Acasă Secretele medicinei Proiecții pe axe de coordonate. Proiecția forței pe axă

Proiecții pe axe de coordonate. Proiecția forței pe axă

Proiecție vector pe o axă este un vector care se obține prin înmulțirea proiecției scalare a unui vector pe această axă și a vectorului unitar al acestei axe. De exemplu, dacă un x – proiecție scalară vector A la axa X, apoi un x i- proiecția sa vectorială pe această axă.

Să notăm proiecție vectorială la fel ca vectorul în sine, dar cu indicele axei pe care este proiectat vectorul. Deci, proiecția vectorială a vectorului A pe axa X notăm A X ( gras o literă care denotă un vector și un indice al numelui axei) sau (o literă fără caractere aldine care denotă un vector, dar cu o săgeată în partea de sus (!) și un indice al numelui axei).

Proiecție scalară se numește vector pe axă număr, valoare absolută care este egală cu lungimea segmentului de axă (pe scara selectată) cuprinsă între proiecțiile punctului de început și punctul final al vectorului. De obicei, în locul expresiei proiecție scalară ei spun pur si simplu - proiecție. Proiecția se notează cu aceeași literă cu vectorul proiectat (în scriere normală, fără caractere aldine), cu un indice mai mic (de regulă) al numelui axei pe care este proiectat acest vector. De exemplu, dacă un vector este proiectat pe axa X A, atunci proiecția sa se notează cu x. La proiectarea aceluiași vector pe o altă axă, dacă axa este Y, proiecția sa va fi notată cu y.

Pentru a calcula proiecția vector pe o axă (de exemplu, axa X), este necesar să se scadă coordonatele punctului de plecare din coordonatele punctului său final, adică
a x = x k − x n.
Proiecția unui vector pe o axă este un număr. Mai mult, proiecția poate fi pozitivă dacă valoarea x k mai mare decât valoarea xn,

negativ dacă valoarea x k este mai mică decât valoarea x n

și egal cu zero dacă x k este egal cu x n.

Proiecția unui vector pe o axă poate fi găsită și cunoscând modulul vectorului și unghiul pe care îl formează cu această axă.

Din figură este clar că a x = a Cos α

adică proiecția vectorului pe axă este egală cu produsul dintre modulul vectorului și cosinusul unghiului dintre direcția axei și direcția vectorială. Dacă unghiul este ascuțit, atunci
Cos α > 0 și a x > 0 și, dacă este obtuz, atunci cosinusul unghiului obtuz este negativ, iar proiecția vectorului pe axă va fi, de asemenea, negativă.

Unghiurile măsurate de pe axa în sens invers acelor de ceasornic sunt considerate pozitive, iar unghiurile măsurate de-a lungul axei sunt negative. Totuși, deoarece cosinusul este o funcție pară, adică Cos α = Cos (− α), atunci când se calculează proiecțiile, unghiurile pot fi numărate atât în sensul acelor de ceasornic, cât și în sens invers acelor de ceasornic.

Pentru a găsi proiecția unui vector pe o axă, modulul acestui vector trebuie înmulțit cu cosinusul unghiului dintre direcția axei și direcția vectorului.

Coordonatele vectoriale sunt coeficienții singurei combinații liniare posibile de vectori de bază din sistemul de coordonate selectat, egali cu acest vector.

unde sunt coordonatele vectorului.

Produs scalar vectori

Produsul scalar al vectorilor[- în dimensional finit spațiu vectorial este definită ca suma produselor componentelor identice înmulțite vectori.

De exemplu, S.p.v. A = (A 1 , ..., un n) Și b = (b 1 , ..., b n):

(A , b ) = A 1 b 1 + A 2 b 2 + ... + a n b n

§ 3. Proiectii ale unui vector pe axele de coordonate

1. Găsirea geometrică a proiecțiilor.

Vector
- proiecția vectorului pe axă BOU
- proiecția vectorului pe axă OY

Definiția 1. Proiecție vectorială pe orice axă de coordonate este un număr luat cu semnul plus sau minus, corespunzător lungimii segmentului situat între bazele perpendicularelor coborâte de la începutul și sfârșitul vectorului până la axa de coordonate.

