Soluție de sisteme ecuatii lineare metoda Gauss. Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la sistem din n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvenţială a variabilelor necunoscute: mai întâi eliminarea x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua, este exclus în continuare x 2 din toate ecuațiile, începând cu a treia și așa mai departe, până când doar variabila necunoscută rămâne în ultima ecuație x n. Acest proces de transformare a ecuațiilor de sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește metoda Gaussiană directă. După finalizarea progresiei înainte a metodei gaussiene, din ultima ecuație găsim x n, folosind această valoare din penultima ecuație pe care o calculăm xn-1, și așa mai departe, din prima ecuație pe care o găsim x 1. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Eliminați variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe primul, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am ajunge la același rezultat dacă ne-am exprima x 1 prin alte variabile necunoscute din prima ecuație a sistemului și expresia rezultată a fost înlocuită în toate celelalte ecuații. Deci variabila x 1 exclus din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului adăugăm a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație adăugăm a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe al doilea, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Deci variabila x 2 exclus din toate ecuațiile începând cu a treia.

Apoi trecem la eliminarea necunoscutului x 3, în acest caz procedăm similar cu partea de sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

De acum începem cursa inversă Metoda gaussiană: calculează x n din ultima ecuație ca, folosind valoarea obținută x n găsim xn-1 din penultima ecuație și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație.

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda Gauss.

Una dintre metodele universale și eficiente de rezolvare a sistemelor algebrice liniare este metoda gaussiana , constând în eliminarea secvenţială a necunoscutelor.

Amintiți-vă că cele două sisteme sunt numite echivalent (echivalent) dacă mulțimile soluțiilor lor coincid. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte și invers. Sistemele echivalente se obţin atunci când transformări elementare ecuațiile sistemului:

înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un alt număr decât zero;

adăugarea la o ecuație a părților corespunzătoare ale unei alte ecuații, înmulțite cu un alt număr decât zero;

rearanjarea a două ecuații.

Să fie dat un sistem de ecuații

Procesul de rezolvare a acestui sistem folosind metoda Gauss constă din două etape. În prima etapă (mișcarea directă), sistemul, folosind transformări elementare, se reduce la in trepte , sau triunghiular forma, iar la a doua etapă (invers) are loc o secvenţială, pornind de la ultimul număr variabil, determinarea necunoscutelor din sistemul de trepte rezultat.

Să presupunem că coeficientul acestui sistem
, altfel în sistem primul rând poate fi schimbat cu orice alt rând, astfel încât coeficientul de la era diferit de zero.

Să transformăm sistemul eliminând necunoscutul în toate ecuațiile cu excepția primei. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și adăugați termen cu termen cu a doua ecuație a sistemului. Apoi înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și se adaugă la a treia ecuație a sistemului. Continuând acest proces, obținem sistemul echivalent

Aici
– noi valori ale coeficienților și termenilor liberi care se obțin după primul pas.

În mod similar, luând în considerare elementul principal
, excludeți necunoscutul din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei și a doua. Să continuăm acest proces cât mai mult posibil și, ca urmare, vom obține un sistem treptat

,

Unde ,
,…,– elementele principale ale sistemului
.

Dacă, în procesul de reducere a sistemului la o formă în trepte, apar ecuații, adică egalități ale formei
, sunt aruncate deoarece sunt satisfăcute de orice set de numere
. Eu gras
va aparea ecuația formei, care nu are soluții, atunci aceasta indică incompatibilitatea sistemului.

În timpul cursei inverse, prima necunoscută este exprimată din ultima ecuație a sistemului de trepte transformat prin toate celelalte necunoscute
care sunt numite gratuit . Apoi expresia variabilă din ultima ecuație a sistemului se substituie în penultima ecuație și variabila este exprimată din aceasta
. Variabilele sunt definite secvenţial într-un mod similar
. Variabile
, exprimate prin variabile libere, sunt numite de bază (dependent). Rezultatul este decizie comună sisteme de ecuații liniare.

A găsi soluție privată sisteme, liber necunoscut
în soluția generală se atribuie valori arbitrare și se calculează valorile variabilelor
.

