6.1. CONCEPTE ȘI DEFINIȚII DE BAZĂ

Atunci când se rezolvă diverse probleme din matematică și fizică, biologie și medicină, destul de des nu este posibil să se stabilească imediat o relație funcțională sub forma unei formule care leagă variabile, care descriu procesul studiat. De obicei trebuie să utilizați ecuații care conțin, pe lângă variabila independentă și funcția necunoscută, și derivatele acesteia.

Definiție. Se numește o ecuație care conectează o variabilă independentă, o funcție necunoscută și derivatele acesteia de diferite ordine diferenţial.

O funcție necunoscută este de obicei indicată y(x) sau pur și simplu y,și derivatele sale - y", y" etc.

Sunt posibile și alte denumiri, de exemplu: dacă y= x(t), atunci x"(t), x""(t)- derivatele sale, și t- variabila independenta.

Definiție. Dacă o funcție depinde de o variabilă, atunci ecuația diferențială se numește obișnuită. Forma generală ecuație diferențială obișnuită:

sau

Funcții FȘi f poate să nu conțină unele argumente, dar pentru ca ecuațiile să fie diferențiale, prezența unei derivate este esențială.

Definiție.Ordinea ecuației diferențiale se numește ordinea celei mai mari derivate incluse în ea.

De exemplu, x 2 y"- y= 0, y" + sin X= 0 sunt ecuații de ordinul întâi și y"+ 2 y"+ 5 y= X- ecuația de ordinul doi.

La rezolvarea ecuațiilor diferențiale se folosește operația de integrare, care este asociată cu apariția unei constante arbitrare. Dacă se aplică acţiunea de integrare n ori, atunci, evident, soluția va conține n constante arbitrare.

6.2. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL I

Forma generală ecuație diferențială de ordinul întâi este determinată de expresie

Ecuația poate să nu conțină în mod explicit XȘi y, dar conține în mod necesar y”.

Dacă ecuația poate fi scrisă ca

atunci obținem o ecuație diferențială de ordinul întâi rezolvată în raport cu derivata.

Definiție. Soluția generală a ecuației diferențiale de ordinul întâi (6.3) (sau (6.4)) este mulțimea soluțiilor , Unde CU- constantă arbitrară.

Graficul soluției unei ecuații diferențiale se numește curbă integrală.

Oferind o constantă arbitrară CU valori diferite, se pot obține soluții parțiale. La suprafață xOy soluția generală este o familie de curbe integrale corespunzătoare fiecărei soluții particulare.

Dacă ai stabilit un punct A (x 0 , y 0), prin care curba integrală trebuie să treacă, apoi, de regulă, dintr-un set de funcții Se poate evidenția una - o soluție privată.

Definiție.Decizie privată a unei ecuații diferențiale este soluția acesteia care nu conține constante arbitrare.

Dacă este o soluție generală, apoi din condiție

poți găsi o constantă CU. Se numește condiția condiția inițială.

Problema găsirii unei anumite soluții la ecuația diferențială (6.3) sau (6.4) care satisface condiția inițială la numit Problema Cauchy. Această problemă are întotdeauna o soluție? Răspunsul este conținut în următoarea teoremă.

teorema lui Cauchy(teorema existenței și unicității unei soluții). Lăsați ecuația diferențială y"= f(x,y) funcţie f(x,y) si ea

derivat parțial definită şi continuă în unele

regiune D, conţinând un punct Apoi în zonă D există

singura soluție a ecuației care satisface condiția inițială la

Teorema lui Cauchy afirmă că în anumite condiții există o curbă integrală unică y= f(x), trecând printr-un punct Puncte în care nu sunt îndeplinite condițiile teoremei

Cauchies se numesc special.În aceste puncte se rupe f(x, y) sau.

Fie mai multe curbe integrale, fie nici una nu trece printr-un punct singular.

Definiție. Dacă soluția (6.3), (6.4) se găsește sub forma f(X y, C)= 0, nu este permis în raport cu y, atunci se numește integrală generală ecuație diferențială.

Teorema lui Cauchy garantează doar că există o soluție. Deoarece nu există o metodă unică pentru găsirea unei soluții, vom lua în considerare doar câteva tipuri de ecuații diferențiale de ordinul întâi care pot fi integrate în cuadraturi

Definiție. Ecuația diferențială se numește integrabil în cuadraturi, dacă găsirea soluției sale se reduce la integrarea funcțiilor.

6.2.1. Ecuatii diferentiale primul ordin cu variabile separabile

Definiție. O ecuație diferențială de ordinul întâi se numește ecuație cu variabile separabile,

Partea dreaptă a ecuației (6.5) este produsul a două funcții, fiecare dintre ele depinde de o singură variabilă.

De exemplu, ecuația este o ecuație cu separare

amestecat cu variabile
și ecuația

nu poate fi reprezentat sub forma (6.5).

Având în vedere că , rescriem (6.5) sub forma

Din această ecuație obținem o ecuație diferențială cu variabile separate, în care diferențialele sunt funcții care depind doar de variabila corespunzătoare:

Integrarea termen cu termen, avem

unde C = C 2 - C 1 - constantă arbitrară. Expresia (6.6) este integrala generală a ecuației (6.5).

Împărțind ambele părți ale ecuației (6.5) la, putem pierde acele soluții pentru care, Într-adevăr, dacă la

Acea în mod evident, este o soluție a ecuației (6.5).

Exemplul 1. Găsiți o soluție a ecuației care satisface

condiție: y= 6 at X= 2 (y(2) = 6).

Soluţie. Vom înlocui y" apoi . Înmulțiți ambele părți cu

dx,întrucât în ​​timpul integrării ulterioare este imposibil să pleci dx la numitor:

iar apoi împărțind ambele părți la obținem ecuația,

care poate fi integrat. Să integrăm:

Apoi ; potențarea, obținem y = C. (x + 1) - ob-

solutie generala.

Folosind datele inițiale, determinăm o constantă arbitrară, înlocuindu-le în soluția generală

În sfârșit, obținem y= 2(x + 1) este o soluție particulară. Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a ecuațiilor cu variabile separabile.

Exemplul 2. Găsiți soluția ecuației

Soluţie. Având în vedere că , primim .

Integrând ambele părți ale ecuației, avem

Unde

Exemplul 3. Găsiți soluția ecuației Soluţie.Împărțim ambele părți ale ecuației în acei factori care depind de o variabilă care nu coincide cu variabila sub semnul diferențial, i.e. și să integreze. Apoi primim

și, în sfârșit

Exemplul 4. Găsiți soluția ecuației

Soluţie.Știind ce vom obține. Secțiune

variabile lim. Apoi

Integrarea, obținem

Cometariu.În exemplele 1 și 2, funcția dorită y exprimată în mod explicit (soluție generală). În exemplele 3 și 4 - implicit (integrală generală). Pe viitor, forma deciziei nu va fi specificată.

Exemplul 5. Găsiți soluția ecuației Soluţie.

Exemplul 6. Găsiți soluția ecuației , satisfacator

condiție voi)= 1.

Soluţie. Să scriem ecuația sub forma

Înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu dxși mai departe, primim

Integrând ambele părți ale ecuației (integrala din partea dreaptă este luată pe părți), obținem

Dar după condiție y= 1 la X= e. Apoi

Să înlocuim valorile găsite CU la solutia generala:

Expresia rezultată se numește soluție parțială a ecuației diferențiale.

6.2.2. Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi

Definiție. Se numește ecuația diferențială de ordinul întâi omogen, dacă poate fi reprezentat sub formă

Să prezentăm un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații omogene.

1.În schimb y să introducem o nouă funcție Apoi prin urmare

2.În ceea ce privește funcția u ecuația (6.7) ia forma

adică înlocuirea reduce o ecuație omogenă la o ecuație cu variabile separabile.

