Sistem m ecuatii lineare cu n necunoscute numit un sistem al formei
Unde a ijȘi b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sunt câteva numere cunoscute și x 1 ,…,x n– necunoscut. În desemnarea coeficienţilor a ij primul indice i denotă numărul ecuației, iar al doilea j– numărul necunoscutului la care se află acest coeficient.
Vom scrie coeficienții pentru necunoscute sub forma unei matrice 
, pe care o vom numi matricea sistemului.
Numerele din partea dreaptă a ecuațiilor sunt b 1 ,…,b m sunt numite membri liberi.
Totalitate n numere c 1 ,…,c n numit decizie a unui sistem dat, dacă fiecare ecuație a sistemului devine o egalitate după înlocuirea numerelor în ea c 1 ,…,c nîn locul necunoscutelor corespunzătoare x 1 ,…,x n.
Sarcina noastră va fi să găsim soluții pentru sistem. În acest caz, pot apărea trei situații:
Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește comun. Altfel, i.e. dacă sistemul nu are soluții, atunci este numit nearticulată.
Să luăm în considerare modalități de a găsi soluții pentru sistem.
METODĂ MATRIXĂ PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINARE
Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:
Luați în considerare matricea sistemului 
și coloane de matrice de termeni necunoscuți și liberi 
Să găsim de lucru
acestea. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale, acest sistem poate fi scris sub forma
sau mai scurt A∙X=B.
Iată matricele AȘi B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Este necesar să-l găsim, pentru că... elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.
Fie determinantul matricei diferit de zero | A| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei A: . Deoarece A -1 A = EȘi E∙X = X, apoi obținem o soluție a ecuației matriceale sub forma X = A -1 B .
Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrici pătrate, atunci metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, înregistrarea matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea A nu va fi pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.
Exemple. Rezolvarea sistemelor de ecuații.
REGULA LUI CRAMER
Să considerăm un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute:
Determinant de ordinul al treilea corespunzător matricei sistemului, i.e. compus din coeficienți pentru necunoscute,
numit determinant al sistemului.
Să mai compunem trei determinanți astfel: înlocuiți secvențial 1, 2 și 3 coloane din determinantul D cu o coloană de termeni liberi
Apoi putem demonstra următorul rezultat.
Teoremă (regula lui Cramer). Dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are una și o singură soluție și
Dovada. Deci, să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A 11 element un 11, a 2-a ecuație – pe A 21 iar al treilea – pe A 31:
Să adăugăm aceste ecuații:
Să ne uităm la fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Prin teorema expansiunii determinantului în elementele coloanei I
În mod similar, se poate demonstra că și .
În cele din urmă, este ușor de observat asta 
Astfel, obținem egalitatea: .
Prin urmare, .
Egalitățile și sunt derivate similar, din care urmează enunțul teoremei.
Astfel, observăm că dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică și invers. Dacă determinantul sistemului este egal cu zero, atunci sistemul fie are set infinit soluții, sau nu are soluții, de ex. incompatibil.
Exemple. Rezolvarea sistemului de ecuații
METODA GAUSS
Metodele discutate anterior pot fi folosite pentru a rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute, iar determinantul sistemului trebuie să fie diferit de zero. Metoda Gauss este mai universală și potrivită pentru sisteme cu orice număr de ecuații. Constă în eliminarea consecventă a necunoscutelor din ecuațiile sistemului.
Să considerăm din nou un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:
.
Vom lăsa prima ecuație neschimbată, iar din a 2-a și a 3-a vom exclude termenii care conțin x 1. Pentru a face acest lucru, împărțiți a doua ecuație la A 21 și înmulțiți cu - A 11, apoi adăugați-l la prima ecuație. În mod similar, împărțim a treia ecuație la A 31 și înmulțiți cu - A 11, apoi adăugați-l cu primul. Ca rezultat, sistemul original va lua forma:
Acum din ultima ecuație eliminăm termenul care conține x 2. Pentru a face acest lucru, împărțiți a treia ecuație cu, înmulțiți cu și adăugați cu a doua. Atunci vom avea un sistem de ecuații:
De aici, din ultima ecuație este ușor de găsit x 3, apoi din a 2-a ecuație x 2 si in final, de la 1 - x 1.
Când se utilizează metoda Gauss, ecuațiile pot fi schimbate dacă este necesar.
Adesea în loc să scrie sistem nou ecuațiile, sunt limitate la scrierea matricei extinse a sistemului:
iar apoi aduceți-o într-o formă triunghiulară sau diagonală folosind transformări elementare.
LA transformări elementare matricele includ următoarele transformări:
- rearanjarea rândurilor sau coloanelor;
- înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;
- adăugarea altor linii la o singură linie.
Exemple: Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gauss.
Astfel, sistemul are un număr infinit de soluții.
Ecuațiile în general, ecuațiile algebrice liniare și sistemele lor, precum și metodele de rezolvare a acestora, ocupă un loc aparte în matematică, atât teoretică, cât și aplicată.
Acest lucru se datorează faptului că marea majoritate a problemelor fizice, economice, tehnice și chiar pedagogice pot fi descrise și rezolvate folosind o varietate de ecuații și sistemele acestora. ÎN În ultima vreme Modelarea matematică a câștigat o popularitate deosebită printre cercetători, oameni de știință și practicieni din aproape toate domeniile subiectului, care se explică prin avantajele sale evidente față de alte metode cunoscute și dovedite pentru studierea obiectelor de diferite naturi, în special așa-numitele sisteme complexe. Există o mare varietate de definiții diferite ale modelului matematic dat de oamenii de știință în timpuri diferite, dar în opinia noastră, cea mai reușită este următoarea afirmație. Model matematic este o idee exprimată printr-o ecuație. Astfel, capacitatea de a compune și rezolva ecuații și sistemele acestora este o caracteristică integrală a unui specialist modern.
Pentru a rezolva sisteme de liniare ecuații algebrice Cele mai frecvent utilizate metode sunt Cramer, Jordan-Gauss și metoda matricei.
Metoda matricei solutii - metoda solutiei folosind matrice inversă sisteme de ecuații algebrice liniare cu un determinant diferit de zero.
Dacă scriem coeficienții pentru mărimile necunoscute xi în matricea A, colectăm mărimile necunoscute în coloana vectorială X și termenii liberi în coloana vectorială B, atunci sistemul de ecuații algebrice liniare poate fi scris sub forma: urmând ecuația matricei A · X = B, care are o soluție unică numai atunci când determinantul matricei A nu este egal cu zero. În acest caz, soluția sistemului de ecuații poate fi găsită în felul următor X = A-1 · B, Unde A-1 - matrice inversă.
Metoda soluției matriceale este următoarea.
Să ni se dea un sistem de ecuații liniare cu n necunoscut:
Poate fi rescris sub formă de matrice: TOPOR = B, Unde A- matricea principală a sistemului, BȘi X- coloane de termeni liberi și soluții ale sistemului, respectiv:
Să înmulțim această ecuație matriceală din stânga cu A-1 - matricea inversa matricei A: A -1 (TOPOR) = A -1 B
Deoarece A -1 A = E, primim X=A -1 B. Partea dreaptă a acestei ecuații va oferi coloana soluție a sistemului original. Condiția pentru aplicabilitatea acestei metode (precum și existența unei soluții în general) nu este sistem omogen ecuații liniare cu numărul de ecuații egal cu numărul de necunoscute) este nedegenerarea matricei A. O condiție necesară și suficientă pentru aceasta este ca determinantul matricei să nu fie egal cu zero A:det A≠ 0.
Pentru un sistem omogen de ecuații liniare, adică atunci când vectorul B = 0 , într-adevăr regula opusă: sistemul TOPOR = 0 are o soluție non-trivială (adică non-zero) numai dacă det A= 0. O astfel de conexiune între soluțiile sistemelor omogene și neomogene de ecuații liniare se numește alternativa Fredholm.
Exemplu soluții la un sistem neomogen de ecuații algebrice liniare.
Să ne asigurăm că determinantul matricei, compus din coeficienții necunoscutelor sistemului de ecuații algebrice liniare, nu este egal cu zero.
Următorul pas este calculul adunări algebrice pentru elementele unei matrice formate din coeficienți de necunoscute. Ele vor fi necesare pentru a găsi matricea inversă.
- se calculează determinantul matricei A;
- prin adunări algebrice se găseşte matricea inversă A -1;
- se creează un șablon de soluție în Excel;
Instrucțiuni. Pentru a obține o soluție folosind metoda matricei inverse, trebuie să specificați dimensiunea matricei. Apoi, într-o nouă casetă de dialog, completați matricea A și vectorul rezultatelor B.
Vezi și Rezolvarea ecuațiilor matriceale.Algoritm de rezolvare
- Se calculează determinantul matricei A. Dacă determinantul este zero, atunci soluția este terminată. Sistemul are un număr infinit de soluții.
- Când determinantul este diferit de zero, matricea inversă A -1 se găsește prin adunări algebrice.
- Vectorul soluție X =(x 1, x 2, ..., x n) se obține prin înmulțirea matricei inverse cu vectorul rezultat B.
Adunări algebrice.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Examinare:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
În prima parte ne-am uitat puțin material teoretic, metoda substituției, precum și metoda adunării termen cu termen a ecuațiilor de sistem. Recomand tuturor celor care au accesat site-ul prin această pagină să citească prima parte. Poate că unii vizitatori vor găsi materialul prea simplu, dar în procesul de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, am făcut o serie de comentarii și concluzii foarte importante cu privire la rezolvarea problemelor matematice în general.
Acum vom analiza regula lui Cramer, precum și rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind o matrice inversă (metoda matricei). Toate materialele sunt prezentate simplu, detaliat și clar; aproape toți cititorii vor putea învăța cum să rezolve sisteme folosind metodele de mai sus.
În primul rând, vom arunca o privire mai atentă la regula lui Cramer pentru un sistem de două ecuații liniare în două necunoscute. Pentru ce? – La urma urmei, cel mai simplu sistem poate fi rezolvat folosind metoda școlii, metoda adunării trimestriale!
Faptul este că, deși uneori, apare o astfel de sarcină - pentru a rezolva un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute folosind formulele lui Cramer. În al doilea rând, un exemplu mai simplu vă va ajuta să înțelegeți cum să folosiți regula lui Cramer pentru mai multe caz complex– sisteme de trei ecuații cu trei necunoscute.
În plus, există sisteme de ecuații liniare cu două variabile, care este recomandabil să le rezolve folosind regula lui Cramer!
Luați în considerare sistemul de ecuații
La primul pas, calculăm determinantul, se numește determinant principal al sistemului.
metoda Gauss.
Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă doi determinanți:
Și
În practică, calificativele de mai sus pot fi notate și printr-o literă latină.
Găsim rădăcinile ecuației folosind formulele:
,
Exemplul 7
Rezolvați un sistem de ecuații liniare 
Soluţie: Vedem că coeficienții ecuației sunt destul de mari, în partea dreaptă există zecimale cu virgulă. Virgula este un invitat destul de rar în sarcinile practice la matematică; am luat acest sistem dintr-o problemă econometrică.
Cum se rezolvă un astfel de sistem? Puteți încerca să exprimați o variabilă în termenii alteia, dar în acest caz veți ajunge probabil cu fracții fanteziste teribile, cu care sunt extrem de incomod de lucrat, iar designul soluției va arăta pur și simplu groaznic. Puteți înmulți a doua ecuație cu 6 și scădeți termen cu termen, dar aceleași fracții vor apărea și aici.
Ce să fac? În astfel de cazuri, formulele lui Cramer vin în ajutor.
;
;
Răspuns: ,
Ambele rădăcini au cozi infinite și se găsesc aproximativ, ceea ce este destul de acceptabil (și chiar banal) pentru problemele de econometrie.
Comentariile nu sunt necesare aici, deoarece sarcina este rezolvată folosind formule gata făcute, cu toate acestea, există o avertizare. Când să utilizați aceasta metoda, obligatoriu Un fragment al designului sarcinii este următorul fragment: „Aceasta înseamnă că sistemul are o soluție unică”. În caz contrar, recenzentul vă poate pedepsi pentru lipsa de respect față de teorema lui Cramer.
Nu ar fi de prisos să verificăm, ceea ce este convenabil de efectuat cu un calculator: înlocuim valorile aproximative în partea stanga fiecare ecuație a sistemului. Ca rezultat, cu o mică eroare, ar trebui să obțineți numere care sunt în partea dreaptă.
Exemplul 8
Prezentați răspunsul în mod obișnuit fracții improprii. Faceți o verificare.
Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (un exemplu de design final și răspunsul de la sfârșitul lecției).
Să trecem la considerarea lui Cramer pentru un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute: 
Găsim principalul determinant al sistemului: 
Dacă , atunci sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent (nu are soluții). În acest caz, regula lui Cramer nu va ajuta; trebuie să utilizați metoda Gauss.
Dacă , atunci sistemul are o soluție unică și pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă trei determinanți: 
, 
, 
Și în sfârșit, răspunsul este calculat folosind formulele: 
După cum puteți vedea, cazul „trei câte trei” nu este în mod fundamental diferit de cazul „două câte doi”; coloana de termeni liberi „se plimbă” secvenţial de la stânga la dreapta de-a lungul coloanelor determinantului principal.
Exemplul 9
Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer. 
Soluţie: Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer. 
, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.
Răspuns: 
.
De fapt, iar aici nu este nimic special de comentat, din cauza faptului că soluția urmează formule gata făcute. Dar există câteva comentarii.
Se întâmplă ca în urma calculelor să se obțină fracții ireductibile „rele”, de exemplu: .
Recomand următorul algoritm de „tratament”. Dacă nu aveți un computer la îndemână, procedați astfel:
1) Poate exista o eroare în calcule. De îndată ce întâlniți o fracțiune „rea”, trebuie să verificați imediat Condiția este rescrisă corect?. Dacă condiția este rescrisă fără erori, atunci trebuie să recalculați determinanții folosind expansiunea într-un alt rând (coloană).
2) Dacă nu sunt identificate erori ca urmare a verificării, atunci cel mai probabil a existat o greșeală de tipar în condițiile sarcinii. În acest caz, lucrați cu calm și CU ATENȚIE la sarcina până la capăt și apoi asigurați-vă că verificațiși o întocmim pe o foaie curată după decizie. Desigur, verificarea unui răspuns fracționat este o sarcină neplăcută, dar va fi un argument dezarmant pentru profesor, căruia îi place foarte mult să dea un minus pentru orice prostie de genul . Modul de manipulare a fracțiilor este descris în detaliu în răspunsul la Exemplul 8.
Dacă aveți un computer la îndemână, atunci utilizați un program automat pentru a verifica, care poate fi descărcat gratuit chiar la începutul lecției. Apropo, cel mai profitabil este să utilizați programul imediat (chiar înainte de a începe soluția); veți vedea imediat pasul intermediar în care ați greșit! Același calculator calculează automat soluția sistemului folosind metoda matricei.
A doua remarcă. Din când în când există sisteme din ecuațiile cărora lipsesc unele variabile, de exemplu: 
Aici în prima ecuație nu există variabilă, în a doua nu există variabilă. În astfel de cazuri, este foarte important să scrieți corect și CU ATENȚIE principalul determinant: 
– zerourile sunt plasate în locul variabilelor lipsă.
Apropo, este rațional să deschideți determinanții cu zerouri în funcție de rândul (coloana) în care se află zero, deoarece există considerabil mai puține calcule.
Exemplul 10
Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer. 
Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (o mostră din proiectul final și răspunsul de la sfârșitul lecției).
Pentru cazul unui sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute, formulele lui Cramer sunt scrise după principii similare. Puteți vedea un exemplu viu în lecția Proprietățile determinanților. Reducerea ordinului determinantului - cinci determinanți de ordinul 4 sunt destul de rezolvabili. Deși sarcina amintește deja foarte mult de pantoful unui profesor pe pieptul unui student norocos.
Rezolvarea sistemului folosind o matrice inversă
Metoda matricei inverse este în esență caz special ecuația matriceală(Vezi Exemplul nr. 3 al lecției specificate).
Pentru a studia această secțiune, trebuie să fiți capabil să extindeți determinanții, să găsiți inversul unei matrice și să efectuați înmulțirea matricei. Link-urile relevante vor fi furnizate pe măsură ce explicațiile progresează.
Exemplul 11
Rezolvați sistemul folosind metoda matricei 
Soluţie: Să scriem sistemul sub formă de matrice:
, Unde 
Vă rugăm să priviți sistemul de ecuații și matrice. Cred că toată lumea înțelege principiul prin care scriem elementele în matrice. Singurul comentariu: dacă unele variabile ar lipsi din ecuații, atunci ar trebui plasate zerouri în locurile corespunzătoare din matrice.
Găsim matricea inversă folosind formula:
, unde este matricea transpusă a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.
Mai întâi, să ne uităm la determinant:
Aici determinantul este extins pe prima linie.
Atenţie! Dacă , atunci matricea inversă nu există și este imposibil să se rezolve sistemul folosind metoda matricei. În acest caz, sistemul se rezolvă prin metoda eliminării necunoscutelor (metoda Gauss).
Acum trebuie să calculăm 9 minori și să le scriem în matricea minorilor 
Referinţă: Este util să cunoaștem semnificația indicelor duble în algebra liniară. Prima cifră este numărul liniei în care se află elementul. A doua cifră este numărul coloanei în care se află elementul: 
Adică, un indice dublu indică faptul că elementul este în primul rând, a treia coloană și, de exemplu, elementul este în 3 rânduri, 2 coloană
(uneori această metodă este numită și metoda matricei sau metoda matricei inverse) necesită familiarizarea preliminară cu un astfel de concept precum forma matriceală de notare a SLAE. Metoda matricei inverse este destinată rezolvării acelor sisteme de ecuații algebrice liniare în care determinantul matricei sistemului este diferit de zero. Desigur, aceasta presupune că matricea sistemului este pătrată (conceptul de determinant există doar pentru matrice pătrată). Esența metodei matricei inverse poate fi exprimată în trei puncte:
- Notează trei matrice: matricea sistemului $A$, matricea necunoscutelor $X$, matricea termenilor liberi $B$.
- Aflați matricea inversă $A^(-1)$.
- Folosind egalitatea $X=A^(-1)\cdot B$, obțineți o soluție la SLAE dat.
Orice SLAE poate fi scris sub formă de matrice ca $A\cdot X=B$, unde $A$ este matricea sistemului, $B$ este matricea termenilor liberi, $X$ este matricea necunoscutelor. Fie matricea $A^(-1)$ să existe. Să înmulțim ambele părți ale egalității $A\cdot X=B$ cu matricea $A^(-1)$ din stânga:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Deoarece $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ este matricea de identitate), egalitatea de mai sus devine:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Deoarece $E\cdot X=X$, atunci:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Exemplul nr. 1
Rezolvați SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ folosind matricea inversă.
$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$
Să găsim matricea inversă față de matricea sistemului, adică. Să calculăm $A^(-1)$. În exemplul nr. 2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$
Acum să substituim toate cele trei matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) în egalitatea $X=A^(-1)\cdot B$. Apoi efectuăm înmulțirea matriceală
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 și -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$
Deci, am obținut egalitatea $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( matrice )\dreapta)$. Din această egalitate avem: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Răspuns: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Exemplul nr. 2
Rezolvați SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ folosind metoda matricei inverse.
Să notăm matricea sistemului $A$, matricea termenilor liberi $B$ și matricea necunoscutelor $X$.
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$
Acum este rândul să găsim matricea inversă față de matricea sistemului, adică. găsi $A^(-1)$. În exemplul nr. 3 de pe pagina dedicată găsirii matricelor inverse, matricea inversă a fost deja găsită. Să folosim rezultatul final și să scriem $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 și 37\end(matrice)\dreapta). $$
Acum să substituim toate cele trei matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) în egalitatea $X=A^(-1)\cdot B$ și apoi să efectuăm înmulțirea matricei pe partea dreaptă de această egalitate.
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$
Deci, avem egalitatea $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(matrice)\right)$. Din această egalitate avem: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.