Este mai convenabil din punct de vedere tehnic să supunem transformărilor elementare nu ecuațiile sistemului în sine, ci matricea extinsă a sistemului

.

Metoda Gauss este o metodă universală care vă permite să rezolvați nu numai sisteme pătrate, ci și dreptunghiulare în care numărul de necunoscute
nu este egal cu numărul de ecuații
.

Avantajul acestei metode este, de asemenea, că în procesul de rezolvare examinăm simultan sistemul pentru compatibilitate, deoarece, având în vedere matricea extinsă
pentru a forma treptat, este ușor să determinați rangurile matricei și matrice extinsă
si aplica Teorema Kronecker-Capelli .

Exemplul 2.1 Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss

Soluţie. Numărul de ecuații
și numărul de necunoscute
.

Să creăm o matrice extinsă a sistemului prin alocarea de coeficienți în dreapta matricei coloana membrilor liberi .

Să prezentăm matricea la o vedere triunghiulară; Pentru a face acest lucru, vom obține „0” sub elementele situate pe diagonala principală folosind transformări elementare.

Pentru a obține „0” în a doua poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-1) și adăugați-l la al doilea rând.

Scriem această transformare ca număr (-1) pe prima linie și o notăm cu o săgeată care merge de la prima linie la a doua linie.

Pentru a obține „0” în a treia poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-3) și adăugați la al treilea rând; Să arătăm această acțiune folosind o săgeată care merge de la prima linie la a treia.

.

În matricea rezultată, scrisă a doua în lanțul de matrici, obținem „0” în a doua coloană în a treia poziția. Pentru a face acest lucru, am înmulțit a doua linie cu (-4) și am adăugat-o la a treia. În matricea rezultată, înmulțiți al doilea rând cu (-1) și împărțiți al treilea cu (-8). Toate elementele acestei matrice situate sub elementele diagonale sunt zerouri.

Deoarece , sistemul este colaborativ și definit.

Sistemul de ecuații corespunzător ultimei matrice are o formă triunghiulară:

Din ultima (a treia) ecuație
. Înlocuiți în a doua ecuație și obțineți
.

Să înlocuim
Și
în prima ecuație, găsim


.

Două sisteme de ecuații liniare se numesc echivalente dacă mulțimea tuturor soluțiilor lor coincide.

Transformările elementare ale unui sistem de ecuații sunt:

1. Ștergerea ecuațiilor triviale din sistem, de ex. cele pentru care toți coeficienții sunt egali cu zero;
2. Înmulțirea oricărei ecuații cu un alt număr decât zero;
3. Adăugând la orice ecuație i-a orice ecuație j-a înmulțită cu orice număr.

O variabilă x i se numește liberă dacă această variabilă nu este permisă, dar este permis întregul sistem de ecuații.

Teorema. Transformările elementare transformă un sistem de ecuații într-unul echivalent.

Semnificația metodei gaussiene este de a transforma sistemul original de ecuații și de a obține un sistem echivalent rezolvat sau echivalent inconsistent.

Deci, metoda Gaussiană constă din următorii pași:

1. Să ne uităm la prima ecuație. Să alegem primul coeficient diferit de zero și să împărțim întreaga ecuație la el. Obtinem o ecuatie in care intra o variabila x i cu un coeficient de 1;
2. Să scădem această ecuație din toate celelalte, înmulțind-o cu astfel de numere încât coeficienții variabilei x i din ecuațiile rămase să fie zero. Obținem un sistem rezolvat față de variabila x i și echivalent cu cel inițial;
3. Dacă apar ecuații triviale (rar, dar se întâmplă; de exemplu, 0 = 0), le eliminăm din sistem. Ca rezultat, există o ecuație mai puțin;
4. Repetăm ​​pașii anteriori de cel mult n ori, unde n este numărul de ecuații din sistem. De fiecare dată când selectăm o nouă variabilă pentru „procesare”. Dacă apar ecuații inconsistente (de exemplu, 0 = 8), sistemul este inconsecvent.

