A existat o altă abordare, neobișnuită, pentru a descrie tehnica de schi, care, de asemenea, NU este asociată cu mișcările din sistemul de balamale corespunzătoare părților corpului schiorului. Se bazează pe modelul unui pendul inversat, numit și pendul inversat sau pendul Whitney.
Acesta este un obiect foarte interesant mecanică teoretică, problema lui Whitney a fost formulată inițial după cum urmează: să presupunem că pe un cărucior este instalat un pendul de material inversat, căruciorul se mișcă în linie dreaptă, dar NU uniform. Este necesar să găsiți poziția inițială a pendulului astfel încât să NU cadă pe cărucior dacă dependența vitezei de timp este cunoscută dinainte, iar derivata a 2-a a acestuia este continuă.

Problema Whitney este încă de interes pentru matematicieni, dar problema inversă este mult mai importantă: controlul dinamic al mișcării căruciorului, astfel încât pendulul să mențină o poziție inițială dată sau să oscileze în jurul acesteia. Această sarcină este importantă pentru robotică, navigație, automatizarea producției, orientare nava spatiala, se realizează și în timpul mersului normal.
Problema poate fi însă generalizată: la un pendul cu 2 grade de libertate, al cărui suport se deplasează pe o traiectorie arbitrară, curbilinie, cu viteză variabilă, dar și sub condiția continuității a 2 derivate. Cel mai simplu exemplu de pendul invers generalizat: puneți o tijă lungă pe palmă și țineți-o într-o poziție instabilă, mișcându-vă mâna pe o traiectorie arbitrară.
Dacă generalizăm mai departe, putem realiza un pendul cu lungime variabilă: în acest caz, frecvența sa naturală se va schimba, sarcina devine mult mai dificilă. Acesta este deja un model general de echilibru instabil sistem mecanic, de exemplu un bărbat pe frânghie. Dar această sarcină poate fi formulată și diferit: să asigure echilibrul pendulului, cu deplasarea neuniformă a suportului de-a lungul unui traseu curbat dat, prin modificarea activă a înclinării și lungimii pendulului. Vedem: în această formulare, sarcina corespunde pe deplin mișcării schiorului de-a lungul pârtiei!
S-a dovedit că în 1973, matematicianul polonez Janusz Morawski a descris mecanica unui schior folosind un pendul invers, dar această lucrare a fost uitată timp de 40 de ani.

Modelul lui J. Morawski nu a fost perfect: nu a ținut cont de alunecarea laterală a suportului pendulului, care era necesară în echipamentul de schi la începutul anilor ’70. Dar sportivi moderni nivel inalt, tehnica nu mai este legată de alunecare, iar modelul se potrivește mai mult cu realitatea.
Noi cercetări asupra pendulului invers au început cu rezolvarea unei probleme înguste, practice: simplificarea experimentelor în studiul echipamentului de schi. De obicei, pentru a studia mișcările schiorilor, este necesar să se înregistreze continuu poziția acesteia, iar multe forțe care acționează asupra schiurilor și schiorul însuși necesită echipamente complexe și pregătire îndelungată experimente.

În 2013, Matthias Gilgien, un cunoscut specialist în mecanica schiurilor, a demonstrat că dacă se cunoaște traiectoria centrului de masă față de suprafața zăpezii, atunci folosind modelul pendulului invers generalizat se poate calcula traiectoria schiurilor, ca precum și toate forțele care acționează în timpul coborârii. Ca rezultat, toate echipamentele complexe de măsurare pot fi înlocuite cu un navigator GPS convențional!
Experimentul s-a realizat cu un navigator geodez care operează folosind metoda de navigare diferențială, cu o precizie de determinare a coordonatelor: 1 cm în plan orizontal și 2 cm în vertical. A fost folosit și un model de teren 3D detaliat, obținut cu ajutorul unui scanner geodezic. Acum, pentru unele zone din SUA și Europa, există hărți prin satelit 3D de precizie similară în domeniul public, aria lor de acoperire se extinde rapid.

Tinand cont de microrelieful, care se schimba continuu pe panta, precizia inaltimilor este de 10-20 cm, alea. un ordin de mărime mai mic decât precizia de navigare. Antena navigatorului a fost amplasată pe casca schiorului, poziția COM a fost calculată pe baza rezultatelor anterioare ale lui Robert Reid, care a aflat că printre sportivii de la nivel național, COM nu se abate departe de linia dreaptă care trece prin mijlocul gâtului și mijlocul distanței dintre schiuri. Iar schiorul, la întoarcere, încearcă să-și țină capul vertical, mijlocul gâtului este aproximativ sub antenă. Distanța „suprafață-CM” este întotdeauna de aproximativ 0,45-0,5 din distanța „suprafață-cap”, uneori CM se poate abate de la această poziție, dar ținând cont de acuratețea reprezentării suprafeței, erori în calcularea poziției CM nu sunt semnificative, abaterile puternice apar doar la greșeli grosolane cu pierderea echilibrului.

Dacă un schior este descris de un model de pendul invers generalizat, cu o lungime variabilă, atunci dintr-o traiectorie cunoscută și viteza CM față de suprafață, este posibil să se calculeze unghiurile abaterii sale de la poziția verticală, astfel încât pendulul să nu cadă. Puteți obține și traiectoria de sprijin: puncte la mijlocul distanței dintre suporturile de schi. Și din poziția CM față de suport, se poate obține centrarea schiorului pe direcția longitudinală și înclinarea către centrul de rotație, deși este imposibil să se calculeze poziția părților corpului și a relativului încărcarea schiurilor.
În paralel cu măsurătorile GPS, la locul de control au fost instalate echipamente convenționale, care sunt utilizate în studiile echipamentului de schi cu ajutorul metodelor MOCAP, bazate pe un model al sistemului de balamale, cu calculul dinamicii părților corpului folosindu-se de mult timp dovedit. metode. Au fost apoi comparate datele culese cu privire la mișcarea CM: s-au dovedit a fi foarte apropiate, există discrepanțe puternice doar în zonele dintre viraje, în care lungimea pendulului se modifică brusc în timpul descărcarii.