Semnul de proiecție este definit după cum urmează. Dacă, la deplasarea de-a lungul axei de coordonate, există o mișcare de la punctul de proiecție al începutului vectorului la punctul de proiecție al sfârșitului vectorului în direcția pozitivă a axei, atunci proiecția vectorului este considerată pozitivă. . Dacă este opus axei, atunci proiecția este considerată negativă.

Figura arată că dacă vectorul este orientat oarecum opus axei de coordonate, atunci proiecția sa pe această axă este negativă. Dacă un vector este orientat cumva în direcția pozitivă a axei de coordonate, atunci proiecția sa pe această axă este pozitivă.

Dacă un vector este perpendicular pe axa de coordonate, atunci proiecția lui pe această axă este zero.
Dacă un vector este codirecțional cu o axă, atunci proiecția sa pe această axă este egală cu valoarea absolută a vectorului.
Dacă un vector este îndreptat opus axei de coordonate, atunci proiecția sa pe această axă este egală în valoare absolută cu valoarea absolută a vectorului luat cu semnul minus.

2. Majoritatea definiție generală proiecții.

Dintr-un triunghi dreptunghic ABD: .

Definiția 2. Proiecție vectorială pe orice axă de coordonate este un număr egal cu produsul dintre modulul vectorului și cosinusul unghiului format de vector cu direcția pozitivă a axei de coordonate.

Semnul proiecției este determinat de semnul cosinusului unghiului format de vectorul cu direcția pozitivă a axei.
Dacă unghiul este ascuțit, atunci cosinusul are semn pozitiv, iar proiecțiile sunt pozitive. Pentru unghiurile obtuze, cosinusul are semn negativ, deci în astfel de cazuri proiecțiile pe axă sunt negative.
- prin urmare, pentru vectorii perpendiculari pe axa, proiectia este zero.

O descriere vectorială a mișcării este utilă, deoarece într-un desen puteți descrie întotdeauna mulți vectori diferiți și puteți obține o „imagine” vizuală a mișcării în fața ochilor dumneavoastră. Cu toate acestea, folosirea unei rigle și a unui raportor de fiecare dată pentru a efectua operații cu vectori este foarte laborioasă. Prin urmare, aceste acțiuni sunt reduse la acțiuni cu numere pozitive și negative - proiecții de vectori.

Proiecția vectorului pe axă numită mărime scalară egală cu produsul dintre modulul vectorului proiectat și cosinusul unghiului dintre direcțiile vectorului și axa de coordonate selectată.

Desenul din stânga prezintă un vector de deplasare, al cărui modul este de 50 km, și direcția lui formează unghi obtuz 150° cu direcția axei X. Folosind definiția, găsim proiecția deplasării pe axa X:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Deoarece unghiul dintre axe este de 90°, este ușor de calculat că direcția de mișcare formează un unghi ascuțit de 60° cu direcția axei Y. Folosind definiția, găsim proiecția deplasării pe axa Y:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

După cum puteți vedea, dacă direcția vectorului formează un unghi ascuțit cu direcția axei, proiecția este pozitivă; dacă direcția vectorului formează un unghi obtuz cu direcția axei, proiecția este negativă.

Desenul din dreapta arată un vector viteză, al cărui modul este de 5 m/s, iar direcția formează un unghi de 30° cu direcția axei X. Să găsim proiecțiile:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Este mult mai ușor să găsiți proiecții ale vectorilor pe axe dacă vectorii proiectați sunt paraleli sau perpendiculari pe axele selectate. Vă rugăm să rețineți că în cazul paralelismului sunt posibile două opțiuni: vectorul este co-direcțional față de axă și vectorul este opus axei, iar pentru cazul perpendicularității există o singură opțiune.

Proiecția unui vector perpendicular pe axă este întotdeauna zero (vezi sy și ay în desenul din stânga și sx și υx în desenul din dreapta). Într-adevăr, pentru un vector perpendicular pe axă, unghiul dintre acesta și axă este de 90°, deci cosinusul este zero, ceea ce înseamnă că proiecția este zero.