Ca urmare, după câțiva pași vom obține fie un sistem rezolvat (eventual cu variabile libere), fie unul inconsistent. Sistemele permise se împart în două cazuri:

1. Numărul de variabile este egal cu numărul de ecuații. Aceasta înseamnă că sistemul este definit;
2. Numărul de variabile mai mult număr ecuații. Colectăm toate variabilele libere din dreapta - obținem formule pentru variabilele permise. Aceste formule sunt scrise în răspuns.

Asta e tot! Sistem de ecuații liniare rezolvat! Acesta este un algoritm destul de simplu și pentru a-l stăpâni nu trebuie să contactați un profesor superior de matematică. Să ne uităm la un exemplu:

Sarcină. Rezolvați sistemul de ecuații:

Descrierea etapelor:

1. Scădeți prima ecuație din a doua și a treia - obținem variabila permisă x 1;
2. Înmulțim a doua ecuație cu (−1), și împărțim a treia ecuație la (−3) - obținem două ecuații în care variabila x 2 intră cu coeficientul 1;
3. Adăugăm a doua ecuație la prima și scadem din a treia. Obținem variabila admisă x 2 ;
4. În final, scădem a treia ecuație din prima - obținem variabila admisă x 3;
5. Am primit un sistem aprobat, notează răspunsul.

Soluția generală a unui sistem simultan de ecuații liniare este un sistem nou, echivalent cu cel original, în care toate variabilele permise sunt exprimate în termeni de cele libere.

Când ar putea fi necesară o soluție generală? Dacă trebuie să faceți mai puțini pași decât k (k este câte ecuații există). Cu toate acestea, motivele pentru care procesul se termină la un pas l< k , может быть две:

1. După pasul al 1-lea, am obținut un sistem care nu conține o ecuație cu număr (l + 1). De fapt, acest lucru este bine, pentru că... sistemul autorizat este încă obținut – chiar și cu câțiva pași mai devreme.
2. După pasul a 1-a, am obținut o ecuație în care toți coeficienții variabilelor sunt egali cu zero, iar coeficientul liber este diferit de zero. Aceasta este o ecuație contradictorie și, prin urmare, sistemul este inconsecvent.

Este important de înțeles că apariția unei ecuații inconsistente folosind metoda Gaussiană este o bază suficientă pentru inconsecvență. În același timp, observăm că, ca urmare a pasului al 1-lea, nu pot rămâne ecuații triviale - toate sunt tăiate chiar în proces.

Descrierea etapelor:

1. Scădeți prima ecuație, înmulțită cu 4, din a doua. De asemenea, adăugăm prima ecuație la a treia - obținem variabila permisă x 1;
2. Scădeți a treia ecuație, înmulțită cu 2, din a doua - obținem ecuația contradictorie 0 = −5.

Deci, sistemul este inconsecvent deoarece a fost descoperită o ecuație inconsistentă.

Sarcină. Explorați compatibilitatea și găsiți o soluție generală pentru sistem:

Descrierea etapelor:

1. Scădem prima ecuație din a doua (după înmulțirea cu doi) și a treia - obținem variabila admisă x 1;
2. Scădeți a doua ecuație din a treia. Deoarece toți coeficienții din aceste ecuații sunt aceiași, a treia ecuație va deveni trivială. În același timp, înmulțiți a doua ecuație cu (−1);
3. Scădeți a doua din prima ecuație - obținem variabila permisă x 2. Întregul sistem de ecuații este acum și el rezolvat;
4. Deoarece variabilele x 3 și x 4 sunt libere, le mutăm spre dreapta pentru a exprima variabilele permise. Acesta este răspunsul.

Deci, sistemul este consistent și nedeterminat, deoarece există două variabile permise (x 1 și x 2) și două libere (x 3 și x 4).

Una dintre cele mai simple moduri de a rezolva un sistem de ecuații liniare este o tehnică bazată pe calculul determinanților ( regula lui Cramer). Avantajul său este că vă permite să înregistrați imediat soluția; este deosebit de convenabil în cazurile în care coeficienții sistemului nu sunt numere, ci niște parametri. Dezavantajul său este greutatea calculelor din caz un numar mare ecuații; în plus, regula lui Cramer nu este direct aplicabilă sistemelor în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute. În astfel de cazuri, este de obicei folosit metoda gaussiana.

Se numesc sisteme de ecuații liniare care au același set de soluții echivalent. În mod evident, setul de soluții ale unui sistem liniar nu se va schimba dacă vreo ecuație este schimbată sau dacă una dintre ecuații este înmulțită cu un număr diferit de zero, sau dacă o ecuație este adăugată la alta.

metoda Gauss (metoda de eliminare secventiala a necunoscutelor) este că cu ajutorul transformărilor elementare sistemul este redus la un sistem echivalent de tip treptat. Mai întâi, folosind prima ecuație, eliminăm X 1 din toate ecuațiile ulterioare ale sistemului. Apoi, folosind a 2-a ecuație, eliminăm X 2 din a 3-a și toate ecuațiile ulterioare. Acest proces, numit metoda Gaussiană directă, continuă până când rămâne o singură necunoscută în partea stângă a ultimei ecuații x n. După aceasta se face inversa metodei gaussiene– rezolvând ultima ecuație, găsim x n; după aceea, folosind această valoare, din penultima ecuație pe care o calculăm x n–1 etc. Îl găsim pe ultimul X 1 din prima ecuație.

Este convenabil să se efectueze transformări gaussiene efectuând transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricele coeficienților lor. Luați în considerare matricea:

numit extins matricea sistemului, deoarece, pe lângă matricea principală a sistemului, include o coloană de termeni liberi. Metoda Gaussiană se bazează pe reducerea matricei principale a sistemului la o formă triunghiulară (sau formă trapezoidală în cazul sistemelor nepătrate) folosind transformări elementare de rând (!) ale matricei extinse a sistemului.

Exemplul 5.1. Rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie. Să scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind primul rând, după aceea vom reseta elementele rămase:

primim zerouri în rândurile 2, 3 și 4 ale primei coloane:

Acum avem nevoie ca toate elementele din a doua coloană de sub al doilea rând să fie egale cu zero. Pentru a face acest lucru, puteți înmulți a doua linie cu –4/7 și o puteți adăuga la a treia linie. Cu toate acestea, pentru a nu face față fracțiilor, să creăm o unitate în al 2-lea rând al celei de-a doua coloane și numai

Acum, pentru a obține o matrice triunghiulară, trebuie să resetați elementul din al patrulea rând al coloanei a treia; pentru a face acest lucru, puteți înmulți al treilea rând cu 8/54 și îl puteți adăuga la al patrulea. Totuși, pentru a nu avea de-a face cu fracțiile, vom schimba rândurile 3 și 4 și coloanele 3 și 4 și numai după aceea vom reseta elementul specificat. Rețineți că atunci când rearanjați coloanele, variabilele corespunzătoare își schimbă locurile și acest lucru trebuie reținut; alte transformări elementare cu coloane (adunare și înmulțire cu un număr) nu pot fi efectuate!

Ultima matrice simplificată corespunde unui sistem de ecuații echivalent cu cel inițial:

De aici, folosind inversul metodei gaussiene, găsim din a patra ecuație X 3 = –1; din a treia X 4 = –2, din a doua X 2 = 2 și din prima ecuație X 1 = 1. În formă de matrice, răspunsul se scrie ca

Am luat în considerare cazul când sistemul este definit, adică. când există o singură soluție. Să vedem ce se întâmplă dacă sistemul este inconsecvent sau incert.

Exemplul 5.2. Explorați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie. Scriem și transformăm matricea extinsă a sistemului

Scriem un sistem simplificat de ecuații:

Aici, în ultima ecuație rezultă că 0=4, adică. contradicţie. În consecință, sistemul nu are nicio soluție, adică. ea incompatibil. à

Exemplul 5.3. Explorați și rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie. Scriem și transformăm matricea extinsă a sistemului:

Ca rezultat al transformărilor, ultima linie conține doar zerouri. Aceasta înseamnă că numărul de ecuații a scăzut cu una:

Astfel, după simplificări, au rămas două ecuații și patru necunoscute, adică. două „în plus” necunoscute. Să fie „de prisos”, sau, după cum se spune, variabile libere, voi X 3 și X 4 . Apoi

crezând X 3 = 2AȘi X 4 = b, primim X 2 = 1–AȘi X 1 = 2b–A; sau sub formă de matrice

O soluție scrisă în acest fel se numește general, pentru că, dând parametri AȘi b sensuri diferite, este posibil să descriem toate soluțiile posibile ale sistemului. A

1. Sistem liniar ecuații algebrice

1.1 Conceptul de sistem de ecuații algebrice liniare

Un sistem de ecuații este o condiție constând în executarea simultană a mai multor ecuații în raport cu mai multe variabile. Un sistem de ecuații algebrice liniare (denumit în continuare SLAE) care conține m ecuații și n necunoscute se numește sistem de forma:

unde numerele a ij sunt numite coeficienți de sistem, numerele b i sunt numite termeni liberi, a ijȘi b i(i=1,…, m; b=1,…, n) reprezintă câteva numere cunoscute, iar x 1,…, x n– necunoscut. În desemnarea coeficienţilor a ij primul indice i desemnează numărul ecuației, iar al doilea j este numărul necunoscutului la care se află acest coeficient. Numerele x n trebuie găsite. Este convenabil să scrieți un astfel de sistem într-o formă de matrice compactă: AX=B. Aici A este matricea coeficienților sistemului, numită matrice principală;

– vector coloană de necunoscute xj.
este un vector coloană de termeni liberi bi.

Produsul matricelor A*X este definit, deoarece există tot atâtea coloane în matricea A câte rânduri sunt în matricea X (n bucăți).

Matricea extinsă a unui sistem este matricea A a sistemului, completată de o coloană de termeni liberi

1.2 Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare

Soluția unui sistem de ecuații este un set ordonat de numere (valori ale variabilelor), la înlocuirea acestora în loc de variabile, fiecare dintre ecuațiile sistemului se transformă într-o egalitate adevărată.

O soluție a unui sistem este n valori ale necunoscutelor x1=c1, x2=c2,..., xn=cn, prin înlocuirea cărora toate ecuațiile sistemului devin egalități adevărate. Orice soluție a sistemului poate fi scrisă ca o matrice coloane

Un sistem de ecuații se numește consistent dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are nicio soluție.

Se spune că un sistem consistent este determinat dacă are o singură soluție și nedefinit dacă are mai multe soluții. În acest din urmă caz, fiecare dintre soluțiile sale se numește o soluție particulară a sistemului. Mulțimea tuturor soluțiilor particulare se numește soluție generală.

Rezolvarea unui sistem înseamnă a afla dacă este compatibil sau inconsecvent. Dacă sistemul este consistent, găsiți soluția generală.

Două sisteme sunt numite echivalente (echivalente) dacă au aceeași soluție generală. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte și invers.

Transformare, a cărei aplicare transformă sistemul în sistem nou, echivalent cu cel original, se numește transformare echivalentă sau echivalentă. Exemple de transformări echivalente includ următoarele transformări: schimbarea a două ecuații ale unui sistem, schimbarea a două necunoscute împreună cu coeficienții tuturor ecuațiilor, înmulțirea ambelor părți ale oricărei ecuații a unui sistem cu un număr diferit de zero.

Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero:

Un sistem omogen este întotdeauna consistent, deoarece x1=x2=x3=…=xn=0 este o soluție a sistemului. Această soluție se numește zero sau trivială.

2. Metoda de eliminare gaussiană

2.1 Esența metodei gaussiene de eliminare

Metoda clasică de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare este metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor - metoda gaussiana(se mai numeste si metoda de eliminare gaussiana). Aceasta este o metodă de eliminare secvenţială a variabilelor, când, folosind transformări elementare, un sistem de ecuaţii este redus la un sistem echivalent de formă treaptă (sau triunghiulară), din care toate celelalte variabile se găsesc secvenţial, începând cu ultima (prin număr) variabile.

Procesul de rezolvare folosind metoda Gauss constă din două etape: mișcări înainte și înapoi.

1. Lovitură directă.

În prima etapă, se realizează așa-numita mișcare directă, atunci când, prin transformări elementare peste rânduri, sistemul este adus la o formă în trepte sau triunghiulară, sau se stabilește că sistemul este incompatibil. Și anume, dintre elementele primei coloane a matricei, selectați unul diferit de zero, mutați-l în poziția de sus prin rearanjarea rândurilor și scădeți primul rând rezultat din rândurile rămase după rearanjare, înmulțindu-l cu o valoare. egal cu raportul dintre primul element al fiecăruia dintre aceste rânduri și primul element al primului rând, reducând astfel coloana de sub acesta.

După ce aceste transformări au fost finalizate, primul rând și prima coloană sunt tăiate mental și continuate până când rămâne o matrice de dimensiune zero. Dacă la orice iterație nu există niciun element diferit de zero printre elementele primei coloane, atunci mergeți la următoarea coloană și efectuați o operație similară.

În prima etapă (cursă directă), sistemul este redus la o formă în trepte (în special, triunghiulară).

Sistemul de mai jos are o formă în trepte:

,

Coeficienții aii sunt numiți elementele principale (lider) ale sistemului.

(dacă a11=0, rearanjați rândurile matricei astfel încât A 11 nu a fost egal cu 0. Acest lucru este întotdeauna posibil, deoarece altfel matricea conține o coloană zero, determinantul ei este egal cu zero și sistemul este inconsecvent).

Să transformăm sistemul eliminând necunoscuta x1 în toate ecuațiile cu excepția primei (folosind transformări elementare ale sistemului). Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu

și adăugați termen cu termen cu a doua ecuație a sistemului (sau din a doua ecuație scădeți termen cu termen cu prima, înmulțit cu ). Apoi înmulțim ambele părți ale primei ecuații cu și le adunăm la a treia ecuație a sistemului (sau din a treia o scădem pe prima înmulțită cu ). Astfel, înmulțim secvenţial prima linie cu un număr și adăugăm la i a linia, pentru i= 2, 3, …,n.

Continuând acest proces, obținem un sistem echivalent:

– noi valori ale coeficienților pentru necunoscute și termeni liberi în ultimele m-1 ecuații ale sistemului, care sunt determinate de formulele:

Astfel, la prima etapă, toți coeficienții aflați sub primul element conducător a 11 sunt distruși.

0, în a doua etapă elementele aflate sub cel de-al doilea element conducător a 22 (1) sunt distruse (dacă a 22 (1) 0), etc. Continuând acest proces în continuare, în final, la pasul (m-1), reducem sistemul original la un sistem triunghiular.

Dacă, în procesul de reducere a sistemului la o formă treptată, apar ecuații zero, adică. egalități de forma 0=0, acestea sunt aruncate. Dacă apare o ecuaţie a formei

atunci aceasta indică incompatibilitatea sistemului.

Aici se termină progresul direct al metodei lui Gauss.

2. Cursa inversă.

În a doua etapă, se efectuează așa-numita mișcare inversă, a cărei esență este de a exprima toate variabilele de bază rezultate în termeni de cele nebazice și de a construi sistem fundamental soluții sau, dacă toate variabilele sunt de bază, atunci exprimați numeric soluția unică a sistemului de ecuații liniare.

Această procedură începe cu ultima ecuație, din care se exprimă variabila de bază corespunzătoare (există doar una în ea) și se substituie în ecuațiile anterioare și așa mai departe, urcând „treptele”.

Fiecare linie corespunde exact unei variabile de bază, astfel încât la fiecare pas, cu excepția ultimului (cel mai de sus), situația repetă exact cazul ultimei linii.

Notă: în practică, este mai convenabil să lucrați nu cu sistemul, ci cu matricea sa extinsă, efectuând toate transformările elementare pe rândurile sale. Este convenabil ca coeficientul a11 să fie egal cu 1 (rearanjați ecuațiile sau împărțiți ambele părți ale ecuației la a11).

2.2 Exemple de rezolvare a SLAE-urilor folosind metoda Gaussiană

În această secțiune sunt trei diverse exemple Să arătăm cum metoda Gaussiană poate rezolva SLAE.

Exemplul 1. Rezolvați un SLAE de ordinul 3.

Să resetam coeficienții la

în rândurile a doua și a treia. Pentru a face acest lucru, înmulțiți-le cu 2/3 și, respectiv, 1 și adăugați-le la prima linie: