Pentru a înțelege ce este sistem fundamental de decizie puteți viziona un tutorial video pentru același exemplu făcând clic. Acum să trecem la descrierea reală a tuturor lucrărilor necesare. Acest lucru vă va ajuta să înțelegeți esența acestei probleme mai detaliat.
Cum să găsiți sistemul fundamental de soluții la o ecuație liniară?
Să luăm ca exemplu acest sistem ecuatii lineare:
Să găsim soluția acestui sistem liniar de ecuații. Pentru început, noi trebuie să scrieți matricea de coeficienți a sistemului.
Să transformăm această matrice într-una triunghiulară. Rescriem prima linie fără modificări. Și toate elementele care sunt sub $a_(11)$ trebuie făcute zero. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(21)$, trebuie să scădeți primul din a doua linie și să scrieți diferența pe a doua linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(31)$, trebuie să scădeți primul din a treia linie și să scrieți diferența pe a treia linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(41)$, trebuie să scădeți primul înmulțit cu 2 din a patra linie și să scrieți diferența pe a patra linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(31)$, trebuie să scădeți primul înmulțit cu 2 din a cincea linie și să scrieți diferența pe a cincea linie. 
Rescriem primul și al doilea rând fără modificări. Și toate elementele care sunt sub $a_(22)$ trebuie făcute zero. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(32)$, trebuie să scădeți pe al doilea înmulțit cu 2 din a treia linie și să scrieți diferența pe a treia linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(42)$, trebuie să scădeți al doilea înmulțit cu 2 din a patra linie și să scrieți diferența pe a patra linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(52)$, trebuie să scădeți al doilea înmulțit cu 3 din a cincea linie și să scrieți diferența în a cincea linie. 
Noi vedem asta ultimele trei rânduri sunt aceleași, deci dacă scădeți a treia din a patra și a cincea, acestea vor deveni zero. 
Conform acestei matrice scrie sistem nou ecuații.
Vedem că avem doar trei ecuații liniar independente și cinci necunoscute, deci sistemul fundamental de soluții va consta din doi vectori. Deci noi trebuie să mutăm ultimele două necunoscute la dreapta.
Acum, începem să exprimăm acele necunoscute care sunt pe partea stângă prin cele care sunt pe partea dreaptă. Începem cu ultima ecuație, mai întâi exprimăm $x_3$, apoi substituim rezultatul rezultat în a doua ecuație și exprimăm $x_2$, apoi în prima ecuație și aici exprimăm $x_1$. Astfel, am exprimat toate necunoscutele care sunt pe partea stângă prin necunoscutele care sunt pe partea dreaptă. 
Apoi, în loc de $x_4$ și $x_5$, putem înlocui orice numere și găsim $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Fiecare cinci dintre aceste numere va fi rădăcinile sistemului nostru original de ecuații. Pentru a găsi vectorii care sunt incluși în FSR trebuie să înlocuim 1 în loc de $x_4$ și să înlocuim 0 în loc de $x_5$, să găsim $x_1$, $x_2$ și $x_3$ și apoi invers $x_4=0$ și $x_5=1$.
Lăsa M 0 – mulţime de soluţii la un sistem omogen (4) de ecuaţii liniare.
Definiția 6.12. Vectori Cu 1 ,Cu 2 , …, cu p, care sunt soluții ale unui sistem omogen de ecuații liniare se numesc set fundamental de soluții(abreviat FNR), dacă
1) vectori Cu 1 ,Cu 2 , …, cu p liniar independent (adică, niciunul dintre ele nu poate fi exprimat în termenii celorlalți);
2) orice altă soluție a unui sistem omogen de ecuații liniare poate fi exprimată în termeni de soluții Cu 1 ,Cu 2 , …, cu p.
Rețineți că dacă Cu 1 ,Cu 2 , …, cu p– orice f.n.r., apoi expresia k 1× Cu 1 + k 2× Cu 2 + … + k p× cu p puteți descrie întregul set M 0 soluții la sistemul (4), așa că se numește vedere generală a soluției sistemului (4).
Teorema 6.6. Orice sistem omogen nedeterminat de ecuații liniare are un set fundamental de soluții.
Modul de a găsi setul fundamental de soluții este următorul:
Găsi decizie comună sistem omogen de ecuații liniare;
Construi ( n – r) soluții parțiale ale acestui sistem, în timp ce valorile necunoscutelor libere trebuie să formeze o matrice de identitate;
Scrieți forma generala solutii incluse in M 0 .
Exemplul 6.5. Găsiți un set fundamental de soluții pentru următorul sistem:
Soluţie. Să găsim o soluție generală pentru acest sistem.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Există cinci necunoscute în acest sistem ( n= 5), dintre care există două necunoscute principale ( r= 2), există trei necunoscute libere ( n – r), adică setul soluție fundamentală conține trei vectori soluție. Să le construim. Avem X 1 și X 3 – principalele necunoscute, X 2 , X 4 , X 5 – necunoscute gratuite
Valorile necunoscutelor gratuite X 2 , X 4 , X 5 formează matricea de identitate E ordinul al treilea. Am acei vectori Cu 1 ,Cu 2 , Cu 3 forma f.n.r. a acestui sistem. Atunci setul de soluții al acestui sistem omogen va fi M 0 = {k 1× Cu 1 + k 2× Cu 2 + k 3× Cu 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).
Să aflăm acum condițiile de existență a soluțiilor nenule ale unui sistem omogen de ecuații liniare, cu alte cuvinte, condițiile de existență a unui set fundamental de soluții.
Un sistem omogen de ecuații liniare are soluții diferite de zero, adică este incert dacă
1) rangul matricei principale a sistemului număr mai mic necunoscut;
2) într-un sistem omogen de ecuații liniare, numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute;
3) dacă într-un sistem omogen de ecuații liniare numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, iar determinantul matricei principale este egal cu zero (adică | A| = 0).
Exemplul 6.6. La ce valoare a parametrului A sistem omogen de ecuații liniare 
are soluții diferite de zero?
Soluţie. Să compunem matricea principală a acestui sistem și să găsim determinantul acestuia: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Determinantul acestei matrice este egal cu zero la A = –4.
Răspuns: –4.
7. Aritmetica n-spațiu vectorial dimensional
Noțiuni de bază
În secțiunile anterioare am întâlnit deja conceptul de mulțime de numere reale situate în într-o anumită ordine. Aceasta este o matrice de rând (sau matrice de coloană) și o soluție a unui sistem de ecuații liniare cu n necunoscut. Aceste informații pot fi rezumate.
Definiție 7.1. n-vector aritmetic dimensional numit un set ordonat de n numere reale.
Mijloace A= (a 1, a 2, …, a n), unde un iО R, i = 1, 2, …, n– vedere generală a vectorului. Număr n numit dimensiune vectori și numere a i sunt numite ale lui coordonate.
De exemplu: A= (1, –8, 7, 4, ) – vector cincidimensional.
Toate gata n vectorii -dimensionali se notează de obicei ca Rn.
Definiție 7.2. Doi vectori A= (a 1, a 2, …, a n) Și b= (b 1 , b 2 , …, b n) de aceeași dimensiune egal dacă și numai dacă coordonatele lor corespunzătoare sunt egale, adică a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Definiție 7.3.Cantitate Două n-vectori dimensionali A= (a 1, a 2, …, a n) Și b= (b 1 , b 2 , …, b n) se numește vector A + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+ b n).
Definiție 7.4. Munca numar real k a vector A= (a 1, a 2, …, a n) se numește vector k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)
Definiție 7.5. Vector O= (0, 0, …, 0) se numește zero(sau vector nul).
Este ușor de verificat că acțiunile (operațiile) de adunare a vectorilor și de înmulțire a acestora cu un număr real au următoarele proprietăți: " A, b, c Î Rn, " k, lО R:
1) A + b = b + A;
2) A + (b+ c) = (A + b) + c;
3) A + O = A;
4) A+ (–A) = O;
5) 1× A = A, 1 О R;
6) k×( l× A) = l×( k× A) = (l× k)× A;
7) (k + l)× A = k× A + l× A;
8) k×( A + b) = k× A + k× b.
Definiție 7.6. O multime de Rn cu operatiile de adunare a vectorilor si inmultirea lor cu un numar real dat pe acesta se numeste spațiu vectorial n-dimensional aritmetic.
Se numește un sistem de ecuații liniare în care toți termenii liberi sunt egali cu zero omogen :
Orice sistem omogen este întotdeauna consistent, din moment ce a fost întotdeauna zero (banal ) soluție. Se pune întrebarea în ce condiții va avea un sistem omogen o soluție netrivială.
Teorema 5.2.Un sistem omogen are o soluție netrivială dacă și numai dacă rangul matricei de bază este mai mic decât numărul necunoscutelor sale.
Consecinţă. Un sistem omogen pătrat are o soluție netrivială dacă și numai dacă determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero.
Exemplul 5.6. Determinați valorile parametrului l la care sistemul are soluții netriviale și găsiți următoarele soluții:
Soluţie. Acest sistem va avea o soluție netrivială atunci când determinantul matricei principale este egal cu zero:
Astfel, sistemul este non-trivial când l=3 sau l=2. Pentru l=3, rangul matricei principale a sistemului este 1. Apoi, lăsând o singură ecuație și presupunând că y=AȘi z=b, primim x=b-a, adică
Pentru l=2, rangul matricei principale a sistemului este 2. Apoi, alegând minorul ca bază:
obținem un sistem simplificat
De aici aflăm că x=z/4, y=z/2. crezând z=4A, primim
Setul tuturor soluțiilor unui sistem omogen are o foarte importantă proprietate liniară : dacă coloanele X 1 și X 2 - soluții la un sistem omogen AX = 0, apoi orice combinație liniară a acestora A X 1 + b X 2 va fi, de asemenea, o soluție pentru acest sistem. Într-adevăr, din moment ce TOPOR 1 = 0 Și TOPOR 2 = 0 , Acea A(A X 1 + b X 2) = a TOPOR 1 + b TOPOR 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Din cauza acestei proprietăți, dacă un sistem liniar are mai multe soluții, atunci va exista un număr infinit de aceste soluții.
Coloane liniar independente E 1 , E 2 , Ek, care sunt soluții ale unui sistem omogen, se numesc sistem fundamental de soluții sistem omogen de ecuații liniare dacă soluția generală a acestui sistem poate fi scrisă ca o combinație liniară a acestor coloane:
Dacă un sistem omogen are n variabile, iar rangul matricei principale a sistemului este egal cu r, Acea k = n-r.
Exemplul 5.7. Găsiți sistemul fundamental de soluții pentru următorul sistem de ecuații liniare:
Soluţie. Să găsim rangul matricei principale a sistemului:
Astfel, mulțimea soluțiilor acestui sistem de ecuații formează un subspațiu liniar de dimensiune n-r= 5 - 2 = 3. Să alegem minor ca bază
.
Apoi, lăsând doar ecuațiile de bază (restul va fi o combinație liniară a acestor ecuații) și variabilele de bază (restul, așa-numitele variabile libere le mutăm spre dreapta), obținem un sistem simplificat de ecuații:
crezând X 3 = A, X 4 = b, X 5 = c, găsim
, 
.
crezând A= 1, b = c= 0, obținem prima soluție de bază; crezând b= 1, a = c= 0, obținem a doua soluție de bază; crezând c= 1, a = b= 0, obținem a treia soluție de bază. Ca rezultat, sistemul fundamental normal de soluții va lua forma
Folosind sistemul fundamental, soluția generală a unui sistem omogen poate fi scrisă ca
X = aE 1 + fi 2 + cE 3. A
Să notăm câteva proprietăți ale soluțiilor unui sistem neomogen de ecuații liniare AX=Bși relația lor cu sistemul omogen de ecuații corespunzător AX = 0.
Soluție generală a unui sistem neomogeneste egală cu suma soluției generale a sistemului omogen corespunzător AX = 0 și a unei soluții particulare arbitrare a sistemului neomogen. Într-adevăr, să Y 0 este o soluție particulară arbitrară a unui sistem neomogen, adică AY 0 = B, Și Y- solutie generala a unui sistem eterogen, i.e. AY=B. Scăzând o egalitate din cealaltă, obținem
A(A-Y 0) = 0, adică A-Y 0 este soluția generală a sistemului omogen corespunzător TOPOR=0. Prin urmare, A-Y 0 = X, sau Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Fie sistemul neomogen să aibă forma AX = B 1 + B 2 . Atunci soluția generală a unui astfel de sistem poate fi scrisă ca X = X 1 + X 2 , unde AX 1 = B 1 și AX 2 = B 2. Această proprietate exprimă proprietatea universală a oricărui sisteme liniare(algebric, diferențial, funcțional etc.). În fizică această proprietate se numește principiul suprapunerii, în inginerie electrică și radio - principiul suprapunerii. De exemplu, în teoria circuitelor electrice liniare, curentul din orice circuit poate fi obținut ca sumă algebrică a curenților provocați de fiecare sursă de energie separat.
Matrici date
Găsiți: 1) aA - bB,
Soluţie: 1) O găsim secvențial, folosind regulile de înmulțire a unei matrice cu un număr și de adunare de matrici.
2. Găsiți A*B dacă
Soluţie: Folosim regula de înmulțire a matricei
Răspuns: 
3. Pentru o matrice dată, găsiți M 31 minor și calculați determinantul.
Soluţie: Minor M 31 este determinantul matricei care se obține din A
după tăierea liniei 3 și a coloanei 1. Găsim
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Să transformăm matricea A fără a-i schimba determinantul (să facem zerouri în rândul 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Acum calculăm determinantul matricei A prin expansiune de-a lungul rândului 1
Răspuns: M 31 = 0, detA = 0
Rezolvați folosind metoda Gauss și metoda Cramer.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Soluţie: Sa verificam
Puteți folosi metoda lui Cramer
Rezolvarea sistemului: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Să aplicăm metoda Gaussiană.
Să reducem matricea extinsă a sistemului la formă triunghiulară.
Pentru a ușura calculul, să schimbăm liniile:
Înmulțiți a doua linie cu (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) și adăugați la al treilea:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Înmulțiți prima linie cu (k = -2 / 2 = -1 ) și adăugați la al doilea:
Acum sistemul original poate fi scris ca:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
Din a 2-a linie exprimăm
Din prima linie exprimăm
Soluția este aceeași.
Răspuns: (2; -5; 3)
Găsiți soluția generală a sistemului și a FSR
13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Soluţie: Să aplicăm metoda Gaussiană. Să reducem matricea extinsă a sistemului la formă triunghiulară.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Înmulțiți prima linie cu (-11). Înmulțiți a doua linie cu (13). Să adăugăm a doua linie la prima:
| -2 | -2 | -3 | ||
Înmulțiți a doua linie cu (-5). Să înmulțim a treia linie cu (11). Să adăugăm a treia linie la a doua:
Înmulțiți a treia linie cu (-7). Să înmulțim a patra linie cu (5). Să adăugăm a 4-a linie la a 3-a:
A doua ecuație este o combinație liniară a celorlalte
Să găsim rangul matricei.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Minorul selectat are cel mai mare ordin (dintre posibili minori) și este diferit de zero (este egal cu produsul elementelor de pe diagonala inversă), prin urmare rang(A) = 2.
Acest minor este de bază. Include coeficienți pentru necunoscutele x 1 , x 2 , ceea ce înseamnă că necunoscutele x 1 , x 2 sunt dependente (de bază) și x 3 , x 4 , x 5 sunt libere.
Sistemul cu coeficienții acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma:
18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Folosind metoda eliminării necunoscutelor, găsim decizie comună:
x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5
x 1 = - 1 / 3 x 3
Găsim un sistem fundamental de soluții (FSD), care constă din (n-r) soluții. În cazul nostru, n=5, r=2, prin urmare, sistemul fundamental de soluții este format din 3 soluții, iar aceste soluții trebuie să fie liniar independente.
Pentru ca rândurile să fie liniar independente, este necesar și suficient ca rangul matricei compuse din elemente de rând să fie egal cu numărul de rânduri, adică 3.
Este suficient să dați necunoscutele libere x 3 , x 4 , x 5 valori din liniile determinantului de ordinul 3, diferit de zero, și să calculați x 1 , x 2 .
Cel mai simplu determinant diferit de zero este matricea de identitate.
Dar este mai convenabil să luați aici
Găsim folosind soluția generală:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ
I decizia FSR: (-2; -4; 6; 0;0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ
Soluția II FSR: (0; -6; 0; 6;0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
a III-a decizie a FSR: (0; - 9; 0; 0;6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)
6. Având în vedere: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Aflați: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2
Soluţie: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Răspuns: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i
Vom continua să ne lustruim tehnologia transformări elementare pe sistem omogen de ecuații liniare.
Pe baza primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și mediocru, dar această impresie este înșelătoare. Pe lângă dezvoltarea ulterioară a tehnicilor tehnice, vor fi multe informație nouă, așa că încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.
Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?
Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toata lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:
Este absolut clar că un sistem omogen este întotdeauna consistent, adică are întotdeauna o soluție. Și, în primul rând, ceea ce îți atrage atenția este așa-zisul banal soluţie 
. Trivial, pentru cei care nu înțeleg deloc sensul adjectivului, înseamnă fără o prezentare. Nu din punct de vedere academic, desigur, dar inteligibil =) ...De ce să ne batem prin tufiș, să aflăm dacă acest sistem are alte soluții:
Exemplul 1
Soluţie: pentru a rezolva un sistem omogen este necesar să se scrie matricea sistemului iar cu ajutorul transformărilor elementare aduceți-o într-o formă treptat. Vă rugăm să rețineți că aici nu este nevoie să scrieți bara verticală și coloana zero a termenilor liberi - la urma urmei, indiferent ce faceți cu zerouri, acestea vor rămâne zero: 
(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –3.
(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.
Împărțirea celei de-a treia rânduri la 3 nu are prea mult sens.
Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent 
, și, aplică cursa inversă Metoda lui Gauss, este ușor de verificat că soluția este unică.
Răspuns: 
Să formulăm un criteriu evident: un sistem omogen de ecuaţii liniare are doar o solutie banala, Dacă rangul matricei sistemului(în acest caz 3) este egal cu numărul de variabile (în acest caz – 3 bucăți).
Să ne încălzim și să ne acordăm radioul la valul de transformări elementare:
Exemplul 2
Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare 
Pentru a consolida în sfârșit algoritmul, să analizăm sarcina finală:
Exemplul 7
Rezolvați un sistem omogen, scrieți răspunsul în formă vectorială. 
Soluţie: să notăm matricea sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă treptat: 
(1) Semnul primei linii a fost schimbat. Încă o dată atrag atenția asupra unei tehnici care a fost întâlnită de multe ori, care vă permite să simplificați semnificativ următoarea acțiune.
(1) Prima linie a fost adăugată la rândurile a 2-a și a 3-a. Prima linie, înmulțită cu 2, a fost adăugată la a patra linie.
(3) Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele au fost eliminate.
Ca rezultat, se obține o matrice standard de etape, iar soluția continuă de-a lungul pistei moletate:
– variabile de bază;
– variabile libere.
Să exprimăm variabilele de bază în termeni de variabile libere. Din a 2-a ecuație:
– înlocuiți în prima ecuație:
Deci solutia generala este:
Deoarece în exemplul luat în considerare există trei variabile libere, sistemul fundamental conține trei vectori.
Să înlocuim un triplu de valori 
în soluția generală și obțineți un vector ale cărui coordonate satisfac fiecare ecuație a sistemului omogen. Și din nou, repet că este foarte recomandabil să verificați fiecare vector primit - nu va dura mult timp, dar vă va proteja complet de erori.
Pentru un triplu de valori 
găsi vectorul
Și în sfârșit pentru cei trei 
obținem al treilea vector:
Răspuns: , Unde
Cei care doresc să evite valorile fracționale pot lua în considerare tripleți 
și obțineți un răspuns în formă echivalentă:
Apropo de fracții. Să ne uităm la matricea obținută în problemă 
și să ne întrebăm: este posibil să simplificăm soluția ulterioară? La urma urmei, aici am exprimat mai întâi variabila de bază prin fracții, apoi prin fracții variabila de bază și, trebuie să spun, acest proces nu a fost cel mai simplu și nici cel mai plăcut.
A doua soluție:
Ideea este sa incerci alegeți alte variabile de bază. Să ne uităm la matrice și să observăm două în coloana a treia. Deci de ce să nu ai un zero în vârf? Să realizăm încă o transformare elementară: