Să continuăm conversația despre acțiunile cu matrice. Și anume, în timpul studiului acestei prelegeri veți învăța cum să găsiți matricea inversă. Învăța. Chiar dacă matematica este dificilă.

Ce este o matrice inversă? Aici putem face o analogie cu numere reciproce: Luați în considerare, de exemplu, numărul optimist 5 și numărul său invers . Produsul acestor numere este egal cu unu: . Totul este similar cu matricele! Produsul unei matrice și matricea sa inversă este egal cu – matrice de identitate, care este analogul matriceal al unității numerice. Cu toate acestea, primul lucru este mai întâi - să rezolvăm mai întâi cel important. întrebare practică, și anume, vom învăța cum să găsim această matrice foarte inversă.

Ce trebuie să știți și să puteți face pentru a găsi matricea inversă? Trebuie să poți decide calificative. Trebuie să înțelegi ce este matriceși să poată efectua unele acțiuni cu ei.

Există două metode principale pentru a găsi matricea inversă:
prin utilizarea adunări algebriceȘi folosind transformări elementare.

Astăzi vom studia prima metodă, mai simplă.

Să începem cu cele mai teribile și de neînțeles. Sa luam in considerare pătrat matrice. Matricea inversă poate fi găsită folosind următoarea formulă:

Unde este determinantul matricei, este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Conceptul de matrice inversă există numai pentru matrice pătrată, matrice „două câte două”, „trei câte trei”, etc.

Denumiri: După cum probabil ați observat deja, matricea inversă este indicată printr-un superscript

Să începem cu cel mai simplu caz - o matrice două câte două. Cel mai adesea, desigur, este necesar „trei câte trei”, dar, cu toate acestea, recomand insistent să studiați o sarcină mai simplă pentru a stăpâni principiu general solutii.

Exemplu:

Aflați inversul unei matrice

Să decidem. Este convenabil să descompuneți secvența de acțiuni punct cu punct.

1) Mai întâi găsim determinantul matricei.

Dacă înțelegerea dvs. despre această acțiune nu este bună, citiți materialul Cum se calculează determinantul?

Important! Dacă determinantul matricei este egal cu ZERO– matrice inversă NU EXISTA.

În exemplul luat în considerare, după cum sa dovedit, , ceea ce înseamnă că totul este în ordine.

2) Găsiți matricea minorilor.

Pentru a ne rezolva problema, nu este necesar să știm ce este un minor, totuși, este indicat să citiți articolul Cum se calculează determinantul.

Matricea minorilor are aceleași dimensiuni ca și matricea, adică în acest caz.
Singurul lucru de făcut este să găsiți patru numere și să le puneți în loc de asteriscuri.

Să revenim la matricea noastră
Să ne uităm mai întâi la elementul din stânga sus:

Cum să-l găsești minor?
Și acest lucru se face astfel: tăiați MENTAL rândul și coloana în care se află acest element:

Numărul rămas este minor al acestui element, pe care o scriem în matricea noastră de minori:

Luați în considerare următorul element de matrice:

Trimiteți mental rândul și coloana în care apare acest element:

Ceea ce rămâne este minorul acestui element, pe care îl scriem în matricea noastră:

În mod similar, luăm în considerare elementele din al doilea rând și găsim minorii acestora:


Gata.

E simplu. În matricea minorilor ai nevoie SCHIMBARE SEMNE doua numere:

Acestea sunt numerele pe care le-am încercuit!

– matrice de adunări algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Si doar...

4) Aflați matricea transpusă de adunări algebrice.

– matrice transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

5) Răspuns.

Să ne amintim formula noastră
Totul a fost găsit!

Deci matricea inversă este:

Este mai bine să lăsați răspunsul așa cum este. NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei cu 2, după cum obțineți numere fracționare. Această nuanță este discutată mai detaliat în același articol. Acțiuni cu matrice.

Cum se verifică soluția?

Trebuie să efectuați înmulțirea matricei sau

Examinare:

Primit deja menționat matrice de identitate este o matrice cu uni de diagonala principalăși zerouri în alte locuri.

Astfel, matricea inversă este găsită corect.

