Fracțiile unei unități și este reprezentată ca \frac(a)(b).

Numeratorul fracției (a)- numărul situat deasupra liniei de fracțiuni și care arată numărul de acțiuni în care a fost împărțită unitatea.

Numitorul fracției (b)- numărul situat sub linia fracției și care arată în câte părți este împărțită unitatea.

Ascundeți afișarea

Proprietatea principală a unei fracții

Dacă ad=bc atunci două fracții \frac(a)(b)Și \frac(c)(d) sunt considerate egale. De exemplu, fracțiile vor fi egale \frac35Și \frac(9)(15), deoarece 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7)Și \frac(24)(14), deoarece 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Din definiția egalității fracțiilor rezultă că fracțiile vor fi egale \frac(a)(b)Și \frac(am)(bm), deoarece a(bm)=b(am) este un exemplu clar de utilizare a proprietăților combinative și comutative ale înmulțirii numere naturale In actiune.

Mijloace \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- așa arată proprietatea principală a fracției.

Cu alte cuvinte, obținem o fracție egală cu cea dată prin înmulțirea sau împărțirea numărătorului și numitorului fracției originale cu același număr natural.

Reducerea unei fracții este procesul de înlocuire a unei fracții în care noua fracție este egală cu cea inițială, dar cu un numărător și un numitor mai mici.

Se obișnuiește să se reducă fracțiile pe baza proprietății de bază a fracției.

De exemplu, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(numeratorul și numitorul se împart la numărul 3); fracția rezultată poate fi din nou redusă prin împărțirea la 5, adică \frac(15)(20)=\frac 34.

Fracție ireductibilă este o fracțiune a formei \frac 34, unde numărătorul și numitorul sunt reciproce numere prime. Scopul principal al reducerii unei fracții este de a face fracția ireductibilă.

Reducerea fracțiilor la un numitor comun

Să luăm ca exemplu două fracții: \frac(2)(3)Și \frac(5)(8) cu numitori diferiți 3 și 8. Pentru a aduce aceste fracții la un numitor comun, înmulțim mai întâi numărătorul și numitorul fracției \frac(2)(3) pana la 8. Obtinem urmatorul rezultat: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Apoi înmulțim numărătorul și numitorul fracției \frac(5)(8) de 3. Ca rezultat obținem: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Deci, fracțiile originale sunt reduse la un numitor comun 24.

Operații aritmetice pe fracții obișnuite

Adunarea fracțiilor obișnuite

a) Dacă numitorii sunt aceiași, numărătorul primei fracții se adaugă numărătorului celei de-a doua fracții, lăsând numitorul același. După cum puteți vedea în exemplu:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Pentru numitori diferiți, fracțiile sunt mai întâi reduse la un numitor comun, iar apoi numărătorii se adună conform regulii a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Scăderea fracțiilor

a) Dacă numitorii sunt aceiași, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții, lăsând numitorul același:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți, atunci mai întâi fracțiile sunt aduse la un numitor comun, iar apoi acțiunile se repetă ca la punctul a).

Înmulțirea fracțiilor comune

Înmulțirea fracțiilor respectă următoarea regulă:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

adică înmulțesc separat numărătorii și numitorii.

De exemplu:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Împărțirea fracțiilor

Fracțiile sunt împărțite în felul următor:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

adică o fracţiune \frac(a)(b) inmultit cu o fractiune \frac(d)(c).

Exemplu: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Numerele reciproce

Dacă ab=1, atunci numărul b este număr reciproc pentru numărul a.

Exemplu: pentru numărul 9 reciproca este \frac(1)(9), deoarece 9\cdot\frac(1)(9)=1, pentru numărul 5 - \frac(1)(5), deoarece 5\cdot\frac(1)(5)=1.

zecimale

Zecimal numită fracție proprie al cărei numitor este 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.

De exemplu: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Numerele neregulate cu numitorul de 10^n sau numerele mixte sunt scrise în același mod.

De exemplu: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

Orice număr poate fi reprezentat ca o fracție zecimală fracție comună cu un numitor care este un divizor al unei anumite puteri de 10.

Exemplu: 5 este un divizor al lui 100, deci este o fracție \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Operatii aritmetice pe zecimale

Adăugarea de zecimale

Pentru a adăuga două fracții zecimale, trebuie să le aranjați astfel încât să existe cifre identice una sub alta și o virgulă sub virgulă, apoi adăugați fracțiile ca numere obișnuite.

Scăderea zecimale

Se efectuează în același mod ca și adăugarea.

Înmulțirea zecimalelor

La înmulțire numere zecimale Este suficient să înmulțiți numerele date, fără să acordați atenție virgulelor (cum ar fi numerele naturale), iar în răspunsul rezultat, o virgulă din dreapta separă atâtea cifre câte cifre sunt după virgulă în ambii factori în total.

Să înmulțim 2,7 cu 1,3. Avem 27 \cdot 13=351 . Separăm două cifre în dreapta cu o virgulă (primul și al doilea număr au o cifră după virgulă zecimală; 1+1=2). Ca rezultat, obținem 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Dacă rezultatul rezultat conține mai puține cifre decât trebuie separate prin virgulă, atunci zerourile lipsă sunt scrise în față, de exemplu:

Pentru a înmulți cu 10, 100, 1000, trebuie să mutați punctul zecimal 1, 2, 3 cifre la dreapta (dacă este necesar, un anumit număr de zerouri sunt atribuite la dreapta).

De exemplu: 1,47\cdot 10\,000 = 14.700.

Împărțire zecimală

Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural se face în același mod ca și împărțirea unui număr natural la un număr natural. Virgula din coeficient este plasată după ce s-a încheiat împărțirea întregii părți.

Dacă partea întreagă a dividendului mai mic decât divizorul, atunci răspunsul se dovedește a fi zero numere întregi, de exemplu:

Să ne uităm la împărțirea unei zecimale la o zecimală. Să presupunem că trebuie să împărțim 2,576 la 1,12. Mai întâi de toate, să înmulțim dividendul și divizorul fracției cu 100, adică mutam punctul zecimal la dreapta în dividend și divizor cu atâtea cifre câte sunt în divizor după virgulă (în acest exemplu, Două). Apoi trebuie să împărțiți fracția 257,6 la numărul natural 112, adică problema se reduce la cazul deja luat în considerare:

Se întâmplă ca rezultatul final să nu fie întotdeauna obținut zecimal la împărțirea unui număr la altul. Rezultatul este o fracție zecimală infinită. În astfel de cazuri, trecem la fracții obișnuite.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

Conținutul lecției

Adunarea fracțiilor cu numitori similari

Există două tipuri de adunări de fracții:

1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Mai întâi, să învățăm adunarea fracțiilor cu numitori similari. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat. De exemplu, să adăugăm fracțiile și . Adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2. Adăugați fracții și .

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție improprie. Când vine sfârșitul sarcinii, se obișnuiește să scapi de fracțiile improprii. Pentru a scăpa de o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte a acesteia. În cazul nostru, întreaga parte este ușor de izolat - doi împărțiți la doi egal cu unul:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim despre o pizza care este împărțită în două părți. Dacă adăugați mai multă pizza la pizza, obțineți o pizza întreagă:

Exemplul 3. Adăugați fracții și .

Din nou, adunăm numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați mai multă pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 4. Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Număratorii trebuie adăugați și numitorul lăsat neschimbat:

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă adăugați pizza la o pizza și adăugați mai multe pizza, obțineți 1 pizza întreagă și mai multe pizza.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a adăuga fracții cu același numitor, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat;

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Acum să învățăm cum să adunăm fracții cu numitori diferiți. Când se adună fracții, numitorii fracțiilor trebuie să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.

De exemplu, fracțiile pot fi adăugate pentru că au aceiași numitori.

Dar fracțiile nu pot fi adăugate imediat, deoarece aceste fracții numitori diferiti. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Există mai multe moduri de a reduce fracțiile la același numitor. Astăzi ne vom uita doar la una dintre ele, deoarece celelalte metode pot părea complicate pentru un începător.

Esența acestei metode este că mai întâi este căutat LCM-ul numitorilor ambelor fracții. LCM este apoi împărțit la numitorul primei fracții pentru a obține primul factor suplimentar. Ei fac același lucru cu a doua fracție - LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar.

Numătorii și numitorii fracțiilor sunt apoi înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții.

Exemplul 1. Să adăugăm fracțiile și

În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6

LCM (2 și 3) = 6

Acum să revenim la fracții și . Mai întâi, împărțiți LCM la numitorul primei fracții și obțineți primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțind 6 la 3, obținem 2.

Numărul rezultat 2 este primul multiplicator suplimentar. O notăm până la prima fracție. Pentru a face acest lucru, faceți o linie oblică mică peste fracție și notați factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împărțind 6 la 2, obținem 3.

Numărul 3 rezultat este al doilea multiplicator suplimentar. O scriem la a doua fracție. Din nou, facem o linie oblică mică peste a doua fracție și notăm factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Acum avem totul pregătit pentru adăugare. Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii lor suplimentari:

Privește cu atenție la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții. Să luăm acest exemplu până la capăt:

Acest lucru completează exemplul. Se dovedește a adăuga.

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă adăugați pizza la o pizza, obțineți o pizza întreagă și o altă șesime dintr-o pizza:

Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi, de asemenea, descrisă folosind o imagine. Reducând fracțiile și la un numitor comun, am obținut fracțiile și . Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași bucăți de pizza. Singura diferență va fi că de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor).

Primul desen reprezintă o fracție (patru piese din șase), iar al doilea desen reprezintă o fracție (trei piese din șase). Adăugând aceste piese obținem (șapte bucăți din șase). Această fracție este improprie, așa că am evidențiat întreaga parte a ei. Drept urmare, am primit (o pizza întreagă și o altă pizza a șasea).

Vă rugăm să rețineți că am descris acest exemplu prea detaliat. ÎN institutii de invatamant Nu este obișnuit să scrieți atât de detaliat. Trebuie să puteți găsi rapid LCM-ul ambilor numitori și al factorilor suplimentari la aceștia, precum și să înmulțiți rapid factorii suplimentari găsiți cu numărătorii și numitorii dvs. Dacă am fi la școală, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:

Dar există și partea din spate medalii. Dacă nu luați note detaliate în primele etape ale studiului matematicii, atunci încep să apară întrebări de acest fel. „De unde vine acel număr?”, „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.

Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți, puteți folosi următoarele instrucțiuni pas cu pas:

1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor;
2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un factor suplimentar pentru fiecare fracție;
3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora;
4. Adaugă fracții care au aceiași numitori;
5. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga sa parte;

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii .

Să folosim instrucțiunile de mai sus.

Pasul 1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor

Aflați LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4

Pasul 2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un factor suplimentar pentru fiecare fracție

Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 12 la 2, obținem 6. Primul factor suplimentar este 6. Îl scriem deasupra primei fracții:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Obținem al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem deasupra celei de-a doua fracții:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împărțim 12 la 4, obținem 3. Obținem al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem deasupra celei de-a treia fracții:

Pasul 3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora

Înmulțim numărătorii și numitorii cu factorii lor suplimentari:

Pasul 4. Adaugă fracții cu aceiași numitori

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori (comuni). Tot ce rămâne este să adunăm aceste fracții. Adaugă:

Adăugarea nu se potrivea pe o singură linie, așa că am mutat expresia rămasă pe următoarea linie. Acest lucru este permis la matematică. Când o expresie nu se încadrează pe o linie, este mutată pe următoarea linie și este necesar să se pună un semn egal (=) la sfârșitul primei rânduri și la începutul noii linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.

