Acest calculator de matematică online vă va ajuta dacă aveți nevoie de el calculați limita unei funcții. Program limite de soluție nu numai că oferă răspunsul problemei, ci conduce solutie detaliata cu explicatii, adică afișează procesul de calcul al limitei.
Acest program poate fi util pentru elevii de liceu scoala secundaraîn pregătirea pentru teste și examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi manuale noi? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.
În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.
Introduceți o expresie de funcțieCalculați limita
S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.
Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...
daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.
Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:
Puțină teorie.
Limita funcției la x->x 0
Fie ca funcția f(x) să fie definită pe o mulțime X și să fie punctul \(x_0 \in X\) sau \(x_0 \notin X\)
Să luăm de la X o secvență de puncte diferită de x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
convergând spre x*. Valorile funcției în punctele acestei secvențe formează, de asemenea, o secvență numerică
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
şi se poate pune problema existenţei limitei sale.
Definiție. Numărul A se numește limita funcției f(x) în punctul x = x 0 (sau la x -> x 0), dacă pentru orice succesiune (1) de valori ale argumentului x diferă de x 0 convergând la x 0, funcția de succesiune corespunzătoare (2) de valori converge către numărul A.
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
Funcția f(x) poate avea o singură limită în punctul x 0. Aceasta rezultă din faptul că secvența
(f(x n)) are o singură limită.
Există o altă definiție a limitei unei funcții.
Definiție Numărul A se numește limita funcției f(x) în punctul x = x 0 dacă pentru orice număr \(\varepsilon > 0\) există un număr \(\delta > 0\) astfel încât pentru toate \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), satisfăcând inegalitatea \(|x-x_0| Folosind simboluri logice, această definiție poate fi scrisă ca
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Rețineți că inegalitățile \(x \neq x_0) , \; |x-x_0| Prima definiție se bazează pe conceptul de limită a unei secvențe de numere, deci este adesea numită definiția „în limbajul secvențelor”. A doua definiție se numește definiția „în limbajul”. \(\varepsilon - \delta \)”.
Aceste două definiții ale limitei unei funcții sunt echivalente și puteți folosi oricare dintre ele în funcție de care este mai convenabil pentru rezolvarea unei anumite probleme.
Rețineți că definiția limitei unei funcții „în limbajul secvențelor” se mai numește și definiția limitei unei funcții conform Heine, iar definiția limitei unei funcții „în limbajul \(\varepsilon - \delta \)” se mai numește și definiția limitei unei funcții după Cauchy.
Limita funcției la x->x 0 - și la x->x 0 +
În cele ce urmează, vom folosi conceptele de limite unilaterale ale unei funcții, care sunt definite după cum urmează.
Definiție Numărul A se numește limita din dreapta (stânga) a funcției f(x) în punctul x 0 dacă pentru orice succesiune (1) care converge către x 0, ale cărei elemente x n sunt mai mari (mai mici decât) x 0, secvența corespunzătoare (2) converge către A.
Simbolic este scris astfel:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$
Putem da o definiție echivalentă a limitelor unilaterale ale unei funcții „în limbajul \(\varepsilon - \delta \)”:
Definiție un număr A se numește limita dreaptă (stânga) a funcției f(x) în punctul x 0 dacă pentru orice \(\varepsilon > 0\) există o \(\delta > 0\) astfel încât pentru toate x satisfacerea inegalităților \(x_0 Intrări simbolice:
În acest subiect vom analiza formulele care pot fi obținute folosind a doua limita minunata(este localizat un subiect dedicat direct celei de-a doua limite remarcabile). Permiteți-mi să reamintesc două formulări ale celei de-a doua limite remarcabile care vor fi necesare în această secțiune: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e$ și $\lim_(x \la\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.
De obicei, prezint formule fără dovezi, dar pentru această pagină cred că voi face o excepție. Ideea este că dovada consecințelor celei de-a doua limite remarcabile conține câteva tehnici care sunt utile în rezolvarea directă a problemelor. Ei bine, în general, este indicat să știți cum se dovedește cutare sau cutare formulă. Acest lucru ne permite să înțelegem mai bine structura interna, precum și limitele de aplicabilitate. Dar din moment ce dovezile ar putea să nu fie de interes pentru toți cititorii, le voi ascunde sub notele situate după fiecare consecință.
Corolarul #1
\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(equation)Dovada corolarului nr. 1: show\hide
Deoarece la $x\to 0$ avem $\ln(1+x)\to 0$, atunci în limita luată în considerare există o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. Pentru a dezvălui această incertitudine, să prezentăm expresia $\frac(\ln(1+x))(x)$ în următoarea formă: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$ . Acum să factorăm $\frac(1)(x)$ în puterea expresiei $(1+x)$ și să aplicăm a doua limită remarcabilă:
$$ \lim_(x\la\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\la\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ la\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$
Încă o dată avem incertitudinea formei $\frac(0)(0)$. Ne vom baza pe formula pe care am dovedit-o deja. Deoarece $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, atunci $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.
$$ \lim_(x\la\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$
Corolarul #2
\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(equation)Dovada corolarului nr. 2: show\hide
Deoarece la $x\to 0$ avem $e^x-1\to 0$, atunci în limita luată în considerare există o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. Pentru a dezvălui această incertitudine, să schimbăm variabila, notând $t=e^x-1$. De la $x\la 0$, atunci $t\la 0$. În continuare, din formula $t=e^x-1$ obținem: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.
$$ \lim_(x\la\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\left | \begin(aligned) & t=e^x-1;\; t\la 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (aliniat) \right|= \lim_(t\la 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\la 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$
Încă o dată avem incertitudinea formei $\frac(0)(0)$. Ne vom baza pe formula pe care am dovedit-o deja. Deoarece $a^x=e^(x\ln a)$, atunci:
$$ \lim_(x\la\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$
Corolarul #3
\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(equation)Dovada corolarului nr. 3: show\hide
Încă o dată avem de-a face cu incertitudinea de forma $\frac(0)(0)$. Deoarece $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, obținem:
$$ \lim_(x\la\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$
Exemplul nr. 1
Calculați limita $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.
Avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. Pentru a dezvălui această incertitudine, vom folosi formula. Pentru a ne potrivi limita acestei formule, ar trebui să avem în vedere că expresiile în puterea lui $e$ și în numitor trebuie să coincidă. Cu alte cuvinte, nu există loc pentru sinus în numitor. Numitorul ar trebui să fie $9x$. În plus, soluția acestui exemplu va folosi prima limită remarcabilă.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ spre\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$
Răspuns: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.
Exemplul nr. 2
Calculați limita $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.
Avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$ (să vă reamintesc că $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Pentru a dezvălui această incertitudine, vom folosi formula. Mai întâi, să luăm în considerare faptul că $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (vezi tipărirea funcțiilor trigonometrice). Acum $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, deci la numitor ar trebui să obținem expresia $-2\sin^2 \ frac(x )(2)$ (pentru a se potrivi exemplul nostru cu formula). În soluția ulterioară, se va folosi prima limită remarcabilă.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\la\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\la\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\la\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$
Răspuns: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.
Dovada:
Să demonstrăm mai întâi teorema pentru cazul șirului 
Conform formulei binomiale a lui Newton:
Presupunând că primim
Din această egalitate (1) rezultă că pe măsură ce n crește, numărul de termeni pozitivi din partea dreaptă crește. În plus, pe măsură ce n crește, numărul scade, deci valorile 
cresc. Prin urmare, succesiunea 
crescând și (2)*Arătăm că este mărginit. Înlocuiți fiecare paranteză din partea dreaptă a egalității cu una, partea dreaptă va crește și obținem inegalitatea
Să întărim inegalitatea rezultată, înlocuim 3,4,5, ..., stând în numitorii fracțiilor, cu numărul 2: Găsim suma între paranteze folosind formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice: Prin urmare 
(3)*
Deci, șirul este mărginit de sus și inegalitățile (2) și (3) sunt satisfăcute: 
Prin urmare, pe baza teoremei Weierstrass (criteriul de convergență a unei secvențe), secvența 
crește monoton și este limitat, ceea ce înseamnă că are o limită, notată cu litera e. Acestea. 
Știind că a doua limită remarcabilă este adevărată pentru valorile naturale ale lui x, demonstrăm a doua limită remarcabilă pentru x real, adică demonstrăm că 
. Să luăm în considerare două cazuri:
1. Fie fiecare valoare a lui x inclusă între două numere întregi pozitive: ,unde este partea întreagă a lui x. => =>
Dacă , atunci Prin urmare, în funcție de limită 
Avem
Pe baza criteriului (despre limita unei funcţii intermediare) al existenţei limitelor 
2. Fie . Să facem înlocuirea − x = t, atunci
Din aceste două cazuri rezultă că 
pentru x real.
Consecințe:
9 .) Comparația infinitezimale. Teorema privind înlocuirea infinitezimalelor cu altele echivalente în limită și teorema privind partea principală a infinitezimalelor.
Fie funcțiile a( X) și b( X) – b.m. la X ® X 0 .
DEFINIȚII.
1)a( X) numit infinitezimal de ordin superior b (X) Dacă
Scrieți: a( X) = o(b( X)) .
2)a( X) Și b( X)sunt numite infinitezimale de același ordin, Dacă
unde CÎℝ și C¹ 0 .
Scrieți: a( X) = O(b( X)) .
3)a( X) Și b( X) sunt numite echivalent , Dacă
Scrieți: a( X) ~ b( X).
4)a( X) numit la infinit comanda mica k relativă
absolut infinitezimal b( X),
dacă infinitezimal A( X)Și(b( X))k au aceeași ordine, adică Dacă
unde CÎℝ și C¹ 0 .
TEOREMA 6 (despre înlocuirea infinitezimalelor cu altele echivalente).
Lăsa A( X), b( X), a 1 ( X), b 1 ( X)– b.m. la x ® X 0 . Dacă A( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X),
Acea 
Dovada: fie a( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X), Apoi
TEOREMA 7 (despre partea principală a infinitezimalului).
Lăsa A( X)Și b( X)– b.m. la x ® X 0 , și b( X)– b.m. ordin mai mare decât A( X).
= , a deoarece b( X) – ordin mai mare decât a( X), atunci, i.e. 
din este clar că un( X) + b( X) ~ a( X)
10) Continuitatea unei funcții într-un punct (în limbajul epsilon-delta, limite geometrice) Continuitate unilaterală. Continuitate pe un interval, pe un segment. Proprietățile funcțiilor continue.
1. Definiții de bază
Lăsa f(X) este definită într-o vecinătate a punctului X 0 .
DEFINIȚIA 1. Funcția f(X) numit continuu la un punct X 0 dacă egalitatea este adevărată
Note.
1) În virtutea teoremei 5 §3, egalitatea (1) se poate scrie sub forma
Condiție (2) - definirea continuității unei funcții într-un punct în limbajul limitelor unilaterale.
2) Egalitatea (1) poate fi scrisă și ca:
Ei spun: „dacă o funcție este continuă într-un punct X 0, atunci semnul limitei și funcția pot fi schimbate."
DEFINIȚIA 2 (în limbajul e-d).
Funcția f(X) numit continuu la un punct X 0 Dacă„e>0 $d>0 astfel de, Ce
dacă xОU( X 0, d) (adică | X – X 0 | < d),
apoi f(X)ÎU( f(X 0), e) (adică | f(X) – f(X 0) | < e).
Lăsa X, X 0 Î D(f) (X 0 – fix, X - arbitrar)
Să notăm: D X= x – x 0 – increment de argument
D f(X 0) = f(X) – f(X 0) – creșterea funcției la punctulx 0
DEFINIȚIA 3 (geometrică).
Funcția f(X) pe numit continuu la un punct
X 0
dacă în acest moment un increment infinitezimal în argument îi corespunde unui increment infinitezimal în funcție, adică
Lasă funcția f(X) este definită pe intervalul [ X 0 ; X 0 + d) (pe intervalul ( X 0 – d; X 0 ]).
DEFINIȚIE. Funcția f(X) numit continuu la un punct
X 0 pe dreapta
(stânga
), dacă egalitatea este adevărată
Este evident că f(X) este continuă la punct X 0 Û f(X) este continuă la punct X 0 dreapta si stanga.
DEFINIȚIE. Funcția f(X) numit continuu pentru un interval e ( A; b) dacă este continuă în fiecare punct al acestui interval.
Funcția f(X) se numeste continuu pe segment [A; b] dacă este continuă pe interval (A; b) și are continuitate unidirecțională la punctele de limită(adică continuu la punctul A pe dreapta, la punct b- stânga).
11) Puncte de break, clasificarea lor
DEFINIȚIE. Dacă funcția f(X) definit într-o vecinătate a punctului x 0 , dar nu este continuă în acest moment, atunci f(X) numită discontinuă în punctul x 0 , și punctul în sine X 0 numit punct de întrerupere funcții f(X) .
Note.
1) f(X) poate fi definită într-o vecinătate incompletă a punctului X 0 .
Apoi luați în considerare continuitatea unilaterală corespunzătoare a funcției.
2) Din definiția punctului Þ X 0 este punctul de întrerupere al funcției f(X) în două cazuri:
a) U( X 0, d)О D(f) , dar pentru f(X) egalitatea nu este valabilă
b) U * ( X 0, d)О D(f) .
Pentru functii elementare numai cazul b) este posibil.
Lăsa X 0 – punctul de întrerupere a funcției f(X) .
DEFINIȚIE. Punctul x 0 numit punct de rupere eu un fel de dacă funcția f(X)are limite finite în stânga și în dreapta în acest moment.
Dacă aceste limite sunt egale, atunci punctul x 0 numit punct de rupere detașabil , in caz contrar - punct de salt .
DEFINIȚIE. Punctul x 0 numit punct de rupere II un fel de dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției f(X)în acest moment este egal¥ sau nu exista.
12) Proprietăți ale funcțiilor continue pe un interval (teoreme ale lui Weierstrass (fără dovezi) și Cauchy
teorema lui Weierstrass
Fie funcția f(x) continuă pe interval, atunci
1)f(x) este limitat la
2)f(x) ia cea mai mică valoare pe intervalul și cea mai mare valoare
Definiție: Valoarea funcției m=f se numește cea mai mică dacă m≤f(x) pentru orice x€ D(f).
Se spune că valoarea funcției m=f este cea mai mare dacă m≥f(x) pentru orice x € D(f).
Funcția poate lua cea mai mică/mai mare valoare în mai multe puncte ale segmentului.
f(x 3)=f(x 4)=max
teorema lui Cauchy.
Fie funcția f(x) continuă pe segment și x să fie numărul conținut între f(a) și f(b), atunci există cel puțin un punct x 0 € astfel încât f(x 0)= g
Acum, cu sufletul calm, să trecem la considerare limite minunate.
se pare ca .
În locul variabilei x poate exista diverse funcții, principalul lucru este că au tendința de a fi 0.
Este necesar să se calculeze limita
După cum puteți vedea, această limită este foarte asemănătoare cu prima remarcabilă, dar acest lucru nu este în întregime adevărat. În general, dacă observați păcat în limită, atunci ar trebui să vă gândiți imediat dacă este posibil să folosiți prima limită remarcabilă.
Conform regulii noastre nr. 1, înlocuim zero în loc de x:
Primim incertitudine.
Acum să încercăm să organizăm singuri prima limită minunată. Pentru a face acest lucru, să facem o combinație simplă:
Deci, organizăm numărătorul și numitorul pentru a evidenția 7x. Acum a apărut deja limita remarcabilă familiară. Este recomandabil să o evidențiați atunci când decideți:
Să înlocuim soluția primei exemplu minunat si obtinem:
Simplificarea fracției:
Raspuns: 7/3.
După cum puteți vedea, totul este foarte simplu.
Se pare ca 
, unde e = 2,718281828... este un număr irațional.
Pot fi prezente diferite funcții în locul variabilei x, principalul lucru este că acestea tind să .
Este necesar să se calculeze limita
Aici vedem prezența unui grad sub semnul unei limite, ceea ce înseamnă că este posibil să se utilizeze o a doua limită remarcabilă.
Ca întotdeauna, vom folosi regula nr. 1 - înlocuiți x în loc de:
Se poate observa că la x baza gradului este , iar exponentul este 4x > , adică. obținem o incertitudine de forma:
Să folosim a doua limită minunată pentru a ne dezvălui incertitudinea, dar mai întâi trebuie să o organizăm. După cum puteți vedea, trebuie să obținem prezența în indicator, pentru care ridicăm baza la puterea de 3x și, în același timp, la puterea de 1/3x, astfel încât expresia să nu se schimbe:
Nu uitați să subliniați limita noastră minunată:
Asta sunt cu adevărat limite minunate!
Dacă mai aveți întrebări despre prima și a doua limite minunate, apoi nu ezitați să-i întrebați în comentarii.
Vom răspunde tuturor cât mai mult posibil.
De asemenea, puteți lucra cu un profesor pe această temă.
Suntem încântați să vă oferim serviciile de selectare a unui tutor calificat în orașul dumneavoastră. Partenerii noștri vor selecta rapid un profesor bun pentru tine, în condiții favorabile.
Nu sunt suficiente informații? - Puteți !
Puteți scrie calcule matematice în blocnotes. Este mult mai plăcut să scrieți individual în caiete cu logo (http://www.blocnot.ru).