Proiecția unui vector codirecțional cu axa este pozitivă și egală cu valoarea sa absolută, de exemplu, sx = +s (vezi desenul din stânga). Într-adevăr, pentru un vector codirecțional cu axă, unghiul dintre acesta și axă este zero, iar cosinusul său este „+1”, adică proiecția este egală cu lungimea vectorului: sx = x – xo = + s .

Proiecția vectorului opus axei este negativă și egală cu modulul său luat cu semnul minus, de exemplu, sy = –s (vezi desenul din dreapta). Într-adevăr, pentru un vector opus axei, unghiul dintre acesta și axă este de 180°, iar cosinusul său este „–1”, adică proiecția este egală cu lungimea vectorului luat cu semn negativ: sy = y – yo = –s .

Partea dreaptă a ambelor desene arată alte cazuri în care vectorii sunt paraleli cu una dintre axele de coordonate și perpendiculari pe cealaltă. Vă invităm să vă asigurați că și în aceste cazuri sunt respectate regulile formulate în paragrafele precedente.

Introducere…………………………………………………………………………………………… 3

1. Valoarea vectorului și scalarului…………………………………………….4

2. Definirea proiecției, axei și coordonatei unui punct…………..5

3. Proiecția vectorului pe axă………………………………………………………………………6

4. Formula de bază a algebrei vectoriale………………………………………..8

5. Calculul modulului unui vector din proiecțiile sale……………9

Concluzie……………………………………………………………………………………………….11

Literatură……………………………………………………………………………………….12

Introducere:

Fizica este indisolubil legată de matematică. Matematica oferă fizicii mijloacele și tehnicile pentru o exprimare generală și precisă a relației dintre mărimile fizice care sunt descoperite ca urmare a experimentului sau a cercetării teoretice.La urma urmei, principala metodă de cercetare în fizică este experimentală. Aceasta înseamnă că un om de știință dezvăluie calcule folosind măsurători. Indică relația dintre diferitele mărimi fizice. Apoi, totul este tradus în limbajul matematicii. Format model matematic. Fizica este o știință care studiază cel mai simplu și, în același timp, cel mai mult tipare generale. Sarcina fizicii este de a crea în mintea noastră o imagine a lumii fizice care să reflecte cel mai pe deplin proprietățile acesteia și să asigure astfel de relații între elementele modelului care există între elemente.

Deci, fizica creează un model al lumii din jurul nostru și îi studiază proprietățile. Dar orice model este limitat. Atunci când se creează modele ale unui anumit fenomen, sunt luate în considerare numai proprietățile și conexiunile care sunt esențiale pentru o gamă dată de fenomene. Aceasta este arta unui om de știință - de a alege principalul lucru din toată diversitatea.

Modelele fizice sunt matematice, dar matematica nu este baza lor. Relațiile cantitative dintre mărimile fizice sunt determinate ca urmare a măsurătorilor, observațiilor și cercetare experimentalăși sunt exprimate doar în limbajul matematicii. Cu toate acestea, nu există un alt limbaj pentru a construi teorii fizice.

1. Înțelesul vectorului și scalarului.

În fizică și matematică, un vector este o mărime care se caracterizează prin valoarea și direcția sa numerică. În fizică, există multe cantități importante care sunt vectori, de exemplu, forța, poziția, viteza, accelerația, cuplul, impulsul, puterea câmpului electric și magnetic. Ele pot fi contrastate cu alte cantități precum masa, volumul, presiunea, temperatura și densitatea, care pot fi descrise printr-un număr obișnuit și sunt numite " scalari".