Pasul 5. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga parte a acestuia

Răspunsul nostru s-a dovedit a fi o fracție improprie. Trebuie să evidențiem o întreagă parte din ea. Subliniem:

Am primit un răspuns

Scăderea fracțiilor cu numitori similari

Există două tipuri de scădere de fracții:

1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

În primul rând, să învățăm cum să scădem fracții cu numitori similari. Totul este simplu aici. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții, dar să lăsați numitorul același.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei . Pentru a rezolva acest exemplu, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat. Să o facem:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei.

Din nou, de la numărătorul primei fracții, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Din numărătorul primei fracții trebuie să scădeți numărătorii fracțiilor rămase:

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat;
2. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să evidențiați întreaga parte a acestuia.

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

De exemplu, puteți scădea o fracție dintr-o fracție deoarece fracțiile au aceiași numitori. Dar nu puteți scădea o fracție dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Numitorul comun se găsește folosind același principiu pe care l-am folosit atunci când adunăm fracții cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care se scrie deasupra primei fracții. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care este scris deasupra celei de-a doua fracții.

Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. În urma acestor operații, fracțiile care au numitori diferiți sunt convertite în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții.

Exemplul 1. Găsiți sensul expresiei:

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că trebuie să le reduceți la același numitor (comun).

Mai întâi găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12

LCM (3 și 4) = 12

Acum să revenim la fracții și

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțiți 12 la 3, obținem 4. Scrieți un patru deasupra primei fracții:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împărțiți 12 la 4, obținem 3. Scrieți un trei peste a doua fracție:

Acum suntem pregătiți pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să luăm acest exemplu până la capăt:

Am primit un răspuns

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza

Aceasta este versiunea detaliată a soluției. Dacă am fi la școală, ar trebui să rezolvăm mai scurt acest exemplu. O astfel de soluție ar arăta astfel:

Reducerea fracțiilor la un numitor comun poate fi reprezentată și folosind o imagine. Reducând aceste fracții la un numitor comun, am obținut fracțiile și . Aceste fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor):

Prima imagine arată o fracție (opt bucăți din douăsprezece), iar a doua imagine arată o fracție (trei bucăți din douăsprezece). Tăiind trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracția descrie aceste cinci piese.

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că mai întâi trebuie să le reduceți la același numitor (comun).

Să găsim LCM al numitorilor acestor fracții.

Numitorii fracțiilor sunt numerele 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții.

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împărțind 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem deasupra primei fracții:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem deasupra celei de-a doua fracții:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împărțim 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem deasupra celei de-a treia fracții:

Acum totul este gata pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori (comuni). Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.

Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o linie, așa că mutam continuarea pe următoarea linie. Nu uitați de semnul egal (=) pe noua linie:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracțiune obișnuită și totul pare să ni se potrivească, dar este prea greoi și urât. Ar trebui să o simplificăm. Ce se poate face? Puteți scurta această fracție.

Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la (GCD) numerelor 20 și 30.

Deci, găsim mcd-ul numerelor 20 și 30:

Acum revenim la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la mcd găsit, adică la 10

Am primit un răspuns

Înmulțirea unei fracții cu un număr

Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției date cu acel număr și să lăsați numitorul același.

Exemplul 1. Înmulțiți o fracție cu numărul 1.

Înmulțiți numărătorul fracției cu numărul 1

Înregistrarea poate fi înțeleasă ca durând o jumătate de dată. De exemplu, dacă iei pizza o dată, primești pizza

Din legile înmulțirii știm că dacă multiplicandul și factorul sunt schimbate, produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca , atunci produsul va fi tot egal cu . Din nou, regula pentru înmulțirea unui număr întreg și a unei fracții funcționează:

Această notație poate fi înțeleasă ca luând jumătate din unu. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul fracției cu 4

Răspunsul a fost o fracție improprie. Să evidențiem întreaga parte a acesteia:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei 4 pizza, vei primi două pizza întregi

Și dacă schimbăm multiplicandul și multiplicatorul, obținem expresia . De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:

Înmulțirea fracțiilor

Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, trebuie să evidențiați întreaga parte a acestuia.

Exemplul 1. Găsiți valoarea expresiei.

Am primit un răspuns. Este recomandabil să reduceți această fracție. Fracția poate fi redusă cu 2. Apoi soluția finală va lua următoarea formă:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând o pizza dintr-o jumătate de pizza. Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Cum să iau două treimi din această jumătate? Mai întâi trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:

Și ia două din aceste trei bucăți:

Vom face pizza. Amintiți-vă cum arată pizza când este împărțită în trei părți:

O bucată din această pizza și cele două bucăți pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:

Cu alte cuvinte, despre care vorbim pizza cam de aceeași dimensiune. Prin urmare, valoarea expresiei este

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul a fost o fracție improprie. Să evidențiem întreaga parte a acesteia:

Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție obișnuită, dar ar fi bine dacă ar fi scurtat. Pentru a reduce această fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acestei fracții la cel mai mare divizor comun (MCD) al numerelor 105 și 450.

Deci, să găsim mcd-ul numerelor 105 și 450:

Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la mcd-ul pe care l-am găsit acum, adică la 15

Reprezentarea unui număr întreg sub formă de fracție

Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca . Acest lucru nu va schimba sensul lui cinci, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unu”, iar acesta, după cum știm, este egal cu cinci:

Numerele reciproce

Acum ne vom familiariza cu foarte subiect interesantîn matematică. Se numește „numere inverse”.

