Metoda lui Cramer se bazează pe utilizarea determinanților în rezolvarea sistemelor ecuatii lineare. Acest lucru accelerează semnificativ procesul de soluție.
Metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva un sistem de atâtea ecuații liniare câte necunoscute există în fiecare ecuație. Dacă determinantul sistemului nu este egal cu zero, atunci metoda lui Cramer poate fi utilizată în soluție, dar dacă este egal cu zero, atunci nu poate. În plus, metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare care au o soluție unică.
Definiție. Un determinant format din coeficienți pentru necunoscute se numește determinant al sistemului și se notează (delta).
Determinanți
se obțin prin înlocuirea coeficienților necunoscutelor corespunzătoare cu termeni liberi:
;
.
Teorema lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul de ecuații liniare are o soluție unică, iar necunoscuta este egală cu raportul determinanților. Numitorul conține determinantul sistemului, iar numărătorul conține determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coeficienților acestei necunoscute cu termeni liberi. Această teoremă este valabilă pentru un sistem de ecuații liniare de orice ordin.
Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații liniare:
Conform Teorema lui Cramer avem:
Deci, soluția sistemului (2):
calculator online, metoda decisiva Kramer.
Trei cazuri la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
După cum este clar din Teorema lui Cramer, la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare pot apărea trei cazuri:
Primul caz: un sistem de ecuații liniare are o soluție unică
(sistemul este consistent și definit)
Al doilea caz: un sistem de ecuații liniare are un număr infinit de soluții
(sistemul este consistent și incert)
** 
,
acestea. coeficienţii necunoscutelor şi termenilor liberi sunt proporţionali.
Al treilea caz: sistemul de ecuații liniare nu are soluții
(sistemul este inconsecvent)
Deci sistemul m ecuații liniare cu n numite variabile nearticulată, dacă ea nu are o singură soluție, și comun, dacă are cel puțin o soluție. Se numește un sistem simultan de ecuații care are o singură soluție anumit, și mai mult de unul - incert.
Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Cramer
Să fie dat sistemul
.
Bazat pe teorema lui Cramer
………….
,
Unde 
-
determinant de sistem. Obținem determinanții rămași prin înlocuirea coloanei cu coeficienții variabilei corespunzătoare (necunoscute) cu termeni liberi:
Exemplul 2.
.
Prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții
Folosind formulele lui Cramer găsim:
Deci, (1; 0; -1) este singura soluție a sistemului.
Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.
Dacă într-un sistem de ecuații liniare nu există variabile în una sau mai multe ecuații, atunci în determinant elementele corespunzătoare sunt egale cu zero! Acesta este următorul exemplu.
Exemplul 3. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:
.
Soluţie. Găsim determinantul sistemului:
Priviți cu atenție sistemul de ecuații și determinantul sistemului și repetați răspunsul la întrebarea în care cazuri unul sau mai multe elemente ale determinantului sunt egale cu zero. Deci, determinantul nu este egal cu zero, prin urmare sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții pentru necunoscute
Folosind formulele lui Cramer găsim:
Deci, soluția sistemului este (2; -1; 1).
Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.
Începutul paginii
Continuăm să rezolvăm împreună sisteme folosind metoda lui Cramer
După cum sa menționat deja, dacă determinantul sistemului este egal cu zero, iar determinanții necunoscutelor nu sunt egali cu zero, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții. Să ilustrăm cu următorul exemplu.
Exemplul 6. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:
Soluţie. Găsim determinantul sistemului:
Determinantul sistemului este egal cu zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare este fie inconsecvent și definit, fie inconsecvent, adică nu are soluții. Pentru a clarifica, calculăm determinanții pentru necunoscute
Determinanții necunoscutelor nu sunt egali cu zero, prin urmare, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții.
Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza un calculator online folosind metoda de rezolvare a lui Cramer.
În problemele care implică sisteme de ecuații liniare, există și acelea în care, pe lângă literele care denotă variabile, există și alte litere. Aceste litere reprezintă un număr, cel mai adesea real. În practică, problemele de căutare conduc la astfel de ecuații și sisteme de ecuații proprietăți generale orice fenomen sau obiect. Adică ai inventat vreunul material nou sau un dispozitiv și pentru a descrie proprietățile sale, care sunt comune indiferent de dimensiunea sau numărul unei instanțe, trebuie să rezolvați un sistem de ecuații liniare, în care în loc de unii coeficienți pentru variabile există litere. Nu trebuie să cauți departe pentru exemple.
Următorul exemplu este pentru o problemă similară, doar numărul de ecuații, variabile și litere care denotă un anumit număr real crește.
Exemplul 8. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer:
Soluţie. Găsim determinantul sistemului:
Găsirea determinanților pentru necunoscute
2. Rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda matricei (folosind o matrice inversă).
3. Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații.
metoda lui Cramer.
Metoda lui Cramer este folosită pentru rezolvarea sistemelor liniare ecuații algebrice (SLAU).
Formule folosind exemplul unui sistem de două ecuații cu două variabile.
Dat: Rezolvați sistemul folosind metoda lui Cramer
Referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:
Să aflăm determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului Calculul determinanților. : 
Să aplicăm formulele lui Cramer și să găsim valorile variabilelor: 
Și 
.
Exemplul 1:
Rezolvați sistemul de ecuații:
referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:
Să înlocuim prima coloană din acest determinant cu o coloană de coeficienți din partea dreaptă a sistemului și să găsim valoarea acesteia: 
Să facem un lucru similar, înlocuind a doua coloană în primul determinant: 
Aplicabil formulele lui Cramerși găsiți valorile variabilelor:
Și .
Răspuns: 
Cometariu: Această metodă poate rezolva sisteme de dimensiuni mai mari.
Cometariu: Dacă se dovedește că , dar nu poate fi împărțit la zero, atunci ei spun că sistemul nu are o soluție unică. În acest caz, sistemul fie are infinite de soluții, fie nu are deloc soluții.
Exemplul 2(numar infinit de solutii):
Rezolvați sistemul de ecuații:
referitor la variabile XȘi la.
Soluţie:
Să găsim determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului: 
Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției. 
Prima dintre ecuațiile sistemului este o egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor (deoarece 4 este întotdeauna egal cu 4). Aceasta înseamnă că a mai rămas o singură ecuație. Aceasta este o ecuație pentru relația dintre variabile.
Am descoperit că soluția sistemului este orice pereche de valori ale variabilelor legate între ele prin egalitate.
Decizie comună va fi scris astfel: 
Soluții particulare pot fi determinate prin alegerea unei valori arbitrare a lui y și calculând x din această egalitate de conexiune. 
etc.
Există o infinitate de astfel de soluții.
Răspuns: decizie comună
Soluții private:
Exemplul 3(fără soluții, sistemul este incompatibil):
Rezolvați sistemul de ecuații:
Soluţie:
Să găsim determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului: 
Formulele lui Cramer nu pot fi folosite. Să rezolvăm acest sistem folosind metoda substituției 
A doua ecuație a sistemului este o egalitate care nu este adevărată pentru nicio valoare a variabilelor (desigur, deoarece -15 nu este egal cu 2). Dacă una dintre ecuațiile sistemului nu este adevărată pentru nicio valoare a variabilelor, atunci întregul sistem nu are soluții.
Răspuns: fara solutii
Metoda lui Cramer sau așa-numita regulă a lui Cramer este o metodă de căutare a cantităților necunoscute din sistemele de ecuații. Poate fi utilizat numai dacă numărul de valori căutate este echivalent cu numărul de ecuații algebrice din sistem, adică matricea principală formată din sistem trebuie să fie pătrată și să nu conțină rânduri zero și, de asemenea, dacă determinantul său trebuie să nu fie zero.
Teorema 1
Teorema lui Cramer Dacă determinantul principal $D$ al matricei principale, compilat pe baza coeficienților ecuațiilor, nu este egal cu zero, atunci sistemul de ecuații este consistent și are o soluție unică. Soluția unui astfel de sistem se calculează prin așa-numitele formule Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare: $x_i = \frac(D_i)(D)$
Ce este metoda Cramer?
Esența metodei lui Cramer este următoarea:
- Pentru a găsi o soluție la sistem folosind metoda lui Cramer, în primul rând calculăm determinantul principal al matricei $D$. Când determinantul calculat al matricei principale, atunci când este calculat prin metoda lui Cramer, se dovedește a fi egal cu zero, atunci sistemul nu are o singură soluție sau are un număr infinit de soluții. În acest caz, pentru a găsi un răspuns general sau de bază pentru sistem, se recomandă utilizarea metodei Gauss.
- Apoi, trebuie să înlocuiți coloana cea mai exterioară matricea principală la coloana de termeni liberi și calculați determinantul $D_1$.
- Repetați același lucru pentru toate coloanele, obținând determinanți de la $D_1$ la $D_n$, unde $n$ este numărul coloanei din dreapta.
- După ce toți determinanții $D_1$...$D_n$ au fost găsiți, variabilele necunoscute pot fi calculate folosind formula $x_i = \frac(D_i)(D)$.
Tehnici de calcul al determinantului unei matrice
Pentru a calcula determinantul unei matrice cu o dimensiune mai mare de 2 cu 2, puteți utiliza mai multe metode:
- Regula triunghiurilor, sau regula lui Sarrus, amintește de aceeași regulă. Esența metodei triunghiului este că atunci când se calculează determinantul, produsele tuturor numerelor conectate în figură prin linia roșie din dreapta sunt scrise cu semnul plus și toate numerele conectate într-un mod similar în figura din stânga sunt scrise cu semnul minus. Ambele reguli sunt potrivite pentru matrice de dimensiunea 3 x 3. În cazul regulii Sarrus, matricea în sine este mai întâi rescrisă, iar alături de ea prima și a doua coloană sunt rescrise din nou. Diagonalele sunt trasate prin matrice și aceste coloane suplimentare; elementele matricei situate pe diagonala principală sau paralele cu aceasta sunt scrise cu semnul plus, iar elementele situate pe sau paralele cu diagonala secundară sunt scrise cu semnul minus.
Figura 1. Regula triunghiului pentru calcularea determinantului pentru metoda lui Cramer
- Folosind o metodă cunoscută sub numele de metoda Gaussiană, această metodă este uneori numită și reducerea ordinului determinantului. În acest caz, matricea este transformată și redusă la vedere triunghiulară, iar apoi se înmulțesc toate numerele de pe diagonala principală. Trebuie amintit că atunci când căutați un determinant în acest fel, nu puteți înmulți sau împărți rânduri sau coloane cu numere fără a le scoate ca multiplicator sau divizor. În cazul căutării unui determinant, este posibilă doar scăderea și adăugarea rândurilor și coloanelor între ele, înmulțind în prealabil rândul scăzut cu un factor diferit de zero. De asemenea, ori de câte ori rearanjați rândurile sau coloanele matricei, ar trebui să vă amintiți nevoia de a schimba semnul final al matricei.
- Când rezolvați un SLAE cu 4 necunoscute folosind metoda Cramer, cel mai bine este să utilizați metoda Gauss pentru a căuta și găsi determinanți sau determina determinant prin căutarea minorilor.
Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda lui Cramer
Să aplicăm metoda lui Cramer pentru un sistem de 2 ecuații și două mărimi necesare:
$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$
Să-l afișăm în formă extinsă pentru comoditate:
$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$
Să găsim determinantul matricei principale, numit și determinantul principal al sistemului:
$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Dacă determinantul principal nu este egal cu zero, atunci pentru a rezolva slough folosind metoda lui Cramer, este necesar să se calculeze încă câțiva determinanți din două matrici cu coloanele matricei principale înlocuite cu un rând de termeni liberi:
$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Acum să găsim necunoscutele $x_1$ și $x_2$:
$x_1 = \frac (D_1)(D)$
$x_2 = \frac (D_2)(D)$
Exemplul 1
Metoda lui Cramer pentru rezolvarea SLAE-urilor cu o matrice principală de ordinul 3 (3 x 3) și trei necesare.
Rezolvați sistemul de ecuații:
$\begin(cases) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$
Să calculăm determinantul principal al matricei folosind regula menționată mai sus la punctul numărul 1:
$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$
Și acum alți trei factori determinanți:
$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 USD
$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD
$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 USD
Să găsim cantitățile necesare:
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$
$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$