Ele sunt scrise fie cu litere de font obișnuit, fie cu cifre (a, b, t, G, 5, −7....). Mărimile scalare pot fi pozitive sau negative. În același timp, unele obiecte de studiu pot avea astfel de proprietăți care descriere completa Pentru care cunoașterea doar a unei măsuri numerice se dovedește a fi insuficientă, este de asemenea necesar să se caracterizeze aceste proprietăți prin direcția în spațiu. Astfel de proprietăți sunt caracterizate de mărimi vectoriale (vectori). Vectorii, spre deosebire de scalari, sunt notați cu litere aldine: a, b, g, F, C....
Adesea, un vector este notat printr-o literă cu font obișnuit (nebold), dar cu o săgeată deasupra:

În plus, un vector este adesea notat cu o pereche de litere (de obicei cu majuscule), prima literă indicând începutul vectorului, iar a doua sfârșitul acestuia.

Modulul unui vector, adică lungimea unui segment de linie dreaptă direcționată, este notat cu aceleași litere ca și vectorul însuși, dar în scris normal (nu îngroșat) și fără săgeată deasupra lor, sau exact în același mod ca vector (adică îngroșat sau regulat, dar cu săgeată), dar apoi desemnarea vectorului este închisă în liniuțe verticale.
Un vector este un obiect complex care este caracterizat simultan atât de mărime, cât și de direcție.

De asemenea, nu există vectori pozitivi și negativi. Dar vectorii pot fi egali între ei. Acesta este atunci când, de exemplu, a și b au aceleași module și sunt direcționate în aceeași direcție. În acest caz, notația este adevărată A= b. De asemenea, trebuie avut în vedere că simbolul vectorial poate fi precedat de un semn minus, de exemplu - c, cu toate acestea, acest semn indică simbolic că vectorul -c are același modul ca vectorul c, dar este direcționat în sens opus direcţie.

Vectorul -c se numește opusul (sau inversul) vectorului c.
În fizică, fiecare vector este umplut cu conținut specific, iar atunci când se compară vectori de același tip (de exemplu, forțe), punctele de aplicare a acestora pot fi, de asemenea, semnificative.

2. Determinarea proiecției, axei și coordonatei punctului.

Axă- Aceasta este o linie dreaptă căreia i se dă o anumită direcție.
O axă este desemnată printr-o literă: X, Y, Z, s, t... De obicei, pe axă este selectat (arbitrar) un punct, care se numește origine și, de regulă, este desemnat cu litera O. Din acest punct se măsoară distanțele până la alte puncte de interes pentru noi.

Proiecția unui punct pe o axă se află baza unei perpendiculare trasate din acest punct pe o axă dată. Adică, proiecția unui punct pe axă este un punct.

Coordonata punctului pe o axă dată este un număr a cărui valoare absolută este egală cu lungimea segmentului de axă (pe scara selectată) cuprins între originea axei și proiecția punctului pe această axă. Acest număr se ia cu semnul plus dacă proiecția punctului este situată în direcția axei de la origine și cu semnul minus dacă este în sens opus.

3. Proiecția vectorului pe axă.

Proiecția unui vector pe o axă este un vector care se obține prin înmulțirea proiecției scalare a unui vector pe această axă și vectorul unitar al acestei axe. De exemplu, dacă a x este proiecția scalară a vectorului a pe axa X, atunci a x ·i este proiecția sa vectorială pe această axă.

Să notăm proiecția vectorială în același mod ca vectorul însuși, dar cu indicele axei pe care este proiectat vectorul. Astfel, notăm proiecția vectorială a vectorului a pe axa X ca x (o literă îngroșată care denotă vectorul și indicele numelui axei) sau

(o literă cu caractere aldine mici care denotă un vector, dar cu o săgeată în partea de sus (!) și un indice pentru numele axei).

Proiecție scalară se numește vector pe axă număr, a cărui valoare absolută este egală cu lungimea segmentului de axă (pe scara selectată) cuprinsă între proiecțiile punctului de început și punctul final al vectorului. De obicei, în locul expresiei proiecție scalară ei spun pur si simplu - proiecție. Proiecția se notează cu aceeași literă cu vectorul proiectat (în scriere normală, fără caractere aldine), cu un indice mai mic (de regulă) al numelui axei pe care este proiectat acest vector. De exemplu, dacă un vector este proiectat pe axa X A, atunci proiecția sa se notează cu x. La proiectarea aceluiași vector pe o altă axă, dacă axa este Y, proiecția sa va fi notată cu y.