Definiție. Inversa la numărA este un număr care, atunci când este înmulțit cuA dă unul.

Să înlocuim în această definiție în locul variabilei A numărul 5 și încercați să citiți definiția:

Inversa la număr 5 este un număr care, atunci când este înmulțit cu 5 dă unul.

Este posibil să găsim un număr care, înmulțit cu 5, dă unul? Se dovedește că este posibil. Să ne imaginăm cinci ca o fracție:

Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numărătorul și numitorul. Cu alte cuvinte, să înmulțim fracția cu ea însăși, doar cu capul în jos:

Ce se va întâmpla ca urmare a acestui fapt? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:

Aceasta înseamnă că inversul numărului 5 este numărul , deoarece atunci când înmulțiți 5 cu obțineți unul.

Reciproca unui număr poate fi găsită și pentru orice alt întreg.

Puteți găsi, de asemenea, reciproca oricărei alte fracții. Pentru a face acest lucru, doar întoarceți-l.

Împărțirea unei fracții la un număr

Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Să o împărțim în mod egal între doi. Câtă pizza va primi fiecare persoană?

Se poate observa că după împărțirea jumătății de pizza s-au obținut două bucăți egale, fiecare dintre acestea constituind o pizza. Deci toată lumea primește o pizza.

Împărțirea fracțiilor se face folosind reciproce. Numerele reciproce vă permit să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea.

Pentru a împărți o fracție la un număr, trebuie să înmulțiți fracția cu inversul divizorului.

Folosind această regulă, vom nota împărțirea jumătății noastre de pizza în două părți.

Deci, trebuie să împărțiți fracția la numărul 2. Aici dividendul este fracția și divizorul este numărul 2.

Pentru a împărți o fracție la numărul 2, trebuie să înmulțiți această fracție cu inversul divizorului 2. Reciprocul divizorului 2 este fracția. Deci trebuie să înmulțiți cu

Definiția unei fracții comune

Definiția 1

Fracțiile comune sunt folosite pentru a descrie numărul de părți. Să ne uităm la un exemplu care poate fi folosit pentru a defini o fracție comună.

Mărul a fost împărțit în acțiuni de 8$. În acest caz, fiecare acțiune reprezintă o opteme dintr-un măr întreg, adică $\frac(1)(8)$. Două acțiuni sunt notate cu $\frac(2)(8)$, trei acțiuni cu $\frac(3)(8)$ etc. și $\frac(8)(8)$ etc. și $\frac(8)(8)$ . Fiecare dintre intrările prezentate este numită fracție obișnuită.

Să dăm definiție generală fracție obișnuită.

Definiția 2

Fracție comună se numește notație de forma $\frac(m)(n)$, unde $m$ și $n$ sunt orice numere naturale.

Puteți găsi adesea următoarea notație pentru o fracție comună: $m/n$.

Exemplul 1

Exemple de fracții comune:

\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]

Nota 1

Numerele $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ nu sunt fracții obișnuite, deoarece nu se încadrează în definiția de mai sus.

Numătorul și numitorul

O fracție comună este formată dintr-un numărător și un numitor.

Definiția 3

Numărător O fracție obișnuită $\frac(m)(n)$ este un număr natural $m$, care arată numărul de părți egale luate dintr-un singur întreg.

Definiția 4

Numitor O fracție obișnuită $\frac(m)(n)$ este un număr natural $n$, care arată în câte părți egale este împărțit întregul întreg.

Poza 1.

Numătorul este situat deasupra liniei fracțiilor, iar numitorul este situat sub linia fracției. De exemplu, numărătorul fracției comune $\frac(5)(17)$ este numărul $5$, iar numitorul este numărul $17$. Numitorul arată că articolul este împărțit în acțiuni de 17$, iar numărătorul arată că au fost luate astfel de acțiuni de 5$.

Numărul natural ca fracție cu numitorul 1

Numitorul unei fracții comune poate fi unul. În acest caz, obiectul este considerat a fi indivizibil, adică. reprezintă un singur întreg. Numătorul unei astfel de fracții arată câte obiecte întregi sunt luate. O fracție obișnuită de forma $\frac(m)(1)$ are semnificația unui număr natural $m$. Astfel, obținem egalitatea bine întemeiată $\frac(m)(1)=m$.

Dacă rescriem egalitatea sub forma $m=\frac(m)(1)$, atunci va face posibilă reprezentarea oricărui număr natural $m$ ca o fracție obișnuită. De exemplu, numărul $5$ poate fi reprezentat ca o fracție $\frac(5)(1)$, numărul $123\456$ poate fi reprezentat ca o fracție $\frac(123\456)(1)$.

Astfel, orice număr natural $m$ poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită cu numitorul $1$, iar orice fracție obișnuită de forma $\frac(m)(1)$ poate fi înlocuită cu un număr natural $m$.

Bară fracțională ca semn de divizare

Reprezentarea unui obiect sub forma de $n$ părți este o împărțire în $n$ părți egale. După împărțirea unui articol în $n$ acțiuni, acesta poate fi împărțit în mod egal între $n$ persoane - fiecare va primi o acțiune.

Să fie $m$ obiecte identice împărțite în $n$ părți. Aceste $m$ articole pot fi împărțite în mod egal între $n$ persoane, oferind fiecărei persoane câte o cotă din fiecare dintre $m$ articole. În acest caz, fiecare persoană va primi $m$ acțiuni de $\frac(1)(n)$, care dau fracția comună $\frac(m)(n)$. Constatăm că fracția comună $\frac(m)(n)$ poate fi folosită pentru a desemna împărțirea $m$ articole între $n$ persoane.

