ABSTRACT

« Studiu complet funcția și construcția graficului său.”

INTRODUCERE

Studierea proprietăților unei funcții și reprezentarea graficului acesteia este una dintre cele mai minunate aplicații ale derivatelor. Această metodă de studiu a funcției a fost supusă în mod repetat unei analize atente. Motivul principal este că în aplicațiile matematicii a trebuit să se ocupe din ce în ce mai mult funcții complexe care apar la studierea unor fenomene noi. Au aparut exceptii de la regulile elaborate de matematica, au aparut cazuri cand regulile create nu erau deloc potrivite, au aparut functii care nu au avut nici un moment derivat.

Scopul studierii cursului de algebră și începutul analizei în clasele 10-11 este studiul sistematic al funcțiilor, dezvăluirea sensului aplicat metode comune matematica legata de studiul functiilor.

Dezvoltarea conceptelor funcționale în cursul studierii algebrei și începuturile analizei la nivelul superior de învățământ îi ajută pe elevii de liceu să obțină o înțelegere vizuală a continuității și discontinuităților funcțiilor, să învețe despre continuitatea oricărei funcții elementare în domeniu. a aplicației sale, învață să-și construiască graficele și să generalizeze informații despre elementele de bază functii elementareși își realizează rolul în studiul fenomenelor realității, în practica umană.

Funcții de creștere și scădere

Rezolvarea diverselor probleme din domeniile matematicii, fizicii si tehnologiei conduce la stabilirea unei relatii functionale intre variabilele implicate in acest fenomen.

Dacă o astfel de dependență funcțională poate fi exprimată analitic, adică sub forma uneia sau mai multor formule, atunci devine posibilă studierea ei prin intermediul analizei matematice.

Aceasta se referă la posibilitatea de a clarifica comportamentul unei funcții atunci când se schimbă una sau alta mărime variabilă(unde crește funcția, unde scade, unde atinge un maxim etc.).

Aplicarea calculului diferențial la studiul unei funcții se bazează pe o conexiune foarte simplă care există între comportamentul unei funcții și proprietățile derivatei sale, în primul rând derivatele sale prima și a doua.

Să considerăm cum putem găsi intervale de funcție crescătoare sau descrescătoare, adică intervale de monotonitate. Pe baza definiției unei funcții monoton descrescătoare și crescătoare, este posibil să formulăm teoreme care ne permit să relaționăm valoarea primei derivate a unei funcții date de natura monotonității acesteia.

Teorema 1.1. Dacă funcţia y = f ( X ) , diferentiabil pe interval( A , b ) , crește monoton pe acest interval, apoi în orice punct
( X ) >0; dacă scade monoton, atunci în orice punct al intervalului ( X )<0.

Dovada. Lasă funcțiay = f ( X ) crește monoton cu( A , b ) , Aceasta înseamnă că pentru oricine suficient de mic > 0 este valabilă următoarea inegalitate:

f ( X - ) < f ( X ) < f ( X + ) (Fig. 1.1).

Orez. 1.1

Luați în considerare limita

.

Dacă > 0, atunci > 0 dacă< 0, то

< 0.

În ambele cazuri, expresia de sub semnul limită este pozitivă, ceea ce înseamnă că limita este pozitivă, adică ( X )>0 , ceea ce trebuia dovedit. A doua parte a teoremei, legată de scăderea monotonă a funcției, este demonstrată în mod similar.

Teorema 1.2. Dacă funcţia y = f ( X ) , continuu pe segment[ A , b ] și este diferențiabilă în toate punctele sale interioare și, în plus, ( X ) >0 pentru oricine X ϵ ( A , b ) , atunci această funcție crește monoton cu( A , b ) ; Dacă

( X ) <0 pentru oricine xϵ ( A , b ), atunci această funcţie scade monoton cu( A , b ) .

Dovada. Hai sa luam ϵ ( A , b ) Și ϵ ( A , b ) , și< . Conform teoremei lui Lagrange

( c ) = .

Dar ( c )>0 și > 0, ceea ce înseamnă ( > 0, adică

(. Rezultatul obținut indică o creștere monotonă a funcției, ceea ce trebuia demonstrat. A doua parte a teoremei este demonstrată într-un mod similar.

Extreme ale funcției

La studierea comportamentului unei funcții, un rol deosebit îl au punctele care separă unele de altele intervalele de creștere monotonă de intervalele de scădere monotonă a acesteia.

Definiție 2.1. Punct numit punctul maxim al functiei

y = f ( X ) , dacă pentru oricare, oricât de mic , ( < 0 , а точка se numeste punct minim daca ( > 0.

Punctele minime și maxime sunt numite colectiv puncte extreme. Funcția monotonă pe bucăți a unor astfel de puncte are un număr finit pe un interval finit (Fig. 2.1).

Orez. 2.1

Teorema 2.1 (condiția necesară pentru existența unui extremum). Dacă diferențiabilă pe interval( A , b ) funcția are la un moment dat din acest interval este maximul, atunci derivata sa în acest punct este egală cu zero. Același lucru se poate spune despre punctul minim .

Dovada acestei teoreme rezultă din teorema lui Rolle, în care s-a arătat că în punctele de minim sau maxim = 0, iar tangenta trasată la graficul funcției în aceste puncte este paralelă cu axaBOU .

Din teorema 2.1 rezultă că dacă funcţiay = f ( X ) are o derivată în toate punctele, atunci poate ajunge la un extrem în acele puncte în care = 0.

Totuși, această condiție nu este suficientă, deoarece există funcții pentru care condiția specificată este îndeplinită, dar nu există un extremum. De exemplu, funcțiay= la un punct X = 0 derivata este zero, dar nu există niciun extremum în acest punct. În plus, extremul poate fi în acele puncte în care derivata nu există. De exemplu, funcțiay = | X | există un minim la punctX = 0 , deși derivata nu există în acest moment.

Definiție 2.2. Punctele în care derivata unei funcții dispare sau are o discontinuitate se numesc puncte critice ale acestei funcții.

Prin urmare, Teorema 2.1 nu este suficientă pentru determinarea punctelor extreme.

Teorema 2.2 (condiție suficientă pentru existența unui extremum). Lasă funcția y = f ( X ) continuu pe interval( A , b ) , care conține punctul său critic , și este diferențiabilă în toate punctele acestui interval, cu posibila excepție a punctului însuși . Apoi, dacă, la mutarea acestui punct de la stânga la dreapta, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, atunci acesta este un punct maxim și, invers, de la minus la plus - un punct minim.

Dovada. Dacă derivata unei funcții își schimbă semnul la trecerea unui punct de la stânga la dreapta de la plus la minus, apoi funcția trece de la creștere la descreștere, adică ajunge în punctul maximul ei și invers.

Din cele de mai sus, urmează o schemă pentru studierea unei funcții la extrem:

1) găsiți domeniul de definire al funcției;

2) calculați derivata;

3) găsiți puncte critice;

4) prin schimbarea semnului primei derivate se determină caracterul acestora.

Sarcina de a studia o funcție pentru un extremum nu trebuie confundată cu sarcina de a determina valorile minime și maxime ale unei funcții pe un segment. În cel de-al doilea caz, este necesar să se găsească nu numai punctele extreme ale segmentului, ci și să le compare cu valoarea funcției de la capetele acesteia.

Intervale de funcții convexe și concave

O altă caracteristică a graficului unei funcții care poate fi determinată folosind derivata este convexitatea sau concavitatea acesteia.

Definiție 3.1. Funcţie y = f ( X ) se numește convex pe interval( A , b ) , dacă graficul său este situat sub orice tangentă trasată la el într-un interval dat și invers, se numește concav dacă graficul său este deasupra oricărei tangente trasate la ea într-un interval dat..

Să demonstrăm o teoremă care ne permite să determinăm intervalele de convexitate și concavitate ale unei funcții.

Teorema 3.1. Dacă în toate punctele intervalului( A , b ) derivata a doua a functiei ( X ) este continuă și negativă, apoi funcțiay = f ( X ) este convexă și invers, dacă derivata a doua este continuă și pozitivă, atunci funcția este concavă.

Facem demonstrația pentru intervalul de convexitate al funcției. Să luăm un punct arbitrarϵ ( A , b ) și trageți o tangentă la graficul funcției în acest puncty = f ( X ) (Fig. 3.1).

Teorema va fi demonstrată dacă se arată că toate punctele curbei de pe interval( A , b ) stați sub această tangentă. Cu alte cuvinte, este necesar să se demonstreze că pentru aceleași valoriX ordonate curbeiy = f ( X ) mai mică decât ordonata tangentei trasate la ea în punct .

Orez. 3.1

Pentru certitudine, notăm ecuația curbei: = f ( X ) , și ecuația tangentei la acesta în punctul :

- f ( ) = ( )( X - )

sau

= f ( ) + ( )( X - ) .

Să facem diferențaȘi :

- = f(x) – f( ) - ( )(X- ).

Aplicați la diferențăf ( X ) – f ( ) Teorema valorii medii a lui Lagrange:

- = ( )( X - ) - ( )( X - ) = ( X - )[ ( ) - ( )] ,

Unde ϵ ( , X ).

Să aplicăm acum teorema lui Lagrange expresiei din paranteze drepte:

- = ( )( - )( X - ) , Unde ϵ ( , ).

După cum se poate observa din figură,X > , Apoi X - > 0 Și - > 0 . În plus, conform teoremei, ( )<0.

Înmulțind acești trei factori, obținem asta , ceea ce trebuia dovedit.

Definiție 3.2. Punctul care separă intervalul convex de intervalul concav se numește punct de inflexiune.

Din Definiția 3.1 rezultă că într-un punct dat tangenta intersectează curba, adică pe o parte curba este situată sub tangentă, iar pe cealaltă, deasupra.

Teorema 3.2. Dacă la punct derivata a doua a functiei

y = f ( X ) este egal cu zero sau nu există și la trecerea printr-un punct semnul derivatei a doua se schimbă în opus, atunci acest punct este un punct de inflexiune.

Dovada acestei teoreme rezultă din faptul că semnele ( X ) pe laturile opuse ale punctului sunt diferite. Aceasta înseamnă că pe o parte a punctului funcția este convexă, iar pe cealaltă este concavă. În acest caz, conform Definiției 3.2, punctul este punctul de inflexiune.

Studiul unei funcții pentru convexitate și concavitate se realizează după aceeași schemă ca și studiul pentru un extremum.

4. Asimptotele funcției

În paragrafele anterioare au fost discutate metode de studiere a comportamentului unei funcții folosind derivata. Totuși, printre întrebările legate de studiul complet al unei funcții se numără și cele care nu au legătură cu derivata.

Deci, de exemplu, este necesar să știm cum se comportă o funcție atunci când un punct din graficul său se îndepărtează infinit de origine. Această problemă poate apărea în două cazuri: când argumentul unei funcții merge la infinit și când, în timpul unei discontinuități de al doilea fel la punctul final, funcția în sine merge la infinit. În ambele cazuri, poate apărea o situație când funcția tinde către o linie dreaptă, numită asimptotă.

Definiție . Asimptota graficului unei funcțiiy = f ( X ) este o linie dreaptă care are proprietatea că distanța de la grafic la această linie dreaptă tinde spre zero pe măsură ce punctul graficului se deplasează nelimitat de la origine.

Există două tipuri de asimptote: verticale și oblice.

Asimptotele verticale includ linii drepteX = , care au proprietatea că graficul funcției din vecinătatea lor merge la infinit, adică este îndeplinită condiția: .

Evident, aici este îndeplinită cerința definiției specificate: distanța de la graficul curbei la linia dreaptăX = tinde spre zero, iar curba în sine merge la infinit. Deci, în punctele de discontinuitate de al doilea fel, funcțiile au asimptote verticale, de exemplu,y= la un punct X = 0 . În consecință, determinarea asimptotelor verticale ale unei funcții coincide cu găsirea punctelor de discontinuitate de al doilea fel.

Asimptotele oblice sunt descrise de ecuația generală a unei drepte pe un plan, adicăy = kx + b . Aceasta înseamnă că, spre deosebire de asimptotele verticale, aici este necesar să se determine numerelek Și b .

Deci, lasă curba = f ( X ) are o asimptotă oblică, adică laX punctele curbei se apropie cât se dorește de linia dreaptă = kx + b (Fig. 4.1). Lăsa M ( X , y ) - un punct situat pe o curbă. Distanța sa față de asimptotă va fi caracterizată de lungimea perpendicularei| MN | .

Punctele de referință la studierea funcțiilor și la construirea graficelor acestora sunt puncte caracteristice - puncte de discontinuitate, extremum, inflexiune, intersecție cu axele de coordonate. Folosind calculul diferențial, se pot stabili trăsăturile caracteristice ale modificărilor funcțiilor: creștere și scădere, maxime și minime, direcția de convexitate și concavitate a graficului, prezența asimptotelor.

O schiță a graficului funcției poate (și ar trebui) să fie desenată după găsirea asimptotelor și a punctelor extreme și este convenabil să completați tabelul rezumat al studiului funcției pe măsură ce studiul progresează.

De obicei este utilizată următoarea schemă de studiu a funcției.

1.Găsiți domeniul de definiție, intervalele de continuitate și punctele de întrerupere ale funcției.

2.Examinați funcția pentru uniformitate sau neobișnuit (simetria axială sau centrală a graficului.

3.Găsiți asimptote (verticale, orizontale sau oblice).

4.Găsiți și studiați intervalele de creștere și scădere ale funcției, punctele sale extreme.

5.Aflați intervalele de convexitate și concavitate ale curbei, punctele sale de inflexiune.

6.Găsiți punctele de intersecție ale curbei cu axele de coordonate, dacă acestea există.

7.Alcătuiește un tabel rezumativ al studiului.

8.Se construiește un grafic, ținând cont de studiul funcției efectuat conform punctelor descrise mai sus.

Exemplu. Explorați funcția

și construiește-i graficul.

7. Să alcătuim un tabel rezumativ pentru studierea funcției, unde vom introduce toate punctele caracteristice și intervalele dintre ele. Ținând cont de paritatea funcției, obținem următorul tabel:

				Caracteristici grafice
[-1, 0[			Crescând	Convex
				(0; 1) – punct maxim
]0, 1[			Descendentă	Convex
				Punctul de inflexiune se formează cu axa Bou unghi obtuz

Construirea unui grafic al unei funcții folosind puncte singulare include studiul funcției în sine: determinarea intervalului de valori permise ale argumentului, determinarea intervalului de variație a funcției, determinarea dacă funcția este pară sau impară, determinarea punctelor de întrerupere a funcției, găsirea intervalelor de semn constant al funcției, găsirea asimptotelor graficului funcției. Folosind prima derivată, puteți determina intervalele de creștere (scădere) a funcției și prezența punctelor extreme. Folosind derivata a doua, puteți determina intervalele de convexitate (concavitate) ale graficului funcției, precum și punctele de inflexiune. În același timp, credem că dacă la un moment dat xo tangentă la graficul funcției de deasupra curbei, atunci graficul funcției în acest punct are convexitate; dacă tangenta este sub curbă, atunci graficul funcției în acest punct are o concavitate.

y(x) = x³/(x²+3)

1. Studiu de funcții.

a) Intervalul valorilor admisibile ale argumentului: (-∞,+∞).

b) Zona de modificare a funcției: (-∞, +∞).

c) Funcția este impară, deoarece y(-x) = -y(x), acestea. graficul funcției este simetric față de origine.

d) Funcția este continuă, nu există puncte de discontinuitate, prin urmare, nu există asimptote verticale.

e) Aflarea ecuaţiei asimptotei oblice y(x) = k∙x + b, Unde

k = /XȘi b =

În acest exemplu, parametrii asimptotei sunt, respectiv, egali:

k = , deoarece gradul cel mai înalt al numărătorului și numitorului sunt la fel, egal cu trei, iar raportul coeficienților la aceste grade cele mai înalte este egal cu unu. Când x→ + ∞ a treia limită remarcabilă a fost utilizată pentru a calcula limita.

b = = = 0, la calcularea limitei la x→ + ∞ a folosit a treia limită remarcabilă. Deci, graficul acestei funcții are o asimptotă înclinată y=x.

2.

y´= /(x²+3)² - derivata se calculează folosind formula de diferențiere a coeficientului.

a) Determinați zerourile derivatei și punctul de discontinuitate, echivalând numărătorul și numitorul derivatei cu zero, respectiv: y´=0, Dacă x=0. Derivata 1 nu are puncte de discontinuitate.

b) Determinăm intervalele de semn constant ale derivatei, i.e. intervale de monotonitate ale funcţiei: at -∞ derivata este pozitivă, deci funcția crește; la 0≤x<+∞, derivatul continuă să rămână pozitiv, adică creste si functia.

3. Studierea unei funcții folosind derivata a 2-a.

Folosind formula de diferențiere a coeficientilor și de a face transformări algebrice, obținem: y´´ = /(x²+3)³

a) Determinați zerourile derivatei a 2-a și intervalele de semn constant: y´´ = 0, Dacă x=0Și x= + 3 . Derivata a 2-a nu are puncte de discontinuitate.

b) Să determinăm intervalele de constanță ale derivatei a 2-a, adică. intervale de convexitate sau concavitate ale graficului unei funcţii. La -∞ iar la 0 derivata a doua y´´>0, adică Graficul funcției este concav. La - 3 iar la 3 derivata a doua tu''<0, acestea. Graficul funcției este convex. Din moment ce la puncte x=0Și x= + 3 derivata a doua este egală cu zero și semnul acesteia se schimbă, atunci aceste puncte sunt puncte de inflexiune ale graficului funcției (Fig. 4).

Exemplu: explorați o funcție și reprezentați-o grafic y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x

1.Studiu de funcții.

a) Interval de valori acceptabile: (-∞,0)U(0,+∞).

b) Zona de modificare a funcției: (-∞,+∞).

d) Această funcție are un punct de discontinuitate de al 2-lea fel la x=0.

e) Găsirea asimptotelor. Deoarece functia are un punct de discontinuitate de al 2-lea fel la x=0, atunci în consecință funcția are o asimptotă verticală x=0. Această funcție nu are asimptote oblice sau orizontale.

2.Studierea unei funcții folosind derivata I.

Să transformăm funcția efectuând toate operațiile algebrice. Ca rezultat, forma funcției va fi simplificată semnificativ: y(x)=x²-x-1+(1/x). Este foarte ușor să luăm derivata din suma termenilor și obținem: y´ = 2x – 1 –(1/x²).

a) Determinați zerourile și punctele de discontinuitate ale derivatei I. Aducem expresiile pentru derivata 1 la un numitor comun și, echivalând numărătorul și apoi numitorul la zero, obținem: y´=0 la x=1, y´ - nu există când x=0.

b) Să determinăm intervalele de monotonitate ale funcției, i.e. intervale de semn constant al derivatei. La -∞<X<0 Și 0 prima derivată y'<0, prin urmare, funcția scade. La 1≤ X<∞ prima derivată y´>0, deci funcția crește. La punctul x=1 prima derivată își schimbă semnul din minus în plus, prin urmare, în acest moment funcția are un minim. Minimul este plat, pentru că la x=1 derivat y´=0.

3.

y´´= 2 + 2/x³. Folosind derivata a 2-a, determinăm intervalele de convexitate sau concavitate ale graficului funcției, precum și, dacă există, punctele de inflexiune. Să prezentăm expresia derivatei a doua la numitorul comun și apoi, echivalând pe rând numărătorul și numitorul cu zero, obținem: y´´=0 la x=-1, y´´- nu există când x=0.

La -∞ iar la 00 – Graficul funcției este concav. La -1≤ X<0 – graficul funcției este convex. Deoarece la punct x=-1 derivata a doua schimbă semnul din plus în minus, apoi punctul x=-1 – punctul de inflexiune al graficului funcției (Fig. 5).

orez. 4 fig. 5

Exemplu: explorați o funcție și reprezentați-o grafic y(x) = ln (x²+4x+5)

1.Studiu de funcții.

a) Gama de valori permise pentru argument: funcția logaritmică există numai pentru argumente strict mai mari decât zero, prin urmare, x²+4x+5>0 – această condiție este îndeplinită pentru toate valorile argumentului, adică O.D.Z. – (-∞, +∞).

b) Zona de modificare a funcției: (0, +∞). Să transformăm expresia sub semnul logaritmului și să echivalăm funcția cu zero: ln((x+2)²+1) =0. Acestea. funcția ajunge la zero când x=-2. Graficul funcției va fi simetric față de dreapta x=-2.

c) Funcția este continuă și nu are puncte de întrerupere.

d) Graficul funcției nu are asimptote.

2.Studierea unei funcții folosind derivata I.

Folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe, obținem: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)

a) Să determinăm zerourile și punctele de discontinuitate ale derivatei: y´=0, la x=-2. Prima derivată nu are puncte de discontinuitate.

b) Determinăm intervalele de monotonitate ale funcției, i.e. intervale de semn constant ale primei derivate: la -∞<X<-2 derivat y'<0, prin urmare, funcția scade; când -2 derivat y´>0, deci funcția crește. Deoarece derivata la punct x=-2 schimbă semnul din minus în plus, apoi în acest moment funcția are un minim (flat).

3.Studiul funcției în termenii derivatei a 2-a.

Să reprezentăm prima derivată în următoarea formă: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².

a) Să determinăm intervalele de semn constant ale derivatei a doua. Deoarece numitorul derivatei a 2-a este întotdeauna nenegativ, semnul derivatei a doua este determinat doar de numărător. y´´=0 la x=-3Și x=-1.

La -∞ iar la -1 derivata a doua tu''<0, prin urmare, graficul funcției pe aceste intervale este convex. La -3 derivata a doua y´´>0, prin urmare, graficul funcției pe acest interval este concav. Puncte x=-3Și x=-1 – punctele de inflexiune ale graficului functiei, deoarece în aceste puncte semnele derivatei a doua se schimbă, iar derivata a doua însăși devine zero (fig. 6).

Exemplu: explorați o funcție și trasați un grafic y(x) = x²/(x+2)²

1.Studiu de funcții.

a) Intervalul valorilor permise ale argumentului (-∞, -2)U(-2, +∞).

b) Zona de schimbare a funcției².

a) Să determinăm zerourile și intervalele de semn constant ale derivatei a doua. Deoarece Deoarece numitorul fracției este întotdeauna pozitiv, semnul derivatei a doua este complet determinat de numărător. La -∞ iar la -2 derivata a doua y´´>0, prin urmare, graficul funcției pe aceste intervale este concav; la 1≤x<+∞ derivata a doua tu''<0 , prin urmare, graficul funcției pe acest interval este convex. La trecerea printr-un punct x=1, semnul derivatei a doua se schimbă din plus în minus, adică. acest punct este punctul de inflexiune al graficului funcției. La x→+∞ graficul funcției se apropie asimptotic de asimptota sa orizontală y=1 de mai jos. La x→ -∞, graficul se apropie de asimptota sa orizontală de sus (Fig. 7).