Dat calculator online rezolvă sistemul ecuații liniare metoda matricei. Este dat foarte solutie detaliata. Pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare, selectați numărul de variabile. Alegeți o metodă de calcul matrice inversă. Apoi introduceți datele în celule și faceți clic pe butonul „Calculați”.
×
Avertizare
Ștergeți toate celulele?
Închide Clear
Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623, etc.), zecimale (ex. 67., 102.54, etc.) sau fracții. Fracția trebuie introdusă sub forma a/b, unde a și b sunt numere întregi sau numere zecimale. Exemplele 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 etc.
Metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
Luați în considerare următorul sistem de ecuații liniare:
Având în vedere definiția unei matrice inversă, avem O −1 O=E, Unde E- matricea identitară. Prin urmare (4) se poate scrie după cum urmează:
Astfel, pentru a rezolva sistemul de ecuații liniare (1) (sau (2)), este suficient să înmulțim inversul lui O matrice pe vector de constrângere b.
Exemple de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare folosind metoda matricei
Exemplul 1. Rezolvați următorul sistem de ecuații liniare folosind metoda matricei:
Să găsim inversul matricei A folosind metoda Jordan-Gauss. CU partea dreaptă matrici O Să scriem matricea de identitate:
Să excludem elementele primei coloane a matricei de sub diagonala principală. Pentru a face acest lucru, adăugați liniile 2,3 cu linia 1, înmulțite cu -1/3, respectiv -1/3:
Să excludem elementele coloanei a 2-a a matricei de sub diagonala principală. Pentru a face acest lucru, adăugați linia 3 cu linia 2 înmulțită cu -24/51:
Să excludem elementele coloanei a 2-a a matricei deasupra diagonalei principale. Pentru a face acest lucru, adăugați linia 1 cu linia 2 înmulțită cu -3/17:
Separați partea dreaptă a matricei. Matricea rezultată este matricea inversă a O :
Forma matriceală de scriere a unui sistem de ecuații liniare: Ax=b, Unde
Să calculăm toate complementele algebrice ale matricei O:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Matricea inversă se calculează din următoarea expresie.
Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Metoda matricei vă permite să găsiți soluții la SLAE (sistem de liniar ecuații algebrice) de orice complexitate. Întregul proces de rezolvare a SLAE-urilor se rezumă la două acțiuni principale:
Definirea unei matrici inverse pe baza matricea principală:
Înmulțirea matricei inverse rezultate cu un vector coloană de soluții.
Să presupunem că ni se dă un SLAE următorul tip:
\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]
Să începem soluția ecuația dată din scrierea matricei sistemului:
Matrice din partea dreaptă:
Să definim matricea inversă. Puteți găsi o matrice de ordinul 2 după cum urmează: 1 - matricea în sine trebuie să fie nesingulară; 2 - se schimbă elementele sale care se află pe diagonala principală, iar pentru elementele diagonalei secundare schimbăm semnul cu cel opus, după care împărțim elementele rezultate la determinantul matricei. Primim:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]
2 matrice sunt considerate egale dacă elementele lor corespunzătoare sunt egale. Ca rezultat, avem următorul răspuns pentru soluția SLAE:
Unde pot rezolva un sistem de ecuații folosind metoda matricei online?
Puteți rezolva sistemul de ecuații pe site-ul nostru. O soluție online gratuită vă va permite să rezolvați ecuația online orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte.
Tema 2. SISTEME DE ECUATII ALGEBRICE LINEARE.
Concepte de bază.
Definiția 1. Sistem m ecuații liniare cu n necunoscute este un sistem de forma:
unde și sunt numere.
Definiția 2. O soluție a sistemului (I) este un set de necunoscute în care fiecare ecuație a acestui sistem devine o identitate.
Definiția 3. Sistemul (I) este numit comun, dacă are cel puțin o soluție și nearticulată, daca nu are solutii. Sistemul articular este numit anumit, dacă are o soluție unică, și nesigur altfel.
Definiția 4. Ecuația formei
numit zero, iar ecuația este de forma
numit incompatibil. Evident, un sistem de ecuații care conține o ecuație incompatibilă este inconsecvent.
Definiția 5. Se numesc două sisteme de ecuații liniare echivalent, dacă fiecare soluție a unui sistem servește ca soluție pentru altul și, invers, fiecare soluție a celui de-al doilea sistem este o soluție pentru primul.
Reprezentarea matricială a unui sistem de ecuații liniare.
Să luăm în considerare sistemul (I) (vezi §1).
Să notăm:
Matricea coeficienților pentru necunoscute
Matrice - coloană de termeni liberi
Matrice – coloană de necunoscute
.
Definiția 1. Matricea se numește matricea principală a sistemului(I), iar matricea este matricea extinsă a sistemului (I).
După definiția egalității matricelor, sistemul (I) corespunde egalității matricelor:
.
Partea dreaptă a acestei egalități prin definiția produsului matricelor ( vezi definiția 3 § 5 capitolul 1) poate fi factorizat:
, adică
Egalitatea (2) numit notația matricială a sistemului (I).
Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer.
Lăsați sistemul (I) (vezi §1) m=n, adică numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, iar matricea principală a sistemului este nesingulară, adică. . Atunci sistemul (I) din §1 are o soluție unică
unde Δ = det A numit principal determinant al sistemului(I), Δ i se obţine din determinantul Δ prin înlocuire i a-a coloană la o coloană de membri liberi ai sistemului (I).
Exemplu: Rezolvați sistemul folosind metoda lui Cramer:
.
Prin formule (3)
.
Calculăm determinanții sistemului:
,
,
.
Pentru a obține determinantul, am înlocuit prima coloană din determinant cu o coloană de termeni liberi; înlocuind a 2-a coloană din determinant cu o coloană de termeni liberi, obținem ; într-un mod similar, înlocuind a 3-a coloană din determinant cu o coloană de termeni liberi, obținem . Soluție de sistem:
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind o matrice inversă.
Lăsați sistemul (I) (vezi §1) m=n iar matricea principală a sistemului este nesingulară. Să scriem sistemul (I) sub formă de matrice ( vezi §2):
deoarece matrice O nesingular, atunci are o matrice inversă ( vezi Teorema 1 §6 din Capitolul 1). Să înmulțim ambele părți ale egalității (2) la matrice, atunci
Prin definiția unei matrici inverse. Din egalitate (3) avem
Rezolvați sistemul folosind matricea inversă
.
Să notăm
În exemplul (§ 3) am calculat determinantul, deci, matricea O are o matrice inversă. Apoi în vigoare (4) , adică
. (5)
Să găsim matricea ( vezi §6 capitolul 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
metoda Gauss.
Să fie dat un sistem de ecuații liniare:
. (eu)
Este necesar să se găsească toate soluțiile sistemului (I) sau să se verifice dacă sistemul este inconsecvent.
Definiția 1.Să numim transformarea elementară a sistemului(I) oricare dintre cele trei acțiuni:
1) tăierea ecuației zero;
2) adunarea la ambele părți ale ecuației a părților corespunzătoare ale unei alte ecuații, înmulțite cu numărul l;
3) schimbarea termenilor în ecuațiile sistemului astfel încât necunoscutele cu aceleași numere în toate ecuațiile să ocupe aceleași locuri, i.e. dacă, de exemplu, în prima ecuație am schimbat termenii 2 și 3, atunci același lucru trebuie făcut în toate ecuațiile sistemului.
Metoda Gauss constă în faptul că sistemul (I) cu ajutorul transformărilor elementare se reduce la un sistem echivalent, a cărui soluție se găsește direct sau se stabilește insolubilitatea acestuia.
După cum este descris în §2, sistemul (I) este determinat în mod unic de matricea sa extinsă și orice transformare elementară a sistemului (I) corespunde unei transformări elementare a matricei extinse:
.
Transformarea 1) corespunde cu ștergerea rândului zero din matrice, transformarea 2) echivalează cu adăugarea unui alt rând la rândul corespunzător al matricei, înmulțit cu numărul l, transformarea 3) echivalează cu rearanjarea coloanelor din matrice.
Este lesne de observat că, dimpotrivă, fiecărei transformări elementare a matricei îi corespunde o transformare elementară a sistemului (I). Datorită celor de mai sus, în loc de operații cu sistemul (I), vom lucra cu matricea extinsă a acestui sistem.
În matrice, prima coloană este formată din coeficienți pt x 1, coloana a 2-a - din coeficienții pt x 2 etc. Dacă coloanele sunt rearanjate, trebuie luat în considerare faptul că această condiție este încălcată. De exemplu, dacă schimbăm prima și a doua coloană, atunci prima coloană va conține coeficienții pentru x 2, iar în coloana a 2-a - coeficienții pentru x 1.
Vom rezolva sistemul (I) folosind metoda Gaussiană.
1. Tăiați toate rândurile zero din matrice, dacă există (adică, tăiați toate ecuațiile zero din sistemul (I).
2. Să verificăm dacă printre rândurile matricei există un rând în care toate elementele cu excepția ultimului sunt egale cu zero (să numim un astfel de rând inconsecvent). Evident, o astfel de linie corespunde unei ecuații inconsistente în sistemul (I), prin urmare, sistemul (I) nu are soluții și aici se termină procesul.
3. Fie ca matricea să nu conțină rânduri inconsistente (sistemul (I) nu conține ecuații inconsistente). Dacă a 11 =0, apoi găsim în primul rând vreun element (cu excepția ultimului) altul decât zero și rearanjam coloanele astfel încât în primul rând să nu fie zero pe locul 1. Vom presupune acum că (adică, vom schimba termenii corespunzători în ecuațiile sistemului (I)).
4. Înmulțiți prima linie cu și adăugați rezultatul cu a doua linie, apoi înmulțiți prima linie cu și adăugați rezultatul cu a treia linie etc. Evident, acest proces echivalează cu eliminarea necunoscutului x 1 din toate ecuațiile sistemului (I), cu excepția primei. În noua matrice obținem zerouri în prima coloană de sub element un 11:
.
5. Să tăiem toate rândurile zero din matrice, dacă există, și să verificăm dacă există un rând inconsecvent (dacă există unul, atunci sistemul este inconsecvent și soluția se termină acolo). Să verificăm dacă va fi a 22 / =0, dacă da, atunci găsim în al 2-lea rând un alt element decât zero și rearanjam coloanele astfel încât . Apoi, înmulțiți elementele din al 2-lea rând cu 
si se adauga cu elementele corespunzatoare liniei a 3-a, apoi - elementele liniei a 2-a si se adauga cu elementele corespunzatoare ale liniei a 4-a etc., pana obtinem zerouri sub a 22/
.
Acțiunile întreprinse sunt echivalente cu eliminarea necunoscutului x 2 din toate ecuațiile sistemului (I), cu excepția primei și a doua. Deoarece numărul de rânduri este finit, după un număr finit de pași obținem că fie sistemul este inconsecvent, fie ajungem la o matrice de pași ( vezi definiția 2 §7 capitolul 1) :
,
Să scriem sistemul de ecuații corespunzător matricei. Acest sistem este echivalent cu sistemul (I)
.
Din ultima ecuație pe care o exprimăm; înlocuiți în ecuația anterioară, găsiți etc., până când obținem .
Nota 1. Astfel, când rezolvăm sistemul (I) folosind metoda Gauss, ajungem la unul din următoarele cazuri.
1. Sistemul (I) este inconsecvent.
2. Sistemul (I) are o soluție unică dacă numărul de rânduri din matrice este egal cu numărul de necunoscute ().
3. Sistemul (I) are un număr infinit de soluții dacă numărul de rânduri din matrice număr mai mic necunoscut().
Prin urmare, următoarea teoremă este valabilă.
Teorema. Un sistem de ecuații liniare fie este inconsecvent, fie are o soluție unică, fie - set infinit decizii.
Exemple. Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda Gauss sau demonstrați inconsecvența acestuia:
b) 
;
a) Să rescriem sistemul dat sub forma:
.
Am schimbat prima și a doua ecuație a sistemului original pentru a simplifica calculele (în loc de fracții, vom opera numai cu numere întregi folosind această rearanjare).
Să creăm o matrice extinsă:
.
Nu există linii nule; nu există linii incompatibile, ; Să excludem prima necunoscută din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei. Pentru a face acest lucru, înmulțiți elementele din primul rând al matricei cu „-2” și adăugați-le cu elementele corespunzătoare din al doilea rând, ceea ce este echivalent cu înmulțirea primei ecuații cu „-2” și adăugarea acesteia cu a doua. ecuaţie. Apoi înmulțim elementele primei linii cu „-3” și le adăugăm cu elementele corespunzătoare din a treia linie, adică. înmulțiți a 2-a ecuație a sistemului dat cu „-3” și adăugați-o la a 3-a ecuație. Primim
.
Matricea corespunde unui sistem de ecuaţii). - (vezi definiția 3§7 din capitolul 1).
Un sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute numit un sistem al formei
Unde a ijŞi b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sunt câteva numere cunoscute și x 1 ,…,x n– necunoscut. În desemnarea coeficienţilor a ij primul indice i denotă numărul ecuației, iar al doilea j– numărul necunoscutului la care se află acest coeficient.
Vom scrie coeficienții pentru necunoscute sub forma unei matrice 
, pe care o vom numi matricea sistemului.
Numerele din partea dreaptă a ecuațiilor sunt b 1 ,…,b m sunt numite membri liberi.
Totalitate n numere c 1 ,…,c n numit decizie a unui sistem dat, dacă fiecare ecuație a sistemului devine o egalitate după înlocuirea numerelor în ea c 1 ,…,c nîn locul necunoscutelor corespunzătoare x 1 ,…,x n.
Sarcina noastră va fi să găsim soluții pentru sistem. În acest caz, pot apărea trei situații:
Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește comun. Altfel, i.e. dacă sistemul nu are soluții, atunci se numește nearticulată.
Să luăm în considerare modalități de a găsi soluții pentru sistem.
METODĂ MATRIXĂ PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINARE
Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:
Luați în considerare matricea sistemului 
și coloane de matrice de termeni necunoscuți și liberi 
Să găsim de lucru
aceste. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale, acest sistem poate fi scris sub forma
sau mai scurt O∙X=B.
Iată matricele OŞi B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Este necesar să-l găsim, pentru că... elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.
Fie determinantul matricei diferit de zero | O| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei O: . Din moment ce A -1 A = EŞi E∙X = X, apoi obținem o soluție a ecuației matriceale sub forma X = A -1 B .
Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrici pătrate, atunci metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, înregistrarea matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea O nu va fi pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.
Exemple. Rezolvarea sistemelor de ecuații.
REGULA LUI CRAMER
Să considerăm un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute:
Determinant de ordinul trei corespunzător matricei sistemului, i.e. compus din coeficienți pentru necunoscute,
numit determinant al sistemului.
Să mai compunem trei determinanți astfel: înlocuiți secvențial 1, 2 și 3 coloane din determinantul D cu o coloană de termeni liberi
Apoi putem demonstra următorul rezultat.
Teoremă (regula lui Cramer). Dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are una și o singură soluție și
Dovada. Deci, să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A 11 element un 11, a 2-a ecuație – pe A 21și al 3-lea – pe A 31:
Să adăugăm aceste ecuații:
Să ne uităm la fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Prin teorema expansiunii determinantului în elementele coloanei I
În mod similar, se poate demonstra că și .
În cele din urmă, este ușor de observat asta 
Astfel, obținem egalitatea: .
Prin urmare, .
Egalitățile și sunt derivate în mod similar, din care urmează enunțul teoremei.
Astfel, observăm că dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică și invers. Dacă determinantul sistemului este egal cu zero, atunci sistemul fie are un număr infinit de soluții, fie nu are soluții, adică. incompatibil.
Exemple. Rezolvarea sistemului de ecuații
METODA GAUSS
Metodele discutate anterior pot fi folosite pentru a rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute, iar determinantul sistemului trebuie să fie diferit de zero. Metoda Gauss este mai universală și potrivită pentru sisteme cu orice număr de ecuații. Constă în eliminarea consecventă a necunoscutelor din ecuațiile sistemului.
Să considerăm din nou un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:
.
Vom lăsa prima ecuație neschimbată, iar din a 2-a și a 3-a vom exclude termenii care conțin x 1. Pentru a face acest lucru, împărțiți a doua ecuație la O 21 și înmulțiți cu – O 11, apoi adăugați-l la prima ecuație. În mod similar, împărțim a treia ecuație la O 31 și înmulțiți cu - O 11, apoi adăugați-l cu primul. Ca urmare, sistemul original va lua forma:
Acum din ultima ecuație eliminăm termenul care conține x 2. Pentru a face acest lucru, împărțiți a treia ecuație cu, înmulțiți cu și adăugați cu a doua. Atunci vom avea un sistem de ecuații:
De aici, din ultima ecuație este ușor de găsit x 3, apoi din a 2-a ecuație x 2 si in final, de la 1 - x 1.
Când se utilizează metoda Gauss, ecuațiile pot fi schimbate dacă este necesar.
Adesea în loc să scrie sistem nou ecuațiile, sunt limitate la scrierea matricei extinse a sistemului:
și apoi aduceți-o într-o formă triunghiulară sau diagonală folosind transformări elementare.
LA transformări elementare matricele includ următoarele transformări:
- rearanjarea rândurilor sau coloanelor;
- înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;
- adăugarea altor linii la o singură linie.
Exemple: Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gauss.
Astfel, sistemul are un număr infinit de soluții.
În prima parte ne-am uitat puțin material teoretic, metoda substituției, precum și metoda adunării termen cu termen a ecuațiilor de sistem. Recomand tuturor celor care au accesat site-ul prin această pagină să citească prima parte. Poate că unii vizitatori vor găsi materialul prea simplu, dar în procesul de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, am făcut o serie de comentarii și concluzii foarte importante cu privire la rezolvarea problemelor matematice în general.
Acum vom analiza regula lui Cramer, precum și rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind o matrice inversă (metoda matricei). Toate materialele sunt prezentate simplu, în detaliu și clar, aproape toți cititorii vor putea învăța cum să rezolve sistemele folosind metodele de mai sus.
În primul rând, vom arunca o privire mai atentă la regula lui Cramer pentru un sistem de două ecuații liniare în două necunoscute. Pentru ce? – La urma urmei, cel mai simplu sistem poate fi rezolvat folosind metoda școlii, metoda adunării trimestriale!
Faptul este că, deși uneori, apare o astfel de sarcină - pentru a rezolva un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute folosind formulele lui Cramer. În al doilea rând, un exemplu mai simplu vă va ajuta să înțelegeți cum să folosiți regula lui Cramer pentru mai multe caz complex– sisteme de trei ecuații cu trei necunoscute.
În plus, există sisteme de ecuații liniare cu două variabile, care este recomandabil să le rezolve folosind regula lui Cramer!
Luați în considerare sistemul de ecuații
La primul pas, calculăm determinantul, se numește determinant principal al sistemului.
metoda Gauss.
Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă doi determinanți:
Şi
În practică, calificativele de mai sus pot fi notate și printr-o literă latină.
Găsim rădăcinile ecuației folosind formulele:
,
Exemplul 7
Rezolvați un sistem de ecuații liniare 
Soluţie: Vedem că coeficienții ecuației sunt destul de mari, în partea dreaptă există zecimale cu virgulă. Virgula este un invitat destul de rar în sarcinile practice la matematică am luat acest sistem dintr-o problemă econometrică.
Cum se rezolvă un astfel de sistem? Puteți încerca să exprimați o variabilă în termenii alteia, dar în acest caz veți ajunge probabil cu fracții fanteziste teribile, cu care sunt extrem de incomod de lucrat, iar designul soluției va arăta pur și simplu groaznic. Puteți înmulți a doua ecuație cu 6 și scădeți termen cu termen, dar aceleași fracții vor apărea și aici.
Ce să fac? În astfel de cazuri, formulele lui Cramer vin în ajutor.
;
;
Răspuns: ,
Ambele rădăcini au cozi infinite și se găsesc aproximativ, ceea ce este destul de acceptabil (și chiar banal) pentru problemele de econometrie.
Comentariile nu sunt necesare aici, deoarece sarcina este rezolvată folosind formule gata făcute, cu toate acestea, există o avertizare. Când să utilizați această metodă, obligatoriu Un fragment al designului sarcinii este următorul fragment: „Aceasta înseamnă că sistemul are o soluție unică”. În caz contrar, recenzentul vă poate pedepsi pentru nerespectarea teoremei lui Cramer.
Nu ar fi de prisos să verificăm, ceea ce este convenabil de efectuat cu un calculator: înlocuim valorile aproximative în partea stângă fiecare ecuație a sistemului. Ca rezultat, cu o mică eroare, ar trebui să obțineți numere care sunt în partea dreaptă.
Exemplul 8
Prezentați răspunsul în mod obișnuit fracții improprii. Faceți o verificare.
Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (un exemplu de design final și răspunsul de la sfârșitul lecției).
Să trecem la considerarea lui Cramer pentru un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute: 
Găsim principalul determinant al sistemului: 
Dacă , atunci sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent (nu are soluții). În acest caz, regula lui Cramer nu va ajuta, trebuie să utilizați metoda Gauss.
Dacă , atunci sistemul are o soluție unică și pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă trei determinanți: 
, 
, 
Și în sfârșit, răspunsul este calculat folosind formulele: 
După cum puteți vedea, cazul „trei cu trei” nu este în mod fundamental diferit de cazul „doi câte doi” coloana de termeni liberi „se plimbă” secvenţial de la stânga la dreapta de-a lungul coloanelor determinantului principal;
Exemplul 9
Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer. 
Soluţie: Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer. 
, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.
Răspuns: 
.
De fapt, iar aici nu este nimic special de comentat, din cauza faptului că soluția urmează formule gata făcute. Dar există câteva comentarii.
Se întâmplă ca în urma calculelor să se obțină fracții ireductibile „rele”, de exemplu: .
Recomand următorul algoritm de „tratament”. Dacă nu aveți un computer la îndemână, procedați astfel:
1) Poate exista o eroare în calcule. De îndată ce întâlniți o fracție „rea”, trebuie să verificați imediat Condiția este rescrisă corect?. Dacă condiția este rescrisă fără erori, atunci trebuie să recalculați determinanții folosind expansiunea într-un alt rând (coloană).
2) Dacă nu sunt identificate erori ca urmare a verificării, atunci cel mai probabil a existat o greșeală de scriere în condițiile sarcinii. În acest caz, lucrați cu calm și cu ATENȚIE la sarcina până la sfârșit și apoi asigurați-vă că verificațiși o întocmim pe o foaie curată după decizie. Desigur, verificarea unui răspuns fracționat este o sarcină neplăcută, dar va fi un argument dezarmant pentru profesor, căruia îi place foarte mult să dea un minus pentru orice prostie de genul . Modul de manipulare a fracțiilor este descris în detaliu în răspunsul la Exemplul 8.
Dacă aveți un computer la îndemână, atunci utilizați un program automat pentru a verifica, care poate fi descărcat gratuit chiar la începutul lecției. Apropo, cel mai profitabil este să folosești programul imediat (chiar înainte de a începe soluția, vei vedea imediat pasul intermediar în care ai greșit); Același calculator calculează automat soluția sistemului folosind metoda matricei.
A doua remarcă. Din când în când există sisteme din ecuațiile cărora lipsesc unele variabile, de exemplu: 
Aici în prima ecuație nu există variabilă, în a doua nu există variabilă. În astfel de cazuri, este foarte important să notați corect și CU ATENȚIE principalul determinant: 
– zerourile sunt plasate în locul variabilelor lipsă.
Apropo, este rațional să deschideți determinanții cu zerouri în funcție de rândul (coloana) în care se află zero, deoarece există considerabil mai puține calcule.
Exemplul 10
Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer. 
Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (o mostră din proiectul final și răspunsul de la sfârșitul lecției).
Pentru cazul unui sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute, formulele lui Cramer sunt scrise după principii similare. Puteți vedea un exemplu viu în lecția Proprietățile determinanților. Reducerea ordinului determinantului - cinci determinanți de ordinul 4 sunt destul de rezolvabili. Deși sarcina amintește deja foarte mult de pantoful unui profesor pe pieptul unui student norocos.
Rezolvarea sistemului folosind o matrice inversă
Metoda matricei inverse este în esență caz special ecuația matriceală(Vezi Exemplul nr. 3 al lecției specificate).
Pentru a studia această secțiune, trebuie să fiți capabil să extindeți determinanții, să găsiți inversul unei matrice și să efectuați înmulțirea matricei. Link-uri relevante vor fi furnizate pe măsură ce explicațiile progresează.
Exemplul 11
Rezolvați sistemul folosind metoda matricei 
Soluţie: Să scriem sistemul sub formă de matrice:
, Unde 
Vă rugăm să priviți sistemul de ecuații și matrice. Cred că toată lumea înțelege principiul prin care scriem elementele în matrice. Singurul comentariu: dacă unele variabile lipsesc din ecuații, atunci zerouri ar trebui plasate în locurile corespunzătoare din matrice.
Găsim matricea inversă folosind formula:
, unde este matricea transpusă adunări algebrice elementele matricei corespunzătoare.
Mai întâi, să ne uităm la determinant:
Aici determinantul este extins pe prima linie.
Atenţie! Dacă , atunci matricea inversă nu există și este imposibil să se rezolve sistemul folosind metoda matricei. În acest caz, sistemul se rezolvă prin metoda eliminării necunoscutelor (metoda Gauss).
Acum trebuie să calculăm 9 minori și să le scriem în matricea minorilor 
Referinţă: Este util să cunoaștem semnificația indicelor duble în algebra liniară. Prima cifră este numărul liniei în care se află elementul. A doua cifră este numărul coloanei în care se află elementul: 
Adică, un indice dublu indică faptul că elementul este în primul rând, a treia coloană și, de exemplu, elementul este în 3 rânduri, 2 coloană