Fracții
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Fracțiile nu sunt foarte deranjante în liceu. Deocamdată. Până când dai peste puteri cu exponenți raționali și logaritmi. Și acolo... Apăsați și apăsați pe calculator și acesta arată un afișaj complet al unor numere. Trebuie să gândești cu capul ca în clasa a treia.
În sfârșit, să aflăm fracțiile! Ei bine, cât de mult te poți încurca în ele!? În plus, totul este simplu și logic. Asa de, care sunt tipurile de fracții?
Tipuri de fracții. Transformări.
Există trei tipuri de fracții.
1. Fracții comune , De exemplu:
Uneori, în loc de o linie orizontală, pun o bară oblică: 1/2, 3/4, 19/5, bine, și așa mai departe. Aici vom folosi adesea această ortografie. Numărul de sus este numit numărător, inferior - numitor. Dacă confundați în mod constant aceste nume (se întâmplă...), spuneți-vă fraza: " Zzzzz tine minte! Zzzzz numitor – uite zzzzz uh!" Uite, totul va fi zzzz amintit.)
Linia, orizontală sau înclinată, înseamnă Divizia numărul de sus (numărător) până în jos (numitorul). Asta e tot! În loc de liniuță, este foarte posibil să puneți un semn de divizare - două puncte.
Când este posibilă împărțirea completă, aceasta trebuie făcută. Deci, în locul fracției „32/8” este mult mai plăcut să scrieți numărul „4”. Acestea. 32 este pur și simplu împărțit la 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Nici măcar nu vorbesc despre fracția „4/1”. Care este, de asemenea, doar „4”. Și dacă nu este complet divizibil, îl lăsăm ca o fracție. Uneori trebuie să faci operația inversă. Transformă un număr întreg într-o fracție. Dar mai multe despre asta mai târziu.
2. zecimale , De exemplu:
În această formă va trebui să notați răspunsurile la sarcinile „B”.
3. Numere mixte , De exemplu:
Numerele mixte practic nu sunt folosite în liceu. Pentru a lucra cu ei, ele trebuie traduse în fracții comune. Dar cu siguranță trebuie să poți face asta! Altfel vei da peste un astfel de număr într-o problemă și vei îngheța... De nicăieri. Dar ne vom aminti de această procedură! Puțin mai jos.
Cel mai versatil fracții comune. Să începem cu ei. Apropo, dacă o fracție conține tot felul de logaritmi, sinusuri și alte litere, acest lucru nu schimbă nimic. În sensul că totul acțiunile cu expresii fracționale nu sunt diferite de acțiunile cu fracții obișnuite!
Proprietatea principală a unei fracții.
Deci să mergem! Pentru început, o să vă surprind. Întreaga varietate de transformări de fracții este asigurată de o singură proprietate! Așa se numește proprietatea principală a fracției. Tine minte: Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (împărțite) cu același număr, fracția nu se modifică. Acestea:
Este clar că poți continua să scrii până când ești albastru la față. Nu lăsați sinusurile și logaritmii să vă încurce, ne vom ocupa de ele în continuare. Principalul lucru este să înțelegeți că toate aceste expresii variate sunt aceeași fracție . 2/3.
Avem nevoie de el, de toate aceste transformări? Si cum! Acum vei vedea singur. Pentru început, să folosim proprietatea de bază a unei fracții pentru fracții reducătoare. Ar părea un lucru elementar. Împărțiți numărătorul și numitorul la același număr și gata! Este imposibil să faci o greșeală! Dar... omul este o ființă creativă. Poți greși oriunde! Mai ales dacă trebuie să reduceți nu o fracție ca 5/10, ci o expresie fracțională cu tot felul de litere.
Cum să reduceți corect și rapid fracțiile fără a face muncă suplimentară poate fi citit în Secțiunea specială 555.
Un elev normal nu se deranjează să împartă numărătorul și numitorul la același număr (sau expresie)! Pur și simplu taie tot ce este la fel de sus și dedesubt! Aici pândește greseala tipica, un blooper, dacă vrei.
De exemplu, trebuie să simplificați expresia:
Nu e nimic de gândit aici, tăiați litera „a” de sus și „2” de jos! Primim:
Totul este corect. Dar chiar te-ai împărțit toate numărător și toate numitorul este „a”. Dacă sunteți obișnuit să tăiați, atunci în grabă puteți tăia „a” din expresie
și primește-l din nou
Ceea ce ar fi categoric neadevărat. Pentru că aici toate numărătorul de pe „a” este deja nu împărtășită! Această fracție nu poate fi redusă. Apropo, o astfel de reducere este, um... o provocare serioasă pentru profesor. Acest lucru nu este iertat! Vă amintiți? Când reduceți, trebuie să împărțiți toate numărător și toate numitor!
Reducerea fracțiilor face viața mult mai ușoară. Veți obține o fracție undeva, de exemplu 375/1000. Cum pot continua să lucrez cu ea acum? Fara calculator? Înmulțiți, spuneți, adăugați, pătrați!? Și dacă nu ești prea leneș, și tăiați-l cu grijă cu cinci, și cu încă cinci, și chiar... cât timp este scurtat, pe scurt. Să luăm 3/8! Mult mai frumos, nu?
Proprietatea principală a unei fracții vă permite să convertiți fracțiile obișnuite în zecimale și invers fara calculator! Acest lucru este important pentru examenul de stat unificat, nu?
Cum se transformă fracțiile de la un tip la altul.
CU zecimale e simplu. Cum se aude, așa este scris! Să spunem 0,25. Acesta este zero virgulă douăzeci și cinci sutimi. Deci scriem: 25/100. Reducem (împărțim numărătorul și numitorul la 25), obținem fracția obișnuită: 1/4. Toate. Se întâmplă și nimic nu se reduce. Ca 0,3. Aceasta este trei zecimi, adică 3/10.
Ce se întâmplă dacă numerele întregi nu sunt zero? E bine. Scriem întreaga fracție fara nicio virgula la numărător, iar la numitor - ceea ce se aude. De exemplu: 3.17. Sunt trei virgulă șaptesprezece sutimi. Scriem la numărător 317 și la numitor 100. Obținem 317/100. Nimic nu este redus, asta înseamnă totul. Acesta este răspunsul. Primar Watson! Din tot ce s-a spus, o concluzie utilă: orice fracție zecimală poate fi convertită într-o fracție comună .
Dar unii oameni nu pot face conversia inversă de la obișnuit la zecimal fără un calculator. Și este necesar! Cum veți nota răspunsul la examenul de stat unificat!? Citiți cu atenție și stăpâniți acest proces.
Care este caracteristica unei fracții zecimale? Numitorul ei este Mereu costă 10, sau 100, sau 1000, sau 10000 și așa mai departe. Dacă fracția ta comună are un numitor ca acesta, nu este nicio problemă. De exemplu, 4/10 = 0,4. Sau 7/100 = 0,07. Sau 12/10 = 1,2. Ce se întâmplă dacă răspunsul la sarcina din secțiunea „B” s-a dovedit a fi 1/2? Ce vom scrie ca răspuns? Sunt necesare zecimale...
Să ne amintim proprietatea principală a fracției ! Matematica vă permite în mod favorabil să înmulțiți numărătorul și numitorul cu același număr. Orice, apropo! Cu excepția zero, desigur. Deci, să folosim această proprietate în avantajul nostru! Cu ce poate fi înmulțit numitorul, adică 2 ca să devină 10, sau 100, sau 1000 (mai mic este mai bine, desigur...)? La 5, evident. Simțiți-vă liber să înmulțiți numitorul (acesta este S.U.A necesar) cu 5. Dar atunci și numărătorul trebuie înmulțit cu 5. Aceasta este deja matematică cereri! Obținem 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Asta e tot.
Cu toate acestea, se întâlnesc tot felul de numitori. Veți întâlni, de exemplu, fracția 3/16. Încercați să vă dați seama cu ce să înmulțiți 16 pentru a face 100 sau 1000... Nu funcționează? Apoi puteți împărți pur și simplu 3 la 16. În lipsa unui calculator, va trebui să împărțiți cu un colț, pe o foaie de hârtie, așa cum se predau în școala primară. Obținem 0,1875.
Și există și numitori foarte proasți. De exemplu, nu există nicio modalitate de a transforma fracția 1/3 într-o zecimală bună. Atât pe calculator, cât și pe o bucată de hârtie, obținem 0,3333333... Aceasta înseamnă că 1/3 este o fracție zecimală exactă nu se traduce. La fel ca 1/7, 5/6 și așa mai departe. Sunt multe dintre ele, intraductibile. Acest lucru ne aduce la o altă concluzie utilă. Nu orice fracție poate fi convertită într-o zecimală !
Apropo, asta informatii utile pentru autotest. În secțiunea „B” trebuie să scrieți o fracție zecimală în răspunsul dvs. Și ai primit, de exemplu, 4/3. Această fracție nu se transformă într-o zecimală. Asta înseamnă că ai făcut o greșeală undeva pe parcurs! Întoarce-te și verifică soluția.
Deci, ne-am dat seama de fracții obișnuite și zecimale. Tot ce rămâne este să ne ocupăm de numere mixte. Pentru a lucra cu ele, acestea trebuie convertite în fracții obișnuite. Cum să o facă? Poți să prinzi un elev de clasa a șasea și să-l întrebi. Dar un elev de clasa a șasea nu va fi întotdeauna la îndemână... Va trebui să o faci singur. Nu e greu. Trebuie să înmulțiți numitorul părții fracționale cu întreaga parte și să adăugați numărătorul părții fracționale. Acesta va fi numărătorul fracției comune. Dar numitorul? Numitorul va rămâne același. Sună complicat, dar în realitate totul este simplu. Să ne uităm la un exemplu.
Să presupunem că ați fost îngrozit să vedeți numărul din problemă:
Calm, fără panică, ne gândim. Întreaga parte este 1. Unitate. Partea fracționată este 3/7. Prin urmare, numitorul părții fracționale este 7. Acest numitor va fi numitorul fracției ordinare. Numărăm numărătorul. Înmulțim 7 cu 1 (partea întreagă) și adunăm 3 (numărătorul părții fracționale). Obținem 10. Acesta va fi numărătorul unei fracții comune. Asta e tot. Arată și mai simplu în notație matematică:
Este clar? Atunci asigură-ți succesul! Convertiți în fracții obișnuite. Ar trebui să obțineți 10/7, 7/2, 23/10 și 21/4.
Funcționare inversă - fără traducere Fracțiunea corespunzătoareîntr-un număr mixt – rar cerut în liceu. Ei bine, dacă da... Și dacă nu ești la liceu, poți să te uiți la Secțiunea specială 555. Apropo, veți învăța și despre fracțiile improprii acolo.
Ei bine, asta e practic tot. Ți-ai amintit tipurile de fracții și ai înțeles Cum transferă-le de la un tip la altul. Intrebarea ramane: Pentru ce Fă-o? Unde și când să aplici această cunoaștere profundă?
Raspund. Orice exemplu în sine sugerează acțiunile necesare. Dacă în exemplu sunt amestecate fracții obișnuite, zecimale și chiar numere mixte, convertim totul în fracții obișnuite. Se poate face oricând. Ei bine, dacă scrie ceva de genul 0,8 + 0,3, atunci îl numărăm așa, fără nicio traducere. De ce avem nevoie de muncă suplimentară? Alegem soluția care este convenabilă S.U.A !
Dacă sarcina sunt toate fracțiile zecimale, dar um... un fel de fracții rele, mergi la cele obișnuite și încearcă! Uite, totul se va rezolva. De exemplu, va trebui să pătrați numărul 0,125. Nu este atât de ușor dacă nu te-ai obișnuit să folosești un calculator! Nu numai că trebuie să înmulți numerele într-o coloană, dar trebuie să te gândești și unde să introduci virgula! Cu siguranță nu va funcționa în capul tău! Ce se întâmplă dacă trecem la o fracție obișnuită?
0,125 = 125/1000. O reducem cu 5 (asta este pentru inceput). Primim 25/200. Din nou până la 5. Obținem 5/40. Oh, încă se micșorează! Înapoi la 5! Primim 1/8. Îl pătram cu ușurință (în mintea noastră!) și obținem 1/64. Toate!
Să rezumam această lecție.
1. Există trei tipuri de fracții. Numere comune, zecimale și mixte.
2. Decimale și numere mixte Mereu pot fi convertite în fracții obișnuite. Transfer invers nu intotdeauna disponibil.
3. Alegerea tipului de fracții pentru a lucra cu o sarcină depinde de sarcina în sine. În prezența tipuri diferite fracții într-o singură sarcină, cel mai de încredere lucru este să treceți la fracții obișnuite.
Acum poți exersa. Mai întâi, convertiți aceste fracții zecimale în fracții obișnuite:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Ar trebui să obțineți răspunsuri ca acesta (în mizerie!):
Să terminăm aici. În această lecție ne-am împrospătat memoria puncte cheie prin fracții. Se întâmplă, totuși, că nu există nimic special de reîmprospătat...) Dacă cineva a uitat complet, sau nu a stăpânit încă... Atunci puteți merge la o Secțiune specială 555. Toate elementele de bază sunt acoperite în detaliu acolo. Mulți dintr-o dată intelege totulîncep. Și rezolvă fracții din mers).
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Fracțiune- o formă de reprezentare a unui număr în matematică. Bara de fracțiuni indică operația de împărțire. Numărător fracția se numește dividend și numitor- separator. De exemplu, într-o fracție, numărătorul este 5 și numitorul este 7.
Corect Se numește o fracție în care modulul numărătorului este mai mare decât modulul numitorului. Dacă o fracție este proprie, atunci modulul valorii sale este întotdeauna mai mic decât 1. Toate celelalte fracții sunt gresit.
Fracția se numește amestecat, dacă se scrie ca număr întreg și fracție. Aceasta este aceeași cu suma acestui număr și a fracției:
Proprietatea principală a unei fracții
Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu același număr, atunci valoarea fracției nu se va schimba, adică, de exemplu,
Reducerea fracțiilor la un numitor comun
Pentru a aduce două fracții la un numitor comun, aveți nevoie de:
- Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua
- Înmulțiți numărătorul celei de-a doua fracții cu numitorul primei
- Înlocuiți numitorii ambelor fracții cu produsul lor
Operații cu fracții
Plus. Pentru a adăuga două fracții aveți nevoie
- Adăugați noii numărători ai ambelor fracții și lăsați numitorul neschimbat
Exemplu:
Scădere. Pentru a scădea o fracție din alta, aveți nevoie
- Reduceți fracțiile la un numitor comun
- Scădeți numărătorul celei de-a doua din numărătorul primei fracții și lăsați numitorul neschimbat
Exemplu:
Multiplicare. Pentru a înmulți o fracție cu alta, înmulțiți-le numărătorii și numitorii:
Divizia. Pentru a împărți o fracție la alta, înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua:
YouTube enciclopedic
-
1 / 5
Comun(sau simplu) fracție - scrierea unui număr rațional sub forma ± m n (\displaystyle \pm (\frac (m)(n))) sau ± m / n , (\displaystyle \pm m/n,) Unde n ≠ 0. (\displaystyle n\neq 0.) O orizontală sau o bară oblică indică un semn de divizare, rezultând un coeficient. Se cheamă dividendul numărător fracții, iar divizorul este numitor.
Notație pentru fracții comune
Există mai multe tipuri de scriere a fracțiilor obișnuite în formă tipărită:
Fracții proprii și improprii
Corect O fracție al cărei numărător este mai mic decât numitorul ei se numește fracție. O fracție care nu este proprie se numește gresit, și reprezintă Numar rational, modulo mai mare sau egal cu unu.
De exemplu, fracții 3 5 (\displaystyle (\frac (3)(5))), 7 8 (\displaystyle (\frac (7)(8)))și sunt fracții proprii, în timp ce 8 3 (\displaystyle (\frac (8)(3))), 9 5 (\displaystyle (\frac (9)(5))), 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1)))Și 1 1 (\displaystyle (\frac (1)(1)))- fracții improprii. Orice număr întreg diferit de zero poate fi reprezentat ca o fracție improprie cu numitorul 1.
Fracții mixte
Se numește o fracție scrisă ca număr întreg și o fracție proprie fracție mixtăși se înțelege ca suma acestui număr și a unei fracții. Orice număr rațional poate fi scris ca fracție mixtă. Spre deosebire de o fracție mixtă, se numește o fracție care conține doar un numărător și un numitor simplu.
De exemplu, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 (\displaystyle 2(\frac (3)(7))=2+(\frac (3)(7))=(\frac (14) )(7))+(\frac (3)(7))=(\frac (17)(7))). În literatura matematică strictă, ei preferă să nu folosească o astfel de notație din cauza asemănării notației pentru o fracție mixtă cu notația pentru produsul unui întreg cu o fracție, precum și din cauza notației mai greoaie și a calculelor mai puțin convenabile. .
Fracții compuse
O fracție cu mai multe etaje, sau compusă, este o expresie care conține mai multe linii orizontale (sau, mai puțin frecvent, oblice):
1 2 / 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(2))/(\frac (1)(3))) sau 1 / 2 1 / 3 (\displaystyle (\frac (1/2)(1/3))) sau 12 3 4 26 (\displaystyle (\frac (12(\frac (3)(4)))(26)))zecimale
O zecimală este o reprezentare pozițională a unei fracții. Arata cam asa:
± a 1 a 2 … a n , b 1 b 2 … (\displaystyle \pm a_(1)a_(2)\dots a_(n)(,)b_(1)b_(2)\dots )Exemplu: 3,141 5926 (\displaystyle 3(,)1415926).
Partea înregistrării care vine înaintea virgulei zecimale poziționale este partea întreagă a numărului (fracție), iar partea care vine după virgulă zecimală este partea fracțională. Orice fracție obișnuită poate fi convertită într-o zecimală, care în acest caz fie are un număr finit de zecimale, fie este o fracție periodică.
În general, pentru notarea pozițională a numerelor, puteți utiliza nu numai sistem zecimal notație, dar și altele (inclusiv unele specifice, precum Fibonacci).
Semnificația unei fracții și proprietatea principală a unei fracții
O fracție este doar o reprezentare a unui număr. Același număr poate corespunde fracții diferite, atât ordinare, cât și zecimale.
0 , 999... = 1 (\displaystyle 0,999...=1)- două fracții diferite corespund aceluiași număr.Operații cu fracții
Această secțiune acoperă operațiunile pe fracții obișnuite. Pentru operații cu fracții zecimale, vezi Fracție zecimală.
Reducere la un numitor comun
Pentru a compara, a adăuga și a scădea fracții, acestea trebuie convertite ( aduce) la o formă cu același numitor. Să fie date două fracții: a b (\displaystyle (\frac (a)(b)))Și c d (\displaystyle (\frac (c)(d))). Procedură:
După aceasta, numitorii ambelor fracții coincid (egal M). În loc de cel mai mic multiplu comun, puteți utiliza cazuri simple ia ca M orice alt multiplu comun, cum ar fi produsul numitorilor. Pentru un exemplu, consultați secțiunea Comparație de mai jos.
Comparaţie
Pentru a compara două fracții comune, trebuie să le aduceți la un numitor comun și să comparați numărătorii fracțiilor rezultate. O fracție cu un numărător mai mare va fi mai mare.
Exemplu. Să comparăm 3 4 (\displaystyle (\frac (3)(4)))Și 4 5 (\displaystyle (\frac (4)(5))). LCM(4, 5) = 20. Reducem fracțiile la numitorul 20.
3 4 = 15 20 ; 4 5 = 16 20 (\displaystyle (\frac (3)(4))=(\frac (15)(20));\quad (\frac (4)(5))=(\frac (16)( 20)))Prin urmare, 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}
Adunare si scadere
Pentru a adăuga două fracții obișnuite, trebuie să le reduceți la un numitor comun. Apoi adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:
1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) + = + = 5 6 (\displaystyle (\frac (5)(6)))LCM al numitorilor (aici 2 și 3) este egal cu 6. Dăm fracția 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) la numitorul 6, pentru aceasta numărătorul și numitorul trebuie înmulțiți cu 3.
1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) - = - 1 4 (\displaystyle (\frac (1)(4))) = 1 4 (\displaystyle (\frac (1)(4)))
S-a întâmplat 3 6 (\displaystyle (\frac (3)(6))). Dăm fracția 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))) la același numitor, pentru aceasta numărătorul și numitorul trebuie înmulțite cu 2. S-a dovedit 2 6 (\displaystyle (\frac (2)(6))).
Pentru a obține diferența dintre fracții, acestea trebuie, de asemenea, aduse la un numitor comun și apoi scădeți numărătorii, lăsând numitorul neschimbat:LCM al numitorilor (aici 2 și 4) este egal cu 4. Prezentăm fracția 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) la numitorul 4, pentru aceasta trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu 2. Obținem 2 4 (\displaystyle (\frac (2)(4))).
Înmulțirea și împărțirea
Pentru a înmulți două fracții obișnuite, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii:
a b ⋅ c d = a c b d . (\displaystyle (\frac (a)(b))\cdot (\frac (c)(d))=(\frac (ac)(bd)).)În special, pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să înmulțiți numărătorul cu număr și să lăsați numitorul același:
2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))\cdot 3=(\frac (6)(3))=2)În general, numărătorul și numitorul fracției rezultate pot să nu fie coprim, iar fracția poate fi necesar să fie redusă, de exemplu:
5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4 . (\displaystyle (\frac (5)(8))\cdot (\frac (2)(5))=(\frac (10)(40))=(\frac (1)(4)).)Pentru a împărți o fracție obișnuită la alta, trebuie să înmulțiți prima cu reciproca celei de-a doua:
a b: c d = a b ⋅ d c = a d b c , c ≠ 0. (\displaystyle (\frac (a)(b)):(\frac (c)(d))=(\frac (a)(b))\ cdot (\frac (d)(c))=(\frac (ad)(bc)),\quad c\neq 0.)De exemplu,
1 2: 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2. (\displaystyle (\frac (1)(2)):(\frac (1)(3))=(\frac (1)(2))\cdot (\frac (3)(1))=(\ frac (3)(2)).)Convertiți între diferite formate de înregistrare
Pentru a converti o fracție într-o zecimală, împărțiți numărătorul la numitor. Rezultatul poate avea un număr finit de zecimale, dar poate avea și un număr infinit
În timp ce studiază regina tuturor științelor - matematica, la un moment dat toată lumea da peste fracții. Deși acest concept (precum tipurile de fracții în sine sau operațiile matematice cu acestea) nu este deloc complicat, trebuie să îl tratați cu atenție, deoarece în viața reală în afara școlii va fi foarte util. Deci, haideți să ne reîmprospătăm cunoștințele despre fracții: ce sunt, pentru ce sunt, ce tipuri sunt și cum să efectuați diverse operații aritmetice cu ele.
Fracția Majestatea Sa: ce este
În matematică, fracțiile sunt numere, fiecare dintre ele constând din una sau mai multe părți ale unei unități. Astfel de fracții sunt numite și obișnuite sau simple. De regulă, ele sunt scrise sub forma a două numere care sunt separate printr-o linie orizontală sau oblică, se numește linie „fracțională”. De exemplu: ½, ¾.
Cel de sus sau primul dintre aceste numere este numărătorul (indică câte părți sunt luate din număr), iar cel de jos, sau al doilea, este numitorul (demonstrează în câte părți este împărțită unitatea).
Bara de fracțiuni funcționează de fapt ca un semn de divizare. De exemplu, 7:9=7/9
În mod tradițional, fracțiile comune sunt mai puțin de unu. În timp ce zecimalele pot fi mai mari decât acestea.
Pentru ce sunt fracțiile? Da, pentru orice, pentru că în lumea reală, nu toate numerele sunt numere întregi. De exemplu, două eleve de la cantină au cumpărat împreună un baton de ciocolată delicios. Când erau pe cale să împartă desertul, s-au întâlnit cu o prietenă și au decis să o trateze și cu ea. Cu toate acestea, acum este necesar să împărțim corect batonul de ciocolată, având în vedere că este format din 12 pătrate.
La început, fetele au vrut să împartă totul în mod egal, iar apoi fiecare avea să primească patru bucăți. Dar, după ce s-au gândit bine, au decis să-și trateze prietenul, nu cu 1/3, ci cu 1/4 din ciocolată. Și din moment ce școlarele nu au studiat bine fracțiile, nu au ținut cont că într-o astfel de situație ar ajunge cu 9 bucăți, foarte greu de împărțit în două. Acest exemplu destul de simplu arată cât de important este să poți găsi corect o parte dintr-un număr. Dar în viață există mult mai multe astfel de cazuri.
Tipuri de fracții: ordinare și zecimale
Toate fracțiile matematice sunt împărțite în două mari categorii: ordinare și zecimale. Caracteristicile primului dintre ele au fost descrise în paragraful anterior, așa că acum merită să acordați atenție celui de-al doilea.
Decimalul este o notație pozițională a unei fracțiuni dintr-un număr, care este scrisă în scris, separată prin virgulă, fără liniuță sau bară oblică. De exemplu: 0,75, 0,5.
De fapt, o fracție zecimală este identică cu o fracție obișnuită, cu toate acestea, numitorul ei este întotdeauna unul urmat de zerouri - de unde și numele.
Numărul care precede virgulă este o parte întreagă, iar tot ce urmează este o fracție. Orice fracție simplă poate fi convertită într-o zecimală. Astfel, fracțiile zecimale indicate în exemplul anterior pot fi scrise ca de obicei: ¾ și ½.
Este demn de remarcat faptul că atât fracțiile zecimale, cât și cele ordinare pot fi pozitive sau negative. Dacă sunt precedate de semnul „-”, această fracție este negativă, dacă „+” este o fracție pozitivă.
Subtipuri de fracții ordinare
Există aceste tipuri de fracții simple.
Subtipuri de fracție zecimală
Spre deosebire de o fracție simplă, o fracție zecimală este împărțită în doar 2 tipuri.
- Finală - a primit acest nume datorită faptului că după virgulă are un număr limitat (finit) de cifre: 19,25.
- O fracție infinită este un număr cu un număr infinit de cifre după virgulă zecimală. De exemplu, când împărțim 10 la 3, rezultatul va fi o fracție infinită 3,333...
Adunarea fracțiilor
Efectuarea diferitelor manipulări aritmetice cu fracții este puțin mai dificilă decât cu numere obișnuite. Cu toate acestea, dacă înțelegeți regulile de bază, rezolvarea oricărui exemplu cu ele nu va fi dificilă.
De exemplu: 2/3+3/4. Cel mai mic multiplu comun pentru ei va fi 12, prin urmare, este necesar ca acest număr să fie în fiecare numitor. Pentru a face acest lucru, înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 4, rezultă 8/12, facem același lucru cu al doilea termen, dar doar înmulțim cu 3 - 9/12. Acum puteți rezolva cu ușurință exemplul: 8/12+9/12= 17/12. Fracția rezultată este o unitate incorectă deoarece numărătorul este mai mare decât numitorul. Poate și trebuie transformat într-un amestec corect, împărțind 17:12 = 1 și 5/12.
Când se adaugă fracții mixte, operațiile sunt efectuate mai întâi cu numere întregi și apoi cu fracții.
Dacă exemplul conține o fracție zecimală și o fracție obișnuită, este necesar să le faceți simple pe ambele, apoi să le aduceți la același numitor și să le adăugați. De exemplu 3.1+1/2. Numărul 3,1 poate fi scris ca o fracție mixtă de 3 și 1/10 sau ca o fracție improprie - 31/10. Numitorul comun pentru termeni va fi 10, așa că trebuie să înmulțiți alternativ numărătorul și numitorul lui 1/2 cu 5, obțineți 5/10. Apoi puteți calcula cu ușurință totul: 31/10+5/10=35/10. Rezultatul obținut este o fracție reductibilă improprie, o aducem în formă normală, reducând-o cu 5: 7/2 = 3 și 1/2, sau zecimală - 3,5.
Când adăugați 2 fracții zecimale, este important să existe același număr de cifre după virgulă. Dacă nu este cazul, trebuie doar să adăugați numărul necesar de zerouri, deoarece într-o fracție zecimală acest lucru se poate face fără durere. De exemplu, 3,5+3,005. Pentru a rezolva această problemă, trebuie să adăugați 2 zerouri la primul număr și apoi să adăugați unul câte unul: 3.500+3.005=3.505.
Scăderea fracțiilor
Când scădeți fracții, ar trebui să faceți același lucru ca atunci când adăugați: reduceți la un numitor comun, scădeți un numărător din altul și, dacă este necesar, convertiți rezultatul într-o fracție mixtă.
De exemplu: 16/20-5/10. Numitorul comun va fi 20. Trebuie să aduceți a doua fracție la acest numitor prin înmulțirea ambelor părți cu 2, obțineți 10/20. Acum puteți rezolva exemplul: 16/20-10/20= 6/20. Cu toate acestea, acest rezultat se aplică fracțiilor reductibile, așa că merită împărțit ambele părți la 2 și rezultatul este 3/10.
Înmulțirea fracțiilor
Împărțirea și înmulțirea fracțiilor sunt operații mult mai simple decât adunarea și scăderea. Faptul este că atunci când îndepliniți aceste sarcini, nu este nevoie să căutați un numitor comun.
Pentru a înmulți fracțiile, trebuie pur și simplu să înmulțiți ambii numărători unul câte unul și apoi ambii numitori. Reduceți rezultatul rezultat dacă fracția este o cantitate reductibilă.
De exemplu: 4/9x5/8. După înmulțirea alternativă, rezultatul este 4x5/9x8=20/72. Această fracție poate fi redusă cu 4, deci răspunsul final din exemplu este 5/18.
Cum se împarte fracțiile
Împărțirea fracțiilor este, de asemenea, o operație simplă; de fapt, încă se rezumă la înmulțirea lor. Pentru a împărți o fracție la alta, trebuie să inversați a doua și să înmulțiți cu prima.
De exemplu, împărțirea fracțiilor 5/19 și 5/7. Pentru a rezolva exemplul, trebuie să schimbați numitorul și numărătorul celei de-a doua fracții și să înmulțiți: 5/19x7/5=35/95. Rezultatul poate fi redus cu 5 - se dovedește 7/19.
Dacă trebuie să împărțiți o fracție la un număr prim, tehnica este ușor diferită. Inițial, ar trebui să scrieți acest număr ca o fracție improprie și apoi să împărțiți conform aceleiași scheme. De exemplu, 2/13:5 ar trebui să fie scris ca 2/13: 5/1. Acum trebuie să întoarceți 5/1 și să înmulțiți fracțiile rezultate: 2/13x1/5= 2/65.
Uneori trebuie să împărțiți fracții mixte. Trebuie să le tratați așa cum ați face cu numerele întregi: transformați-le în fracții improprii, inversați divizorul și înmulțiți totul. De exemplu, 8 ½: 3. Transformă totul în fracții improprii: 17/2: 3/1. Aceasta este urmată de o întoarcere 3/1 și de înmulțire: 17/2x1/3= 17/6. Acum ar trebui să convertiți fracția necorespunzătoare în cea corectă - 2 întregi și 5/6.
Deci, după ce v-ați dat seama ce sunt fracțiile și cum puteți efectua diverse operații aritmetice cu ele, trebuie să încercați să nu uitați de asta. La urma urmei, oamenii sunt întotdeauna mai înclinați să împartă ceva în părți decât să adauge, așa că trebuie să poți face acest lucru corect.
Fracțiuneîn matematică, un număr format din una sau mai multe părți (fracții) ale unei unități. Fracțiile fac parte din câmpul numerelor raționale. Pe baza modului în care sunt scrise, fracțiile sunt împărțite în 2 formate: comun tip și zecimal .
Numărătorul fracției- un număr care arată numărul de acțiuni luate (situat în partea de sus a fracției - deasupra liniei). Numitorul fracției- un număr care arată în câte acțiuni este împărțită unitatea (situat sub linie - în partea de jos). , la rândul lor, se împart în: corectȘi incorect, amestecatȘi compozit sunt strâns legate de unitățile de măsură. 1 metru conține 100 cm, ceea ce înseamnă că 1 m este împărțit în 100 de părți egale. Astfel, 1 cm = 1/100 m (un centimetru este egal cu o sutime de metru).
sau 3/5 (trei cincimi), aici 3 este numărătorul, 5 este numitorul. Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci fracția este mai mică decât unu și se numește corect:
Dacă numărătorul este egal cu numitorul, fracția este egală cu unu. Dacă numărătorul este mai mare decât numitorul, fracția este mai mare decât unu. În ambele ultime cazuri se numește fracția gresit:
Pentru a izola cel mai mare număr întreg conținut într-o fracție improprie, împărțiți numărătorul la numitor. Dacă împărțirea se face fără rest, atunci fracția improprie luată este egală cu câtul:
Dacă împărțirea se face cu un rest, atunci câtul (incomplet) dă numărul întreg dorit, iar restul devine numărătorul părții fracționale; numitorul părții fracționale rămâne același.
Se numește un număr care conține un întreg și o parte fracțională amestecat. Fracțiune număr mixt pot fi fracție improprie. Apoi puteți selecta cel mai mare număr întreg din partea fracțională și puteți reprezenta numărul mixt în așa fel încât partea fracțională să devină o fracție adecvată (sau să dispară cu totul).