Legătura dintre fracțiile obișnuite și împărțire se exprimă prin faptul că bara de fracții poate fi înțeleasă ca un semn de divizare, i.e. $\frac(m)(n)=m:n$.

O fracție obișnuită face posibilă notarea rezultatului împărțirii a două numere naturale pentru care nu se efectuează o împărțire întreagă.

Exemplul 2

De exemplu, rezultatul împărțirii $7$ mere la $9$ oameni poate fi scris ca $\frac(7)(9)$, adică. toată lumea va primi șapte-nouă dintr-un măr: $7:9=\frac(7)(9)$.

Fracții egale și inegale, comparație de fracții

Rezultatul comparării a două fracții ordinare poate fi fie egalitatea lor, fie neegalitatea lor. Când fracțiile obișnuite sunt egale, ele sunt numite egale; în caz contrar, fracțiile obișnuite sunt numite inegale.

egal, dacă egalitatea $a\cdot d=b\cdot c$ este adevărată.

Fracțiile obișnuite $\frac(a)(b)$ și $\frac(c)(d)$ se numesc inegal, dacă egalitatea $a\cdot d=b\cdot c$ nu este valabilă.

Exemplul 3

Aflați dacă fracțiile $\frac(1)(3)$ și $\frac(2)(6)$ sunt egale.

Egalitatea este satisfăcută, ceea ce înseamnă că fracțiile $\frac(1)(3)$ și $\frac(2)(6)$ sunt egale: $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6)$.

Acest exemplu poate fi considerat folosind mere: unul dintre cele două mere identice este împărțit în trei părți egale, al doilea în acțiuni de $6$. Se poate observa că două șasemi dintr-un măr constituie o cotă $\frac(1)(3)$.

Exemplul 4

Verificați dacă fracțiile obișnuite $\frac(3)(17)$ și $\frac(4)(13)$ sunt egale.

Să verificăm dacă egalitatea $a\cdot d=b\cdot c$ este valabilă:

\ \

Egalitatea nu este valabilă, ceea ce înseamnă că fracțiile $\frac(3)(17)$ și $\frac(4)(13)$ nu sunt egale: $\frac(3)(17)\ne \frac( 4)(13) $.

Comparând două fracții comune și constatând că nu sunt egale, puteți afla care este mai mare și care este mai mică decât cealaltă. Pentru a face acest lucru, utilizați regula pentru compararea fracțiilor obișnuite: trebuie să aduceți fracțiile la un numitor comun și apoi să le comparați numărătorii. Indiferent de fracțiunea care are un numărător mai mare, acea fracție va fi cea mai mare.

Fracții pe o rază de coordonate

Toate numerele fracționale care corespund fracțiilor obișnuite pot fi afișate pe o rază de coordonate.

Pentru a marca un punct pe o rază de coordonate care corespunde fracției $\frac(m)(n)$, este necesar să se traseze $m$ segmente de la originea coordonatelor în direcția pozitivă, a căror lungime este $\ frac(1)(n)$ o fracție dintr-un segment unitar . Astfel de segmente sunt obținute prin împărțirea unui segment unitar în $n$ părți egale.

Pentru a afișa pe o rază de coordonate un număr fracționar, trebuie să împărțiți un singur segment în părți.

Figura 2.

Fracțiile egale sunt descrise de același număr fracționar, adică. fracțiile egale reprezintă coordonatele aceluiași punct de pe raza de coordonate. De exemplu, coordonatele $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ descriu același punct de pe raza de coordonate, deoarece toate fracțiile scrise sunt egale.

Dacă un punct este descris printr-o coordonată cu o fracție mai mare, atunci el va fi situat la dreapta pe o rază de coordonate orizontală îndreptată spre dreapta de la punctul a cărui coordonată este o fracție mai mică. De exemplu, pentru că fracția $\frac(5)(6)$ este mai mare decât fracția $\frac(2)(6)$, atunci punctul cu coordonata $\frac(5)(6)$ este situat în dreapta punct cu coordonata $\frac(2) (6)$.

De asemenea, un punct cu o coordonată mai mică se va afla la stânga unui punct cu o coordonată mai mare.

Fracțiune- o formă de reprezentare a unui număr în matematică. Bara de fracțiuni indică operația de împărțire. Numărător fracția se numește dividend și numitor- separator. De exemplu, într-o fracție, numărătorul este 5 și numitorul este 7.

Corect Se numește o fracție în care modulul numărătorului este mai mare decât modulul numitorului. Dacă o fracție este proprie, atunci modulul valorii sale este întotdeauna mai mic decât 1. Toate celelalte fracții sunt gresit.

Fracția se numește amestecat, dacă se scrie ca număr întreg și fracție. Aceasta este aceeași cu suma acestui număr și a fracției:

Proprietatea principală a unei fracții

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu același număr, atunci valoarea fracției nu se va schimba, adică, de exemplu,

Reducerea fracțiilor la un numitor comun

Pentru a aduce două fracții la un numitor comun, aveți nevoie de:

1. Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua
2. Înmulțiți numărătorul celei de-a doua fracții cu numitorul primei
3. Înlocuiți numitorii ambelor fracții cu produsul lor

Operații cu fracții

Plus. Pentru a adăuga două fracții aveți nevoie

1. Adăugați noii numărători ai ambelor fracții și lăsați numitorul neschimbat

Exemplu:

Scădere. Pentru a scădea o fracție din alta, aveți nevoie

1. Reduceți fracțiile la un numitor comun
2. Scădeți numărătorul celei de-a doua din numărătorul primei fracții și lăsați numitorul neschimbat

Exemplu:

Multiplicare. Pentru a înmulți o fracție cu alta, înmulțiți-le numărătorii și numitorii:

Divizia. Pentru a împărți o fracție la alta, înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua:

Acest articol este despre fracții comune. Aici vom introduce conceptul de fracție a unui întreg, ceea ce ne va conduce la definirea unei fracții comune. În continuare, ne vom opri asupra notației acceptate pentru fracțiile obișnuite și vom oferi exemple de fracții, să spunem despre numărătorul și numitorul unei fracții. După aceasta, vom da definiții ale fracțiilor proprii și improprii, pozitive și negative și vom lua în considerare, de asemenea, poziția numerelor fracționale pe raza de coordonate. În concluzie, enumerăm principalele operații cu fracții.

Navigare în pagină.

Acțiuni ale întregului

Mai întâi vă prezentăm conceptul de cotă.

Să presupunem că avem un obiect format din mai multe părți absolut identice (adică egale). Pentru claritate, vă puteți imagina, de exemplu, un măr tăiat în mai multe părți egale sau o portocală formată din mai multe felii egale. Fiecare dintre aceste părți egale care alcătuiesc întregul obiect se numește părți ale întregului sau pur și simplu acțiuni.

Rețineți că acțiunile sunt diferite. Să explicăm asta. Să luăm două mere. Tăiați primul măr în două părți egale, iar al doilea în 6 părți egale. Este clar că ponderea primului măr va fi diferită de ponderea celui de-al doilea măr.

În funcție de numărul de acțiuni care alcătuiesc întregul obiect, aceste acțiuni au propriile nume. Să rezolvăm nume de bătăi. Dacă un obiect este format din două părți, oricare dintre ele se numește o a doua parte a întregului obiect; dacă un obiect este format din trei părți, atunci oricare dintre ele se numește o a treia parte și așa mai departe.

O a doua acțiune are un nume special - jumătate. O treime este numită al treileași un sfert parte - un sfert.

Din motive de concizie, au fost introduse următoarele: simboluri bate. O a doua acțiune este desemnată ca sau 1/2, o a treia acțiune este desemnată ca sau 1/3; un sfert share - like sau 1/4, și așa mai departe. Rețineți că notația cu o bară orizontală este folosită mai des. Pentru a consolida materialul, să mai dăm un exemplu: intrarea denotă o sută șaizeci și șaptea parte a întregului.

Conceptul de cotă se extinde în mod natural de la obiecte la cantități. De exemplu, una dintre măsurile de lungime este metrul. Pentru a măsura lungimi mai mici de un metru, se pot folosi fracțiuni de metru. Deci, puteți folosi, de exemplu, o jumătate de metru sau o zecime sau o miime de metru. Cotele altor cantități se aplică în mod similar.

Fracții comune, definiție și exemple de fracții

Pentru a descrie numărul de acțiuni pe care le folosim fracții comune. Să dăm un exemplu care ne va permite să abordăm definiția fracțiilor obișnuite.

Lăsați portocala să fie formată din 12 părți. Fiecare acțiune în acest caz reprezintă o doisprezecea parte dintr-o portocală întreagă, adică . Notăm două bătăi ca , trei bătăi ca și așa mai departe, 12 bătăi notăm ca . Fiecare dintre intrările date se numește fracție obișnuită.

Acum să dăm un general definirea fracțiilor comune.

Definiția vocală a fracțiilor obișnuite ne permite să dăm exemple de fracții comune: 5/10, , 21/1, 9/4, . Și aici sunt înregistrările nu se potrivesc cu definiția declarată a fracțiilor ordinare, adică nu sunt fracții obișnuite.

Numătorul și numitorul

Pentru comoditate, se disting fracțiile obișnuite numărător și numitor.

Definiție.

Numărător fracția ordinară (m/n) este un număr natural m.

Definiție.

Numitor fracția comună (m/n) este un număr natural n.

Deci, numărătorul este situat deasupra liniei fracției (în stânga barei oblice), iar numitorul este situat sub linia fracției (în dreapta barei oblice). De exemplu, să luăm fracția comună 17/29, numărătorul acestei fracții este numărul 17, iar numitorul este numărul 29.

Rămâne de discutat semnificația conținută în numărătorul și numitorul unei fracții obișnuite. Numitorul unei fracții arată din câte părți este format un obiect, iar numărătorul, la rândul său, indică numărul acestor părți. De exemplu, numitorul 5 al fracției 12/5 înseamnă că un obiect este format din cinci părți, iar numărătorul 12 înseamnă că sunt luate 12 astfel de părți.

Numărul natural ca fracție cu numitorul 1

Numitorul unei fracții comune poate fi egal cu unu. În acest caz, putem considera că obiectul este indivizibil, cu alte cuvinte, reprezintă ceva întreg. Numătorul unei astfel de fracții indică câte obiecte întregi sunt luate. Astfel, o fracție obișnuită de forma m/1 are semnificația unui număr natural m. Așa am fundamentat validitatea egalității m/1=m.

Să rescriem ultima egalitate astfel: m=m/1. Această egalitate ne permite să reprezentăm orice număr natural m ca o fracție obișnuită. De exemplu, numărul 4 este fracția 4/1, iar numărul 103.498 este egal cu fracția 103.498/1.

Asa de, orice număr natural m poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită cu numitorul 1 ca m/1, iar orice fracție obișnuită de forma m/1 poate fi înlocuită cu un număr natural m.

Bara de fracțiuni ca semn de divizare

Reprezentarea obiectului original sub formă de n părți nu este altceva decât împărțirea în n părți egale. După ce un articol este împărțit în n părți, îl putem împărți în mod egal între n persoane - fiecare va primi o acțiune.

Dacă inițial avem m obiecte identice, fiecare dintre ele împărțite în n părți, atunci putem împărți în mod egal aceste m obiecte între n oameni, dând fiecărei persoane o cotă din fiecare dintre cele m obiecte. În acest caz, fiecare persoană va avea m acțiuni de 1/n, iar m acțiuni de 1/n dă fracția comună m/n. Astfel, fracția comună m/n poate fi folosită pentru a desemna împărțirea m elemente între n persoane.

Așa am obținut o legătură explicită între fracțiile obișnuite și diviziune (vezi ideea generală a împărțirii numerelor naturale). Această legătură se exprimă după cum urmează: linia de fracție poate fi înțeleasă ca un semn de împărțire, adică m/n=m:n.

Folosind o fracție obișnuită, puteți scrie rezultatul împărțirii a două numere naturale pentru care nu se poate face o împărțire întreagă. De exemplu, rezultatul împărțirii a 5 mere la 8 persoane poate fi scris ca 5/8, adică toată lumea va primi cinci optimi dintr-un măr: 5:8 = 5/8.

Fracții egale și inegale, comparație de fracții

O acțiune destul de firească este compararea fracțiilor, pentru că este clar că 1/12 dintr-o portocală este diferită de 5/12, iar 1/6 dintr-un măr este la fel cu încă 1/6 din acest măr.

Ca rezultat al comparării a două fracții obișnuite, se obține unul dintre rezultate: fracțiile sunt fie egale, fie inegale. În primul caz avem fracții comune egale, iar în al doilea - fracții ordinare inegale. Să dăm o definiție a fracțiilor ordinare egale și inegale.

Definiție.

egal, dacă egalitatea a·d=b·c este adevărată.

Definiție.

Două fracții comune a/b și c/d nu este egal, dacă egalitatea a·d=b·c nu este satisfăcută.

Iată câteva exemple de fracții egale. De exemplu, fracția comună 1/2 este egală cu fracția 2/4, deoarece 1·4=2·2 (dacă este necesar, vezi regulile și exemplele de înmulțire a numerelor naturale). Pentru claritate, vă puteți imagina două mere identice, primul este tăiat în jumătate, iar al doilea este tăiat în 4 părți. Este evident că două sferturi dintr-un măr sunt egale cu 1/2 cotă. Alte exemple de fracții comune egale sunt fracțiile 4/7 și 36/63 și perechea de fracții 81/50 și 1.620/1.000.

Dar fracțiile obișnuite 4/13 și 5/14 nu sunt egale, deoarece 4·14=56 și 13·5=65, adică 4·14≠13·5. Alte exemple de fracții comune inegale sunt fracțiile 17/7 și 6/4.

Dacă, atunci când comparăm două fracții comune, se dovedește că acestea nu sunt egale, atunci poate fi necesar să aflați care dintre aceste fracții comune Mai puțin diferit, și care - Mai mult. Pentru a afla, se folosește regula de comparare a fracțiilor obișnuite, a cărei esență este aducerea fracțiilor comparate la un numitor comun și apoi compararea numărătorilor. Informații detaliate despre acest subiect sunt colectate în articolul compararea fracțiilor: reguli, exemple, soluții.

Numerele fracționale

Fiecare fracție este o notație număr fracționar. Adică, o fracție este doar o „înveliș” a unui număr fracționar, ea aspect, si tot încărcătură semantică este cuprinsă exact în numărul fracționar. Cu toate acestea, pentru concizie și comoditate, conceptele de fracție și număr fracționar sunt combinate și numite simplu fracție. Aici este potrivit să parafrazăm o zicală binecunoscută: spunem o fracție - înseamnă un număr fracționar, spunem un număr fracționar - ne referim la o fracție.

Fracții pe o rază de coordonate

Toate numerele fracționale corespunzătoare fracțiilor obișnuite își au locul lor unic, adică există o corespondență unu-la-unu între fracții și punctele razei de coordonate.

Pentru a ajunge la punctul de pe raza de coordonate corespunzător fracției m/n, trebuie să lăsați deoparte m segmente de la origine în direcția pozitivă, a căror lungime este 1/n fracțiune a unui segment unitar. Astfel de segmente pot fi obținute prin împărțirea unui segment unitar în n părți egale, ceea ce se poate realiza întotdeauna folosind o busolă și o riglă.

De exemplu, să arătăm punctul M pe raza de coordonate, corespunzător fracției 14/10. Lungimea unui segment cu capete în punctul O și punctul cel mai apropiat de acesta, marcat cu o liniuță mică, este 1/10 dintr-un segment unitar. Punctul cu coordonata 14/10 este îndepărtat de la origine la o distanță de 14 astfel de segmente.

Fracțiilor egale corespund aceluiași număr fracționar, adică fracțiile egale sunt coordonatele aceluiași punct de pe raza de coordonate. De exemplu, coordonatele 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 corespund unui punct de pe raza de coordonate, deoarece toate fracțiile scrise sunt egale (este situat la o distanță de jumătate de segment unitar așezat de la origine în sens pozitiv).

Pe o rază de coordonate orizontală și îndreptată spre dreapta, punctul a cărui coordonată este fracția mai mare este situat la dreapta punctului a cărui coordonată este fracția mai mică. În mod similar, un punct cu o coordonată mai mică se află la stânga unui punct cu o coordonată mai mare.

Fracții proprii și improprii, definiții, exemple

Printre fracțiile obișnuite există fracții proprii și improprii. Această împărțire se bazează pe o comparație a numărătorului și numitorului.

Să definim fracțiile ordinare proprii și improprii.

Definiție.

Fracțiunea corespunzătoare este o fracție obișnuită al cărei numărător este mai mic decât numitorul, adică dacă m

Definiție.

Fracție improprie este o fracție obișnuită în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, adică dacă m≥n, atunci fracția ordinară este improprie.

Iată câteva exemple de fracții proprii: 1/4, , 32.765/909.003. Într-adevăr, în fiecare dintre fracțiile ordinare scrise numărătorul este mai mic decât numitorul (dacă este necesar, vezi articolul care compară numerele naturale), deci sunt corecte prin definiție.

Iată exemple de fracții improprii: 9/9, 23/4, . Într-adevăr, numărătorul primei dintre fracțiile ordinare scrise este egal cu numitorul, iar în fracțiile rămase numărătorul este mai mare decât numitorul.

Există, de asemenea, definiții ale fracțiilor proprii și improprii, bazate pe compararea fracțiilor cu una.

Definiție.

corect, dacă este mai mică de unu.

Definiție.

O fracție obișnuită se numește gresit, dacă este fie egal cu unu, fie mai mare decât 1.

Deci fracția comună 7/11 este corectă, deoarece 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 și 27/27=1.

Să ne gândim la modul în care fracțiile obișnuite cu un numărător mai mare sau egal cu numitorul merită un astfel de nume - „impropriu”.

De exemplu, să luăm fracția improprie 9/9. Această fracție înseamnă că dintr-un obiect care constă din nouă părți sunt luate nouă părți. Adică din cele nouă părți disponibile putem alcătui un întreg obiect. Adică, fracția improprie 9/9 dă în esență întregul obiect, adică 9/9 = 1. În general, fracțiile improprii cu un numărător egal cu numitorul denotă un obiect întreg, iar o astfel de fracție poate fi înlocuită cu numărul natural 1.

Acum luați în considerare fracțiile improprii 7/3 și 12/4. Este destul de evident că din aceste șapte terțe părți putem compune două obiecte întregi (un obiect întreg este format din 3 părți, apoi pentru a compune două obiecte întregi vom avea nevoie de 3 + 3 = 6 părți) și va mai rămâne o a treia parte. . Adică, fracția improprie 7/3 înseamnă în esență 2 obiecte și, de asemenea, 1/3 dintr-un astfel de obiect. Și din douăsprezece părți sferturi putem face trei obiecte întregi (trei obiecte cu patru părți fiecare). Adică, fracția 12/4 înseamnă în esență 3 obiecte întregi.

Exemplele luate în considerare ne conduc la următoarea concluzie: fracțiile improprie pot fi înlocuite fie cu numere naturale, când numărătorul este împărțit egal la numitor (de exemplu, 9/9=1 și 12/4=3), fie cu suma. a unui număr natural și a unei fracții proprii, când numărătorul nu este divizibil egal cu numitorul (de exemplu, 7/3=2+1/3). Poate că tocmai asta a câștigat fracțiunilor improprii numele de „neregulat”.

Un interes deosebit este reprezentarea unei fracții improprie ca sumă a unui număr natural și a unei fracții proprii (7/3=2+1/3). Acest proces se numește separarea întregii părți de o fracție necorespunzătoare și merită o analiză separată și mai atentă.

De asemenea, este de remarcat faptul că există o relație foarte strânsă între fracțiile improprie și numerele mixte.

Fracții pozitive și negative

Fiecare fracție comună corespunde unui număr fracționar pozitiv (vezi articolul despre numerele pozitive și negative). Adică fracțiile obișnuite sunt fracții pozitive. De exemplu, fracțiile obișnuite 1/5, 56/18, 35/144 sunt fracții pozitive. Când trebuie să evidențiați pozitivitatea unei fracții, în fața acesteia este plasat un semn plus, de exemplu, +3/4, +72/34.

Dacă puneți un semn minus în fața unei fracții comune, atunci această intrare va corespunde unui număr fracționar negativ. În acest caz putem vorbi despre fracții negative. Iată câteva exemple de fracții negative: −6/10, −65/13, −1/18.

Fracțiile pozitive și negative m/n și −m/n sunt numere opuse. De exemplu, fracțiile 5/7 și -5/7 sunt fracții opuse.

Fracțiile pozitive, precum numerele pozitive în general, denotă o adunare, un venit, o modificare ascendentă a oricărei valori etc. Fracțiunile negative corespund cheltuielilor, datoriei sau unei scăderi a oricărei cantități. De exemplu, fracția negativă -3/4 poate fi interpretată ca o datorie a cărei valoare este egală cu 3/4.

Pe o direcție orizontală și spre dreapta, fracțiile negative sunt situate la stânga originii. Punctele dreptei de coordonate, ale căror coordonate sunt fracția pozitivă m/n și fracția negativă -m/n, sunt situate la aceeași distanță de origine, dar pe laturi opuse ale punctului O.

Aici merită menționate fracțiile de forma 0/n. Aceste fracții sunt egale cu numărul zero, adică 0/n=0.

Fracțiile pozitive, fracțiile negative și fracțiile 0/n se combină pentru a forma numere raționale.

Operații cu fracții

Am discutat deja despre o acțiune cu fracții obișnuite - compararea fracțiilor - mai sus. Sunt definite încă patru funcții aritmetice operatii cu fractii– adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor. Să ne uităm la fiecare dintre ele.

Esența generală a operațiilor cu fracții este similară cu esența operațiilor corespunzătoare cu numere naturale. Să facem o analogie.

Înmulțirea fracțiilor poate fi gândit ca acțiunea de a găsi o fracție dintr-o fracție. Pentru a clarifica, hai sa dam un exemplu. Să luăm 1/6 dintr-un măr și trebuie să luăm 2/3 din el. Partea de care avem nevoie este rezultatul înmulțirii fracțiilor 1/6 și 2/3. Rezultatul înmulțirii a două fracții ordinare este o fracție obișnuită (care într-un caz special este egală cu un număr natural). În continuare, vă recomandăm să studiați informațiile din articolul Înmulțirea fracțiilor - Reguli, exemple și soluții.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică: manual pentru clasa a V-a. institutii de invatamant.
• Vilenkin N.Ya. si altele.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).