Școlarii mai mari și studenții la matematică vor răspunde probabil cu ușurință la această întrebare. Dar pentru cei care sunt departe de asta de profesie, va fi mai dificil. Ce este de fapt?

Esența și denumirea

Numerele raționale sunt cele care pot fi reprezentate ca o fracție obișnuită. Pozitiv, negativ și zero sunt de asemenea incluse în acest set. Numătorul fracției trebuie să fie un număr întreg, iar numitorul trebuie să fie

Această mulțime în matematică este denumită Q și este numită „câmpul numerelor raționale”. Include toate numerele întregi și naturale, notate respectiv Z și N. Mulțimea Q însăși este inclusă în mulțimea R. Această literă este cea care denotă așa-numitul real sau

Performanţă

După cum sa menționat deja, numerele raționale sunt o mulțime care include toate valorile întregi și fracționale. Ele pot fi prezentate în forme diferite. În primul rând, sub forma unei fracții obișnuite: 5/7, 1/5, 11/15 etc. Desigur, numerele întregi pot fi scrise și într-o formă similară: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 etc. În al doilea rând, un alt tip de reprezentare este zecimal cu o parte fracționară finită: 0,01, -15,001006, etc. Aceasta este poate una dintre cele mai comune forme.

Dar există și o a treia - o fracție periodică. Acest tip nu este foarte comun, dar este încă folosit. De exemplu, fracția 10/3 poate fi scrisă ca 3,33333... sau 3,(3). în care viziuni diferite vor fi considerate numere similare. Fracțiile care sunt egale între ele vor fi, de asemenea, numite la fel, de exemplu 3/5 și 6/10. Se pare că a devenit clar ce sunt numerele raționale. Dar de ce este folosit acest termen pentru a se referi la ei?

originea numelui

Cuvântul „rațional” în limba rusă modernă în caz general are un sens ușor diferit. Este mai degrabă „rezonabil”, „gândit”. Dar termenii matematici sunt aproape de literalmente Aceasta În latină, „raport” este un „raport”, „fracție” sau „diviziune”. Astfel, numele surprinde esența a ceea ce sunt numerele raționale. Cu toate acestea, al doilea sens

nu departe de adevar.

Acțiuni cu ei

Când rezolvăm probleme matematice, întâlnim în mod constant numere raționale fără să le știm noi înșine. Și sunt aproape proprietăți interesante. Toate rezultă fie din definirea unui set, fie din acțiuni.

În primul rând, numerele raționale au proprietatea relației de ordine. Aceasta înseamnă că poate exista o singură relație între două numere - fie sunt egale între ele, fie unul este mai mare sau mai mic decât celălalt. Acesta este:

sau a = b; sau a > b, sau A< b.

În plus, din această proprietate rezultă și tranzitivitatea relației. Adică dacă A Mai mult b, b Mai mult c, Acea A Mai mult c. În limbajul matematic arată astfel:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

În al doilea rând, există operații aritmetice cu numere raționale, adică adunarea, scăderea, împărțirea și, bineînțeles, înmulțirea. În același timp, în procesul transformărilor, pot fi identificate și o serie de proprietăți.

  • a + b = b + a (schimbarea locurilor termenilor, comutativitatea);
  • 0 + a = a + 0 ;
  • (a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate);
  • a + (-a) = 0;
  • ab = ba;
  • (ab)c = a(bc) (distributivitate);
  • a x 1 = 1 x a = a;
  • a x (1 / a) = 1 (în acest caz a nu este egal cu 0);
  • (a + b)c = ac + ab;
  • (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Când despre care vorbim despre numere obișnuite, nu numere întregi, operațiile cu acestea pot provoca anumite dificultăți. Astfel, adunarea și scăderea sunt posibile numai dacă numitorii sunt egali. Dacă inițial sunt diferite, ar trebui să o găsiți pe cea comună înmulțind întreaga fracție cu anumite numere. Comparația este, de asemenea, cel mai adesea posibilă numai dacă această condiție este îndeplinită.

Împărțirea și înmulțirea fracții obișnuite sunt produse în conformitate cu suficiente reguli simple. Reducerea la un numitor comun nu este necesară. Număratorii și numitorii se înmulțesc separat, iar în procesul de efectuare a acțiunii, dacă este posibil, fracția trebuie redusă și simplificată pe cât posibil.

În ceea ce privește împărțirea, această acțiune este similară cu prima cu o ușoară diferență. Pentru a doua fracție ar trebui să găsiți inversul, adică

„întoarce”-o. Astfel, numărătorul primei fracții va trebui înmulțit cu numitorul celei de-a doua și invers.

În cele din urmă, o altă proprietate inerentă numerelor raționale se numește axioma lui Arhimede. Adesea în literatură se găsește și numele „principiu”. Este valabil pentru întregul set de numere reale, dar nu peste tot. Astfel, acest principiu nu se aplică unor seturi de funcții raționale. În esență, această axiomă înseamnă că, având în vedere existența a două mărimi a și b, puteți lua întotdeauna suficient a pentru a depăși b.

Zona de aplicare

Deci, pentru cei care au învățat sau și-au amintit ce sunt numerele raționale, devine clar că ele sunt folosite peste tot: în contabilitate, economie, statistică, fizică, chimie și alte științe. Desigur, au un loc și în matematică. Neștiind întotdeauna că avem de-a face cu ele, folosim constant numere raționale. Încă copii mici, învață să numere obiecte, tăind un măr în bucăți sau executând altele pași simpli, întâlnește-i. Ne înconjoară literalmente. Și totuși, ele nu sunt suficiente pentru a rezolva unele probleme; în special, folosind teorema lui Pitagora ca exemplu, se poate înțelege necesitatea introducerii conceptului

Numere rationale

Sferturi

  1. Ordine. AȘi b există o regulă care permite cuiva să identifice în mod unic una și doar una dintre cele trei relații dintre ei: „< », « >" sau " = ". Această regulă se numește regula de ordonareși se formulează astfel: două numere nenegative și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; două numere nepozitive AȘi b sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; dacă deodată A nenegativ, dar b- negativ, atunci A > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

    Adunarea fracțiilor

  2. Operație de adăugare. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula de însumare c. Mai mult decât atât, numărul în sine c numit Cantitate numere AȘi bși este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit însumare. Regula însumării are următoarea vedere: .
  3. Operația de înmulțire. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula înmulțirii, care le atribuie un număr rațional c. Mai mult decât atât, numărul în sine c numit muncă numere AȘi bși este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit și multiplicare. Regula înmulțirii arată astfel: .
  4. Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu de numere raționale A , bȘi c Dacă A Mai puțin bȘi b Mai puțin c, Acea A Mai puțin c, si daca A egală bȘi b egală c, Acea A egală c. 6435">Comutativitatea adunării. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.
  5. Asociativitatea adunării. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul.
  6. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.
  7. Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care atunci când este adăugat la dă 0.
  8. Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.
  9. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.
  10. Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.
  11. Prezența numerelor reciproce. Orice număr rațional are un număr rațional invers, care atunci când este înmulțit cu dă 1.
  12. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este coordonată cu operația de adunare prin legea distribuției:
  13. Legătura relației de ordine cu operația de adunare. Același număr rațional poate fi adăugat la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
  14. Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional A, puteți lua atât de multe unități încât suma lor depășește A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu se disting ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi dovedite pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția unui obiect matematic. . Astfel de proprietăți suplimentare asa de mult. Este logic să enumerați doar câteva dintre ele aici.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Numărabilitatea unui set

Numerotarea numerelor raționale

Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să dați un algoritm care enumeră numerele raționale, adică stabilește o bijecție între mulțimile de numere raționale și naturale.

Cel mai simplu dintre acești algoritmi arată așa. Se întocmește un tabel nesfârșit de fracții obișnuite, pe fiecare i-a linie din fiecare j a-a coloană din care se află fracția. Pentru certitudine, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate începând de la unu. Celulele din tabel sunt notate cu , unde i- numărul rândului tabelului în care se află celula și j- numărul coloanei.

Tabelul rezultat este parcurs folosind un „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată pe baza primei potriviri.

În procesul unei astfel de parcurgeri, fiecare număr rațional nou este asociat cu un alt număr natural. Adică, fracția 1/1 este atribuită numărului 1, fracția 2/1 numărului 2 etc. Trebuie remarcat că sunt numerotate numai fracțiile ireductibile. Un semn formal de ireductibilitate este că cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției este egal cu unu.

Urmând acest algoritm, putem enumera toate numerele raționale pozitive. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale pozitive este numărabilă. Este ușor să stabiliți o bijecție între mulțimile de numere raționale pozitive și negative prin simpla atribuire fiecărui număr rațional opusul său. Acea. mulţimea numerelor raţionale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este de asemenea numărabilă prin proprietatea seturilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca unire a unei mulțimi numărabile cu una finită.

Afirmația despre numărabilitatea mulțimii numerelor raționale poate provoca o oarecare confuzie, deoarece la prima vedere pare că este mult mai extinsă decât mulțimea numerelor naturale. De fapt, nu este așa și există suficiente numere naturale pentru a le enumera pe toate raționale.

Lipsa numerelor raționale

Ipotenuza unui astfel de triunghi nu poate fi exprimată prin niciun număr rațional

Numere raționale de forma 1 / nîn mare n pot fi măsurate cantități arbitrar mici. Acest fapt creează impresia înșelătoare că numerele raționale pot fi folosite pentru a măsura orice distanțe geometrice. Este ușor să arăți că acest lucru nu este adevărat.

Note

Literatură

  • I. Kushnir. Manual de matematică pentru școlari. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
  • P. S. Alexandrov. Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. - M.: capitolul. ed. fizica si matematica aprins. ed. „Știință”, 1977
  • I. L. Hmelnițki. Introducere în teoria sistemelor algebrice

Legături

Fundația Wikimedia. 2010.

Tema numerelor raționale este destul de extinsă. Puteți vorbi despre asta la nesfârșit și scrie lucrări întregi, de fiecare dată fiind surprins de noi caracteristici.

Pentru a evita greșelile în viitor, în această lecție vom aprofunda puțin în subiectul numerelor raționale, vom aduna informațiile necesare din ea și vom merge mai departe.

Conținutul lecției

Ce este un număr rațional

Numar rational este un număr care poate fi reprezentat ca o fracție, unde A- acesta este numărătorul fracției, b este numitorul fracției. în plus b nu trebuie să fie zero deoarece împărțirea la zero nu este permisă.

Numerele raționale includ următoarele categorii de numere:

  • numere întregi (de exemplu −2, −1, 0 1, 2 etc.)
  • fracții zecimale (de exemplu 0,2 etc.)
  • fracții periodice infinite (de exemplu 0, (3), etc.)

Fiecare număr din această categorie poate fi reprezentat ca o fracție.

Exemplul 1. Numărul întreg 2 poate fi reprezentat ca o fracție. Aceasta înseamnă că numărul 2 se aplică nu numai numerelor întregi, ci și celor raționale.

Exemplul 2. Un număr mixt poate fi reprezentat ca o fracție. Această fracție se obține prin conversia numărului mixt în fracție improprie

Mijloace număr mixt se referă la numere raționale.

Exemplul 3. Decimalul 0,2 poate fi reprezentat ca o fracție. Această fracție a fost obținută prin conversia fracției zecimale 0,2 într-o fracție comună. Dacă întâmpinați dificultăți în acest moment, repetați subiectul.

Deoarece fracția zecimală 0,2 poate fi reprezentată ca o fracție, înseamnă că aparține și numerelor raționale.

Exemplul 4. Fracția periodică infinită 0, (3) poate fi reprezentată ca o fracție. Această fracție se obține prin conversia unei fracții periodice pure într-o fracție obișnuită. Dacă întâmpinați dificultăți în acest moment, repetați subiectul.

Deoarece fracția periodică infinită 0, (3) poate fi reprezentată ca o fracție, înseamnă că aparține și numerelor raționale.

În viitor, vom numi din ce în ce mai mult toate numerele care pot fi reprezentate ca o fracție printr-o frază - numere rationale.

Numere raționale pe linia de coordonate

Ne-am uitat la linia de coordonate când am studiat numerele negative. Amintiți-vă că aceasta este o dreaptă pe care se află multe puncte. După cum urmează:

Această figură arată un mic fragment al liniei de coordonate de la -5 la 5.

Marcarea numerelor întregi de forma 2, 0, −3 pe linia de coordonate nu este dificilă.

Lucrurile sunt mult mai interesante cu alte numere: cu fracții obișnuite, numere mixte, zecimale etc. Aceste numere se află între numere întregi și există infinit multe dintre aceste numere.

De exemplu, să marchem un număr rațional pe linia de coordonate. Acest număr este situat exact între zero și unu

Să încercăm să înțelegem de ce fracția este situată brusc între zero și unu.

După cum am menționat mai sus, între numere întregi se află alte numere - fracții obișnuite, zecimale, numere mixte etc. De exemplu, dacă măriți o secțiune a liniei de coordonate de la 0 la 1, puteți vedea următoarea imagine

Se poate observa că între numerele întregi 0 și 1 există și alte numere raționale, care sunt fracții zecimale familiare. Aici puteți vedea fracția noastră, care este situată în același loc cu fracția zecimală 0,5. O examinare atentă a acestei figuri oferă un răspuns la întrebarea de ce se află exact acolo fracția.

O fracție înseamnă împărțirea a 1 la 2. Și dacă împărțim 1 la 2, obținem 0,5

Fracția zecimală 0,5 poate fi deghizată ca alte fracții. Din proprietatea de bază a unei fracții, știm că dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci valoarea fracției nu se modifică.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu orice număr, de exemplu cu numărul 4, atunci obținem o nouă fracție, iar această fracție este, de asemenea, egală cu 0,5.

Aceasta înseamnă că pe linia de coordonate fracția poate fi plasată în același loc în care a fost localizată fracția

Exemplul 2. Să încercăm să marchem un număr rațional pe coordonată. Acest număr este situat exact între numerele 1 și 2

Valoarea fracției este 1,5

Dacă creștem secțiunea liniei de coordonate de la 1 la 2, vom vedea următoarea imagine:

Se poate observa că între numerele întregi 1 și 2 există și alte numere raționale, care sunt fracții zecimale familiare. Aici puteți vedea fracția noastră, care se află în același loc cu fracția zecimală 1,5.

Am mărit anumite segmente de pe linia de coordonate pentru a vedea numerele rămase aflate pe acest segment. Drept urmare, am descoperit fracții zecimale care aveau o cifră după virgulă.

Dar acestea nu au fost singurele numere aflate pe aceste segmente. Există infinit de multe numere care se află pe linia de coordonate.

Nu este greu de ghicit că între fracțiile zecimale care au o cifră după virgulă, există și alte fracții zecimale care au două cifre după virgulă. Cu alte cuvinte, sutimi de segment.

De exemplu, să încercăm să vedem numerele care se află între fracțiile zecimale 0,1 și 0,2

Alt exemplu. Fracțiile zecimale care au două cifre după virgulă și se află între zero și numărul rațional 0,1 arată astfel:

Exemplul 3. Să marchem un număr rațional pe linia de coordonate. Acest număr rațional va fi foarte aproape de zero

Valoarea fracției este 0,02

Dacă creștem segmentul de la 0 la 0,1, vom vedea exact unde se află numărul rațional

Se poate observa că numărul nostru rațional este situat în același loc cu fracția zecimală 0,02.

Exemplul 4. Să marchem numărul rațional 0 pe linia de coordonate, (3)

Numărul rațional 0, (3) este o fracție periodică infinită. Partea sa fracționată nu se termină niciodată, este infinită

Și deoarece numărul 0,(3) are o parte fracțională infinită, aceasta înseamnă că nu vom putea găsi locul exact pe linia de coordonate în care se află acest număr. Putem indica acest loc doar aproximativ.

Numărul rațional 0,33333... va fi situat foarte aproape de fracția zecimală comună 0,3

Această cifră nu arată locația exactă a numărului 0,(3). Aceasta este doar o ilustrare pentru a arăta cât de aproape poate fi fracția periodică 0.(3) de fracția zecimală obișnuită 0.3.

Exemplul 5. Să marchem un număr rațional pe linia de coordonate. Acest număr rațional va fi situat la mijloc între numerele 2 și 3

Acesta este 2 (două numere întregi) și (o secundă). O fracție se mai numește și „jumătate”. Prin urmare, am marcat două segmente întregi și o altă jumătate de segment pe linia de coordonate.

Dacă convertim un număr mixt într-o fracție improprie, obținem o fracție obișnuită. Această fracție de pe linia de coordonate va fi situată în același loc cu fracția

Valoarea fracției este 2,5

Dacă creștem secțiunea liniei de coordonate de la 2 la 3, vom vedea următoarea imagine:

Se poate observa că numărul nostru rațional este situat în același loc cu fracția zecimală 2,5

Minus înaintea unui număr rațional

În lecția anterioară, care a fost numită, am învățat cum să împărțim numerele întregi. Atât numerele pozitive, cât și cele negative ar putea acționa ca dividend și divizor.

Să luăm în considerare cea mai simplă expresie

(−6) : 2 = −3

În această expresie, dividendul (−6) este un număr negativ.

Acum luați în considerare a doua expresie

6: (−2) = −3

Aici divizorul (−2) este deja un număr negativ. Dar în ambele cazuri obținem același răspuns -3.

Având în vedere că orice diviziune poate fi scrisă ca fracție, putem scrie și exemplele discutate mai sus ca fracție:

Și deoarece în ambele cazuri valoarea fracției este aceeași, minusul fie la numărător, fie la numitor poate fi făcut comun prin plasarea lui în fața fracției.

Prin urmare, puteți pune un semn egal între expresiile și și pentru că au același sens

Pe viitor, atunci când lucrăm cu fracții, dacă întâlnim un minus la numărător sau numitor, vom face acest minus comun plasându-l în fața fracției.

Numerele raționale opuse

Ca un număr întreg, un număr rațional are numărul său opus.

De exemplu, pentru un număr rațional, numărul opus este . Este situat pe linia de coordonate simetric față de locația relativă la originea coordonatelor. Cu alte cuvinte, ambele numere sunt echidistante de origine

Conversia numerelor mixte în fracții improprii

Știm că pentru a transforma un număr mixt într-o fracție improprie, trebuie să înmulțim întreaga parte cu numitorul părții fracționale și să o adunăm la numărătorul părții fracționale. Numărul rezultat va fi numărătorul noii fracții, dar numitorul rămâne același.

De exemplu, să convertim un număr mixt într-o fracție improprie

Înmulțiți întreaga parte cu numitorul părții fracționale și adăugați numărătorul părții fracționale:

Să calculăm această expresie:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Numărul rezultat 5 va fi numărătorul noii fracții, dar numitorul va rămâne același:

Această procedură este scrisă integral după cum urmează:

Pentru a returna numărul mixt original, este suficient să selectați întreaga parte din fracție

Dar această metodă de conversie a unui număr mixt într-o fracție improprie este aplicabilă numai dacă numărul mixt este pozitiv. Pentru un număr negativ aceasta metoda nu va funcționa.

Să luăm în considerare fracția. Să selectăm întreaga parte a acestei fracțiuni. Primim

Pentru a returna fracția originală, trebuie să convertiți numărul mixt într-o fracție necorespunzătoare. Dar dacă folosim vechea regulă, și anume, înmulțim întreaga parte cu numitorul părții fracționale și adunăm numărătorul părții fracționale la numărul rezultat, obținem următoarea contradicție:

Am primit o fracție, dar ar fi trebuit să primim o fracție.

Concluzionăm că numărul mixt a fost convertit în mod incorect într-o fracție improprie

Pentru a converti corect un număr mixt negativ într-o fracție improprie, trebuie să înmulțiți întreaga parte cu numitorul părții fracționale și din numărul rezultat scădea numărătorul părții fracționale. În acest caz, totul va fi la locul său pentru noi

Un număr mixt negativ este opusul unui număr mixt. Dacă un număr mixt pozitiv este situat în partea dreaptă și arată astfel

Numere rationale

Sferturi

  1. Ordine. AȘi b există o regulă care permite cuiva să identifice în mod unic una și doar una dintre cele trei relații dintre ei: „< », « >" sau " = ". Această regulă se numește regula de ordonareși se formulează astfel: două numere nenegative și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; două numere nepozitive AȘi b sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; dacă deodată A nenegativ, dar b- negativ, atunci A > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

    Adunarea fracțiilor

  2. Operație de adăugare. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula de însumare c. Mai mult decât atât, numărul în sine c numit Cantitate numere AȘi bși este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit însumare. Regula de însumare are următoarea formă: .
  3. Operația de înmulțire. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula înmulțirii, care le atribuie un număr rațional c. Mai mult decât atât, numărul în sine c numit muncă numere AȘi bși este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit și multiplicare. Regula înmulțirii arată astfel: .
  4. Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu de numere raționale A , bȘi c Dacă A Mai puțin bȘi b Mai puțin c, Acea A Mai puțin c, si daca A egală bȘi b egală c, Acea A egală c. 6435">Comutativitatea adunării. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.
  5. Asociativitatea adunării. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul.
  6. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.
  7. Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care atunci când este adăugat la dă 0.
  8. Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.
  9. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.
  10. Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.
  11. Prezența numerelor reciproce. Orice număr rațional are un număr rațional invers, care atunci când este înmulțit cu dă 1.
  12. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este coordonată cu operația de adunare prin legea distribuției:
  13. Legătura relației de ordine cu operația de adunare. Același număr rațional poate fi adăugat la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
  14. Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional A, puteți lua atât de multe unități încât suma lor depășește A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu se disting ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi dovedite pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția unui obiect matematic. . Există o mulțime de astfel de proprietăți suplimentare. Este logic să enumerați doar câteva dintre ele aici.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Numărabilitatea unui set

Numerotarea numerelor raționale

Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să dați un algoritm care enumeră numerele raționale, adică stabilește o bijecție între mulțimile de numere raționale și naturale.

Cel mai simplu dintre acești algoritmi arată așa. Se întocmește un tabel nesfârșit de fracții obișnuite, pe fiecare i-a linie din fiecare j a-a coloană din care se află fracția. Pentru certitudine, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate începând de la unu. Celulele din tabel sunt notate cu , unde i- numărul rândului tabelului în care se află celula și j- numărul coloanei.

Tabelul rezultat este parcurs folosind un „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată pe baza primei potriviri.

În procesul unei astfel de parcurgeri, fiecare număr rațional nou este asociat cu un alt număr natural. Adică, fracția 1/1 este atribuită numărului 1, fracția 2/1 numărului 2 etc. Trebuie remarcat că sunt numerotate numai fracțiile ireductibile. Un semn formal de ireductibilitate este că cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției este egal cu unu.

Urmând acest algoritm, putem enumera toate numerele raționale pozitive. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale pozitive este numărabilă. Este ușor să stabiliți o bijecție între mulțimile de numere raționale pozitive și negative prin simpla atribuire fiecărui număr rațional opusul său. Acea. mulţimea numerelor raţionale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este de asemenea numărabilă prin proprietatea seturilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca unire a unei mulțimi numărabile cu una finită.

Afirmația despre numărabilitatea mulțimii numerelor raționale poate provoca o oarecare confuzie, deoarece la prima vedere pare că este mult mai extinsă decât mulțimea numerelor naturale. De fapt, nu este așa și există suficiente numere naturale pentru a le enumera pe toate raționale.

Lipsa numerelor raționale

Ipotenuza unui astfel de triunghi nu poate fi exprimată prin niciun număr rațional

Numere raționale de forma 1 / nîn mare n pot fi măsurate cantități arbitrar mici. Acest fapt creează impresia înșelătoare că numerele raționale pot fi folosite pentru a măsura orice distanțe geometrice. Este ușor să arăți că acest lucru nu este adevărat.

Note

Literatură

  • I. Kushnir. Manual de matematică pentru școlari. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
  • P. S. Alexandrov. Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. - M.: capitolul. ed. fizica si matematica aprins. ed. „Știință”, 1977
  • I. L. Hmelnițki. Introducere în teoria sistemelor algebrice

Legături

Fundația Wikimedia. 2010.

) sunt numere cu semn pozitiv sau negativ (numere întregi și fracții) și zero. Un concept mai precis al numerelor raționale sună astfel:

Numar rational- un număr care este reprezentat ca o fracție comună m/n, unde numărătorul m sunt numere întregi, iar numitorul n — numere întregi, de exemplu 2/3.

Fracțiile neperiodice infinite NU sunt incluse în mulțimea numerelor raționale.

a/b, Unde A∈ Z (A aparține numerelor întregi), b∈ N (b aparține numerelor naturale).

Utilizarea numerelor raționale în viața reală.

ÎN viata reala setul de numere raționale este folosit pentru a număra părțile unor obiecte divizibile întregi, De exemplu, prăjituri sau alte alimente care sunt tăiate în bucăți înainte de consum, sau pentru estimarea aproximativă a relațiilor spațiale ale obiectelor extinse.

Proprietățile numerelor raționale.

Proprietățile de bază ale numerelor raționale.

1. Ordine AȘi b există o regulă care vă permite să identificați fără ambiguitate 1 și doar una dintre cele 3 relații dintre ele: „<», «>" sau "=". Această regulă este - regula de ordonareși formulează-l astfel:

  • 2 numere pozitive a=m a /n aȘi b=m b/n b sunt legate prin aceeași relație ca 2 numere întregi m a⋅ n bȘi m b⋅ N / A;
  • 2 numere negative AȘi b sunt legate prin același raport ca 2 numere pozitive |b|Și |a|;
  • Când A pozitivă și b- negativ, atunci a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operație de adăugare. Pentru toate numerele raționale AȘi b Există regula de însumare, care le atribuie un anumit număr rațional c. Mai mult decât atât, numărul în sine c- Acest sumă numere AȘi bși se notează ca (a+b) însumare.

Regula de însumare arata asa:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ N / A)/(N / A⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operația de înmulțire. Pentru toate numerele raționale AȘi b Există regula înmulțirii, le asociază cu un anumit număr rațional c. Se numește numărul c muncă numere AȘi b si denota (a⋅b), iar procesul de găsire a acestui număr se numește multiplicare.

Regula înmulțirii arata asa: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru oricare trei numere raționale A, bȘi c Dacă A Mai puțin bȘi b Mai puțin c, Acea A Mai puțin c, si daca A egală bȘi b egală c, Acea A egală c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ A ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Comutativitatea adunării. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Asociativitatea de adunare. Ordinea în care sunt adăugate 3 numere raționale nu afectează rezultatul.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0, care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.

∃ 0 ∈ Q∀ A∈ Q a+0=a

8. Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, iar atunci când sunt adunați, rezultatul este 0.

∀ A∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ A

10. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite 3 numere raționale nu are efect asupra rezultatului.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1, acesta păstrează orice alt număr rațional în procesul de înmulțire.

∃ 1 ∈ Q∀ A∈ Q a⋅ 1=a

12. Disponibilitate numere reciproce . Fiecare număr rațional, altul decât zero, are un număr rațional invers, înmulțind cu care obținem 1 .

∀ A∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este legată de adunare folosind legea distributivă:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Relația dintre relația de comandă și operația de adunare. Același număr rațional se adaugă la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Relația dintre relația de ordine și operația de înmulțire. Laturile stânga și dreapta ale unei inegalități raționale pot fi înmulțite cu același număr rațional nenegativ.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ A ⇒ A⋅ c ⋅ c

16. Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional A, este ușor să luați atât de multe unități încât suma lor va fi mai mare A.