Pentru a calcula proiecția vector pe o axă (de exemplu, axa X), este necesar să se scadă coordonatele punctului de plecare din coordonatele punctului său final, adică

a x = x k − x n.

Proiecția unui vector pe o axă este un număr.În plus, proiecția poate fi pozitivă dacă valoarea x k este mai mare decât valoarea x n,

negativ dacă valoarea x k este mai mică decât valoarea x n

și egal cu zero dacă x k este egal cu x n.

Proiecția unui vector pe o axă poate fi găsită și cunoscând modulul vectorului și unghiul pe care îl formează cu această axă.

Din figură este clar că a x = a Cos α

Adică, proiecția vectorului pe axă este egală cu produsul dintre modulul vectorului și cosinusul unghiului dintre direcția axei și direcția vectorială. Dacă unghiul este ascuțit, atunci
Cos α > 0 și a x > 0 și, dacă este obtuz, atunci cosinusul unghiului obtuz este negativ, iar proiecția vectorului pe axă va fi, de asemenea, negativă.

Pentru a găsi proiecția unui vector pe o axă, modulul acestui vector trebuie înmulțit cu cosinusul unghiului dintre direcția axei și direcția vectorului.

4. Formula de bază a algebrei vectoriale.

Să proiectăm vectorul a pe axele X și Y ale sistemului de coordonate dreptunghiulare. Să găsim proiecțiile vectoriale ale vectorului a pe aceste axe:

a x = a x ·i și y = a y ·j.

Dar în conformitate cu regula adunării vectoriale

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

Astfel, am exprimat un vector în termenii proiecțiilor sale și vectorii sistemului de coordonate dreptunghiulare (sau în termenii proiecțiilor sale vectoriale).

Proiecții vectoriale a x și a y se numesc componente sau componente ale vectorului a. Operația pe care am efectuat-o se numește descompunerea unui vector de-a lungul axelor unui sistem de coordonate dreptunghiulare.

Dacă vectorul este dat în spațiu, atunci

a = a x i + a y j + a z k.

Această formulă se numește formula de bază a algebrei vectoriale. Desigur, se poate scrie așa.

Vor fi, de asemenea, probleme pe care le rezolvați singur, la care puteți vedea răspunsurile.

Concept de vector

Înainte de a învăța totul despre vectori și operațiunile pe ei, pregătiți-vă să rezolvați o problemă simplă. Există un vector al antreprenoriatului tău și un vector al abilităților tale inovatoare. Vectorul antreprenoriatului te conduce la Obiectivul 1, iar vectorul abilităților inovatoare te duce către Scopul 2. Regulile jocului sunt de așa natură încât nu te poți deplasa pe direcțiile acestor doi vectori simultan și nu poți atinge două obiective deodată. Vectorii interacționează sau, vorbind în limbaj matematic, se efectuează o operațiune asupra vectorilor. Rezultatul acestei operațiuni este vectorul „Rezultat”, care vă conduce la Obiectivul 3.

Acum spune-mi: rezultatul cărei operațiuni pe vectorii „Antreprenoriat” și „Abilități inovatoare” este vectorul „Rezultat”? Dacă nu vă puteți da seama imediat, nu vă descurajați. Pe măsură ce progresați prin această lecție, veți putea răspunde la această întrebare.

După cum am văzut deja mai sus, vectorul vine în mod necesar dintr-un anumit punct Aîn linie dreaptă până la un punct B. Prin urmare, fiecare vector are nu numai valoare numerica- lungime, dar și fizică și geometrică - direcționalitate. De aici rezultă prima, cea mai simplă definiție a unui vector. Deci, un vector este un segment direcționat care vine dintr-un punct A până la punctul B. Se desemnează astfel: .

Și pentru a începe diverse operatii cu vectori , trebuie să ne familiarizăm cu încă o definiție a unui vector.

