Una dintre cele mai convenabile metode de rezolvare a inegalităților pătratice este metoda grafică. În acest articol ne vom uita la modul în care inegalitățile pătratice sunt rezolvate grafic. Mai întâi, să discutăm care este esența acestei metode. În continuare, vom prezenta algoritmul și vom lua în considerare exemple de rezolvare grafică a inegalităților pătratice.

Navigare în pagină.

Esența metodei grafice

Deloc metoda grafica de rezolvare a inegalitatilor cu o variabilă este folosit nu numai pentru a rezolva inegalitățile pătratice, ci și alte tipuri de inegalități. Esența metodei grafice de rezolvare a inegalitățilorîn continuare: luați în considerare funcțiile y=f(x) și y=g(x), care corespund laturilor stânga și dreaptă ale inegalității, construiți graficele lor într-un sistem de coordonate dreptunghiular și aflați la ce intervale graficul unuia dintre ele sunt mai jos sau mai sus decât celelalte. Acele intervale în care

• graficul funcției f deasupra graficului funcției g sunt soluții ale inegalității f(x)>g(x) ;
• graficul funcției f nu mai mic decât graficul funcției g sunt soluții ale inegalității f(x)≥g(x) ;
• graficul lui f sub graficul lui g sunt soluții ale inegalității f(x)
• graficul unei funcții f nu mai mare decât graficul unei funcții g sunt soluții ale inegalității f(x)≤g(x) .

De asemenea, vom spune că abscisele punctelor de intersecție ale graficelor funcțiilor f și g sunt soluții ale ecuației f(x)=g(x) .

Să transferăm aceste rezultate în cazul nostru - pentru a rezolva inegalitatea pătratică a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Introducem două funcții: prima y=a x 2 +b x+c (cu f(x)=a x 2 +b x+c) corespunzătoare laturii stângi a inegalității pătratice, a doua y=0 (cu g ( x)=0 ) corespunde laturii drepte a inegalității. Programa funcţie pătratică f este o parabolă și graficul functie constanta g – linie dreaptă care coincide cu axa absciselor Ox.

În continuare, conform metodei grafice de rezolvare a inegalităților, este necesar să analizăm la ce intervale se află graficul unei funcții deasupra sau sub alta, ceea ce ne va permite să notăm soluția dorită a inegalității pătratice. În cazul nostru, trebuie să analizăm poziția parabolei în raport cu axa Ox.

În funcție de valorile coeficienților a, b și c, sunt posibile următoarele șase opțiuni (pentru nevoile noastre, este suficientă o reprezentare schematică și nu trebuie să descriem axa Oy, deoarece poziția sa nu afectează soluții la inegalitate):

În acest desen vedem o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus și care intersectează axa Ox în două puncte, a cărei abscisă sunt x 1 și x 2. Acest desen corespunde opțiunii când coeficientul a este pozitiv (este responsabil pentru direcția ascendentă a ramurilor parabolei) și când valoarea este pozitivă discriminant al unui trinom pătratic a x 2 +b x+c (în acest caz, trinomul are două rădăcini, pe care le-am notat cu x 1 și x 2, și am presupus că x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Pentru claritate, să descriem în roșu părțile parabolei situate deasupra axei x, iar în albastru - cele situate sub axa x.


Acum să aflăm ce intervale corespund acestor părți. Următorul desen vă va ajuta să le identificați (în viitor vom face selecții similare sub formă de dreptunghiuri mental):


Deci pe axa absciselor au fost evidențiate cu roșu două intervale (−∞, x 1) și (x 2 , +∞), pe ele parabola este deasupra axei Ox, ele constituie o soluție a inegalității pătratice a x 2 +b x +c>0 , iar intervalul (x 1 , x 2) este evidențiat cu albastru, există o parabolă sub axa Ox, reprezintă soluția inegalității a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Și acum pe scurt: pentru a>0 și D=b 2 −4 a c>0 (sau D"=D/4>0 pentru un coeficient b)

• soluția inegalității pătratice a x 2 +b x+c>0 este (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) sau în altă notație x x2;
• soluția inegalității pătratice a x 2 +b x+c≥0 este (−∞, x 1 ]∪ sau în altă notație x 1 ≤x≤x 2 ,

unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile trinomului pătratic a x 2 +b x+c și x 1


Aici vedem o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus și care atinge axa absciselor, adică are un punct comun cu ea; notăm abscisa acestui punct ca x 0. Cazul prezentat corespunde a>0 (ramurile sunt îndreptate în sus) și D=0 (trinomul pătrat are o rădăcină x 0). De exemplu, puteți lua funcția pătratică y=x 2 −4·x+4, aici a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 și x 0 =2.

Desenul arată clar că parabola este situată deasupra axei Ox peste tot, cu excepția punctului de contact, adică pe intervalele (−∞, x 0), (x 0, ∞). Pentru claritate, să evidențiem zonele din desen prin analogie cu paragraful anterior.


Tragem concluzii: pentru a>0 și D=0

• soluția inegalității pătratice a·x 2 +b·x+c>0 este (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) sau în altă notație x≠x 0;
• soluția inegalității pătratice a·x 2 +b·x+c≥0 este (−∞, +∞) sau în altă notație x∈R ;
• inegalitatea pătratică a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• inegalitatea pătratică a x 2 +b x+c≤0 are o soluție unică x=x 0 (este dată de punctul de tangență),

unde x 0 este rădăcina trinomului pătrat a x 2 + b x + c.


În acest caz, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus și nu are puncte comune cu axa absciselor. Aici avem condițiile a>0 (ramurile sunt îndreptate în sus) și D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Evident, parabola este situată deasupra axei Ox pe toată lungimea sa (nu există intervale la care să fie sub axa Ox, nu există punct de tangență).


Astfel, pentru a>0 și D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 și a x 2 +b x+c≥0 este mulțimea tuturor numerelor reale, iar inegalitățile a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Și rămân trei opțiuni pentru localizarea parabolei cu ramuri îndreptate în jos, nu în sus, în raport cu axa Ox. În principiu, nu trebuie luate în considerare, deoarece înmulțirea ambelor părți ale inegalității cu −1 ne permite să mergem la o inegalitate echivalentă cu un coeficient pozitiv pentru x 2. Dar tot nu strica să-ți faci o idee despre aceste cazuri. Raționamentul aici este similar, așa că vom nota doar rezultatele principale.

Algoritm de rezolvare

Rezultatul tuturor calculelor anterioare este algoritm pentru rezolvarea grafică a inegalităților pătratice:

Se realizează un desen schematic pe planul de coordonate, care înfățișează axa Ox (nu este necesar să se înfățișeze axa Oy) și o schiță a unei parabole corespunzătoare funcției pătratice y=a·x 2 +b·x+c. Pentru a desena o schiță a unei parabole, este suficient să clarificați două puncte:

• În primul rând, prin valoarea coeficientului a se determină încotro sunt direcționate ramurile sale (pentru a>0 - în sus, pentru a<0 – вниз).
• Și în al doilea rând, pe baza valorii discriminantului trinomului pătrat a x 2 + b x + c, se determină dacă parabola intersectează axa absciselor în două puncte (pentru D>0), o atinge într-un punct (pentru D= 0), sau nu are puncte comune cu axa Ox (la D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Când desenul este gata, utilizați-l în a doua etapă a algoritmului

  • la rezolvarea inegalităţii pătratice a·x 2 +b·x+c>0 se determină intervalele la care se află parabola deasupra abscisei;
  • la rezolvarea inegalității a·x 2 +b·x+c≥0 se determină intervalele la care parabola este situată deasupra axei absciselor și se adaugă abscisele punctelor de intersecție (sau abscisa punctului tangentei). lor;
  • la rezolvarea inegalităţii a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • în sfârșit, la rezolvarea unei inegalități pătratice de forma a·x 2 +b·x+c≤0 se găsesc intervale în care parabola se află sub axa Ox și abscisa punctelor de intersecție (sau abscisa punctului tangent). ) li se adaugă;

  ele constituie soluția dorită a inegalității pătratice, iar dacă nu există astfel de intervale și nici puncte de tangență, atunci inegalitatea pătratică originală nu are soluții.

Tot ce rămâne este să rezolvi câteva inegalități pătratice folosind acest algoritm.

Exemple cu soluții

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea .

Soluţie.

Trebuie să rezolvăm o inegalitate pătratică, să folosim algoritmul din paragraful anterior. În primul pas trebuie să schițăm graficul funcției pătratice . Coeficientul lui x 2 este egal cu 2, este pozitiv, prin urmare, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. Să aflăm, de asemenea, dacă parabola are puncte comune cu axa x; pentru a face acest lucru, vom calcula discriminantul trinomului pătratic . Avem . Discriminantul s-a dovedit a fi mai mare decât zero, prin urmare, trinomul are două rădăcini reale: Și , adică x 1 =−3 și x 2 =1/3.

Din aceasta este clar că parabola intersectează axa Ox în două puncte cu abscisele −3 și 1/3. Vom reprezenta aceste puncte în desen ca puncte obișnuite, deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă. Pe baza datelor clarificate, obținem următorul desen (se potrivește cu primul șablon din primul paragraf al articolului):

Să trecem la a doua etapă a algoritmului. Deoarece rezolvăm o inegalitate pătratică nestrictă cu semnul ≤, trebuie să determinăm intervalele la care parabola este situată sub abscisă și să adăugăm la acestea abscisele punctelor de intersecție.

Din desen reiese clar că parabola se află sub axa x pe intervalul (−3, 1/3) și la aceasta adăugăm abscisele punctelor de intersecție, adică numerele −3 și 1/3. Ca rezultat, ajungem la intervalul numeric [−3, 1/3] . Aceasta este soluția pe care o căutăm. Se poate scrie sub formă dubla inegalitate−3≤x≤1/3 .

Răspuns:

[−3, 1/3] sau −3≤x≤1/3 .

Exemplu.

Aflați soluția inegalității pătratice −x 2 +16 x−63<0 .

Soluţie.

Ca de obicei, începem cu un desen. Coeficientul numeric pentru pătratul variabilei este negativ, −1, prin urmare, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Să calculăm discriminantul sau, mai bine, a patra parte a acestuia: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Valoarea sa este pozitivă, să calculăm rădăcinile trinomului pătrat: Și , x 1 =7 și x 2 =9. Deci parabola intersectează axa Ox în două puncte cu abscisele 7 și 9 (inegalitatea inițială este strictă, așa că vom reprezenta aceste puncte cu un centru gol). Acum putem face un desen schematic:

Deoarece rezolvăm o inegalitate pătratică strictă cu un semn<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Desenul arată că soluțiile inegalității pătratice originale sunt două intervale (−∞, 7) , (9, +∞) .

Răspuns:

(−∞, 7)∪(9, +∞) sau în altă notație x<7 , x>9 .

Când rezolvați inegalități pătratice, când discriminantul unui trinom pătratic de pe partea stângă este zero, trebuie să aveți grijă să includeți sau să excludeți abscisa punctului tangent din răspuns. Aceasta depinde de semnul inegalității: dacă inegalitatea este strictă, atunci nu este o soluție a inegalității, dar dacă nu este strictă, atunci este.

Exemplu.

Are inegalitatea pătratică 10 x 2 −14 x+4.9≤0 cel puțin o soluție?

Soluţie.

Să reprezentăm grafic funcția y=10 x 2 −14 x+4.9. Ramurile sale sunt îndreptate în sus, deoarece coeficientul lui x 2 este pozitiv și atinge axa absciselor în punctul cu abscisa 0,7, deoarece D"=(−7) 2 −10 4,9=0, de unde sau 0,7 sub forma a unei fracții zecimale. Schematic arată astfel:

Deoarece rezolvăm o inegalitate pătratică cu semnul ≤, soluția ei va fi intervalele la care parabola se află sub axa Ox, precum și abscisa punctului tangent. Din desen este clar că nu există un singur gol unde parabola ar fi sub axa Ox, deci soluția sa va fi doar abscisa punctului tangent, adică 0,7.

Răspuns:

această inegalitate are o soluție unică 0,7.

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea pătratică –x 2 +8 x−16<0 .

Soluţie.

Urmăm algoritmul de rezolvare a inegalităților pătratice și începem prin a construi un grafic. Ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, deoarece coeficientul lui x 2 este negativ, −1. Să găsim discriminantul trinomului pătrat –x 2 +8 x−16, avem D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0și mai departe x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Deci, parabola atinge axa Ox în punctul de abscisă 4. Să facem desenul:

Ne uităm la semnul inegalității originale, este acolo<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

În cazul nostru, acestea sunt raze deschise (−∞, 4) , (4, +∞) . Separat, observăm că 4 - abscisa punctului de contact - nu este o soluție, deoarece la punctul de contact parabola nu este mai mică decât axa Ox.

Răspuns:

(−∞, 4)∪(4, +∞) sau în altă notație x≠4 .

Acordați o atenție deosebită cazurilor în care discriminantul trinomului pătratic din partea stângă a inegalității pătratice este mai mic decât zero. Nu este nevoie să ne grăbim aici și să spunem că inegalitatea nu are soluții (obișnuim să facem o astfel de concluzie pentru ecuațiile pătratice cu discriminant negativ). Ideea este că inegalitatea pătratică pentru D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Exemplu.

Aflați soluția inegalității pătratice 3 x 2 +1>0.

Soluţie.

Ca de obicei, începem cu un desen. Coeficientul a este 3, este pozitiv, prin urmare, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. Se calculează discriminantul: D=0 2 −4·3·1=−12 . Deoarece discriminantul este negativ, parabola nu are puncte comune cu axa Ox. Informațiile obținute sunt suficiente pentru un grafic schematic:

Rezolvăm o inegalitate pătratică strictă cu semnul >. Soluția sa vor fi toate intervalele în care parabola este deasupra axei Ox. În cazul nostru, parabola se află deasupra axei x pe toată lungimea ei, deci soluția dorită va fi mulțimea tuturor numerelor reale.

Ox și trebuie să adăugați și abscisa punctelor de intersecție sau abscisa tangenței la ele. Dar din desen se vede clar că nu există astfel de intervale (deoarece parabola este peste tot sub axa absciselor), așa cum nu există puncte de intersecție, așa cum nu există puncte de tangență. Prin urmare, inegalitatea pătratică originală nu are soluții.

Răspuns:

fără soluții sau în altă intrare ∅.

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebră: Clasa a IX-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore.Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 9-a. În 2 ore Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analiză matematică. Clasa a 11a. În 2 ore Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a II-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

În timpul lecției, veți putea studia în mod independent subiectul „Rezolvarea grafică a ecuațiilor și inegalităților”. În timpul lecției, profesorul va examina metode grafice de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților. Vă va învăța cum să construiți grafice, să le analizați și să obțineți soluții la ecuații și inegalități. Lecția va acoperi, de asemenea, exemple specifice pe acest subiect.

Subiect: Funcții numerice

Lecția: Rezolvarea grafică a ecuațiilor, inegalităților

1. Tema lecției, introducere

Ne-am uitat la grafice ale funcțiilor elementare, inclusiv grafice ale funcțiilor de putere cu exponenți diferiți. De asemenea, ne-am uitat la regulile de deplasare și transformare a graficelor de funcții. Toate aceste abilități trebuie aplicate atunci când este necesar graficsoluţie ecuații sau grafice soluţieinegalităților.

2. Rezolvarea grafică a ecuațiilor și inegalităților

Exemplul 1: Rezolvați ecuația grafic:

Să construim grafice ale funcțiilor (Fig. 1).

Graficul unei funcții este o parabolă care trece prin puncte

Graficul funcției este o linie dreaptă, să o construim folosind tabelul.

Graficele se intersectează în punctul Nu există alte puncte de intersecție, deoarece funcția crește monoton, funcția scade monoton și, prin urmare, punctul lor de intersecție este singurul.

Exemplul 2: Rezolvați inegalitatea

A. Pentru ca inegalitatea să se mențină, graficul funcției trebuie să fie situat deasupra dreptei (Fig. 1). Acest lucru se face când

b. În acest caz, dimpotrivă, parabola trebuie să fie sub linia dreaptă. Acest lucru se face când

Exemplul 3. Rezolvarea inegalității

Să construim grafice ale funcțiilor (Fig. 2).

Să găsim rădăcina ecuației Când nu există soluții. Există o singură soluție.

Pentru ca inegalitatea să se mențină, hiperbola trebuie să fie situată deasupra liniei.Acest lucru este adevărat atunci când .

Exemplul 4. Rezolvați grafic inegalitatea:

Domeniu:

Să construim grafice ale funcțiilor pentru (Fig. 3).

A. Graficul funcției trebuie să fie situat sub grafic; acest lucru se face atunci când

b. Graficul funcției este situat deasupra graficului la Dar, deoarece condiția are un semn slab, este important să nu se piardă rădăcina izolată

3. Concluzie

Ne-am uitat la metoda grafică de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților; Ne-am uitat la exemple specifice, a căror soluție a folosit proprietăți ale funcțiilor precum monotonitatea și paritatea.

1. Mordkovich A.G. et al., Algebră clasa a IX-a: Manual. Pentru invatamantul general Instituții.- Ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. și colab.. Algebra clasa a IX-a: Cartea de probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina și colab. - ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Makarychev Yu. N. Algebră. Clasa a IX-a: educațională. pentru studenții din învățământul general. instituții / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — Ed. a VII-a, rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. Algebra. clasa a 9-a. a 16-a ed. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 9-a. În 2 ore Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — Ed. a XII-a, șters. - M.: 2010. - 224 p.: ill.

6. Algebră. clasa a 9-a. În 2 părți Partea 2. Cartea cu probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina și alții; Ed. A. G. Mordkovici. — Ed. a XII-a, rev. - M.: 2010.-223 p.: ill.

1. Secția colegiu. ru la matematică.

2. Proiectul Internet „Sarcini”.

3. Portal educațional „VOI REZOLVA Examenul Unificat de Stat”.

1. Mordkovich A.G. și colab.. Algebră clasa a IX-a: Cartea de probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina și colab. - ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. Nr. 355, 356, 364.

Metoda grafică este una dintre principalele metode de rezolvare a inegalităților pătratice. În articol vom prezenta un algoritm pentru utilizarea metodei grafice, apoi vom analiza cazuri speciale folosind exemple.

Esența metodei grafice

Metoda este aplicabilă pentru rezolvarea oricăror inegalități, nu numai a celor pătratice. Esența sa este următoarea: părțile dreaptă și stângă ale inegalității sunt considerate ca două funcții separate y = f (x) și y = g (x), graficele lor sunt reprezentate într-un sistem de coordonate dreptunghiular și uită-te la care dintre grafice este situat deasupra celuilalt și pe care intervale. Intervalele sunt estimate după cum urmează:

Definiția 1

• soluțiile inegalității f (x) > g (x) sunt intervale în care graficul funcției f este mai mare decât graficul funcției g;
• soluțiile inegalității f (x) ≥ g (x) sunt intervale în care graficul funcției f nu este mai mic decât graficul funcției g;
• soluții la inegalitatea f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• soluțiile inegalității f (x) ≤ g (x) sunt intervale în care graficul funcției f nu este mai mare decât graficul funcției g;
• Abcisele punctelor de intersecție ale graficelor funcțiilor f și g sunt soluții ale ecuației f (x) = g (x).

Să ne uităm la algoritmul de mai sus folosind un exemplu. Pentru a face acest lucru, luați inegalitatea pătratică a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) și deducem două funcții din acesta. Partea stângă a inegalității va corespunde cu y = a · x 2 + b · x + c (în acest caz f (x) = a · x 2 + b · x + c), iar partea dreaptă y = 0 ( în acest caz g (x) = 0).

Graficul primei funcții este o parabolă, a doua este o linie dreaptă, care coincide cu axa x O x. Să analizăm poziția parabolei în raport cu axa O x. Pentru a face acest lucru, să facem un desen schematic.

Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. Intersectează axa O x în puncte x 1Și x 2. Coeficientul a în acest caz este pozitiv, deoarece acesta este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Discriminantul este pozitiv, indicând faptul că trinomul pătratic are două rădăcini a x 2 + b x + c. Notăm rădăcinile trinomului ca x 1Și x 2, și s-a acceptat că x 1< x 2 , deoarece un punct cu o abscisă este reprezentat pe axa O x x 1 la stânga punctului de abscisă x 2.

Părțile parabolei situate deasupra axei O x vor fi notate cu roșu, dedesubt - cu albastru. Acest lucru ne va permite să facem desenul mai vizual.

Să selectăm spațiile care corespund acestor părți și să le marchem în imagine cu câmpuri de o anumită culoare.

Am marcat cu roșu intervalele (− ∞, x 1) și (x 2, + ∞), pe ele parabola fiind deasupra axei O x. Ele sunt a · x 2 + b · x + c > 0. Am marcat cu albastru intervalul (x 1 , x 2), care este soluția inegalității a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Hai să o facem nota scurta solutii. Pentru a > 0 și D = b 2 − 4 a c > 0 (sau D " = D 4 > 0 pentru un coeficient par b) obținem:

• soluția inegalității pătratice a x 2 + b x + c > 0 este (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) sau în altă notație x< x 1 , x >x2;
• soluția inegalității pătratice a · x 2 + b · x + c ≥ 0 este (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) sau într-o altă formă x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• rezolvarea inegalității pătratice a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• soluția inegalității pătratice a x 2 + b x + c ≤ 0 este [ x 1 , x 2 ] sau în altă notație x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile trinomului pătratic a x 2 + b x + c și x 1< x 2 .

În această figură, parabola atinge axa O x numai într-un punct, care este desemnat ca x 0 a > 0. D=0, prin urmare, trinomul pătratic are o rădăcină x 0.

Parabola este situată deasupra axei O x complet, cu excepția punctului de contact axa de coordonate. Să colorăm intervalele (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Să notăm rezultatele. La a > 0Și D=0:

• rezolvarea inegalității pătratice a x 2 + b x + c > 0 este (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) sau într-o altă notație x ≠ x 0;
• rezolvarea inegalității pătratice a x 2 + b x + c ≥ 0 este (− ∞ , + ∞) sau în altă notație x ∈ R;
• inegalitatea pătratică a x 2 + b x + c< 0 nu are soluții (nu există intervale la care parabola să fie situată sub axă O x);
• inegalitatea pătratică a x 2 + b x + c ≤ 0 are o soluție unică x = x 0(este dat de punctul de contact),

Unde x 0- rădăcina trinomului pătrat a x 2 + b x + c.

Să luăm în considerare al treilea caz, când ramurile parabolei sunt îndreptate în sus și nu ating axa O x. Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, ceea ce înseamnă că a > 0. Trinomul pătrat nu are rădăcini reale deoarece D< 0 .

Nu există intervale pe grafic la care parabola ar fi sub axa x. Vom ține cont de acest lucru atunci când alegem o culoare pentru desenul nostru.

Se dovedește că atunci când a > 0Și D< 0 rezolvarea inegalităților pătratice a x 2 + b x + c > 0Și a x 2 + b x + c ≥ 0 este mulțimea tuturor numerelor reale și a inegalităților a x 2 + b x + c< 0 Și a x 2 + b x + c ≤ 0 nu au solutii.

Mai avem trei opțiuni de luat în considerare atunci când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Nu este nevoie să ne oprim asupra acestor trei opțiuni în detaliu, deoarece atunci când înmulțim ambele părți ale inegalității cu - 1, obținem o inegalitate echivalentă cu un coeficient pozitiv pentru x 2.

Luarea în considerare a secțiunii anterioare a articolului ne-a pregătit pentru percepția unui algoritm de rezolvare a inegalităților folosind o metodă grafică. Pentru a efectua calcule, va trebui să folosim de fiecare dată un desen, care va reprezenta linia de coordonate O x și o parabolă care corespunde funcției pătratice y = a x 2 + b x + c. În cele mai multe cazuri, nu vom descrie axa O y, deoarece nu este necesară pentru calcule și va supraîncărca doar desenul.

Pentru a construi o parabolă, va trebui să știm două lucruri:

Definiția 2

• direcția ramurilor, care este determinată de valoarea coeficientului a;
• prezența punctelor de intersecție a parabolei și a axei absciselor, care sunt determinate de valoarea discriminantului trinomului pătratic a · x 2 + b · x + c .

Punctele de intersecție și tangență le vom nota în mod obișnuit la rezolvarea inegalităților nestricte și goale la rezolvarea celor stricte.

Având un desen finalizat, vă permite să treceți la următorul pas al soluției. Constă în determinarea intervalelor la care parabola este situată deasupra sau sub axa O x. Intervalele și punctele de intersecție sunt soluția inegalității pătratice. Dacă nu există puncte de intersecție sau de tangență și nu există intervale, atunci se consideră că inegalitatea specificată în condițiile problemei nu are soluții.

Acum să rezolvăm mai multe inegalități pătratice folosind algoritmul de mai sus.

Exemplul 1

Este necesar să se rezolve grafic inegalitatea 2 x 2 + 5 1 3 x - 2.

Soluţie

Să desenăm un grafic al funcției pătratice y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Coeficientul la x 2 pozitiv pentru că este egal 2 . Aceasta înseamnă că ramurile parabolei vor fi îndreptate în sus.

Să calculăm discriminantul trinomului pătratic 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 pentru a afla dacă parabola are puncte comune cu axa absciselor. Primim:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

După cum vedem, D este mai mare decât zero, prin urmare, avem două puncte de intersecție: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 și x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, adică x 1 = − 3Și x 2 = 1 3.

Rezolvăm o inegalitate nestrictă, prin urmare punem puncte obișnuite pe grafic. Să desenăm o parabolă. După cum puteți vedea, desenul are același aspect ca în primul șablon pe care l-am considerat.

Inegalitatea noastră are semnul ≤. Prin urmare, trebuie să evidențiem intervalele de pe grafic în care parabola este situată sub axa O x și să le adăugăm puncte de intersecție.

Intervalul de care avem nevoie este 3, 1 3. Adăugăm puncte de intersecție și obținem un segment numeric - 3, 1 3. Aceasta este soluția la problema noastră. Răspunsul poate fi scris ca o dublă inegalitate: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Răspuns:− 3 , 1 3 sau − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Exemplul 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 metoda grafica.

Soluţie

Pătratul variabilei are un coeficient numeric negativ, deci ramurile parabolei vor fi îndreptate în jos. Să calculăm a patra parte a discriminantului D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Acest rezultat ne spune că vor exista două puncte de intersecție.

Să calculăm rădăcinile trinomului pătratic: x 1 = - 8 + 1 - 1 și x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 și x 2 = 9.

Se dovedește că parabola intersectează axa x în puncte 7 Și 9 . Să marchem aceste puncte pe grafic ca goale, deoarece lucrăm cu o inegalitate strictă. După aceasta, desenați o parabolă care intersectează axa O x în punctele marcate.

Ne vor interesa intervalele la care parabola se află sub axa O x. Să marchem aceste intervale cu albastru.

Obținem răspunsul: soluția inegalității este intervalele (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

Răspuns:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) sau în altă notație x< 7 , x > 9 .

În cazurile în care discriminantul unui trinom pătratic este zero, este necesar să se analizeze cu atenție dacă se include abscisa punctelor tangente în răspuns. Pentru a accepta solutie corecta, este necesar să se țină cont de semnul inegalității. În inegalitățile stricte, punctul de tangență al axei x nu este o soluție a inegalității, dar în cele nestrictive este o soluție.

Exemplul 3

Rezolvați inegalitatea pătratică 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 metoda grafica.

Soluţie

Ramurile parabolei în acest caz vor fi îndreptate în sus. Va atinge axa O x în punctul 0, 7, deoarece

Să diagramăm funcția y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Ramurile sale sunt îndreptate în sus, deoarece coeficientul at x 2 pozitiv și atinge axa x în punctul axei x 0 , 7 , deoarece D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, de unde x 0 = 7 10 sau 0 , 7 .

Să punem un punct și să desenăm o parabolă.

Rezolvăm o inegalitate nestrictă cu semn ≤. Prin urmare. Ne vor interesa intervalele la care parabola se află sub axa x și punctul de tangență. Nu există intervale în figură care ne-ar satisface condițiile. Există doar un punct de contact 0, 7. Aceasta este soluția pe care o căutăm.

Răspuns: Inegalitatea are o singură soluție 0, 7.

Exemplul 4

Rezolvați inegalitatea pătratică – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Soluţie

Ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Discriminantul este zero. Punct de intersecție x 0 = 4.

Marcam punctul de tangență pe axa x și desenăm o parabolă.

Avem de-a face cu o inegalitate gravă. În consecință, ne interesează intervalele la care parabola este situată sub axa O x. Să le marchem cu albastru.

Punctul cu abscisa 4 nu este o soluție, deoarece parabola de la el nu este situată sub axa O x. În consecință, obținem două intervale (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Răspuns: (− ∞, 4) ∪ (4, + ∞) sau în altă notație x ≠ 4.

Nu întotdeauna, dacă valoarea discriminantă este negativă, inegalitatea nu va avea soluții. Există cazuri când soluția este mulțimea tuturor numerelor reale.

Exemplul 5

Rezolvați grafic inegalitatea pătratică 3 x 2 + 1 > 0.

Soluţie

Coeficientul a este pozitiv. Discriminantul este negativ. Ramurile parabolei vor fi îndreptate în sus. Nu există puncte de intersecție ale parabolei cu axa O x. Să ne uităm la desen.

Lucrăm cu inegalitate strictă, care are semnul >. Aceasta înseamnă că ne interesează intervalele la care parabola este situată deasupra axei x. Acesta este exact cazul când răspunsul este mulțimea tuturor numerelor reale.

Răspuns:(− ∞, + ∞) sau așa x ∈ R.

Exemplul 6

Este necesar să găsim o soluție la inegalitate − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 grafic.

Soluţie

Ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Discriminantul este negativ, prin urmare, nu există puncte comune între parabolă și axa x. Să ne uităm la desen.

Lucrăm cu o inegalitate nestrictă cu semnul ≥, prin urmare, intervalele în care parabola este situată deasupra axei x sunt de interes pentru noi. Judecând după grafic, nu există astfel de lacune. Aceasta înseamnă că inegalitatea dată în condițiile problemei nu are soluții.

Răspuns: Fara solutii.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Ministerul Educației și Politicii Tineretului Teritoriul Stavropol

Profesionist bugetar de stat instituție educațională

Colegiul Regional „Integral” Georgievsk

PROIECT INDIVIDUAL

La disciplina „Matematică: algebră, principii de analiză matematică, geometrie”

Pe tema: „Rezolvarea grafică a ecuațiilor și inegalităților”

Completat de un student din grupa PK-61, care studiază în specialitate

„Programare în sisteme informatice”

Zeller Timur Vitalievici

Șef: profesor Serkova N.A.

Data de livrare:" " 2017

Data apărării:" " 2017

Georgievsk 2017

NOTĂ EXPLICATIVĂ

OBIECTIVUL PROIECTULUI:

Ţintă: Aflați avantajele metodei grafice de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților.

Sarcini:

Comparați metodele analitice și grafice de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților.

Aflați în ce cazuri are avantaje metoda grafică.

Luați în considerare rezolvarea ecuațiilor cu modul și parametru.

Relevanța cercetării: Analiza materialului dedicat rezolvării grafice a ecuațiilor și inegalităților în manuale„Algebra și începuturile analizei matematice” de diferiți autori, ținând cont de obiectivele studierii acestei teme. Precum și rezultatele învățării obligatorii legate de tema luată în considerare.

Conţinut

Introducere

1. Ecuații cu parametri

1.1. Definiții

1.2. Algoritm de rezolvare

1.3. Exemple

2. Inegalități cu parametri

2.1. Definiții

2.2. Algoritm de rezolvare

2.3. Exemple

3. Utilizarea graficelor în rezolvarea ecuațiilor

3.1. Soluție grafică ecuație pătratică

3.2. Sisteme de ecuații

3.3. Ecuații trigonometrice

4. Aplicarea graficelor în rezolvarea inegalităţilor

5. Concluzie

6. Referințe

Introducere

Studiind multe procese fizice iar modelele geometrice duce adesea la rezolvarea problemelor cu parametrii. Unele universități includ, de asemenea, ecuații, inegalități și sistemele lor în lucrările de examen, care sunt adesea foarte complexe și necesită o abordare non-standard a soluționării. La școală, aceasta dintre cele mai dificile secțiuni ale cursului de matematică școlară este luată în considerare doar în câteva clase opționale.

Gătit acest lucru, mi-am propus un studiu mai profund al acestui subiect, identificând cel mai mult decizie rațională, conducând rapid la un răspuns. După părerea mea, metoda grafică este convenabilă și într-un mod rapid rezolvarea ecuaţiilor şi inegalităţilor cu parametri.

Proiectul meu examinează tipuri de ecuații, inegalități și sistemele întâlnite frecvent.

1. Ecuații cu parametri

1. Definiții de bază

Luați în considerare ecuația

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

unde a, b, c, …, k, x sunt mărimi variabile.

Orice sistem de valori variabile

a = a 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

în care ambele părți din stânga și din dreapta acestei ecuații iau valori reale se numește un sistem de valori admisibile ale variabilelor a, b, c, ..., k, x. Fie A setul tuturor valorilor admisibile ale lui a, B să fie mulțimea tuturor valorilor admisibile ale lui b etc., X să fie mulțimea tuturor valorilor admisibile ale lui x, adică. aA, bB, …, xX. Dacă pentru fiecare dintre mulțimile A, B, C, …, K selectăm și fixăm, respectiv, o valoare a, b, c, …, k și le substituim în ecuația (1), atunci obținem o ecuație pentru x, adică ecuație cu o necunoscută.

Variabilele a, b, c, ..., k, care sunt considerate constante la rezolvarea unei ecuații, se numesc parametri, iar ecuația în sine se numește ecuație care conține parametri.

Parametrii sunt notați cu primele litere ale alfabetului latin: a, b, c, d, ..., k, l, m, n, iar necunoscutele sunt notate cu literele x, y, z.

A rezolva o ecuație cu parametri înseamnă a indica la ce valori ale parametrilor există soluții și care sunt acestea.

Două ecuații care conțin aceiași parametri se numesc echivalente dacă:

a) au sens pentru aceleași valori ale parametrilor;

b) fiecare soluție a primei ecuații este o soluție a celei de-a doua și invers.

1. Algoritm de rezolvare

Găsiți domeniul de definiție al ecuației.

Exprimăm a în funcție de x.

În sistemul de coordonate xOa, construim un grafic al funcției a=(x) pentru acele valori ale lui x care sunt incluse în domeniul de definire al acestei ecuații.

Găsim punctele de intersecție ale dreptei a=c, unde c(-;+) cu graficul funcției a=(x).Dacă dreapta a=c intersectează graficul a=( x), atunci determinăm abscisele punctelor de intersecție. Pentru a face acest lucru, este suficient să rezolvați ecuația a=(x) pentru x.

Scriem răspunsul.

1. Exemple

I. Rezolvați ecuația

(1)

Soluţie.

Deoarece x=0 nu este o rădăcină a ecuației, ecuația poate fi rezolvată pentru a:

sau

Graficul unei funcții este două hiperbole „lipite”. Numărul de soluții ale ecuației inițiale este determinat de numărul de puncte de intersecție ale dreptei construite și ale dreptei y=a.

Dacă a  (-;-1](1;+) , atunci dreapta y=a intersectează într-un punct graficul ecuației (1). Vom găsi abscisa acestui punct la rezolvarea ecuației pentru x.

Astfel, pe acest interval, ecuația (1) are o soluție.

Dacă a , atunci linia dreaptă y=a intersectează graficul ecuației (1) în două puncte. Abcisele acestor puncte pot fi găsite din ecuații și obținem

Și.

Dacă a , atunci linia dreaptă y=a nu intersectează graficul ecuației (1), deci nu există soluții.

Răspuns:

Dacă a  (-;-1](1;+), atunci;

Dacă a  , atunci;

Dacă a  , atunci nu există soluții.

II. Găsiți toate valorile parametrului a pentru care ecuația are trei rădăcini diferite.

Soluţie.

După ce am rescris ecuația în formă și am considerat o pereche de funcții, puteți observa că valorile dorite ale parametrului a și numai ele vor corespunde acelor poziții ale graficului funcției la care are exact trei puncte de intersecție cu graficul funcției.

În sistemul de coordonate xOy, vom construi un grafic al funcției). Pentru a face acest lucru, o putem reprezenta sub formă și, luând în considerare patru cazuri apărute, scriem această funcție sub forma

Deoarece graficul unei funcții este o dreaptă care are un unghi de înclinare față de axa Ox egal cu și intersectează axa Oy într-un punct cu coordonatele (0, a), concluzionăm că cele trei puncte de intersecție indicate pot fi obținute doar în cazul în care această linie atinge graficul funcţiei. Prin urmare găsim derivata

Răspuns: .

III. Găsiți toate valorile parametrului a, pentru fiecare dintre ele sistemul de ecuații

are solutii.

Soluţie.

Din prima ecuație a sistemului pe care o obținem la Prin urmare, această ecuație definește o familie de „semi-parabole” - ramurile drepte ale parabolei „alunecă” cu vârfurile lor de-a lungul axei absciselor.

Să selectăm pătrate complete din partea stângă a celei de-a doua ecuații și să o factorizăm

Mulțimea punctelor planului care satisface cea de-a doua ecuație sunt două drepte

Să aflăm la ce valori ale parametrului o curbă din familia „semiparabolelor” are cel puțin un punct comun cu una dintre liniile drepte rezultate.

Dacă vârfurile semiparabolelor sunt la dreapta punctului A, dar la stânga punctului B (punctul B corespunde vârfului „semiparabolei” care atinge

linie dreaptă), atunci graficele luate în considerare nu au puncte comune. Dacă vârful „semiparabolei” coincide cu punctul A, atunci.

Determinăm cazul unei „semiparabole” care atinge o linie din condiția existenței unei soluții unice a sistemului

În acest caz, ecuația

are o singură rădăcină, de unde găsim:

În consecință, sistemul original nu are soluții la, dar la sau are cel puțin o soluție.

Răspuns: a  (-;-3] (;+).

IV. Rezolvați ecuația

Soluţie.

Folosind egalitatea, ecuația dată să-l rescriem în formă

Această ecuație este echivalentă cu sistemul

Rescriem ecuația sub forma

. (*)

Ultima ecuație este cel mai ușor de rezolvat folosind considerații geometrice. Să construim grafice ale funcțiilor și Din grafic rezultă că graficele nu se intersectează și, prin urmare, ecuația nu are soluții.

Dacă, atunci când graficele funcțiilor coincid și, prin urmare, toate valorile sunt soluții ale ecuației (*).

Când graficele se intersectează într-un punct, a cărui abscisă este. Astfel, când ecuația (*) are o soluție unică - .

Să investigăm acum la ce valori ale unei soluții găsite ale ecuației (*) vor îndeplini condițiile

Să fie atunci. Sistemul va lua forma

Soluția sa va fi intervalul x (1;5). Având în vedere că, putem concluziona că dacă ecuația inițială este satisfăcută de toate valorile lui x din interval, inegalitatea inițială este echivalentă cu inegalitatea numerică corectă 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

Pe integrala (1;+∞) obținem din nou inegalitatea liniară 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Totuși, același rezultat poate fi obținut din considerente vizuale și în același timp strict geometrice. Figura 7 prezintă graficele funcțiilor:y= f( X)=| X-1|+| X+1| Șiy=4.

Figura 7.

Pe graficul integral (-2;2) al funcțieiy= f(X) se află sub graficul funcției y=4, ceea ce înseamnă că inegalitateaf(X)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Inegalități cu parametrii.

Rezolvarea inegalităților cu unul sau mai mulți parametri este, de regulă, o sarcină mai complexă în comparație cu o problemă în care nu există parametri.

De exemplu, inegalitatea √a+x+√a-x>4, care conține parametrul a, necesită, în mod natural, mult mai mult efort de rezolvat decât inegalitatea √1+x + √1-x>1.

Ce înseamnă să rezolvi prima dintre aceste inegalități? Aceasta, în esență, înseamnă rezolvarea nu doar a unei inegalități, ci a unei întregi clase, a unui întreg set de inegalități care se obțin dacă dăm parametrului o anumită valoare numerică. A doua dintre inegalitățile scrise este un caz special al primei, deoarece se obține din aceasta cu valoarea a = 1.

Astfel, a rezolva o inegalitate care conține parametri înseamnă a determina la ce valori ale parametrilor inegalitatea are soluții și pentru toate aceste valori ale parametrilor să găsești toate soluțiile.

Exemplul 1:

Rezolvați inegalitatea |x-a|+|x+a|< b, A<>0.

Pentru a rezolva această inegalitate cu doi parametriA u bSă folosim considerații geometrice. Figurile 8 și 9 prezintă graficele funcțiilor.

Y= f(X)=| X- A|+| X+ A| u y= b.

Este evident că atunci cândb<=2| A| Drepty= bnu trece deasupra segmentului orizontal al curbeiy=| X- A|+| X+ A| și, prin urmare, inegalitatea în acest caz nu are soluții (Figura 8). Dacăb>2| A|, apoi liniay= bintersectează graficul unei funcțiiy= f(X) în două puncte (-b/2; b) u (b/2; b)(Figura 6), iar inegalitatea în acest caz este valabilă pentru –b/2< X< b/2, deoarece pentru aceste valori ale variabilei curbay=| X+ A|+| X- A| situat sub linia dreaptăy= b.

Răspuns: Dacăb<=2| A| , atunci nu există soluții,

Dacăb>2| A|, atunciX €(- b/2; b/2).

III) Inegalități trigonometrice:

La rezolvarea inegalităților cu funcții trigonometrice se utilizează în mod esențial periodicitatea acestor funcții și monotonitatea lor pe intervalele corespunzătoare. Cele mai simple inegalități trigonometrice. Funcţiepăcat Xare o perioadă pozitivă de 2π. Prin urmare, inegalitățile de formă:sin x>a, sin x>=a,

sin x

Este suficient să rezolvi mai întâi pe un segment de lungime 2π . Obținem mulțimea tuturor soluțiilor adunând la fiecare dintre soluțiile găsite pe acest segment numere de forma 2π p, pЄZ.

Exemplul 1: Rezolvați inegalitateapăcat X>-1/2.(Figura 10)

Mai întâi, să rezolvăm această inegalitate pe intervalul [-π/2;3π/2]. Să luăm în considerare partea stanga– segment [-π/2;3π/2].Aici ecuațiapăcat X=-1/2 are o soluție x=-π/6; și funcțiapăcat Xcrește monoton. Aceasta înseamnă că dacă –π/2<= X<= -π/6, то păcat X<= păcat(- π /6)=-1/2, adică aceste valori ale lui x nu sunt soluții ale inegalității. Dacă –π/6<х<=π/2 то păcat X> păcat(-π/6) = –1/2. Toate aceste valori ale lui x nu sunt soluții ale inegalității.

Pe segmentul rămas [π/2;3π/2] funcțiapăcat Xecuația scade și ea monotonpăcat X= -1/2 are o soluție x=7π/6. Prin urmare, dacă π/2<= X<7π/, то păcat X> păcat(7π/6)=-1/2, adică toate aceste valori ale lui x sunt soluții ale inegalității. PentruXAvempăcat X<= păcat(7π/6)=-1/2, aceste valori x nu sunt soluții. Astfel, mulțimea tuturor soluțiilor acestei inegalități pe intervalul [-π/2;3π/2] este integrala (-π/6;7π/6).

Datorită periodicităţii funcţieipăcat Xcu o perioadă de 2π valori ale lui x din orice integrală de forma: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, sunt și soluții la inegalitate. Nicio altă valoare a lui x nu este soluție la această inegalitate.

Răspuns: -π/6+2πn< X<7π/6+2π n, UndenЄ Z.

Concluzie

Ne-am uitat la metoda grafică de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților; Ne-am uitat la exemple specifice, a căror soluție a folosit proprietăți ale funcțiilor precum monotonitatea și paritatea.Analiza literaturii științifice și a manualelor de matematică a făcut posibilă structurarea materialului selectat în conformitate cu obiectivele studiului, selectarea și dezvoltarea metodelor eficiente de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților. Lucrarea prezintă o metodă grafică de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților și exemple în care sunt utilizate aceste metode. Rezultatul proiectului poate fi considerat sarcini creative, ca material auxiliar pentru dezvoltarea deprinderii de a rezolva ecuații și inegalități folosind metoda grafică.

Lista literaturii folosite

Dalinger V. A. „Geometria ajută la algebră.” Editura „Școala – Presă”. Moscova 1996

Dalinger V. A. „Totul pentru a asigura succesul la examenele finale și la examenele de admitere la matematică.” Editura Universității Pedagogice din Omsk. Omsk 1995

Okunev A. A. „Rezolvarea grafică a ecuațiilor cu parametri.” Editura „Școala – Presă”. Moscova 1986

Pismensky D. T. „Matematică pentru elevii de liceu”. Editura „Iris”. Moscova 1996

Yastribinetsky G. A. „Ecuații și inegalități care conțin parametri”. Editura „Prosveshcheniye”. Moscova 1972

G. Korn și T. Korn „Manual de matematică”. Editura „Știință” literatură fizică și matematică. Moscova 1977

Amelkin V.V. și Rabtsevich V.L. „Probleme cu parametrii”. Editura „Asar”. Minsk 1996

Resurse de internet

L.A. Kustova

profesor de matematică

Voronezh, MBOU Lyceum No. 5

Proiect

„Avantajele metodei grafice pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.”

Clasă:

7-11

Articol:

Matematică

Obiectiv de cercetare:

A-si da seamaavantajele metodei grafice de rezolvare a ecuaţiilor şi inegalităţilor.

Ipoteză:

Unele ecuații și inegalități sunt mai ușor și mai plăcut din punct de vedere estetic de rezolvat grafic.

Etape de cercetare:

Comparați metodele de soluție analitică și graficăecuații și inegalități.

Aflați în ce cazuri are avantaje metoda grafică.

Luați în considerare rezolvarea ecuațiilor cu modul și parametru.

Rezultatele cercetării:

1.Frumusețea matematicii este o problemă filozofică.

2.La rezolvarea unor ecuații și inecuații, o soluție graficăcel mai practic și mai atractiv.

3. Puteți aplica atractivitatea matematicii la școală folosind o soluție graficăecuații și inegalități.

„Științele matematice au atras o atenție deosebită încă din cele mai vechi timpuri,

În prezent, ei au primit și mai mult interes în influența lor asupra artei și industriei.”

Pafnutiy Lvovich Cebyshev.

Începând cu clasa a 7-a se au în vedere diverse metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților, inclusiv grafice. Cei care cred că matematica este o știință uscată, cred eu, își schimbă părerile când văd cât de frumos pot fi rezolvate unele tipuriecuații și inegalități. Permiteți-mi să vă dau câteva exemple:

1).Rezolvați ecuația: = .

O puteți rezolva analitic, adică ridicați ambele părți ale ecuației la a treia putere și așa mai departe.

Metoda grafică este convenabilă pentru această ecuație dacă trebuie pur și simplu să indicați numărul de soluții.

Sarcini similare sunt adesea întâlnite la rezolvarea blocului „geometrie” al OGE de clasa a 9-a.

2).Rezolvați ecuația cu parametrul:

││ X│- 4│= A

Nu este cel mai complex exemplu, dar dacă îl rezolvați analitic, va trebui să deschideți parantezele modulului de două ori și, pentru fiecare caz, luați în considerare posibilele valori ale parametrului. Grafic totul este foarte simplu. Desenăm grafice de funcții și vedem că:

Surse:

Program de calculatorGrafic avansat .