Ecuațiile patratice incomplete sunt un caz special de egalități de ordinul doi. Este necesar să se poată rezolva aceste ecuații, deoarece ele se găsesc adesea nu numai în problemele matematice, ci și în problemele fizice. Acest articol este dedicat metodelor de rezolvare a acestora.
Ecuații cuadratice: complete și incomplete
Înainte de a examina metodele de rezolvare incompletă ecuații pătratice, ar trebui să luăm în considerare care sunt acestea.
Poza de mai jos arată forma generala egalități de ordinul doi, care sunt numite așa datorită valorii maxime a gradului variabilei (este egală cu 2) conținută în ele.
Unde a, b și c sunt numere (coeficienți). O ecuație incompletă se obține atunci când unul dintre acești coeficienți devine egal cu zero (cu excepția numărului a, deoarece dacă devine zero, ecuația nu va mai fi pătratică). Deoarece există doar trei combinații posibile de coeficienți zero, se disting următoarele tipuri de egalități incomplete de ordinul doi:
- Doar b=0. Apoi ecuația se transformă în forma a*x 2 + c = 0. Se numește egalitate incompletă pură sau simplă de tip pătratic.
- Doar c=0. Apoi obținem forma: a*x 2 + b*x = 0. Se numește ecuație pătratică incompletă mixtă.
- În sfârșit, dacă b=0 și c=0, atunci avem expresia a*x 2 =0.
Ultimul tip de ecuație incompletă nu este luat în considerare în niciun curs de matematică, deoarece soluția sa este evidentă și singura posibilă: x=0.
Este posibil să se rezolve ecuații incomplete folosind o formulă discriminantă?
Da, puteți, deoarece această metodă este universală pentru orice expresii de ordinul doi. Cu toate acestea, ecuațiile pătratice incomplete sunt deja întâlnite în clasa a VIII-a de școală și încep să fie studiate mai devreme decât egalitățile complete de acest tip, pentru care este deja dată o formulă cu discriminant. În plus, tipul de egalități luate în considerare este suficient de simplu pentru a le aplica formule universale și pentru a efectua o serie de calcule inutile.
Să luăm în considerare modalități simple și ușor de înțeles de a rezolva ecuații incomplete de ordinul doi.
Rezolvarea unei ecuații simple incomplete
Schema soluției sale în caz general este prezentată în figura de mai jos.
Să explicăm mai detaliat fiecare pas marcat pe el. Primul pas este aducerea ecuației la forma indicată la începutul acestei diagrame. Condiția problemei poate fi compusă în așa fel încât egalitatea inițială să conțină mai mult de doi termeni. Toate acestea trebuie simplificate (înmulțite, adunate și scăzute) la forma egalității pure incomplete.
După aceasta, termenul liber c este transferat în partea dreaptă a egalității și împărțit la coeficientul a. Pentru a obține necunoscutele x, nu rămâne decât să luați Rădăcină pătrată din raportul -c/a, dar nu trebuie să uităm și să ținem cont că poate fi fie cu semnul minus, fie cu semnul pozitiv.
Ce rezultă din formula prezentată în figură? În primul rând, există întotdeauna 2 rădăcini ale unei egalități pătratice pure incomplete, în timp ce ambele sunt egale ca modul, dar diferite ca semn. În al doilea rând, dacă numerele c și a au același semn, atunci rădăcinile lui x vor fi imaginare; dacă c și a sunt de semne diferite, atunci se obțin două soluții reale.
Pentru a rezolva o ecuație pătratică pentru care c = 0, ar trebui să faceți același prim pas ca și în cazul determinării rădăcinilor unei egalități pure incomplete, adică să o aduceți la o formă cu doi termeni: unul dintre ei trebuie să conțină x 2, iar celălalt x. Apoi, ar trebui să aplicați metoda de factorizare, adică descompuneți partea stanga egalităţi pe factori. Spre deosebire de ecuația completă, acest lucru este foarte ușor de făcut, deoarece unul dintre factori va fi întotdeauna x. Cele de mai sus pot fi scrise sub formă de formulă:
Această egalitate are o soluție dacă fiecare dintre factorii săi este zero. Rezultatul calculului rădăcinilor este prezentat în figura de mai jos.
Astfel, rădăcinile acestui tip de ecuație incompletă vor fi întotdeauna numere reale, unul dintre ele fiind zero. Semnul celei de-a doua rădăcini este determinat de raportul coeficienților nenuli b/a.
Exemple de probleme de matematică
Acum dăm exemple vizuale de ecuații patratice incomplete cu soluții.
Exemplul 1. Aflați rădăcinile egalității 135-(2x + 3) (2x - 3) = 0. Deschideți parantezele și obțineți: 135-4*x 2 +9=0. Rețineți că termenii care conțin x la prima putere au fost anulați. Efectuând transferul termenilor liberi în partea dreaptă și împărțindu-i la -4, obținem: x 2 = 36. Acest lucru ne dă două rădăcini: 6 și -6.
Exemplul 2. 23*(x 2 -2)=34*x-46. Ca și în primul caz, deschidem parantezele și mutam toți termenii în partea stângă. Avem: 23*x 2 -46-34*x+46=0. Acum reducem termenii liberi și factorizăm suma, obținem: x*(23*x-34)=0. Rezultă că x=0 și x = 34/23≈1,47826.
Rezolvarea exemplelor a arătat că algoritmul pentru găsirea rădăcinilor oricărui tip de ecuație incompletă de ordinul doi este destul de simplu, așa că nu are rost să memorezi formulele prezentate în figurile de mai sus.
Exemplu de problemă de fizică
Mulți școlari au auzit de la profesorul lor de fizică că Galileo Galilei în secolul al XVII-lea a efectuat experimente pentru a calcula accelerația gravitației prin scăparea diferitelor corpuri din turnul din Pisa. Acest lucru va părea curios pentru mulți, dar nu există o singură dovadă istorică că omul de știință a efectuat de fapt astfel de experimente. Cu toate acestea, în același secol al XVII-lea, au fost interpretate de un alt italian.
Giovanni Riccioli este un astronom și iezuit care a reușit să calculeze efectiv accelerația unei căderi libere aruncând bile de lut de la înălțimea Turnului Asinelli, situat în orașul Bologna. Riccioli a obţinut o valoare a acceleraţiei de 9,6 m/s 2 (valoarea modernă este de 9,81 m/s 2 ). Cunoscând acest număr, este necesar să se determine cât timp a durat bila de lut să cadă la pământ, având în vedere că înălțimea turnului este de 97,6 metri.
Pentru a rezolva problema, este necesar să ne amintim că traseul în timpul mișcării uniform accelerate este exprimat prin formula: l=v 0 *t+g*t 2 /2. Deoarece în momentul în care Riccioli a eliberat mingea, viteza acesteia din urmă era egală cu zero, atunci termenul v 0 *t = 0. Atunci ajungem la ecuația: 97,6 = 9,6*t 2 /2. De unde obținem că t = 4,51 secunde ( rădăcină negativă a fost aruncat în mod deliberat).
Acest subiect poate părea complicat la început din cauza numeroaselor formule nu atât de simple. Nu numai că ecuațiile pătratice în sine au notații lungi, dar rădăcinile se găsesc și prin discriminant. În total, se obțin trei formule noi. Nu foarte ușor de reținut. Acest lucru este posibil numai după rezolvarea frecventă a unor astfel de ecuații. Atunci toate formulele vor fi reținute de la sine.
Vedere generală a unei ecuații pătratice
Aici propunem înregistrarea lor explicită, când se scrie mai întâi gradul cel mai mare, apoi în ordine descrescătoare. Există adesea situații în care termenii sunt inconsecvenți. Atunci este mai bine să rescrieți ecuația în ordinea descrescătoare a gradului variabilei.
Să introducem câteva notații. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.
Dacă acceptăm aceste notații, toate ecuațiile pătratice sunt reduse la următoarea notație.
Mai mult, coeficientul a ≠ 0. Fie ca această formulă să fie desemnată numărul unu.
Când este dată o ecuație, nu este clar câte rădăcini vor fi în răspuns. Pentru că una dintre cele trei opțiuni este întotdeauna posibilă:
- soluția va avea două rădăcini;
- răspunsul va fi un număr;
- ecuația nu va avea deloc rădăcini.
Și până la finalizarea deciziei, este greu de înțeles care opțiune va apărea într-un anumit caz.
Tipuri de înregistrări ale ecuațiilor pătratice
Pot exista diferite intrări în sarcini. Nu vor arăta întotdeauna formula generala ecuație pătratică. Uneori îi vor lipsi niște termeni. Ceea ce a fost scris mai sus este ecuația completă. Dacă eliminați al doilea sau al treilea termen din el, obțineți altceva. Aceste înregistrări sunt numite și ecuații pătratice, doar incomplete.
Mai mult, numai termenii cu coeficienții „b” și „c” pot dispărea. Numărul „a” nu poate fi egal cu zero în nicio circumstanță. Pentru că în acest caz formula se transformă într-o ecuație liniară. Formulele pentru forma incompletă a ecuațiilor vor fi următoarele:
Deci, există doar două tipuri; pe lângă cele complete, există și ecuații pătratice incomplete. Prima formulă să fie numărul doi, iar a doua - trei.
Discriminarea și dependența numărului de rădăcini de valoarea acestuia
Trebuie să cunoașteți acest număr pentru a calcula rădăcinile ecuației. Poate fi întotdeauna calculată, indiferent de formula ecuației pătratice. Pentru a calcula discriminantul, trebuie să folosiți egalitatea scrisă mai jos, care va avea numărul patru.
După înlocuirea valorilor coeficientului în această formulă, puteți obține numere cu semne diferite. Dacă răspunsul este da, atunci răspunsul la ecuație va fi două rădăcini diferite. Dacă numărul este negativ, nu vor exista rădăcini ale ecuației pătratice. Dacă este egal cu zero, va exista un singur răspuns.
Cum se rezolvă o ecuație pătratică completă?
De fapt, luarea în considerare a acestei probleme a început deja. Pentru că mai întâi trebuie să găsești un discriminant. După ce se stabilește că există rădăcini ale ecuației pătratice și numărul acestora este cunoscut, trebuie să utilizați formule pentru variabile. Dacă există două rădăcini, atunci trebuie să aplicați următoarea formulă.
Deoarece conține un semn „±”, vor exista două valori. Expresia de sub semnul rădăcinii pătrate este discriminantul. Prin urmare, formula poate fi rescrisă diferit.
Formula numărul cinci. Din aceeași înregistrare este clar că dacă discriminantul este egal cu zero, atunci ambele rădăcini vor lua aceleași valori.
Dacă rezolvarea ecuațiilor pătratice nu a fost încă elaborată, atunci este mai bine să notați valorile tuturor coeficienților înainte de a aplica formulele discriminante și variabile. Mai târziu, acest moment nu va crea dificultăți. Dar la început există confuzie.
Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă?
Totul este mult mai simplu aici. Nici măcar nu este nevoie de formule suplimentare. Iar cele care au fost deja notate pentru discriminant și necunoscut nu vor fi necesare.
Mai întâi, să ne uităm la ecuația numărul doi incompletă. În această egalitate, este necesar să se scoată cantitatea necunoscută din paranteze și să se rezolve ecuația liniară, care va rămâne între paranteze. Răspunsul va avea două rădăcini. Prima este neapărat egală cu zero, deoarece există un multiplicator format din variabila însăși. Al doilea se va obține prin rezolvarea unei ecuații liniare.
Ecuația incompletă numărul trei se rezolvă prin mutarea numărului din partea stângă a egalității la dreapta. Apoi, trebuie să împărțiți cu coeficientul în fața necunoscutului. Tot ce rămâne este să extragi rădăcina pătrată și să nu uiți să o notezi de două ori cu semne opuse.
Mai jos sunt câțiva pași care vă vor ajuta să învățați cum să rezolvați tot felul de egalități care se transformă în ecuații pătratice. Ele vor ajuta elevul să evite greșelile din cauza neatenției. Aceste neajunsuri pot cauza note slabe atunci când studiezi subiectul extins „Ecuații cadrate (clasa a VIII-a).” Ulterior, aceste acțiuni nu vor trebui efectuate în mod constant. Pentru că va apărea o abilitate stabilă.
- Mai întâi trebuie să scrieți ecuația în formă standard. Adică, mai întâi termenul cu cel mai mare grad al variabilei, apoi - fără un grad, și ultimul - doar un număr.
- Dacă înaintea coeficientului „a apare un minus”, poate complica munca unui începător care studiază ecuațiile pătratice. Este mai bine să scapi de el. În acest scop, toată egalitatea trebuie înmulțită cu „-1”. Aceasta înseamnă că toți termenii vor schimba semnul invers.
- Se recomandă să scăpați de fracții în același mod. Pur și simplu înmulțiți ecuația cu factorul corespunzător, astfel încât numitorii să se anuleze.
Exemple
Este necesar să se rezolve următoarele ecuații pătratice:
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Prima ecuație: x 2 − 7x = 0. Este incompletă, prin urmare se rezolvă așa cum este descris pentru formula numărul doi.
După ce o scoateți din paranteze, rezultă: x (x - 7) = 0.
Prima rădăcină ia valoarea: x 1 = 0. A doua se va găsi din ecuație liniară: x - 7 = 0. Este ușor de observat că x 2 = 7.
A doua ecuație: 5x 2 + 30 = 0. Din nou incompletă. Doar că se rezolvă așa cum este descris pentru a treia formulă.
După ce mutați 30 în partea dreaptă a ecuației: 5x 2 = 30. Acum trebuie să împărțiți la 5. Rezultă: x 2 = 6. Răspunsurile vor fi numerele: x 1 = √6, x 2 = - √6.
A treia ecuație: 15 − 2x − x 2 = 0. Aici și mai departe, rezolvarea ecuațiilor pătratice va începe prin a le rescrie în forma standard: − x 2 − 2x + 15 = 0. Acum este timpul să folosiți a doua ecuație. sfat utilși înmulțiți totul cu minus unu. Se dovedește x 2 + 2x - 15 = 0. Folosind a patra formulă, trebuie să calculați discriminantul: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Este un număr pozitiv. Din cele spuse mai sus, reiese că ecuația are două rădăcini. Ele trebuie calculate folosind a cincea formulă. Rezultă că x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Atunci x 1 = 3, x 2 = - 5.
A patra ecuație x 2 + 8 + 3x = 0 se transformă în aceasta: x 2 + 3x + 8 = 0. Discriminantul său este egal cu această valoare: -23. Deoarece acest număr este negativ, răspunsul la această sarcină va fi următoarea intrare: „Nu există rădăcini”.
A cincea ecuație 12x + x 2 + 36 = 0 trebuie rescrisă după cum urmează: x 2 + 12x + 36 = 0. După aplicarea formulei discriminantului, se obține numărul zero. Aceasta înseamnă că va avea o singură rădăcină, și anume: x = -12/ (2 * 1) = -6.
A șasea ecuație (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) necesită transformări, care constau în faptul că trebuie să aduci termeni similari, deschizând mai întâi parantezele. În locul primei va exista următoarea expresie: x 2 + 2x + 1. După egalitate, va apărea această intrare: x 2 + 3x + 2. După ce se numără termeni similari, ecuația va lua forma: x 2 - x = 0. A devenit incomplet . Ceva similar cu asta a fost deja discutat puțin mai sus. Rădăcinile acestuia vor fi numerele 0 și 1.
Din acest articol veți învăța:
În ce este aspect ecuațiile determină dacă această ecuație va fi incomplet ecuație pătratică? Dar ca rezolva incomplet ecuații pătratice?
Cum să recunoști o ecuație pătratică incompletă din vedere
Stânga parte a ecuației 
Există trinom pătratic, A dreapta - număr. Astfel de ecuații se numesc deplin ecuații pătratice.
U deplin ecuație pătratică Toate cote, Și nu este egal. Pentru a le rezolva, există formule speciale, cu care ne vom familiariza mai târziu.
Cel mai simplu pentru solutie sunt incomplet ecuații pătratice. Acestea sunt ecuații pătratice în care unii coeficienți sunt zero.
Coeficient prin definiție nu poate fi zero, deoarece altfel ecuația nu va fi pătratică. Am vorbit despre asta. Asta înseamnă că se dovedește că pot merge la zero numai cote sau.
In functie de asta exista trei tipuri de incomplete ecuații pătratice.
1)
, Unde ;
2)
, Unde ;
3)
, Unde .
Deci, dacă vedem o ecuație pătratică, pe partea stângă a căreia în loc de trei membri prezent doi coti sau un membru, atunci ecuația va fi incomplet ecuație pătratică.
Definiția unei ecuații pătratice incomplete
Ecuație pătratică incompletă Aceasta se numește ecuație pătratică 
, in care cel puțin unul dintre coeficienți sau egal cu zero.
Această definiție are multe important fraza " cel puțin unul din coeficienti... egal cu zero". Înseamnă că unu sau Mai mult coeficienții pot fi egali zero.
Pe baza acestui lucru, este posibil trei variante: sau unu coeficientul este zero sau o alta coeficientul este zero sau ambii coeficienții sunt simultan egali cu zero. Așa obținem trei tipuri de ecuații pătratice incomplete.
Incomplet ecuațiile pătratice sunt următoarele ecuații:
1)
2)
3)
Rezolvarea ecuației 
Să schițăm plan de rezolvare această ecuație. Stânga o parte a ecuației poate fi ușor factorizați, deoarece în partea stângă a ecuației termenii au multiplicator comun, poate fi scos din suport. Apoi în stânga obțineți produsul a doi factori, iar în dreapta - zero.
Și atunci regula „produsul este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero, iar celălalt are sens” va funcționa. Totul este foarte simplu!
Asa de, plan de rezolvare.
1)
Factorim partea stângă în factori.
2) Folosim regula „produsul este egal cu zero...”
Eu numesc ecuații de acest tip „un dar al sorții”. Acestea sunt ecuații pentru care partea dreaptă este zero, A stânga o parte poate fi extinsă prin multiplicatori.
Rezolvarea ecuației conform planului.
1)
Să ne descompunem partea stângă a ecuației prin multiplicatori, pentru aceasta scoatem factorul comun, obținem următoarea ecuație 
.
2) În Ec. noi vedem asta stânga cheltuieli muncă, A zero în dreapta. Real un dar al destinului! Aici, desigur, vom folosi regula „produsul este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero, iar celălalt are sens”. Când traducem această regulă în limbajul matematicii, obținem Două ecuații sau .
Vedem că ecuația s-a destrămat cu doi mai simplu ecuații, dintre care prima a fost deja rezolvată ().
Să o rezolvăm pe a doua ecuația . Să mutăm termenii necunoscuți la stânga și pe cei cunoscuți la dreapta. Membrul necunoscut este deja în stânga, îl vom lăsa acolo. Și să mutăm termenul cunoscut la dreapta de la semnul opus. Obținem ecuația.
Am găsit-o, dar trebuie să-l găsim. Pentru a scăpa de factor, trebuie să împărțiți ambele părți ale ecuației cu.
Ecuație cuadratică - ușor de rezolvat! *Denumit în continuare „KU”. Prieteni, s-ar părea că nu poate fi nimic mai simplu în matematică decât rezolvarea unei astfel de ecuații. Dar ceva mi-a spus că mulți oameni au probleme cu el. Am decis să văd câte impresii la cerere oferă Yandex pe lună. Iată ce s-a întâmplat, uite:
Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că aproximativ 70.000 de oameni pe lună caută această informație, ce legătură are această vară cu ea și ce se va întâmpla printre an scolar— vor fi de două ori mai multe cereri. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece băieții și fetele aceia care au absolvit școala cu mult timp în urmă și se pregătesc pentru Examenul Unificat de Stat caută aceste informații, iar școlarii se străduiesc și ei să-și împrospăteze memoria.
În ciuda faptului că există o mulțime de site-uri care vă spun cum să rezolvați această ecuație, am decis să contribui și să public materialul. În primul rând, vreau ca vizitatorii să vină pe site-ul meu pe baza acestei solicitări; în al doilea rând, în alte articole, când apare subiectul „KU”, voi oferi un link către acest articol; în al treilea rând, vă voi spune puțin mai multe despre soluția lui decât se spune de obicei pe alte site-uri. Să începem! Conținutul articolului:
O ecuație pătratică este o ecuație de forma:
unde coeficienții a,bși c sunt numere arbitrare, cu a≠0.
În cursul școlar, materialul este dat în urmatoarea forma– ecuațiile sunt împărțite în trei clase:
1. Au două rădăcini.
2. *Ai o singură rădăcină.
3. Nu au rădăcini. Merită remarcat în special aici faptul că nu au rădăcini reale
Cum se calculează rădăcinile? Doar!
Calculăm discriminantul. Sub acest cuvânt „îngrozitor” se află o formulă foarte simplă:
Formulele rădăcinilor sunt următoarele:
*Trebuie să știi aceste formule pe de rost.
Puteți nota și rezolva imediat:
Exemplu:
1. Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini.
2. Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină.
3. Dacă D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Să ne uităm la ecuație:
În acest sens, când discriminantul este egal cu zero, cursul școlar spune că se obține o rădăcină, aici este egală cu nouă. Totul este corect, așa este, dar...
Această idee este oarecum incorectă. De fapt, există două rădăcini. Da, da, nu fi surprins, obții două rădăcini egale și, pentru a fi precis din punct de vedere matematic, atunci răspunsul ar trebui să scrie două rădăcini:
x 1 = 3 x 2 = 3
Dar așa este - o mică digresiune. La școală poți să-l notezi și să spui că există o singură rădăcină.
Acum următorul exemplu:
După cum știm, rădăcina unui număr negativ nu poate fi luată, așa că nu există o soluție în acest caz.
Acesta este tot procesul de decizie.
Funcția pătratică.
Aceasta arată cum arată soluția din punct de vedere geometric. Acest lucru este extrem de important de înțeles (în viitor, într-unul dintre articole vom analiza în detaliu soluția la inegalitatea pătratică).
Aceasta este o funcție a formei:
unde x și y sunt variabile
a, b, c – numere date, cu a ≠ 0
Graficul este o parabolă:
Adică, rezultă că rezolvând o ecuație pătratică cu „y” egal cu zero, găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Pot exista două dintre aceste puncte (discriminantul este pozitiv), unul (discriminantul este zero) și niciunul (discriminantul este negativ). Detalii despre funcția pătratică Puteți vizualiza articol de Inna Feldman.
Să ne uităm la exemple:
Exemplul 1: Rezolvați 2x 2 +8 X–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Răspuns: x 1 = 8 x 2 = –12
*A fost posibilă împărțirea imediată a părților stânga și dreaptă ale ecuației cu 2, adică simplificarea acesteia. Calculele vor fi mai ușoare.
Exemplul 2: Decide x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Am constatat că x 1 = 11 și x 2 = 11
Este permis să scrieți x = 11 în răspuns.
Răspuns: x = 11
Exemplul 3: Decide x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Discriminantul este negativ, nu există soluție în numerele reale.
Răspuns: nicio soluție
Discriminantul este negativ. Există o soluție!
Aici vom vorbi despre rezolvarea ecuației în cazul în care se obține un discriminant negativ. Știi ceva despre numere complexe? Nu voi intra în detaliu aici despre de ce și unde au apărut și care este rolul și necesitatea lor specifică în matematică; acesta este un subiect pentru un articol separat.
Conceptul de număr complex.
Puțină teorie.
Un număr complex z este un număr de formă
z = a + bi
unde a și b sunt numere reale, i este așa-numita unitate imaginară.
a+bi – acesta este un SINGUR NUMĂR, nu o adăugare.
Unitatea imaginară este egală cu rădăcina lui minus unu:
Acum luați în considerare ecuația:
Obținem două rădăcini conjugate.
Ecuație pătratică incompletă.
Să luăm în considerare cazurile speciale, atunci când coeficientul „b” sau „c” este egal cu zero (sau ambele sunt egale cu zero). Ele pot fi rezolvate cu ușurință, fără discriminare.
Cazul 1. Coeficientul b = 0.
Ecuația devine:
Să convertim:
Exemplu:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Cazul 2. Coeficientul c = 0.
Ecuația devine:
Să transformăm și să factorizăm:
*Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.
Exemplu:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 sau x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Cazul 3. Coeficienții b = 0 și c = 0.
Aici este clar că soluția ecuației va fi întotdeauna x = 0.
Proprietăți utile și modele de coeficienți.
Există proprietăți care vă permit să rezolvați ecuații cu coeficienți mari.
AX 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă
A + b+ c = 0, Acea
- dacă pentru coeficienţii ecuaţiei AX 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă
A+ c =b, Acea
Aceste proprietăți ajută la rezolvarea unui anumit tip de ecuație.
Exemplul 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0
Suma cotelor este 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ceea ce înseamnă
Exemplul 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0
Egalitatea este valabilă A+ c =b, Mijloace
Regularități ale coeficienților.
1. Dacă în ecuația ax 2 + bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Exemplu. Luați în considerare ecuația 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Dacă în ecuația ax 2 – bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Exemplu. Se consideră ecuația 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Dacă în Ec. ax 2 + bx – c = 0 coeficient „b” este egal cu (a 2 – 1), și coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Exemplu. Se consideră ecuația 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Dacă în ecuația ax 2 – bx – c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 – 1), iar coeficientul c este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Exemplu. Se consideră ecuația 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
teorema lui Vieta.
Teorema lui Vieta poartă numele celebrului matematician francez Francois Vieta. Folosind teorema lui Vieta, putem exprima suma și produsul rădăcinilor unui KU arbitrar în termeni de coeficienți.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
În total, numărul 14 dă doar 5 și 9. Acestea sunt rădăcinile. Cu o anumită îndemânare, folosind teorema prezentată, poți rezolva imediat multe ecuații pătratice pe cale orală.
Teorema lui Vieta, în plus. Este convenabil prin faptul că, după rezolvarea unei ecuații pătratice în mod obișnuit (printr-un discriminant), rădăcinile rezultate pot fi verificate. Recomand să faci asta mereu.
METODA DE TRANSPORT
Cu această metodă, coeficientul „a” este înmulțit cu termenul liber, ca și cum ar fi „aruncat” acestuia, motiv pentru care se numește metoda „transferului”. Această metodă este folosită atunci când rădăcinile ecuației pot fi găsite cu ușurință folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.
Dacă A± b+c≠ 0, atunci se utilizează tehnica de transfer, de exemplu:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Folosind teorema lui Vieta din ecuația (2), este ușor de determinat că x 1 = 10 x 2 = 1
Rădăcinile rezultate ale ecuației trebuie împărțite la 2 (deoarece cele două au fost „aruncate” din x 2), obținem
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Care este rațiunea? Uite ce se întâmplă.
Discriminanții ecuațiilor (1) și (2) sunt egali:
Dacă te uiți la rădăcinile ecuațiilor, obții doar numitori diferiți, iar rezultatul depinde tocmai de coeficientul lui x 2:
Al doilea (modificat) are rădăcini de 2 ori mai mari.
Prin urmare, împărțim rezultatul la 2.
*Dacă reluăm cele trei, vom împărți rezultatul la 3 etc.
Răspuns: x 1 = 5 x 2 = 0,5
mp. ur-ie și examenul de stat unificat.
Vă voi spune pe scurt despre importanța sa - TREBUIE SĂ PUTEȚI DECIZI rapid și fără să stați pe gânduri, trebuie să cunoașteți pe de rost formulele rădăcinilor și discriminanților. Multe dintre problemele incluse în sarcinile Unified State Examination se rezumă la rezolvarea unei ecuații pătratice (inclusiv cele geometrice).
Ceva demn de remarcat!
1. Forma de scriere a unei ecuații poate fi „implicita”. De exemplu, următoarea intrare este posibilă:
15+ 9x 2 - 45x = 0 sau 15x+42+9x 2 - 45x=0 sau 15 -5x+10x 2 = 0.
Trebuie să îl aduceți într-o formă standard (pentru a nu vă încurca atunci când rezolvați).
2. Amintiți-vă că x este o cantitate necunoscută și poate fi notat cu orice altă literă - t, q, p, h și altele.
În acest articol ne vom uita la rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.
Dar mai întâi, să repetăm ce ecuații sunt numite pătratice. O ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde x este o variabilă, iar coeficienții a, b și c sunt niște numere și a ≠ 0 se numește pătrat. După cum vedem, coeficientul pentru x 2 nu este egal cu zero și, prin urmare, coeficienții pentru x sau termenul liber pot fi egali cu zero, caz în care obținem o ecuație pătratică incompletă.
Există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:
1) Dacă b = 0, c ≠ 0, atunci ax 2 + c = 0;
2) Dacă b ≠ 0, c = 0, atunci ax 2 + bx = 0;
3) Dacă b = 0, c = 0, atunci ax 2 = 0.
- Să ne dăm seama cum să rezolvăm ecuații de forma ax 2 + c = 0.
Pentru a rezolva ecuația, mutăm termenul liber c în partea dreaptă a ecuației, obținem
ax 2 = ‒s. Deoarece a ≠ 0, împărțim ambele părți ale ecuației cu a, apoi x 2 = ‒c/a.
Dacă ‒с/а > 0, atunci ecuația are două rădăcini
x = ±√(–c/a) .
Dacă ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Să încercăm să înțelegem cu exemple cum să rezolvăm astfel de ecuații.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația 2x 2 ‒ 32 = 0.
Răspuns: x 1 = - 4, x 2 = 4.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația 2x 2 + 8 = 0.
Răspuns: ecuația nu are soluții.
- Să ne dăm seama cum să o rezolvăm ecuații de forma ax 2 + bx = 0.
Pentru a rezolva ecuația ax 2 + bx = 0, să o factorizăm, adică să scoatem x din paranteze, obținem x(ax + b) = 0. Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal. la zero. Atunci fie x = 0, fie ax + b = 0. Rezolvând ecuația ax + b = 0, obținem ax = - b, de unde x = - b/a. O ecuație de forma ax 2 + bx = 0 are întotdeauna două rădăcini x 1 = 0 și x 2 = ‒ b/a. Vedeți cum arată soluția ecuațiilor de acest tip în diagramă. 
Să ne consolidăm cunoștințele cu un exemplu concret.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația 3x 2 ‒ 12x = 0.
x(3x ‒ 12) = 0
x= 0 sau 3x – 12 = 0
Răspuns: x 1 = 0, x 2 = 4.
- Ecuații de al treilea tip ax 2 = 0 sunt rezolvate foarte simplu.
Dacă ax 2 = 0, atunci x 2 = 0. Ecuația are două rădăcini egale x 1 = 0, x 2 = 0.
Pentru claritate, să ne uităm la diagramă. 
Să ne asigurăm că atunci când rezolvăm exemplul 4, ecuațiile de acest tip pot fi rezolvate foarte simplu.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația 7x 2 = 0.
Răspuns: x 1, 2 = 0.
Nu este întotdeauna clar imediat ce tip de ecuație pătratică incompletă trebuie să rezolvăm. Luați în considerare următorul exemplu.
Exemplul 5. Rezolvați ecuația
Să înmulțim ambele părți ale ecuației cu un numitor comun, adică cu 30
Să-l tăiem
5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.
Să deschidem parantezele
25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.
Să dăm similar
Să mutăm 99 din partea stângă a ecuației la dreapta, schimbând semnul la opus
Răspuns: fără rădăcini.
Ne-am uitat la modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete. Sper că acum nu veți avea dificultăți cu astfel de sarcini. Aveți grijă când determinați tipul de ecuație pătratică incompletă, atunci veți reuși.
Dacă aveți întrebări pe această temă, înscrieți-vă la lecțiile mele, vom rezolva împreună problemele care apar.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.