pe scurt: Încă o dată: la a doua linie a adăugat prima linie înmulțită cu –2. O linie este de obicei înmulțită oral sau pe o schiță, procesul de calcul mental mergând cam așa:

„Rescriu matricea și rescriu prima linie: »

„Prima coloană. În partea de jos trebuie să obțin zero. Prin urmare, îl înmulțesc pe cel de sus cu –2: , și îl adun pe primul la a doua linie: 2 + (–2) = 0. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Acum a doua coloană. În partea de sus, înmulțesc -1 cu -2: . Adaug primul la a doua linie: 1 + 2 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Și a treia coloană. În vârf înmulțesc -5 cu -2: . Adaug primul la a doua linie: –7 + 10 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

Vă rugăm să înțelegeți cu atenție acest exemplu și să înțelegeți algoritmul de calcul secvențial, dacă înțelegeți acest lucru, atunci metoda Gauss este practic în buzunar. Dar, desigur, vom lucra în continuare la această transformare.

Transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații

! ATENŢIE: manipulări considerate Nu pot folosi, dacă vi se oferă o sarcină în care matricele sunt date „de la sine”. De exemplu, cu „clasic” operatii cu matrici Sub nicio formă nu trebuie să rearanjați nimic în interiorul matricelor! Să revenim la sistemul nostru. Este practic dus în bucăți.

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o reducem la vedere în trepte:

(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Și din nou: de ce înmulțim prima linie cu –2? Pentru a obține zero în partea de jos, ceea ce înseamnă a scăpa de o variabilă din a doua linie.

(2) Împărțiți a doua linie la 3.

Scopul transformărilor elementare – reduceți matricea la forma treptat: . În proiectarea sarcinii, ei doar marchează „scările” cu un creion simplu și, de asemenea, încercuiesc numerele care se află pe „trepte”. Termenul „vedere în trepte” în sine nu este în întregime teoretic; în literatura științifică și educațională este adesea numit vedere trapezoidală sau vedere triunghiulară.

În urma unor transformări elementare, am obţinut echivalent sistemul original de ecuații:

Acum, sistemul trebuie să fie „desfășurat” în direcția opusă - de jos în sus, acest proces este numit inversa metodei gaussiene.

În ecuația inferioară avem deja un rezultat gata făcut: .

Să luăm în considerare prima ecuație a sistemului și să înlocuim valoarea deja cunoscută a lui „y” în ea:

Să luăm în considerare cea mai comună situație, când metoda Gaussiană necesită rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

Exemplul 1

Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda Gauss:

Să scriem matricea extinsă a sistemului:

Acum voi desena imediat rezultatul la care vom ajunge în timpul soluției: Și repet, scopul nostru este să aducem matricea într-o formă treptată folosind transformări elementare. Unde să încep?

Mai întâi, uită-te la numărul din stânga sus: Ar trebui să fie aproape întotdeauna aici unitate. În general vorbind, –1 (și uneori și alte numere) este potrivit, dar cumva s-a întâmplat în mod tradițional ca unul să fie de obicei plasat acolo. Cum se organizează o unitate? Ne uităm la prima coloană - avem o unitate terminată! Transformarea unu: schimbați prima și a treia linie:

Acum prima linie va rămâne neschimbată până la sfârșitul soluției. Acum bine.

Unitatea din colțul din stânga sus este organizată. Acum trebuie să obțineți zerouri în aceste locuri:

Obținem zerouri folosind o transformare „dificilă”. Mai întâi ne ocupăm de a doua linie (2, –1, 3, 13). Ce trebuie făcut pentru a obține zero în prima poziție? Trebuie sa la a doua linie se adaugă prima linie înmulțită cu –2. Mental sau pe o schiță, înmulțiți prima linie cu –2: (–2, –4, 2, –18). Și efectuăm în mod constant (din nou mental sau pe o schiță) adăugare, la a doua linie adăugăm prima linie, deja înmulțită cu –2:

Scriem rezultatul pe a doua linie:

Ne ocupăm de a treia linie în același mod (3, 2, –5, –1). Pentru a obține un zero în prima poziție, aveți nevoie la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu –3. Mental sau pe o schiță, înmulțiți prima linie cu –3: (–3, –6, 3, –27). ȘI la a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu –3:

Scriem rezultatul pe a treia linie:

În practică, aceste acțiuni sunt de obicei efectuate oral și scrise într-un singur pas:

Nu este nevoie să numărați totul deodată și în același timp. Ordinea calculelor și „scrierea” rezultatelor consistentși, de obicei, este așa: mai întâi rescriem prima linie și umflam încet pe noi înșine - CONSECUT și ATENT:
Și am discutat deja despre procesul mental al calculelor în sine.

În acest exemplu, acest lucru este ușor de făcut; împărțim a doua linie la –5 (deoarece toate numerele de acolo sunt divizibile cu 5 fără rest). În același timp, împărțim a treia linie la –2, deoarece cu cât numerele sunt mai mici, cu atât soluția este mai simplă:

În etapa finală a transformărilor elementare, trebuie să obțineți un alt zero aici:

Pentru aceasta la a treia linie adăugăm a doua linie înmulțită cu –2:
Încercați să vă dați seama singur această acțiune - înmulțiți mental a doua linie cu –2 și efectuați adunarea.

Ultima acțiune efectuată este coafura rezultatului, împărțiți a treia linie la 3.

Ca rezultat al transformărilor elementare, s-a obținut un sistem echivalent de ecuații liniare: Misto.

Acum intră în joc inversul metodei gaussiene. Ecuațiile se „desfășoară” de jos în sus.

În a treia ecuație avem deja un rezultat gata:

Să ne uităm la a doua ecuație: . Sensul cuvântului „zet” este deja cunoscut, astfel:

Și în sfârșit, prima ecuație: . „Igrek” și „zet” sunt cunoscute, este doar o chestiune de lucruri mărunte:

Răspuns:

După cum sa menționat deja de mai multe ori, pentru orice sistem de ecuații este posibil și necesar să se verifice soluția găsită, din fericire, aceasta este ușor și rapid.

Exemplul 2

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, un eșantion al designului final și un răspuns la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că dvs progresul deciziei poate să nu coincidă cu procesul meu de decizie, și aceasta este o caracteristică a metodei Gauss. Dar răspunsurile trebuie să fie aceleași!

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Am facut asta: (1) La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o mișcare suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul).

(2) La a doua linie a fost adăugată prima linie înmulțită cu 5. La a treia linie a fost adăugată prima linie înmulțită cu 3.

(3) Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.

(4) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 2.

(5) A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn rău care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „reu”. Adică, dacă avem ceva de genul , mai jos și, în consecință, , apoi cu un grad mare de probabilitate putem spune că s-a făcut o eroare în timpul transformărilor elementare.

Încărcăm invers, în proiectarea exemplelor, adesea nu rescriu sistemul în sine, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Ștergerea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. Da, iată un cadou:

Răspuns: .

Exemplul 4

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Acesta este un exemplu de rezolvat pe cont propriu, este ceva mai complicat. Este în regulă dacă cineva se încurcă. Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției. Soluția ta poate fi diferită de soluția mea.

În ultima parte ne vom uita la câteva caracteristici ale algoritmului gaussian. Prima caracteristică este că uneori unele variabile lipsesc din ecuațiile sistemului, de exemplu: Cum se scrie corect matricea sistemului extins? Am vorbit deja despre acest punct în clasă. regula lui Cramer. Metoda matricei. În matricea extinsă a sistemului, punem zerouri în locul variabilelor lipsă: Apropo, acesta este un exemplu destul de ușor, deoarece prima coloană are deja un zero și sunt mai puține transformări elementare de efectuat.

A doua caracteristică este aceasta. În toate exemplele luate în considerare, am plasat fie –1, fie +1 pe „trepte”. Ar putea fi alte numere acolo? În unele cazuri pot. Luați în considerare sistemul: .

Aici, în „pasul” din stânga sus avem un doi. Dar observăm faptul că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2 fără rest - iar celălalt este doi și șase. Și ni se vor potrivi cei doi din stânga sus! În primul pas, trebuie să efectuați următoarele transformări: adăugați prima linie înmulțită cu –1 la a doua linie; la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu –3. În acest fel vom obține zerourile necesare în prima coloană.