Dar sarcina nu s-a limitat la construirea unui nou model al mișcării CM, independent de poziția schiorului: nimeni nu are nevoie de asta! Scop practic: pe baza modelului pendul invers, obținerea forțelor externe care acționează asupra schiorului și schiurilor: reacția suprafeței, rezistența la zăpadă și rezistența aerodinamică. Dr. M. Gilgien și colaboratorii săi au obținut ecuațiile pentru toate forțele și le-au comparat cu valorile care au fost calculate din dinamica părților corpului. În graficul de reacție a suprafeței luat ca exemplu: curba albastră arată forța calculată din modelul pendulului invers, curba roșie din modelul sistemului de balamale ca referință.

Omul de știință elvețian, Rolf Adelsberger, a efectuat un experiment similar, dar a măsurat și deformarea schiurilor în timpul coborârii, folosind senzori lipiți de schiuri. Rezultatele măsurătorilor au corespuns forțelor, care au fost calculate și pe baza datelor GPS, conform metodei lui M. Gilgien, aceasta dovedește corectitudinea metodei.

Matematicianul sloven Boyan Nemec a studiat și modelul pendulului invers cu sportivi din echipa națională a Sloveniei, dar a instalat o antenă pe gâtul schiorului pentru a aproxima mai bine poziția CM. A obținut o ecuație pentru unghiul spațial de înclinare: în funcție de accelerațiile efective și de lungimea pendulului.

Vedem: ecuația este mult mai complexă decât formulele simple de unghi care se discută constant pe site-urile de schi! Dar această ecuație a fost obținută pe baza datelor experimentale și corespunde mai precis proceselor reale care au loc în timpul coborârii. S-a primit si un amendament pt definiție precisă poziția CM, dar s-a dovedit: nu este foarte mare și se potrivește cu precizia măsurătorilor de suprafață, așa cum sugerase anterior M. Gilgien.

Profesorul B. Nemets a observat și discrepanțe puternice în zonele de descărcare și a sugerat: eroarea este asociată cu legea liniară a modificării lungimii pendulului. Dacă introduceți elasticitatea longitudinală, lungimea se va modifica neliniar, iar erorile vor scădea brusc. Dar, în același timp, pendulul va primi un nou grad de libertate: lungimea va tinde spre oscilații armonice, acest lucru necesită o reelaborare completă a modelului, B. Nemets plănuiește să facă acest lucru în următoarele lucrări. problema principala: introducerea coeficientului de elasticitate, de care depinde frecventa naturala a vibratiilor longitudinale, deoarece este posibil ca si valoarea coeficientului sa nu fie constanta.

În acest caz, se poate obține un nou efect: dacă suportul pendulului vibrează pe direcție verticală, cu o frecvență mare și amplitudine mică, atunci apare o forță suplimentară care menține pendulul în echilibru vertical: acest fenomen a fost descoperit de P. Kapitsa și a determinat frecvența minimă a oscilațiilor și amplitudinea limită a acestora. Ca răspuns la o singură lovitură pe o suprafață elastică, apar oscilații amortizate; prin urmare, un pendul invers montat pe un suport elastic va fi de asemenea în echilibru, dar foarte un timp scurt după impact: înainte ca oscilaţiile să se stingă. Un fenomen similar este posibil cu o schimbare bruscă a sarcinii pe schiuri, dar elasticitatea lor longitudinală depinde de cantitatea de îndoire, sarcina devine și mai complicată.

Dar nici calcularea forțelor nu a fost scopul final: dr. M. Gilgien a primit încărcături pe genunchii schiorului, ceea ce poate duce la leziuni articulare. Metoda lui face posibilă obținerea unei evaluări a traseului, din punct de vedere al siguranței, doar pe baza datelor GPS în timpul trecerilor de control.
O altă direcție este, ca întotdeauna, crearea unui instrument pentru antrenori care afișează continuu dinamica schiorului, care este ascunsă observației directe: condiții de echilibru, accelerații și forțe efective. Această metodă nu necesită echipamente complexe, costisitoare, deoarece chiar și un receptor GPS foarte scump este de câteva ori mai ieftin decât sistemele MOCAP, sau senzorii inerțiali, și este mult mai ușor de utilizat.

V-om vedea: veche idee, pentru a descrie echipamentul de schi fără legătură cu mișcările schiorului, nu este încă uitat, în ciuda apariției noilor tehnologii. Este posibil să ne luăm rămas bun de la drăgălașii cai sferici devreme.

Mult succes si echilibru!

Material de pe Wikipedia - enciclopedia liberă

Un pendul inversat este un pendul care are un centru de masă deasupra punctului său de sprijin, atașat la capătul unei tije rigide. Adesea, punctul de sprijin este fixat pe un cărucior, care poate fi deplasat orizontal. În timp ce un pendul normal atârnă constant în jos, un pendul invers este în mod inerent instabil și trebuie să fie echilibrat în mod constant pentru a rămâne vertical, fie prin aplicarea unui cuplu la punctul de sprijin, fie prin deplasarea acestuia pe orizontală, ca parte a feedback-ului sistemului. O simplă demonstrație ar fi echilibrarea unui creion pe capătul degetului.

Revizuire

Pendulul inversat este o problemă clasică în teoria dinamicii și controlului și este utilizat pe scară largă ca reper pentru testarea algoritmilor de control (controlere PID, rețele neuronale, control fuzzy etc.).

Problema pendulului invers este legată de ghidarea rachetei, deoarece motorul rachetei este situat sub centrul de greutate, provocând instabilitate. Aceeași problemă este rezolvată, de exemplu, în Segway, un dispozitiv de transport cu autoechilibrare.

O altă modalitate de a stabiliza un pendul invers este de a oscila rapid baza într-un plan vertical. În acest caz, puteți face fără feedback. Dacă oscilațiile sunt suficient de puternice (în termeni de accelerație și amplitudine), atunci pendulul invers se poate stabiliza. Dacă un punct în mișcare oscilează în funcție de oscilații armonice simple, atunci mișcarea pendulului este descrisă de funcția Mathieu.

Ecuații de mișcare

Cu un punct de sprijin fix

Ecuația mișcării este similară cu un pendul drept, cu excepția faptului că semnul poziției unghiulare este măsurat din poziția verticală a echilibrului instabil:

$\backslash ddot\; \backslash theta\; -\; (g\; \backslash over\; \backslash ell)\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; 0$

Când este tradus, va avea același semn de accelerație unghiulară:

$\backslash ddot\; \backslash theta\; =\; (g\; \backslash over\; \backslash ell)\; \backslash sin\; \backslash theta$

Astfel, pendulul invers va accelera de la echilibrul vertical instabil în sens opus, iar accelerația va fi invers proporțională cu lungimea. Un pendul înalt cade mai încet decât un pendul scurt.

Pendul pe cărucior

Ecuațiile de mișcare pot fi obținute folosind ecuațiile lui Lagrange. Vorbim despre figura de mai sus, unde $\backslash theta(t)$ lungimea unghiului pendulului $l$în raport cu verticala şi forţa acţionantă a gravitaţiei şi forțe externe $F$ in directia $X$. Să definim $x(t)$ pozitia caruciorului. lagrangiană $L\; =\; T\; -\; V$ sisteme:

L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\theta Unde $v\_1$ este viteza căruciorului și $v\_2$- viteza unui punct material $m$. $v\_1$Și $v\_2$ poate fi exprimat prin $X$Și $\backslash theta$ prin scrierea vitezei ca derivată întâi a poziţiei.

v_1^2=\punct x^2

v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x-\ell\sin\theta\right))\right)^2 + \left((\frac(d)(dt) ))(\left(\ell\cos\theta \right))\right)^2 Simplificarea unei expresii $v\_2$ conduce la:

v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Lagrangianul este determinat acum de formula:

L = \frac(1)(2) \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac(1)(2) m \ ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \thetași ecuațiile de mișcare:

\frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot x)) - (\partial(L)\over \partial x) = F

\frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot \theta)) - (\partial(L)\over \partial \theta) = 0 Substituţie $L$în aceste expresii cu simplificarea ulterioară duce la ecuații care descriu mișcarea unui pendul invers:

\left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F

\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta Aceste ecuații sunt neliniare, dar din moment ce scopul sistemului de control este de a menține pendulul vertical, ecuațiile pot fi liniarizate luând $\backslash theta\backslash aproximativ\; 0$.

Pendul cu bază oscilantă

Ecuația de mișcare pentru un astfel de pendul este legată de o bază oscilantă fără masă și se obține în același mod ca și pentru un pendul pe cărucior. Poziția unui punct material este determinată de formula:

$\backslash left(-\backslash ell\; \backslash sin\; \backslash theta\; ,\; y\; +\; \backslash ell\; \backslash cos\; \backslash theta\; \backslash right)$

iar viteza se găsește prin derivata întâi a poziției:

$v^2=\backslash dot\; y^2-2\; \backslash ell\; \backslash dot\; y\; \backslash dot\; \backslash theta\; \backslash sin\; \backslash theta\; +\; \backslash ell^2\backslash dot\; \backslash theta\; ^2.$ $$

\ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = -(A \over \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta.

Această ecuație nu are o soluție elementară în formă închisă, dar poate fi studiată în mai multe direcții. Este aproape de ecuația lui Mathieu, de exemplu, când amplitudinea oscilațiilor este mică. Analiza arată că pendulul rămâne vertical în timpul oscilațiilor rapide. Primul grafic arată asta cu fluctuații lente $y$, pendulul cade rapid după părăsirea unei poziții verticale stabile.
Dacă $y$ oscilează rapid, pendulul poate fi stabil lângă o poziție verticală. Cel de-al doilea grafic arată că, după ce a părăsit o poziție verticală stabilă, pendulul începe acum să oscileze în jurul poziției verticale ( $\backslash theta\; =\; 0$).Abaterea de la poziția verticală rămâne mică, iar pendulul nu cade.

Aplicație

Un exemplu este echilibrarea oamenilor și a obiectelor, cum ar fi în acrobații sau în monociclul. Și, de asemenea, un Segway - un scuter electric cu autoechilibrare cu două roți. Pendulul inversat a fost o componentă centrală în dezvoltarea mai multor seismografe timpurii.

Vezi si

Legături

• D. Liberzon Comutarea în sisteme și control(2003 Springer) pp. 89 și urm

Lectură în continuare

• Franklin; et al. (2005). Controlul prin feedback al sistemelor dinamice, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Scrieți o recenzie despre articolul „Pendul inversat”