3. Rezolvând ecuația (6.8), găsim mai întâi u și apoi y= ux.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația Soluţie. Să scriem ecuația sub forma

Facem înlocuirea:
Apoi

Vom înlocui

Înmulțiți cu dx: Împarte la Xși pe Apoi

După ce am integrat ambele părți ale ecuației peste variabilele corespunzătoare, avem

sau, revenind la vechile variabile, obținem în sfârșit

Exemplul 2.Rezolvați ecuația Soluţie.Lăsa Apoi

Să împărțim ambele părți ale ecuației cu x2: Să deschidem parantezele și să rearanjam termenii:

Trecând la vechile variabile, ajungem la rezultatul final:

Exemplul 3.Găsiți soluția ecuației dat fiind

Soluţie.Efectuarea unei înlocuiri standard primim

sau

sau

Aceasta înseamnă că soluția particulară are forma Exemplul 4. Găsiți soluția ecuației

Soluţie.

Exemplul 5.Găsiți soluția ecuației Soluţie.

Muncă independentă

Găsiți soluții la ecuații diferențiale cu variabile separabile (1-9).

Găsiți o soluție pentru ecuații diferențiale omogene (9-18).

6.2.3. Câteva aplicații ale ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi

Problema dezintegrarii radioactive

Rata de descompunere a Ra (radiului) în fiecare moment de timp este proporțională cu masa sa disponibilă. Aflați legea dezintegrarii radioactive a lui Ra dacă se știe că la momentul inițial a existat Ra și timpul de înjumătățire al lui Ra este de 1590 de ani.

Soluţie. Fie în momentul de față masa Ra X= x(t) g, și Atunci rata de dezintegrare Ra este egală cu

În funcție de condițiile problemei

Unde k

Separând variabilele din ultima ecuație și integrând, obținem

Unde

Pentru determinare C folosim condiția inițială: când .

Apoi prin urmare,

Factorul de proporționalitate k determinată din condiția suplimentară:

Avem

De aici și formula necesară

Problema ratei de reproducere a bacteriilor

Rata de reproducere a bacteriilor este proporțională cu numărul lor. La început erau 100 de bacterii. În 3 ore numărul lor s-a dublat. Găsiți dependența de timp a numărului de bacterii. De câte ori va crește numărul bacteriilor în decurs de 9 ore?

Soluţie. Lăsa X- numărul de bacterii la un moment dat t. Apoi, conform condiției,

Unde k- coeficientul de proporţionalitate.

De aici Din condiţie se ştie că . Mijloace,

Din condiția suplimentară . Apoi

Funcția pe care o cauți:

Deci când t= 9 X= 800, adică în 9 ore numărul bacteriilor a crescut de 8 ori.

Problema creșterii cantității de enzime

Într-o cultură de drojdie de bere, rata de creștere a enzimei active este proporțională cu cantitatea sa inițială X. Cantitatea inițială de enzimă A dublat într-o oră. Găsiți dependența

x(t).

Soluţie. După condiție, ecuația diferențială a procesului are forma

de aici

Dar . Mijloace, C= Ași apoi

Se mai stie ca

Prin urmare,

6.3. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL AL DOILEA

6.3.1. Noțiuni de bază

Definiție.Ecuație diferențială de ordinul doi se numește relație care leagă variabila independentă, funcția dorită și derivatele sale prima și a doua.

În cazuri speciale, x poate lipsi din ecuație, la sau y". Cu toate acestea, o ecuaţie de ordinul doi trebuie să conţină în mod necesar y." ÎN caz general ecuația diferențială de ordinul doi se scrie astfel:

sau, dacă este posibil, în forma rezolvată cu privire la derivata a doua:

Ca și în cazul unei ecuații de ordinul întâi, pentru o ecuație de ordinul doi pot exista soluții generale și particulare. Solutia generala este:

Găsirea unei anumite soluții

în condiţii iniţiale – dat

numere) se numește Problema Cauchy. Geometric, aceasta înseamnă că trebuie să găsim curba integrală la= y(x), trecând printr-un punct dat şi având o tangentă în acest punct care este

se aliniază cu direcția pozitivă a axei Bou unghiul specificat. e. (Fig. 6.1). Problema Cauchy are o soluție unică dacă partea dreaptă a ecuației (6.10), neîncetat

este discontinuă și are derivate parțiale continue în raport cu uh, uh"într-o vecinătate a punctului de plecare

