Plan:
- Introducere
- 1
Logaritm real
- 1.1 Proprietăți
- 1.2 Funcția logaritmică
- 1.3 Logaritmi naturali
- 1.4 Logaritmi zecimali
- 2
Logaritm complex
- 2.1 Definiție și proprietăți
- 2.2 Exemple
- 2.3 Continuare analitică
- 2.4 Suprafata Riemann
- 3
Schiță istorică
- 3.1 Logaritm real
- 3.2 Logaritm complex
- 4 Tabelele logaritmice
- 5 Aplicații Literatură
Note
Introducere
Orez. 1. Grafice ale funcțiilor logaritmice
Logaritmul unui număr b bazat pe A (din greaca λόγος - „cuvânt”, „atitudine” și ἀριθμός - „număr”) este definit ca un indicator al puterii la care trebuie ridicată baza A pentru a obține numărul b. Denumire: . Din definiție rezultă că înregistrările și sunt echivalente.
De exemplu, pentru că.
1. Logaritm real
Logaritmul unui log de numere reale A b are sens când . După cum se știe, funcția exponențială y = A X este monotonă și fiecare valoare ia o singură dată, iar intervalul valorilor sale conține toate numerele reale pozitive. Rezultă că valoarea logaritmului real al unui număr pozitiv există întotdeauna și este determinată în mod unic.
Cel mai folosit următoarele tipuri logaritmi.
1.1. Proprietăți
Dovada
Să demonstrăm că.
(deoarece prin condiția bc > 0). ■
Dovada
Să demonstrăm asta
(deoarece prin condiția ■
Dovada
Folosim identitatea pentru a o dovedi. Să logaritmăm ambele părți ale identității la baza c. Primim:
Dovada
Să demonstrăm că.
(deoarece b p> 0 prin condiție). ■
Dovada
Să demonstrăm asta
Dovada
Logaritmul părților din stânga și din dreapta la bază c :
Partea stanga: Partea dreapta:
Egalitatea expresiilor este evidentă. Deoarece logaritmii sunt egali, atunci, din cauza monotonității funcției logaritmice, expresiile în sine sunt egale. ■
1.2. Funcția logaritmică
Dacă considerăm numărul logaritmic ca o variabilă, obținem funcţie logaritmică y=log A X (vezi fig. 1). Este definit la . Interval de valori: .
Funcția crește strict la A> 1 și în scădere strictă la 0< A < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.
Drept X= 0 este o asimptotă verticală stângă, deoarece la A> 1 și la 0< A < 1 .
Derivata functiei logaritmice este egala cu:
Dovada
I. Să dovedim asta
Să scriem identitatea e ln X = X și diferențiați laturile sale stânga și dreapta
Obținem asta, din care rezultă că
II. Să demonstrăm asta
Funcția logaritmică realizează un izomorfism între grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive și grupul aditiv al tuturor numerelor reale.
1.3. Logaritmi naturali
Relația cu logaritmul zecimal: .
După cum sa menționat mai sus, derivata logaritmului natural are o formulă simplă:
Din acest motiv, logaritmii naturali sunt folosiți predominant în cercetarea matematică. Ele apar adesea la rezolvarea ecuațiilor diferențiale, la studiu dependențe statistice(de exemplu, distribuții numere prime) și așa mai departe.
Integrala nedefinită a logaritmului natural poate fi găsită cu ușurință prin integrare pe părți:
Expansiunea seriei Taylor poate fi reprezentată după cum urmează:
când egalitatea este adevărată
| (1) |
În special,
Această serie converge mai repede și, în plus, partea stanga formulele pot exprima acum logaritmul oricărui număr pozitiv.
1.4. Logaritmi zecimali
Orez. 2a. Scară logaritmică
Orez. 2b. Scară logaritmică cu simboluri
Logaritmi la baza 10 (simbol: lg A) înainte de inventarea calculatoarelor erau utilizate pe scară largă pentru calcule. Scara neuniformă a logaritmilor zecimal este de obicei aplicată regulilor de calcul. O scară similară este utilizată în multe domenii ale științei, de exemplu:
- Fizica - intensitatea sunetului (decibeli).
- Astronomie - scara de luminozitate a stelelor.
- Chimie - activitatea ionilor de hidrogen (pH).
- Seismologie - scara Richter.
- Teoria muzicii - o scară de note, în raport cu frecvențele notelor muzicale.
- Istoria este o scară de timp logaritmică.
Scara logaritmică este, de asemenea, utilizată pe scară largă pentru a identifica exponentul în relațiile de putere și coeficientul în exponent. În acest caz, un grafic construit pe o scară logaritmică de-a lungul uneia sau două axe ia forma unei linii drepte, care este mai ușor de studiat.