Legături

Un fragment care caracterizează Pendulul invers

„Acesta este fratele lui Bezukhova, Anatol Kuragin”, a spus ea, arătând spre frumosul paznic de cavalerie care a trecut pe lângă ei, privind undeva de la înălțimea capului ridicat peste doamne. - Cat de bine! nu-i așa? Ei spun că îl vor căsători cu această femeie bogată. Și sosul tău, Drubetskoy, este, de asemenea, foarte confuz. Se spune că milioane. „De ce, este chiar trimisul francez”, a răspuns ea despre Caulaincourt când contesa a întrebat cine este. - Arată ca un fel de rege. Dar totuși, francezii sunt drăguți, foarte drăguți. Fără mile pentru societate. Și iată-o! Nu, Marya Antonovna noastră este cea mai bună! Și cât de simplu îmbrăcat. Minunat! „Și acesta gras, cu ochelari, este un farmacist de talie mondială”, a spus Peronskaya, arătând spre Bezukhov. „Pune-l lângă soția ta: e un prost!”
Pierre mergea, clătinându-și corpul gras, despărțind mulțimea, dând din cap în dreapta și în stânga la fel de dezinvolt și de bună fire ca și cum ar fi mers prin mulțimea unui bazar. S-a mișcat prin mulțime, căutând evident pe cineva.
Natasha se uită cu bucurie la fața cunoscută a lui Pierre, acest bufon de mazăre, cum îl numea Peronskaya, și știa că Pierre îi căuta pe ei, și mai ales pe ea, în mulțime. Pierre i-a promis că va fi la bal și o va prezenta domnilor.
Dar, înainte de a ajunge la ei, Bezukhoy s-a oprit lângă o brunetă scundă, foarte frumoasă, în uniformă albă, care, stând la fereastră, stătea de vorbă cu un bărbat înalt în stele și panglică. Natasha l-a recunoscut imediat pe bărbatul scund tânărîntr-o uniformă albă: era Bolkonsky, care i se părea foarte întinerit, vesel și mai drăguț.
– Iată un alt prieten, Bolkonsky, vezi, mamă? - spuse Natasha, arătând spre prințul Andrei. – Amintiți-vă, a petrecut noaptea cu noi la Otradnoye.
- O, îl cunoști? – spuse Peronskaya. - Ură. Il fait a present la pluie et le beau temps. [Ploioasa sau vreme buna. (Proverb francez care înseamnă că are succes.)] Și atâta mândrie încât nu există granițe! Am urmat exemplul tatălui meu. Și l-am contactat pe Speransky, scriu niște proiecte. Uite cum sunt tratate doamnele! „Vorbește cu el, dar el s-a întors”, a spus ea, arătând spre el. „L-aș fi bătut dacă s-ar fi tratat cu mine așa cum le-a tratat pe aceste doamne.”

Deodată totul a început să se miște, mulțimea a început să vorbească, s-a mișcat, s-a îndepărtat din nou, iar între cele două rânduri despărțite, la sunetul muzicii, a intrat suveranul. Stăpânul și gazda l-au urmat. Împăratul a mers repede, înclinându-se la dreapta și la stânga, parcă ar fi încercat să scape repede de acest prim minut al întâlnirii. Muzicienii au cântat Polskoy, cunoscut atunci după cuvintele compuse pe el. Aceste cuvinte au început: „Alexander, Elisabeta, ne încânți...” Împăratul a intrat în sufragerie, mulțimea s-a turnat la uși; mai multe feţe cu expresii schimbate se plimbau în grabă înainte şi înapoi. Mulțimea a fugit din nou de la ușile sufrageriei, în care a apărut suveranul, vorbind cu gazda. Un tânăr cu o privire confuză a călcat pe doamne, cerându-le să se dea deoparte. Unele doamne cu fețe care exprimă o totală uitare față de toate condițiile lumii, stricându-și toaletele, au apăsat înainte. Bărbații au început să se apropie de doamne și să formeze perechi de polonezi.
Totul s-a despărțit, iar suveranul, zâmbind și conducând de mână pe stăpâna casei, a ieșit pe ușa sufrageriei. În spatele lui a venit proprietarul cu M.A. Naryshkina, apoi trimiși, miniștri, diverși generali, pe care Peronskaya i-a tot chemat. Mai mult de jumătate dintre doamne aveau domni și mergeau sau se pregăteau să meargă la Polskaya. Natasha a simțit că a rămas cu mama ei și Sonya printre minoritatea de doamne care au fost împinse la zid și nu au fost luate în Polskaya. Stătea în picioare cu brațele ei subțiri atârnând în jos și cu pieptul ușor definit ridicându-se constant, ținându-și respirația, ochii ei strălucitori, înspăimântați, priveau înaintea ei, cu o expresie de pregătire pentru cea mai mare bucurie și cea mai mare tristețe. Nu era interesată nici de suveran, nici de toate persoanele importante cărora le-a subliniat Peronskaya - ea a avut un gând: „Este cu adevărat posibil ca nimeni să nu vină la mine, chiar nu voi dansa printre primii, vor toate acestea? bărbații care sunt acum nu mă observă?” Se pare că nici măcar nu mă văd, iar dacă se uită la mine, se uită cu o asemenea expresie de parcă ar spune: Ah! nu este ea, nu e nimic de urmărit. Nu, asta nu poate fi! - ea credea. „Ar trebui să știe cât de mult vreau să dansez, cât de grozav sunt la dans și cât de distractiv va fi pentru ei să danseze cu mine.”
Sunetele polonezilor, care au continuat destul de mult timp, începeau deja să sune triste - o amintire în urechile Natasha. A vrut să plângă. Peronskaya s-a îndepărtat de ei. Contele se afla în celălalt capăt al holului, Contesa, Sonya și ea stăteau singure ca într-o pădure în această mulțime străină, neinteresantă și inutilă pentru nimeni. Prințul Andrey a trecut pe lângă ei cu o doamnă, evident că nu le-a recunoscut. Frumosul Anatole, zâmbind, i-a spus ceva doamnei pe care o conducea și s-a uitat la fața Natașei cu aceeași privire cu care se privește pe pereți. Boris a trecut pe lângă ei de două ori și s-a întors de fiecare dată. Berg și soția lui, care nu dansau, s-au apropiat de ei.
Natasha a găsit această legătură de familie aici la minge ofensivă, de parcă nu ar exista alt loc pentru conversații în familie decât la bal. Nu a ascultat și nici nu a privit-o pe Vera, care îi spunea ceva despre rochia ei verde.
În cele din urmă, suveranul s-a oprit lângă ultima lui doamnă (dansa cu trei), muzica s-a oprit; adjutantul preocupat a alergat spre Rostovi, cerându-le să se lase în altă parte, deși stăteau lângă perete și din cor se auziră sunetele distincte, precaute și măsurate fascinant ale unui vals. Împăratul privea publicul zâmbind. A trecut un minut și nimeni nu începuse încă. Managerul adjutant s-a apropiat de contesa Bezukhova și a invitat-o. Ea și-a ridicat mâna, zâmbind, și a pus-o, fără să se uite la el, pe umărul adjutantului. Managerul adjutant, un maestru al meșteșugului său, încrezător, încet și măsurat, îmbrățișându-și strâns doamna, a pornit mai întâi cu ea pe o cale de alunecare, de-a lungul marginii cercului și a luat-o la colțul holului. mâna stângă, o întoarse și din cauza sunetelor mereu accelerate ale muzicii, nu se auzeau decât clicurile măsurate ale pintenilor picioarelor rapide și dibace ale adjutantului, iar la fiecare trei bătăi la cotitură, rochia fluturată de catifea a doamnei sale părea. să se aprindă. Natasha se uită la ei și era gata să plângă că nu ea dansa această primă rundă de vals.
Prințul Andrei, în uniforma lui albă (cavalerie) de colonel, în ciorapi și pantofi, vioi și vesel, stătea în primele rânduri ale cercului, nu departe de Rostovi. Baronul Firgof a vorbit cu el despre presupusa primă întâlnire de mâine consiliu de stat. Prințul Andrei, ca persoană apropiată lui Speransky și participând la lucrările comisiei legislative, ar putea oferi informații corecte despre întâlnirea de mâine, despre care au existat diverse zvonuri. Dar n-a ascultat ce i-a spus Firgof și s-a uitat mai întâi la suveran, apoi la domnii care se pregăteau să danseze, care nu îndrăzneau să se alăture cercului.

Ilustrație schematică a unui pendul inversat pe un cărucior. Tija nu are masă. Notăm masa căruciorului și masa mingii de la capătul tijei cu MȘi m. Tija are o lungime l.

Un pendul inversat este un pendul care are un centru de masă deasupra punctului său de sprijin, atașat la capătul unei tije rigide. Adesea, punctul de sprijin este fixat pe un cărucior, care poate fi deplasat orizontal. În timp ce un pendul normal atârnă constant în jos, un pendul invers este în mod inerent instabil și trebuie să fie echilibrat în mod constant pentru a rămâne vertical, fie prin aplicarea unui cuplu la punctul de sprijin, fie prin deplasarea acestuia pe orizontală, ca parte a feedback-ului sistemului. O simplă demonstrație ar fi echilibrarea unui creion pe capătul degetului.

Revizuire

Pendulul inversat este o problemă clasică în teoria dinamicii și controlului și este utilizat pe scară largă ca reper pentru testarea algoritmilor de control (controlere PID, rețele neuronale, control fuzzy etc.).

Problema pendulului invers este legată de ghidarea rachetei, deoarece motorul rachetei este situat sub centrul de greutate, provocând instabilitate. Aceeași problemă este rezolvată, de exemplu, în Segway, un dispozitiv de transport cu autoechilibrare.

O altă modalitate de a stabiliza un pendul invers este de a oscila rapid baza într-un plan vertical. În acest caz, puteți face fără feedback. Dacă oscilațiile sunt suficient de puternice (în termeni de accelerație și amplitudine), atunci pendulul invers se poate stabiliza. Dacă un punct în mișcare oscilează în funcție de oscilații armonice simple, atunci mișcarea pendulului este descrisă de funcția Mathieu.

Ecuații de mișcare

Cu un punct de sprijin fix

Ecuația mișcării este similară cu un pendul drept, cu excepția faptului că semnul poziției unghiulare este măsurat din poziția verticală a echilibrului instabil:

θ ¨ − g ℓ sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\ddot (\theta))-(g \over \ell )\sin \theta =0)

Când este tradus, va avea același semn de accelerație unghiulară:

θ ¨ = g ℓ sin ⁡ θ (\displaystyle (\ddot (\theta))=(g \over \ell )\sin \theta )

Astfel, pendulul invers va accelera de la echilibrul vertical instabil în sens opus, iar accelerația va fi invers proporțională cu lungimea. Un pendul înalt cade mai încet decât un pendul scurt.

Pendul pe cărucior

Ecuațiile de mișcare pot fi obținute folosind ecuațiile lui Lagrange. Vorbim despre figura de mai sus, unde θ (t) (\displaystyle \theta (t)) lungimea unghiului pendulului l (\displaystyle l)în raport cu verticala şi forţa acţionantă a gravitaţiei şi forţelor exterioare F (\displaystyle F) in directia x (\displaystyle x). Să definim x (t) (\displaystyle x(t)) pozitia caruciorului. lagrangiană L = T - V (\displaystyle L=T-V) sisteme:

L = 1 2 M v 1 2 + 1 2 m v 2 2 − m g ℓ cos ⁡ θ (\displaystyle L=(\frac (1)(2))Mv_(1)^(2)+(\frac (1) (2))mv_(2)^(2)-mg\ell \cos \theta )

unde este viteza căruciorului și este viteza punctului material m (\displaystyle m). v 1 (\displaystyle v_(1))Și v 2 (\displaystyle v_(2)) poate fi exprimat prin x (\displaystyle x)Și θ (\displaystyle \theta ) prin scrierea vitezei ca derivată întâi a poziţiei.

v 1 2 = x ˙ 2 (\displaystyle v_(1)^(2)=(\dot (x))^(2)) v 2 2 = (d d t (x − ℓ sin ⁡ θ)) 2 + (d d t (ℓ cos ⁡ θ)) 2 (\displaystyle v_(2)^(2)=\left((\frac (d)(dt) ))(\left(x-\ell \sin \theta \right))\right)^(2)+\left((\frac (d)(dt))(\left(\ell \cos \theta \ dreapta))\dreapta)^(2))

Simplificarea unei expresii v 2 (\displaystyle v_(2)) conduce la:

v 2 2 = x ˙ 2 − 2 ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 (\displaystyle v_(2)^(2)=(\dot (x))^(2)-2\ell (\dot (x))(\dot (\theta))\cos \theta +\ell ^(2)(\dot (\theta))^(2))

Lagrangianul este determinat acum de formula:

L = 1 2 (M + m) x ˙ 2 − m ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + 1 2 m ℓ 2 θ ˙ 2 − m g ℓ cos ⁡ θ (\displaystyle L=(\frac (1)(2) ))\left(M+m\right)(\dot (x))^(2)-m\ell (\dot (x))(\dot (\theta))\cos \theta +(\frac ( 1)(2))m\ell ^(2)(\dot (\theta))^(2)-mg\ell \cos \theta )

și ecuațiile de mișcare:

d d t ∂ L ∂ x ˙ − ∂ L ∂ x = F (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )(\mathrm (d) t))(\partial (L) \over \partial (\dot (x) )))-(\partial (L) \over \partial x)=F) d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )(\mathrm (d) t))(\partial (L) \over \partial (\dot (\ theta)))-(\partial (L) \over \partial \theta )=0)

Substituţie L (\displaystyle L)în aceste expresii cu simplificarea ulterioară duce la ecuații care descriu mișcarea unui pendul invers:

(M + m) x ¨ − m ℓ θ ¨ cos ⁡ θ + m ℓ θ ˙ 2 sin ⁡ θ = F (\displaystyle \left(M+m\right)(\ddot (x))-m\ell ( \ddot (\theta))\cos \theta +m\ell (\dot (\theta))^(2)\sin \theta =F) ℓ θ ¨ − g sin ⁡ θ = x ¨ cos ⁡ θ (\displaystyle \ell (\ddot (\theta)) -g\sin \theta =(\ddot (x))\cos \theta )

Aceste ecuații sunt neliniare, dar din moment ce scopul sistemului de control este de a menține pendulul vertical, ecuațiile pot fi liniarizate luând θ ≈ 0 (\displaystyle \theta \aprox 0).

Pendul cu bază oscilantă

Ecuația de mișcare pentru un astfel de pendul este legată de o bază oscilantă fără masă și se obține în același mod ca și pentru un pendul pe cărucior. Poziția unui punct material este determinată de formula:

(− ℓ sin ⁡ θ , y + ℓ cos ⁡ θ) (\displaystyle \left(-\ell \sin \theta, y+\ell \cos \theta \right))

iar viteza se găsește prin derivata întâi a poziției:

v 2 = y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 . (\displaystyle v^(2)=(\dot (y))^(2)-2\ell (\dot (y))(\dot (\theta))\sin \theta +\ell ^(2) (\punct (\theta))^(2).)

Lagrangianul pentru acest sistem poate fi scris ca:

L = 1 2 m (y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2) − m g (y + ℓ cos ⁡ θ) (\displaystyle L=(\frac (1)(2) )m\left((\dot (y))^(2)-2\ell (\dot (y))(\dot (\theta))\sin \theta +\ell ^(2)(\dot ( \theta))^(2)\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right))

ecuațiile de mișcare rezultă din:

d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 (\displaystyle (\mathrm (d) \over \mathrm (d) t)(\partial (L) \over \partial (\dot (\theta))) -(\partial (L) \over \partial \theta )=0)

Un pendul inversat este un pendul care are un centru de masă deasupra punctului său de sprijin, atașat la capătul unei tije rigide. Adesea, punctul de sprijin este fixat pe un cărucior, care poate fi deplasat orizontal. În timp ce un pendul normal atârnă constant în jos, un pendul invers este în mod inerent instabil și trebuie să fie echilibrat în mod constant pentru a rămâne vertical, fie prin aplicarea unui cuplu la punctul de sprijin, fie prin deplasarea acestuia pe orizontală, ca parte a feedback-ului sistemului. O simplă demonstrație ar fi echilibrarea unui creion pe capătul degetului.

Revizuire

Pendulul inversat este o problemă clasică în teoria dinamicii și controlului și este utilizat pe scară largă ca reper pentru testarea algoritmilor de control (controlere PID, rețele neuronale, control fuzzy etc.).

Problema pendulului invers este legată de ghidarea rachetei, deoarece motorul rachetei este situat sub centrul de greutate, provocând instabilitate. Aceeași problemă este rezolvată, de exemplu, în Segway, un dispozitiv de transport cu autoechilibrare.

O altă modalitate de a stabiliza un pendul invers este de a oscila rapid baza într-un plan vertical. În acest caz, puteți face fără feedback. Dacă oscilațiile sunt suficient de puternice (în termeni de accelerație și amplitudine), atunci pendulul invers se poate stabiliza. Dacă un punct în mișcare oscilează în funcție de oscilații armonice simple, atunci mișcarea pendulului este descrisă de funcția Mathieu.

Ecuații de mișcare

Cu un punct de sprijin fix

Ecuația mișcării este similară cu un pendul drept, cu excepția faptului că semnul poziției unghiulare este măsurat din poziția verticală a echilibrului instabil:

texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = 0

Când este tradus, va avea același semn de accelerație unghiulară:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ddot \theta = (g \over \ell) \sin \theta

Astfel, pendulul invers va accelera de la echilibrul vertical instabil în sens opus, iar accelerația va fi invers proporțională cu lungimea. Un pendul înalt cade mai încet decât un pendul scurt.

Pendul pe cărucior

Ecuațiile de mișcare pot fi obținute folosind ecuațiile lui Lagrange. Vorbim despre figura de mai sus, unde Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \theta(t) lungimea unghiului pendulului Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): lîn raport cu verticala şi forţa acţionantă a gravitaţiei şi forţelor exterioare Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): F in directia Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc . Să definim Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): x(t) pozitia caruciorului. lagrangiană Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): L = T - V sisteme:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor cu configurarea.): L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\theta

Unde Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc este viteza căruciorului și Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc - viteza unui punct material Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): m . Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): v_1Și Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): v_2 poate fi exprimat prin Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): xȘi Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \theta prin scrierea vitezei ca derivată întâi a poziţiei.

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): v_1^2=\dot x^2 Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x-\ell\sin\theta\right))\right)^2 + \left((\frac(d)(dt))(\left(\ell\cos\theta \right))\right)^2

Simplificarea unei expresii Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): v_2 conduce la:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Lagrangianul este determinat acum de formula:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor cu configurare.): L = \frac(1)(2) \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\ theta + \frac(1)(2) m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta

și ecuațiile de mișcare:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot x)) - (\partial(L) \over\partial x) = F Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot \theta)) - (\partial (L) )\peste\parțial\theta) = 0

Substituţie Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): Lîn aceste expresii cu simplificarea ulterioară duce la ecuații care descriu mișcarea unui pendul invers:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta =F Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta

Aceste ecuații sunt neliniare, dar din moment ce scopul sistemului de control este de a menține pendulul vertical, ecuațiile pot fi liniarizate luând Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \theta \approx 0 .

Pendul cu bază oscilantă

Ecuația de mișcare pentru un astfel de pendul este legată de o bază oscilantă fără masă și se obține în același mod ca și pentru un pendul pe cărucior. Poziția unui punct material este determinată de formula:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \left(-\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)

iar viteza se găsește prin derivata întâi a poziției:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2. Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = -(A \over \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta .

Această ecuație nu are o soluție elementară în formă închisă, dar poate fi studiată în mai multe direcții. Este aproape de ecuația lui Mathieu, de exemplu, când amplitudinea oscilațiilor este mică. Analiza arată că pendulul rămâne vertical în timpul oscilațiilor rapide. Primul grafic arată asta cu fluctuații lente Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc , pendulul cade rapid după părăsirea unei poziții verticale stabile.
Dacă Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): y oscilează rapid, pendulul poate fi stabil lângă o poziție verticală. Cel de-al doilea grafic arată că, după ce a părăsit o poziție verticală stabilă, pendulul începe acum să oscileze în jurul poziției verticale ( Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \theta = 0).Abaterea de la poziția verticală rămâne mică, iar pendulul nu cade.

Aplicație

Un exemplu este echilibrarea oamenilor și a obiectelor, cum ar fi în acrobații sau în monociclul. Și, de asemenea, un Segway - un scuter electric cu autoechilibrare cu două roți.

Pendulul inversat a fost o componentă centrală în dezvoltarea mai multor seismografe timpurii.

Vezi si

Legături

• D. Liberzon Comutarea în sisteme și control(2003 Springer) pp. 89 și urm

Lectură în continuare

• Franklin; et al. (2005). Controlul prin feedback al sistemelor dinamice, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Scrieți o recenzie despre articolul „Pendul inversat”

Legături

Un fragment care caracterizează Pendulul invers

Sora bunicului Alexandra Obolensky (mai târziu Alexis Obolensky) și Vasily și Anna Seryogin, care au plecat voluntar, au fost, de asemenea, exilați împreună cu ei, care și-au urmat bunicul la alegere, deoarece Vasily Nikandrovich a fost timp de mulți ani avocatul bunicului în toate treburile sale și unul dintre cel mai mult prietenii săi apropiați.

Alexandra (Alexis) Obolenskaya Vasily și Anna Seryogin

Probabil, a trebuit să fii cu adevărat un PRIETEN pentru a găsi puterea de a face o astfel de alegere și de a merge împreună. după plac unde se duceau, de parcă s-ar duce numai la propria lor moarte. Și această „moarte”, din păcate, se numea atunci Siberia...
Întotdeauna am fost foarte trist și dureros pentru frumoasa noastră Siberia, atât de mândră, dar atât de nemiloasă călcată de cizmele bolșevice!... Și nici un cuvânt nu poate spune câtă suferință, durere, vieți și lacrimi a absorbit acest pământ mândru, dar chinuit. ... Pentru că a fost cândva inima căminului nostru strămoșesc, „revoluționarii cu vederea lungă” au decis să denigreze și să distrugă acest pământ, alegându-l în propriile lor scopuri diavolești?... La urma urmei, pentru mulți oameni chiar și mulți ani mai târziu, Siberia a rămas încă un pământ „blestemat”, unde a murit tatăl cuiva, fratele cuiva, cineva, apoi un fiu... sau poate chiar întreaga familie a cuiva.
Bunica mea, pe care eu, spre marea mea supărare, nu am cunoscut-o niciodată, era însărcinată cu tatăl meu în acel moment și a avut o perioadă foarte dificilă cu călătoria. Dar, bineînțeles, nu era nevoie să aștepte ajutor de nicăieri... Așa că tânăra Prințesă Elena, în loc de foșnetul liniștit al cărților din biblioteca familiei sau de sunetele obișnuite ale pianului când cânta lucrările ei preferate, aceasta de timp nu asculta decât zgomotul de rău augur al roților, care părea că amenințător. Își numărau orele rămase din viață, atât de fragile și care devenise un adevărat coșmar... Se așeza pe niște genți lângă geamul trăsurii murdare și neîncetat. a privit ultimele urme jalnice ale „civilizației” care îi era atât de familiară și familiară, mergând din ce în ce mai departe...
Sora bunicului, Alexandra, cu ajutorul prietenilor, a reușit să evadeze la una dintre opriri. Prin acord general, trebuia să ajungă (dacă avea noroc) în Franța, unde acest moment toată familia ei locuia acolo. Adevărat, niciunul dintre cei prezenți nu avea idee cum ar putea face asta, dar din moment ce aceasta era singura lor speranță, deși mică, dar cu siguranță ultima, renunțarea la ea era un lux prea mare pentru situația lor complet fără speranță. În acel moment se afla și soțul Alexandrei, Dmitry, în Franța, cu ajutorul căruia sperau, de acolo, să încerce să ajute familia bunicului ei să iasă din coșmarul în care viața îi aruncase cu atâta fără milă, în mâinile josnice ale lui. oameni brutali...
La sosirea în Kurgan, au fost plasați într-un subsol rece, fără să explice nimic și fără să răspundă la nicio întrebare. Două zile mai târziu, niște oameni au venit după bunicul meu și au spus că ar fi venit să-l „escorte” într-o altă „destinație”... L-au luat ca pe un criminal, fără să-i permită să ia ceva cu el și fără să se demnească. pentru a explica, unde și pentru cât timp este luat. Nimeni nu l-a mai văzut vreodată pe bunicul. După ceva timp, un militar necunoscut i-a adus bunicii lucrurile personale ale bunicului său într-un sac de cărbune murdar... fără să explice nimic și fără a lăsa speranța de a-l vedea în viață. În acest moment, orice informație despre soarta bunicului meu a încetat, de parcă ar fi dispărut de pe fața pământului fără urme sau dovezi...
Inima chinuită și chinuită a sărmanei Prințese Elena nu a vrut să se împace cu o pierdere atât de îngrozitoare și l-a bombardat literalmente pe ofițerul de stat major local cu cereri de a clarifica circumstanțele morții iubitului ei Nicolae. Dar ofițerii „roșii” erau orbi și surzi la cererile unei femei singuratice, așa cum o numeau ei, „a nobililor”, care era pentru ei doar una dintre miile și miile de unități de „licență” fără nume care nu însemnau nimic în ei. Lumea rece și crudă... Era un adevărat infern, din care nu exista nicio ieșire înapoi în acea lume familiară și bună în care au rămas casa ei, prietenii ei și tot ceea ce fusese obișnuită de la o vârstă fragedă, și pe care o iubea atât de puternic și sincer... Și nu era nimeni care să poată ajuta sau măcar să dea cea mai mică speranță de supraviețuire.
Seryoghinii au încercat să mențină prezența sufletească pentru ei trei și au încercat prin orice mijloace să ridice starea de spirit a Prințesei Elena, dar aceasta a mers din ce în ce mai adânc într-o stupoare aproape completă și, uneori, stătea toată ziua într-o stare indiferent de înghețată. , aproape nereacționând la încercările prietenilor ei de a-și salva inima și mintea de depresia finală. Au fost doar două lucruri care au adus-o pentru scurt timp înapoi în lumea reală - dacă cineva a început să vorbească despre copilul ei nenăscut sau dacă vreunul, chiar și cele mai mici, detalii noi au apărut despre presupusa moarte a iubitului ei Nikolai. Ea a vrut cu disperare să știe (în timp ce era încă în viață) ce s-a întâmplat cu adevărat și unde era soțul ei, sau cel puțin unde a fost îngropat (sau aruncat) cadavrul lui.
Din păcate, aproape că nu există informații despre viața acestor doi oameni curajoși și strălucitori, Elena și Nicholas de Rohan-Hesse-Obolensky, dar chiar și acele câteva rânduri din cele două scrisori rămase ale Elenei către nora ei, Alexandra, care s-au păstrat cumva în arhivele familiei Alexandra în Franța, arată cât de profund și tandru și-a iubit prințesa soțul dispărut. Au supraviețuit doar câteva foi scrise de mână, unele dintre rândurile cărora, din păcate, nu pot fi deloc descifrate. Dar până și ceea ce a avut succes țipă cu durere profundă despre o mare nenorocire umană, care, fără a o experimenta, nu este ușor de înțeles și imposibil de acceptat.

12 aprilie 1927. Din scrisoarea prințesei Elena către Alexandra (Alix) Obolenskaya:
„Sunt foarte obosit astăzi. M-am întors de la Sinyachikha complet rupt. Cărucioarele sunt pline de oameni, ar fi păcat să căram chiar și animale în ele…………………………….. Ne-am oprit în pădure - era un miros atât de delicios de ciuperci și căpșuni... E greu de crezut că acolo au fost uciși acești nefericiți! Săraca Ellochka (adică Mare Ducesă Elizaveta Fedorovna, care era o rudă a bunicului meu pe linia Hesse) a fost ucisă în apropiere, în această groaznică mină Staroselim... ce groază! Sufletul meu nu poate accepta asta. Îți amintești că am spus: „să odihnească pământul în pace”?.. Mare Dumnezeu, cum poate să se odihnească în pace un asemenea pământ?!..
Oh, Alix, draga mea Alix! Cum se poate obișnui cu o asemenea groază? ...................... ..................... M-am săturat să cerșesc și umilindu-mă... Totul va fi complet inutil dacă Ceca nu este de acord să trimită o cerere lui Alapaevsk...... Nu voi ști niciodată unde să-l caut și nu voi ști niciodată ce i-au făcut. Nu trece o oră fără să mă gândesc la un chip atât de drag pentru mine... Ce groază este să-ți imaginezi că zace într-o groapă părăsită sau în fundul unei mine!... Cum se poate îndura acest coșmar de zi cu zi, știind că a făcut deja, nu-l voi vedea niciodată?!.. Așa cum bietul meu Vasilek (numele care i-a fost dat tatălui meu la naștere) nu-l va vedea niciodată... Unde este limita cruzimii? Și de ce se numesc oameni?...