Funcția y=x^2 se numește funcție pătratică. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Vederea generală a parabolei este prezentată în figura de mai jos.

Funcția pătratică

Fig 1. Vedere generală a parabolei

După cum se poate vedea din grafic, este simetric față de axa Oy. Axa Oy se numește axa de simetrie a parabolei. Aceasta înseamnă că dacă desenați o linie dreaptă pe grafic paralelă cu axa Ox deasupra acestei axe. Apoi va intersecta parabola în două puncte. Distanța de la aceste puncte până la axa Oy va fi aceeași.

Axa de simetrie împarte graficul unei parabole în două părți. Aceste părți sunt numite ramuri ale parabolei. Iar punctul unei parabole care se află pe axa de simetrie se numește vârful parabolei. Adică, axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Coordonatele acestui punct sunt (0;0).

Proprietățile de bază ale unei funcții pătratice

1. La x =0, y=0 și y>0 la x0

2. Funcția pătratică atinge valoarea minimă la vârf. Ymin la x=0; De asemenea, trebuie remarcat faptul că funcția nu are o valoare maximă.

3. Funcția scade pe intervalul (-∞;0] și crește pe intervalul ;

Chiar ciudat:

la b = 0 funcție pară

la b ≠ Funcția 0 nu este nici pară, nici impară

la D> 0 două zerouri: ,

la D= 0 unu zero:

la D < 0 нулей нет

Intervale de constanță a semnelor:

dacă a > 0, D> 0, atunci

dacă a > 0, D= 0, atunci

e dacă a > 0, D < 0, то

în cazul în care o< 0, D> 0, atunci

în cazul în care o< 0, D= 0, atunci

în cazul în care o< 0, D < 0, то

- Intervale de monotonie

pentru a > 0

la o< 0

Graficul unei funcții pătratice esteparabolă – o curbă simetrică față de o dreaptă , trecând prin vârful parabolei (vârful parabolei este punctul de intersecție al parabolei cu axa de simetrie).

Pentru a reprezenta grafic o funcție pătratică, aveți nevoie de:

1) găsiți coordonatele vârfului parabolei și marcați-l în planul de coordonate;

2) construiți mai multe puncte aparținând parabolei;

3) conectați punctele marcate cu o linie netedă.

Coordonatele vârfului parabolei sunt determinate de formulele:

; .

Conversia graficelor de funcții

1. Întinderea Arte graficey = x 2 de-a lungul axeila V|a| ori (la|a| < 1 este o compresie de 1/|a| o singura data).

Dacă, și< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (ramurile parabolei vor fi îndreptate în jos).

Rezultat: graficul unei funcțiiy = ah 2 .

2. Transfer paralel grafica functionalay = ah 2 de-a lungul axeiX pe| m | (în dreapta când

m > 0 și la stânga cândT< 0).

Rezultat: graficul funcțieiy = a(x - t) 2 .

3. Transfer paralel grafica functionala de-a lungul axeila pe| n | (sus lap> 0 și în jos laP< 0).

Rezultat: graficul funcțieiy = a(x - t) 2 + p.

Inegalități cuadratice

Inegalitățile de formăOh 2 + b x + c > 0 șiOh 2 + bx + c< 0, undeX - variabil,A , b ȘiCu - niște numere șia≠ 0 se numesc inegalități de gradul doi cu o variabilă.

Rezolvarea unei inegalități de gradul doi într-o variabilă poate fi considerată ca găsirea intervalelor în care funcția pătratică corespunzătoare ia valori pozitive sau negative.

Pentru a rezolva inegalitățile de formăOh 2 + bx + c > 0 șiOh 2 + bx + c< 0 procedați după cum urmează:

1) aflați discriminantul trinomului pătratic și aflați dacă trinomul are rădăcini;

2) dacă trinomul are rădăcini, atunci marcați-le pe axăX iar prin punctele marcate se desenează schematic o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus spreA > 0 sau în jos cândA< 0; dacă trinomul nu are rădăcini, atunci descrieți schematic o parabolă situată în semiplanul superior laA > 0 sau mai mic laA < 0;

3) găsite pe axăX intervale pentru care punctele parabolei sunt situate deasupra axeiX (dacă inegalitatea este rezolvatăOh 2 + bx + c > 0) sau sub axăX (dacă inegalitatea este rezolvatăOh 2 + bx + c < 0).

Exemplu:

Să rezolvăm inegalitatea .

Luați în considerare funcția

Graficul său este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos (din moment ce ).

Să aflăm cum se află graficul în raport cu axaX. Să rezolvăm ecuația pentru asta . Înțelegem astax = 4. Ecuația are o singură rădăcină. Aceasta înseamnă că parabola atinge axaX.

Reprezentând schematic o parabolă, constatăm că funcția ia valori negative pentru oricareX, cu exceptia 4.

Răspunsul poate fi scris astfel:X - orice număr care nu este egal cu 4.

Rezolvarea inegalităților folosind metoda intervalului

diagrama solutiei

1. Găsiți zerouri funcția din partea stângă a inegalității.

2. Marcați poziția zerourilor pe axa numerelor și determinați multiplicitatea acestora (Dacăk i este par, atunci zero este de multiplicitate pare dacăk i impar este impar).

3. Găsiți semnele funcției în intervalele dintre zerourile sale, începând din intervalul din dreapta: în acest interval funcția din partea stângă a inegalității este întotdeauna pozitivă pentru forma dată de inegalități. Când treceți de la dreapta la stânga prin zeroul unei funcții de la un interval la unul adiacent, trebuie să luați în considerare:

dacă zero este impar multiplicitate, semnul funcției se schimbă,

dacă zero este par multiplicitate, se păstrează semnul funcției.

4. Scrieți răspunsul.

Exemplu:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

S-au găsit zerouri de funcție. Sunt egali:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Să marchem zerourile funcției pe linia de coordonatef ( X ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Să găsim semnele acestei funcții în fiecare dintre intervalele (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) și

Din figură reiese clar că mulțimea soluțiilor inegalității este uniunea intervalelor (-∞; -6) și (-1; 4).

Răspuns: (-∞ ; -6) și (-1; 4).

Metoda avută în vedere pentru rezolvarea inegalităților se numeștemetoda intervalului.

Sunt prezentate proprietățile și graficele funcțiilor de putere sensuri diferite exponent. Formule de bază, domenii de definiție și seturi de valori, paritate, monotonitate, crescător și descrescător, extreme, convexitate, inflexiuni, puncte de intersecție cu axele de coordonate, limite, valori particulare.

Formule cu funcții de putere

Pe domeniul de definire al funcției de putere y = x p sunt valabile următoarele formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora

Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0

Dacă exponentul funcției de putere y = x p este egal cu zero, p = 0, atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este o constantă egală cu unu:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...

Considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural impar n = 1, 3, 5, ... . Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3, ... este un întreg nenegativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, ....

Domeniu: -∞ < x < ∞
Sensuri multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0 выпукла вверх
la 0< x < ∞ выпукла вниз
Puncte de inflexiune: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 1, funcția este inversul ei: x = y
pentru n ≠ 1, funcția inversă este rădăcina gradului n:

Funcția de putere cu exponent natural par, p = n = 2, 4, 6, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural par n = 2, 4, 6, ... . Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... - natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....

Domeniu: -∞ < x < ∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
pentru x ≤ 0 scade monoton
pentru x ≥ 0 crește monoton
Extreme: minim, x = 0, y = 0
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 2, Rădăcină pătrată:
pentru n ≠ 2, rădăcină de grad n:

Funcția de putere cu exponent întreg negativ, p = n = -1, -2, -3, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent negativ întreg n = -1, -2, -3, ... . Dacă punem n = -k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca:

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ... .

Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....

Domeniu: x ≠ 0
Sensuri multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вверх
pentru x > 0: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
când n = -1,
la n< -2 ,

Exponent par, n = -2, -4, -6, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ....

Domeniu: x ≠ 0
Sensuri multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0: scade monoton
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
la n = -2,
la n< -2 ,

Funcția de putere cu exponent rațional (fracțional).

Considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au divizori comuni.

Numitorul indicatorului fracționar este impar

Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru valorile pozitive, cât și pentru cele negative ale argumentului x. Să luăm în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.

Valoarea p este negativă, p< 0

Fie exponentul rațional (cu numitor impar m = 3, 5, 7, ...) mai putin de zero: .

Grafice ale funcțiilor de putere cu un exponent rațional negativ pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.

Numător impar, n = -1, -3, -5, ...

Prezentăm proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent negativ rațional, unde n = -1, -3, -5, ... este un număr întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar.

Domeniu: x ≠ 0
Sensuri multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вверх
pentru x > 0: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = -2, -4, -6, ...

Proprietăți ale funcției de putere y = x p cu un exponent rațional negativ, unde n = -2, -4, -6, ... este un întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar .

Domeniu: x ≠ 0
Sensuri multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0: scade monoton
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:

Valoarea p este pozitivă, mai mică de unu, 0< p < 1

Graficul unei funcții de putere cu exponent rațional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Numător impar, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeniu: -∞ < x < +∞
Sensuri multiple: -∞ < y < +∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вниз
pentru x > 0: convex în sus
Puncte de inflexiune: x = 0, y = 0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = 2, 4, 6, ...

Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional în 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeniu: -∞ < x < +∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y< +∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно убывает
pentru x > 0: crește monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în sus pentru x ≠ 0
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Semn: pentru x ≠ 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = 1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Indicele p este mai mare decât unu, p > 1

Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (p > 1) pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... - impar.

Numător impar, n = 5, 7, 9, ...

Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: . Unde n = 5, 7, 9, ... - impar natural, m = 3, 5, 7 ... - impar natural.

Domeniu: -∞ < x < ∞
Sensuri multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0 выпукла вверх
la 0< x < ∞ выпукла вниз
Puncte de inflexiune: x = 0, y = 0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = 4, 6, 8, ...

Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: . Unde n = 4, 6, 8, ... - natural par, m = 3, 5, 7 ... - natural impar.

Domeniu: -∞ < x < ∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 монотонно убывает
pentru x > 0 crește monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1, y(-1) = 1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numitorul indicatorului fracționar este par

Fie numitorul exponentului fracționar par: m = 2, 4, 6, ... . În acest caz, funcția de putere x p nu este definită pentru valorile negative ale argumentului. Proprietățile sale coincid cu proprietățile unei funcții de putere cu un exponent irațional (vezi secțiunea următoare).

Funcția de putere cu exponent irațional

Se consideră o funcție de putere y = x p cu un exponent irațional p. Proprietățile unor astfel de funcții diferă de cele discutate mai sus prin faptul că nu sunt definite pentru valorile negative ale argumentului x. Pentru valori pozitive argument, proprietățile depind doar de valoarea exponentului p și nu depind dacă p este întreg, rațional sau irațional.

y = x p pentru diferite valori ale exponentului p.

Funcția de putere cu exponent negativ p< 0

Domeniu: x > 0
Sensuri multiple: y > 0
Monoton: scade monoton
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Limite: ;
Sens privat: Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0

Indicator mai mic de unu 0< p < 1

Domeniu: x ≥ 0
Sensuri multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în sus
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indicatorul este mai mare decât un p > 1

Domeniu: x ≥ 0
Sensuri multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în jos
Puncte de inflexiune: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.