Sau un alt exemplu convențional: . Aici ni se potrivesc și cei trei de pe al doilea „pas”, deoarece 12 (locul în care trebuie să obținem zero) este divizibil cu 3 fără rest. Este necesar să se efectueze următoarea transformare: se adaugă a doua linie la a treia linie, înmulțită cu –4, în urma căreia se va obține zeroul de care avem nevoie.

Metoda lui Gauss este universală, dar există o particularitate. Puteți învăța cu încredere să rezolvați sisteme folosind alte metode (metoda lui Cramer, metoda matricei) literalmente prima dată - au un algoritm foarte strict. Dar pentru a te simți încrezător în metoda Gaussiană, ar trebui să „îți bagi dinții” și să rezolvi cel puțin 5-10 zece sisteme. Prin urmare, la început pot exista confuzii și erori în calcule și nu este nimic neobișnuit sau tragic în acest sens.

Vreme ploioasă de toamnă în afara ferestrei.... Prin urmare, pentru toți cei care doresc un exemplu mai complex pe care să îl rezolve singuri:

Exemplul 5

Rezolvați un sistem de 4 ecuații liniare cu patru necunoscute folosind metoda Gauss.

O astfel de sarcină nu este atât de rară în practică. Cred că chiar și un ceainic care a studiat temeinic această pagină va înțelege algoritmul pentru rezolvarea unui astfel de sistem în mod intuitiv. În principiu, totul este la fel - există doar mai multe acțiuni.

Cazurile în care sistemul nu are soluții (inconsecvente) sau are infinit de soluții sunt discutate în lecție Sisteme incompatibile și sisteme cu o soluție comună. Acolo puteți repara algoritmul considerat al metodei gaussiene.

Vă doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte.
Transformări elementare efectuate: (1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1. Atenţie! Aici ați putea fi tentat să scădeți prima din a treia linie; vă recomand cu căldură să nu o scădeți - riscul de eroare crește foarte mult. Doar pliază-l! (2) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu –1). A doua și a treia linie au fost schimbate. Notă , că pe „trepte” ne mulțumim nu doar cu una, ci și cu –1, ceea ce este și mai convenabil. (3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 5. (4) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu –1). A treia linie a fost împărțită la 14.

Verso:

Răspuns : .

Exemplul 4: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Conversii efectuate: (1) La prima linie a fost adăugată o a doua linie. Astfel, unitatea dorită este organizată în „treapta” din stânga sus. (2) Prima linie înmulțită cu 7 a fost adăugată la a doua linie, prima linie înmulțită cu 6 a fost adăugată la a treia linie.

Cu al doilea „pas” totul se înrăutățește , „candidații” pentru acesta sunt numerele 17 și 23 și avem nevoie fie de unul, fie de –1. Transformările (3) și (4) vor avea ca scop obținerea unității dorite (3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1. (4) A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –3. Elementul solicitat de la a doua etapă a fost primit. . (5) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 6. (6) A doua linie a fost înmulțită cu –1, a treia linie a fost împărțită cu -83.

Verso:

Răspuns :

Exemplul 5: Soluţie : Să notăm matricea sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă treptat:

Conversii efectuate: (1) Prima și a doua linie au fost schimbate. (2) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –3. (3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 4. A doua linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –1. (4) S-a schimbat semnul liniei a doua. A patra linie a fost împărțită la 3 și plasată în locul celei de-a treia rânduri. (5) A treia linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –5.

Verso:

Răspuns :

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss. Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la sistem din n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvenţială a variabilelor necunoscute: mai întâi eliminarea x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua, este exclus în continuare x 2 din toate ecuațiile, începând cu a treia și așa mai departe, până când doar variabila necunoscută rămâne în ultima ecuație x n. Acest proces de transformare a ecuațiilor de sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește metoda Gaussiană directă. După finalizarea progresiei înainte a metodei gaussiene, din ultima ecuație găsim x n, folosind această valoare din penultima ecuație pe care o calculăm xn-1, și așa mai departe, din prima ecuație pe care o găsim x 1. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Eliminați variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe primul, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am ajunge la același rezultat dacă ne-am exprima x 1 prin alte variabile necunoscute din prima ecuație a sistemului și expresia rezultată a fost înlocuită în toate celelalte ecuații. Deci variabila x 1 exclus din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului adăugăm a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație adăugăm a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe al doilea, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Deci variabila x 2 exclus din toate ecuațiile începând cu a treia.

Apoi trecem la eliminarea necunoscutului x 3, în acest caz procedăm similar cu partea de sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca, folosind valoarea obținută x n găsim xn-1 din penultima ecuație și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație.

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda Gauss.

metoda Gauss perfect pentru rezolvarea sistemelor liniare ecuații algebrice(SLAU). Are o serie de avantaje în comparație cu alte metode:

• în primul rând, nu este nevoie să examinăm mai întâi sistemul de ecuații pentru consecvență;
• în al doilea rând, metoda Gauss poate rezolva nu numai SLAE-uri în care numărul de ecuații coincide cu numărul de variabile necunoscute și matricea principală a sistemului este nesingulară, ci și sisteme de ecuații în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau determinantul matricei principale este egal cu zero;
• în al treilea rând, metoda Gauss conduce la rezultate cu un număr relativ mic de operații de calcul.

Scurtă prezentare generală a articolului.

În primul rând, dăm definițiile necesare și introducem notații.

În continuare, vom descrie algoritmul metodei Gauss pentru cel mai simplu caz, adică pentru sisteme de ecuații algebrice liniare, numărul de ecuații în care coincide cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este nu este egal cu zero. Când se rezolvă astfel de sisteme de ecuații, esența metodei Gauss este cel mai clar vizibilă, care este eliminarea secvențială a variabilelor necunoscute. Prin urmare, metoda Gaussiană se mai numește și metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor. Vă vom arăta soluții detaliate mai multe exemple.

În concluzie, vom lua în considerare soluția prin metoda Gauss a sistemelor de ecuații algebrice liniare, a căror matrice principală este fie dreptunghiulară, fie singulară. Soluția pentru astfel de sisteme are câteva caracteristici, pe care le vom examina în detaliu folosind exemple.

Navigare în pagină.

Definiții și notații de bază.

Considerăm un sistem de p ecuații liniare cu n necunoscute (p poate fi egal cu n):

Unde sunt variabile necunoscute, sunt numere (reale sau complexe) și sunt termeni liberi.

Dacă , atunci sistemul de ecuații algebrice liniare se numește omogen, in caz contrar - eterogen.

Se numește setul de valori ale variabilelor necunoscute pentru care toate ecuațiile sistemului devin identități decizia SLAU.

Dacă există cel puțin o soluție la un sistem de ecuații algebrice liniare, atunci se numește comun, in caz contrar - nearticulată.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit. Dacă există mai multe soluții, atunci sistemul este apelat incert.

Ei spun că sistemul este scris forma de coordonate, dacă are forma
.

Acest sistem în formă matriceală records are forma , unde - matricea principală a SLAE, - matricea coloanei de variabile necunoscute, - matricea termenilor liberi.

Dacă adăugăm o coloană matrice de termeni liberi la matricea A ca coloană (n+1), obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, o matrice extinsă este desemnată cu litera T, iar coloana de termeni liberi este separată printr-o linie verticală de coloanele rămase, adică

Matricea pătrată A se numește degenerat, dacă determinantul său este zero. Dacă , atunci se numește matricea A nedegenerate.

Trebuie remarcat următorul punct.

Dacă procedăm cu un sistem de ecuaţii algebrice liniare următoarele acțiuni

• schimbați două ecuații,
• înmulțiți ambele părți ale oricărei ecuații cu un număr real (sau complex) arbitrar și diferit de zero k,
• la ambele părți ale oricărei ecuații adăugați părțile corespunzătoare ale unei alte ecuații, înmulțite cu un număr arbitrar k,

apoi obțineți un sistem echivalent care are aceleași soluții (sau, la fel ca cel original, nu are soluții).

Pentru o matrice extinsă a unui sistem de ecuații algebrice liniare, aceste acțiuni vor însemna efectuarea de transformări elementare cu rândurile:

• schimbând două linii,
• înmulțind toate elementele oricărui rând al matricei T cu un număr diferit de zero k,
• adunând la elementele oricărui rând al unei matrice elementele corespunzătoare ale altui rând, înmulțite cu un număr arbitrar k.

Acum putem trece la descrierea metodei Gauss.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare, în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute și matricea principală a sistemului este nesingulară, folosind metoda Gauss.

Ce am face la școală dacă ni s-ar da sarcina de a găsi o soluție la un sistem de ecuații? .

Unii ar face asta.

Rețineți că adăugarea în partea stângă a celei de-a doua ecuații partea stanga mai întâi, și în partea dreaptă - cea dreaptă, puteți scăpa de variabilele necunoscute x 2 și x 3 și puteți găsi imediat x 1:

Înlocuim valoarea găsită x 1 =1 în prima și a treia ecuație a sistemului:

Dacă înmulțim ambele părți ale celei de-a treia ecuații a sistemului cu -1 și le adăugăm la părțile corespunzătoare ale primei ecuații, scăpăm de variabila necunoscută x 3 și putem găsi x 2:

Înlocuim valoarea rezultată x 2 = 2 în a treia ecuație și găsim variabila necunoscută rămasă x 3:

Alții ar fi procedat altfel.

Să rezolvăm prima ecuație a sistemului în raport cu variabila necunoscută x 1 și să substituim expresia rezultată în a doua și a treia ecuație a sistemului pentru a exclude această variabilă din ele:

Acum să rezolvăm a doua ecuație a sistemului pentru x 2 și să înlocuim rezultatul obținut în a treia ecuație pentru a elimina variabila necunoscută x 2 din aceasta:

Din a treia ecuație a sistemului este clar că x 3 =3. Din a doua ecuație găsim , iar din prima ecuație obținem .

Soluții familiare, nu?

Cel mai interesant lucru aici este că a doua metodă de soluție este în esență metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor, adică metoda Gauss. Când am exprimat variabilele necunoscute (prima x 1, la următoarea etapă x 2) și le-am substituit în ecuațiile rămase ale sistemului, le-am exclus astfel. Am efectuat eliminarea până când a rămas o singură variabilă necunoscută în ultima ecuație. Procesul de eliminare secvenţială a necunoscutelor se numeşte metoda Gaussiană directă. După finalizarea mișcării înainte, avem posibilitatea de a calcula variabila necunoscută găsită în ultima ecuație. Cu ajutorul ei, găsim următoarea variabilă necunoscută din penultima ecuație și așa mai departe. Se numește procesul de găsire secvențială a variabilelor necunoscute în timp ce treceți de la ultima ecuație la prima inversa metodei gaussiene.

Trebuie remarcat faptul că atunci când exprimăm x 1 în termeni de x 2 și x 3 în prima ecuație și apoi substituim expresia rezultată în a doua și a treia ecuație, următoarele acțiuni conduc la același rezultat:

Într-adevăr, o astfel de procedură face posibilă și eliminarea variabilei necunoscute x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului:

Nuanțe cu eliminarea variabilelor necunoscute folosind metoda Gaussiană apar atunci când ecuațiile sistemului nu conțin unele variabile.

De exemplu, în SLAU în prima ecuație nu există o variabilă necunoscută x 1 (cu alte cuvinte, coeficientul din fața acesteia este zero). Prin urmare, nu putem rezolva prima ecuație a sistemului pentru x 1 pentru a elimina această variabilă necunoscută din ecuațiile rămase. Calea de ieșire din această situație este schimbarea ecuațiilor sistemului. Deoarece luăm în considerare sisteme de ecuații liniare ale căror determinanți ai matricelor principale sunt diferiți de zero, există întotdeauna o ecuație în care variabila de care avem nevoie este prezentă și putem rearanja această ecuație la poziția de care avem nevoie. Pentru exemplul nostru, este suficient să schimbați prima și a doua ecuație a sistemului , atunci puteți rezolva prima ecuație pentru x 1 și o puteți exclude din ecuațiile rămase ale sistemului (deși x 1 nu mai este prezent în a doua ecuație).

Sperăm că înțelegeți esențialul.

Să descriem Algoritmul metodei gaussiene.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm un sistem de n ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute de forma , și fie determinantul matricei sale principale să fie diferit de zero.

Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Să eliminăm variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am fi ajuns la același rezultat dacă am fi exprimat x 1 în termenii altor variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am fi înlocuit expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului o adunăm pe a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, procedăm la eliminarea necunoscutului x 3, în timp ce acționăm similar cu partea de sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație .

Să ne uităm la algoritm folosind un exemplu.

Exemplu.

metoda Gauss.

Soluţie.

Coeficientul a 11 este diferit de zero, deci să trecem la progresia directă a metodei gaussiene, adică la excluderea variabilei necunoscute x 1 din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei. Pentru a face acest lucru, la stânga și la dreapta celei de-a doua, a treia și a patra ecuație, adăugați părțile stânga și dreapta ale primei ecuații, înmulțite cu , respectiv. Și :

Variabila necunoscută x 1 a fost eliminată, să trecem la eliminarea x 2 . La laturile stânga și dreapta ale celei de-a treia și a patra ecuații ale sistemului adunăm laturile stânga și dreapta ale celei de-a doua ecuații, înmulțite cu respectiv Și :

Pentru a finaliza progresia înainte a metodei gaussiene, trebuie să eliminăm variabila necunoscută x 3 din ultima ecuație a sistemului. Să adăugăm la stânga și la dreapta celei de-a patra ecuații, respectiv, laturile stânga și dreapta ale celei de-a treia ecuații, înmulțite cu :

Puteți începe inversul metodei gaussiene.

Din ultima ecuație avem ,
din a treia ecuație obținem,
din a doua,
din prima.

Pentru a verifica, puteți înlocui valorile obținute ale variabilelor necunoscute în sistemul original de ecuații. Toate ecuațiile se transformă în identități, ceea ce indică faptul că soluția folosind metoda Gauss a fost găsită corect.

Răspuns:

Acum să dăm o soluție aceluiași exemplu folosind metoda Gaussiană în notație matriceală.

Exemplu.

Găsiți soluția sistemului de ecuații metoda Gauss.

Soluţie.

Matricea extinsă a sistemului are forma . În partea de sus a fiecărei coloane se află variabilele necunoscute care corespund elementelor matricei.

Abordarea directă a metodei Gaussiene aici implică reducerea matricei extinse a sistemului la o formă trapezoidală folosind transformări elementare. Acest proces este similar cu eliminarea variabilelor necunoscute pe care am făcut-o cu sistemul sub formă de coordonate. Acum vei vedea asta.

Să transformăm matricea astfel încât toate elementele din prima coloană, începând de la a doua, să devină zero. Pentru a face acest lucru, la elementele din a doua, a treia și a patra linie adăugăm elementele corespunzătoare din prima linie înmulțite cu , si in consecinta:

În continuare, transformăm matricea rezultată astfel încât în ​​a doua coloană toate elementele, începând de la a treia, să devină zero. Aceasta ar corespunde eliminării variabilei necunoscute x 2 . Pentru a face acest lucru, la elementele din al treilea și al patrulea rând adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând al matricei, înmulțite cu respectiv Și :

Rămâne să excludem variabila necunoscută x 3 din ultima ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la elementele ultimului rând din matricea rezultată adăugăm elementele corespunzătoare din penultimul rând, înmulțite cu :

Trebuie remarcat faptul că această matrice corespunde unui sistem de ecuații liniare

care a fost obţinut mai devreme după o mişcare înainte.

E timpul să te întorci. În notația matriceală, inversul metodei gaussiene implică transformarea matricei rezultate astfel încât matricea marcată în figură

a devenit diagonală, adică a luat forma

unde sunt niste numere.

Aceste transformări sunt asemănătoare transformărilor directe ale metodei gaussiene, dar sunt efectuate nu de la prima linie la ultima, ci de la ultima la prima.

Adăugați elementelor din a treia, a doua și prima linie elementele corespunzătoare din ultima linie, înmulțite cu , iar si iar respectiv:

Acum adăugați elementelor din a doua și din prima linie elementele corespunzătoare din a treia linie, înmulțite cu și, respectiv, cu:

La ultimul pas al metodei gaussiene inverse, la elementele primului rând adăugăm elementele corespunzătoare din al doilea rând, înmulțite cu:

Matricea rezultată corespunde sistemului de ecuații , de unde găsim variabilele necunoscute.

Răspuns:

NOTĂ.

Când utilizați metoda Gauss pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare, calculele aproximative ar trebui evitate, deoarece acest lucru poate duce la rezultate complet incorecte. Vă recomandăm să nu rotunjiți zecimale. Mai bine de la zecimale mergi la fracții obișnuite.

Exemplu.

Rezolvați un sistem de trei ecuații folosind metoda Gauss .

Soluţie.

Rețineți că în acest exemplu variabilele necunoscute au o denumire diferită (nu x 1, x 2, x 3, ci x, y, z). Să trecem la fracțiile obișnuite:

Să excludem necunoscutul x din a doua și a treia ecuație a sistemului:

În sistemul rezultat, variabila necunoscută y este absentă în a doua ecuație, dar y este prezentă în a treia ecuație, prin urmare, să schimbăm a doua și a treia ecuație:

Aceasta completează progresia directă a metodei Gauss (nu este nevoie să excludem y din a treia ecuație, deoarece această variabilă necunoscută nu mai există).

Să începem mișcare inversă.

Din ultima ecuație găsim ,
din penultimul


din prima ecuație pe care o avem

Răspuns:

X = 10, y = 5, z = -20.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute sau matricea principală a sistemului este singulară, folosind metoda Gauss.

Sistemele de ecuații, a căror matrice principală este dreptunghiulară sau pătrat singular, pot să nu aibă soluții, pot avea o singură soluție sau pot avea un număr infinit de soluții.

Acum vom înțelege cum metoda Gauss ne permite să stabilim compatibilitatea sau inconsecvența unui sistem de ecuații liniare și, în cazul compatibilității acestuia, să determinăm toate soluțiile (sau o singură soluție).

În principiu, procesul de eliminare a variabilelor necunoscute în cazul unor astfel de SLAE rămâne același. Cu toate acestea, merită să intrați în detaliu despre unele situații care pot apărea.

Să trecem la etapa cea mai importantă.

Deci, să presupunem că sistemul de ecuații algebrice liniare, după finalizarea progresiei înainte a metodei Gauss, ia forma și nici o singură ecuație nu a fost redusă la (în acest caz am concluziona că sistemul este incompatibil). Apare o întrebare logică: „Ce să faci în continuare”?

Să notăm variabilele necunoscute care apar primele în toate ecuațiile sistemului rezultat:

În exemplul nostru, acestea sunt x 1, x 4 și x 5. Pe partea stângă a ecuațiilor sistemului lăsăm doar acei termeni care conțin variabilele necunoscute scrise x 1, x 4 și x 5, termenii rămași sunt transferați în partea dreaptă a ecuațiilor cu semnul opus:

Să dăm variabilelor necunoscute care se află în partea dreaptă a ecuațiilor valori arbitrare, unde - numere arbitrare:

După aceasta, părțile din dreapta tuturor ecuațiilor SLAE conțin numere și putem trece la inversul metodei gaussiene.

Din ultima ecuație a sistemului pe care o avem, din penultima ecuație găsim, din prima ecuație obținem

Soluția unui sistem de ecuații este un set de valori ale variabilelor necunoscute

Dând numere sensuri diferite, vom primi diverse solutii sisteme de ecuații. Adică, sistemul nostru de ecuații are infinite de soluții.

Răspuns:

Unde - numere arbitrare.

Pentru a consolida materialul, vom analiza în detaliu soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Decide sistem omogen ecuații algebrice liniare metoda Gauss.

Soluţie.

Să excludem variabila necunoscută x din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la stânga și la dreapta celei de-a doua ecuații, adăugăm, respectiv, părțile stânga și dreapta ale primei ecuații, înmulțite cu , iar la stânga și dreapta celei de-a treia ecuații, adăugăm laturile stânga și părțile drepte ale primei ecuații, înmulțite cu:

Acum să excludem y din a treia ecuație a sistemului de ecuații rezultat:

SLAE rezultat este echivalent cu sistemul .

Lăsăm în partea stângă a ecuațiilor sistemului doar termenii care conțin variabilele necunoscute x și y și mutam termenii cu variabila necunoscută z în partea dreaptă: