Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Unul dintre cele mai dificile subiecte pentru studenți este rezolvarea ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului. Să ne dăm seama mai întâi cu ce are legătură? De ce, de exemplu, majoritatea copiilor crapă ecuații pătratice precum nucile, dar au atât de multe probleme cu un concept atât de departe de complex ca modul?

În opinia mea, toate aceste dificultăți sunt asociate cu lipsa unor reguli clar formulate pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Deci, hotărând ecuație pătratică, elevul știe sigur că trebuie să aplice mai întâi formula discriminantă, iar apoi formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice. Ce să faci dacă se găsește un modul în ecuație? Vom încerca să descriem clar plan necesar acțiuni în cazul în care ecuația conține o necunoscută sub semnul modulului. Vom da mai multe exemple pentru fiecare caz.

Dar mai întâi, să ne amintim definirea modulului. Deci, modulo numărul A acest număr în sine se numește dacă A nenegativ şi -A, dacă numărul A mai putin de zero. O poti scrie asa:

|a| = a dacă a ≥ 0 și |a| = -a dacă a< 0

Vorbind despre sens geometric modul, trebuie amintit că fiecărui număr real corespunde unui anumit punct de pe axa numerelor - it to coordona. Deci, modulul sau valoarea absolută a unui număr este distanța de la acest punct până la originea axei numerice. Distanța este întotdeauna specificată ca număr pozitiv. Astfel, modulul oricărui număr negativ este un număr pozitiv. Apropo, chiar și în această etapă, mulți studenți încep să se încurce. Modulul poate conține orice număr, dar rezultatul utilizării modulului este întotdeauna un număr pozitiv.

Acum să trecem direct la rezolvarea ecuațiilor.

1. Se consideră o ecuație de forma |x| = c, unde c este un număr real. Această ecuație poate fi rezolvată folosind definiția modulului.

Împărțim toate numerele reale în trei grupuri: cele care sunt mai mari decât zero, cele care sunt mai mici decât zero, iar al treilea grup este numărul 0. Scriem soluția sub forma unei diagrame:

(±c, dacă c > 0

Dacă |x| = c, atunci x = (0, dacă c = 0

(fără rădăcini dacă cu< 0

1) |x| = 5, deoarece 5 > 0, atunci x = ±5;

2) |x| = -5, deoarece -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, atunci x = 0.

2. Ecuația de forma |f(x)| = b, unde b > 0. Pentru a rezolva această ecuație este necesar să scăpăm de modul. O procedăm astfel: f(x) = b sau f(x) = -b. Acum trebuie să rezolvați fiecare dintre ecuațiile rezultate separat. Dacă în ecuația inițială b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, deoarece 4 > 0, atunci

x + 2 = 4 sau x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, deoarece 11 > 0, atunci

x 2 – 5 = 11 sau x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 fără rădăcini

3) |x 2 – 5x| = -8, deoarece -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. O ecuație de forma |f(x)| = g(x). Conform sensului modulului, o astfel de ecuație va avea soluții dacă partea sa dreaptă este mai mare sau egală cu zero, adică. g(x) ≥ 0. Atunci vom avea:

f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Această ecuație va avea rădăcini dacă 5x – 10 ≥ 0. Aici începe soluția unor astfel de ecuații.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Soluție:

2x – 1 = 5x – 10 sau 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Combinăm O.D.Z. iar soluția, obținem:

Rădăcina x = 11/7 nu se potrivește cu O.D.Z., este mai mică decât 2, dar x = 3 satisface această condiție.

Răspuns: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Să rezolvăm această inegalitate folosind metoda intervalului:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Soluție:

x – 1 = 1 – x 2 sau x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 sau x = 1 x = 0 sau x = 1

3. Combinăm soluția și O.D.Z.:

Doar rădăcinile x = 1 și x = 0 sunt potrivite.

Răspuns: x = 0, x = 1.

4. Ecuația de forma |f(x)| = |g(x)|. O astfel de ecuație este echivalentă cu următoarele două ecuații f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Această ecuație este echivalentă cu următoarele două:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 sau x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 sau x = 4 x = 2 sau x = 1

Răspuns: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Ecuații rezolvate prin metoda substituției (înlocuire variabilă). Aceasta metoda soluțiile sunt cel mai ușor de explicat exemplu concret. Deci, să ni se dea o ecuație pătratică cu modul:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Să facem înlocuirea |x| = t ≥ 0, atunci vom avea:

t 2 – 6t + 5 = 0. Rezolvând această ecuație, constatăm că t = 1 sau t = 5. Să revenim la înlocuire:

|x| = 1 sau |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Răspuns: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Să ne uităm la un alt exemplu:

x 2 + |x| – 2 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, prin urmare

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Să facem înlocuirea |x| = t ≥ 0, atunci:

t 2 + t – 2 = 0. Rezolvând această ecuație, obținem t = -2 sau t = 1. Să revenim la înlocuire:

|x| = -2 sau |x| = 1

Fără rădăcini x = ± 1

Răspuns: x = -1, x = 1.

6. Un alt tip de ecuații sunt ecuațiile cu un modul „complex”. Astfel de ecuații includ ecuații care au „module într-un modul”. Ecuațiile de acest tip pot fi rezolvate folosind proprietățile modulului.

1) |3 – |x|| = 4. Vom acţiona la fel ca în ecuaţiile de al doilea tip. Deoarece 4 > 0, atunci obținem două ecuații:

3 – |x| = 4 sau 3 – |x| = -4.

Acum să exprimăm modulul x în fiecare ecuație, apoi |x| = -1 sau |x| = 7.

Rezolvăm fiecare dintre ecuațiile rezultate. Nu există rădăcini în prima ecuație, pentru că -1< 0, а во втором x = ±7.

Răspuns x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Rezolvăm această ecuație într-un mod similar:

3 + |x + 1| = 5 sau 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 sau x + 1 = -2. Fara radacini.

Răspuns: x = -3, x = 1.

Există, de asemenea, o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Aceasta este metoda intervalului. Dar ne vom uita la asta mai târziu.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Unul dintre cele mai dificile subiecte pentru studenți este rezolvarea ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului. Să ne dăm seama mai întâi cu ce are legătură? De ce, de exemplu, majoritatea copiilor crapă ecuații pătratice precum nucile, dar au atât de multe probleme cu un concept atât de departe de complex ca modul?

În opinia mea, toate aceste dificultăți sunt asociate cu lipsa unor reguli clar formulate pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Deci, atunci când rezolvă o ecuație pătratică, elevul știe sigur că trebuie să aplice mai întâi formula discriminantă și apoi formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice. Ce să faci dacă se găsește un modul în ecuație? Vom încerca să descriem clar planul de acțiune necesar pentru cazul în care ecuația conține o necunoscută sub semnul modulului. Vom da mai multe exemple pentru fiecare caz.

Dar mai întâi, să ne amintim definirea modulului. Deci, modulo numărul A acest număr în sine se numește dacă A nenegativ şi -A, dacă numărul A mai putin de zero. O poti scrie asa:

|a| = a dacă a ≥ 0 și |a| = -a dacă a< 0

Vorbind despre semnificația geometrică a modulului, trebuie amintit că fiecare număr real corespunde unui anumit punct de pe axa numerelor - sa coordona. Deci, modulul sau valoarea absolută a unui număr este distanța de la acest punct până la originea axei numerice. Distanța este întotdeauna specificată ca număr pozitiv. Astfel, modulul oricărui număr negativ este un număr pozitiv. Apropo, chiar și în această etapă, mulți studenți încep să se încurce. Modulul poate conține orice număr, dar rezultatul utilizării modulului este întotdeauna un număr pozitiv.

Acum să trecem direct la rezolvarea ecuațiilor.

1. Se consideră o ecuație de forma |x| = c, unde c este un număr real. Această ecuație poate fi rezolvată folosind definiția modulului.

Împărțim toate numerele reale în trei grupuri: cele care sunt mai mari decât zero, cele care sunt mai mici decât zero, iar al treilea grup este numărul 0. Scriem soluția sub forma unei diagrame:

(±c, dacă c > 0

Dacă |x| = c, atunci x = (0, dacă c = 0

(fără rădăcini dacă cu< 0

1) |x| = 5, deoarece 5 > 0, atunci x = ±5;

2) |x| = -5, deoarece -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, atunci x = 0.

2. Ecuația de forma |f(x)| = b, unde b > 0. Pentru a rezolva această ecuație este necesar să scăpăm de modul. O procedăm astfel: f(x) = b sau f(x) = -b. Acum trebuie să rezolvați fiecare dintre ecuațiile rezultate separat. Dacă în ecuația inițială b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, deoarece 4 > 0, atunci

x + 2 = 4 sau x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, deoarece 11 > 0, atunci

x 2 – 5 = 11 sau x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 fără rădăcini

3) |x 2 – 5x| = -8, deoarece -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. O ecuație de forma |f(x)| = g(x). Conform sensului modulului, o astfel de ecuație va avea soluții dacă partea sa dreaptă este mai mare sau egală cu zero, adică. g(x) ≥ 0. Atunci vom avea:

f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Această ecuație va avea rădăcini dacă 5x – 10 ≥ 0. Aici începe soluția unor astfel de ecuații.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Soluție:

2x – 1 = 5x – 10 sau 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Combinăm O.D.Z. iar soluția, obținem:

Rădăcina x = 11/7 nu se potrivește cu O.D.Z., este mai mică decât 2, dar x = 3 satisface această condiție.

Răspuns: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Să rezolvăm această inegalitate folosind metoda intervalului:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Soluție:

x – 1 = 1 – x 2 sau x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 sau x = 1 x = 0 sau x = 1

3. Combinăm soluția și O.D.Z.:

Doar rădăcinile x = 1 și x = 0 sunt potrivite.

Răspuns: x = 0, x = 1.

4. Ecuația de forma |f(x)| = |g(x)|. O astfel de ecuație este echivalentă cu următoarele două ecuații f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Această ecuație este echivalentă cu următoarele două:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 sau x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 sau x = 4 x = 2 sau x = 1

Răspuns: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Ecuații rezolvate prin metoda substituției (înlocuire variabilă). Această metodă de soluție este cel mai ușor de explicat cu un exemplu specific. Deci, să ni se dea o ecuație pătratică cu modul:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Să facem înlocuirea |x| = t ≥ 0, atunci vom avea:

t 2 – 6t + 5 = 0. Rezolvând această ecuație, constatăm că t = 1 sau t = 5. Să revenim la înlocuire:

|x| = 1 sau |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Răspuns: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Să ne uităm la un alt exemplu:

x 2 + |x| – 2 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, prin urmare

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Să facem înlocuirea |x| = t ≥ 0, atunci:

t 2 + t – 2 = 0. Rezolvând această ecuație, obținem t = -2 sau t = 1. Să revenim la înlocuire:

|x| = -2 sau |x| = 1

Fără rădăcini x = ± 1

Răspuns: x = -1, x = 1.

6. Un alt tip de ecuații sunt ecuațiile cu un modul „complex”. Astfel de ecuații includ ecuații care au „module într-un modul”. Ecuațiile de acest tip pot fi rezolvate folosind proprietățile modulului.

1) |3 – |x|| = 4. Vom acţiona la fel ca în ecuaţiile de al doilea tip. Deoarece 4 > 0, atunci obținem două ecuații:

3 – |x| = 4 sau 3 – |x| = -4.

Acum să exprimăm modulul x în fiecare ecuație, apoi |x| = -1 sau |x| = 7.

Rezolvăm fiecare dintre ecuațiile rezultate. Nu există rădăcini în prima ecuație, pentru că -1< 0, а во втором x = ±7.

Răspuns x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Rezolvăm această ecuație într-un mod similar:

3 + |x + 1| = 5 sau 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 sau x + 1 = -2. Fara radacini.

Răspuns: x = -3, x = 1.

Există, de asemenea, o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Aceasta este metoda intervalului. Dar ne vom uita la asta mai târziu.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Modulul este valoarea absolută a expresiei. Pentru a indica cumva un modul, este obișnuit să folosiți paranteze drepte. Valoarea care este cuprinsă între paranteze pare este valoarea luată modulo. Procesul de rezolvare a oricărui modul constă în deschiderea acelor paranteze foarte drepte, care în limbajul matematic se numesc paranteze modulare. Dezvăluirea lor are loc după un anumit număr de reguli. De asemenea, în ordinea rezolvării modulelor, se găsesc seturile de valori ale acelor expresii care se aflau în parantezele modulare. În cele mai multe cazuri, modulul este extins în așa fel încât expresia care a fost submodulară să primească atât valori pozitive, cât și negative, inclusiv valoarea zero. Dacă pornim de la proprietățile stabilite ale modulului, atunci în acest proces sunt compilate diverse ecuații sau inegalități din expresia originală, care apoi trebuie rezolvate. Să ne dăm seama cum să rezolvăm modulele.

Proces de rezolvare

Rezolvarea unui modul începe prin scrierea ecuației originale cu modulul. Pentru a răspunde la întrebarea cum să rezolvi ecuațiile cu un modul, trebuie să-l deschideți complet. Pentru a rezolva o astfel de ecuație, modulul este extins. Trebuie luate în considerare toate expresiile modulare. Este necesar să se determine la ce valori ale cantităților necunoscute incluse în compoziția sa, expresia modulară între paranteze devine zero. Pentru a face acest lucru, este suficient să echivalăm expresia dintre paranteze modulare la zero și apoi să calculați soluția ecuației rezultate. Valorile găsite trebuie înregistrate. În același mod, trebuie de asemenea să determinați valoarea tuturor variabilelor necunoscute pentru toate modulele din ecuația dată. În continuare, trebuie să începeți să definiți și să luați în considerare toate cazurile de existență a variabilelor în expresii atunci când acestea sunt diferite de valoarea zero. Pentru a face acest lucru, trebuie să scrieți un sistem de inegalități corespunzătoare tuturor modulelor din inegalitatea originală. Inegalitățile trebuie elaborate astfel încât să acopere toate disponibile și valori posibile pentru o variabilă care se găsește pe linia numerică. Apoi trebuie să desenați aceeași linie numerică pentru vizualizare, pe care să trasați ulterior toate valorile obținute.

Aproape totul se poate face acum pe internet. Modulul nu face excepție de la regulă. O poți rezolva online pe una dintre numeroasele resurse moderne. Toate acele valori ale variabilei care se află în modulul zero vor fi o constrângere specială care va fi utilizată în procesul de rezolvare a ecuației modulare. În ecuația originală, trebuie să deschideți toate parantezele modulare disponibile, schimbând în același timp semnul expresiei, astfel încât valorile variabilei dorite să coincidă cu acele valori care sunt vizibile pe linia numerică. Ecuația rezultată trebuie rezolvată. Valoarea variabilei care va fi obținută în timpul rezolvării ecuației trebuie verificată în raport cu limitarea specificată de modul însuși. Dacă valoarea variabilei satisface pe deplin condiția, atunci este corectă. Toate rădăcinile care vor fi obținute în timpul rezolvării ecuației, dar nu se vor potrivi cu restricțiile, trebuie aruncate.