Prima limită remarcabilă se numește următoarea egalitate:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Deoarece pentru $\alpha\to(0)$ avem $\sin\alpha\to(0)$, se spune că prima limită remarcabilă dezvăluie o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. În general, în formula (1), în locul variabilei $\alpha$, orice expresie poate fi plasată sub semnul sinus și la numitor, atâta timp cât sunt îndeplinite două condiții:

1. Expresiile de sub semnul sinus și din numitor tind simultan spre zero, adică. există incertitudinea formei $\frac(0)(0)$.
2. Expresiile de sub semnul sinus și la numitor sunt aceleași.

Corolarele din prima limită remarcabilă sunt, de asemenea, adesea folosite:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(ecuație)

Unsprezece exemple sunt rezolvate pe această pagină. Exemplul nr. 1 este dedicat demonstrarii formulelor (2)-(4). Exemplele nr. 2, nr. 3, nr. 4 și nr. 5 conțin soluții cu comentarii detaliate. Exemplele nr. 6-10 conțin soluții practic fără comentarii, deoarece explicațiile detaliate au fost date în exemplele anterioare. Soluția folosește câteva formule trigonometrice care poate fi găsit.

Observ că prezența funcții trigonometrice cuplat cu incertitudinea $\frac (0) (0)$ nu înseamnă încă aplicarea obligatorie a primei limite remarcabile. Uneori sunt suficiente lucruri simple transformări trigonometrice, - de exemplu, vezi .

Exemplul nr. 1

Demonstrați că $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Deoarece $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, atunci:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Deoarece $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ și $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, Acea:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Să facem schimbarea $\alpha=\sin(y)$. Deoarece $\sin(0)=0$, atunci din condiția $\alpha\to(0)$ avem $y\to(0)$. În plus, există o vecinătate de zero în care $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, deci:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Egalitatea $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ a fost dovedită.

c) Să facem înlocuirea $\alpha=\tg(y)$. Deoarece $\tg(0)=0$, atunci condițiile $\alpha\to(0)$ și $y\to(0)$ sunt echivalente. În plus, există o vecinătate de zero în care $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, prin urmare, pe baza rezultatelor punctului a), vom avea:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\la(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\la(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Egalitatea $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ a fost dovedită.

Egalitățile a), b), c) sunt adesea folosite împreună cu prima limită remarcabilă.

Exemplul nr. 2

Calculați limita $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.

Deoarece $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ și $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. si atat numaratorul cat si numitorul fractiei tind simultan spre zero, atunci aici avem de-a face cu o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$, i.e. Terminat. În plus, este clar că expresiile de sub semnul sinus și din numitor coincid (adică și este satisfăcut):

Deci, ambele condiții enumerate la începutul paginii sunt îndeplinite. De aici rezultă că formula este aplicabilă, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Răspuns: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Exemplul nr. 3

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ și $\lim_(x\to(0))x=0$, atunci avem de-a face cu o incertitudine de forma $\frac (0 )(0)$, adică Terminat. Cu toate acestea, expresiile de sub semnul sinus și din numitor nu coincid. Aici trebuie să ajustați expresia din numitor la formularul cerut. Avem nevoie ca expresia $9x$ să fie la numitor, atunci va deveni adevărată. În esență, ne lipsește un factor de 9 USD în numitor, care nu este atât de greu de introdus - doar înmulțiți expresia din numitor cu 9 USD. Desigur, pentru a compensa înmulțirea cu $9$, va trebui să împărțiți imediat la $9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Acum, expresiile de la numitor și de sub semnul sinus coincid. Ambele condiții pentru limita $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sunt îndeplinite. Prin urmare, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Și asta înseamnă că:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Exemplul nr. 4

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ și $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, aici avem de-a face cu incertitudinea formei $\frac(0)(0)$. Cu toate acestea, forma primei limite remarcabile este încălcată. Un numărător care conține $\sin(5x)$ necesită un numitor de $5x$. În această situație, cel mai simplu mod este să împărțiți numărătorul cu $5x$ și să înmulțiți imediat cu $5x$. În plus, vom efectua o operație similară cu numitorul, înmulțind și împărțind $\tg(8x)$ la $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Reducând cu $x$ și luând constanta $\frac(5)(8)$ în afara semnului limită, obținem:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Rețineți că $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ îndeplinește pe deplin cerințele pentru prima limită remarcabilă. Pentru a găsi $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ se aplică următoarea formulă:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Exemplul nr. 5

Găsiți $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (rețineți că $\cos(0)=1$) și $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, atunci avem de-a face cu incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$. Totuși, pentru a aplica prima limită remarcabilă, ar trebui să scăpați de cosinusul din numărător, trecând la sinusuri (pentru a aplica apoi formula) sau tangente (pentru a aplica apoi formula). Acest lucru se poate face cu următoarea transformare:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Să revenim la limită:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Fracția $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ este deja apropiată de forma necesară pentru prima limită remarcabilă. Să lucrăm puțin cu fracția $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, ajustând-o la prima limită remarcabilă (rețineți că expresiile din numărător și sub sinus trebuie să se potrivească):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Să revenim la limita în cauză:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Exemplul nr. 6

Găsiți limita $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ și $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, atunci avem de-a face cu incertitudinea $\frac(0)(0)$. Să o dezvăluim cu ajutorul primei limite remarcabile. Pentru a face acest lucru, să trecem de la cosinus la sinusuri. Deoarece $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, atunci:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Trecând la sinusuri în limita dată, vom avea:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) = 9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Exemplul nr. 7

Calculați limita $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ sub rezerva $\alpha\neq \ beta$.

Explicații detaliate au fost date mai devreme, dar aici pur și simplu observăm că din nou există incertitudine $\frac(0)(0)$. Să trecem de la cosinus la sinus folosind formula

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Folosind această formulă, obținem:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\dreapta| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Exemplul nr. 8

Găsiți limita $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Deoarece $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (rețineți că $\sin(0)=\tg(0)=0$) și $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, atunci aici avem de-a face cu incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$. Să-l defalcăm după cum urmează:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Exemplul nr. 9

Găsiți limita $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Deoarece $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ și $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, atunci există incertitudinea formei $\frac(0)(0)$. Înainte de a trece la extinderea acesteia, este convenabil să faceți o schimbare de variabilă în așa fel încât noua variabilă să tinde spre zero (rețineți că în formule variabila $\alpha \to 0$). Cel mai simplu mod este introducerea variabilei $t=x-3$. Cu toate acestea, pentru comoditatea transformărilor ulterioare (acest beneficiu poate fi văzut în cursul soluției de mai jos), merită să faceți următoarea înlocuire: $t=\frac(x-3)(2)$. Remarc că ambele înlocuiri sunt aplicabile în acest caz, doar că a doua înlocuire vă va permite să lucrați mai puțin cu fracții. Din moment ce $x\la(3)$, atunci $t\la(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\dreapta| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Răspuns: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Exemplul nr. 10

Găsiți limita $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Încă o dată avem de-a face cu incertitudinea $\frac(0)(0)$. Înainte de a trece la extinderea acesteia, este convenabil să faceți o schimbare de variabilă în așa fel încât noua variabilă să tindă spre zero (rețineți că în formule variabila este $\alpha\to(0)$). Cel mai simplu mod este să introduceți variabila $t=\frac(\pi)(2)-x$. Deoarece $x\la\frac(\pi)(2)$, atunci $t\la(0)$:

$$ \lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\stânga|\frac(0)(0)\dreapta| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Exemplul nr. 11

Găsiți limitele $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

În acest caz nu trebuie să folosim prima limită minunată. Vă rugăm să rețineți că atât prima cât și a doua limită conțin numai funcții și numere trigonometrice. Adesea în exemple de acest fel este posibilă simplificarea expresiei situate sub semnul limită. Mai mult, după simplificarea și reducerea menționată mai sus a unor factori, incertitudinea dispare. Am dat acest exemplu doar cu un singur scop: să arăt că prezența funcțiilor trigonometrice sub semnul limită nu înseamnă neapărat utilizarea primei limite remarcabile.

Deoarece $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (rețineți că $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) și $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (permiteți-mi să vă reamintesc că $\cos\frac(\pi)(2)=0$), atunci avem care se ocupă de incertitudinea formei $\frac(0)(0)$. Totuși, asta nu înseamnă că va trebui să folosim prima limită minunată. Pentru a dezvălui incertitudinea, este suficient să luăm în considerare faptul că $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\la\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Există o soluție similară în cartea de soluții a lui Demidovich (nr. 475). În ceea ce privește a doua limită, ca și în exemplele anterioare din această secțiune, avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. De ce apare? Apare deoarece $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ și $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Folosim aceste valori pentru a transforma expresiile în numărător și numitor. Scopul acțiunilor noastre este de a nota suma în numărător și numitor ca produs. Apropo, adesea în cadrul unui tip similar este convenabil să se schimbe o variabilă, făcută în așa fel încât noua variabilă să tinde spre zero (vezi, de exemplu, exemplele nr. 9 sau nr. 10 de pe această pagină). Cu toate acestea, în în acest exemplu nu are rost să o înlocuiești, deși, dacă se dorește, înlocuirea variabilei $t=x-\frac(2\pi)(3)$ nu este dificil de implementat.

$$ \lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

După cum puteți vedea, nu a trebuit să aplicăm prima limită minunată. Desigur, puteți face acest lucru dacă doriți (vezi nota de mai jos), dar nu este necesar.

Care este soluția folosind prima limită remarcabilă? arată ascunde

Folosind prima limită remarcabilă obținem:

$$ \lim_(x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ dreapta))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Răspuns: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\la\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Pentru cei care vor să învețe cum să găsească limitele, în acest articol vă vom spune despre asta. Nu vom aprofunda în teorie; profesorii o susțin de obicei la cursuri. Așa că „teoria plictisitoare” ar trebui notă în caiete. Dacă nu este cazul, atunci puteți citi manuale împrumutate de la bibliotecă. instituție educațională sau pe alte resurse de pe Internet.

Deci, conceptul de limită este destul de important în studiul matematicii superioare, mai ales când dai peste calcul integral și înțelegi legătura dintre limită și integrală. În materialul actual vom lua în considerare exemple simple, precum și modalități de a le rezolva.

Exemple de soluții

Exemplul 1

Calculați a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Soluţie

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Oamenii ne trimit adesea aceste limite cu o solicitare de a ajuta la rezolvarea lor. Am decis să le evidențiem ca exemplu separat și să explicăm că aceste limite trebuie doar să fie amintite, de regulă. Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Noi vom oferi solutie detaliata. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!

Răspuns

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Ce să faci cu incertitudinea formei: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Exemplul 3

Rezolvați $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluţie

Ca întotdeauna, începem prin a înlocui valoarea $ x $ în expresia de sub semnul limită. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Ce urmează acum? Ce ar trebui să se întâmple până la urmă? Deoarece aceasta este o incertitudine, acesta nu este încă un răspuns și continuăm calculul. Deoarece avem un polinom în numărători, îl vom factoriza folosind formula familiară tuturor de la școală $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Vă amintiți? Grozav! Acum continuă și folosește-l cu melodia :) Constatăm că numărătorul $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Continuăm să rezolvăm ținând cont de transformarea de mai sus: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Răspuns

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Să împingem limita din ultimele două exemple la infinit și să luăm în considerare incertitudinea: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Exemplul 5

Calculați $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluţie

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ce să fac? Ce ar trebuii să fac? Nu intrați în panică, pentru că imposibilul este posibil. Este necesar să scoateți x atât la numărător, cât și la numitor și apoi să-l reduceți. După aceasta, încercați să calculați limita. Sa incercam... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Folosind definiția din exemplul 2 și înlocuind infinitul cu x, obținem: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Răspuns

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritm pentru calculul limitelor

Deci, să rezumăm pe scurt exemplele și să creăm un algoritm pentru rezolvarea limitelor:

1. Înlocuiți punctul x în expresia care urmează semnului limită. Dacă se obține un anumit număr sau infinit, atunci limita este complet rezolvată. În caz contrar, avem incertitudine: „zero împărțit la zero” sau „infinit împărțit la infinit” și trecem la următorii pași ai instrucțiunilor.
2. Pentru a elimina incertitudinea „zero împărțit la zero”, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul. Reduceți-le pe cele similare. Înlocuiți punctul x în expresia de sub semnul limită.
3. Dacă incertitudinea este „infinitul împărțit la infinit”, atunci scoatem atât numărătorul, cât și numitorul x la cel mai mare grad. Scurtăm X-urile. Înlocuim valorile lui x de sub limită în expresia rămasă.

În acest articol ați învățat elementele de bază ale rezolvării limitelor, adesea folosite în cursul de calcul. Desigur, acestea nu sunt toate tipurile de probleme oferite de examinatori, ci doar limitele cele mai simple. Vom vorbi despre alte tipuri de teme în articolele viitoare, dar mai întâi trebuie să înveți această lecție pentru a merge mai departe. Să discutăm ce să facem dacă există rădăcini, grade, studiază funcții echivalente infinitezimale, limite remarcabile, regula lui L'Hopital.

Dacă nu vă puteți da seama singuri de limite, nu intrați în panică. Suntem mereu bucuroși să ajutăm!

Limita functiei- număr A va fi limita unei valori variabile dacă, în procesul de modificare a acesteia, aceasta cantitate variabila se apropie la infinit A.

Sau cu alte cuvinte, numărul A este limita funcției y = f(x) la punct x 0, dacă pentru orice succesiune de puncte din domeniul de definire a funcției , nu este egal x 0, și care converge spre punct x 0 (lim x n = x0), succesiunea valorilor funcției corespunzătoare converge către număr A.

Graficul unei funcții a cărei limită, având în vedere un argument care tinde spre infinit, este egală cu L:

Sens A este limita ( valoare limită) funcții f(x) la punct x 0în cazul oricărei succesiuni de puncte , care converge spre x 0, dar care nu conține x 0 ca unul dintre elementele sale (adică în vecinătatea perforată x 0), succesiune de valori ale funcției converge spre A.

Limita unei funcții Cauchy.

Sens A va fi limita functiei f(x) la punct x 0 dacă pentru orice număr nenegativ luat în avans ε se va găsi numărul nenegativ corespunzător δ = δ(ε) astfel încât pentru fiecare argument X, îndeplinind condiția 0 < | x - x0 | < δ , inegalitatea va fi satisfăcută | f(x)A |< ε .

Va fi foarte simplu dacă înțelegeți esența limitei și regulile de bază pentru găsirea acesteia. Care este limita funcției f (X) la X lupta pentru A egală A, este scris astfel:

Mai mult, valoarea la care tinde variabila X, poate fi nu numai un număr, ci și infinit (∞), uneori +∞ sau -∞, sau poate să nu existe nicio limită.

Pentru a înțelege cum afla limitele unei functii, cel mai bine este să te uiți la exemple de soluții.

Este necesar să găsiți limitele funcției f (x) = 1/X la:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Să găsim o soluție la prima limită. Pentru a face acest lucru, puteți pur și simplu să înlocuiți X numărul la care tinde, adică 2, obținem:

Să găsim a doua limită a funcției. Aici înlocuiți în schimb 0 pur X este imposibil, pentru că Nu poți împărți la 0. Dar putem lua valori apropiate de zero, de exemplu, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 și așa mai departe și valoarea funcției f (X) va crește: 100; 1000; 10000; 100.000 și așa mai departe. Astfel, se poate înțelege că atunci când X→ 0 valoarea funcției care se află sub semnul limită va crește fără limită, i.e. străduiește-te spre infinit. Care înseamnă:

Referitor la a treia limită. Aceeași situație ca și în cazul precedent, este imposibil de înlocuit ∞ în forma sa cea mai pură. Trebuie să luăm în considerare cazul creșterii nelimitate X. Inlocuim 1000 unul cate unul; 10000; 100000 și așa mai departe, avem că valoarea funcției f (x) = 1/X va scadea: 0,001; 0,0001; 0,00001; și așa mai departe, tinzând spre zero. De aceea:

Este necesar să se calculeze limita funcției

Începând să rezolvăm al doilea exemplu, vedem incertitudine. De aici găsim cel mai înalt grad al numărătorului și numitorului - acesta este x 3, îl scoatem din paranteze în numărător și numitor și apoi îl reducem cu:

Răspuns

Primul pas în găsirea acestei limite, înlocuiți valoarea 1 X, rezultând incertitudine. Pentru a o rezolva, să factorizăm numărătorul și să facem acest lucru folosind metoda de a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Deci numărătorul va fi:

Răspuns

Aceasta este definiția acesteia sens specific sau o zonă specifică în care se încadrează o funcție care este limitată de o limită.

Pentru a rezolva limitele, urmați regulile:

După ce am înțeles esența și principalul reguli pentru rezolvarea limitei, Vei primi concept de bază despre cum să le rezolvi.

Limitele le dau tuturor studenților la matematică multe probleme. Pentru a rezolva o limită, uneori trebuie să folosiți o mulțime de trucuri și să alegeți dintr-o varietate de metode de soluție exact cea care este potrivită pentru un anumit exemplu.

În acest articol nu vă vom ajuta să înțelegeți limitele capacităților dvs. sau să înțelegeți limitele controlului, dar vom încerca să răspundem la întrebarea: cum să înțelegeți limitele în matematica superioară? Înțelegerea vine odată cu experiența, așa că, în același timp, vom oferi câteva exemple detaliate de rezolvare a limitelor cu explicații.

Conceptul de limită în matematică

Prima întrebare este: care este această limită și limita a ce? Putem vorbi despre limitele secvențelor numerice și ale funcțiilor. Suntem interesați de conceptul de limită a unei funcții, deoarece acesta este ceea ce întâlnesc cel mai des elevii. Dar mai întâi - cel mai mult definiție generală limită:

Să presupunem că există o valoare variabilă. Dacă această valoare în procesul de schimbare se apropie nelimitat de un anumit număr A , Acea A – limita acestei valori.

Pentru o funcție definită într-un anumit interval f(x)=y un astfel de număr se numește limită A , la care funcția tinde când X , tinzând la un anumit punct A . Punct A aparține intervalului pe care este definită funcția.

Sună greoi, dar este scris foarte simplu:

Lim- din engleza limită- limita.

Există, de asemenea, o explicație geometrică pentru determinarea limitei, dar aici nu vom aprofunda în teorie, deoarece ne interesează mai mult latura practică decât teoretică a problemei. Când spunem asta X tinde spre o anumită valoare, asta înseamnă că variabila nu preia valoarea unui număr, ci se apropie de el la infinit.

Să dăm exemplu concret. Sarcina este de a găsi limita.

Pentru a rezolva acest exemplu, înlocuim valoarea x=3 într-o funcție. Primim:

Apropo, dacă ești interesat, citește un articol separat pe acest subiect.

În exemple X poate tinde spre orice valoare. Poate fi orice număr sau infinit. Iată un exemplu când X tinde spre infinit:

Este clar intuitiv ce este număr mai mare la numitor, cu atât valoarea va fi mai mică pe care funcția va lua. Deci, cu o creștere nelimitată X sens 1/x va scădea și se va apropia de zero.

După cum puteți vedea, pentru a rezolva limita, trebuie doar să înlocuiți valoarea pentru care încercați în funcție X . Cu toate acestea, acesta este cel mai simplu caz. Adesea, găsirea limitei nu este atât de evidentă. În limite există incertitudini de tip 0/0 sau infinit/infinit . Ce să faci în astfel de cazuri? Recurge la trucuri!

Incertitudini în interior

Incertitudinea formei infinit/infinit

Să existe o limită:

Dacă încercăm să substituim infinitul în funcție, vom obține infinit atât la numărător, cât și la numitor. În general, merită să spunem că există un anumit element de artă în rezolvarea unor astfel de incertitudini: trebuie să observați cum puteți transforma funcția în așa fel încât incertitudinea să dispară. În cazul nostru, împărțim numărătorul și numitorul cu X în gradul superior. Ce se va intampla?

Din exemplul deja discutat mai sus, știm că termenii care conțin x în numitor vor tinde spre zero. Atunci soluția la limită este:

Pentru a rezolva incertitudinile de tip infinit/infinitîmpărțiți numărătorul și numitorul la X la cel mai înalt grad.

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la

Un alt tip de incertitudine: 0/0

Ca întotdeauna, înlocuirea valorilor în funcție x=-1 dă 0 la numărător și numitor. Privește puțin mai atent și vei observa asta în numărătorul nostru ecuație pătratică. Să găsim rădăcinile și să scriem:

Să reducem și să obținem:

Deci, dacă vă confruntați cu incertitudinea de tip 0/0 – factorizarea numărătorului și numitorului.

Pentru a vă facilita rezolvarea exemplelor, vă prezentăm un tabel cu limitele unor funcții:

Regula lui L'Hopital înăuntru

Un alt mod puternic de a elimina ambele tipuri de incertitudine. Care este esența metodei?

Dacă există incertitudine în limită, luați derivata numărătorului și numitorului până când incertitudinea dispare.

Regula lui L'Hopital arată astfel:

Punct important : trebuie să existe limita în care derivatele numărătorului și numitorului stau în locul numărătorului și numitorului.

Și acum - un exemplu real:

Există o incertitudine tipică 0/0 . Să luăm derivatele numărătorului și numitorului:

Voila, incertitudinea se rezolvă rapid și elegant.

Sperăm că veți putea aplica util aceste informații în practică și veți găsi răspunsul la întrebarea „cum să rezolvați limite în matematica superioară”. Dacă trebuie să calculați limita unei secvențe sau limita unei funcții într-un punct și nu există absolut timp pentru această lucrare, contactați un serviciu pentru studenți profesioniști pentru o soluție rapidă și detaliată.

Teoria limitelor- una dintre secțiuni analiză matematică, pe care unii îl pot stăpâni, alții au dificultăți în calcularea limitelor. Întrebarea găsirii limitelor este destul de generală, deoarece există zeci de tehnici limite de soluție tipuri variate. Aceleași limite pot fi găsite atât folosind regula lui L'Hopital, cât și fără ea. Se întâmplă ca programarea unei serii de funcții infinitezimale vă permite să obțineți rapid rezultatul dorit. Există un set de tehnici și trucuri care vă permit să găsiți limita unei funcții de orice complexitate. În acest articol vom încerca să înțelegem principalele tipuri de limite care sunt cel mai des întâlnite în practică. Nu vom da aici teoria și definiția limitei; există multe resurse pe Internet unde se discută acest lucru. Prin urmare, să trecem la calcule practice, aici este locul în care „Nu știu! Nu pot! Nu am fost învățați!”

Calcularea limitelor folosind metoda substituției

Exemplul 1. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Rezolvare: Exemple de acest fel pot fi calculate teoretic folosind substituția obișnuită

Limita este 18/11.
Nu este nimic complicat sau înțelept în legătură cu astfel de limite - am înlocuit valoarea, am calculat-o și am notat limita ca răspuns. Cu toate acestea, pe baza unor astfel de limite, toată lumea este învățată că, în primul rând, trebuie să înlocuiască valoarea în funcție. În plus, limitele devin mai complicate, introducând conceptul de infinit, incertitudine și altele asemenea.

O limită cu incertitudine ca infinitul împărțit la infinit. Tehnici de dezvăluire a incertitudinii

Exemplul 2. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinit).
Rezolvare: este dată o limită a formei polinom împărțită la un polinom, iar variabila tinde spre infinit

Pur și simplu înlocuirea valorii la care ar trebui găsită variabila pentru a găsi limitele nu va ajuta, obținem o incertitudine de forma infinit împărțită la infinit.
Conform teoriei limitelor, algoritmul de calcul al limitei este de a găsi cea mai mare putere a lui „x” în numărător sau numitor. În continuare, numărătorul și numitorul sunt simplificați la acesta și se găsește limita funcției

Deoarece valoarea tinde spre zero atunci când variabila se apropie de infinit, acestea sunt neglijate sau sunt scrise în expresia finală sub formă de zerouri.

Imediat din practică, puteți obține două concluzii care sunt un indiciu în calcule. Dacă o variabilă tinde spre infinit și gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, atunci limita este egală cu infinitul. În caz contrar, dacă polinomul din numitor este de ordin mai mare decât în ​​numărător, limita este zero.
Limita poate fi scrisă în formule ca aceasta:

Dacă avem o funcție de forma unui câmp obișnuit fără fracții, atunci limita sa este egală cu infinitul

Următorul tip de limite se referă la comportamentul funcțiilor aproape de zero.

Exemplul 3. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Soluție: Nu este nevoie să eliminați aici factorul conducător al polinomului. Exact invers, trebuie să găsiți cea mai mică putere a numărătorului și numitorului și să calculați limita

Valoarea x^2; x tinde spre zero atunci când variabila tinde spre zero. Prin urmare, ele sunt neglijate, așa că obținem

că limita este 2,5.

Acum știi cum să găsiți limita unei funcții din formă, împărțiți un polinom la un polinom dacă variabila tinde spre infinit sau 0. Dar aceasta este doar o mică și ușoară parte a exemplelor. Din următorul material veți învăța cum să descoperiți incertitudinile în limitele unei funcții.

Limită cu incertitudine de tip 0/0 și metode de calcul a acesteia

Toată lumea își amintește imediat regula că nu poți împărți la zero. Totuși, teoria limitelor în acest context implică funcții infinitezimale.
Să ne uităm la câteva exemple pentru claritate.

Exemplul 4. Găsiți limita unei funcții
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Rezolvare: Când înlocuim valoarea variabilei x = -1 în numitor, obținem zero și obținem același lucru la numărător. Deci avem incertitudinea formei 0/0.
Abordarea unei astfel de incertitudini este simplă: trebuie să factorizați polinomul sau, mai degrabă, să selectați factorul care transformă funcția în zero.

După extindere, limita funcției poate fi scrisă ca

Aceasta este întreaga metodă de calcul a limitei unei funcții. Facem același lucru dacă există o limită a formei polinom împărțit la un polinom.

Exemplul 5. Găsiți limita unei funcții
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Soluție: Substituirea directă arată
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ce avem incertitudine de tip 0/0.
Să împărțim polinoamele la factorul care introduce singularitatea


Există profesori care învață că polinoamele de ordinul 2, adică de tipul „ecuații pătratice”, trebuie rezolvate prin discriminant. Dar practica reală arată că acest lucru este mai lung și mai confuz, așa că scăpați de caracteristicile în limitele conform algoritmului specificat. Astfel, scriem funcția sub formă de factori simpli și o calculăm în limită

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în calcularea unor astfel de limite. Până când studiezi limitele, știi să împarți polinoamele, cel puțin conform programului pe care ar fi trebuit să-l fi trecut deja.
Printre sarcinile pe incertitudine de tip 0/0 Există unele în care trebuie să utilizați formule de înmulțire abreviate. Dar dacă nu le cunoașteți, atunci împărțind un polinom la un monom puteți obține formula dorită.

Exemplul 6. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Rezolvare: Avem o incertitudine de tip 0/0. La numărător folosim formula de înmulțire prescurtată

și calculați limita necesară

Metodă de dezvăluire a incertitudinii prin înmulțirea cu conjugatul său

Metoda se aplică la limitele în care incertitudinea este generată de funcțiile iraționale. Numătorul sau numitorul se transformă în zero în punctul de calcul și nu se știe cum să se găsească granița.

Exemplul 7. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Soluţie: Să reprezentăm variabila în formula limită

La substituire, obținem o incertitudine de tip 0/0.
Conform teoriei limitelor, modalitatea de a ocoli această caracteristică este de a multiplica expresia irațională cu conjugatul ei. Pentru a vă asigura că expresia nu se schimbă, numitorul trebuie împărțit la aceeași valoare

Folosind regula diferenței de pătrate, simplificăm numărătorul și calculăm limita funcției

Simplificam termenii care creeaza singularitatea in limita si efectuam substitutia

Exemplul 8. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Rezolvare: Substituția directă arată că limita are o singularitate de forma 0/0.

Pentru a extinde, înmulțim și împărțim la conjugatul numărătorului

Notăm diferența de pătrate

Simplificam termenii care introduc singularitatea si gasim limita functiei

Exemplul 9. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Soluție: Înlocuiți doi în formulă

Primim incertitudine 0/0.
Numitorul trebuie înmulțit cu expresia conjugată, iar la numărător trebuie rezolvată sau factorizată ecuația pătratică, ținând cont de singularitate. Deoarece se știe că 2 este o rădăcină, găsim a doua rădăcină folosind teorema lui Vieta

Astfel, scriem numeratorul sub forma

și înlocuiți-l în limită

Prin reducerea diferenței de pătrate, scăpăm de singularitățile din numărător și numitor

În acest fel, puteți scăpa de singularități în multe exemple, iar aplicația trebuie remarcată oriunde o anumită diferență de rădăcini se transformă în zero în timpul înlocuirii. Alte tipuri de limite se referă funcții exponențiale, funcții infinitezimale, logaritmi, limite speciale și alte tehnici. Dar puteți citi despre acest lucru în articolele enumerate mai jos despre limite.