Procesul aleator Markov cu stări discrete și timp continuu, discutat în prelegerea anterioară, are loc în sistemele de așteptare (QS).

Sisteme de așteptare – acestea sunt sisteme care primesc cereri de serviciu în momente aleatorii, iar cererile primite sunt deservite folosind canalele de servicii disponibile sistemului.

Exemple de sisteme de așteptare includ:

• unități de decontare în numerar în bănci și întreprinderi;
• calculatoare personale care servesc aplicații primite sau cerințe pentru rezolvarea anumitor probleme;
• stații de service auto; benzinărie;
• firme de audit;
• departamente inspectoratele fiscale cei implicați în acceptarea și verificarea raportării curente a întreprinderilor;
• centrale telefonice etc.

	Noduri	Cerințe
Spital	Comandante	Pacienții
Productie
Aeroport	Ieșiri pe piste Puncte de înregistrare	Pasagerii

Să luăm în considerare diagrama de funcționare a QS (Fig. 1). Sistemul este format dintr-un generator de cereri, un dispecer și o unitate de service, o unitate de contabilizare a defecțiunilor (terminator, distrugător de comenzi). Centru de service în caz general poate avea mai multe canale de servicii.

Orez. 1

1. Generator de aplicații – cereri generatoare de obiecte: stradal, atelier cu unitati instalate. Intrarea este fluxul de aplicații(flux de clienți către magazin, flux de unități sparte (mașini, mașini) pentru reparații, flux de vizitatori către garderobă, flux de mașini către benzinărie etc.).
2. Dispecer – o persoană sau un dispozitiv care știe ce să facă cu aplicația. Un nod care reglementează și direcționează cererile către canalele de servicii. Dispecer:

• acceptă cereri;
• formează o coadă dacă toate canalele sunt ocupate;
• îi direcționează către canalele de servicii dacă există gratuite;
• refuză cererile (din diverse motive);
• primește informații de la nodul serviciului despre canalele gratuite;
• monitorizează timpul de funcționare al sistemului.

1. Coadă – acumulator de aplicare. Este posibil să nu existe coadă.
2. Centru de service constă dintr-un număr finit de canale de servicii. Fiecare canal are 3 stări: liber, ocupat, nu funcționează. Dacă toate canalele sunt ocupate, atunci puteți veni cu o strategie pentru cine să transferați solicitarea.
3. Refuz de la serviciu apare dacă toate canalele sunt ocupate (unele dintre ele pot să nu funcționeze).

Pe lângă aceste elemente de bază din QS, unele surse evidențiază și următoarele componente:

terminator – distrugător de tranzacții;

depozit – depozitarea resurselor și a produselor finite;

Verifica contabilitate– pentru a efectua operațiuni precum „cablare”;

manager – manager de resurse;

Clasificarea SMO

Prima diviziune (pe baza prezenței cozilor):

• QS cu defecțiuni;
• SMO cu o coadă.

ÎN QS cu eșecuri o aplicație primită într-un moment în care toate canalele sunt ocupate este respinsă, părăsește QS și nu este deservită în viitor.

ÎN Coadă cu coadă o aplicație care ajunge într-un moment în care toate canalele sunt ocupate nu pleacă, ci se pune la coadă și așteaptă să fie servită oportunitatea.

QS cu cozi sunt împărțite în tipuri diferite in functie de modul in care este organizata coada - limitat sau nelimitat. Restricțiile pot viza atât lungimea cozii, cât și timpul de așteptare, „disciplina de serviciu”.

Deci, de exemplu, sunt luate în considerare următoarele QS:

• CMO cu cereri nerăbdătoare (lungimea cozii și timpul de service sunt limitate);
• QS cu serviciu prioritar, adică unele solicitări sunt deservite în afara rândului etc.

Tipurile de restricții la coadă pot fi combinate.

O altă clasificare împarte OCM în funcție de sursa aplicațiilor. Aplicațiile (cerințele) pot fi generate de sistemul în sine sau de unii Mediul extern, existent independent de sistem.

Desigur, fluxul de cereri generate de sistemul însuși va depinde de sistem și de starea acestuia.

În plus, SMO-urile sunt împărțite în deschis CMO și închis SMO.

Într-un QS deschis, caracteristicile fluxului de aplicații nu depind de starea QS-ului în sine (cate canale sunt ocupate). Într-un QS închis - depind. De exemplu, dacă un lucrător deservește un grup de mașini care necesită ajustare din când în când, atunci intensitatea fluxului de „cereri” de la mașini depinde de câte dintre ele sunt deja operaționale și așteaptă ajustarea.

Un exemplu de sistem închis: un casier care emite salarii la o întreprindere.

În funcție de numărul de canale, QS-urile sunt împărțite în:

• monocanal;
• multicanal.

Caracteristicile unui sistem de așteptare

Principalele caracteristici ale oricărui tip de sistem de așteptare sunt:

• fluxul de intrare al cerințelor primite sau al solicitărilor de servicii;
• disciplina la coada;
• mecanism de service.

Flux de cerințe de intrare

Pentru a descrie fluxul de intrare, trebuie să specificați o lege probabilistică care determină succesiunea momentelor în care sunt primite cererile de serviciu,și indicați numărul de astfel de cerințe în fiecare chitanță ulterioară. În acest caz, de regulă, ele operează cu conceptul de „distribuție probabilistică a momentelor de primire a cerințelor”. Aici ei pot face următoarele: cerințe individuale și de grup (numărul de astfel de cerințe în fiecare chitanță obișnuită). În acest din urmă caz, de obicei despre care vorbim despre un sistem de service cu serviciu de grup paralel.

A i– timpul de sosire între cerințe – variabile aleatoare independente distribuite identic;

E(A)– ora medie de sosire (MO);

λ=1/E(A)– intensitatea primirii cererilor;

Caracteristicile fluxului de intrare:

1. O lege probabilistică care determină succesiunea momentelor în care se primesc cererile de serviciu.
2. Numărul de solicitări în fiecare sosire următoare pentru fluxuri de grup.

Disciplina la coada

Coadă – un set de cerințe care așteaptă serviciul.

Coada are un nume.

Disciplina la coada definește principiul conform căruia cerințele care ajung la intrarea sistemului de servire sunt conectate de la coadă la procedura de service. Cele mai frecvent utilizate discipline de coadă sunt definite de următoarele reguli:

• primul venit, primul servit;

primul intrat primul ieşit (FIFO)

cel mai comun tip de coadă.

Ce structură de date este potrivită pentru a descrie o astfel de coadă? Matricea este proastă (limitată). Puteți utiliza o structură LIST.

Lista are un început și un sfârșit. Lista constă din intrări. O înregistrare este o celulă de listă. Aplicația ajunge la sfârșitul listei și este selectată pentru service de la începutul listei. Înregistrarea constă din caracteristicile aplicației și un link (indicatorul cine se află în spatele acesteia). În plus, dacă coada are o limită de timp de așteptare, atunci trebuie indicat și timpul maxim de așteptare.

În calitate de programatori, ar trebui să puteți face liste cu două direcții și un singur sens.

Listează acțiuni:

• introduceți în coadă;
• ia de la început;
• eliminați din listă după expirarea timpului de expirare.
• Ultimul care a sosit - primul care a fost servit LIFO (clemă pentru cartuş, fundătură la o gară, a intrat într-o maşină aglomerată).

O structură cunoscută sub numele de STACK. Poate fi descris printr-o structură matrice sau listă;

• selectarea aleatorie a aplicațiilor;
• selectarea cererilor pe baza criteriilor de prioritate.

Fiecare aplicație se caracterizează, printre altele, prin nivelul său de prioritate și la primire nu este plasată la coada cozii, ci la sfârșitul acesteia. grup prioritar. Dispeceratul sortează după prioritate.

Caracteristicile cozii

• prescripţietimp de asteptare momentul serviciului (există o coadă cu un timp de așteptare limitat pentru serviciu, care este asociat cu conceptul de „lungime permisă a cozii”);
• lungimea cozii.

Mecanism de service

Mecanism de service determinate de caracteristicile procedurii de service în sine și de structura sistemului de servicii. Caracteristicile procedurii de întreținere includ:

• numărul de canale de servicii ( N);
• durata procedurii de service (distribuirea probabilă a timpului pentru cerințele de service);
• numărul de cerințe îndeplinite ca urmare a fiecărei astfel de proceduri (pentru cererile de grup);
• probabilitatea defecțiunii canalului de serviciu;
• structura sistemului de servicii.

Pentru a descrie analitic caracteristicile unei proceduri de service, este utilizat conceptul de „distribuție probabilistică a timpului pentru cerințele de service”.

S i– timpul de service i-a cerință;

E(S)– timpul mediu de service;

μ=1/E(S)– rapiditatea cererilor de service.

Trebuie remarcat faptul că timpul necesar pentru deservirea unei aplicații depinde de natura aplicației în sine sau de cerințele clientului și de starea și capacitățile sistemului de service. În unele cazuri este, de asemenea, necesar să se țină cont probabilitatea defecțiunii canalului de serviciu după o anumită perioadă limitată de timp. Această caracteristică poate fi modelată ca un flux de eșecuri care intră în QS și au prioritate față de toate celelalte solicitări.

Rata de utilizare QS

N·μ – viteza de service în sistem când toate dispozitivele de service sunt ocupate.

ρ=λ/( Nμ) – numit coeficientul de utilizare a QS , arată câte resurse de sistem sunt utilizate.

Structura sistemului de servicii

Structura sistemului de servicii este determinată de numărul și poziția relativă a canalelor de servicii (mecanisme, dispozitive etc.). În primul rând, trebuie subliniat că un sistem de servicii poate avea mai multe canale de servicii, dar mai multe; Acest tip de sistem este capabil să satisfacă mai multe cerințe simultan. În acest caz, toate canalele de servicii oferă aceleași servicii și, prin urmare, se poate argumenta că serviciu paralel .

Exemplu. Case de marcat in magazin.

Sistemul de servicii poate consta din mai multe tipuri diferite de canale de servicii prin care trebuie să treacă fiecare cerință de service, adică în sistemul de servicii procedurile de service al cerințelor sunt implementate în mod consecvent . Mecanismul de service determină caracteristicile fluxului de cereri de ieșire (servite).

Exemplu. Comisia medicala.

Serviciu combinat – deservirea depozitelor la banca de economii: mai întâi controlorul, apoi casierul. De regulă, 2 controlori per casier.

Asa de, funcționalitatea oricărui sistem de așteptare este determinată de următorii factori principali :

• repartizarea probabilistica a momentelor de primire a cererilor de serviciu (singure sau grup);
• puterea sursei cerințelor;
• distribuția probabilistică a duratei serviciului;
• configurarea sistemului de deservire (serviciu paralel, secvenţial sau paralel-secvenţial);
• numărul și productivitatea canalelor de servicii;
• disciplina la coada.

Principalele criterii de eficacitate a funcționării QS

La fel de principalele criterii de eficacitate a sistemelor de aşteptare În funcție de natura problemei care se rezolvă, pot apărea următoarele:

• probabilitatea deservirii imediate a unei aplicații primite (P obsl = K obs / K post);
• probabilitatea refuzului de a deservi o aplicație primită (P deschis = K deschis / K post);

Evident, P obsl + P deschis =1.

Fluxuri, întârzieri, întreținere. Formula Pollacheck–Khinchin

Întârziere – unul dintre criteriile pentru deservirea QS este timpul petrecut de aplicație în așteptarea serviciului.

D i– întârziere în coada de cereri i;

W i =D i +S i– timpul necesar în sistem i.

(cu probabilitate 1) – întârzierea medie stabilită a unei cereri în coadă;

(cu probabilitate 1) – timpul mediu stabilit în care cerința se află în QS (în așteptare).

Q(t) – numărul de cereri aflate în coadă la un moment dat t;

L(t)– numărul de cerințe din sistem la un moment dat t(Q(t) plus numărul de cerințe care sunt deservite la un moment dat t.

Apoi indicatorii (dacă există)

(cu probabilitate 1) – numărul mediu în stare de echilibru de cereri din coadă în timp;

(cu probabilitatea 1) – numărul mediu de solicitări în regim de echilibru în sistem în timp.

Rețineți că ρ<1 – обязательное условие существования d, w, QȘi Lîntr-un sistem de coadă.

Dacă ne amintim că ρ= λ/( Nμ), atunci este clar că dacă intensitatea primirii cererilor este mai mare decât Nμ, atunci ρ>1 și este firesc ca sistemul să nu poată face față unui astfel de flux de aplicații și, prin urmare, nu putem vorbi despre cantități d, w, QȘi L.

La cele mai generale şi rezultatele dorite pentru sistemele de aşteptare ecuaţiile de conservare sunt

Trebuie remarcat faptul că criteriile de mai sus pentru evaluarea performanței sistemului pot fi calculate analitic pentru sistemele de așteptare. M/M/N(N>1), adică sisteme cu fluxuri Markov de cereri și servicii. Pentru M/G/ l pentru orice distribuție Gși pentru alte sisteme. În general, distribuția timpului între sosiri, distribuția timpului de serviciu sau ambele trebuie să fie exponențială (sau un fel de distribuție Erlang exponențială de ordinul k) pentru ca o soluție analitică să fie posibilă.

În plus, putem vorbi și despre caracteristici precum:

• capacitatea absolută a sistemului – А=Р obsl *λ;
• capacitatea relativă a sistemului -

Un alt exemplu interesant (și ilustrativ) de soluție analitică – calcularea întârzierii medii la starea staționară într-o coadă pentru un sistem de așteptare M/G/ 1 după formula:

.

În Rusia, această formulă este cunoscută ca formula Pollacek – Khinchin, în străinătate această formulă este asociată cu numele de Ross.

Astfel, dacă E(S) Are valoare mai mare, apoi suprasarcina (în acest caz măsurată ca d) va fi mai mare; ceea ce este de așteptat. Formula relevă și un fapt mai puțin evident: aglomerația crește și atunci când variabilitatea distribuției timpului de serviciu crește, chiar dacă timpul mediu de serviciu rămâne același. Intuitiv, acest lucru poate fi explicat după cum urmează: variația variabilei aleatoare a timpului de serviciu poate dura mare importanță(deoarece trebuie să fie pozitiv), adică singurul dispozitiv de service va fi ocupat perioadă lungă de timp, ceea ce va duce la o creștere a cozii.

Subiectul teoriei cozilor este de a stabili o relație între factorii care determină funcționalitatea sistemului de așteptare și eficiența funcționării acestuia. În majoritatea cazurilor, toți parametrii care descriu sistemele de așteptare sunt variabile sau funcții aleatorii, prin urmare aceste sisteme aparțin sistemelor stocastice.

Natura aleatorie a fluxului de aplicații (cerințe), precum și, în cazul general, durata serviciului duce la faptul că în sistemul de așteptare are loc un proces aleatoriu. Prin natura procesului aleatoriu , care apar în sistemul de așteptare (QS), se disting Sisteme markoviane și non-markoviene . În sistemele Markov, fluxul de cerințe de intrare și fluxul de ieșire al cerințelor deservite (aplicații) sunt Poisson. Fluxurile Poisson facilitează descrierea și construirea unui model matematic al unui sistem de așteptare. Aceste modele au destule solutii simple, astfel încât cele mai cunoscute aplicații ale teoriei cozilor de așteptare folosesc o schemă Markov. În cazul proceselor non-Markov, problemele studierii sistemelor de așteptare devin semnificativ mai complicate și necesită utilizarea modelării statistice și a metodelor numerice folosind un computer.

Universitatea Tehnică de Stat din Moscova

numit după N.E. Bauman (filiala Kaluga)

Catedra de Matematică Superioară

Lucrări de curs

la cursul „Cercetare operațională”

Modelarea prin simulare a unui sistem de așteptare

Sarcina de lucru: Creați un model de simulare și calculați indicatorii de performanță ai unui sistem de așteptare (QS) cu următoarele caracteristici:

Număr de canale de servicii n; lungime maxima coada t;

Fluxul de aplicații care intră în sistem este cel mai simplu cu o intensitate medie λ și o lege exponențială a distribuției timpului între primirea cererilor;

Fluxul de cereri deservite în sistem este cel mai simplu, cu o intensitate medie µ și o lege de distribuție exponențială a timpului de serviciu.

Comparați valorile indicatorului găsit cu rezultatele. obţinut prin rezolvarea numerică a ecuaţiei Kolmogorov pentru probabilităţile stărilor sistemului. Valorile parametrilor QS sunt date în tabel.

Introducere

Capitolul 1. Principalele caracteristici ale OCM și indicatori ai eficacității acestora

1.1 Conceptul unui proces aleator Markov

1.2 Fluxuri de evenimente

1.3 Ecuații Kolmogorov

1.4 Probabilități finale și graficul stării QS

1.5 Indicatori de performanță ai QS

1.6 Concepte de bază ale modelării prin simulare

1.7 Construirea modelelor de simulare

Capitolul 2. Modelarea analitică a QS

2.1 Graficul stării sistemului și ecuațiile Kolmogorov

2.2 Calculul indicatorilor de eficiență a sistemului pe baza probabilităților finale

Capitolul 3. Modelarea prin simulare a QS

3.1 Algoritmul metodei de simulare QS (abordare pas cu pas)

3.2 Diagramă program

3.3 Calculul indicatorilor de eficiență QS pe baza rezultatelor modelării sale de simulare

3.4 Prelucrarea statistică a rezultatelor și compararea acestora cu rezultatele modelării analitice

Concluzie

Literatură

Anexa 1

Când se cercetează operațiuni, se întâlnesc adesea sisteme concepute pentru utilizare reutilizabilă atunci când se rezolvă probleme similare. Procesele care apar sunt numite procese de service, iar sistemele sunt numite sisteme de așteptare (QS).

Fiecare QS constă dintr-un anumit număr de unități de serviciu (instrumente, dispozitive, puncte, stații), care sunt numite canale de serviciu. Canalele pot fi linii de comunicație, puncte de lucru, computere, vânzători etc. În funcție de numărul de canale, sistemele QS sunt împărțite în monocanal și multicanal.

Aplicațiile sunt de obicei primite de QS nu în mod regulat, ci aleatoriu, formând un așa-numit flux aleatoriu de aplicații (cerințe). Serviciul de aplicații continuă, de asemenea, pentru o perioadă de timp aleatorie. Natura aleatorie a fluxului de cereri și a timpului de service duce la faptul că QS-ul este încărcat inegal: în unele perioade de timp, un număr foarte mare de un numar mare de solicitări (fie sunt în coadă, fie lasă QS-ul neservit); în alte perioade, QS-ul funcționează cu subîncărcare sau este inactiv.

Subiectul teoriei cozilor este construcția modele matematice, legând condițiile de operare specificate ale QS (numărul de canale, productivitatea acestora, natura fluxului de cereri etc.) cu indicatorii de performanță ai QS, descriind capacitatea acestuia de a face față fluxului de solicitări.

Următoarele sunt utilizate ca indicatori ai eficacității QS:

Capacitatea absolută a sistemului (A), adică numărul mediu de cereri deservite pe unitatea de timp;

Capacitate relativă (Q), adică ponderea medie a aplicațiilor primite deservite de sistem;

Probabilitatea eșecului serviciului de solicitare (

);

Numărul mediu de canale ocupate (k);

Numărul mediu de cereri către CMO (

);

Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem (

);

Numărul mediu de aplicații în coadă (

);

Timpul mediu pe care o aplicație îl petrece în coadă (

);

Numărul mediu de aplicații servite pe unitatea de timp;

Timp mediu de așteptare pentru service;

Probabilitatea ca numărul de aplicații din coadă să depășească o anumită valoare etc.

QS este împărțit în 2 tipuri principale: QS cu eșecuri și QS cu așteptare (coadă). Într-un QS cu refuzuri, o cerere primită într-un moment în care toate canalele sunt ocupate primește un refuz, părăsește QS-ul și nu participă la procesul de servicii ulterioare (de exemplu, o cerere pentru o conversație telefonică într-un moment în care toate canalele sunt ocupat, primește un refuz și lasă QS-ul neservit) . Într-un QS în așteptare, o solicitare care ajunge într-un moment în care toate canalele sunt ocupate nu pleacă, ci devine în coadă pentru service.

Una dintre metodele de calcul al indicatorilor de eficiență QS este metoda simulării. Uz practic simularea pe calculator presupune construirea unui model matematic adecvat care ia în considerare factorii de incertitudine, caracteristicile dinamice și întregul complex de relații dintre elementele sistemului studiat. Modelarea de simulare a funcționării sistemului începe cu o stare inițială specifică. Datorită implementării diferitelor evenimente de natură aleatorie, modelul de sistem trece în momentele ulterioare la celelalte stări posibile ale acestuia. Acest proces evolutiv continuă până în momentul final al perioadei de planificare, adică. până la punctul final al simulării.

Să existe un sistem care să-și schimbe starea aleatoriu în timp. În acest caz, ei spun că în sistem are loc un proces aleatoriu.

Un proces se numește proces cu stări discrete dacă stările sale

pot fi enumerate în prealabil și trecerea sistemului de la o stare la alta are loc brusc. Un proces se numește proces în timp continuu dacă sistemul trece de la stare la stare are loc instantaneu.

Procesul de operare QS este un proces aleatoriu cu stări discrete și timp continuu.

Un proces aleatoriu se numește Markov sau un proces aleatoriu fără efecte secundare dacă este în orice moment de timp

caracteristicile probabilistice ale procesului în viitor depind numai de starea lui în acest momentși nu depindeți de când și cum a ajuns sistemul în această stare.

1.2 Fluxuri de evenimente

Un flux de evenimente este o succesiune de evenimente omogene care urmează unul după altul în momente aleatorii.

Fluxul se caracterizează prin intensitatea λ - frecvența de apariție a evenimentelor sau numărul mediu de evenimente care intră în QS pe unitatea de timp.

Fluxul evenimentelor se numește regulat dacă evenimentele se succed la anumite intervale de timp egale.

Un flux de evenimente se numește staționar dacă caracteristicile sale probabilistice nu depind de timp. În special, intensitatea unui flux staționar este o valoare constantă:

.

Un flux de evenimente se numește obișnuit dacă probabilitatea de apariție este într-o perioadă mică de timp

două sau mai multe evenimente este mică în comparație cu probabilitatea de a lovi un eveniment, adică dacă evenimentele apar în el individual și nu în grupuri.

Un flux de evenimente se numește flux fără efecte secundare dacă pentru oricare două perioade de timp care nu se suprapun

INTRODUCERE

CAPITOLUL I. FORMULAREA PROBLEMELOR DE SERVICIUL COZII

1.1 Concept general teoria cozilor

1.2 Modelarea sistemelor de aşteptare

1.3 Grafice de stare QS

1.4 Procese aleatorii

Capitolul II. ECUAȚII DE DESCRIERE A SISTEMELOR DE COZI

2.1 Ecuații Kolmogorov

2.2 Procese de „naștere - moarte”

2.3 Formularea economică și matematică a problemelor de coadă

Capitolul III. MODELE DE SISTEME DE COZI DE COZI

3.1 QS cu un singur canal cu refuz de serviciu

3.2 QS multicanal cu refuz de serviciu

3.3 Modelul unui sistem de servicii turistice multifazice

3.4 QS cu un singur canal cu lungime limitată la coadă

3.5 QS cu un singur canal cu coadă nelimitată

3.6 QS multicanal cu lungime limitată la coadă

3.7 QS multicanal cu coadă nelimitată

3.8 Analiza sistemului de așteptare a supermarketurilor

CONCLUZIE

Introducere

În prezent, a apărut o mare cantitate de literatură dedicată direct teoriei cozilor, dezvoltării aspectelor sale matematice, precum și diferitelor domenii de aplicare a acesteia - militar, medical, transport, comerț, aviație etc.

Teoria cozilor se bazează pe teoria probabilității și statistici matematice. Dezvoltarea inițială a teoriei cozilor este asociată cu numele savantului danez A.K. Erlang (1878-1929), cu lucrările sale în domeniul proiectării și exploatării centralelor telefonice.

Teoria cozilor este un domeniu al matematicii aplicate care se ocupă cu analiza proceselor din sistemele de producție, servicii și management în care evenimentele omogene sunt repetate de multe ori, de exemplu, în întreprinderile de servicii pentru consumatori; în sisteme de primire, procesare și transmitere a informațiilor; linii automate de producție etc. O mare contribuție la dezvoltarea acestei teorii a avut-o matematicienii ruși A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel et al.

Subiectul teoriei cozilor de așteptare este stabilirea dependențelor între natura fluxului de cereri, numărul de canale de servicii, performanța unui canal individual și serviciul eficient pentru a găsi cele mai bune modalități de gestionare a acestor procese. Problemele teoriei cozilor de așteptare sunt de natură de optimizare și includ în cele din urmă aspectul economic al determinării unei opțiuni de sistem care să asigure un minim de costuri totale de la așteptarea serviciului, pierderea de timp și resurse pentru service și timpul de nefuncționare a canalelor de servicii.

În activitățile comerciale, aplicarea teoriei cozilor de așteptare nu a găsit încă distribuția dorită.

Acest lucru se datorează în principal dificultății de stabilire a sarcinilor, nevoia de înțelegere profundă a conținutului activităților comerciale, precum și instrumente fiabile și precise care permit calcularea diferitelor opțiuni pentru consecințele deciziilor de management în activitățile comerciale.

Capitol eu . Setarea sarcinilor de așteptare

1.1 Conceptul general al teoriei cozilor

Natura serviciilor de masă, în diverse domenii, este foarte subtilă și complexă. Activitatea comercială este asociată cu efectuarea multor operațiuni în etapele de mișcare, de exemplu, masa mărfurilor din sfera producției în sfera consumului. Astfel de operațiuni sunt încărcarea mărfurilor, transportul, descărcarea, depozitarea, procesarea, ambalarea și vânzarea. Pe lângă astfel de operațiuni de bază, procesul de circulație a mărfurilor este însoțit de un număr mare de operațiuni preliminare, pregătitoare, de însoțire, paralele și ulterioare cu documente de plată, containere, bani, mașini, clienți etc.

Fragmentele de activitate comercială enumerate se caracterizează prin sosirea masivă a mărfurilor, banilor și vizitatorilor în momente aleatorii, apoi deservirea lor secvențială (satisfacerea cererilor, solicitărilor, aplicațiilor) prin efectuarea de operațiuni adecvate, al căror timp de execuție este și el aleatoriu. Toate acestea creează denivelări în muncă, dau naștere la subîncărcări, timpi de nefuncționare și supraîncărcări în operațiunile comerciale. Cozile cauzează multe probleme, de exemplu, pentru vizitatorii din cafenele, cantine, restaurante sau șoferii de mașini de la depozitele de mărfuri care așteaptă descărcarea, încărcarea sau documentele. În acest sens, se ridică sarcinile de analiză a opțiunilor existente pentru efectuarea întregului set de operațiuni, de exemplu, podeaua de vânzare a unui supermarket, restaurant sau în ateliere pentru producerea de produse proprii în scopul evaluării muncii lor, identificând verigi slabe. și rezerve pentru elaborarea în ultimă instanță a recomandărilor care vizează creșterea eficienței activităților comerciale.

În plus, apar și alte sarcini legate de crearea, organizarea și planificarea unei noi opțiuni economice, raționale pentru efectuarea multor operațiuni în cadrul platformei comerciale, cofetăriei, toate nivelurile de servicii într-un restaurant, cafenea, cantină, departament de planificare, contabilitate, departamentul de personal etc.

Sarcinile de organizare a serviciilor de masă apar în aproape toate sferele activității umane, de exemplu, vânzătorii care deservesc clienții în magazine, deservesc vizitatorii în unitățile de alimentație publică, serviciul pentru clienți în unitățile de servicii pentru consumatori, furnizarea convorbiri telefonice la centrala telefonica, redare îngrijire medicală pacienţii din clinică etc. În toate exemplele de mai sus, există necesitatea de a satisface cererile un numar mare consumatori.

Problemele enumerate pot fi rezolvate cu succes folosind metode și modele de teorie a cozilor de așteptare (QST) special create în aceste scopuri. Această teorie explică faptul că este necesar să se servească pe cineva sau ceva, care este definit de conceptul de „cerere de serviciu (cerere)”, iar operațiunile de serviciu sunt efectuate de cineva sau ceva numit canale de servicii (noduri). Rolul cererilor în activitățile comerciale îl au bunurile, vizitatorii, banii, auditorii, documentele, iar rolul canalelor de servicii îl joacă vânzătorii, administratorii, bucătarii, cofetarii, ospătarii, casierii, experții în marfă, încărcătoarele, echipamentele comerciale etc. Este important de remarcat faptul că într-o variantă de realizare, de exemplu, un bucătar în procesul de preparare a mâncărurilor este un canal de serviciu, iar într-o alta el acționează ca o cerere de serviciu, de exemplu către directorul de producție pentru a primi mărfuri.

Aplicațiile, din cauza numărului masiv de chitanțe pentru service, formează fluxuri care sunt numite primite înainte de efectuarea operațiunilor de service și după o posibilă așteptare pentru începerea service-ului, de ex. timpul de inactivitate în serviciul din formularul de coadă curge în canale și apoi se formează un flux de cereri de ieșire. În general, combinația de elemente ale fluxului de cereri de intrare, o coadă, canale de servicii și fluxul de cereri de ieșire formează cel mai simplu sistem de așteptare cu un singur canal - QS.

Un sistem este înțeles ca un set de sisteme interconectate. părți (elemente) care interacționează intenționat. Exemple de astfel de QS simple în activități comerciale sunt locurile de primire și procesare a mărfurilor, centrele de plată pentru clienți din magazine, cafenele, cantine, locuri de muncă pentru economiști, contabili, comercianți, bucătari etc.

Procedura de service este considerată finalizată atunci când cererea de service părăsește sistemul. Durata intervalului de timp necesar implementării procedurii de service depinde în principal de natura solicitării de service, de starea sistemului de servicii în sine și de canalul de serviciu.

Într-adevăr, durata șederii unui cumpărător într-un supermarket depinde, pe de o parte, de calitati personale cumpărătorul, solicitările acestuia, gama de bunuri pe care urmează să le achiziționeze și, pe de altă parte, forma de organizare a personalului de serviciu și de deservire, care poate afecta semnificativ timpul de ședere a cumpărătorului în supermarket și intensitatea serviciului. De exemplu, stăpânirea muncii casieri-controlori folosind metoda „orb”. casă de marcat a făcut posibilă creșterea debitului nodurilor de plată de 1,3 ori și economisirea timpului petrecut cu decontările cu clienții la fiecare casă cu mai mult de 1,5 ore pe zi. Introducerea unui singur centru de plată într-un supermarket oferă beneficii tangibile cumpărătorului. Astfel, dacă cu forma tradițională de plată timpul pentru deservirea unui client a fost în medie de 1,5 minute, atunci odată cu introducerea unei unități de plată unice a fost de 67 de secunde. Dintre acestea, 44 de secunde sunt cheltuite pentru efectuarea unei achiziții în secțiune și 23 de secunde direct pentru plățile pentru achiziții. Dacă cumpărătorul face mai multe achiziții în secțiuni diferite, atunci pierderea de timp se reduce la achiziționarea a două achiziții de 1,4 ori, de trei cu 1,9, de cinci cu 2,9 ori.

Prin cereri de service înțelegem procesul de satisfacere a unei nevoi. Serviciile sunt de natură variată. Cu toate acestea, în toate exemplele, solicitările primite necesită service de către un anumit dispozitiv. În unele cazuri, serviciul este efectuat de o singură persoană (servirea către cumpărător de către un vânzător, în unele - de către un grup de persoane (servirea unui pacient de către o comisie medicală într-o clinică), iar în unele cazuri - prin dispozitive tehnice (vânzarea de apă gazoasă, sandvișuri prin automate) Un set de mijloace pe care le solicită serviciul, se numește canal de servicii.

Dacă canalele de servicii sunt capabile să satisfacă cereri identice, atunci canalele de servicii sunt numite omogene. Un set de canale omogene de servicii se numește sistem de servicii.

Sistemul de așteptare primește un număr mare de solicitări în momente aleatorii, a căror durată de serviciu este, de asemenea, o variabilă aleatorie. Sosirea secvențială a aplicațiilor în sistemul de servicii se numește flux de aplicații de intrare, iar succesiunea de aplicații care părăsesc sistemul de servicii se numește flux de ieșire.

Natura aleatorie a distribuției duratei operațiunilor de serviciu, împreună cu caracterul aleatoriu al primirii cererilor de serviciu, conduce la faptul că în canalele de servicii are loc un proces aleatoriu, care „poate fi apelat (prin analogie cu fluxul de cereri de intrare) fluxul de cereri de servicii sau pur și simplu fluxul de servicii.

Rețineți că aplicațiile care intră în sistemul de service îl pot părăsi fără a fi deservite. De exemplu, dacă un client nu găsește produsul dorit într-un magazin, el părăsește magazinul fără a fi servit. Cumpărătorul poate părăsi magazinul și dacă produsul dorit este disponibil, dar este o coadă lungă, iar cumpărătorul nu are timp.

Teoria cozilor de aşteptare se ocupă cu studiul proceselor asociate cu cozile de aşteptare şi cu dezvoltarea unor metode de rezolvare a problemelor tipice de cozi de aşteptare.

Când se studiază eficiența unui sistem de servicii, un rol important îl joacă diferite căi localizarea în sistemul de canale de servicii.

Cu o aranjare paralelă a canalelor de servicii, o solicitare poate fi deservită de orice canal gratuit. Un exemplu de astfel de sistem de servicii este un centru de plată în magazinele cu autoservire, unde numărul de canale de servicii coincide cu numărul de casieri-controlori.

În practică, o solicitare este adesea deservită secvenţial de mai multe canale de servicii. În acest caz, următorul canal de servicii începe să lucreze la deservirea cererii după ce canalul anterior și-a încheiat activitatea. În astfel de sisteme, procesul de service este în mai multe faze; deservirea unei cereri printr-un singur canal se numește faza de service. De exemplu, dacă un magazin cu autoservire are departamente cu vânzători, atunci clienții sunt serviți mai întâi de vânzători și apoi de casierii-controlori.

Organizarea sistemului de servicii depinde de voința persoanei. În teoria cozilor de așteptare, calitatea funcționării sistemului este înțeleasă nu ca cât de bine este prestat serviciul, ci cât de complet încărcat este sistemul de servicii, dacă canalele de servicii sunt inactive sau dacă se formează o coadă.

În activitățile comerciale, aplicațiile care intră în sistemul de așteptare solicită și calitatea serviciului în ansamblu, care include nu numai o listă de caracteristici care s-au dezvoltat istoric și sunt luate în considerare direct în teoria stării de așteptare, ci și altele suplimentare caracteristice specificul activității comerciale, inclusiv, în special, procedurile individuale de întreținere, cerințele pentru nivelul cărora au crescut acum foarte mult. În acest sens, este necesar să se țină cont și de indicatorii activității comerciale.

Performanța sistemului de servicii este caracterizată de următorii indicatori. Cum ar fi timpul de așteptare pentru începerea serviciului, lungimea cozii, posibilitatea de a primi un refuz al serviciului, posibilitatea de nefuncționare a canalelor de servicii, costul serviciului și, în cele din urmă, satisfacția față de calitatea serviciului, care, de asemenea, include indicatori de activitate comercială. Pentru a îmbunătăți calitatea funcționării sistemului de servicii, este necesar să se determine cum să distribuiți cererile primite între canalele de servicii, câte canale de servicii ar trebui să fie disponibile, cum să aranjați sau grupați canalele de servicii sau dispozitivele de servicii pentru a îmbunătăți performanța afacerii. Pentru a rezolva aceste probleme există metoda eficienta modelarea, incluzând și combinând realizările diverselor științe, inclusiv matematica.

1.2 Modelarea sistemelor de aşteptare

Tranzițiile unui QS de la o stare la alta au loc sub influența unor evenimente foarte specifice - primirea aplicațiilor și service-ul acestora. Succesiunea evenimentelor care au loc unul după altul în momente aleatorii formează așa-numitul flux de evenimente. Exemple de astfel de fluxuri în activități comerciale sunt fluxurile de natură variată - mărfuri, bani, documente, transport, clienți, cumpărători, apeluri telefonice, negocieri. Comportamentul unui sistem este de obicei determinat nu de unul, ci de mai multe fluxuri de evenimente. De exemplu, serviciul pentru clienți într-un magazin este determinat de fluxul de clienți și fluxul de servicii; în aceste fluxuri, momentele în care apar clienții, timpul de așteptare la coadă și timpul petrecut deservind fiecare client sunt aleatorii.

În același timp, principalul trăsătură caracteristică fluxurile este distribuția probabilistică a timpului între evenimentele învecinate. Există diverse fluxuri care diferă în caracteristicile lor.

Un flux de evenimente se numește regulat dacă evenimentele se succed la intervale predeterminate și strict definite. Acest flux este ideal și este foarte rar întâlnit în practică. Mai des există fluxuri neregulate care nu au proprietatea de regularitate.

Un flux de evenimente se numește staționar dacă probabilitatea ca orice număr de evenimente să se încadreze într-un interval de timp depinde doar de lungimea acestui interval și nu depinde de cât de departe este situat acest interval de la începutul timpului. Staționaritatea unui flux înseamnă că caracteristicile sale probabilistice sunt independente de timp; în special, intensitatea unui astfel de flux este numărul mediu de evenimente pe unitatea de timp și rămâne o valoare constantă. În practică, fluxurile pot fi de obicei considerate staționare doar pe o anumită perioadă limitată de timp. De obicei, fluxul de clienți, de exemplu, într-un magazin, se modifică semnificativ în timpul zilei de lucru. Cu toate acestea, se pot identifica anumite intervale de timp în care acest flux poate fi considerat staționar, având o intensitate constantă.

Un flux de evenimente se numește flux fără consecințe dacă numărul de evenimente care se încadrează într-unul dintre intervalele de timp alese arbitrar nu depinde de numărul de evenimente care se încadrează într-un alt interval, de asemenea, ales arbitrar, cu condiția ca aceste intervale să nu se intersecteze. . Într-un flux fără consecințe, evenimentele au loc în momente succesive, independent unele de altele. De exemplu, fluxul de clienți care intră într-un magazin poate fi considerat un flux fără consecințe deoarece motivele care au determinat sosirea fiecăruia dintre ei nu sunt legate de motive similare pentru alți clienți.

Un flux de evenimente se numește obișnuit dacă probabilitatea ca două sau mai multe evenimente să se producă simultan într-o perioadă foarte scurtă de timp este neglijabilă în comparație cu probabilitatea ca un singur eveniment să se producă. Într-un flux obișnuit, evenimentele au loc unul câte unul, mai degrabă decât de două sau de mai multe ori. Dacă un flux are simultan proprietățile staționarității, ordinarității și absenței consecințelor, atunci un astfel de flux se numește cel mai simplu (sau Poisson) flux de evenimente. Descrierea matematică a impactului unui astfel de flux asupra sistemelor se dovedește a fi cea mai simplă. Prin urmare, în special, cel mai simplu flux joacă un rol special printre alte fluxuri existente.

Să considerăm un anumit interval de timp t pe axa timpului. Să presupunem că probabilitatea ca un eveniment aleator să se încadreze în acest interval este p, iar numărul total de evenimente posibile este n. Dacă există o proprietate a fluxului obișnuit de evenimente, probabilitatea p ar trebui să fie o valoare suficient de mică și ar trebui să fie o valoare suficient de mică un numar mare, întrucât sunt luate în considerare fenomenele de masă. În aceste condiții, pentru a calcula probabilitatea ca un anumit număr de evenimente m să apară într-o perioadă de timp t, puteți utiliza formula Poisson:

P m, n = a m_e -a; (m=0,n),

unde valoarea a = pr este numărul mediu de evenimente care se încadrează într-o perioadă de timp t, care poate fi determinată prin intensitatea fluxului de evenimente X după cum urmează: a= λ τ

Dimensiunea intensității fluxului X este numărul mediu de evenimente pe unitatea de timp. Există următoarea relație între n și λ, p și τ:

unde t este întreaga perioadă de timp în care se ia în considerare acţiunea fluxului de evenimente.

Este necesar să se determine distribuția intervalului de timp T între evenimente dintr-un astfel de flux. Pentru că asta valoare aleatorie, să-i găsim funcția de distribuție. După cum se știe din teoria probabilității, funcția de distribuție cumulativă F(t) este probabilitatea ca valoarea T să fie mai mică decât timpul t.

Conform condiției, niciun eveniment nu ar trebui să aibă loc în timpul T și cel puțin un eveniment ar trebui să apară în intervalul de timp t. Această probabilitate este calculată folosind probabilitatea evenimentului opus în intervalul de timp (0; t), unde nu a avut loc niciun eveniment, adică. m= 0, atunci

F(t)=1-P 0 =1-(a 0 *e -a)0!=1-e -Xt ,t≥0

Pentru ∆t mic, este posibil să se obțină o formulă aproximativă obținută prin înlocuirea funcției e - Xt, cu doar doi termeni ai expansiunii în puteri a lui ∆t, apoi probabilitatea ca cel puțin un eveniment să se producă într-o perioadă scurtă de timp. ∆t este

P(T<∆t)=1-e - λ t ≈1- ≈ λΔt

Obținem densitatea de distribuție a intervalului de timp dintre două evenimente consecutive prin diferențierea F(t) în funcție de timp,

f(t)= λe- λ t ,t≥0

Folosind funcția de densitate de distribuție obținută, puteți obține caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare T: așteptarea matematică M (T), varianța D (T) și abaterea standard σ (T).

M(T)= λ ∞ ∫ 0 t*e - λt *dt=1/ λ ; D(T)=1/A2; σ(T)=1/λ.

De aici putem trage următoarea concluzie: intervalul de timp mediu T dintre oricare două evenimente învecinate în cel mai simplu flux este în medie egal cu 1/λ, iar abaterea sa standard este, de asemenea, egală cu 1/λ, λ unde este intensitatea fluxul, adică numărul mediu de evenimente care au loc pe unitatea de timp. Legea de distribuție a unei variabile aleatoare cu astfel de proprietăți M(T) = T se numește exponențială (sau exponențială), iar valoarea λ este un parametru al acestei legi exponențiale. Astfel, pentru cel mai simplu flux, așteptarea matematică a intervalului de timp dintre evenimentele învecinate este egală cu abaterea sa standard. În acest caz, probabilitatea ca numărul de cereri primite pentru serviciu într-o perioadă de timp t să fie egal cu k este determinată de legea lui Poisson:

P k (t)=(λt) k / k! *e -λ t ,

unde λ este intensitatea fluxului de cereri, numărul mediu de evenimente din QS pe unitatea de timp, de exemplu [persoană/min; rub./oră; controale/ora; document/zi; kg./oră; t./an].

Pentru un astfel de flux de cereri, timpul dintre două cereri învecinate T este distribuit exponențial cu densitatea de probabilitate:

ƒ(t)= λe - λ t .

Timpul de așteptare aleatoriu în coadă pentru începerea serviciului poate fi, de asemenea, considerat distribuit exponențial:

ƒ (t och)=V*e - v t och,

unde v este intensitatea fluxului de trecere la coadă, determinată de numărul mediu de aplicații care trec pentru serviciu pe unitatea de timp:

unde T och este timpul mediu de așteptare pentru serviciu în coadă.

Fluxul de ieșire al cererilor este asociat cu fluxul de servicii din canal, unde durata serviciului t obs este, de asemenea, o variabilă aleatorie și în multe cazuri se supune unei legi de distribuție exponențială cu o densitate de probabilitate:

ƒ(t obs)=µ*e µ t obs,

unde µ este intensitatea fluxului de serviciu, adică numărul mediu de cereri deservite pe unitatea de timp:

µ=1/ t obs [persoană/min; rub./oră; controale/ora; document/zi; kg./oră; t./an] ,

unde t obs este timpul mediu pentru cererile de service.

O caracteristică importantă a QS, combinând indicatorii λ și µ, este intensitatea sarcinii: ρ= λ/ µ, care arată gradul de coordonare a fluxurilor de intrare și ieșire a cererilor canalului de serviciu și determină stabilitatea cozii de așteptare. sistem.

Pe lângă conceptul de cel mai simplu flux de evenimente, este adesea necesar să se utilizeze conceptele de fluxuri de alte tipuri. Un flux de evenimente se numește flux Palm când în acest flux intervalele de timp dintre evenimentele succesive T 1, T 2, ..., T k ..., T n sunt variabile aleatoare independente, distribuite identic, dar spre deosebire de cele mai simple. flux, ele nu sunt neapărat repartizate conform legii exponenţiale. Cel mai simplu flux este un caz special al fluxului Palm.

Un caz special important al fluxului Palm este așa-numitul flux Erlang.

Acest flux se obține prin „subțierea” celui mai simplu flux. Această „subțiere” se realizează prin selectarea evenimentelor din cel mai simplu flux conform unei anumite reguli.

De exemplu, fiind de acord să luăm în considerare numai fiecare al doilea eveniment care formează cel mai simplu flux, obținem un flux Erlang de ordinul doi. Dacă luăm doar fiecare al treilea eveniment, atunci se formează un flux Erlang de ordinul trei etc.

Este posibil să obțineți fluxuri Erlang de orice ordin al k-lea. Evident, cel mai simplu flux este un flux Erlang de ordinul întâi.

Orice studiu al unui sistem de așteptare începe cu studierea a ceea ce trebuie deservit, prin urmare, cu studierea fluxului de aplicații de intrare și a caracteristicilor acestuia.

Deoarece momentele de timp t și intervalele de timp de primire a cererilor τ, atunci durata operațiunilor de serviciu t obs și timpul de așteptare în coada t och, precum și lungimea cozii l och sunt variabile aleatorii, atunci, prin urmare, caracteristicile stării QS sunt de natură probabilistică, iar pentru a le descrie este necesar să se aplice metode și modele ale teoriei cozilor.

Caracteristicile enumerate mai sus k, τ, λ, L och, Toch, v, t obs, µ, p, P k sunt cele mai comune pentru QS, care sunt de obicei doar o parte din funcția obiectiv, deoarece este, de asemenea, necesar să ţină cont de indicatori ai activităţii comerciale.

1.3 Grafice de stare QS

Atunci când se analizează procese aleatorii cu stări discrete și timp continuu, este convenabil să se utilizeze o variantă a unei reprezentări schematice a stărilor posibile ale CMO (Fig. 6.2.1) sub forma unui grafic cu marcarea stărilor sale fixe posibile. . Stările QS sunt de obicei descrise fie prin dreptunghiuri, fie prin cercuri, iar direcțiile posibile de tranziție de la o stare la alta sunt orientate prin săgeți care leagă aceste stări. De exemplu, graficul de stare etichetat al unui sistem cu un singur canal al unui proces de serviciu aleator la un chioșc de ziare este prezentat în Fig. 1.3.

12

Orez. 1.3. Graficul de stare QS etichetat

Sistemul poate fi în una dintre cele trei stări: S 0 - canalul este liber, inactiv, S 1 - canalul este ocupat cu service, S 2 - canalul este ocupat cu service și o solicitare este în coadă. Trecerea sistemului de la starea S 0 la S l are loc sub influența unui flux simplu de cereri cu intensitatea λ 01 , iar din starea S l la starea S 0 sistemul este transferat printr-un flux de serviciu cu intensitatea λ 01 . Graficul de stare al sistemului de serviciu cu intensitățile debitului indicate la săgeți se numește etichetat. Deoarece prezența unui sistem într-o stare sau alta este probabilistică, probabilitatea: p i (t) ca sistemul să fie în starea S i la momentul t se numește probabilitatea stării i a QS și este determinată de numărul de cereri primite k pentru serviciu.

Procesul aleator care are loc în sistem este că la momente aleatorii t 0 , t 1 , t 2 ,..., t k ,..., t n sistemul se găsește secvenţial într-una sau alta stare discretă cunoscută anterior. Ca aceasta. o secvență aleatorie de evenimente se numește lanț Markov dacă pentru fiecare pas probabilitatea trecerii de la o stare S t la oricare alta Sj nu depinde de când și cum sistemul a trecut la starea S t . Un lanț Markov este descris folosind probabilitatea stărilor și formează un grup complet de evenimente, deci suma lor este egală cu unu. Dacă probabilitatea de tranziție nu depinde de numărul k, atunci lanțul Markov se numește omogen. Cunoscând starea inițială a sistemului de servicii, se pot găsi probabilitățile stărilor pentru orice valoare a numărului k de cereri primite pentru serviciu.

1.4 Procese aleatorii

Tranziția unui QS de la o stare la alta are loc aleatoriu și este un proces aleatoriu. Funcționarea unui QS este un proces aleatoriu cu stări discrete, deoarece stările sale posibile în timp pot fi enumerate în prealabil. Mai mult decât atât, trecerea de la o stare la alta are loc brusc, în momente aleatorii, motiv pentru care se numește proces cu timp continuu. Astfel, operarea unui QS este un proces aleatoriu cu stări discrete și continuu; timp. De exemplu, în procesul de deservire a clienților angro la compania Kristall din Moscova, toate stările posibile ale protozoarelor pot fi înregistrate în avans. CMO, care sunt incluse în întregul ciclu de servicii comerciale din momentul încheierii unui acord pentru furnizarea băuturilor alcoolice, plata, documentația, eliberarea și primirea produselor, încărcarea suplimentară și scoaterea produselor finite din depozit.

Dintre numeroasele varietăți de procese aleatorii, cele mai răspândite în activitatea comercială sunt acele procese pentru care, în orice moment, caracteristicile procesului în viitor depind doar de starea acestuia în momentul prezent și nu depind de preistorie - de trecut. . De exemplu, posibilitatea de a primi produse alcoolice de la fabrica Kristall depinde de disponibilitatea acestora în depozitul de produse finite, adică. starea sa în acest moment și nu depinde de când și cum au primit și au luat aceste produse în trecut alți cumpărători.

Astfel de procese aleatorii sunt numite procese fără consecințe sau procese Markov, în care, având în vedere un prezent fix, starea viitoare a QS nu depinde de trecut. Un proces aleator care are loc într-un sistem se numește proces aleator Markov sau „proces fără consecințe”, dacă are următoarea proprietate: pentru fiecare moment de timp t 0, probabilitatea oricărei stări t > t 0 a sistemului Si , - în viitor (t>t Q ) depinde numai de starea sa în prezent (la t = t 0) și nu depinde de când și cum a ajuns sistemul în această stare, adică. din cauza modului în care procesul s-a dezvoltat în trecut.

Procesele aleatoare Markov sunt împărțite în două clase: procese cu stări discrete și continue. Un proces cu stări discrete are loc în sistemele care au doar câteva stări fixe, între care tranzițiile de tip salt sunt posibile în anumite momente de timp, necunoscute anterior. Să luăm în considerare un exemplu de proces cu stări discrete. În biroul companiei sunt două telefoane. Pentru acest sistem de servicii sunt posibile următoarele stări: Telefoanele S o sunt gratuite; S l - unul dintre telefoane este ocupat; S 2 - ambele telefoane sunt ocupate.

Procesul care are loc în acest sistem este că sistemul sare aleatoriu de la o stare discretă la alta.

Procesele cu stări continue se caracterizează printr-o tranziție continuă lină de la o stare la alta. Aceste procese sunt mai tipice pentru dispozitive tehnice decât pentru obiectele economice, unde de obicei putem vorbi doar aproximativ despre continuitatea procesului (de exemplu, consumul continuu al unui stoc de mărfuri), în timp ce de fapt procesul are întotdeauna o natură discretă. Prin urmare, în continuare vom lua în considerare numai procesele cu stări discrete.

Procesele aleatoare Markov cu stări discrete sunt la rândul lor împărțite în procese cu timp discret și procese cu timp continuu. În primul caz, trecerile de la o stare la alta au loc numai la anumite momente de timp, prefixate, în timp ce în intervalele dintre aceste momente sistemul își menține starea. În al doilea caz, tranziția sistemului de la stare la stare poate avea loc în orice moment aleator de timp.

În practică, procesele cu timp continuu sunt mult mai frecvente, deoarece tranzițiile unui sistem de la o stare la alta au loc de obicei nu în momente fixe de timp, ci în orice momente aleatorii de timp.

Pentru a descrie procese cu timp continuu, se folosește un model sub forma unui așa-numit lanț Markov cu stări discrete ale sistemului sau un lanț Markov continuu.

Capitol II . Ecuații care descriu sistemele de așteptare

2.1 Ecuații Kolmogorov

Să considerăm descrierea matematică a unui proces aleator Markov cu stări discrete ale sistemului S o , S l , S 2 (vezi Fig. 6.2.1) și timp continuu. Considerăm că toate tranzițiile sistemului de așteptare de la starea S i la starea Sj au loc sub influența fluxurilor simple de evenimente cu intensități λ ij , iar tranziția inversă sub influența unui alt flux λ ij ,. Să introducem notația pi ca probabilitatea ca la momentul t sistemul să fie în starea S i . Pentru orice moment de timp t, este corect să notăm condiția de normalizare - suma probabilităților tuturor stărilor este egală cu 1:

Σp i (t)=p 0 (t)+ p 1 (t)+ p 2 (t)=1

Să analizăm sistemul la momentul t, specificând un mic increment de timp Δt, și să găsim probabilitatea p 1 (t+ Δt) ca sistemul la momentul (t+ Δt) să fie în starea S 1, ceea ce poate fi realizat în diferite moduri:

a) sistemul în momentul t cu probabilitate p 1 (t) a fost în starea S 1 și pentru un mic increment de timp Δt nu a trecut niciodată într-o altă stare vecină - nici S 0 nici bS 2 . Sistemul poate fi scos din starea S 1 prin debitul cel mai simplu total cu intensitate (λ 10 + λ 12), deoarece suprapunerea celor mai simple fluxuri este și cel mai simplu flux. Pe această bază, probabilitatea de a părăsi starea S 1 într-o perioadă scurtă de timp Δt este aproximativ egală cu (λ 10 +λ 12)* Δt. Atunci probabilitatea de a nu părăsi această stare este egală cu . În conformitate cu aceasta, probabilitatea ca sistemul să rămână în starea Si pe baza teoremei înmulțirii probabilităților este egală cu:

p 1 (t);

b) sistemul era în starea vecină S o și în scurt timp Δt a trecut în starea S o Tranziția sistemului are loc sub influența fluxului λ 01 cu o probabilitate aproximativ egală cu λ 01 Δt

Probabilitatea ca sistemul să fie în starea S 1 în această versiune este egală cu p o (t)λ 01 Δt;

c) sistemul a fost în starea S 2 și în timpul Δt a trecut la starea S 1 sub influența unui flux de intensitate λ 21 cu o probabilitate aproximativ egală cu λ 21 Δt. Probabilitatea ca sistemul să fie în starea S 1 este egală cu p 2 (t) λ 21 Δt.

Aplicând teorema de adunare a probabilității pentru aceste opțiuni, obținem expresia:

p 2 (t+Δt)= p 1 (t) + p o (t)λ 01 Δt+p 2 (t) λ 21 Δt,

care poate fi scris diferit:

p2 (t+At)-p1 (t)/ At= po (t)λ 01 + p2 (t) λ 21 - p 1 (t) (λ 10 + λ 12).

Trecând la limita la Δt-> 0, egalitățile aproximative se vor transforma în exacte și apoi obținem derivata de ordinul întâi

dp 2 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 +λ 12) ,

care este o ecuație diferențială.

Efectuând raționamentul în mod similar pentru toate celelalte stări ale sistemului, obținem sistemul ecuatii diferentiale, care se numesc ecuațiile lui A.N. Kolmogorov:

dp 0 /dt= p 1 λ 10,

dp 1 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 +λ 12) ,

dp 2 /dt= p 1 λ 12 +p 2 λ 21.

Există reguli generale pentru alcătuirea ecuațiilor Kolmogorov.

Ecuațiile lui Kolmogorov fac posibilă calcularea tuturor probabilităților stărilor QS S i în funcție de timpul p i (t). În teoria proceselor aleatoare, se arată că, dacă numărul de stări ale unui sistem este finit, iar din fiecare dintre ele este posibil să se treacă la orice altă stare, atunci există probabilități limită (finale) de stări care indică valoarea relativă medie a timpului în care sistemul rămâne în această stare. Dacă probabilitatea marginală a stării S 0 este egală cu p 0 = 0,2, atunci, prin urmare, în medie 20% din timp, sau 1/5 din timpul de lucru, sistemul este în starea S o . De exemplu, în lipsa cererilor de serviciu k = 0, p 0 = 0,2,; Prin urmare, în medie, sistemul este în starea S o timp de 2 ore pe zi și este inactiv dacă ziua lucrătoare este de 10 ore.

Deoarece probabilitățile limită ale sistemului sunt constante, înlocuind derivatele corespunzătoare din ecuațiile lui Kolmogorov cu valori zero, obținem un sistem liniar. ecuații algebrice, descriind modul staționar al QS. Un astfel de sistem de ecuații este compilat folosind un grafic etichetat al stărilor QS conform urmând reguli: la stânga semnului egal în ecuație se află probabilitatea limită p i a stării Si în cauză înmulțită cu intensitatea totală a tuturor fluxurilor de ieșire (săgețile de ieșire) ale sistemului de stare Si publicat, iar la dreapta semnului egal. este suma produselor intensității tuturor fluxurilor care intră (săgețile de intrare) în starea Sisistem, pe probabilitatea acelor stări din care provin aceste fluxuri. Pentru a rezolva un astfel de sistem, este necesar să adăugați încă o ecuație care determină condiția de normalizare, deoarece suma probabilităților tuturor stărilor QS este egală cu 1: n

De exemplu, pentru un QS care are un grafic etichetat cu trei stări S o , S 1 , S 2 Fig. 6.2.1, sistemul de ecuații Kolmogorov, compilat pe baza regulii enunțate, are următoarea formă:

Pentru starea S o → p 0 λ 01 = p 1 λ 10

Pentru starea S 1 →p 1 (λ 10 +λ 12) = p 0 λ 01 +p 2 λ 21

Pentru starea S 2 → p 2 λ 21 = p 1 λ 12

p 0 +p 1 +p 2 =1

dp 4 (t)/dt=λ 34 p 3 (t) - λ 43 p 4 (t),

p1(t)+p2(t)+p3(t)+p4(t)=1.

Trebuie să adăugăm condiții inițiale acestor ecuații. De exemplu, dacă la t = 0 sistemul S este în starea S 1, atunci condițiile inițiale pot fi scrise după cum urmează:

p1(0)=1, p2(0)=p3(0)=p4(0)=0.

Tranzițiile între stările QS apar sub influența primirii aplicațiilor și a deservirii acestora. Probabilitatea de tranziție dacă fluxul de evenimente este cel mai simplu este determinată de probabilitatea ca evenimentul să se producă în timpul Δt, adică. valoarea elementului de probabilitate de tranziție λ ij Δt, unde λ ij este intensitatea fluxului de evenimente care transferă sistemul din starea i în starea i (de-a lungul săgeții corespunzătoare de pe graficul stărilor).

Dacă toate fluxurile de evenimente care transferă sistemul dintr-o stare în alta sunt cele mai simple, atunci procesul care are loc în sistem va fi un proces aleatoriu Markov, adică. proces fără consecințe. În acest caz, comportamentul sistemului este destul de simplu, determinat dacă este cunoscută intensitatea tuturor acestor fluxuri simple de evenimente. De exemplu, dacă într-un sistem are loc un proces aleator Markov cu timp continuu, atunci prin scrierea unui sistem de ecuații Kolmogorov pentru probabilitățile de stare și integrând acest sistem în condiții inițiale date, obținem toate probabilitățile de stare în funcție de timp:

pi (t), p 2 (t),…., p n (t) .

În multe cazuri, în practică, se dovedește că probabilitățile de stare în funcție de timp se comportă în așa fel încât să existe

lim p i (t) = p i (i=1,2,…,n) ; t→∞

indiferent de tipul condiţiilor iniţiale. În acest caz, ei spun că există probabilități limită ale stărilor sistemului la t->∞ și se stabilește un anumit regim staționar limitator în sistem. În acest caz, sistemul își schimbă aleatoriu stările, dar fiecare dintre aceste stări apare cu o anumită probabilitate constantă, determinată de timpul mediu în care sistemul rămâne în fiecare dintre stări.

Este posibil să se calculeze probabilitățile limită ale stării p i dacă toate derivatele din sistem sunt setate egale cu 0, deoarece în ecuațiile Kolmogorov la t-> ∞ dependența de timp dispare. Apoi sistemul de ecuații diferențiale se transformă într-un sistem de ecuații algebrice liniare ordinare, care, împreună cu condiția de normalizare, ne permite să calculăm toate probabilitățile limită ale stărilor.

2.2 Procese de „naștere – moarte”

Printre procesele Markov omogene, există o clasă de procese aleatorii care sunt utilizate pe scară largă în construirea de modele matematice în domeniile demografiei, biologiei, medicinei (epidemiologiei), economiei și activității comerciale. Acestea sunt așa-numitele procese „naștere-moarte”, procese Markov cu grafice de stări stocastice de următoarea formă:

S 3

kjlS n

μ 0 μ 1 μ 3 μ 4 μ n-1

Orez. 2.1 Graficul etichetat al procesului „naștere-moarte”.

Acest grafic reproduce binecunoscuta interpretare biologică: valoarea λ k reflectă rata de naștere a unui nou reprezentant al unei anumite populații, de exemplu, iepurii, iar volumul actual al populației este egal cu k; valoarea μ este rata de deces (vânzare) a unui reprezentant al acestei populații dacă volumul actual al populației este egal cu k. În special, populația poate fi nelimitată (numărul n de stări ale procesului Markov este infinit, dar numărabil), intensitatea λ poate fi egală cu zero (o populație fără posibilitate de renaștere), de exemplu, când iepurii nu se mai reproduce.

Pentru procesul „naștere-moarte” Markov descris de graficul stocastic prezentat în Fig. 2.1, găsim distribuția finală. Folosind regulile de alcătuire a ecuațiilor pentru un număr finit n de probabilități limită ale stării sistemului S 1, S 2, S 3,… S k,…, S n, vom compune ecuațiile corespunzătoare pentru fiecare stare:

pentru starea S 0 -λ 0 p 0 =μ 0 p 1 ;

pentru starea S 1 -(λ 1 +μ 0)p 1 = λ 0 p 0 +μ 1 p 2, care, ținând cont de ecuația anterioară pentru starea S 0, poate fi transformată în forma λ 1 p 1 = μ 1 p 2.

În mod similar, puteți crea ecuații pentru stările rămase ale sistemului S 2, S 3,..., S k,..., S n. Ca rezultat, obținem următorul sistem de ecuații:

Prin rezolvarea acestui sistem de ecuații, se pot obține expresii care determină stările finale ale sistemului de coadă:

Trebuie remarcat faptul că formulele de determinare a probabilităților finale ale stărilor p 1, p 2, p 3,..., p n includ termeni care fac parte din suma expresiei care determină p 0. Număratorii acestor termeni conțin produsele tuturor intensităților care stau la săgețile graficului stărilor care conduc de la stânga la dreapta la starea considerată S k , iar numitorii sunt produsele tuturor intensităților aflate la săgețile care conduc de la dreapta la stânga la starea considerată S k , adică . μ 0, μ 1, μ 2, μ 3,... μ k. În acest sens, să scriem aceste modele într-o formă mai compactă:

k=1,n

2.3 Formularea economică și matematică a problemelor de coadă

Formularea corectă sau cea mai reușită economică și matematică a problemei determină în mare măsură utilitatea recomandărilor pentru îmbunătățirea sistemelor de așteptare în activități comerciale.

În acest sens, este necesar să se monitorizeze cu atenție procesul din sistem, să se caute și să se identifice conexiuni semnificative, să se formuleze o problemă, să se evidențieze scopul, să se determine indicatorii și să se evidențieze criterii economice evaluarea performanței QS. În acest caz, indicatorul cel mai general, integral, pot fi costurile, pe de o parte, ale QS-ului activității comerciale ca sistem de servicii și, pe de altă parte, costurile aplicațiilor, care pot avea o altă natură în ceea ce privește continut fizic.

K. Marx a considerat în cele din urmă creșterea eficienței în orice domeniu de activitate ca o economie de timp și a văzut aceasta ca una dintre cele mai importante legi economice. El a scris că economisirea timpului, precum și repartizarea planificată a timpului de lucru în diferite ramuri de producție, rămâne prima lege economică bazată pe producția colectivă. Această lege se manifestă în toate sferele activității sociale.

Pentru mărfuri, inclusiv fondurile care intră în sfera comercială, criteriul de eficiență este legat de timpul și viteza de circulație a mărfurilor și determină intensitatea fluxului de fonduri către bancă. Timpul și viteza de circulație, fiind indicatori economici ai activității comerciale, caracterizează eficiența utilizării fondurilor investite în inventar. Cifra de afaceri a stocurilor reflectă viteza medie implementarea mediei inventar. Indicatorii cifrei de afaceri și nivelul stocurilor sunt strâns legați modele celebre. Astfel, este posibilă urmărirea și stabilirea relației dintre aceștia și alți indicatori ai activității comerciale cu caracteristici de timp.

În consecință, eficiența operațională a unei întreprinderi sau organizații comerciale constă în timpul total alocat efectuării operațiunilor individuale de servicii, în timp ce pentru populație, timpul petrecut în călătorii, vizitarea unui magazin, cantină, cafenea, restaurant, așteptarea începerii serviciului, familiarizarea cu meniul, alegerea produselor, calcul etc. Studiile efectuate asupra structurii timpului petrecut de populație indică faptul că o parte semnificativă a acestuia este petrecută irațional. observa asta activitate comercialaîn cele din urmă vizând satisfacerea nevoilor umane. Prin urmare, eforturile de modelare QS trebuie să includă analiza timpului pentru fiecare operațiune de întreținere elementară. Folosind metode adecvate, ar trebui create modele pentru conectarea indicatorilor QS. Acest lucru necesită necesitatea de a lega cei mai generali și cunoscuți indicatori economici, cum ar fi cifra de afaceri, profitul, costurile de distribuție, rentabilitatea și altele, în modele economice și matematice cu un grup suplimentar de indicatori emergenti, determinati de specificul sistemelor de servicii și introduși. prin specificul teoriei cozilor de aşteptare.

De exemplu, caracteristicile indicatorilor QS cu defecțiuni sunt: ​​timpul de așteptare pentru aplicații în coada T och =0, deoarece prin natura sa în astfel de sisteme existența unei cozi este imposibilă, atunci L och =0 și, prin urmare, probabilitatea al formării sale P och =0. Pe baza numărului de solicitări k se va determina modul de funcționare al sistemului și starea acestuia: cu k=0 – canale inactive, cu 1 n – întreținere și defecțiune. Indicatorii unui astfel de QS sunt probabilitatea refuzului de refuz al serviciului P, probabilitatea serviciului P obs, timpul mediu de oprire al canalului t pr, numărul mediu de canale ocupate n h și libere n st, t obs mediu de serviciu, debit absolut A.

Pentru un QS cu așteptare nelimitată, este caracteristic ca probabilitatea de a deservi o cerere să fie P obs = 1, deoarece lungimea cozii și timpul de așteptare pentru începerea serviciului nu sunt limitate, de exemplu. formal L och →∞ și Toch →∞. În sisteme sunt posibile următoarele moduri de operare: cu k=0 se observă timpul de nefuncţionare al canalelor de serviciu, cu 1 n – service și coadă. Indicatorii unei astfel de eficiențe a unui astfel de QS sunt numărul mediu de aplicații în coada L och, numărul mediu de aplicații în sistem k, timpul mediu de ședere a unei aplicații în sistem T cm, debitul absolut A.

Într-un QS cu așteptare cu o limită a lungimii cozii, dacă numărul de aplicații din sistem este k = 0, atunci există un timp de nefuncționare al canalelor, cu 1 n+m - service, coadă și refuz în așteptarea serviciului. Indicatorii eficacității unui astfel de QS sunt probabilitatea de refuz al serviciului P refuz - probabilitatea serviciului P obs, numărul mediu de cereri în coada L och, numărul mediu de cereri din sistem L cm, timpul mediu de rezidență al o aplicație în sistemul T cm, debitul absolut A.

Astfel, lista de caracteristici ale sistemelor de aşteptare poate fi prezentată astfel: timp mediu de service – t obs; timpul mediu de așteptare la coadă – Toch; ședere medie în SMO – T smo; lungime medie coadă - L och; număr mediu de aplicații în SMO- L smo; numărul de canale de servicii – n; intensitatea fluxului de intrare al aplicațiilor – λ; intensitatea serviciului – μ; intensitatea sarcinii – ρ; factor de sarcină – α; debit relativ – Q; debit absolut – A; ponderea timpului de nefuncţionare în QS – P 0 ; cota aplicațiilor servite – R obs; ponderea cererilor pierdute – P deschis, număr mediu de canale ocupate – n з; număr mediu de canale gratuite - n St; factor de încărcare a canalului – Кз; timpul mediu de oprire a canalelor - t pr.

Trebuie remarcat că uneori este suficient să folosiți până la zece indicatori cheie pentru a identifica punctele slabe și pentru a dezvolta recomandări pentru îmbunătățirea QS.

Acest lucru este adesea asociat cu rezolvarea problemelor legate de lanțul de lucru coordonat sau de seturi de QS.

De exemplu, în activitățile comerciale este necesar să se țină cont și de indicatorii economici ai OCM: costuri totale - C; costuri de circulație - C io, costuri de consum - C ip, costuri de deservire a unei aplicații - C 1, pierderi asociate cu plecarea unei aplicații - C y1, costuri de operare a canalului - C k, costuri de oprire a canalului - C pr, investiții de capital - C cap, costuri anuale reduse – C pr, costuri curente – C tek, venit CMO pe unitatea de timp – D 1

În procesul de stabilire a sarcinilor, este necesar să se dezvăluie interrelațiile dintre indicatorii QS, care, în funcție de afilierea lor de bază, pot fi împărțiți în două grupuri: primul este asociat cu costurile de manipulare a IO, care sunt determinate de numărul de canale ocupate de service, costurile de întreținere a QS, intensitatea serviciului, gradul de încărcare a canalului, utilizarea eficientă a acestora, capacitatea QS etc.; al doilea grup de indicatori este determinat de costurile aplicațiilor SIP în sine, primite pentru serviciu, care formează fluxul de intrare, simt eficacitatea serviciului și sunt asociați cu indicatori precum lungimea cozii, timpul de așteptare pentru serviciu, probabilitatea de refuz al serviciului, timpul în care cererea rămâne în sistemul de servicii etc.

Aceste grupe de indicatori sunt contradictorii în sensul că se asociază îmbunătățirea indicatorilor unui grup, de exemplu, reducerea lungimii cozii sau a timpului de așteptare la coadă prin creșterea numărului de canale de servicii (ospătari, bucătari, hamali, casierii). cu o deteriorare a indicatorilor grupului, deoarece aceasta poate duce la creșterea timpului de nefuncționare a canalelor de servicii, a costurilor de întreținere a acestora etc. În legătură cu această formalizare a sarcinilor de serviciu, este destul de natural să ne străduim să construim un QS în așa fel încât să se stabilească un compromis rezonabil între performanța cererilor în sine și utilizarea deplină a capacităților sistemului. În acest scop, este necesar să se selecteze un indicator generalizat, integral al eficacității QS, care să includă simultan pretențiile și capacitățile ambelor grupuri. Ca atare indicator se poate alege un criteriu de eficiență economică, incluzând atât costurile de circulație C io, cât și costurile aplicațiilor C ip, care vor avea o valoare optimă cu un minim de costuri totale C. Pe această bază, funcția obiectiv. a problemei se poate scrie astfel:

C= (C io + C ip) →min

Deoarece costurile de circulație includ costurile asociate cu funcționarea QS - C ex și timpul de nefuncționare a canalelor de servicii - C pr, iar costurile aplicațiilor includ pierderi asociate cu plecarea aplicațiilor nedeservite - C nz și cu rămânerea în coadă - C och, atunci funcția obiectiv poate fi rescrisă luând în considerare acești indicatori în acest fel:

C=((C pr n st +C ex n h)+C och R obs λ(Toch +t obs)+C din R deschis λ)→min.

În funcție de sarcina la îndemână, indicatorii variabili, adică controlabili, pot fi: numărul de canale de servicii, organizarea canalelor de servicii (paralele, secvențiale, mixte), disciplina la coadă, prioritatea solicitărilor de service, asistența reciprocă între canale etc. indicatorii din sarcină apar ca negestionați, care sunt de obicei datele inițiale. Ca criteriu de eficiență în funcția obiectiv, poate exista și cifra de afaceri, profit sau venit, de exemplu, profitabilitatea, atunci valorile optime ale indicatorilor controlați ai QS se găsesc, evident, deja în timpul maximizării, ca în versiunea anterioară. .

În unele cazuri, ar trebui să utilizați o altă opțiune pentru scrierea funcției obiectiv:

C=(C ex n z +C pr (n-n z)+C deschis *P deschis *λ+C syst * n z )→min

De exemplu, nivelul de cultură a serviciului clienți la întreprinderi poate fi ales ca criteriu general, apoi funcția țintă poate fi reprezentată de următorul model:

K ob =[(Z pu *K y)+(Z pv *K v)+(Z pv *K d)+(Z pz *K z)+(Z de-a lungul *K 0)+(Z kt *K kt )]*K mp,

unde Zpu este semnificația indicatorului de sustenabilitate al gamei de produse;

K y - coeficientul de stabilitate al gamei de produse;

Z pv – semnificația indicatorului de introducere a metodelor progresive de vânzare a mărfurilor;

K in – coeficientul de introducere a metodelor progresive de vânzare a mărfurilor;

Zp – semnificația indicatorului de service suplimentar;

K d - coeficient de serviciu suplimentar;

Z pz - semnificația indicatorului de finalizare a achiziției;

Kz - rata de finalizare a achiziției;

3 - semnificația indicatorului de timp petrecut în așteptarea serviciului;

K despre – indicator al timpului petrecut în așteptarea serviciului;

Z kt – semnificația indicatorului de calitate a muncii echipei;

Ккт – coeficientul de calitate al muncii echipei;

KMP este un indicator al culturii de servicii în opinia clienților;

Pentru a analiza QS-ul, puteți alege alte criterii de evaluare a eficacității QS-ului. De exemplu, ca un astfel de criteriu pentru sistemele cu defecțiuni, puteți alege probabilitatea de defecțiune P defecțiune, a cărei valoare nu ar depăși o valoare predeterminată. De exemplu, cerința R deschisă<0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданном числе каналов.

După construirea funcției obiectiv, este necesar să se determine condițiile pentru rezolvarea problemei, să se găsească restricții, să se stabilească valorile inițiale ale indicatorilor, să se identifice indicatorii necontrolați, să se construiască sau să se selecteze un set de modele pentru relația tuturor indicatorilor pentru tipul analizat. de QS, pentru a găsi în cele din urmă valorile optime ale indicatorilor controlați, de exemplu, numărul de bucătari, ospătari, casierii, încărcătoare, volumele de spațiu de depozitare etc.

Capitol III . Modele de sisteme de așteptare

3.1 QS cu un singur canal cu refuz de serviciu

Să analizăm un QS simplu cu un singur canal cu defecțiuni de serviciu, care primește un flux Poisson de cereri cu intensitatea λ, iar service-ul are loc sub influența unui flux Poisson cu intensitatea μ.

Funcționarea unui QS cu un singur canal n=1 poate fi reprezentată sub forma unui grafic de stare etichetat (3.1).

Tranzițiile QS de la o stare S 0 la alta S 1 au loc sub influența fluxului de intrare de cereri cu intensitatea λ, iar tranziția inversă are loc sub influența fluxului de serviciu cu intensitatea μ.

S 0

S 1

S 0 – canalul de servicii este gratuit; S 1 – canalul este ocupat cu servicii;

Orez. 3.1 Graficul de stare etichetat al unui QS cu un singur canal

Să scriem sistemul de ecuații diferențiale Kolmogorov pentru probabilitățile de stare conform regulilor menționate mai sus:

De unde obținem ecuația diferențială pentru determinarea probabilității p 0 (t) a stării S 0:

Această ecuație poate fi rezolvată în condiții inițiale în ipoteza că sistemul în momentul t=0 era în starea S 0 , apoi p 0 (0)=1, p 1 (0)=0.

În acest caz, soluția de nivelare diferențială ne permite să determinăm probabilitatea ca canalul să fie liber și să nu fie ocupat de serviciu:

Atunci este ușor să obțineți o expresie pentru probabilitatea determinării probabilității de ocupare a canalului:

Probabilitatea p 0 (t) scade în timp și în limită pe măsură ce t→∞ tinde spre valoare

iar probabilitatea p 1 (t) crește în același timp de la 0, tinzând în limită ca t→∞ la valoarea

Aceste limite de probabilitate pot fi obținute direct din ecuațiile Kolmogorov, prevăzute

Funcțiile p 0 (t) și p 1 (t) determină procesul tranzitoriu într-un QS cu un singur canal și descriu procesul de apropiere exponențială a QS la starea sa limită cu o constantă de timp caracteristică sistemului în cauză.

Cu suficientă precizie pentru practică, putem presupune că procesul de tranziție în QS se termină într-un timp egal cu 3τ.

Probabilitatea p 0 (t) determină capacitatea relativă a QS, care determină proporția aplicațiilor deservite în raport cu numărul total de aplicații primite pe unitatea de timp.

Într-adevăr, p 0 (t) este probabilitatea ca o cerere care sosește la momentul t să fie acceptată pentru serviciu. În total, o medie de λ aplicații sosesc pe unitate de timp și λр 0 aplicații sunt deservite.

Apoi, ponderea aplicațiilor deservite în raport cu întregul flux de aplicații va fi determinată de valoare

În limita la t→∞, practic deja la t>3τ valoarea debitului relativ va fi egală cu

Debitul absolut, care determină numărul de cereri servite pe unitatea de timp în limita la t→∞, este egal cu:

În consecință, proporția cererilor care au fost respinse este, în aceleași condiții limitative:

iar numărul total de aplicații neservite este egal cu

Exemple de QS cu un singur canal cu refuzuri de servicii sunt: ​​un birou de comenzi într-un magazin, o cameră de control a unei întreprinderi de transport auto, un birou de depozit, un birou de conducere al unei societăți comerciale, cu care se stabilește comunicarea prin telefon.

3.2 QS multicanal cu refuz de serviciu

În activitățile comerciale, exemple de QS multicanal sunt birourile întreprinderilor comerciale cu mai multe canale telefonice; un birou de asistență gratuit pentru disponibilitatea celor mai ieftine mașini în magazinele auto din Moscova are 7 numere de telefon și, după cum se știe, este foarte greu să suni și să obții ajutor.

În consecință, magazinele auto pierd clienți, oportunitatea de a crește numărul de mașini vândute și veniturile din vânzări, cifra de afaceri și profitul.

Companiile de turism care vând pachete turistice au două, trei, patru sau mai multe canale, cum ar fi Express-Line.

Să luăm în considerare un QS multicanal cu refuzuri de serviciu în Fig. 3.2, a cărui intrare este un flux Poisson de cereri cu intensitatea λ.

S 0

S 1

S k

S n

μ 2μkμ (k+1)μ nμ

Orez. 3.2. Graficul de stare etichetat al unui QS multicanal cu defecțiuni

Fluxul de serviciu în fiecare canal are o intensitate μ. Pe baza numărului de solicitări QS, se determină stările sale S k, prezentate sub forma unui grafic etichetat:

S 0 – toate canalele sunt libere k=0,

S 1 – doar un canal este ocupat, k=1,

S 2 – doar două canale sunt ocupate, k=2,

S k – k canale sunt ocupate,

S n – toate cele n canale sunt ocupate, k= n.

Stările unui QS multicanal se schimbă brusc în momente aleatorii. Trecerea de la o stare, de exemplu S 0 la S 1, are loc sub influența fluxului de intrare al cererilor cu intensitatea λ și invers - sub influența fluxului de cereri de deservire cu intensitatea μ. Pentru ca sistemul să treacă de la starea S k la S k -1, nu contează ce canal este eliberat, prin urmare fluxul de evenimente care transferă QS are o intensitate kμ, prin urmare, fluxul de evenimente care transferă sistemul din S n la S n -1 are o intensitate nμ . Așa este formulată problema clasică Erlang, numită după inginerul, matematicianul și fondatorul teoriei cozilor daneze.

Procesul aleatoriu care are loc în QS este un caz special al procesului „naștere-moarte” și este descris de un sistem de ecuații diferențiale Erlang, care fac posibilă obținerea de expresii pentru probabilitățile limită ale stării sistemului luat în considerare, numite formule Erlang:

.

Calculând toate probabilitățile de stări ale unui QS cu n canal cu defecțiuni p 0, p 1, p 2, ..., p k,..., p n, puteți găsi caracteristicile sistemului de servicii.

Probabilitatea de refuz al serviciului este determinată de probabilitatea ca o solicitare de serviciu primită să găsească toate n canalele ocupate, sistemul va fi în starea S n:

k=n.

În sistemele cu defecțiuni, evenimentele de defecțiune și întreținere constituie un grup complet de evenimente, deci

P deschis + P obs = 1

Pe această bază, debitul relativ este determinat de formulă

Q = P obs = 1-P deschis =1-P n

Capacitatea absolută a QS poate fi determinată prin formulă

Probabilitatea serviciului sau proporția de cereri deservite determină capacitatea relativă a QS, care poate fi determinată folosind o altă formulă:

Din această expresie se poate determina numărul mediu de solicitări în serviciu sau, ceea ce este la fel, numărul mediu de canale ocupate de serviciu

Rata de ocupare a canalelor în funcție de serviciu este determinată de raportul dintre numărul mediu de canale ocupate și numărul lor total

Probabilitatea ca canalele să fie ocupate de serviciu, care ia în considerare timpul mediu de ocupat t ocupat și timpul de inactivitate t pr canale, este determinată după cum urmează:

Din această expresie puteți determina timpul mediu de întrerupere a canalelor

Timpul mediu pe care o cerere rămâne în sistem în stare de echilibru este determinat de formula lui Little

T smo = n s /λ.

3.3 Modelul unui sistem de servicii turistice multifazice

În viața reală, sistemul de servicii turistice pare mult mai complicat, așa că este necesar să se detalieze formularea problemei, ținând cont de solicitările și cerințele atât ale clienților, cât și ale agențiilor de turism.

Pentru a crește eficiența unei agenții de turism, este necesară modelarea comportamentului general al unui potențial client de la începutul operațiunii și până la finalizarea acesteia. Structura relației dintre principalele sisteme de așteptare constă de fapt din diferite tipuri de QS (Fig. 3.3).

Căutați soluție de selecție de selecție

referent

căutați o companie de turism după turneu

Exodul zborului de plată

Orez. 3.3 Modelul unui sistem de servicii turistice multifazice

Problema din punctul de vedere al deservirii în masă a turiștilor care pleacă în vacanță este de a determina locul exact de vacanță (tur) care este adecvat cerințelor solicitantului, corespunzător capacităților sale de sănătate și financiare și ideilor despre vacanță în general. În aceasta poate fi asistat de agenții de turism, căutarea cărora se efectuează de obicei din mesaje publicitare ale SMO r, apoi după selectarea unei companii, primește consultații telefonice SMO t, după o conversație satisfăcătoare, ajunge la agenția de turism. și primește consultații mai detaliate în persoană cu referentul, apoi plătește călătoria și primește serviciu de la compania aeriană pentru zborul CMO și în cele din urmă service la hotelul CMO 0 0 . Dezvoltarea ulterioară a recomandărilor pentru îmbunătățirea activității QS al companiei este asociată cu o schimbare a conținutului profesional al negocierilor telefonice cu clienții. Pentru a face acest lucru, este necesar să se aprofundeze analiza legată de detalierea dialogului dintre asistent și clienți, deoarece nu orice conversație telefonică duce la încheierea unui acord pentru achiziționarea unui voucher. Formalizarea sarcinii de serviciu a indicat necesitatea formării unei liste complete (necesare și suficiente) de caracteristici și semnificațiile lor exacte ale subiectului unei tranzacții comerciale. Apoi aceste caracteristici sunt clasate, de exemplu, prin metoda comparațiilor pereche, și plasate în dialog în funcție de gradul de importanță lor, de exemplu: anotimp (iarna), lună (ianuarie), climă (uscat), temperatura aerului (+). 25 "C), umiditate (40 %), locație geografică (mai aproape de ecuator), timp de zbor (până la 5 ore), transfer, țară (Egipt), oraș (Hurghada), mare (roșu), temperatura apei mării ( +23°C), rang hotel (4 stele, aer condiționat funcțional, garanție șampon în cameră), distanță de mare (până la 300 m), distanță de magazine (în apropiere), distanță de discoteci și alte surse de zgomot ( mai departe, liniște în timp ce dormi la hotel), mâncare (masa suedeză - mic dejun, cină, frecvența modificărilor meniului pe săptămână), hoteluri (Princes, Marlin-In, Hour-Palace), excursii (Cairo, Luxor, insule de corali, scuba diving), spectacole de divertisment, jocuri sportive, preț tur, formă de plată, conținutul asigurării, ce să iei cu tine, ce să cumperi la fața locului, garanții, penalități.

Există un alt indicator foarte semnificativ care este benefic pentru client, pe care cititorul cu discernământ este invitat să îl stabilească în mod independent. Apoi, folosind metoda de comparare perechi a caracteristicilor enumerate x i, puteți forma o matrice de comparație n x n, ale cărei elemente sunt completate secvenţial rând cu rând conform următoarei reguli:

0, dacă caracteristica este mai puțin semnificativă,

și ij = 1, dacă caracteristica este echivalentă,

2 dacă caracteristica este dominantă.

După aceasta, se determină valorile sumelor estimărilor pentru fiecare indicator al dreptei S i =∑a ij, ponderea fiecărei caracteristici M i = S i /n 2 și, în consecință, criteriul integral, pe pe baza caruia este posibila selectarea unei agentii de turism, tur sau hotel, conform formulei

F = ∑ M i * x i -» max.

Pentru a elimina eventualele erori în această procedură, de exemplu, se introduce o scală de evaluare în 5 puncte cu o gradare a caracteristicilor B i (x i) conform principiului mai rău (B i = 1 punct) - mai bun (B i = 5). puncte). De exemplu, cu cât turul este mai scump, cu atât mai rău, cu cât este mai ieftin, cu atât mai bine. Pe această bază, funcția obiectiv va avea o formă diferită:

F b = ∑ M i * B i * x i -> max.

Astfel, este posibilă, pe baza utilizării metodelor și modelelor matematice, folosind avantajele formalizării, formularea enunțului sarcinilor mai precis și mai obiectiv și îmbunătățit semnificativ performanța QS în activitățile comerciale pentru atingerea obiectivelor.

3.4 QS cu un singur canal cu lungime limitată la coadă

În activitățile comerciale, QS cu așteptare (în coadă) este mai frecventă.

Să considerăm un QS simplu cu un singur canal cu o coadă limitată, în care numărul de locuri din coada m este o valoare fixă. În consecință, o aplicație primită într-un moment în care toate locurile din coadă sunt ocupate nu este acceptată pentru service, nu se înscrie în coadă și părăsește sistemul.

Graficul acestui QS este prezentat în Fig. 3.4 și coincide cu graficul din fig. 2.1 descriind procesul „naștere-moarte”, cu diferența că în prezența unui singur canal.

Sm

S 3

S 2

S 1

S 0

λ λλλ... λ

μ μμμ... μ

Orez. 3.4. Graficul etichetat al procesului de serviciu „naștere - moarte”; toate intensitățile fluxurilor de servicii sunt egale

Stările QS pot fi reprezentate după cum urmează:

S 0 - canalul de servicii este gratuit,

S, - canalul de servicii este ocupat, dar nu există coadă,

S 2 - canalul de serviciu este ocupat, există o solicitare în coadă,

S 3 - canalul de serviciu este ocupat, există două solicitări în coadă,

S m +1 - canalul de serviciu este ocupat, toate cele m locuri din coadă sunt ocupate, orice cerere ulterioară este respinsă.

Pentru a descrie procesul QS aleatoriu, puteți utiliza regulile și formulele menționate anterior. Să scriem expresii care determină probabilitățile limită ale stărilor:

p 1 = ρ * ρ o

p 2 =ρ 2 * ρ 0

p k =ρ k * ρ 0

P m+1 = p m=1 * ρ 0

p 0 = -1

Expresia pentru p 0 poate fi scrisă mai simplu în acest caz, folosind faptul că numitorul conține o progresie geometrică relativ la p, apoi după transformări corespunzătoare obținem:

ρ= (1- ρ )

Această formulă este valabilă pentru toate p, altele decât 1, dar dacă p = 1, atunci p 0 = 1/(t + 2), iar toate celelalte probabilități sunt, de asemenea, egale cu 1/(t + 2). Dacă presupunem m = 0, atunci trecem de la considerarea unui QS cu un singur canal cu așteptare la QS deja considerat cu un singur canal cu refuzuri de serviciu. Într-adevăr, expresia probabilității marginale p 0 în cazul m = 0 are forma:

p o = μ / (λ+μ)

Și în cazul lui λ = μ are valoarea p 0 = 1 / 2.

Să determinăm principalele caracteristici ale unui QS cu un singur canal cu așteptare: debit relativ și absolut, probabilitatea de eșec, precum și lungimea medie a cozii și timpul mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă.

O cerere este respinsă dacă ajunge într-un moment în care QS este deja în starea S m +1 și, prin urmare, toate locurile din coadă sunt ocupate și un canal este deservit. Prin urmare, probabilitatea de eșec este determinată de probabilitatea de apariția

Statele S m +1:

P deschis = p m +1 = ρ m +1 * p 0

Debitul relativ, sau ponderea cererilor deservite care sosesc pe unitatea de timp, este determinată de expresie

Q = 1- p deschis = 1- ρ m+1 * p 0

debitul absolut este:

Numărul mediu de aplicații L foarte aflate în coadă pentru serviciu este determinat de așteptarea matematică a variabilei aleatoare k - numărul de aplicații aflate în coadă

Variabila aleatorie ia numai următoarele valori întregi:

1 - există o aplicație în coadă,

2 - există două aplicații în coadă,

t-toate locurile din coada sunt ocupate

Probabilitățile acestor valori sunt determinate de probabilitățile corespunzătoare de stări, începând cu starea S 2. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete k este prezentată după cum urmează:

k	1	2	m
p i	p2	p 3	p m+1

Așteptările matematice ale acestei variabile aleatoare sunt:

L och = 1* p 2 +2* p 3 +...+ m* p m +1

În cazul general, pentru p ≠1, această sumă poate fi transformată, folosind modele de progresie geometrică, într-o formă mai convenabilă:

Lp = p 2 * 1- p m * (m-m*p+1)*p 0

În cazul special când p = 1, când toate probabilitățile p k sunt egale, puteți folosi expresia pentru suma termenilor seriei de numere

1+2+3+ m = m ( m +1)

Apoi obținem formula

L’ och = m(m+1)* p 0 = m(m+1)(p=1).

Folosind raționamente și transformări similare, se poate demonstra că timpul mediu de așteptare pentru deservirea unei cereri într-o coadă este determinat de formulele lui Little.

Toch = L och /A (pentru p ≠ 1) și T 1 och = L’ och /A (pentru p = 1).

Acest rezultat, când se dovedește că T och ~ 1/ λ, poate părea ciudat: odată cu creșterea intensității fluxului de aplicații, lungimea cozii pare să crească și timpul mediu de așteptare scade. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere că, în primul rând, valoarea lui L och este o funcție a lui λ și μ și, în al doilea rând, QS-ul luat în considerare are o lungime limitată a cozii de așteptare de cel mult m aplicații.

O aplicație primită de QS într-un moment în care toate canalele sunt ocupate este respinsă și, prin urmare, timpul său de „așteptare” în QS este zero. Aceasta conduce în cazul general (pentru p ≠ 1) la o scădere a lui T cu creșterea λ, deoarece proporția unor astfel de solicitări crește odată cu creșterea λ.

Dacă renunțăm la restricția privind lungimea cozii, i.e. tind m-> →∞, apoi cazurile p< 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

p k =р k *(1 - р)

Pentru un k suficient de mare, probabilitatea p k tinde spre zero. Prin urmare, debitul relativ va fi Q = 1, iar debitul absolut va fi egal cu A -λ Q - λ, prin urmare, toate cererile primite sunt deservite, iar lungimea medie a cozii va fi egală cu:

L och = p 2 1-p

și timpul mediu de așteptare conform formulei lui Little

Toch = L och /A

În limita p<< 1 получаем Т оч = ρ / μт.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

Ca una dintre caracteristicile QS, se folosește timpul mediu T cm al șederii unei cereri în QS, inclusiv timpul mediu petrecut în coadă și timpul mediu de serviciu. Această valoare este calculată folosind formulele lui Little: dacă lungimea cozii este limitată, numărul mediu de aplicații din coadă este egal cu:

L cm= m +1 ;2

T smo= L smo; la p ≠1

Apoi, timpul mediu pe care o cerere rămâne în sistemul de așteptare (atât în ​​coadă, cât și în serviciu) este egal cu:

T smo= m +1 la p ≠1 2μ

3.5 QS cu un singur canal cu coadă nelimitată

În activitățile comerciale, de exemplu, un director comercial acționează ca un CMO cu un singur canal cu așteptare nelimitată, deoarece el, de regulă, este obligat să deservească cereri de diferite naturi: documente, convorbiri telefonice, întâlniri și conversații cu subalternii, reprezentanții inspectoratul fiscal, poliția, experții în mărfuri, comercianții, furnizorii de produse și rezolvă problemele din sfera mărfurilor-financiare cu un grad ridicat de responsabilitate financiară, care este asociată cu îndeplinirea obligatorie a cererilor care uneori așteaptă cu nerăbdare îndeplinirea cerințelor lor și erorile de serviciu necorespunzătoare sunt, de regulă, foarte semnificative din punct de vedere economic.

În același timp, mărfurile importate pentru vânzare (servire), în timp ce se află în depozit, formează o coadă pentru service (vânzare).

Lungimea cozii este numărul de bunuri destinate vânzării. În această situație, vânzătorii acționează ca canale de deservire a mărfurilor. Dacă numărul de bunuri destinate vânzării este mare, atunci în acest caz avem de-a face cu un caz tipic de QS cu așteptare.

Să considerăm cel mai simplu QS cu un singur canal cu așteptare pentru serviciu, care primește un flux Poisson de cereri cu intensitatea λ și intensitatea serviciului µ.

Mai mult, o solicitare primită într-un moment în care canalul este ocupat cu service este pusă într-o coadă și așteaptă serviciul.

Graficul de stare etichetat al unui astfel de sistem este prezentat în Fig. 3.5

Numărul de stări posibile este infinit:

Canalul este liber, nu există coadă, ;

Canalul este ocupat cu servicii, nu există coadă, ;

Canal ocupat, o cerere în coadă, ;

Canalul este ocupat, aplicația este în coadă.

Modele pentru estimarea probabilității stărilor QS cu o coadă nelimitată pot fi obținute din formulele alocate pentru QS cu o coadă nelimitată prin trecerea la limită ca m→∞:

Orez. 3.5 Graficul de stare al unui QS cu un singur canal cu o coadă nelimitată.

Trebuie remarcat faptul că pentru un QS cu o lungime limitată a cozii în formulă

există o progresie geometrică cu primul termen 1 și numitorul . O astfel de succesiune este suma unui număr infinit de termeni la . Această sumă converge dacă progresia, care scade infinit la , ceea ce determină modul de funcționare în regim de echilibru al QS, cu coada la poate crește la infinit în timp.

Deoarece în QS-ul luat în considerare nu există nicio restricție privind lungimea cozii, orice cerere poate fi servită, prin urmare, debitul relativ, respectiv, debitul absolut

Probabilitatea ca k aplicații să fie în coadă este:

;

Numărul mediu de aplicații în coadă –

Numărul mediu de aplicații în sistem -

;

Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem -

;

Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem este

.

Dacă într-un QS cu un singur canal cu așteptare intensitatea solicitărilor primite este mai mare decât intensitatea serviciului, atunci coada va crește constant. În acest sens, cel mai mare interes este în analiza sistemelor QS stabile care funcționează în regim staționar la .

3.6 QS multicanal cu lungime limitată la coadă

Să considerăm un QS multicanal, a cărui intrare primește un flux Poisson de cereri cu intensitate, iar intensitatea serviciului fiecărui canal este , numărul maxim posibil de locuri în coadă este limitat de m. Stările discrete ale QS sunt determinate de numărul de cereri primite de sistem care pot fi înregistrate.

Toate canalele sunt gratuite;

Numai un canal (oricare) este ocupat;

Doar două canale (oricare) sunt ocupate;

Toate canalele sunt ocupate.

În timp ce QS se află în oricare dintre aceste stări, nu există nicio coadă. După ce toate canalele de servicii sunt ocupate, solicitările ulterioare formează o coadă, determinând astfel starea ulterioară a sistemului:

Toate canalele sunt ocupate și o aplicație este în coadă,

Toate canalele sunt ocupate și două solicitări sunt la coadă,

Toate canalele și toate locurile din coadă sunt ocupate,

Graficul de stare al unui QS cu n canale cu o coadă limitată de m locuri în Fig. 3.6

Orez. 3.6 Graficul de stare al unui QS cu n canale cu o limitare a lungimii cozii m

Trecerea QS la o stare cu numere mari este determinată de fluxul de solicitări de intrare cu o intensitate , în timp ce, în funcție de condiție, la deservirea acestor solicitări participă canale identice cu o intensitate egală a fluxului de serviciu pentru fiecare canal. În acest caz, intensitatea totală a fluxului de serviciu crește odată cu conectarea noilor canale până la o stare când toate cele n canale sunt ocupate. Odată cu apariția cozii, intensitatea serviciului crește și mai mult, deoarece a atins deja valoarea maximă egală cu .

Să scriem expresii pentru probabilitățile limită ale stărilor:

Expresia pentru poate fi transformată folosind formula de progresie geometrică pentru suma termenilor cu numitor:

Formarea unei cozi este posibilă atunci când o aplicație nou primită găsește cel puțin cerințele în sistem, de exemplu. când există cerințe în sistem. Aceste evenimente sunt independente, astfel încât probabilitatea ca toate canalele să fie ocupate este egală cu suma probabilităților corespunzătoare. Prin urmare, probabilitatea formării unei coade este:

Probabilitatea de refuzare a serviciului apare atunci când toate canalele și toate locurile din coadă sunt ocupate:

Debitul relativ va fi egal cu:

Debit absolut -

Numărul mediu de canale ocupate –

Numărul mediu de canale inactive –

Factorul de ocupare (utilizare) canal –

Rata timpului de nefuncţionare a canalului -

Numărul mediu de aplicații în cozi –

Dacă , această formulă ia o formă diferită -

Timpul mediu de așteptare într-o coadă este determinat de formulele lui Little -

Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în QS, ca și pentru un QS cu un singur canal, este mai mare decât timpul mediu de așteptare în coadă cu timpul mediu de serviciu, egal cu , deoarece aplicația este întotdeauna deservită de un singur canal:

3.7 QS multicanal cu coadă nelimitată

Să luăm în considerare un QS multicanal cu așteptare și o lungime de coadă nelimitată, care primește un flux de cereri cu intensitate și care are o intensitate de serviciu a fiecărui canal. Graficul stărilor etichetat este prezentat în Figura 3.7. Are un număr infinit de stări:

S - toate canalele sunt libere, k=0;

S - un canal este ocupat, restul sunt libere, k=1;

S - două canale sunt ocupate, restul sunt libere, k=2;

S - toate cele n canale sunt ocupate, k=n, fără coadă;

S - toate cele n canale sunt ocupate, o cerere este în coadă, k=n+1,

S - toate n canalele sunt ocupate, r aplicații sunt în coadă, k=n+r,

Obținem probabilitățile de stare din formulele pentru un QS multicanal cu o coadă limitată la trecerea la limita la m. De remarcat că suma progresiei geometrice în expresia pentru p diverge la nivelul de încărcare p/n>1, coada va crește la nesfârșit, iar la p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

Fără coadă

…

…

Fig. 3.7 Graficul de stare etichetat al unui QS multicanal

cu coadă nelimitată

pentru care definim expresii pentru probabilitățile limită ale stărilor:

Deoarece nu poate exista refuz de serviciu în astfel de sisteme, caracteristicile de debit sunt egale cu:

numărul mediu de aplicații în coadă –

timpul mediu de așteptare la coadă -

numărul mediu de cereri la CMO –

Probabilitatea ca QS-ul să fie într-o stare în care nu există cereri și nici un singur canal nu este ocupat este determinată de expresia

Această probabilitate determină procentul mediu de nefuncționare a canalului de servicii. Probabilitatea de a fi ocupat cu deservirea k cereri –

Pe această bază, este posibil să se determine probabilitatea sau proporția de timp în care toate canalele sunt ocupate de serviciu

Dacă toate canalele sunt deja ocupate cu service, atunci probabilitatea stării este determinată de expresie

Probabilitatea de a fi într-o coadă este egală cu probabilitatea de a găsi toate canalele deja ocupate cu serviciul

Numărul mediu de aplicații în coadă și serviciul în așteptare este:

Timp mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă conform formulei lui Little: și în sistem

numărul mediu de canale ocupate de serviciu:

numărul mediu de canale gratuite:

Rata de ocupare a canalului de servicii:

Este important de menționat că parametrul caracterizează gradul de coordonare a fluxului de intrare, de exemplu, clienții dintr-un magazin cu intensitatea fluxului de servicii. Procesul de service va fi stabil dacă, totuși, lungimea medie a cozii și timpul mediu de așteptare pentru clienți pentru a începe serviciul cresc în sistem și, prin urmare, sistemul de service va funcționa instabil.

3.8 Analiza sistemului de așteptare a supermarketurilor

Una dintre sarcinile importante ale activității comerciale este organizarea rațională a comerțului și a procesului tehnologic al serviciilor de masă, de exemplu într-un supermarket. În special, determinarea capacității casei de marcat a unui punct de vânzare cu amănuntul nu este o sarcină ușoară. Astfel de indicatori economici și organizatoric, cum ar fi sarcina cifrei de afaceri pe 1 m 2 de spațiu de vânzare cu amănuntul, debitul întreprinderii, timpul petrecut de clienți în magazin, precum și indicatori ai nivelului de soluție tehnologică a podelei de tranzacționare: raportul dintre zonele zonelor de autoservire și centrul de plată, coeficienții zonelor de instalare și expoziție, în multe moduri determinate de debitul casei de marcat. În acest caz, capacitatea a două zone de serviciu (faze): zona de autoservire și zona nodului de decontare (Fig. 4.1).

SMO

SMO

Intensitatea fluxului de clienți intrat;

Intensitatea sosirii clienților în zona de autoservire;

Intensitatea clienților care sosesc la centrul de plată;

Intensitatea fluxului de serviciu.

Fig.4.1. Model al unui sistem QS în două faze pentru un centru comercial de supermarket

Funcția principală a centrului de decontare este de a asigura un randament ridicat al clienților în zona de vânzări și de a crea un serviciu pentru clienți confortabil. Factorii care afectează randamentul unui nod de calcul pot fi împărțiți în două grupuri:

1) factori economici și organizatorici: sistemul de răspundere financiară în supermarket; costul mediu și structura unei achiziții;

2) structura organizatorică a casei de marcat;

3) factori tehnici și tehnologici: tipurile de case de marcat și case de marcat utilizate; tehnologia de servicii pentru clienți folosită de casier; corespondența capacității casei de marcat cu intensitatea fluxurilor de clienți.

Dintre grupele de factori enumerate, cea mai mare influență o exercită structura organizatorică a casei de marcat și corespondența capacității casei de marcat cu intensitatea fluxurilor de clienți.

Să luăm în considerare ambele faze ale sistemului de servicii:

1) alegerea bunurilor de către clienți în zona de autoservire;

2) serviciul pentru clienți în zona de decontare. Fluxul de clienți de intrare intră în faza de autoservire, iar cumpărătorul selectează independent unitățile de produs de care are nevoie, formându-le într-o singură achiziție. Mai mult, timpul acestei faze depinde de modul în care zonele de produse sunt amplasate reciproc, de ce front au, de cât timp petrece cumpărătorul alegând un anumit produs, care este structura de cumpărare etc.

Fluxul de ieșire al clienților din zona de autoservire este în același timp un flux de intrare în zona casei de marcat, care include secvențial așteptarea cumpărătorului la coadă și apoi deservirea de casier. Casa de marcat poate fi considerată ca un sistem de servicii cu pierderi sau ca un sistem de servicii cu așteptare.

Cu toate acestea, nici primul, nici cel de-al doilea sisteme luate în considerare nu ne permit să descriem cu adevărat procesul de service la casa de marcat a unui supermarket din următoarele motive:

în prima variantă, unitatea de casă, a cărei putere va fi proiectată pentru un sistem cu pierderi, necesită investiții semnificative atât de capital, cât și costuri curente pentru întreținerea controlorilor de casierie;

în a doua opțiune, unitatea de marcat, a cărei putere va fi proiectată pentru un sistem cu așteptări, duce la o mare pierdere de timp pentru clienții care așteaptă serviciul. În același timp, în orele de vârf, zona de casă „se revarsă” și coada clienților „curge” în zona de autoservire, ceea ce încalcă condițiile normale pentru ca alți clienți să selecteze mărfurile.

În acest sens, este indicat să se considere a doua fază a serviciului ca un sistem cu o coadă limitată, intermediar între un sistem cu așteptare și un sistem cu pierderi. Se presupune că în sistem nu poate fi mai mult de L în același timp, iar L=n+m, unde n este numărul de clienți serviți la casele de marcat, m este numărul de clienți care stau la coadă și orice Aplicația m+1 lasă sistemul neservit.

Această condiție face posibilă, pe de o parte, limitarea suprafeței zonei de casă, ținând cont de lungimea maximă admisă la coadă și, pe de altă parte, introducerea unei limite a timpului de așteptare a clienților pentru serviciul la casierie, de ex. ia în considerare costurile de consum ale consumatorilor.

Valabilitatea stabilirii problemei în această formă este confirmată de anchetele privind fluxurile de clienți din supermarketuri, ale căror rezultate sunt prezentate în tabel. 4.1, a cărui analiză a relevat o relație strânsă între coada lungă medie la casa de marcat și numărul de clienți care nu au făcut achiziții.

Ore de deschidere	Zi a săptămânii
	vineri			sâmbătă			duminică
	coadă,	cantitate cumpărători fara cumparaturi		coadă,	cantitate cumpărători fara cumparaturi		coadă,	cantitate cumpărători fara cumparaturi
		oameni	%		oameni	%		oameni	%
de la 9 la 10	2	38	5	5	60	5,4	7	64	4,2
de la 10 la 11	3	44	5,3	5	67	5	6	62	3,7
de la 11 la 12	3	54	6,5	4	60	5,8	7	121	8,8
de la 12 la 13	2	43	4,9	4	63	5,5	8	156	10
de la 14 la 15	2	48	5,5	6	79	6,7	7	125	6,5
de la 15 la 16	3	61	7,3	6	97	6,4	5	85	7,2
de la 16 la 17	4	77	7,1	8	140	9,7	5	76	6
de la 17 la 18	5	91	6,8	7	92	8,4	4	83	7,2
de la 18 la 19	5	130	7,3	6	88	5,9	7	132	8
de la 19 la 20	6	105	7,6	6	77	6
de la 20 la 21	6	58	7	5	39	4,4
Total	749	6,5	862	6,3	904	4,5

Mai există o caracteristică importantă în organizarea casieriei unui supermarket, care îi afectează în mod semnificativ randamentul: prezența caselor expres (pentru una sau două achiziții). Un studiu al structurii fluxului de clienți în supermarketuri pe tip de serviciu de numerar arată că fluxul de cifra de afaceri este de 12,9% (Tabelul 4.2).

Zilele săptămânii	Fluxurile de clienți			Cifra de afaceri comercială
	Total	prin checkout expres	% din debitul zilnic	Total	prin checkout expres	% din cifra de afaceri zilnică
Perioada de vară
luni	11182	3856	34,5	39669,2	3128,39	7,9
marţi	10207	1627	15,9	38526,6	1842,25	4,8
miercuri	10175	2435	24	33945	2047,37	6
joi	10318	2202	21,3	36355,6	1778,9	4,9
vineri	11377	2469	21,7	43250,9	5572,46	12,9
sâmbătă	10962	1561	14,2	39873	1307,62	3,3
duminică	10894	2043	18,8	35237,6	1883,38	5,1
Perioada de iarnă
luni	10269	1857	18,1	37121,6	2429,73	6,5
marţi	10784	1665	15,4	38460,9	1950,41	5,1
miercuri	11167	3729	33,4	39440,3	4912,99	12,49,4
joi	11521	2451	21,3	40000,7	3764,58	9,4
vineri	11485	1878	16,4	43669,5	2900,73	6,6
sâmbătă	13689	2498	18,2	52336,9	4752,77	9,1
duminică	13436	4471	33,3	47679,9	6051,93	12,7

Pentru construirea finală a unui model matematic al procesului de servicii, ținând cont de factorii enumerați mai sus, este necesar să se determine funcțiile de distribuție ale variabilelor aleatoare, precum și procesele aleatorii care descriu fluxurile de clienți de intrare și de ieșire:

1) funcția de distribuire a timpului clienților pentru selectarea mărfurilor în zona de autoservire;

2) funcția de repartizare a timpului de lucru al casierului pentru casele de marcat obișnuite și casele de marcat expres;

3) un proces aleatoriu care descrie fluxul de intrare de clienți în prima fază a serviciului;

4) un proces aleatoriu care descrie fluxul de intrare în a doua fază de serviciu pentru casele de marcat obișnuite și casele de marcat expres.

Este convenabil să se utilizeze modele pentru calcularea caracteristicilor unui sistem de așteptare dacă fluxul de cereri de intrare în sistemul de așteptare este un simplu flux Poisson, iar timpul de serviciu al cererilor este distribuit conform unei legi exponențiale.

Un studiu al fluxului de clienți în zona de casă a arătat că poate fi adoptat un flux Poisson pentru aceasta.

Funcția de distribuție a timpului pentru deservirea clienților de către casierii este exponențială; această ipoteză nu duce la erori mari.

De un interes indubitabil este analiza caracteristicilor deservirii fluxului de clienti in casa de marcat a unui supermarket, calculata pentru trei sisteme: cu pierderi, cu asteptare si de tip mixt.

Calculele parametrilor procesului de servicii pentru clienți la casa de marcat au fost efectuate pentru o întreprindere comercială cu o suprafață de vânzare de S = 650 pe baza următoarelor date.

Funcția obiectiv poate fi scrisă sub forma generală a conexiunii (criteriului) veniturilor din vânzări din caracteristicile QS:

unde - casa de marcat este formata din =7 case de marcat obisnuite si =2 case de marcat expres,

Intensitatea serviciului clienți în zona caselor de marcat obișnuite este de 0,823 persoane/min;

Intensitatea de încărcare a caselor de marcat în zona caselor de marcat obișnuite este de 6,65,

Intensitatea serviciului clienți în zona de checkout expres este de 2,18 persoane/min;

Intensitatea fluxului de intrare în zona casieriei obișnuite este de 5,47 persoane/min.

Intensitatea de încărcare a caselor de marcat în zona casei de marcat expres este de 1,63,

Intensitatea fluxului de intrare în zona de casă expres este de 3,55 persoane/min;

Pentru modelul QS cu o restricție privind lungimea cozii în conformitate cu zona proiectată a casei de marcat, se presupune că numărul maxim admis de clienți care stau la coadă la o casă de marcat este egal cu m = 10 clienți.

De remarcat că pentru a obține valori absolute relativ mici ale probabilității de pierdere a aplicațiilor și a timpului de așteptare al clienților la casa de marcat, trebuie îndeplinite următoarele condiții:

Tabelul 6.6.3 prezintă rezultatele caracteristicilor de calitate ale funcționării QS în zona nodului de calcul.

Calculele au fost efectuate pentru perioada cea mai aglomerată a zilei lucrătoare de la 17 la 21 de ore. În această perioadă, după cum au arătat rezultatele sondajului, aproximativ 50% din fluxul de cumpărători de o zi reprezintă.

Din datele prezentate în tabel. 4.3 rezultă că, dacă s-au ales următoarele pentru calcul:

1) model cu refuzuri, apoi 22,6% din fluxul de clienți deserviți de casele de marcat obișnuite și, în consecință, 33,6% din fluxul de clienți deserviți de casele de marcat expres, ar trebui să plece fără cumpărare;

2) un model cu așteptare, atunci nu ar trebui să existe pierderi de ordine în nodul de decontare;

Masa 4.3 Caracteristicile sistemului de așteptare a clienților în zona de casă

Tip de casierie	Numărul de case de marcat din nod	tip SMO	Caracteristicile SMO
			Numărul mediu de case de marcat ocupate,	timpul mediu de așteptare pentru serviciu,	Probabilitatea de a pierde aplicații,
Case de marcat obișnuite	7	cu eșecuri cu anticipare cu limitare
Casa de marcat Express	2	cu eșecuri cu anticipare cu limitare

3) un model cu o limită a lungimii cozii, atunci doar 0,12% din fluxul de clienți deserviți de casele de marcat obișnuite și 1,8% din fluxul de clienți deserviți de casele de marcat expres vor părăsi podeaua de tranzacționare fără a face achiziții. În consecință, un model cu o limită a lungimii cozii permite o descriere mai precisă și mai realistă a procesului de deservire a clienților în zona de casă.

Interesant este un calcul comparativ al capacității unei unități de marcat atât cu case de marcat expres, cât și fără. În tabel Tabelul 4.4 prezintă caracteristicile sistemului de deservire a casei de marcat pentru trei dimensiuni standard de supermarketuri, calculate folosind modele pentru magazinele cu autoservire cu o limită a lungimii cozii pentru perioada cea mai aglomerată a zilei lucrătoare de la 17 la 21 de ore.

Analiza datelor din acest tabel arată că neluând în considerare factorul „Structura fluxului de clienți în funcție de tipul de serviciu în numerar” în etapa de proiectare tehnologică poate duce la o creștere a zonei centrului de plăți cu 22-33 %, și deci, în consecință, la o reducere a zonelor de instalare și expoziție a echipamentelor de vânzare cu amănuntul și tehnologice și a masei de mărfuri plasate la nivelul vânzărilor.

Problema determinării capacității unei case de marcat este un lanț de caracteristici interdependente. Astfel, creșterea capacității reduce timpul de așteptare al clienților pentru service, reduce probabilitatea pierderii cerințelor și, în consecință, pierderea cifrei de afaceri. Împreună cu aceasta, este necesar să se reducă în mod corespunzător zona de autoservire, partea din față a echipamentelor comerciale și tehnologice și stocul de mărfuri de la nivelul vânzărilor. În același timp, costurile cu salariile pentru casierii și dotarea locurilor de muncă suplimentare cresc. De aceea

Nu.	Caracteristicile SMO	Unitate	Desemnare		Indicatori calculați în funcție de tipul suprafeței de vânzare supermarket, mp. m
					Fără checkout-uri expres						Inclusiv checkout rapid
					650		1000		2000		650			1000			2000
											Case de marcat obișnuite		Casa de marcat Express	Case de marcat obișnuite		casete de marcat expres	Case de marcat obișnuite		casete de marcat expres
1	Numărul de cumpărători	oameni	k		2310		3340		6680		1460		850	2040		1300	4080		2600
2	Intensitatea fluxului de intrare		λ		9,64		13,9		27,9		6,08		3,55	8,55		5,41	17,1		10,8
3	Intensitatea serviciului	persoană/min	μ		0,823		0,823		0,823		0,823		2,18	0,823		2,18	0,823		2,18
4	Intensitatea sarcinii	-	ρ		11,7		16,95		33,8		6,65		1,63	10,35		2,48	20,7		4,95
5	Numărul de case de marcat	PC.	n		12		17		34		7		2	11		3	21		5
6	Numărul total de case de marcat ale centrului de plată	PC.		∑n		12		17		34		9			14			26

este necesar să se efectueze calcule de optimizare. Să luăm în considerare caracteristicile sistemului de servicii din casieria unui supermarket cu o suprafață de vânzare cu amănuntul de 650 m2, calculate folosind modele QS cu o lungime limitată la coadă pentru diferite capacități ale casei sale din tabel. 4.5.

Pe baza analizei datelor din tabel. 4.5 putem concluziona că, pe măsură ce numărul de casă crește, timpul de așteptare pentru clienții din coadă crește, iar apoi după un anumit punct scade brusc. Natura modificării programului de așteptare al clienților este clară dacă luăm în considerare simultan modificarea probabilității de pierdere a unei daune.Este destul de evident că atunci când capacitatea casei de marcat este prea mică, mai mult de 85% dintre clienți vor lasa neservit, iar clientii ramasi vor fi serviti intr-un timp foarte scurt. Cu cât capacitatea casei de marcat este mai mare, cu atât este mai probabil ca clienții să se piardă în așteptarea serviciului, ceea ce înseamnă că timpul lor de așteptare la coadă va crește în mod corespunzător. Ulterior, așteptările și probabilitatea pierderilor vor scădea brusc.

Pentru un supermarket cu o suprafață de vânzare de 650, această limită pentru zona obișnuită a casei de marcat este între 6 și 7 case de marcat. Cu 7 case de marcat, timpul mediu de așteptare este de 2,66 minute, iar probabilitatea de a pierde aplicațiile este foarte mică - 0,1%. Astfel, ceea ce vă va permite să obțineți costurile totale minime pentru serviciul pentru clienți în masă.

Tip de serviciu în numerar	Număr case de marcat în nodul n, buc.	Caracteristicile sistemului de servicii		Venitul mediu pe frecare de 1 oră.	Pierderea medie de venituri la 1 oră de frecare.	Numărul de clienți din zona de decontare	Aria zonei nodului de calcul, Sy, m	Greutatea specifică a zonei zonei nodului 650/Sy
		Timp mediu de așteptare, T,min	Probabilitatea pierderii aplicațiilor
Zone de checkout regulate
Zone de checkout rapid

Concluzie

Pe baza analizei datelor din tabel. 4.5 putem concluziona că pe măsură ce crește numărul de casă, crește timpul de așteptare pentru clienții din coadă. Și apoi, după un anumit punct, scade brusc. Natura modificării programului de așteptare a clienților este clară dacă luăm în considerare simultan modificarea probabilității de pierdere a daunelor.Este destul de evident că atunci când capacitatea casei de marcat este prea mică, atunci mai mult de 85% dintre clienți vor lasa neservit, iar restul clientilor vor fi serviti intr-un timp foarte scurt. Cu cât puterea casei de marcat este mai mare. Probabilitatea pierderii daunelor va scădea și, în consecință, cu cât numărul clienților va aștepta pentru serviciul lor este mai mare, ceea ce înseamnă că timpul lor de așteptare la coadă va crește în mod corespunzător. Odată ce nodul de calcul își depășește capacitatea optimă, latența și probabilitatea pierderilor vor scădea brusc.

Pentru un supermarket cu o suprafață de vânzare de 650 mp. contoare, această limită pentru zona caselor de marcat obișnuite este cuprinsă între 6-8 case de marcat. Cu 7 case de marcat, timpul mediu de așteptare este de 2,66 minute, iar probabilitatea de a pierde aplicațiile este foarte mică - 0,1%. Astfel, sarcina este de a selecta o astfel de capacitate a casei de marcat care să permită costurile totale minime pentru serviciul de masă pentru clienți.

În acest sens, următoarea etapă de rezolvare a problemei este optimizarea capacității casei de marcat pe baza utilizării diferitelor tipuri de modele QS, ținând cont de costurile totale și de factorii enumerați mai sus.

În ultimele decenii, în diverse domenii ale economiei naționale, a apărut necesitatea rezolvării problemelor probabilistice legate de funcționarea sistemelor de așteptare. Exemple de astfel de sisteme sunt centralele telefonice, atelierele de reparații, unitățile de vânzare cu amănuntul, casele de bilete etc. Sarcina oricărui sistem de așteptare este de a deservi fluxul de cereri care intră în el (apeluri la abonați, clienți care vin la magazin, solicitări de a efectua lucrări în atelier etc.).
Disciplina matematică care studiază modelele sistemelor reale de așteptare se numește teoria cozilor de așteptare. Sarcina teoriei coadă este de a stabili dependența indicatorilor de performanță rezultați ai sistemului de așteptare (probabilitatea ca o cerere să fie deservită; așteptarea matematică a numărului de cereri servite etc.) de indicatorii de intrare (numărul de dispozitive din sistem, parametri ai fluxului de cereri de intrare etc.) este posibil să se stabilească astfel de dependențe sub formă de formulă numai pentru sistemele simple de așteptare. Studiul sistemelor reale se realizează prin imitarea sau modelarea funcționării acestora pe un computer folosind metoda de testare statistică.
Un sistem de așteptare este considerat specificat dacă:
1) fluxul cerinţelor de intrare sau, cu alte cuvinte, legea distribuţiei care caracterizează momentele în timp în care cerinţele intră în sistem. Cauza principală a cerințelor se numește sursă. În cele ce urmează, vom fi de acord să presupunem că sursa are un număr nelimitat de cerințe și că cerințele sunt omogene, adică diferă doar în momentele apariției lor în sistem;
2) un sistem de service format dintr-un dispozitiv de stocare și o unitate de service. Acesta din urmă reprezintă unul sau mai multe dispozitive de service, pe care le vom numi în continuare dispozitive. Fiecare cerere trebuie să ajungă la unul dintre dispozitive pentru a fi deservită. Este posibil ca cerințele să fie nevoite să aștepte până când dispozitivele devin disponibile. În acest caz, cererile se află într-un backlog, formând una sau mai multe cozi. Să presupunem că transferul unei solicitări de la unitatea de stocare la nodul de serviciu are loc instantaneu;
3) timpul de deservire a unei cereri de către fiecare dispozitiv, care este o variabilă aleatorie și se caracterizează printr-o anumită lege de distribuție;
4) disciplina în așteptare, adică un set de reguli care reglementează numărul de cerințe situate în același moment în timp în sistem. Un sistem în care o cerere este respinsă atunci când toate serverele sunt ocupate se numește sistem fără așteptare. Dacă o solicitare găsește toate dispozitivele ocupate, se pune în coadă și așteaptă până
până când unul dintre dispozitive devine disponibil, un astfel de sistem se numește sistem pur de așteptare. Un sistem în care o cerere care găsește toate dispozitivele ocupate este pusă în coadă numai dacă numărul de solicitări din sistem nu depășește un anumit nivel (altfel cererea se pierde) se numește sistem mixt de așteptare;
5) disciplina de serviciu, adică un set de reguli conform cărora o cerință este selectată din coadă pentru serviciu. Următoarele reguli sunt cel mai des folosite în practică:
- cererile sunt acceptate pentru serviciu pe principiul primul venit, primul servit;
- cererile sunt acceptate pentru serviciu conform termenului minim de primire a refuzului;
- cererile sunt acceptate pentru serviciu într-o ordine aleatorie în conformitate cu probabilitățile specificate;
6) disciplina la coada, i.e. un set de reguli conform cărora o solicitare dă preferință uneia sau altei cozi (dacă sunt mai multe) și se află în coada selectată. De exemplu, o cerere de intrare poate avea loc în cea mai scurtă coadă; în această coadă poate fi ultima localizată (o astfel de coadă se numește ordonată) sau poate merge la service în afara rândului său. Sunt posibile și alte opțiuni.

Modelarea prin simulare a sistemelor de aşteptare

Model - aceasta este orice imagine, analogă, mentală sau stabilită, imagine, descriere, diagramă, desen etc. a oricărui obiect, proces sau fenomen, care în procesul de cunoaștere (studiu) înlocuiește originalul, păstrând unele proprietăți tipice care sunt importante pentru acest studiu.
Modelarea este studiul unui obiect sau al unui sistem de obiecte prin construirea și studierea modelelor acestora. Și, de asemenea, aceasta este utilizarea modelelor pentru a determina sau a clarifica caracteristicile și a raționaliza metodele de construire a obiectelor nou construite.
Modelul este un instrument pentru studierea sistemelor complexe.
În general un sistem complex este prezentată ca o structură pe mai multe niveluri de elemente care interacționează combinate în subsisteme de diferite niveluri. Sistemele complexe includ sisteme informatice. Proiectarea unor astfel de sisteme complexe se realizează în două etape.

1 Design exterior

În această etapă, se selectează structura sistemului, elementele sale principale, se organizează interacțiunea dintre elemente, se ia în considerare influența mediului extern și se evaluează indicatorii de performanță ai sistemului.

2 Design intern - proiectarea elementelor individuale
sisteme

O metodă tipică pentru studierea sistemelor complexe în prima etapă este simularea lor pe computer.
Ca rezultat al modelării, se obțin dependențe care caracterizează influența structurii și parametrilor sistemului asupra eficienței, fiabilității și altor proprietăți. Aceste dependențe sunt folosite pentru a obține structura și parametrii optimi ai sistemului.
Se numește un model formulat în limbajul matematicii folosind metode matematice model matematic.
Modelarea prin simulare se caracterizează prin reproducerea fenomenelor descrise printr-un model matematic, păstrându-și în același timp structura logică și succesiunea alternanțelor în timp. Pentru estimarea cantităților necesare se poate folosi orice informație adecvată care circulă în model, atâta timp cât este disponibilă pentru înregistrare și prelucrare ulterioară.
Valorile necesare la studierea proceselor folosind metoda de simulare sunt de obicei determinate ca valori medii pe baza datelor dintr-un număr mare de implementări de proces. Dacă numărul realizărilor N folosit pentru estimarea cantităților necesare este suficient de mare, atunci, în virtutea legii numerelor mari, estimările rezultate capătă stabilitate statistică și pot fi acceptate ca valori aproximative ale cantităților căutate cu suficientă precizie pentru practică.
Esența metodei de simulare aplicată problemelor de coadă este următoarea. Se construiesc algoritmi
cu ajutorul cărora este posibil să se dezvolte implementări aleatorii ale fluxurilor date de evenimente omogene, precum și să se simuleze procesele de funcționare a sistemelor de servicii. Acești algoritmi sunt utilizați pentru a reproduce implementarea unui proces de serviciu aleatoriu de multe ori în condiții de problemă fixe. Informațiile obținute despre starea procesului sunt supuse unei prelucrări statistice pentru estimarea unor valori care sunt indicatori ai calității serviciului

3 Formarea implementărilor unui flux aleator de cereri

Atunci când se studiază sisteme complexe folosind modelarea prin simulare, se acordă o atenție semnificativă luării în considerare a factorilor aleatori.
Evenimentele aleatoare, variabilele aleatoare și procesele (funcțiile) aleatoare sunt folosite ca scheme matematice folosite pentru a formaliza acțiunea acestor factori. Formarea pe computer a implementărilor de obiecte aleatoare de orice natură se reduce la generarea și transformarea numerelor aleatoare. Să luăm în considerare o metodă de obținere a valorilor posibile ale variabilelor aleatoare cu o lege de distribuție dată. Pentru a forma valori posibile ale variabilelor aleatoare cu o lege de distribuție dată, materialul de plecare este variabilele aleatoare care au o distribuție uniformă în intervalul (0, 1). Cu alte cuvinte, valorile posibile xi ale unei variabile aleatoare £, care are o distribuție uniformă în intervalul (0, 1), pot fi transformate în valori posibile yi ale unei variabile aleatoare r), legea distribuției a care este dat. Metoda de transformare constă în selectarea unor numere aleatorii dintr-o populație uniform distribuită care îndeplinesc o anumită condiție în așa fel încât numerele selectate să se supună unei legi de distribuție date.
Să presupunem că este necesar să se obțină o succesiune de numere aleatoare yi având o funcție de densitate 1^(y). Dacă domeniul de definire al funcției f^y) nu este limitat pe una sau ambele părți, este necesar să mergem la distribuția trunchiată corespunzătoare. Fie intervalul de valori posibile pentru distribuția trunchiată (a, b).
Din variabila aleatoare r) corespunzătoare funcției de densitate f ^ y), trecem la f.
Valoare aleatoare Kommersant, va avea un interval de valori posibile (0, 1) și o funcție de densitate f ^(z) dată de expresie.
Fie valoarea maximă a lui f^(z) egală cu f m . Să definim distribuții uniforme în intervalele (0, 1) ale numerelor aleatoare x 2 i-1 și x 2 i. Procedura de obținere a unei secvențe yi de numere aleatoare având o funcție de densitate ^(y) se reduce la următoarea:
1) perechile de numere aleatoare x2i-1 sunt selectate din populația inițială,
2) pentru aceste numere se verifică validitatea inegalității
x 21<-- ^[а + (Ъ-а)х 2М ] (3)
m
3) dacă inegalitatea (3) este satisfăcută, atunci următorul număr yi este determinat din relație
yi =a + (b-a)x 21 (4)
La modelarea proceselor de servicii, apare necesitatea de a genera implementări ale unui flux aleator de evenimente omogene (cereri). Fiecare eveniment de flux este caracterizat de momentul de timp tj la care are loc. Pentru a descrie un flux aleator de evenimente omogene ca un proces aleatoriu, este suficient să specificam o lege de distribuție care caracterizează succesiunea de variabile aleatoare tj. Pentru a obține o realizare a unui flux de evenimente omogene t1, t2..., tk, este necesar să se genereze o realizare z b z 2 ,...,zk a unui vector aleator k-dimensional ££2,... , Sk și calculați valorile ti în conformitate cu următoarele relații:
t2 =
Fie specificat un flux ordinar staționar cu efect secundar limitat de funcția de densitate f(z). În conformitate cu formula Palm (6), găsim funcția de densitate f1(z1) pentru primul interval z1.
1-Jf(u)du
Acum puteți genera un număr aleator z b așa cum se arată mai sus, corespunzător funcției de densitate f1(z1), și să obțineți momentul apariției primei cereri t1 = z1. În continuare, formăm o serie de numere aleatoare corespunzătoare funcției de densitate f(z), iar folosind relația (4) calculăm valorile lui t2, t3,.., tk.
4 Prelucrarea rezultatelor simulării
La implementarea algoritmilor de modelare pe un computer, sunt generate informații despre stările sistemului studiat. Aceste informații sunt materialul sursă pentru determinarea valorilor aproximative ale cantităților dorite sau, după cum se spune, estimări pentru cantitățile dorite.
Estimarea probabilității pentru evenimentul A este calculată folosind formula
p(A) = mN. (7)
Estimarea mediei x a unei variabile aleatoare Kommersant, calculat de
formulă
_ 1n
k =1
Estimarea S2 pentru varianța variabilei aleatoare ^ se calculează folosind formula
1 N 1 ( N L 2
S2 =1 DA xk 2-5>J (9)
Estimarea momentului de corelare K^ pentru variabile aleatoare Kommersant,Și ts cu valori posibile x k și respectiv y k, se calculează prin formula
1 N 1 NN
Y> [ Wow

5 Exemplu de modelare QS
Luați în considerare următorul sistem:
1 Cerințele ajung la momente aleatorii, cu
intervalul de timp Q dintre oricare două cereri consecutive are o lege exponențială cu parametrul eu, adică funcția de distribuție are forma
>0. (11) Sistemul de service este format din dispozitive identice, numerotate.
3 Timpul T despre bsl - o variabilă aleatoare cu o lege de distribuție uniformă pe segment.
4 Sistem fără așteptare, de ex. o solicitare care găsește toate dispozitivele ocupate părăsește sistemul.
5 Disciplina de serviciu este următoarea: dacă în momentul sosirii celei de-a k-a solicitări primul server este liber, atunci acesta începe să deservească cererea; dacă acest dispozitiv este ocupat și al doilea este liber, atunci cererea este deservită de al doilea dispozitiv etc.
Este necesar să se estimeze așteptările matematice ale numărului de cereri deservite de sistem în timpul T și respinse.
Pentru momentul inițial de calcul alegem momentul sosirii primei cereri T1=0. Introducem urmatoarea notatie: Tk este momentul sosirii celei de-a k-a solicitare; ti este momentul finalizării deservirii cererii de către i-lea dispozitiv, i=1, 2, 3, ...,s.
Să presupunem că la momentul T 1 toate dispozitivele sunt libere.
Prima cerere vine la dispozitivul 1. Timpul de serviciu pentru acest dispozitiv are o distribuție uniformă pe segmentul . Prin urmare, găsim valoarea specifică a tobsl pentru acest timp folosind formula
(12)
unde r este valoarea variabilei aleatoare R, distribuită uniform pe segment. Dispozitivul 1 va fi ocupat timp de aproximativ bsl. Prin urmare, momentul de timp t 1 al sfârșitului deservirii cererii de către dispozitivul 1 trebuie considerat egal cu: t 1 = T1+ t o bsl.
Apoi ar trebui să adăugați una la ghișeul de solicitări difuzate și să continuați să luați în considerare următoarea solicitare.
Să presupunem că au fost deja luate în considerare k cerințe. Să determinăm momentul T k+1 de sosire a cererii (k+1). Pentru aceasta, găsim valoarea t a intervalului de timp dintre cerințe succesive. Deoarece acest interval are o lege exponențială, atunci
12
x = - În r (13)
| Ll
unde r este următoarea valoare a variabilei aleatoare R. Atunci momentul sosirii celei de-a (k+1)-a cereri: T k +1 = Tk+ T.
Primul dispozitiv este gratuit în acest moment? Pentru a răspunde la această întrebare trebuie să verificați starea ti< Tk + i - Если это условие выполнено, то к моменту Т k +1 первый прибор освободился и может обслуживать требование. В этом случае t 1 заменяем на (Т k +1 + t обсл), добавляем единицу в счетчик об служенных требований и переходим к следующему требованию. Если t 1>T k +1, atunci primul dispozitiv în momentul de față T k +1 este ocupat. În acest caz, verificăm dacă al doilea dispozitiv este liber. Dacă starea i 2< Tk + i выполнено, заменяем t2 на (Т k +1+ t о бсл), добавляем единицу в счетчик обслуженных требований и переходим к следующему требованию. Если t 2>Т k +1, apoi verificăm condiția 1з<Тк+1 и т. д. Eсли при всех i от 1 до s имеет ti >T k +1, atunci în acest moment T k +1 toate dispozitivele sunt ocupate. În acest caz, adăugăm unul la contorul de defecțiuni și trecem la luarea în considerare a următoarei cerințe. De fiecare dată, după ce s-a calculat Tk +1, este necesar să se verifice condiția de sfârșit a implementării: Tk + i< T . Если это условие выполнено, то одна реализация процесса функционирования системы воспроизведена и испыта ние заканчивается. В счетчике обслуженных требований и в счетчике отказов находятся числа n обсл и n отк.
Repetând un astfel de test de n ori (folosind r diferit) și făcând media rezultatelor experimentale, determinăm estimări ale așteptărilor matematice ale numărului de cereri servite și ale numărului de cereri respinse:
(14)
(Ji
n j =1
unde (n obsl) j și (n otk) j sunt valorile lui n obsl și n otk în al j-lea experiment.
13

Lista surselor utilizate
1 Emelyanov A.A. Modelarea prin simulare a proceselor economice [Text]: Manual. manual pentru universități / A.A. Emelyanov, E.A. Vlasova, R.V. Gând. - M.: Finanțe și Statistică, 2002. - 368 p.
2 Buslenko, N.P. Modelarea sistemelor complexe [Text]/ N.P. Buslenko.- M.: Nauka, 1978. - 399 p.
3 sovietici B.Ya. Modelarea sistemelor [Text]: Manual. pentru universități / B.Ya. Sovetov, S.A. Yakovlev. -M. : Mai sus şcoală, 1985. - 271 p.
4 sovietici B.Ya. Modelarea sistemelor [Text]: Lucrări practice de laborator: Proc. manual pentru universitățile din specialitatea: „Sistem automat de prelucrare și control a informațiilor”. / B.Ya. Sovetov, S.A. Yakovlev. -M. : Mai sus şcoală, 1989. - 80 p.
5 Maksimey I.V. Modelare prin simulare pe computer [Text]/ Maksimey, I.V. -M: RADIO ŞI COMUNICARE, 1988. - 231 p.
6 Ventzel E.S. Teoria probabilității [Text]: manual. pentru universități / E.S. Golul de aerisire.- M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 575 p.
7 Gmurman, V.E. Teoria probabilității și statistică matematică [Text]: manual. indemnizatie / V.E. Gmurman.- M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 479 p.
Anexa A
(necesar)
Subiecte aproximative de calcul și lucrări grafice
1 Există un singur medic care lucrează la camera de urgență. Durata tratamentului pacientului
iar intervalele de timp dintre internarea pacienţilor sunt variabile aleatorii distribuite conform legii Poisson. În funcție de severitatea leziunilor, pacienții sunt împărțiți în trei categorii; admiterea unui pacient de orice categorie este un eveniment aleatoriu cu o distribuție la fel de probabilă. Medicul se ocupă mai întâi de pacienții cu leziuni cele mai grave (în ordinea internării), apoi, dacă nu există, de pacienți de severitate moderată și abia apoi de pacienți cu leziuni ușoare. Modelați procesul și estimați timpii medii de așteptare în coadă pentru pacienții din fiecare categorie.
2 Flota autovehiculelor orașului are două zone de reparații. Primul servește reparații de scurtă și medie durată, al doilea - mediu și lung. Pe măsură ce apar avariile, vehiculele sunt livrate flotei; intervalul de timp dintre livrări este o variabilă aleatorie Poisson. Durata reparației este o variabilă aleatorie cu o lege de distribuție normală. Modelați sistemul descris. Estimați timpii medii de așteptare la coadă pentru vehiculele care necesită reparații pe termen scurt, pe termen mediu și, respectiv, pe termen lung.
3 Un minimarket cu un controler-casier deservește clienții al căror flux de intrare respectă legea lui Poisson cu un parametru de 20 de clienți/oră. Efectuați o simulare a procesului descris și determinați probabilitatea de oprire a controlorului - casier, lungimea cozii, numărul mediu de clienți în mini-market, timpul mediu de așteptare pentru serviciu, timpul mediu al clienților în minimarketul și evaluează activitatea acestuia.
4 ATS primește cereri pentru apeluri la distanță lungă. Fluxul de clienți este Poisson. În medie, se primesc 13 cereri pe oră. Găsiți numărul mediu de cereri primite pe zi, timpul mediu dintre apariția cererilor. O centrală telefonică se confruntă cu defecțiuni dacă primește mai mult de 50 de solicitări într-o jumătate de oră. Găsiți probabilitatea unei defecțiuni a stației.
5 Serviciul primește cel mai simplu
cereri curente cu o intensitate de 1 autoturism la 2 ore.Nu pot fi mai mult de 3 autoturisme la coada din curte. Timpul mediu de reparație este de 2 ore. Evaluați performanța CMO și elaborați recomandări pentru îmbunătățirea serviciului.
6 Un țesător deservește un grup de războaie, efectuând intervenții pe termen scurt după caz, a căror durată este o variabilă aleatorie. Simulați situația descrisă. Care este probabilitatea de oprire a două mașini simultan? Cât este timpul mediu de nefuncționare a unei mașini?
7 La o centrală telefonică la distanță lungă, doi operatori de telefonie deservesc o coadă comună de comenzi. Următoarea comandă este servită de operatorul de telefonie care a fost primul care a devenit disponibil. Dacă ambii sunt ocupați în momentul primirii comenzii, apelul va fi anulat. Modelați procesul, considerând că fluxurile de intrare sunt Poisson.
8 Sunt doi medici care lucrează la camera de urgență. Durata tratamentului este dureroasă
iar intervalele de timp dintre internările pacienţilor sunt variabile aleatorii distribuite conform legii Poisson. În funcție de severitatea leziunilor, pacienții sunt împărțiți în trei categorii; admiterea unui pacient de orice categorie este un eveniment aleatoriu cu o distribuție la fel de probabilă. Medicul se ocupă mai întâi de pacienții cu leziuni cele mai grave (în ordinea internării), apoi, dacă nu există, de pacienți de severitate moderată și abia apoi de pacienți cu leziuni ușoare. Modelați procesul și estimați timpii medii de așteptare în coadă pentru pacienții din fiecare categorie.
9 La centrala telefonică de lungă distanță au deservit doi operatori de telefonie
creați o coadă generală de comenzi. Următoarea comandă este servită de acel operator de telefonie,
care a fost prima care s-a eliberat. Dacă ambii sunt ocupați în momentul sosirii comenzii, se formează o coadă. Modelați procesul, considerând că fluxurile de intrare sunt Poisson.
10 Într-un sistem de transmisie de date, pachetele de date sunt schimbate între nodurile A și B pe un canal de comunicație duplex. Pachetele ajung la punctele sistemului de la abonați cu intervale de timp între ei de 10 ± 3 ms. Transmisia pachetului durează 10 ms. Punctele au registre tampon care pot stoca două pachete, inclusiv pe cel transmis. Dacă un pachet sosește când registrele sunt ocupate, punctele de sistem au acces la o linie de comunicație prin satelit half-duplex, care transmite pachete de date în 10 ± 5 ms. Când linia de satelit este ocupată, pachetul este respins. Modelați schimbul de informații într-un sistem de transmisie de date timp de 1 minut. Determinați frecvența apelurilor către linia de satelit și încărcarea acesteia. În cazul unor posibile defecțiuni, determinați volumul de registre tampon necesare pentru funcționarea fără defecțiuni a sistemului.
11 Lăsați sistemul obișnuit să fie utilizat la o centrală telefonică cu o singură intrare: dacă abonatul este ocupat, atunci coada nu este formată și trebuie să apelați din nou. Simulați situația: trei abonați încearcă să sune același proprietar de număr și, dacă reușesc, vorbesc cu el pentru o perioadă (aleatorie ca durată). Care este probabilitatea ca cineva care încearcă să sune să nu poată face acest lucru într-un anumit timp T.
12 O societate comercială intenționează să onoreze comenzile pentru achiziționarea de bunuri prin telefon, pentru care este necesară instalarea unui mini-PBX corespunzător cu mai multe aparate telefonice. Dacă o comandă sosește când toate liniile sunt ocupate, clientul este refuzat. Dacă în momentul primirii unei apariții cel puțin o linie este liberă, atunci se trece la această linie și se plasează o comandă. Intensitatea fluxului de aplicații de intrare este de 30 de comenzi pe oră. Timpul mediu de procesare a cererii este de 5 minute. Determinați numărul optim de canale de servicii pentru a asigura funcționarea staționară a QS.
13 Magazinul cu autoservire are 6 controlori - casierii. Fluxul de intrare de clienți respectă legea lui Poisson cu o intensitate de 120 de persoane/oră. Un casier poate servi 40 de persoane pe oră. Determinați probabilitatea ca un casier să fie inactiv, numărul mediu de clienți în coadă, timpul mediu de așteptare, numărul mediu de casiere ocupate. Evaluați activitatea QS.
14 Un magazin cu autoservire primește un flux Poisson cu o intensitate de 200 de clienți pe oră. În timpul zilei, acestea sunt deservite de 3 controlori de casierie cu o intensitate de 90 de clienți pe oră. Intensitatea fluxului de clienți de intrare în orele de vârf crește la 400 de clienți pe oră, iar în orele de slump ajunge la 100 de clienți pe oră. Determinați probabilitatea formării unei cozi în magazin și lungimea medie a cozii în timpul zilei, precum și numărul necesar de casiere în orele de vârf și în afara orelor de vârf, asigurând aceeași lungime a cozii și probabilitatea formării acesteia. ca în modul nominal.
15 Numărul mediu de clienți care sosesc la centrul de plată într-un magazin cu autoservire este de 100 de persoane/oră. O casieră poate deservi 60 de persoane pe oră. Modelați procesul și determinați de câte casiere sunt necesare pentru a vă asigura că probabilitatea unei cozi nu depășește 0,6.
16 Simulați o coadă într-un magazin cu un vânzător conform legilor equiprobabile ale distribuției variabilelor aleatoare: sosirea clienților și durata serviciului (cu un set fix de parametri). Obțineți caracteristici stabile: valori medii de așteptare la coadă de către cumpărător și timpul de inactivitate al vânzătorului în așteptarea sosirii cumpărătorilor. Evaluați fiabilitatea acestora.
17 Simulați o coadă într-un magazin cu un vânzător în conformitate cu legile Poisson de distribuție a variabilelor aleatoare: sosirea clienților și durata serviciului (cu un set fix de parametri). Obțineți caracteristici stabile: valori medii de așteptare la coadă de către cumpărător și timpul de inactivitate al vânzătorului în așteptarea sosirii cumpărătorilor. Evaluați fiabilitatea acestora.
18 Creați un model al unei benzinării. Găsiți indicatori de calitate ai serviciului de bilete. Determinați numărul de contoare, astfel încât coada să nu crească.
19 Numărul mediu de clienți care sosesc la centrul de plată al unui magazin cu autoservire este de 60 de persoane pe oră. O casierie poate deservi 35 de persoane pe oră. Modelați procesul și determinați de câte casiere sunt necesare pentru a vă asigura că probabilitatea unei cozi nu depășește 0,6.
20 Elaborați un model al unei rute de autobuz cu n stații. Determinați indicatorii de performanță pentru utilizarea QS.

Cercetarea analitică a sistemelor de așteptare (QS) este o alternativă de abordare la modelarea prin simulare și constă în obținerea de formule pentru calcularea parametrilor de ieșire ai QS și apoi înlocuirea valorilor argumentelor în aceste formule în fiecare experiment individual.

Modelele QS iau în considerare următoarele obiecte:

1) cereri de servicii (tranzacții);

2) dispozitive de serviciu (OA) sau dispozitive.

Sarcina practică a teoriei cozilor de așteptare este asociată cu studiul operațiilor efectuate de aceste obiecte și constă din elemente individuale care sunt influențate de factori aleatori.

Exemple de probleme luate în considerare în teoria cozilor de așteptare includ: potrivirea capacității unei surse de mesaje cu un canal de transmisie a datelor, analiza fluxului optim de transport urban, calcularea capacității unei săli de așteptare pentru pasageri dintr-un aeroport etc.

O solicitare poate fi fie într-o stare de serviciu, fie într-o stare de serviciu în așteptare.

Dispozitivul de service poate fi fie ocupat cu service, fie liber.

Starea QS este caracterizată de un set de stări ale dispozitivelor de service și solicitări. O schimbare de stare într-un QS se numește eveniment.

Modelele QS sunt folosite pentru a studia procesele care au loc în sistem atunci când fluxurile de cereri sunt transmise intrărilor. Aceste procese sunt o succesiune de evenimente.

Cei mai importanți parametri de ieșire ai QS

Performanţă

Lățimea de bandă

Probabilitatea refuzului serviciului

Durata medie de service;

Factorul de sarcină al echipamentului (OA).

Aplicațiile pot fi comenzi pentru producția de produse, probleme rezolvate într-un sistem informatic, clienți în bănci, mărfuri primite pentru transport etc. Evident, parametrii aplicațiilor care intră în sistem sunt variabile aleatorii iar în timpul cercetării sau proiectării doar legile lor de distribuție. .

În acest sens, analiza funcționării la nivel de sistem este, de regulă, de natură statistică. Este convenabil să se adopte teoria coadă ca un aparat de modelare matematică și să se utilizeze sistemele de așteptare ca modele de sisteme la acest nivel.

Cele mai simple modele de QS

În cel mai simplu caz, QS-ul este un dispozitiv numit service aparat (SA), cu cozi de solicitări la intrări.

MODEL DE SERVICIU CLIENȚI (Fig. 5.1)

Orez. 5.1. Model QS cu defecțiuni:

0 – sursa cererilor;

1 – dispozitiv de service;

A– fluxul de intrare al cererilor de serviciu;

V– fluxul de ieșire al cererilor servite;

Cu– fluxul de ieșire al cererilor neprocesate.

În acest model, nu există un acumulator de cerere la intrarea OA. Dacă o solicitare sosește de la sursa 0 într-un moment în care OA este ocupat cu deservirea cererii anterioare, atunci cererea nou sosită părăsește sistemul (din moment ce i se refuză serviciul) și se pierde (flux Cu).

M o d e l d e p o r m e n t i n e (Fig. 5.2)

Orez. 5.2. Model QS cu așteptări

(N– 1) – numărul de aplicații care pot încăpea în depozit

În acest model există un acumulator de cerere la intrarea OA. Dacă o solicitare sosește de la sursa 0 într-un moment în care OA este ocupat cu deservirea cererii anterioare, atunci cererea nou sosită ajunge în unitatea de stocare, unde așteaptă o perioadă nedefinită de timp până când OA devine liberă.

MODEL DE SERVICE CU TIMP LIMITAT

o w i d a n i a (Fig. 5.3)

Orez. 5.4. Model QS multicanal cu defecțiuni:

n– numărul de dispozitive de serviciu (dispozitive) identice

În acest model nu există un singur OA, ci mai multe. Aplicațiile, cu excepția cazului în care este specificat în mod specific, pot fi depuse la orice OA fără serviciu. Nu există un dispozitiv de stocare, așa că acest model include proprietățile modelului prezentat în Fig. 5.1: refuzul de a deservi o aplicație înseamnă pierderea irecuperabilă a acesteia (acest lucru are loc numai dacă, la momentul sosirii acestei aplicații, Toate OA sunt ocupate).

Timp de așteptare (Fig. 5.5)

Orez. 5.6. Model multicanal de SMO cu așteptări și restabilire a OA:

e– dispozitive de service care sunt nefuncționale;

f– echipamente de service recondiționate

Acest model are proprietățile modelelor prezentate în Fig. 5.2 și 5.4 și, în plus, proprietăți care fac posibilă luarea în considerare a posibilelor defecțiuni aleatorii ale OA, care în acest caz ajung la unitatea de reparații 2, unde rămân pentru perioade aleatorii de timp petrecute la restaurarea lor, iar apoi revin din nou la unitatea de service 1.

MODEL MULTI-CANALE DE SMO CU LIMITATE

TIMPUL DE ASTEPTARE SI RECUPERAREA OA (Fig. 5.7)

Orez. 5.7. Model QS multicanal cu latență limitată și recuperare OA

Acest model este destul de complex, deoarece ia în considerare simultan proprietățile a două modele nu foarte simple (Fig. 5.5 și 5.6).