Un vector este un tip de reprezentare a unui punct care trebuie atins de la un punct de plecare. De exemplu, un vector tridimensional este de obicei scris ca (x, y, z) . În termeni foarte simpli, aceste numere înseamnă cât de departe trebuie să mergi în trei direcții diferite pentru a ajunge la un punct.

Fie dat un vector. în care X = 3 (mâna dreaptă arată spre dreapta), y = 1 (mâna stângă puncte înainte) z = 5 (sub punct este o scară care duce sus). Folosind aceste date, veți găsi un punct mergând 3 metri în direcția indicată mana dreapta, apoi 1 metru în direcția indicată de mâna stângă, apoi te așteaptă o scară și, urcând 5 metri, te vei regăsi în sfârșit în punctul final.

Toți ceilalți termeni sunt clarificări ale explicației prezentate mai sus, necesare pentru diferite operații pe vectori, adică rezolvarea unor probleme practice. Să trecem prin aceste definiții mai riguroase, concentrându-ne pe probleme tipice vectoriale.

Exemple fizice Mărimile vectoriale pot fi deplasarea unui punct material care se mișcă în spațiu, viteza și accelerația acestui punct, precum și forța care acționează asupra acestuia.

Vector geometric prezentate în spațiu bidimensional și tridimensional în formă segment direcţional. Acesta este un segment care are un început și un sfârșit.

Dacă A- începutul vectorului, și B- sfârșitul acestuia, apoi vectorul este notat cu simbolul sau o literă mică . În figură, sfârșitul vectorului este indicat printr-o săgeată (Fig. 1)

Lungime(sau modul) a unui vector geometric este lungimea segmentului care îl generează

Cei doi vectori sunt numiți egal , daca pot fi combinate (daca directiile coincid) prin transfer paralel, i.e. dacă sunt paralele, îndreptate în aceeași direcție și au lungimi egale.

În fizică este adesea considerat vectori fixați, specificat de punctul de aplicare, lungime și direcție. Dacă punctul de aplicare al vectorului nu contează, atunci acesta poate fi transferat, menținându-și lungimea și direcția, în orice punct din spațiu. În acest caz, vectorul este numit gratuit. Vom fi de acord să luăm în considerare numai vectori liberi.

Operații liniare pe vectori geometrici

Înmulțirea unui vector cu un număr

Produsul unui vector pe număr este un vector care se obține dintr-un vector prin întindere (at ) sau comprimare (at ) cu un factor, iar direcția vectorului rămâne aceeași dacă , și se schimbă în opus dacă . (Fig. 2)

Din definiție rezultă că vectorii și = sunt întotdeauna situați pe una sau drepte paralele. Astfel de vectori se numesc coliniare. (Putem spune, de asemenea, că acești vectori sunt paraleli, dar în algebra vectorială se obișnuiește să spunem „coliniar”). Este adevărat și invers: dacă vectorii sunt coliniari, atunci ei sunt legați prin relația

În consecință, egalitatea (1) exprimă condiția de coliniaritate a doi vectori.

Adunarea și scăderea vectorilor

Când adăugați vectori trebuie să știți asta Cantitate vectori și se numește vector, al cărui început coincide cu începutul vectorului, iar sfârșitul - cu sfârșitul vectorului, cu condiția ca începutul vectorului să fie atașat la sfârșitul vectorului. (Fig. 3)

Această definiție poate fi distribuită pe orice număr finit de vectori. Lasă-le să fie date în spațiu n vectori liberi. Când se adună mai mulți vectori, suma acestora este considerată ca fiind vectorul de închidere, începutul căruia coincide cu începutul primului vector și sfârșitul cu sfârșitul ultimului vector. Adică, dacă atașați începutul vectorului la sfârșitul vectorului și începutul vectorului la sfârșitul vectorului etc. și, în sfârșit, până la sfârșitul vectorului - începutul vectorului, apoi suma acestor vectori este vectorul de închidere , al cărui început coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul - cu sfârșitul ultimului vector. (Fig. 4)

Termenii se numesc componente ale vectorului, iar regula formulată este regula poligonului. Este posibil ca acest poligon să nu fie plat.

Când un vector este înmulțit cu numărul -1, se obține vectorul opus. Vectorii și au aceleași lungimi și direcții opuse. Suma lor dă vector zero, a cărui lungime este zero. Direcția vectorului zero nu este definită.

În algebra vectorială, nu este nevoie să luăm în considerare operația de scădere separat: scăderea unui vector dintr-un vector înseamnă adăugarea vectorului opus la vector, i.e.

Exemplul 1. Simplificați expresia:

adică, vectorii pot fi adunați și înmulțiți cu numere în același mod ca polinoamele (în special, probleme de simplificare a expresiilor). De obicei, necesitatea de a simplifica expresii similare liniar cu vectori apare înainte de a calcula produsele vectorilor.

Exemplul 2. Vectori și servesc ca diagonale ale paralelogramului ABCD (Fig. 4a). Exprimați prin și vectorii , , și , care sunt laturile acestui paralelogram.

Soluţie. Punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelogram bisectează fiecare diagonală. Găsim lungimile vectorilor solicitați în enunțul problemei fie ca jumătate din sumele vectorilor care formează un triunghi cu cei solicitați, fie ca jumătate din diferențe (în funcție de direcția vectorului care servește drept diagonală), fie, ca și în ultimul caz, jumătate din suma luată cu semnul minus. Rezultatul sunt vectorii necesari în formularea problemei:

Există toate motivele să credem că acum ați răspuns corect la întrebarea despre vectorii „Antreprenoriat” și „Abilități inovatoare” de la începutul acestei lecții. Răspuns corect: pe acești vectori se efectuează o operație de adunare.

Rezolvați singur problemele vectoriale și apoi uitați-vă la soluții

Cum se află lungimea sumei vectorilor?

Această sarcină ocupă un loc special în operațiunile cu vectori, deoarece implică utilizarea proprietăți trigonometrice. Să presupunem că întâlniți o sarcină ca următoarea:

Lungimile vectorului sunt date și lungimea sumei acestor vectori. Aflați lungimea diferenței dintre acești vectori.

Soluțiile la aceasta și alte probleme similare și explicații despre cum să le rezolvi sunt în lecție " Adunarea vectorială: lungimea sumei vectorilor și teorema cosinusului ".

Și puteți verifica soluția la astfel de probleme la Calculator online „Latura necunoscută a unui triunghi (adunare vectorială și teorema cosinusului)” .

Unde sunt produsele vectorilor?

Produsele vector-vector nu sunt operații liniare și sunt considerate separat. Și avem lecții „Produs scalar al vectorilor” și „Produși vectoriali și mixți ai vectorilor”.

Proiecția unui vector pe o axă

Proiecția unui vector pe o axă este egală cu produsul dintre lungimea vectorului proiectat și cosinusul unghiului dintre vector și axă:

După cum se știe, proiecția unui punct A pe linie dreaptă (plan) se află baza perpendicularei căzute din acest punct pe linie dreaptă (plan).

Fie un vector arbitrar (Fig. 5) și și proiecțiile originii sale (puncte A) și sfârșit (puncte B) pe axă l. (Pentru a construi o proiecție a unui punct A) trageți o linie dreaptă prin punct A un plan perpendicular pe o dreaptă. Intersecția dreptei și a planului va determina proiecția necesară.

Componentă vectorială pe axa l se numește un astfel de vector situat pe această axă, al cărui început coincide cu proiecția începutului, iar sfârșitul cu proiecția sfârșitului vectorului.

Proiecția vectorului pe axă l numărul apelat

egală cu lungimea vectorului component pe această axă, luată cu semnul plus dacă direcția componentelor coincide cu direcția axei l, și cu semnul minus dacă aceste direcții sunt opuse.

Proprietățile de bază ale proiecțiilor vectoriale pe o axă:

1. Proiecțiile vectorilor egali pe aceeași axă sunt egale între ele.

2. Când un vector este înmulțit cu un număr, proiecția lui este înmulțită cu același număr.

3. Proiecția sumei vectorilor pe orice axă este egală cu suma proiecțiilor sumelor vectorilor pe aceeași axă.

4. Proiecția vectorului pe axă este egală cu produsul dintre lungimea vectorului proiectat și cosinusul unghiului dintre vector și axă:

Soluţie. Să proiectăm vectori pe axă l așa cum este definit în contextul teoretic de mai sus. Din Fig. 5a este evident că proiecția sumei vectorilor este egală cu suma proiecțiilor vectorilor. Calculăm aceste proiecții:

Găsim proiecția finală a sumei vectorilor:

Relația dintre un vector și un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu

A face cunoștință Sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu a avut loc în lecția corespunzătoare, este indicat să îl deschideți într-o fereastră nouă.

Într-un sistem ordonat de axe de coordonate 0xyz axă Bou numit axa x, axa 0y – axa y, și axa 0z – axa aplicate.

Cu un punct arbitrar M vector de conectare spațială

numit vector rază puncte Mși proiectați-l pe fiecare dintre axele de coordonate. Să notăm mărimile proiecțiilor corespunzătoare:

Numerele x, y, z sunt numite coordonatele punctului M, respectiv abscisă, ordonatăȘi aplica, și sunt scrise ca un punct ordonat de numere: M(x;y;z)(Fig. 6).

Se numește un vector de unitate de lungime a cărui direcție coincide cu direcția axei vector unitar(sau ortom) topoare. Să notăm prin

În consecință, vectorii unitari ai axelor de coordonate Bou, Oi, Oz

Teorema. Orice vector poate fi extins în vectori unitari ai axelor de coordonate:

(2)

Egalitatea (2) se numește expansiunea vectorului de-a lungul axelor de coordonate. Coeficienții acestei expansiuni sunt proiecțiile vectorului pe axele de coordonate. Astfel, coeficienții de expansiune (2) ai vectorului de-a lungul axelor de coordonate sunt coordonatele vectorului.

După alegerea unui anumit sistem de coordonate în spațiu, vectorul și tripletul coordonatelor sale se determină în mod unic unul pe celălalt, astfel încât vectorul poate fi scris sub forma

Reprezentările vectorului în forma (2) și (3) sunt identice.

Condiție de coliniaritate a vectorilor în coordonate

După cum am observat deja, vectorii sunt numiți coliniari dacă sunt legați prin relație

Să fie dați vectorii . Acești vectori sunt coliniari dacă coordonatele vectorilor sunt legate prin relație

adică coordonatele vectorilor sunt proporţionale.

Exemplul 6. Se dau vectori . Acești vectori sunt coliniari?

Soluţie. Să aflăm relația dintre coordonatele acestor vectori:

Coordonatele vectorilor sunt proporționale, prin urmare, vectorii sunt coliniari sau, ceea ce este același, paraleli.

Lungimea vectorului și cosinusurile de direcție

Datorită perpendicularității reciproce a axelor de coordonate, lungimea vectorului

egală cu lungimea diagonalei paralelipiped dreptunghiular, construit pe vectori

și se exprimă prin egalitate

(4)

Un vector este complet definit prin specificarea a două puncte (început și sfârșit), astfel încât coordonatele vectorului pot fi exprimate în termeni de coordonatele acestor puncte.

Fie, într-un sistem de coordonate dat, originea vectorului să fie în punct

iar sfârșitul este la punct

Din egalitate

Urmează asta

sau sub formă de coordonate

Prin urmare, coordonatele vectoriale sunt egale cu diferențele dintre aceleași coordonate ale sfârșitului și începutului vectorului . Formula (4) în acest caz va lua forma

Se determină direcția vectorului cosinusuri de direcție . Acestea sunt cosinusurile unghiurilor pe care le face vectorul cu axele Bou, OiȘi Oz. Să notăm aceste unghiuri în consecință α , β Și γ . Apoi cosinusurile acestor unghiuri pot fi găsite folosind formulele

Cosinusurile de direcție ale unui vector sunt, de asemenea, coordonatele vectorului acelui vector și, prin urmare, vectorul vectorului