Înainte de calculatoare, elevii și profesorii calculau manual rădăcinile pătrate. Există mai multe moduri de a calcula manual rădăcina pătrată a unui număr. Unele dintre ele oferă doar o soluție aproximativă, altele oferă un răspuns exact.

Pași

factorizare primara

Factorizați numărul radical în factori care sunt numere pătrate.În funcție de numărul radical, veți obține un răspuns aproximativ sau exact. Numerele pătrate sunt numere din care poate fi extras un număr întreg. Rădăcină pătrată. Factorii sunt numere care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii numărului 8 sunt 2 și 4, deoarece 2 x 4 = 8, numerele 25, 36, 49 sunt numere pătrate, deoarece √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Factori pătrați sunt factori, care sunt numere pătrate. În primul rând, încercați să factorizați numărul radical în factori pătrați.

• De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 400 (de mână). Mai întâi încercați să factorizați 400 în factori pătrați. 400 este un multiplu al lui 100, adică divizibil cu 25 - acesta este un număr pătrat. Împărțirea a 400 la 25 dă 16. Numărul 16 este, de asemenea, un număr pătrat. Astfel, 400 poate fi factorizat în factorii pătrați de 25 și 16, adică 25 x 16 = 400.
• Aceasta poate fi scrisă după cum urmează: √400 = √(25 x 16).

1. Rădăcina pătrată a produsului unor termeni este egală cu produsul rădăcinilor pătrate ale fiecărui termen, adică √(a x b) = √a x √b. Utilizați această regulă pentru a lua rădăcina pătrată a fiecărui factor pătrat și înmulțiți rezultatele pentru a găsi răspunsul.

   • În exemplul nostru, luați rădăcina lui 25 și 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Dacă numărul radical nu se împarte în doi factori pătrați (și acest lucru se întâmplă în majoritatea cazurilor), nu veți putea găsi răspunsul exact sub forma unui număr întreg. Dar puteți simplifica problema prin descompunerea numărului radical într-un factor pătrat și un factor obișnuit (un număr din care nu poate fi luată întreaga rădăcină pătrată). Apoi veți lua rădăcina pătrată a factorului pătrat și veți lua rădăcina factorului comun.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a numărului 147. Numărul 147 nu poate fi factorizat în doi factori pătrați, dar poate fi factorizat în următorii factori: 49 și 3. Rezolvați problema după cum urmează:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Dacă este necesar, estimați valoarea rădăcinii. Acum puteți estima valoarea rădăcinii (găsiți o valoare aproximativă) comparând-o cu valorile rădăcinilor numerelor pătrate care sunt cel mai apropiate (pe ambele părți ale dreptei numerice) de numărul radical. Veți obține valoarea rădăcinii ca zecimal, care trebuie înmulțit cu numărul din spatele semnului rădăcină.

   • Să revenim la exemplul nostru. Numărul radical este 3. Numerele pătrate cele mai apropiate de acesta vor fi numerele 1 (√1 = 1) și 4 (√4 = 2). Astfel, valoarea lui √3 este situată între 1 și 2. Deoarece valoarea lui √3 este probabil mai aproape de 2 decât de 1, estimarea noastră este: √3 = 1,7. Înmulțim această valoare cu numărul de la semnul rădăcinii: 7 x 1,7 = 11,9. Dacă faci calculul pe un calculator, vei obține 12,13, care este destul de aproape de răspunsul nostru.
     • Această metodă funcționează și cu numere mari. De exemplu, luați în considerare √35. Numărul radical este 35. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta vor fi numerele 25 (√25 = 5) și 36 (√36 = 6). Astfel, valoarea lui √35 este situată între 5 și 6. Deoarece valoarea lui √35 este mult mai aproape de 6 decât de 5 (pentru că 35 este doar cu 1 mai mic decât 36), putem spune că √35 este puțin mai mic decât 6 Verificați pe calculator ne dă răspunsul 5.92 - am avut dreptate.

4. O altă modalitate este factorizarea numărului radical în factori primi. Factorii primi sunt numere care sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Scrieți factorii primi într-o serie și găsiți perechi de factori identici. Astfel de factori pot fi scoși din semnul rădăcinii.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 45. Factorăm numărul radical în factori primi: 45 = 9 x 5 și 9 = 3 x 3. Astfel, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 poate fi scos ca semn rădăcină: √45 = 3√5. Acum putem estima √5.
   • Să ne uităm la un alt exemplu: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Ai primit trei multiplicatori de 2; luați câteva dintre ele și mutați-le dincolo de semnul rădăcinii.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Acum puteți evalua √2 și √11 și puteți găsi un răspuns aproximativ.

   Calcularea manuală a rădăcinii pătrate

   Folosind diviziunea lungă

   1. Această metodă implică un proces similar cu diviziunea lungă și oferă un răspuns precis. Mai întâi, trageți o linie verticală care împarte foaia în două jumătăți, apoi la dreapta și puțin sub marginea superioară a foii, trageți o linie orizontală la linia verticală. Acum împărțiți numărul radical în perechi de numere, începând cu partea fracțională după virgulă zecimală. Deci, numărul 79520789182.47897 este scris „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • De exemplu, să calculăm rădăcina pătrată a numărului 780,14. Desenați două linii (cum se arată în imagine) și scrieți numărul dat sub forma „7 80, 14” în stânga sus. Este normal ca prima cifră din stânga să fie o cifră nepereche. Veți scrie răspunsul (rădăcina acestui număr) în dreapta sus.

   2. Pentru prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga, găsiți cel mai mare număr întreg n al cărui pătrat este mai mic sau egal cu perechea de numere (sau un singur număr) în cauză. Cu alte cuvinte, găsiți numărul pătrat care este cel mai apropiat, dar mai mic decât, prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga și luați rădăcina pătrată a acelui număr pătrat; veți obține numărul n. Scrieți n-ul pe care l-ați găsit în dreapta sus și scrieți pătratul lui n în dreapta jos.

      • În cazul nostru, primul număr din stânga va fi 7. În continuare, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Scădeți pătratul numărului n pe care tocmai l-ați găsit din prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga. Scrieți rezultatul calculului sub subtraendă (pătratul numărului n).

      • În exemplul nostru, scădeți 4 din 7 și obțineți 3.

   4. Luați a doua pereche de numere și scrieți-o lângă valoarea obținută la pasul anterior. Apoi dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu adăugarea lui „_×_=".

      • În exemplul nostru, a doua pereche de numere este „80”. Scrieți „80” după 3. Apoi, dublați numărul din dreapta sus dă 4. Scrieți „4_×_=" în dreapta jos.

   5. Completați spațiile libere din dreapta.

      • În cazul nostru, dacă punem numărul 8 în loc de liniuțe, atunci 48 x 8 = 384, care este mai mult de 380. Prin urmare, 8 este un număr prea mare, dar 7 va fi suficient. Scrieți 7 în loc de liniuțe și obțineți: 47 x 7 = 329. Scrieți 7 în dreapta sus - aceasta este a doua cifră din rădăcina pătrată dorită a numărului 780,14.

   6. Scădeți numărul rezultat din numărul curent din stânga. Scrieți rezultatul de la pasul anterior sub numărul curent din stânga, găsiți diferența și scrieți-o sub subtraend.

      • În exemplul nostru, scădeți 329 din 380, care este egal cu 51.

   7. Repetați pasul 4. Dacă perechea de numere care se transferă este partea fracțională a numărului inițial, atunci puneți un separator (virgulă) între părțile întregi și fracționale în rădăcina pătrată necesară în dreapta sus. În stânga, dă-l jos următorul cuplu numere. Dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu adăugarea lui „_×_=".

      • În exemplul nostru, următoarea pereche de numere care va fi eliminată va fi partea fracțională a numărului 780,14, așa că plasați separatorul întregului și al părților fracționale în rădăcina pătrată dorită în dreapta sus. Luați 14 și scrieți-l în stânga jos. Numărul dublu din dreapta sus (27) este 54, așa că scrieți „54_×_=" în dreapta jos.

   8. Repetați pașii 5 și 6. Găsiți cel mai mare număr în locul liniuțelor din dreapta (în loc de liniuțe trebuie să înlocuiți același număr), astfel încât rezultatul înmulțirii să fie mai mic sau egal cu numărul curent din stânga.

      • În exemplul nostru, 549 x 9 = 4941, care este mai mic decât numărul curent din stânga (5114). Scrieți 9 în dreapta sus și scădeți rezultatul înmulțirii din numărul curent din stânga: 5114 - 4941 = 173.

   9. Dacă trebuie să găsiți mai multe zecimale pentru rădăcina pătrată, scrieți câteva zerouri în stânga numărului curent și repetați pașii 4, 5 și 6. Repetați pașii până când obțineți precizia răspunsului (numărul de zecimale) nevoie.

   Înțelegerea procesului

   Pentru a stăpâni această metodă, imaginați-vă numărul a cărui rădăcină pătrată trebuie să o găsiți ca aria pătratului S. În acest caz, veți căuta lungimea laturii L a unui astfel de pătrat. Calculăm valoarea lui L astfel încât L² = S.

   Dați câte o literă pentru fiecare număr din răspuns. Să notăm cu A prima cifră din valoarea lui L (rădăcina pătrată dorită). B va fi a doua cifră, C a treia și așa mai departe.

   Specificați o literă pentru fiecare pereche de primele cifre. Să notăm cu S a prima pereche de cifre din valoarea lui S, cu S b a doua pereche de cifre și așa mai departe.

   Înțelegeți legătura dintre această metodă și împărțirea lungă. La fel ca în diviziune, unde ne interesează doar următoarea cifră a numărului pe care îl împărțim de fiecare dată, atunci când calculăm o rădăcină pătrată, lucrăm secvențial printr-o pereche de cifre (pentru a obține următoarea cifră din valoarea rădăcinii pătrate) .

   1. Luați în considerare prima pereche de cifre Sa a numărului S (Sa = 7 în exemplul nostru) și găsiți rădăcina pătrată a acestuia.În acest caz, prima cifră A a valorii rădăcinii pătrate dorite va fi o cifră al cărei pătrat este mai mic sau egal cu S a (adică căutăm un A astfel încât inegalitatea A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Să presupunem că trebuie să împărțim 88962 la 7; aici primul pas va fi similar: luăm în considerare prima cifră a numărului divizibil 88962 (8) și selectăm cel mai mare număr care, înmulțit cu 7, dă o valoare mai mică sau egală cu 8. Adică căutăm un număr d pentru care inegalitatea este adevărată: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Imaginează-ți mental un pătrat a cărui zonă trebuie să o calculezi. Cauți L, adică lungimea laturii unui pătrat a cărui arie este egală cu S. A, B, C sunt numerele din numărul L. Îl poți scrie altfel: 10A + B = L (pentru un număr din două cifre) sau 100A + 10B + C = L (pentru un număr din trei cifre) și așa mai departe.

      • Lăsa (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Amintiți-vă că 10A+B este un număr în care cifra B reprezintă unități, iar cifra A reprezintă zeci. De exemplu, dacă A=1 și B=2, atunci 10A+B este egal cu numărul 12. (10A+B)² este aria întregului pătrat, 100A²- zona pătratului interior mare, B²- zona pătratului interior mic, 10A×B- aria fiecăruia dintre cele două dreptunghiuri. Adunând zonele figurilor descrise, veți găsi aria pătratului original.

Calcularea (sau extragerea) rădăcinii pătrate se poate face în mai multe moduri, dar toate nu sunt foarte simple. Desigur, este mai ușor să folosești un calculator. Dar dacă acest lucru nu este posibil (sau doriți să înțelegeți esența rădăcinii pătrate), vă pot sfătui să mergeți în felul următor, algoritmul său este următorul:

Dacă nu aveți puterea, dorința sau răbdarea pentru calcule atât de lungi, puteți recurge la o selecție brută; avantajul ei este că este incredibil de rapidă și, cu ingeniozitatea adecvată, precisă. Exemplu:

Când eram la școală (începutul anilor 60), am fost învățați să luăm rădăcina pătrată a oricărui număr. Tehnica este simplă, similară în exterior cu diviziunea lungă, dar pentru a o prezenta aici va necesita o jumătate de oră de timp și 4-5 mii de caractere de text. Dar de ce ai nevoie de asta? Ai un telefon sau alt gadget, nm are un calculator. Există un calculator pe orice computer. Personal, prefer să fac aceste tipuri de calcule în Excel.

Adesea la școală trebuie să găsești rădăcini pătrate numere diferite. Dar dacă suntem obișnuiți să folosim constant un calculator pentru aceasta, atunci la examene acest lucru nu va fi posibil, așa că trebuie să învățăm să căutăm rădăcina fără ajutorul unui calculator. Și acest lucru este, în principiu, posibil de făcut.

Algoritmul este următorul:

Privește mai întâi ultima cifră a numărului tău:

De exemplu,

Acum trebuie să determinăm aproximativ valoarea pentru rădăcina grupului din stânga

În cazul în care un număr are mai mult de două grupuri, atunci trebuie să găsiți rădăcina astfel:

Dar următorul număr ar trebui să fie cel mai mare, trebuie să-l alegeți astfel:

Acum trebuie să formăm un nou număr A adăugând următorul grup la restul obținut mai sus.

În exemplele noastre:

Coloana este mai mare, iar când sunt necesare mai mult de cincisprezece caractere, atunci computerele și telefoanele cu calculatoare se odihnesc cel mai adesea. Rămâne de verificat dacă descrierea tehnicii va lua 4-5 mii de caractere.

Berm orice număr, de la virgulă zecimală numărăm perechi de cifre la dreapta și la stânga

De exemplu, 1234567890.098765432100

O pereche de cifre este ca un număr din două cifre. Rădăcina unei cifre de două cifre este de o cifră. Selectăm o singură cifră al cărei pătrat este mai mic decât prima pereche de cifre. În cazul nostru este 3.

La fel ca atunci când împărțim la o coloană, scriem acest pătrat sub prima pereche și îl scădem din prima pereche. Rezultatul este subliniat. 12 - 9 = 3. Adăugați a doua pereche de numere la această diferență (va fi 334). În stânga numărului de berme, valoarea dublă a acelei părți a rezultatului care a fost deja găsit este completată cu un număr (avem 2 * 6 = 6), astfel încât atunci când este înmulțit cu numărul neobținut, acesta nu nu depășește numărul cu a doua pereche de cifre. Observăm că cifra găsită este cinci. Găsim din nou diferența (9), adăugăm următoarea pereche de cifre pentru a obține 956, scriem din nou partea dublată a rezultatului (70), o completăm din nou cu cifra dorită și așa mai departe până când se oprește. Sau la exactitatea necesară a calculelor.

În primul rând, pentru a calcula rădăcina pătrată, trebuie să cunoașteți bine tabla înmulțirii. Cel mai exemple simple- acesta este 25 (5 cu 5 = 25) și așa mai departe. Dacă luați numere mai complexe, puteți utiliza acest tabel, unde linia orizontală este unități și linia verticală este zeci.



Există o modalitate bună de a găsi rădăcina unui număr fără ajutorul calculatoarelor. Pentru a face acest lucru, veți avea nevoie de o riglă și o busolă. Ideea este că găsești pe riglă valoarea care se află sub rădăcina ta. De exemplu, puneți un semn lângă 9. Sarcina dvs. este să împărțiți acest număr într-un număr egal de segmente, adică în două linii de 4,5 cm fiecare și într-un segment par. Este ușor de ghicit că în final vei obține 3 segmente de câte 3 centimetri fiecare.

Metoda nu este ușoară și nu este potrivită pentru numere mari, dar poate fi calculată fără calculator.

fără ajutorul unui calculator s-a predat metoda de extragere a rădăcinii pătrate vremurile sovietice la scoala in clasa a VIII-a.

Pentru a face acest lucru, trebuie să rupeți număr din mai multe cifre de la dreapta la stânga pe margine sunt 2 cifre :

Prima cifră a rădăcinii este întreaga rădăcină a părții stângi, în acest caz, 5.

Scădem 5 la pătrat din 31, 31-25 = 6 și adăugăm următoarea latură la cele șase, avem 678.

Următoarea cifră x este potrivită cu cinci duble, astfel încât

10x*x a fost maxim, dar mai mic de 678.

x=6, deoarece 106*6 = 636,

Acum calculăm 678 - 636 = 42 și adăugăm următoarea muchie 92, avem 4292.

Din nou, căutăm maximul x astfel încât 112x*x lt; 4292.

Răspuns: rădăcina este 563

Puteți continua în acest fel atâta timp cât este necesar.

În unele cazuri, puteți încerca să descompuneți numărul radical în doi sau mai mulți factori pătrați.

De asemenea, este util să vă amintiți tabelul (sau cel puțin o parte a acestuia) - pătratele numerelor naturale de la 10 la 99.



Vă propun o versiune pe care am inventat-o ​​pentru extragerea rădăcinii pătrate a unei coloane. Se deosebește de cel general cunoscut, cu excepția selecției numerelor. Dar după cum am aflat mai târziu, aceasta metoda exista deja cu mulți ani înainte de a mă naște. A descris-o în cartea sa General Arithmetic sau o carte despre sinteza și analiza aritmetică marele Isaac Newton. Așa că aici vă prezint viziunea și rațiunea mea pentru algoritmul metodei Newton. Nu este nevoie să memorați algoritmul. Puteți utiliza pur și simplu diagrama din figură ca ajutor vizual dacă este necesar.







Cu ajutorul tabelelor, nu puteți calcula, dar găsiți rădăcinile pătrate ale numerelor care sunt în tabele. Cel mai simplu mod de a calcula nu numai rădăcinile pătrate, ci și alte grade, este prin metoda aproximărilor succesive. De exemplu, calculăm rădăcina pătrată a lui 10739, înlocuim ultimele trei cifre cu zero și extragem rădăcina lui 10000, obținem 100 cu un dezavantaj, așa că luăm numărul 102, îl pătratăm, obținem 10404, care este și mai mic. decat cel dat, luam din nou 103*103=10609 cu dezavantaj, luam 103.5*103.5=10712.25, luam si mai mult 103.6*103.6=10732, luam 103.7*103.7=10753.69, care deja este in exces. Puteți considera că rădăcina lui 10739 este aproximativ egală cu 103,6. Mai precis 10739=103.629... . . În mod similar, calculăm rădăcina cubă, mai întâi de la 10000 obținem aproximativ 25*25*25=15625, care este în exces, luăm 22*22*22=10.648, luăm puțin mai mult de 22.06*22.06*22.06=10735 , care este foarte apropiat de cel dat.

Instrucțiuni

Selectați un multiplicator pentru numărul radical, a cărui eliminare de sub rădăcină este într-adevăr o expresie - altfel operația va pierde . De exemplu, dacă se află sub semnul rădăcină cu un exponent egal cu trei (rădăcină cubă), costă număr 128, apoi de sub semn puteți scoate, de exemplu, număr 5. În același timp, radicalul număr 128 va trebui împărțit la 5 cuburi: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Dacă disponibilitate număr fracționar sub semnul rădăcină nu contrazice condițiile problemei, atunci este posibil în această formă. Dacă aveți nevoie de o opțiune mai simplă, atunci mai întâi împărțiți expresia radicală în astfel de factori întregi, rădăcina cubă a unuia dintre care va fi un număr întreg număr m. De exemplu: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Utilizați pentru a selecta factorii unui număr radical dacă nu este posibil să calculați puterile unui număr din capul dvs. Acest lucru este valabil mai ales pentru rădăcină m cu un exponent mai mare de doi. Dacă aveți acces la Internet, puteți efectua calcule folosind calculatoarele încorporate în motoarele de căutare Google și Nigma. De exemplu, dacă trebuie să găsiți cel mai mare factor întreg care poate fi scos de sub semnul cubic rădăcină pentru numărul 250, apoi accesați site-ul web Google și introduceți interogarea „6^3” pentru a verifica dacă este posibil să îl eliminați de sub semn rădăcinăşase. Motorul de căutare va afișa un rezultat egal cu 216. Din păcate, 250 nu poate fi împărțit fără un rest la aceasta număr. Apoi introduceți interogarea 5^3. Rezultatul va fi 125, iar acest lucru vă permite să împărțiți 250 în factori de 125 și 2, ceea ce înseamnă să-l scoateți din semn. rădăcină număr 5, plecând de acolo număr 2.

Surse:

• cum să-l scoți de sub rădăcini
• Rădăcina pătrată a produsului

Scoate-l de dedesubt rădăcină unul dintre factori este necesar în situațiile în care trebuie să simplificați o expresie matematică. Există momente când este imposibil să efectuați calculele necesare folosind un calculator. De exemplu, dacă sunt folosite denumiri de litere pentru variabile în loc de numere.

Instrucțiuni

Descompune expresia radicală în factori simpli. Vedeți care dintre factori se repetă de același număr de ori, indicat în indicatori rădăcină, sau mai mult. De exemplu, trebuie să luați a patra rădăcină a lui a. În acest caz, numărul poate fi reprezentat ca a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Indicator rădăcinăîn acest caz va corespunde cu factor a3. Trebuie scos din semn.

Extrageți separat rădăcina radicalilor rezultați, acolo unde este posibil. Extracţie rădăcină este operația algebrică inversă exponențiației. Extracţie rădăcină a unei puteri arbitrare, găsiți un număr dintr-un număr care, atunci când este ridicat la această putere arbitrară, va avea ca rezultat numărul dat. Dacă extragerea rădăcină nu poate fi produs, lăsați expresia radicală sub semn rădăcină exact așa cum este. Ca urmare a acțiunilor de mai sus, veți fi eliminat de sub semn rădăcină.

Video pe tema

Notă

Aveți grijă când scrieți expresii radicale sub formă de factori - o eroare în această etapă va duce la rezultate incorecte.

Sfaturi utile

Când extrageți rădăcini, este convenabil să folosiți tabele speciale sau tabele de rădăcini logaritmice - acest lucru va reduce semnificativ timpul necesar pentru a găsi decizia corectă.

Surse:

• semn de extracție a rădăcinii în 2019

Simplificarea expresiilor algebrice este necesară în multe domenii ale matematicii, inclusiv rezolvarea ecuațiilor de ordin superior, diferențierea și integrarea. Sunt utilizate mai multe metode, inclusiv factorizarea. Pentru a aplica această metodă, trebuie să găsiți și să faceți un general factor in spate paranteze.

Instrucțiuni

Efectuarea multiplicatorului total paranteze- una dintre cele mai comune metode de descompunere. Această tehnică este folosită pentru a simplifica structura expresiilor algebrice lungi, adică. polinomiale. Numărul general poate fi un număr, un monom sau un binom, iar pentru a-l găsi se folosește proprietatea distributivă a înmulțirii.

Număr. Priviți cu atenție coeficienții fiecărui polinom pentru a vedea dacă pot fi împărțiți la același număr. De exemplu, în expresia 12 z³ + 16 z² – 4 este evident factor 4. După transformare, obțineți 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Cu alte cuvinte, acest număr este cel mai puțin comun divizor întreg al tuturor coeficienților.

Monomial.Determină dacă aceeași variabilă se află în fiecare dintre termenii polinomului. Presupunând că acesta este cazul, acum uitați-vă la coeficienți ca în cazul precedent. Exemplu: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Fiecare element al acestui polinom conține o variabilă z. În plus, toți coeficienții sunt numere care sunt multipli ai lui 3. Prin urmare, factorul comun va fi monomiul 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

Binom.Pentru paranteze general factor din doi, o variabilă și un număr, care este un polinom comun. Prin urmare, dacă factor-binomul nu este evident, atunci trebuie să găsiți cel puțin o rădăcină. Selectați termenul liber al polinomului; acesta este un coeficient fără variabilă. Acum aplicați metoda substituției în expresia generală a tuturor divizorilor întregi ai termenului liber.

Luați în considerare: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Verificați pentru a vedea dacă oricare dintre factorii întregi ai lui 4 sunt z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Prin substituție simplă, găsiți z1 = 1 și z2 = 2, ceea ce înseamnă pentru paranteze putem elimina binoamele (z - 1) și (z - 2). Pentru a găsi expresia rămasă, utilizați diviziunea lungă secvențială.

În matematică, întrebarea cum se extrage o rădăcină este considerată relativ simplă. Dacă pătram numere din seria naturală: 1, 2, 3, 4, 5...n, atunci obținem următoarea serie de pătrate: 1, 4, 9, 16...n 2. Rândul de pătrate este infinit și, dacă te uiți cu atenție la el, vei vedea că nu sunt foarte multe numere întregi în el. De ce este așa, vom explica puțin mai târziu.

Rădăcina unui număr: reguli de calcul și exemple

Deci, am pătrat numărul 2, adică l-am înmulțit cu el însuși și am obținut 4. Cum să extragem rădăcina numărului 4? Să spunem imediat că rădăcinile pot fi pătrate, cubice și orice grad până la infinit.

Puterea rădăcinii este întotdeauna un număr natural, adică este imposibil să rezolvi următoarea ecuație: o rădăcină la puterea lui 3,6 a lui n.

Rădăcină pătrată

Să revenim la întrebarea cum să extragem rădăcina pătrată a lui 4. Deoarece am pătrat numărul 2, vom extrage și rădăcina pătrată. Pentru a extrage corect rădăcina lui 4, trebuie doar să alegeți numărul potrivit care, la pătrat, ar da numărul 4. Și acesta, desigur, este 2. Uitați-vă la exemplu:

• 2 2 =4
• Rădăcina lui 4 = 2

Acest exemplu este destul de simplu. Să încercăm să extragem rădăcina pătrată a lui 64. Ce număr, înmulțit cu el însuși, dă 64? Evident, este 8.

• 8 2 =64
• Rădăcina lui 64=8

Rădăcină cubă

După cum s-a spus mai sus, rădăcinile nu sunt doar pătrate; folosind un exemplu, vom încerca să explicăm mai clar cum să extragem o rădăcină cubă sau o rădăcină de gradul trei. Principiul extragerii unei rădăcini cubice este același cu cel al unei rădăcini pătrate, singura diferență este că numărul necesar a fost inițial înmulțit cu el însuși nu o dată, ci de două ori. Adică, să presupunem că luăm următorul exemplu:

• 3x3x3=27
• Desigur, rădăcina cubă a lui 27 este trei:
• Rădăcina 3 din 27 = 3

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina cubă a lui 64. Pentru a rezolva această ecuație, este suficient să găsiți un număr care, atunci când este ridicat la a treia putere, ar da 64.

• 4 3 =64
• Rădăcina 3 din 64 = 4

Extrageți rădăcina unui număr pe un calculator

Desigur, cel mai bine este să înveți să extragi pătrate, cuburi și alte rădăcini prin practică, rezolvând multe exemple și memorând tabele de pătrate și cuburi de numere mici. În viitor, acest lucru va facilita și va reduce foarte mult timpul necesar pentru rezolvarea ecuațiilor. Deși, trebuie remarcat că uneori este necesar să se extragă rădăcina unui astfel de un numar mare că găsirea pătratului corect ar fi foarte dificilă, dacă este posibil. Un calculator obișnuit va veni în ajutor în extragerea rădăcinii pătrate. Cum se extrage rădăcina de pe un calculator? Introduceți foarte simplu numărul de la care doriți să găsiți rezultatul. Acum aruncați o privire atentă la butoanele calculatorului. Chiar și cel mai simplu dintre ele are o cheie cu o pictogramă rădăcină. Făcând clic pe el, veți obține imediat rezultatul final.

Nu orice număr poate avea o rădăcină întreagă; luați în considerare următorul exemplu:

Rădăcina lui 1859 = 43,116122...

Puteți încerca simultan să rezolvați acest exemplu pe un calculator. După cum puteți vedea, numărul rezultat nu este un întreg; în plus, setul de cifre după virgulă zecimală nu este finit. Calculatoarele speciale de inginerie pot da un rezultat mai precis, dar rezultatul complet pur și simplu nu se potrivește pe afișajul celor obișnuite. Și dacă continuați seria de pătrate pe care ați început-o mai devreme, nu veți găsi în ea numărul 1859 tocmai pentru că numărul care a fost pătrat pentru a-l obține nu este un întreg.

Dacă trebuie să extrageți a treia rădăcină pe un calculator simplu, atunci trebuie să faceți dublu clic pe butonul cu semnul rădăcină. De exemplu, luați numărul 1859 folosit mai sus și luați rădăcina cubă din el:

Rădăcina 3 din 1859 = 6,5662867...

Adică, dacă numărul 6,5662867... este ridicat la a treia putere, atunci obținem aproximativ 1859. Astfel, extragerea rădăcinilor din numere nu este dificilă, trebuie doar să vă amintiți algoritmii de mai sus.

De preferință unul de inginerie - unul care are un buton cu semnul rădăcină: „√”. De obicei, pentru a extrage rădăcina, este suficient să tastați numărul în sine și apoi să apăsați butonul: „√”.

În cele mai moderne telefoane mobile Există o aplicație „calculator” cu o funcție de extragere a rădăcinilor. Procedura pentru găsirea rădăcinii unui număr folosind un calculator de telefon este similară cu cea de mai sus.
Exemplu.
Găsiți de la 2.
Porniți calculatorul (dacă este oprit) și apăsați succesiv butoanele cu imaginea a doi și rădăcină („2” „√”). De regulă, nu trebuie să apăsați tasta „=”. Ca rezultat, obținem un număr ca 1,4142 (numărul de cifre și „rotunjimea” depind de adâncimea de biți și de setările calculatorului).
Notă: Când încercați să găsiți rădăcina, calculatorul dă de obicei o eroare.

Dacă aveți acces la un computer, atunci găsirea rădăcinii unui număr este foarte simplă.
1. Puteți folosi aplicația Calculator, disponibilă pe aproape orice computer. Pentru Windows XP, acest program poate fi lansat după cum urmează:
„Start” - „Toate programele” - „Accesorii” - „Calculator”.
Este mai bine să setați vizualizarea la „normal”. Apropo, spre deosebire de un calculator real, butonul pentru extragerea rădăcinii este marcat „sqrt” și nu „√”.

Dacă nu puteți ajunge la calculator folosind metoda indicată, puteți rula calculatorul standard „manual”:
„Start” - „Run” - „calc”.
2. Pentru a găsi rădăcina unui număr, puteți folosi și unele programe instalate pe computer. În plus, programul are propriul său calculator încorporat.

De exemplu, pentru aplicația MS Excel, puteți efectua următoarea secvență de acțiuni:
Lansați MS Excel.

Scriem în orice celulă numărul din care trebuie să extragem rădăcina.

Mutați indicatorul celulei într-o altă locație

Apăsați butonul de selectare a funcției (fx)

Selectați funcția „ROOT”.

Specificăm o celulă cu un număr ca argument al funcției

Faceți clic pe „OK” sau „Enter”
Avantaj aceasta metoda este că acum este suficient să introduceți orice valoare în celula cu numărul, ca în funcția, .
Notă.
Există câteva alte moduri, mai exotice, de a găsi rădăcina unui număr. De exemplu, într-un „colț”, folosind o regulă de calcul sau tabele Bradis. Cu toate acestea, aceste metode nu sunt discutate în acest articol din cauza complexității și inutilității lor practice.

Video pe tema

Surse:

• cum să găsești rădăcina unui număr

Uneori apar situații când trebuie să efectuați un fel de calcule matematice, inclusiv extragerea rădăcinilor pătrate și a rădăcinilor mai mari ale unui număr. Rădăcina „n” a lui „a” este numărul gradul al n-lea care este numărul „a”.

Instrucțiuni

Pentru a găsi rădăcina „n” a lui , procedați în felul următor.

Pe computer, faceți clic pe „Start” - „Toate programele” - „Accesorii”. Apoi accesați subsecțiunea „Servicii” și selectați „Calculator”. Puteți face acest lucru manual: faceți clic pe Start, tastați „calk” în caseta Run și apăsați Enter. Se va deschide. Pentru a extrage rădăcina pătrată a unui număr, introduceți-o în calculator și apăsați butonul etichetat „sqrt”. Calculatorul va extrage rădăcina de gradul doi, numită rădăcină pătrată, din numărul introdus.

Pentru a extrage o rădăcină al cărei grad este mai mare decât al doilea, trebuie să utilizați un alt tip de calculator. Pentru a face acest lucru, în interfața calculatorului, faceți clic pe butonul „Vizualizare” și selectați linia „Inginerie” sau „Științific” din meniu. Acest tip de calculator are necesarul pentru a calcula rădăcina gradul al n-lea funcţie.

Pentru a extrage rădăcina gradului al treilea (), pe un calculator „de inginerie”, tastați numărul potrivitși apăsați butonul „3√”. Pentru a obține o rădăcină al cărei grad este mai mare de 3, introduceți numărul dorit, apăsați butonul cu pictograma „y√x” și apoi introduceți numărul - exponentul. După aceea, apăsați semnul egal (butonul „=") și veți obține rădăcina dorită.

Dacă calculatorul dumneavoastră nu are funcția „y√x”, următoarele.

Pentru a extrage rădăcina cubului, introduceți expresia radicală, apoi puneți o bifă în caseta de selectare, care se află lângă inscripția „Inv”. Cu această acțiune, veți inversa funcțiile butoanelor calculatorului, adică, făcând clic pe butonul cub, veți extrage rădăcina cubului. Pe butonul pe care tu