Pe lângă studierea variației unei caracteristici în întreaga populație în ansamblu, este adesea necesară urmărirea modificărilor cantitative ale caracteristicii în grupurile în care este împărțită populația, precum și între grupuri. Acest studiu al variației se realizează prin calcul și analiză tipuri variate variaţiile.
Există variații totale, intergrup și intragrup.
Varianta totala σ 2 măsoară variația unei trăsături în întreaga populație sub influența tuturor factorilor care au determinat această variație.

Varianta intergrup (δ) caracterizează variația sistematică, adică. diferenţe de valoare a trăsăturii studiate care apar sub influenţa trăsăturii factoriale care formează baza grupului. Se calculează folosind formula:
.

Varianta în cadrul grupului (σ) reflectă variația aleatorie, adică parte a variației care apare sub influența factorilor necontabiliați și nu depinde de atributul-factorial care formează baza grupului. Se calculează prin formula:
.

Media variațiilor în cadrul grupului: .

Există o lege care leagă 3 tipuri de dispersie. Varianța totală este egală cu suma mediei variației în interiorul grupului și între grupuri: .
Acest raport se numește regula pentru adăugarea variațiilor.

Un indicator utilizat pe scară largă în analiză este proporția varianței între grupuri în varianța totală. Se numeste coeficient empiric de determinare (η 2): .
Se numește rădăcina pătrată a coeficientului empiric de determinare raportul de corelație empirică (η):
.
Caracterizează influența caracteristicii care formează baza grupului asupra variației caracteristicii rezultate. Raportul de corelație empirică variază de la 0 la 1.
Să o arătăm uz practic folosind următorul exemplu (Tabelul 1).

Exemplul nr. 1. Tabelul 1 - Productivitatea muncii a două grupuri de lucrători într-unul din atelierele ONG „Ciclon”

Să calculăm mediile și variațiile globale și de grup:

Datele inițiale pentru calcularea mediei variației intragrup și intergrup sunt prezentate în tabel. 2.
masa 2
Calcul și δ 2 pentru două grupuri de lucrători.

Grupuri de muncitori	Număr de muncitori, oameni	Mediu, copii/schimb	Dispersia
Pregătire tehnică finalizată	5	95	42,0
Cei care nu au absolvit pregătirea tehnică	5	81	231,2
Toți muncitorii	10	88	185,6

Să calculăm indicatorii. Media variațiilor în cadrul grupului:
.
Varianta intergrup

Varianta totala:
Astfel, raportul de corelație empirică: .

Odată cu variația caracteristicilor cantitative, pot fi observate și variații în caracteristicile calitative. Acest studiu al variației se realizează prin calcularea următoarelor tipuri de variații:

Dispersia în interiorul grupului a cotei este determinată de formulă

Unde n i– numărul de unități în grupuri separate.
Ponderea caracteristicii studiate în întreaga populație, care este determinată de formula:
Cele trei tipuri de varianță sunt legate între ele, după cum urmează:
.

Această relație de varianțe se numește teorema de adunare a varianțelor cotei de trăsătură.

Conform sondajului prin sondaj, deponenții au fost grupați în funcție de mărimea depozitului lor în Sberbank a orașului:

Defini:

1) domeniul de aplicare;

2) mărimea medie a depozitului;

3) medie abatere liniară;

4) dispersie;

5) abaterea standard;

6) coeficientul de variație al contribuțiilor.

Soluţie:

Această serie de distribuție conține intervale deschise. Într-o astfel de serie, valoarea intervalului primului grup se presupune în mod convențional a fi egală cu valoarea intervalului următorului, iar valoarea intervalului ultimul grup egală cu valoarea intervalului anterior.

Valoarea intervalului celui de-al doilea grup este egală cu 200, prin urmare, valoarea primului grup este, de asemenea, egală cu 200. Valoarea intervalului penultimului grup este egală cu 200, ceea ce înseamnă că și ultimul interval va au o valoare de 200.

1) Să definim intervalul de variație ca diferența dintre cel mai mare și cea mai mică valoare semn:

Gama de variație a mărimii depozitului este de 1000 de ruble.

2) Mărimea medie a contribuției va fi determinată folosind formula medie aritmetică ponderată.

Să determinăm mai întâi valoarea discretă a atributului în fiecare interval. Pentru a face acest lucru, folosind formula medie aritmetică simplă, găsim punctele medii ale intervalelor.

Valoarea medie a primului interval va fi:

al doilea - 500 etc.

Să introducem rezultatele calculului în tabel:

Suma depozitului, frecați.	Numărul deponenților, f	Mijlocul intervalului, x	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
Total	400	-	312000

Depozitul mediu în Sberbank a orașului va fi de 780 de ruble:

3) Abaterea liniară medie este media aritmetică a abaterilor absolute ale valorilor individuale ale unei caracteristici față de media generală:

Procedura de calcul a abaterii liniare medii în seria de distribuție a intervalului este următoarea:

1. Se calculează media aritmetică ponderată, conform paragrafului 2).

2. Se determină abaterile absolute de la medie:

3. Abaterile rezultate se înmulțesc cu frecvențele:

4. Aflați suma abaterilor ponderate fără a ține cont de semnul:

5. Suma abaterilor ponderate este împărțită la suma frecvențelor:

Este convenabil să utilizați tabelul de date de calcul:

Suma depozitului, frecați.	Numărul deponenților, f	Mijlocul intervalului, x
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
Total	400	-	-	-	81280

Abaterea liniară medie a mărimii depozitului clienților Sberbank este de 203,2 ruble.

4) Dispersia este media aritmetică a abaterilor pătrate ale fiecărui atribut de la media aritmetică.

Calculul varianței în seria de distribuție a intervalelor se realizează folosind formula:

Procedura de calcul a variației în acest caz este următoarea:

1. Determinați media aritmetică ponderată, așa cum se arată în paragraful 2).

2. Găsiți abateri de la medie:

3. Pătrat abaterea fiecărei opțiuni de la medie:

4. Înmulțiți pătratele abaterilor cu ponderile (frecvențele):

5. Însumați produsele rezultate:

6. Suma rezultată se împarte la suma greutăților (frecvențelor):

Să punem calculele într-un tabel:

Suma depozitului, frecați.	Numărul deponenților, f	Mijlocul intervalului, x
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
Total	400	-	-	-	23040000

Cu toate acestea, această caracteristică singură nu este suficientă pentru a studia o variabilă aleatorie. Să ne imaginăm doi trăgători trăgând la o țintă. Unul trage cu precizie și lovește aproape de centru, în timp ce celălalt... se distrează și nici măcar nu țintește. Dar ce e amuzant este că el in medie rezultatul va fi exact același cu primul shooter! Această situație este ilustrată în mod convențional de următoarele variabile aleatoare:

Așteptarea matematică „lunetist” este egală cu , însă, pentru „persoana interesantă”: – este și zero!

Astfel, este necesar să se cuantifice cât de departe risipite marcatori (valori ale variabilelor aleatorii) relativ la centrul tinta ( așteptări matematice). bine si împrăștiere tradus din latină nu este altfel decât dispersie .

Să vedem cum se determină acest lucru caracteristica numerica folosind unul dintre exemplele din prima parte a lecției:

Acolo am găsit o așteptare matematică dezamăgitoare a acestui joc, iar acum trebuie să calculăm varianța acestuia, care notat cu prin .

Să aflăm cât de mult sunt „împrăștiate” câștigurile/pierderile față de valoarea medie. Evident, pentru asta trebuie să calculăm diferențeîntre valori ale variabilelor aleatoare si ea așteptări matematice:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Acum se pare că trebuie să rezumați rezultatele, dar acest mod nu este potrivit - din cauza faptului că fluctuațiile la stânga se vor anula reciproc cu fluctuații la dreapta. Deci, de exemplu, un trăgător „amator”. (exemplu de mai sus) diferențele vor fi , iar atunci când sunt adăugate vor da zero, așa că nu vom obține nicio estimare a dispersiei împușcării sale.

Pentru a ocoli această problemă, puteți lua în considerare module diferențe, dar din motive tehnice abordarea a prins rădăcini atunci când sunt pătrate. Este mai convenabil să formulați soluția într-un tabel:

Și aici se cere să calculeze medie ponderată valoarea abaterilor pătrate. Ce este? Este a lor valorea estimata, care este o măsură a împrăștierii:

– definiție variaţiile. Din definiție reiese imediat că varianța nu poate fi negativă– ia notă pentru practică!

Să ne amintim cum să găsim valoarea așteptată. Înmulțiți diferențele la pătrat cu probabilitățile corespunzătoare (continuare tabel):
– la sens figurat, aceasta este „forța de tracțiune”,
și rezumați rezultatele:

Nu crezi că, în comparație cu câștigurile, rezultatul s-a dovedit a fi prea mare? Așa este - l-am pătrat și pentru a reveni la dimensiunea jocului nostru, trebuie să extragem Rădăcină pătrată. Această cantitate se numește deviație standard și este notat cu litera greacă „sigma”:

Această valoare este uneori numită deviație standard .

Care este sensul lui? Dacă ne abatem de la așteptarea matematică la stânga și la dreapta prin abaterea standard:

– atunci cele mai probabile valori ale variabilei aleatoare vor fi „concentrate” pe acest interval. Ce observăm de fapt:

Cu toate acestea, se întâmplă că atunci când se analizează împrăștierea se operează aproape întotdeauna cu conceptul de dispersie. Să ne dăm seama ce înseamnă în legătură cu jocuri. Dacă în cazul săgeților vorbim despre „precizia” lovirilor în raport cu centrul țintei, atunci dispersia caracterizează două lucruri:

În primul rând, este evident că pe măsură ce pariurile cresc, și dispersia crește. Deci, de exemplu, dacă creștem de 10 ori, atunci așteptarea matematică va crește de 10 ori, iar varianța va crește de 100 de ori (deoarece aceasta este o cantitate pătratică). Dar rețineți că regulile jocului în sine nu s-au schimbat! Doar ratele s-au schimbat, aproximativ vorbind, înainte de a paria 10 ruble, acum sunt 100.

Al doilea punct, mai interesant, este că variația caracterizează stilul de joc. Fixați mental pariurile jocului la un anumit nivel, și să vedem ce este:

Un joc cu variație scăzută este un joc precaut. Jucătorul tinde să aleagă cele mai de încredere scheme, unde nu pierde/câștigă prea mult la un moment dat. De exemplu, sistemul roșu/negru la ruletă (vezi exemplul 4 al articolului Variabile aleatoare) .

Joc cu variație mare. Ea este numită des dispersive joc. Acesta este un stil de joc aventuros sau agresiv, în care jucătorul alege scheme de „adrenalină”. Să ne amintim măcar "Martingala", în care sumele puse în joc sunt ordine de mărime mai mari decât jocul „liniștit” de la punctul precedent.

Situația în poker este orientativă: există așa-zise strâmt jucători care au tendința de a fi precauți și „tremurați” cu privire la fondurile lor de jocuri (rulaj bancar). Nu este surprinzător, bankroll-ul lor nu fluctuează semnificativ (varianță scăzută). Dimpotrivă, dacă un jucător are o variație mare, atunci el este un agresor. Adesea își asumă riscuri, face pariuri mari și poate fie să spargă o bancă uriașă, fie să piardă în frânturi.

Același lucru se întâmplă în Forex și așa mai departe - există o mulțime de exemple.

Mai mult, în toate cazurile, nu contează dacă jocul este jucat pentru bani sau mii de dolari. Fiecare nivel are jucătorii săi cu dispersie scăzută și mare. Ei bine, după cum ne amintim, câștigul mediu este „responsabil” valorea estimata.

Probabil ați observat că găsirea variației este un proces lung și minuțios. Dar matematica este generoasă:

Formula pentru găsirea varianței

Această formulă este derivată direct din definiția varianței și o punem imediat în uz. Voi copia semnul cu jocul nostru de mai sus:

și așteptarea matematică găsită.

Să calculăm varianța în al doilea mod. Mai întâi, să găsim așteptarea matematică - pătratul variabilei aleatoare. De determinarea așteptărilor matematice:

În acest caz:

Astfel, conform formulei:

După cum se spune, simți diferența. Și în practică, desigur, este mai bine să utilizați formula (cu excepția cazului în care condiția cere altfel).

Stăpânim tehnica de rezolvare și proiectare:

Exemplul 6

Găsiți așteptările sale matematice, varianța și abaterea standard.

Această sarcină se găsește peste tot și, de regulă, nu are sens semnificativ.
Vă puteți imagina mai multe becuri cu cifre care se aprind într-un cămin de nebuni cu anumite probabilități :)

Soluţie: Este convenabil să rezumați calculele de bază într-un tabel. Mai întâi, scriem datele inițiale în primele două rânduri. Apoi calculăm produsele, apoi și în final sumele din coloana din dreapta:

De fapt, aproape totul este gata. A treia linie arată o așteptare matematică gata făcută: .

Calculăm varianța folosind formula:

Și în sfârșit, abaterea standard:
– Personal, de obicei rotunjesc la 2 zecimale.

Toate calculele pot fi efectuate pe un calculator sau chiar mai bine - în Excel:

E greu să greșești aici :)

Răspuns:

Cei care doresc își pot simplifica și mai mult viața și pot profita de mine calculator (demo), care nu numai că va rezolva instantaneu această problemă, ci și va construi grafică tematică (o sa ajungem acolo in curand). Programul poate fi descărcați din bibliotecă– dacă ați descărcat cel puțin unul material educativ, sau obține altă cale. Vă mulțumim pentru susținerea proiectului!

Câteva sarcini de rezolvat singur:

Exemplul 7

Calculați varianța variabilei aleatoare din exemplul anterior prin definiție.

ȘI exemplu similar:

Exemplul 8

O variabilă aleatorie discretă este specificată de legea sa de distribuție:

Da, valorile variabilelor aleatoare pot fi destul de mari (exemplu din munca adevarata) , și aici, dacă este posibil, folosiți Excel. Așa cum, apropo, în Exemplul 7 - este mai rapid, mai fiabil și mai plăcut.

Soluții și răspunsuri în partea de jos a paginii.

La sfârșitul celei de-a doua părți a lecției, ne vom uita la încă una sarcină tipică, s-ar putea spune chiar, un mic rebus:

Exemplul 9

O variabilă aleatoare discretă poate lua doar două valori: și , și . Probabilitatea, așteptările matematice și varianța sunt cunoscute.

Soluţie: Să începem cu o probabilitate necunoscută. Deoarece o variabilă aleatoare poate lua doar două valori, suma probabilităților evenimentelor corespunzătoare este:

iar de atunci .

Rămâne doar să găsești..., e ușor de spus :) Dar ei bine, iată. Prin definiția așteptărilor matematice:
– înlocuirea cantităților cunoscute:

– și nimic mai mult nu poate fi stors din această ecuație, cu excepția faptului că o puteți rescrie în direcția obișnuită:

sau:

Cred că poți ghici următorii pași. Să compunem și să rezolvăm sistemul:

zecimale- aceasta, desigur, este o rușine totală; înmulțiți ambele ecuații cu 10:

si imparti la 2:

Asa e mai bine. Din prima ecuație exprimăm:
(aceasta este calea mai ușoară)– înlocuiți în a doua ecuație:

Construim pătratși faceți simplificări:

Înmulțit cu:

Rezultatul a fost ecuație pătratică, găsim că este discriminant:
- Grozav!

și obținem două soluții:

1) dacă , Acea ;

2) dacă , Acea .

Condiția este îndeplinită de prima pereche de valori. Cu o probabilitate mare, totul este corect, dar, cu toate acestea, să notăm legea distribuției:

și efectuați o verificare, și anume, găsiți așteptarea:

Principalii indicatori generalizatori ai variației statisticilor sunt dispersiile și abaterile standard.

Dispersia aceasta medie aritmetică abaterile pătrate ale fiecărei valori caracteristice de la media generală. Varianta se numește de obicei pătratul mediu al abaterilor și se notează cu  2. În funcție de datele sursă, varianța poate fi calculată folosind media aritmetică simplă sau ponderată:

 varianță neponderată (simple);

 varianță ponderată.

Deviație standard aceasta este o caracteristică generalizantă a dimensiunilor absolute variatii semne în ansamblu. Se exprimă în aceleași unități de măsură ca și atributul (în metri, tone, procente, hectare etc.).

Abaterea standard este rădăcina pătrată a varianței și se notează cu :

 abaterea standard neponderată;

 abaterea standard ponderată.

Abaterea standard este o măsură a fiabilității mediei. Cu cât abaterea standard este mai mică, cu atât media aritmetică reflectă mai bine întreaga populație reprezentată.

Calculul abaterii standard este precedat de calculul varianței.

Procedura de calcul a variației ponderate este următoarea:

1) determinați media aritmetică ponderată:

2) calculați abaterile opțiunilor de la medie:

3) la pătrat abaterea fiecărei opțiuni de la medie:

4) înmulțiți pătratele abaterilor cu greutăți (frecvențe):

5) rezumați produsele rezultate:

6) suma rezultată se împarte la suma greutăților:

Exemplul 2.1

Să calculăm media aritmetică ponderată:

Valorile abaterilor de la medie și pătratele lor sunt prezentate în tabel. Să definim varianța:

Abaterea standard va fi egală cu:

Dacă datele sursă sunt prezentate sub formă de interval serie de distribuție , atunci trebuie mai întâi să determinați valoarea discretă a atributului și apoi să aplicați metoda descrisă.

Exemplul 2.2

Să arătăm calculul varianței pentru o serie de intervale folosind date despre distribuția suprafeței însămânțate a unei ferme colective în funcție de randamentul grâului.

Media aritmetica este:

Să calculăm varianța:

6.3. Calculul varianței folosind o formulă bazată pe date individuale

Tehnica de calcul variaţiile complicat, dar valori mari opțiunile și frecvențele pot fi copleșitoare. Calculele pot fi simplificate folosind proprietățile dispersiei.

Dispersia are următoarele proprietăți.

1. Reducerea sau creșterea greutăților (frecvențelor) unei caracteristici variabile de un anumit număr de ori nu modifică dispersia.

2. Scădeți sau creșteți fiecare valoare a unei caracteristici cu aceeași cantitate constantă A nu modifică dispersia.

3. Scădeți sau creșteți fiecare valoare a unei caracteristici de un anumit număr de ori k respectiv reduce sau mărește varianța în k de 2 ori deviație standard  în k o singura data.

4. Dispersia unei caracteristici în raport cu o valoare arbitrară este întotdeauna mai mare decât dispersia în raport cu media aritmetică pe pătrat a diferenței dintre valorile medii și arbitrare:

Dacă A 0, atunci ajungem la următoarea egalitate:

adică varianța caracteristicii este egală cu diferența dintre pătratul mediu al valorilor caracteristice și pătratul mediei.

Fiecare proprietate poate fi utilizată independent sau în combinație cu altele atunci când se calculează varianța.

Procedura de calcul a varianței este simplă:

1) determina medie aritmetică :

2) la pătrat media aritmetică:

3) la pătrat abaterea fiecărei variante a seriei:

X i 2 .

4) găsiți suma pătratelor opțiunilor:

5) împărțiți suma pătratelor opțiunilor la numărul lor, adică determinați pătratul mediu:

6) determinați diferența dintre pătratul mediu al caracteristicii și pătratul mediei:

Exemplul 3.1 Următoarele date sunt disponibile despre productivitatea lucrătorilor:

Să facem următoarele calcule:

Dispersia în statistică se găsește ca valori individuale ale caracteristicii la pătrat din . În funcție de datele inițiale, se determină folosind formulele de varianță simple și ponderate:

1. (pentru date negrupate) se calculează folosind formula:

2. Varianta ponderată (pentru seriile de variații):

unde n este frecvența (repetabilitatea factorului X)

Un exemplu de găsire a varianței

Această pagină descrie un exemplu standard de găsire a varianței, puteți, de asemenea, să vă uitați la alte probleme pentru a o găsi

Exemplul 1. Următoarele date sunt disponibile pentru un grup de 20 de elevi departamentul de corespondență. Trebuie să construiești serie de intervale distribuția unei caracteristici, calculați valoarea medie a caracteristicii și studiați varianța acesteia

Să construim o grupare de intervale. Să determinăm intervalul intervalului folosind formula:

unde X max este valoarea maximă a caracteristicii de grupare;
X min – valoarea minimă a caracteristicii de grupare;
n – numărul de intervale:

Acceptăm n=5. Pasul este: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Să creăm o grupare de intervale

Pentru calcule suplimentare, vom construi un tabel auxiliar:

X'i este mijlocul intervalului. (de exemplu, mijlocul intervalului 159 – 165,6 = 162,3)

Determinăm înălțimea medie a elevilor folosind formula medie aritmetică ponderată:

Să determinăm varianța folosind formula:

Formula de dispersie poate fi transformată după cum urmează:

Din această formulă rezultă că varianța este egală cu diferența dintre media pătratelor opțiunilor și pătratul și media.

Varianta in serie de variații Cu la intervale egale prin metoda momentelor se poate calcula în felul următor folosind a doua proprietate a dispersiei (împărțirea tuturor opțiunilor la valoarea intervalului). Determinarea varianței, calculat folosind metoda momentelor, folosind următoarea formulă este mai puțin laborioasă:

unde i este valoarea intervalului;
A este un zero convențional, pentru care este convenabil să se folosească mijlocul intervalului cu cea mai mare frecvență;
m1 este pătratul momentului de ordinul întâi;
m2 - moment de ordinul doi

(dacă într-o populație statistică o caracteristică se modifică în așa fel încât există doar două opțiuni care se exclud reciproc, atunci o astfel de variabilitate se numește alternativă) poate fi calculată folosind formula:

Înlocuind q = 1- p în această formulă de dispersie, obținem:

Tipuri de variație

Varianta totala măsoară variația unei caracteristici la nivelul întregii populații în ansamblu sub influența tuturor factorilor care provoacă această variație. Este egal cu pătratul mediu al abaterilor valorilor individuale ale unei caracteristici x de la valoarea medie globală a lui x și poate fi definită ca varianță simplă sau varianță ponderată.

caracterizează variația aleatoare, adică parte a variației care se datorează influenței factorilor necontabiliați și nu depinde de atributul-factorial care formează baza grupului. O astfel de dispersie este egală cu pătratul mediu al abaterilor valorilor individuale ale atributului din grupul X de la media aritmetică a grupului și poate fi calculată ca dispersie simplă sau ca dispersie ponderată.

Prin urmare, măsuri de variație în cadrul grupului variația unei trăsături în cadrul unui grup și este determinată de formula:

unde xi este media grupului;
ni este numărul de unități din grup.

De exemplu, variațiile intragrup care trebuie determinate în sarcina de a studia influența calificărilor lucrătorilor asupra nivelului productivității muncii într-un atelier arată variații ale producției în fiecare grup cauzate de toți factorii posibili (starea tehnică a echipamentului, disponibilitatea instrumente și materiale, vârsta lucrătorilor, intensitatea muncii etc.), cu excepția diferențelor de categorie de calificare (în cadrul unui grup toți lucrătorii au aceleași calificări).

Media variațiilor în interiorul grupului reflectă aleatorie, adică acea parte a variației care a avut loc sub influența tuturor celorlalți factori, cu excepția factorului de grupare. Se calculează folosind formula:

Caracterizează variația sistematică a caracteristicii rezultate, care se datorează influenței factorului-semn care formează baza grupului. Este egal cu pătratul mediu al abaterilor mediilor grupului de la media generală. Varianta intergrup este calculată folosind formula:

Regula pentru adăugarea variației în statistici

Conform regula pentru adăugarea variațiilor varianta totala egală cu suma mediei variațiilor în interiorul grupului și între grupuri:

Sensul acestei reguli este că varianța totală care apare sub influența tuturor factorilor este egală cu suma varianțelor care apar sub influența tuturor celorlalți factori și varianța care apare datorită factorului de grupare.

Folosind formula pentru adăugarea variațiilor, puteți determina cu doi dispersii cunoscute al treilea este necunoscut și, de asemenea, judecă puterea influenței caracteristicii de grupare.

Proprietăți de dispersie

1. Dacă toate valorile unei caracteristici sunt reduse (mărește) cu aceeași cantitate constantă, atunci dispersia nu se va modifica.
2. Dacă toate valorile unei caracteristici sunt reduse (mărește) de același număr de ori n, atunci varianța va scădea (crește) în mod corespunzător de n^2 ori.