2. Logaritm complex
2.1. Definiție și proprietăți
Pentru numerele complexe, logaritmul este definit în același mod ca unul real. În practică, se folosește aproape exclusiv logaritmul complex natural, pe care îl notăm și îl definim ca mulțime a tuturor numerelor complexe. z astfel încât e z = w . Logaritmul complex există pentru orice , iar partea sa reală este determinată în mod unic, în timp ce partea imaginară are set infinit valorile. Din acest motiv se numește funcție cu mai multe valori. Daca iti imaginezi w sub formă demonstrativă:
,atunci logaritmul se găsește prin formula:
Iată logaritmul real, r = | w | , k- întreg arbitrar. Valoarea obţinută când k= 0, numit importanta principala logaritm natural complex; se obișnuiește să se ia valoarea argumentului din el în intervalul (− π,π). Funcția corespunzătoare (deja cu o singură valoare) se numește ramura principală logaritm și se notează cu . Uneori, ele denotă și o valoare logaritmică care nu se află pe ramura principală.
Din formula rezulta:
- Partea reală a logaritmului este determinată de formula:
- Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula:
Deoarece funcțiile trigonometrice complexe sunt legate de exponențial (formula lui Euler), logaritmul complex, ca funcție inversă a exponențialului, este legat de inversul funcții trigonometrice. Un exemplu de astfel de conexiune:
2.2. Exemple
Să dăm valoarea principală a logaritmului pentru unele argumente:
Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că aceștia au mai multe valori și, prin urmare, egalitatea logaritmilor oricăror expresii nu implică egalitatea acestor expresii. Exemplu de raționament greșit:
iπ = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ - absurditate totală.Rețineți că în stânga este valoarea principală a logaritmului, iar în dreapta este valoarea din ramura subiacentă ( k= − 1). Cauza erorii este folosirea neglijentă a proprietății, care, în general, implică în cazul complex întregul set infinit de valori logaritmice, și nu doar valoarea principală.
2.3. Continuare analitică
Orez. 3. Logaritm complex (partea imaginară)
Logaritmul unui număr complex poate fi definit și ca extensia analitică a logaritmului real la întregul plan complex. Fie ca curba Γ să înceapă de la unitate, să nu treacă prin zero și să nu intersecteze partea negativă a axei reale. Apoi valoarea principală a logaritmului la punctul final w curba Γ poate fi determinată prin formula:
Dacă Γ este o curbă simplă (fără auto-intersecții), atunci pentru numerele care se află pe ea, identitățile logaritmice pot fi aplicate fără teamă, de exemplu
Dacă curbei Γ i se permite să intersecteze partea negativă a axei reale, atunci prima astfel de intersecție transferă rezultatul de la ramura principală a valorii la ramura adiacentă, iar fiecare intersecție ulterioară provoacă o deplasare similară de-a lungul ramurilor funcției logaritmice ( Vezi figura).
Din formula de continuare analitică rezultă că pe orice ramură a logaritmului
Pentru orice cerc S, care acoperă punctul 0:
Integrala este luată în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). Această identitate stă la baza teoriei reziduurilor.
De asemenea, puteți defini continuarea analitică a logaritmului complex folosind seria de mai sus (1), generalizată la cazul unui argument complex. Totuși, din tipul de expansiune rezultă că la unitate este egal cu zero, adică seria se referă doar la ramura principală a funcției multivalorice a logaritmului complex.
2.4. Suprafata Riemann
O funcție logaritmică complexă este un exemplu de suprafață Riemann; partea sa imaginară (Fig. 3) este formată din număr infinit ramuri răsucite în spirală. Această suprafață este pur și simplu conectată; singurul său zero (de ordinul întâi) se obține la z= 1, puncte singulare: z= 0 și (puncte de ramificare de ordin infinit).
Suprafața Riemann a logaritmului este acoperirea universală pentru planul complex fără punctul 0.
3. Schiță istorică
3.1. Logaritm real
Nevoia de calcule complexe a crescut rapid în secolul al XVI-lea și o mare parte din dificultate a implicat înmulțirea și împărțirea. numere din mai multe cifre, precum și extragerea rădăcinilor. La sfârșitul secolului, mai mulți matematicieni, aproape simultan, au venit cu ideea: să înlocuiască înmulțirea intensivă în muncă cu adunarea simplă, folosind tabele speciale pentru a compara progresiile geometrice și aritmetice, cea geometrică fiind cea originală. Apoi împărțirea este înlocuită automat cu scăderea nemăsurat mai simplă și mai de încredere și extragerea rădăcinii gradului n se rezumă la împărțirea logaritmului expresiei radicale la n. El a fost primul care a publicat această idee în cartea sa „ Aritmetica integra„Michael Stiefel, care, însă, nu a făcut eforturi serioase pentru a-și pune în aplicare ideea.
În 1614, matematicianul amator scoțian John Napier a publicat un eseu în latină intitulat „ Descrierea uimitoarei tabele de logaritmi„(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). A avut scurta descriere logaritmi și proprietățile acestora, precum și tabele de 8 cifre ale logaritmilor de sinusuri, cosinusuri și tangente, cu un pas de 1". Termen logaritm, propus de Napier, s-a impus în știință. Napier a subliniat teoria logaritmilor în cealaltă carte a sa „ Construirea unui tabel logaritmic uimitor„(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), publicat postum în 1619 de fiul său.
Conceptul de funcție nu exista încă, iar Napier a definit logaritmul cinematic, comparând mișcarea uniformă și logaritmică lentă; de exemplu, el a definit logaritmul sinusului după cum urmează:
Logaritmul unui sinus dat este un număr care crește întotdeauna aritmetic cu aceeași rată cu care sinusul total a început să scadă geometric.
ÎN notație modernă Modelul cinematic al lui Napier poate fi reprezentat prin ecuația diferențială: dx/x = -dy/M, unde M este un factor de scară introdus pentru a face valoarea un număr întreg cantitatea potrivită semne ( zecimale nu erau încă utilizate pe scară largă). Napier a luat M = 10000000.
Strict vorbind, Napier a tabulat funcția greșită, care se numește acum logaritm. Dacă notăm funcția sa LogNap(x), atunci este legată de logaritmul natural după cum urmează:
Evident, LogNap(M) = 0, adică logaritmul „sinusului complet” este zero - asta a realizat Napier cu definiția sa. .
Principala proprietate a logaritmului Napier: dacă mărimile formează o progresie geometrică, atunci logaritmii lor formează o progresie aritmetică. Cu toate acestea, regulile de logaritm pentru funcția neper diferă de regulile pentru logaritmul modern.
De exemplu, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).
Din păcate, toate valorile din tabelul lui Napier conțineau o eroare de calcul după a șasea cifră. Cu toate acestea, acest lucru nu a împiedicat noua metodă de calcul să câștige o mare popularitate, iar mulți matematicieni europeni, inclusiv Kepler, au început să alcătuiască tabele logaritmice. Doar 5 ani mai târziu, în 1619, profesorul de matematică londonez John Spidell ( John Speidell) a reeditat tabelele lui Napier, transformate astfel încât acestea să devină efectiv tabele de logaritmi naturali (deși Spidell a păstrat scalarea la numere întregi). Termenul „logaritm natural” a fost propus de matematicianul italian Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) la mijlocul secolului al XVI-lea.
În anii 1620, Edmund Wingate și William Oughtred au inventat prima regulă de calcul, înainte de apariția calculatoarelor de buzunar - un instrument indispensabil al inginerului.
O înțelegere apropiată de cea modernă a logaritmizării - ca operație inversă a ridicării la putere - a apărut pentru prima dată cu Wallis și Johann Bernoulli și a fost în cele din urmă legitimată de Euler în secolul al XVIII-lea. În cartea „Introduction to the Analysis of Infinite” (1748), Euler a dat definiții moderne atât ale funcțiilor exponențiale, cât și ale funcțiilor logaritmice și a dat extinderea lor în serie de puteri, a remarcat mai ales rolul logaritmului natural.
Euler este, de asemenea, creditat cu extinderea funcției logaritmice la domeniul complex.
3.2. Logaritm complex
Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică, în primul rând pentru că însuși conceptul de logaritm nu era încă clar definit. Discuția pe această problemă a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea - între d'Alembert și Euler. Bernoulli și d'Alembert credeau că ar trebui stabilit log(-x) = log(x). Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferită de cea modernă.
Deși disputa a continuat (D'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), punctul de vedere al lui Euler a câștigat rapid recunoașterea universală.
4. Tabele logaritmice
Tabelele logaritmice
Din proprietățile logaritmului rezultă că, în loc de înmulțirea intensivă a forței de muncă a numerelor cu mai multe cifre, este suficient să găsiți (din tabele) și să adăugați logaritmii acestora, apoi, folosind aceleași tabele, să efectuați potențarea, adică să găsiți valoarea rezultatului din logaritmul său. Efectuarea diviziunii diferă doar prin faptul că logaritmii sunt scăzuți. Laplace a spus că inventarea logaritmilor „a prelungit viața astronomilor” prin accelerarea mult procesul de calcule.
Când mutați punctul zecimal într-un număr la n cifre, valoarea logaritmului zecimal al acestui număr se schimbă în n. De exemplu, log8314,63 = log8,31463 + 3. Rezultă că este suficient să compilați un tabel de logaritmi zecimal pentru numerele din intervalul de la 1 la 10.
Primele tabele de logaritmi au fost publicate de John Napier (1614) și conțineau doar logaritmi de funcții trigonometrice și cu erori. Independent de el, Joost Burgi, un prieten al lui Kepler, și-a publicat tabelele (1620). În 1617, profesorul de matematică de la Oxford Henry Briggs a publicat tabele care includeau deja logaritmi zecimali ai numerelor în sine, de la 1 la 1000, cu 8 (mai târziu 14) cifre. Dar au existat și erori în tabelele lui Briggs. Prima ediție fără erori bazată pe tabelele Vega (1783) a apărut abia în 1857 la Berlin (tabelele Bremiwer).
În Rusia, primele tabele de logaritmi au fost publicate în 1703, cu participarea lui L. F. Magnitsky. Mai multe colecții de tabele logaritmice au fost publicate în URSS.
- Bradis V. M. Tabelele matematice din patru cifre. Ediția a 44-a, M., 1973.
Tabelele Bradis (1921) au fost folosite în institutii de invatamantși în calculele inginerești care nu necesită o mare precizie. Acestea conțineau mantise de logaritmi zecimali ai numerelor și funcții trigonometrice, logaritmi naturali și alte câteva instrumente utile de calcul.
- Vega G. Tabele de logaritmi cu șapte cifre, ediția a IV-a, M., 1971.
Colecție profesională pentru calcule precise.
- Tabelele cu cinci cifre ale valorilor naturale ale mărimilor trigonometrice, logaritmii lor și logaritmii numerelor, ed. a 6-a, M.: Nauka, 1972.
- Tabele de logaritmi naturali, ediția a II-a, în 2 volume, M.: Nauka, 1971.
În zilele noastre, odată cu răspândirea calculatoarelor, nevoia de a folosi tabele de logaritmi a dispărut.
M, Caracteristică (analiza complexă).
Logaritm real
Logaritmul unui log de numere reale A b are sens cu style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.
Cele mai utilizate tipuri de logaritmi sunt:
Dacă considerăm numărul logaritmic ca o variabilă, obținem funcţie logaritmică, De exemplu: . Această funcție este definită în partea dreaptă a liniei numerice: X> 0, este continuu si diferentiabil acolo (vezi Fig. 1).
Proprietăți
Logaritmi naturali
Când egalitatea este adevărată
| (1) |
În special,
Această serie converge mai repede și, în plus, partea stângă a formulei poate exprima acum logaritmul oricărui număr pozitiv.
Relația cu logaritmul zecimal: .
Logaritmi zecimali
Orez. 2. Scară logaritmică
Logaritmi la baza 10 (simbol: lg A) înainte de inventarea calculatoarelor erau utilizate pe scară largă pentru calcule. Scara neuniformă a logaritmilor zecimal este de obicei marcată și pe regulile de calcul. O scară similară este utilizată pe scară largă în diferite domenii ale științei, de exemplu:
- Chimie - activitatea ionilor de hidrogen ().
- Teoria muzicii - o scară de note, în raport cu frecvențele notelor muzicale.
Scara logaritmică este, de asemenea, utilizată pe scară largă pentru a identifica exponentul în relațiile de putere și coeficientul în exponent. În acest caz, un grafic construit pe o scară logaritmică de-a lungul uneia sau două axe ia forma unei linii drepte, care este mai ușor de studiat.
Logaritm complex
Funcție cu mai multe valori
Suprafata Riemann
O funcție logaritmică complexă este un exemplu de suprafață Riemann; partea sa imaginară (Fig. 3) este formată dintr-un număr infinit de ramuri, răsucite ca o spirală. Această suprafață este pur și simplu conectată; singurul său zero (de ordinul întâi) se obține la z= 1, puncte singulare: z= 0 și (puncte de ramificare de ordin infinit).
Suprafața Riemann a logaritmului este acoperirea universală pentru planul complex fără punctul 0.
Schiță istorică
Logaritm real
Nevoia de calcule complexe a crescut rapid în secolul al XVI-lea și o mare parte din dificultate a implicat înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre. La sfârșitul secolului, mai mulți matematicieni, aproape simultan, au venit cu ideea: să înlocuiască înmulțirea intensivă în muncă cu adunarea simplă, folosind tabele speciale pentru a compara progresiile geometrice și aritmetice, cea geometrică fiind cea originală. Apoi împărțirea este înlocuită automat cu scăderea nemăsurat mai simplă și mai sigură. El a fost primul care a publicat această idee în cartea sa „ Aritmetica integra„Michael Stiefel, care, însă, nu a făcut eforturi serioase pentru a-și pune în aplicare ideea.
În anii 1620, Edmund Wingate și William Oughtred au inventat prima regulă de calcul, înainte de apariția calculatoarelor de buzunar — un instrument indispensabil al inginerului.
O înțelegere apropiată de cea modernă a logaritmării - ca operație inversă a ridicării la putere - a apărut pentru prima dată cu Wallis și Johann Bernoulli și a fost în cele din urmă legitimată de Euler în secolul al XVIII-lea. În cartea „Introducere în analiza infinitului” (), Euler a dat definiții moderne atât ale funcțiilor exponențiale, cât și ale funcțiilor logaritmice, le-a extins în serii de puteri și a notat în special rolul logaritmului natural.
Euler este, de asemenea, creditat cu extinderea funcției logaritmice la domeniul complex.
Logaritm complex
Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică, în primul rând pentru că însuși conceptul de logaritm nu era încă clar definit. Discuția pe această problemă a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea - între d'Alembert și Euler. Bernoulli și d'Alembert credeau că ar trebui stabilit log(-x) = log(x). Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferită de cea modernă.
Deși disputa a continuat (D'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), punctul de vedere al lui Euler a câștigat rapid recunoașterea universală.
Tabelele logaritmice
Tabelele logaritmice
Din proprietățile logaritmului rezultă că, în loc de înmulțirea intensivă a forței de muncă a numerelor cu mai multe cifre, este suficient să găsiți (din tabele) și să adăugați logaritmii acestora, apoi, folosind aceleași tabele, să efectuați potențarea, adică să găsiți valoarea rezultatului din logaritmul său. Efectuarea diviziunii diferă doar prin faptul că logaritmii sunt scăzuți. Laplace a spus că inventarea logaritmilor „a prelungit viața astronomilor” prin accelerarea mult procesul de calcule.
Când mutați punctul zecimal într-un număr la n cifre, valoarea logaritmului zecimal al acestui număr se schimbă în n. De exemplu, log8314,63 = log8,31463 + 3. Rezultă că este suficient să compilați un tabel de logaritmi zecimal pentru numerele din intervalul de la 1 la 10.
Primele tabele de logaritmi au fost publicate de John Napier (), și au conținut doar logaritmi de funcții trigonometrice și cu erori. Independent de el, Joost Bürgi, un prieten al lui Kepler (), și-a publicat tabelele. În 1617, profesorul de matematică de la Oxford Henry Briggs a publicat tabele care includeau deja logaritmi zecimali ai numerelor în sine, de la 1 la 1000, cu 8 (mai târziu 14) cifre. Dar au existat și erori în tabelele lui Briggs. Prima ediție fără erori bazată pe tabelele Vega () a apărut abia în 1857 la Berlin (tabelele Bremiwer).
În Rusia, primele tabele de logaritmi au fost publicate în 1703, cu participarea lui L. F. Magnitsky. Mai multe colecții de tabele logaritmice au fost publicate în URSS.
- Bradis V. M. Tabelele matematice din patru cifre. Ediția a 44-a, M., 1973.
Dovada formulei .
=
= 
=
întrucât sinusul și cosinusul nu depind de adăugarea unui unghi care este multiplu al
Și această egalitate este deja evidentă, deoarece aceasta este forma trigonometrică a unui număr complex.
Astfel, logaritmul există pentru toate punctele din plan, cu excepția zero. Pentru un număr pozitiv real, argumentul este 0, deci acest set infinit de puncte are forma 
, adică una dintre valori, și anume, la , va cădea pe axa reală. Dacă calculăm logaritmul unui număr negativ, obținem , adică setul de puncte este deplasat în sus și niciunul dintre ele nu cade pe axa reală.
Din formula reiese clar că numai atunci când argumentul numărului inițial este zero, una dintre valorile logaritmului cade pe axa reală. Și aceasta corespunde semiaxei drepte, și de aceea în cursul școlar de matematică au fost luate în considerare doar logaritmi de numere pozitive. Există și logaritmi de numere negative și imaginare, dar nu au o singură valoare pe axa reală.
Următorul desen arată unde sunt situate în plan toate valorile logaritmului unui număr pozitiv. Unul dintre ele se află pe axa reală, restul sunt deasupra și dedesubt pe , și așa mai departe. Pentru un număr negativ sau complex, argumentul este diferit de zero, astfel încât această secvență de puncte este deplasată vertical, rezultând niciun punct pe axa reală.
Exemplu. Calculati.
Soluţie. Să definim modulul numărului (egal cu 2) și argumentul 180 0, adică. Apoi = 
.
Anexa 1. Întrebări pentru dovezi (pentru bilete).
Prelegerea nr. 1
1. Demonstrați formula pentru integrarea pe părți.
Prelegerea nr. 2
1. Demonstrați că înlocuirea , unde r = LCM (r 1 ,...,r k) reduce integrala la integrala unei fracții raționale.
2. Demonstrați că înlocuirea reduce integrala formei 
la integrala unei fracții raționale.
3. Deduceți formule pentru conversia sinusului și cosinusului
Pentru substituție trigonometrică universală.
4. Demonstrați că în cazul în care funcția este impară față de cosinus, înlocuirea reduce integrala la o fracție rațională.
5. Demonstrați că în cazul în care
substituție: reduce integrala la o fracție rațională.
6. Demonstrați că pentru o integrală a formei 
7. Demonstrați formula 
8. Demonstrați că pentru o integrală a formei 
înlocuirea produce o integrală a unei fracții raționale.
9. Demonstrați că pentru o integrală a formei 
înlocuirea reduce integrala la o fracție rațională.
Prelegerea nr. 3
1. Demonstrați că funcția 
este o antiderivată a funcției .
2. Demonstrați formula Newton-Leibniz: 
.
3. Demonstrați formula pentru lungimea unei curbe date explicit:
.
4. Demonstrați formula pentru lungimea unei curbe dată în coordonate polare 
Prelegerea nr. 4
Demonstrați teorema: converge, converge.
Prelegerea nr. 5
1. Deduceți (demonstrați) formula pentru aria unei suprafețe date în mod explicit 
.
2. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele polare.
3. Derivarea determinantului jacobian al coordonatelor polare.
4. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele cilindrice.
5. Derivarea determinantului jacobian al coordonatelor cilindrice.
6. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele sferice:
.
Prelegerea nr. 6
1. Demonstrați că substituția reduce o ecuație omogenă la o ecuație cu variabile separabile.
2. Retragere forma generala soluție liniară ecuație omogenă.
3. Deduceți forma generală a soluției la liniar ecuație neomogenă Metoda Lagrange.
4. Demonstrați că substituția reduce ecuația lui Bernoulli la o ecuație liniară.
Prelegerea nr. 7.
1. Demonstrați că înlocuirea reduce ordinea ecuației cu k.
2. Demonstrați că înlocuirea reduce ordinea ecuației cu unu 
.
3. Demonstrați teorema: Funcția este o soluție a unei ecuații diferențiale liniare omogenă și are o rădăcină caracteristică.
4. Demonstrați teorema că o combinație liniară de soluții la o diferență liniară omogenă. ecuația este și soluția ei.
5. Demonstrați teorema privind impunerea soluțiilor: Dacă este o soluție a unei ecuații diferențiale neomogene liniare cu partea dreaptă și este o soluție a aceleiași ecuații diferențiale, dar cu partea dreaptă, atunci suma este o soluție a ecuației cu partea dreaptă.
Prelegerea nr. 8.
1. Demonstrați teorema că sistemul de funcții este dependent liniar.
2. Demonstrați teorema că există n soluții liniar independente pentru o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul n.
3. Demonstrați că dacă 0 este rădăcina multiplicității , atunci sistemul de soluții corespunzător acestei rădăcini are forma .
Prelegerea nr. 9.
1. Demonstrați folosind forma exponențială că atunci când înmulțiți numere complexe, modulele sunt înmulțite și argumentele sunt adăugate.
2. Demonstrați formula lui Moivre pentru gradul n
3. Demonstrați formula pentru rădăcina unui număr complex de ordin n
4. Demonstrează că 
Și 
sunt generalizări ale sinusului și cosinusului, i.e. pentru numerele reale, aceste formule vor produce sinus (cosinus).
5. Demonstrați formula pentru logaritmul unui număr complex:
Anexa 2.
Întrebări minore și orale privind cunoștințele de teorie (pentru colocvii).
Prelegerea nr. 1
1. Ce este un antiderivat și integrală nedefinită, Care este diferența?
2. Explicați de ce este și un antiderivat.
3. Scrieți formula integrării pe părți.
4. Ce înlocuire este necesară în forma integrală și cum elimină rădăcinile?
5. Notează tipul de descompunere a integrandului unei fracții raționale în cele mai simple în cazul în care toate rădăcinile sunt diferite și reale.
6. Notați tipul de descompunere a integrandului unei fracții raționale în cele mai simple în cazul în care toate rădăcinile sunt reale și există o rădăcină multiplă de multiplicitate k.
Prelegerea nr. 2.
1. Scrieți care este descompunerea unei fracții raționale în cele mai simple în cazul în care numitorul are un factor de 2 grade cu discriminant negativ.
2. Ce substituție reduce integrala la o fracție rațională?
3. Ce sunt substituțiile trigonometrice universale?
4. Ce înlocuiri se fac în cazurile în care funcția sub semnul integral este impară față de sinus (cosinus)?
5. Ce înlocuiri se fac dacă integrandul conține expresiile , , sau .
Prelegerea nr. 3.
1. Definiția unei integrale determinate.
2. Enumerați câteva dintre proprietățile de bază ale integralei definite.
3. Scrieți formula Newton-Leibniz.
4. Scrieți formula pentru volumul unui corp de rotație.
5. Scrieți o formulă pentru lungimea unei curbe date explicit.
6. Scrieți formula pentru lungimea unei curbe definite parametric.
Prelegerea nr. 4.
1. Definirea unei integrale improprie (folosind o limită).
2. Care este diferența dintre integralele improprie de primul și al doilea fel.
3. Plumb exemple simple integrale convergente de primul și al doilea fel.
4. La ce valori converg integralele (T1)?
5. Cum este legată convergența de limita finită a antiderivatei (T2)
6. Care este un criteriu necesar pentru convergență, formularea acestuia.
7. Test de comparație în formă finală
8. Semn de comparație în formă extremă.
9. Definiția integralei multiple.
Prelegerea nr. 5.
1. Schimbarea ordinii de integrare, arătați cu un exemplu simplu.
2. Scrieți formula pentru suprafața.
3. Care sunt coordonatele polare, scrieți formulele de tranziție.
4. Care este jacobianul sistemului de coordonate polare?
5. Care sunt coordonatele cilindrice și sferice, care este diferența lor.
6. Care este Jacobianul coordonatelor cilindrice (sferice)?
Prelegerea nr. 6.
1. Ce este o ecuație diferențială de ordinul 1 (vedere generală).
2. Ce este o ecuație diferențială de ordinul 1 rezolvată în raport cu derivata. Dați un exemplu.
3. Ce este o ecuație cu variabile separabile.
4. Care este o soluție generală, particulară, condiții Cauchy.
5. Ce este o ecuație omogenă, ce este metoda generala deciziile lui.
6. Ce este ecuație liniară, care este algoritmul de rezolvare, care este metoda Lagrange.
7. Care este ecuația Bernoulli, un algoritm pentru rezolvarea ei.
Prelegerea nr. 7.
1. Ce înlocuire este necesară pentru o ecuație de forma .
2. Ce înlocuire este necesară pentru o ecuație de formă .
3. Arată cu exemple cum poate fi exprimat în forma .
4. Ce este o ecuație diferențială liniară de ordinul n.
5. Ce este un polinom caracteristic, ecuație caracteristică.
6. Formulați o teoremă despre la ce r funcția este o soluție a unei ecuații diferențiale liniare omogenă.
7. Formulați o teoremă conform căreia o combinație liniară de soluții la o ecuație liniară omogenă este și soluția acesteia.
8. Formulați teorema privind impunerea soluțiilor și consecințele acesteia.
9. Care sunt sistemele de funcții liniar dependente și liniar independente, dați câteva exemple.
10. Care este determinantul Wronski al unui sistem de n funcții, dați un exemplu de determinant Wronski pentru sistemele LZS și LNS.
Prelegerea nr. 8.
1. Ce proprietate are determinantul Wronski dacă funcția sistemului este dependentă liniar.
2. Câte soluții liniar independente există pentru o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul n.
3. Determinarea FSR (sistem fundamental de soluții) al unei ecuații liniare omogene de ordinul n.
4. Câte funcții conține FSR?
5. Notați forma sistemului de ecuații pentru găsirea prin metoda Lagrange pentru n=2.
6. Notați tipul de soluție particulară în cazul în care
7. Ce este sistem liniar ecuații diferențiale, scrieți câteva exemple.
8. Ce este un sistem autonom de ecuații diferențiale.
9. Sensul fizic al unui sistem de ecuații diferențiale.
10. Notați în ce funcții constă sisteme FSR ecuații, dacă sunt cunoscute valori propriiȘi vectori proprii matricea principală a acestui sistem.
Prelegerea nr. 9.
1. Ce este o unitate imaginară.
2. Ce este un număr conjugat și ce se întâmplă când îl înmulți cu numărul inițial.
3. Care este forma trigonometrică, exponențială a unui număr complex.
4. Scrieți formula lui Euler.
5. Care este modulul, argumentul unui număr complex.
6. ce se întâmplă cu modulele și argumentele în timpul înmulțirii (împărțirii).
7. Scrieți formula lui Moivre pentru gradul n.
8. Scrieți formula pentru o rădăcină de ordinul n.
9. Scrieți formule generalizate de sinus și cosinus pentru un argument complex.
10. Scrieți formula pentru logaritmul unui număr complex.
Anexa 3. Probleme de la prelegeri.
Prelegerea nr. 1
Exemplu. . Exemplu. .
Exemplu. . Exemplu. .
Exemplu. Exemplu. .
Exemplu. 
. Exemplu. 
.
Prelegerea nr. 2
Exemplu. . Exemplu. .
Exemplu. . Exemplu. .
Exemplu. . Exemplu.. , unde, număr .
Exemplu.Împărțiți exponențial.
Exemplu. Găsiți folosind formula lui Moivre.
Exemplu. Găsiți toate valorile rădăcinii.
(din greacă λόγος - „cuvânt”, „relație” și ἀριθμός - „număr”) numere b bazat pe A(log α b) se numește un astfel de număr c, Și b= a c, adică înregistrează log α b=cȘi b=ac sunt echivalente. Logaritmul are sens dacă a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Cu alte cuvinte logaritm numere b bazat pe A formulat ca un exponent la care trebuie ridicat un număr A pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numerele pozitive).
Din această formulare rezultă că calculul x= log α b, este echivalent cu rezolvarea ecuației a x =b.
De exemplu:
log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 .
Să subliniem că formularea indicată a logaritmului face posibilă determinarea imediată valoarea logaritmului, când numărul de sub semnul logaritmului acționează ca o anumită putere a bazei. Într-adevăr, formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b bazat pe A egală Cu. De asemenea, este clar că tema logaritmilor este strâns legată de subiect puterile unui număr.
Calcularea logaritmului se numește logaritm. Logaritmul este operatie matematica luând logaritmul. Atunci când se iau logaritmi, produsele factorilor sunt transformate în sume de termeni.
Potentarea este operația matematică inversă a logaritmului. În timpul potențarii, o bază dată este ridicată la gradul de expresie peste care se realizează potențarea. În acest caz, sumele de termeni sunt transformate într-un produs de factori.
Destul de des, logaritmii reali sunt folosiți cu bazele 2 (binare), numărul lui Euler e ≈ 2,718 (logaritmul natural) și 10 (zecimal).
În această etapă este indicat să luați în considerare probe de logaritm jurnal 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
Iar intrările lg(-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nu au sens, deoarece în primul dintre ele este plasat un număr negativ sub semnul logaritmului, în al doilea există un număr negativ în bază, iar în a treia există un număr negativ sub semnul logaritmului și unitatea la bază.
Condiții pentru determinarea logaritmului.
Merită să luăm în considerare separat condițiile a > 0, a ≠ 1, b > 0. în care obținem definiția logaritmului. Să ne gândim de ce au fost luate aceste restricții. O egalitate de forma x = log α ne va ajuta în acest sens b, numită identitate logaritmică de bază, care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus.
Să luăm condiția a≠1. Deoarece unu la orice putere este egal cu unu, atunci egalitatea x=log α b poate exista doar atunci când b=1, dar log 1 1 va fi orice număr real. Pentru a elimina această ambiguitate, luăm a≠1.
Să demonstrăm necesitatea condiției a>0. La a=0 conform formulării logaritmului poate exista numai atunci când b=0. Și în consecință atunci log 0 0 poate fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Această ambiguitate poate fi eliminată prin condiție a≠0. Și atunci când A<0 ar trebui să respingem analiza valorilor raționale și iraționale ale logaritmului, deoarece un grad cu un exponent rațional și irațional este definit doar pentru baze nenegative. Din acest motiv este stipulată condiția a>0.
Și ultima condiție b>0 rezultă din inegalitate a>0, deoarece x=log α b, și valoarea gradului cu bază pozitivă A intotdeauna pozitiv.
Caracteristicile logaritmilor.
Logaritmi caracterizat prin distinctiv Caracteristici, ceea ce a dus la utilizarea lor pe scară largă pentru a facilita în mod semnificativ calculele minuțioase. Când treceți „în lumea logaritmilor”, înmulțirea este transformată într-o adunare mult mai ușoară, împărțirea este transformată în scădere, iar exponențiația și extragerea rădăcinii sunt transformate, respectiv, în înmulțire și împărțire cu exponent.
Formularea logaritmilor și un tabel al valorilor acestora (pentru funcțiile trigonometrice) au fost publicate pentru prima dată în 1614 de matematicianul scoțian John Napier. Tabelele logaritmice, mărite și detaliate de alți oameni de știință, au fost utilizate pe scară largă în calculele științifice și de inginerie și au rămas relevante până la utilizarea calculatoarelor electronice și a calculatoarelor.
Funcția exponențială a unei variabile reale (cu bază pozitivă) se determină în mai mulți pași. În primul rând, pentru valorile naturale - ca un produs al factorilor egali. Definiția se extinde apoi la numere întregi negative și la valori diferite de zero pentru reguli. În continuare, luăm în considerare indicatorii fracționari la care valoarea functie exponentiala determinată cu ajutorul rădăcinilor: . Pentru valorile iraționale, definiția este deja legată de conceptul de bază al analizei matematice - cu trecerea la limită, din motive de continuitate. Toate aceste considerații nu sunt în niciun caz aplicabile încercărilor de a extinde funcția exponențială la valori complexe ale indicatorului și ceea ce este, de exemplu, este complet neclar.
Pentru prima dată, o putere cu un exponent complex cu o bază naturală a fost introdusă de Euler pe baza unei analize a unui număr de construcții de calcul integral. Uneori, expresii algebrice foarte asemănătoare, atunci când sunt integrate, dau răspunsuri complet diferite:
În același timp, aici a doua integrală este obținută formal din prima atunci când este înlocuită cu
Din aceasta putem concluziona că, prin definirea corectă a unei funcții exponențiale cu un exponent complex, funcțiile trigonometrice inverse sunt legate de logaritmi și astfel funcția exponențială este legată de cele trigonometrice.
Euler a avut curajul și imaginația să dea o definiție rezonabilă pentru o funcție exponențială cu o bază, și anume:
Aceasta este o definiție și, prin urmare, această formulă nu poate fi dovedită; se pot căuta doar argumente în favoarea caracterului rezonabil și oportunității unei astfel de definiții. Analiza matematică oferă o mulțime de argumente de acest fel. Ne vom limita la unul singur.
Se ştie că în realitate există o relaţie limitativă: . În partea dreaptă există un polinom care are sens și pentru valori complexe pentru . Limita unei secvențe de numere complexe este determinată în mod natural. O secvență este considerată convergentă dacă șirurile părților reale și imaginare converg și este acceptată
Să-l găsim. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem la forma trigonometrică și pentru argument vom selecta valori din interval. Cu această alegere este clar că pentru . Mai departe,
Pentru a ajunge la limită, trebuie să verificați existența limitelor și să găsiți aceste limite. Este clar că
Deci, în expresie
partea reală tinde spre , partea imaginară tinde spre așa
Acest argument simplu oferă unul dintre argumentele în favoarea definiției lui Euler a funcției exponențiale.
Să stabilim acum că atunci când înmulțim valorile unei funcții exponențiale, exponenții se adună. Într-adevăr:
2. Formulele lui Euler.
Să punem în definiția funcției exponențiale. Primim:
Înlocuind b cu -b, obținem
Adunând și scăzând aceste egalități termen cu termen, găsim formulele
numite formulele lui Euler. Ele stabilesc o legătură între funcțiile trigonometrice și funcțiile exponențiale cu exponenți imaginari.
3. Logaritmul natural al unui număr complex.
Un număr complex dat în formă trigonometrică poate fi scris sub forma Această formă de scriere a unui număr complex se numește exponențială. Ea păstrează toate proprietățile bune ale formei trigonometrice, dar este și mai concis. În plus, de aceea, este firesc să presupunem că partea reală a logaritmului unui număr complex este logaritmul modulului său, iar partea imaginară este argumentul său. Acest lucru explică într-o oarecare măsură proprietatea „logaritmică” a argumentului - argumentul produsului este egal cu suma argumentelor factorilor.