Pentru a găsi constante incluse într-o soluție privată, sistemul trebuie rezolvat

Orez. 6.1. Curba integrală

Instrucțiuni

Dacă ecuația este prezentată sub forma: dy/dx = q(x)/n(y), clasifică-le ca ecuații diferențiale cu variabile separabile. Ele pot fi rezolvate scriind condiția în diferențiale astfel: n(y)dy = q(x)dx. Apoi integrați ambele părți. În unele cazuri, soluția este scrisă sub formă de integrale luate din funcții cunoscute. De exemplu, în cazul lui dy/dx = x/y, obținem q(x) = x, n(y) = y. Scrie-l sub forma ydy = xdx și integrează. Ar trebui să fie y^2 = x^2 + c.

La liniar ecuații relaționați ecuațiile cu „primul”. O funcție necunoscută cu derivatele sale intră într-o astfel de ecuație doar până la primul grad. Liniara are forma dy/dx + f(x) = j(x), unde f(x) si g(x) sunt functii dependente de x. Soluția se scrie folosind integrale luate din funcții cunoscute.

Vă rugăm să rețineți că multe ecuații diferențiale sunt ecuații de ordinul doi (conțin derivate secunde) De exemplu, ecuația mișcării armonice simple se scrie în formă generală: md 2x/dt 2 = –kx. Astfel de ecuații au, în , soluții speciale. Ecuația mișcării armonice simple este un exemplu de una destul de importantă: ecuații diferențiale liniare care au coeficient constant.

Dacă în condiţiile sarcinii există doar unul ecuație liniară, ceea ce înseamnă că vi s-au oferit condiții suplimentare prin care puteți găsi o soluție. Citiți cu atenție problema pentru a găsi aceste condiții. Dacă variabile x și y indică distanța, viteza, greutatea - nu ezitați să setați limita x≥0 și y≥0. Este foarte posibil ca x sau y să ascundă numărul de mere etc. – atunci valorile pot fi doar . Dacă x este vârsta fiului, este clar că acesta nu poate fi mai în vârstă decât tatăl său, așa că indicați acest lucru în condițiile problemei.

Surse:

• cum se rezolvă o ecuație cu o variabilă

Problemele de calcul diferențial și integral sunt elemente importante consolidarea teoriei analiză matematică, ramură a matematicii superioare studiată în universități. Diferenţial ecuația rezolvată prin metoda integrării.

Instrucțiuni

Calculul diferenţial explorează proprietăţile lui . Și invers, integrarea unei funcții permite proprietăți date, de ex. derivate sau diferențiale ale unei funcții pentru a o găsi în sine. Aceasta este soluția ecuației diferențiale.

Orice este o relație între o cantitate necunoscută și datele cunoscute. În cazul unei ecuații diferențiale, rolul necunoscutului este jucat de o funcție, iar rolul cantităților cunoscute îl joacă derivatele sale. În plus, relația poate conține o variabilă independentă: F(x, y(x), y'(x), y''(x),..., y^n(x)) = 0, unde x este o necunoscută variabilă, y (x) este funcția care trebuie determinată, ordinea ecuației este ordinea maximă a derivatei (n).

O astfel de ecuație se numește ecuație diferențială obișnuită. Dacă relația conține mai multe variabile independente și derivate parțiale (diferențiale) ale funcției față de aceste variabile, atunci ecuația se numește ecuație cu diferență parțială și are forma: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , unde z(x, y) este funcția necesară.

Deci, pentru a învăța cum să rezolvi ecuațiile diferențiale, trebuie să poți găsi antiderivate, adică. rezolvați problema inversă diferențierii. De exemplu: Rezolvați ecuația de ordinul întâi y’ = -y/x.

Soluție Înlocuiește y’ cu dy/dx: dy/dx = -y/x.

Reduceți ecuația la o formă convenabilă pentru integrare. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți cu dx și împărțiți cu y:dy/y = -dx/x.

Integrați: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +C.

Această soluție se numește ecuație diferențială generală. C este o constantă al cărei set de valori determină setul de soluții ale ecuației. Pentru orice sens specific C va fi singura soluție. Această soluție este o soluție parțială a ecuației diferențiale.

Rezolvarea majorității ecuațiilor de ordin superior grade nu are o formulă clară pentru găsirea rădăcinilor pătrate ecuații. Cu toate acestea, există mai multe metode de reducere care vă permit să transformați o ecuație de grad mai mare într-o formă mai vizuală.

Instrucțiuni

Cea mai comună metodă de rezolvare a ecuațiilor de grad superior este expansiunea. Această abordare este o combinație de selectare a rădăcinilor întregi, divizorilor termenului liber și împărțirea ulterioară a polinomului general în forma (x – x0).

De exemplu, rezolvați ecuația x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Rezolvare: Termenul liber al acestui polinom este -3, prin urmare, divizorii săi întregi pot fi numerele ±1 și ±3. Substituiți-le unul câte unul în ecuație și aflați dacă obțineți identitatea: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

A doua rădăcină x = -1. Împărțiți la expresia (x + 1). Notați ecuația rezultată (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Gradul a fost redus la al doilea, prin urmare, ecuația poate avea încă două rădăcini. Pentru a le găsi, rezolvați ecuația pătratică: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Discriminantul este o valoare negativă, ceea ce înseamnă că ecuația nu mai are rădăcini reale. Aflați rădăcinile complexe ale ecuației: x = (-2 + i·√11)/2 și x = (-2 – i·√11)/2.

O altă metodă de rezolvare a unei ecuații de grad superior este schimbarea variabilelor pentru a o face pătratică. Această abordare este utilizată atunci când toate puterile ecuației sunt pare, de exemplu: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Acum găsiți rădăcinile ecuației inițiale: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Sfat 10: Cum să determinați ecuațiile redox

O reacție chimică este un proces de transformare a substanțelor care are loc odată cu modificarea compoziției lor. Acele substanțe care reacționează se numesc substanțe inițiale, iar cele care se formează în urma acestui proces se numesc produse. Se întâmplă ca în timpul unei reacții chimice, elementele care alcătuiesc substanțele inițiale să își schimbe starea de oxidare. Adică, ei pot accepta electronii altcuiva și îi pot oferi pe ai lor. În ambele cazuri, taxa lor se modifică. Astfel de reacții se numesc reacții redox.

Astăzi, una dintre cele mai importante abilități pentru orice specialist este capacitatea de a rezolva ecuații diferențiale. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale - nici o singură sarcină aplicată nu poate face fără acest lucru, fie că este vorba de calcularea oricărui parametru fizic sau de modelarea modificărilor ca urmare a politicilor macroeconomice adoptate. Aceste ecuații sunt, de asemenea, importante pentru o serie de alte științe, cum ar fi chimia, biologia, medicina etc. Mai jos vom da un exemplu de utilizare a ecuațiilor diferențiale în economie, dar înainte de asta vom vorbi pe scurt despre principalele tipuri de ecuații.

Ecuații diferențiale - cele mai simple tipuri

Înțelepții spuneau că legile universului nostru sunt scrise în limbaj matematic. Desigur, în algebră există multe exemple de diverse ecuații, dar acestea sunt, în cea mai mare parte, exemple educaționale care nu sunt aplicabile în practică. Adevărat matematică interesantăîncepe atunci când dorim să descriem procesele care au loc în viata reala. Dar cum putem reflecta factorul timp care guvernează procesele reale – inflația, producția sau indicatorii demografici?

Să ne amintim o definiție importantă dintr-un curs de matematică referitoare la derivata unei funcții. Derivata este rata de schimbare a unei funcții, prin urmare ne poate ajuta să reflectăm factorul timp în ecuație.

Adică, creăm o ecuație cu o funcție care descrie indicatorul care ne interesează și adăugăm derivata acestei funcții la ecuație. Aceasta este o ecuație diferențială. Acum să trecem la cele mai simple tipuri de ecuații diferențiale pentru manechine.

Cea mai simplă ecuație diferențială are forma $y'(x)=f(x)$, unde $f(x)$ este o anumită funcție, iar $y'(x)$ este derivata sau rata de schimbare a valorii dorite. funcţie. Poate fi rezolvată prin integrare obișnuită: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Al doilea cel mai simplu tip se numește ecuație diferențială cu variabile separabile. O astfel de ecuație arată astfel: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Se poate observa că variabila dependentă $y$ este, de asemenea, parte a funcției construite. Ecuația poate fi rezolvată foarte simplu - trebuie să „separați variabilele”, adică să o aduceți la forma $y'(x)/g(y)=f(x)$ sau $dy/g(y) =f(x)dx$. Rămâne să integrăm ambele părți $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - aceasta este soluția ecuației diferențiale de tip separabil.

Ultimul tip simplu este o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi. Are forma $y’+p(x)y=q(x)$. Aici $p(x)$ și $q(x)$ sunt câteva funcții, iar $y=y(x)$ este funcția necesară. Pentru a rezolva o astfel de ecuație se folosesc metode speciale (metoda lui Lagrange de variație a unei constante arbitrare, metoda substituției lui Bernoulli).

Există tipuri mai complexe de ecuații - ecuații de ordin al doilea, al treilea și în general arbitrar, omogene și ecuații neomogene, precum și sisteme de ecuații diferențiale. Rezolvarea lor necesită pregătire preliminară și experiență în rezolvarea unor probleme mai simple.

Așa-numitele ecuații cu diferențe parțiale sunt de mare importanță pentru fizică și, în mod neașteptat, pentru finanțe. Aceasta înseamnă că funcția dorită depinde de mai multe variabile în același timp. De exemplu, ecuația Black-Scholes din domeniul ingineriei financiare descrie valoarea unei opțiuni (tip de titlu) în funcție de rentabilitatea acesteia, de mărimea plăților și de datele de început și de sfârșit ale plăților. Rezolvarea unei ecuații diferențiale parțiale este destul de complexă, de obicei trebuie să o utilizați programe speciale, cum ar fi Matlab sau Maple.

Un exemplu de aplicare a unei ecuații diferențiale în economie

Să dăm, așa cum am promis, un exemplu simplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale. Mai întâi, să stabilim sarcina.

Pentru unele companii, funcția venitului marginal din vânzarea produselor sale are forma $MR=10-0,2q$. Aici $MR$ este venitul marginal al firmei și $q$ este volumul producției. Trebuie să găsim veniturile totale.

După cum puteți vedea din problemă, acesta este un exemplu aplicat din microeconomie. Multe firme și întreprinderi se confruntă în mod constant cu astfel de calcule în cursul activităților lor.

Să începem cu soluția. După cum se știe din microeconomie, venitul marginal este un derivat al venitului total, iar venitul este zero la vânzări zero.

Din punct de vedere matematic, problema s-a redus la rezolvarea ecuației diferențiale $R’=10-0,2q$ în condiția $R(0)=0$.

Integram ecuația, luând funcția antiderivată a ambelor părți și obținem soluția generală: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$

Pentru a găsi constanta $C$, amintiți-vă condiția $R(0)=0$. Să înlocuim: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Deci C=0 și funcția noastră de venit total ia forma $R(q)=10q-0,1q^2$. Problema este rezolvată.

Alte exemple de tipuri diferite Telecomenzile sunt colectate pe pagina:

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale. Mulțumită noastre serviciu online Puteți rezolva ecuații diferențiale de orice tip și complexitate: neomogene, omogene, neliniare, liniare, de ordinul întâi, al doilea, cu variabile separabile sau neseparabile etc. Obțineți o soluție a ecuațiilor diferențiale în formă analitică cu descriere detaliata. Mulți oameni sunt interesați: de ce este necesar să rezolvați ecuații diferențiale online? Acest tip de ecuație este foarte comun în matematică și fizică, unde va fi imposibil să rezolvi multe probleme fără a calcula ecuația diferențială. Ecuațiile diferențiale sunt, de asemenea, comune în economie, medicină, biologie, chimie și alte științe. Rezolvarea online a unei astfel de ecuații vă simplifică foarte mult sarcinile, vă oferă posibilitatea de a înțelege mai bine materialul și de a vă testa. Avantajele rezolvării ecuațiilor diferențiale online. Un site modern de servicii matematice vă permite să rezolvați ecuații diferențiale online orice dificultăți. După cum știți, există un numar mare de tipuri de ecuații diferențiale și fiecare dintre ele are propriile metode de rezolvare. Pe serviciul nostru puteți găsi online soluții pentru ecuații diferențiale de orice ordine și tip. Pentru a obține o soluție, vă sugerăm să completați datele inițiale și să faceți clic pe butonul „Soluție”. Sunt excluse erorile în funcționarea serviciului, astfel încât puteți fi 100% sigur că ați primit răspunsul corect. Rezolvați ecuații diferențiale cu serviciul nostru. Rezolvați ecuații diferențiale online. În mod implicit, într-o astfel de ecuație, funcția y este o funcție a variabilei x. Dar puteți specifica și propria dvs. desemnare variabilă. De exemplu, dacă specificați y(t) într-o ecuație diferențială, atunci serviciul nostru va determina automat că y este o funcție a variabilei t. Ordinea întregii ecuații diferențiale va depinde de ordinea maximă a derivatei funcției prezente în ecuație. Rezolvarea unei astfel de ecuații înseamnă găsirea funcției dorite. Serviciul nostru vă va ajuta să rezolvați ecuații diferențiale online. Nu este nevoie de mult efort din partea ta pentru a rezolva ecuația. Trebuie doar să introduceți părțile din stânga și din dreapta ale ecuației în câmpurile necesare și să faceți clic pe butonul „Soluție”. La introducere, derivata unei funcții trebuie notă cu un apostrof. În câteva secunde vei primi produsul finit solutie detaliata ecuație diferențială. Serviciul nostru este absolut gratuit. Ecuații diferențiale cu variabile separabile. Dacă într-o ecuație diferențială există o expresie în partea stângă care depinde de y, iar în partea dreaptă există o expresie care depinde de x, atunci o astfel de ecuație diferențială se numește cu variabile separabile. Partea stângă poate conține o derivată a lui y; soluția ecuațiilor diferențiale de acest tip va fi sub forma unei funcții a lui y, exprimată prin integrala părții drepte a ecuației. Dacă în partea stângă există o diferență a funcției lui y, atunci în acest caz ambele părți ale ecuației sunt integrate. Când variabilele dintr-o ecuație diferențială nu sunt separate, ele vor trebui separate pentru a obține o ecuație diferențială separată. Ecuație diferențială liniară. O ecuație diferențială a cărei funcție și toate derivatele ei sunt de gradul I se numește liniară. Forma generală a ecuației: y’+a1(x)y=f(x). f(x) și a1(x) sunt funcții continue din x. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale de acest tip se reduce la integrarea a două ecuații diferențiale cu variabile separate. Ordinea ecuației diferențiale. O ecuație diferențială poate fi de ordinul întâi, al doilea, al n-lea. Ordinea unei ecuații diferențiale determină ordinea celei mai mari derivate pe care o conține. În serviciul nostru puteți rezolva ecuații diferențiale online pentru prima, a doua, a treia etc. Ordin. Soluția ecuației va fi orice funcție y=f(x), înlocuind-o în ecuație, veți obține o identitate. Procesul de găsire a unei soluții la o ecuație diferențială se numește integrare. Problema Cauchy. Dacă, pe lângă ecuația diferențială în sine, este dată și condiția inițială y(x0)=y0, atunci aceasta se numește problema Cauchy. La soluția ecuației se adaugă indicatorii y0 și x0 și se determină valoarea unei constante arbitrare C, iar apoi se determină o soluție particulară a ecuației la această valoare a lui C. Aceasta este soluția problemei Cauchy. Problema Cauchy se mai numește și o problemă cu condiții la limită, care este foarte comună în fizică și mecanică. De asemenea, aveți ocazia să setați problema Cauchy, adică din toate soluțiile posibile ale ecuației, selectați un coeficient care îndeplinește condițiile inițiale date.

Acest articol este un punct de plecare în studierea teoriei ecuațiilor diferențiale. Iată definițiile și conceptele de bază care vor apărea constant în text. Pentru o mai bună asimilare și înțelegere, definițiile sunt furnizate cu exemple.

Ecuație diferențială (DE) este o ecuație care include o funcție necunoscută sub semnul derivat sau diferențial.

Dacă funcția necunoscută este o funcție a unei variabile, atunci se numește ecuația diferențială comun(ODE prescurtat - ecuație diferențială ordinară). Dacă funcția necunoscută este o funcție a mai multor variabile, atunci se numește ecuația diferențială ecuație cu diferență parțială.

Se numește ordinea maximă a derivatei unei funcții necunoscute care intră într-o ecuație diferențială ordinea ecuației diferențiale.

Iată exemple de ODE ale primului, al doilea și, respectiv, al cincilea ordin

Ca exemple de ecuații cu diferențe parțiale de ordinul doi, dăm

Mai departe vom lua în considerare doar ecuații diferențiale obișnuite de ordinul al n-lea al formei sau , unde Ф(x, y) = 0 este o funcție necunoscută specificată implicit (când este posibil, o vom scrie în reprezentare explicită y = f(x) ).

Procesul de găsire a soluțiilor unei ecuații diferențiale se numește prin integrarea ecuaţiei diferenţiale.

Rezolvarea unei ecuații diferențiale- este implicit funcţie datăФ(x, y) = 0 (în unele cazuri funcția y poate fi exprimată explicit prin argumentul x), ceea ce transformă ecuația diferențială într-o identitate.

NOTĂ.

Soluția unei ecuații diferențiale este întotdeauna căutată pe un interval predeterminat X.

De ce vorbim despre asta separat? Da, pentru că în multe probleme nu este menționat intervalul X. Adică, de obicei, condiția problemelor este formulată astfel: „găsiți o soluție la ecuația diferențială obișnuită " În acest caz, se presupune că soluția ar trebui căutată pentru tot x pentru care atât funcția dorită y, cât și ecuația inițială au sens.

Soluția unei ecuații diferențiale este adesea numită integrală a ecuației diferențiale.

Funcții sau poate fi numită soluția unei ecuații diferențiale.

Una dintre soluțiile ecuației diferențiale este funcția. Într-adevăr, înlocuind această funcție în ecuația originală, obținem identitatea . Este ușor de observat că o altă soluție la această ODE este, de exemplu, . Astfel, ecuațiile diferențiale pot avea multe soluții.

Soluție generală a unei ecuații diferențiale este un set de soluții care conține toate, fără excepție, soluțiile acestei ecuații diferențiale.

Soluția generală a unei ecuații diferențiale se mai numește integrala generala a ecuatiei diferentiale.

Să revenim la exemplu. Soluția generală a ecuației diferențiale are forma sau , unde C este o constantă arbitrară. Mai sus am indicat două soluții la această EDO, care se obțin din integrala generală a ecuației diferențiale prin substituirea C = 0 și, respectiv, C = 1.

Dacă soluția unei ecuații diferențiale satisface condițiile suplimentare specificate inițial, atunci se numește rezolvarea parțială a ecuației diferențiale.

O soluție parțială a ecuației diferențiale care satisface condiția y(1)=1 este . Într-adevăr, Și .

Principalele probleme ale teoriei ecuațiilor diferențiale sunt problemele Cauchy, problemele cu valori la limită și problemele de găsire. solutie generala ecuație diferențială pe orice interval dat X.

Problema Cauchy este problema găsirii unei anumite soluții la o ecuație diferențială care satisface data condiții inițiale, unde sunt numerele.

Problema valorii la limită este problema găsirii unei anumite soluții la o ecuație diferențială de ordinul doi care satisface condiții suplimentare la punctele limită x 0 și x 1:
f (x 0) = f 0, f (x 1) = f 1, unde f 0 și f 1 sunt numere date.

Problema valorii la limită este adesea numită problema limitei.

Se numește o ecuație diferențială obișnuită de ordinul al n-lea liniar, dacă are forma , iar coeficienții sunt funcții continue ale argumentului x pe intervalul de integrare.