Dacă desfășurați acțiunea, rezultatul va fi și o matrice de identitate. Acesta este unul dintre puținele cazuri în care multiplicarea matricei este permutabilă, mai mult informatii detaliate pot fi găsite în articol Proprietăți ale operațiilor pe matrice. Expresii matriceale. De asemenea, rețineți că în timpul verificării, constanta (fracția) este adusă înainte și procesată la sfârșit - după înmulțirea matricei. Aceasta este o tehnică standard.

Să trecem la un caz mai comun în practică - matricea de trei câte trei:

Exemplu:

Aflați inversul unei matrice

Algoritmul este exact același ca pentru cazul „două câte doi”.

Găsim matricea inversă folosind formula: , unde este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

1) Aflați determinantul matricei.

Aici se dezvăluie determinantul pe prima linie.

De asemenea, nu uitați asta, ceea ce înseamnă că totul este bine - matrice inversă există.

2) Găsiți matricea minorilor.

Matricea minorilor are o dimensiune de „trei câte trei” , și trebuie să găsim nouă numere.

Mă voi uita la câțiva minori în detaliu:

Luați în considerare următorul element de matrice:

Trimiteți MENTAL rândul și coloana în care se află acest element:

Scriem cele patru numere rămase în determinantul „două câte doi”.

Acest determinant doi câte doi și este minorul acestui element. Trebuie calculat:


Asta e, minorul a fost găsit, îl scriem în matricea noastră de minori:

După cum probabil ați ghicit, trebuie să calculați nouă doi câte doi determinanți. Procesul, desigur, este plictisitor, dar cazul nu este cel mai sever, poate fi și mai rău.

Ei bine, pentru a consolida – găsirea unui alt minor în imagini:

Încercați să calculați singuri minorii rămași.

Rezultat final:
– matricea minorilor elementelor corespondente ale matricei.

Faptul că toți minorii s-au dovedit a fi negativi este pur accident.

3) Aflați matricea adunărilor algebrice.

În matricea minorilor este necesar SCHIMBARE SEMNE strict pentru următoarele elemente:

În acest caz:

Nu luăm în considerare găsirea matricei inverse pentru o matrice „patru cu patru”, deoarece o astfel de sarcină poate fi dată doar de un profesor sadic (pentru ca elevul să calculeze un determinant „patru cu patru” și 16 determinanți „trei cu trei” ). În practica mea, a existat un singur astfel de caz, iar clientul testului a plătit destul de scump pentru chinul meu =).

Într-o serie de manuale și manuale puteți găsi o abordare ușor diferită pentru găsirea matricei inverse, dar vă recomand să utilizați algoritmul de soluție prezentat mai sus. De ce? Pentru că probabilitatea de a te confunda în calcule și semne este mult mai mică.

Matricea $A^(-1)$ se numește inversul matricei pătrate $A$ dacă este îndeplinită condiția $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, unde $E $ este matricea de identitate, a cărei ordine este egală cu ordinea matricei $A$.

O matrice nesingulară este o matrice al cărei determinant nu este egal cu zero. În consecință, o matrice singulară este una al cărei determinant este egal cu zero.

Matricea inversă $A^(-1)$ există dacă și numai dacă matricea $A$ este nesingulară. Dacă matricea inversă $A^(-1)$ există, atunci este unică.

Există mai multe moduri de a găsi inversul unei matrice și ne vom uita la două dintre ele. Această pagină va discuta despre metoda matricei adiacente, care este considerată standard în majoritatea cursurilor superioare de matematică. A doua metodă de găsire a matricei inverse (metoda transformărilor elementare), care presupune utilizarea metodei Gauss sau a metodei Gauss-Jordan, este discutată în partea a doua.

Metoda matricei adjuncte

Fie dată matricea $A_(n\times n)$. Pentru a găsi matricea inversă $A^(-1)$ sunt necesari trei pași:

1. Găsiți determinantul matricei $A$ și asigurați-vă că $\Delta A\neq 0$, i.e. că matricea A este nesingulară.
2. Compuneți complementele algebrice $A_(ij)$ ale fiecărui element al matricei $A$ și scrieți matricea $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ din algebricul găsit completează.
3. Scrieți matricea inversă ținând cont de formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matricea $(A^(*))^T$ este adesea numită adjunctă (reciprocă, aliată) la matricea $A$.

Dacă soluția se face manual, atunci prima metodă este bună numai pentru matrici de ordine relativ mici: a doua (), a treia (), a patra (). Pentru a găsi inversul unei matrice de ordin superior, se folosesc alte metode. De exemplu, metoda Gaussiană, care este discutată în partea a doua.

Exemplul nr. 1

Găsiți inversul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(matrice) \right)$.

Deoarece toate elementele coloanei a patra sunt egale cu zero, atunci $\Delta A=0$ (adică matricea $A$ este singulară). Deoarece $\Delta A=0$, nu există o matrice inversă matricei $A$.

Exemplul nr. 2

Găsiți inversul matricei $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Folosim metoda matricei adiacente. Mai întâi, să găsim determinantul matricei date $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Deoarece $\Delta A \neq 0$, atunci matricea inversă există, deci vom continua soluția. Găsirea complementelor algebrice

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

Compunem o matrice de adunări algebrice: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transpunem matricea rezultată: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the matricea rezultată este adesea numită matrice adjunctă sau aliată matricei $A$). Folosind formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, avem:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Deci, se găsește matricea inversă: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\ dreapta) $. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $A^(-1)\cdot A=E$ sau $A\cdot A^(-1)=E$. Să verificăm egalitatea $A^(-1)\cdot A=E$. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $A^(-1)$ nu în forma $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ și în forma $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(matrice )\right)$:

Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Exemplul nr. 3

Găsiți matricea inversă pentru matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .

Să începem prin a calcula determinantul matricei $A$. Deci, determinantul matricei $A$ este:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Deoarece $\Delta A\neq 0$, atunci matricea inversă există, deci vom continua soluția. Găsim complementele algebrice ale fiecărui element dintr-o matrice dată:

Compunem o matrice de adunări algebrice și o transpunem:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Folosind formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, obținem:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Deci $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $A^(-1)\cdot A=E$ sau $A\cdot A^(-1)=E$. Să verificăm egalitatea $A\cdot A^(-1)=E$. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $A^(-1)$ nu în forma $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ și în forma $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Verificarea a avut succes, matricea inversă $A^(-1)$ a fost găsită corect.

Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Exemplul nr. 4

Găsiți inversul matricei a matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Pentru o matrice de ordinul al patrulea, găsirea matricei inverse folosind adunări algebrice este oarecum dificilă. Cu toate acestea, astfel de exemple apar în lucrările de testare.

Pentru a găsi inversul unei matrice, mai întâi trebuie să calculați determinantul matricei $A$. Cel mai bun mod de a face acest lucru în această situație este prin descompunerea determinantului de-a lungul unui rând (coloană). Selectați orice rând sau coloană și găsiți adunări algebrice fiecare element al rândului sau coloanei selectate.

Algebră matriceală - Matrice inversă

matrice inversă

Matrice inversă se numește matrice care, atunci când este înmulțită atât la dreapta cât și la stânga cu această matrice dă matricea identităţii.
Să notăm matricea inversă a matricei A prin , apoi conform definiției obținem:

Unde E- matrice de identitate.
Matrice pătrată numit Nimic special (nedegenerate) dacă determinantul său nu este zero. Altfel se numeste special (degenerat) sau singular.

Teorema este valabilă: Fiecare matrice nesingulară are o matrice inversă.

Operația de găsire a matricei inverse se numește recurs matrici. Să luăm în considerare algoritmul de inversare a matricei. Să fie dată o matrice nesingulară n-a comanda:

unde Δ = det A ≠ 0.

Adunarea algebrică a unui element matrici n-a ordine A se numește determinantul unei matrici luate cu un anumit semn ( n–1)a ordinea obținută prin ștergere i-a linia și j coloana a matricei A:

Să creăm așa-numitul atașat matrice:

unde sunt complementele algebrice ale elementelor corespondente ale matricei A.
Rețineți că adunările algebrice ale elementelor rând matricei A sunt plasate în coloanele corespunzătoare ale matricei à , adică matricea este transpusă în același timp.
Prin împărțirea tuturor elementelor matricei à prin Δ – valoarea determinantului matricei A, obținem matricea inversă ca rezultat:

Să notăm rândul proprietăți speciale matrice inversa:
1) pentru o matrice dată A matricea sa inversă este singurul;
2) dacă există o matrice inversă, atunci dreapta inversăȘi stânga inversă matricele coincid cu acesta;
3) o matrice pătrată singulară (singulară) nu are o matrice inversă.

Proprietățile de bază ale unei matrici inverse:
1) determinantul matricei inverse și determinantul matricei originale sunt reciproce;
2) matricea inversă a produsului matricelor pătrate este egală cu produsul matricei inverse a factorilor, luată în ordine inversă:

3) matricea inversă transpusă este egală cu matricea inversă a matricei transpuse dată:

EXEMPLU Calculați inversul matricei date.

Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. O matrice inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.

Scopul serviciului. Prin utilizarea a acestui serviciu online puteți găsi complemente algebrice, matrice transpusă A T, matrice aliată și matrice inversă. Decizia se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și Excel (adică este posibil să se verifice soluția). vezi exemplul de proiectare.

Instrucțiuni. Pentru a obține o soluție, este necesar să se precizeze dimensiunea matricei. Apoi, completați matricea A în noua casetă de dialog.

Dimensiunea matricei 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vezi și Matrice inversă folosind metoda Jordano-Gauss

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Aflarea matricei transpuse A T .
2. Definiția complementelor algebrice. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
3. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.

Următorul algoritm pentru găsirea matricei inverse asemănător celui precedent cu excepția unor pași: mai întâi se calculează complementele algebrice, iar apoi se determină matricea aliată C.

1. Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
2. Calculul determinantului matricei A. Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția, altfel matricea inversă nu există.
3. Definiția complementelor algebrice.
4. Completarea matricei de unire (mutuală, adjunctă) C .
5. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei adiacente C este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
6. Ei fac o verificare: înmulțesc matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Exemplul nr. 1. Să scriem matricea sub forma:

Adunări algebrice.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Apoi matrice inversă poate fi scris ca:

A -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Un alt algoritm pentru găsirea matricei inverse

Să prezentăm o altă schemă de găsire a matricei inverse.

1. Găsiți determinantul acestui lucru matrice pătrată A.
2. Găsim complemente algebrice la toate elementele matricei A.
3. Scriem adunări algebrice ale elementelor rând în coloane (transpunere).
4. Împărțim fiecare element al matricei rezultate la determinantul matricei A.

După cum vedem, operația de transpunere poate fi aplicată atât la început, pe matricea originală, cât și la sfârșit, asupra adunărilor algebrice rezultate.

Un caz special: Inversul matricei de identitate E este matricea de identitate E.

De obicei, operațiile inverse sunt folosite pentru a simplifica expresii algebrice complexe. De exemplu, dacă problema implică operația de împărțire la o fracție, o puteți înlocui cu operația de înmulțire cu reciproca unei fracții, care este operația inversă. În plus, matricele nu pot fi împărțite, așa că trebuie să înmulțiți cu matricea inversă. Calcularea inversului unei matrice 3x3 este destul de obositoare, dar trebuie să o poți face manual. De asemenea, puteți găsi reciprocul folosind un calculator grafic bun.

Pași

Folosind matricea adjunctă

Transpuneți matricea originală. Transpunerea este înlocuirea rândurilor cu coloane în raport cu diagonala principală a matricei, adică trebuie să schimbați elementele (i,j) și (j,i). În acest caz, elementele diagonalei principale (începe în colțul din stânga sus și se termină în colțul din dreapta jos) nu se modifică.

• Pentru a schimba rândurile în coloane, scrieți elementele primului rând în prima coloană, elementele celui de-al doilea rând în a doua coloană și elementele celui de-al treilea rând în a treia coloană. Ordinea schimbării poziției elementelor este prezentată în figură, în care elementele corespunzătoare sunt încercuite cu cercuri colorate.

Găsiți definiția fiecărei matrice 2x2. Fiecare element al oricărei matrice, inclusiv unul transpus, este asociat cu o matrice 2x2 corespunzătoare. Pentru a găsi o matrice 2x2 care corespunde unui anumit element, tăiați rândul și coloana în care se află elementul dat, adică trebuie să tăiați cinci elemente din matricea originală 3x3. Patru elemente vor rămâne neîncrucișate, care sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.

• De exemplu, pentru a găsi o matrice 2x2 pentru elementul care este situat la intersecția celui de-al doilea rând și prima coloană, tăiați cele cinci elemente care se află în al doilea rând și prima coloană. Cele patru elemente rămase sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.
• Aflați determinantul fiecărei matrice 2x2. Pentru a face acest lucru, scădeți produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale (vezi figura).
• Informații detaliate despre matrice 2x2 corespunzătoare elementelor specifice ale unei matrice 3x3 pot fi găsite pe Internet.

Creați o matrice de cofactori. Scrieți rezultatele obținute mai devreme sub forma unei noi matrice de cofactori. Pentru a face acest lucru, scrieți determinantul găsit al fiecărei matrice 2x2 unde a fost localizat elementul corespunzător al matricei 3x3. De exemplu, dacă luați în considerare o matrice 2x2 pentru elementul (1,1), scrieți determinantul acestuia în poziția (1,1). Apoi schimbați semnele elementelor corespunzătoare conform unei anumite scheme, care este prezentată în figură.

• Schema de schimbare a semnelor: semnul primului element al primei linii nu se modifică; semnul celui de-al doilea element al primei linii este inversat; semnul celui de-al treilea element al primei linii nu se schimbă și așa mai departe rând cu linie. Vă rugăm să rețineți că semnele „+” și „-” care sunt afișate în diagramă (vezi figura) nu indică faptul că elementul corespunzător va fi pozitiv sau negativ. În acest caz, semnul „+” indică faptul că semnul elementului nu se schimbă, iar semnul „-” indică o schimbare a semnului elementului.
• Informații detaliate despre matricele de cofactori pot fi găsite pe Internet.
• În acest fel veți găsi matricea adiacentă matricei originale. Uneori este numită o matrice conjugată complexă. O astfel de matrice este notată ca adj(M).

Împărțiți fiecare element al matricei adiacente la determinantul său. Determinantul matricei M a fost calculat de la bun început pentru a verifica existența matricei inverse. Acum împărțiți fiecare element al matricei adiacente la acest determinant. Scrieți rezultatul fiecărei operații de împărțire în care se află elementul corespunzător. În acest fel veți găsi matricea inversă față de cea originală.

• Determinantul matricei care este prezentat în figură este 1. Astfel, aici matricea alăturată este matricea inversă (deoarece atunci când orice număr este împărțit la 1, acesta nu se schimbă).
• În unele surse, operația de împărțire este înlocuită cu operația de înmulțire cu 1/det(M). Cu toate acestea, rezultatul final nu se schimbă.

Scrieți matricea inversă. Scrieți elementele situate în jumătatea dreaptă a matricei mari ca o matrice separată, care este matricea inversă.

Introduceți matricea originală în memoria calculatorului. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe butonul Matrice, dacă este disponibil. Pentru un calculator Texas Instruments, poate fi necesar să apăsați butoanele 2nd și Matrix.

Selectați meniul Editare. Faceți acest lucru folosind butoanele săgeată sau butonul de funcție corespunzător situat în partea de sus a tastaturii calculatorului (locația butonului variază în funcție de modelul calculatorului).

Introduceți notația matriceală. Majoritatea calculatoarelor grafice pot lucra cu 3-10 matrici, care pot fi desemnate literele A-J. De obicei, selectați [A] pentru a desemna matricea originală. Apoi apăsați butonul Enter.

Introduceți dimensiunea matricei. Acest articol vorbește despre matrice 3x3. Dar calculatoarele grafice pot lucra cu matrici dimensiuni mari. Introduceți numărul de rânduri, apăsați Enter, apoi introduceți numărul de coloane și apăsați Enter din nou.

Introduceți fiecare element de matrice. O matrice va fi afișată pe ecranul calculatorului. Dacă ați introdus anterior o matrice în calculator, aceasta va apărea pe ecran. Cursorul va evidenția primul element al matricei. Introduceți valoarea pentru primul element și apăsați Enter. Cursorul se va muta automat la elementul următor matrici.