O ecuație liniară cu două variabile este orice ecuație care are următoarea vedere: a*x + b*y =c. Aici x și y sunt două variabile, a,b,c sunt niște numere.
Decizie ecuație liniară a*x + b*y = c, se numește orice pereche de numere (x, y) care satisface această ecuație, adică transformă ecuația cu variabilele x și y în egalitatea numerică corectă. Ecuația liniară are set infinit solutii.
Dacă fiecare pereche de numere care este o soluție a unei ecuații liniare cu două variabile este reprezentată pe planul de coordonate ca puncte, atunci toate aceste puncte formează un grafic al unei ecuații liniare cu două variabile. Valorile noastre x și y vor servi drept coordonate pentru puncte. În acest caz, valoarea x va fi abscisa, iar valoarea y va fi ordonată.
Graficul unei ecuații liniare cu două variabile
Graficul unei ecuații liniare cu două variabile este mulțimea tuturor punctelor posibile ale planului de coordonate, ale căror coordonate vor fi soluțiile acestei ecuații liniare. Este ușor de ghicit că graficul va fi o linie dreaptă. Prin urmare, astfel de ecuații se numesc liniare.
Algoritm de construcție
Algoritm pentru reprezentarea grafică a unei ecuații liniare cu două variabile.
1. Desenați axele de coordonate, semnați-le și marcați scara unității.
2. Într-o ecuație liniară, puneți x = 0 și rezolvați ecuația rezultată pentru y. Marcați punctul rezultat pe grafic.
3. Într-o ecuație liniară, luați numărul 0 ca y și rezolvați ecuația rezultată pentru x. Marcați punctul obținut pe grafic
4. Dacă este necesar, luați o valoare arbitrară a lui x și rezolvați ecuația rezultată pentru y. Marcați punctul rezultat pe grafic.
5. Conectați punctele primite, continuați graficul pentru ele. Semnează linia rezultată.
Exemplu: Trasează ecuația 3*x - 2*y =6;
Să punem х=0, atunci - 2*y=6; y=-3;
Să punem y=0, apoi 3*x = 6; x=2;
Marcam punctele obținute pe grafic, tragem o linie dreaptă prin ele și o semnăm. Uită-te la imaginea de mai jos, graficul ar trebui să arate așa.
OBIECTIV: 1) Să prezinte elevilor conceptul de „o ecuație cu două variabile”;
2) Învățați să determinați gradul unei ecuații cu două variabile;
3) Învață să te identifici după funcţie dată care figură este graficul
4) Se consideră transformări ale graficelor cu două variabile;
o ecuație dată cu două variabile folosind programul Agrapher;
6) Dezvoltați gandire logica elevi.
I. Material nou - o prelegere explicativă cu elemente ale unei conversații.
(prelegerea se desfășoară folosind diapozitivele autorului; trasarea a fost realizată în programul Agrapher)
U: Când studiezi liniile, există două probleme:
Pe baza proprietăților geometrice ale unei linii date, găsiți ecuația acesteia;
Problemă inversă: conform ecuației date a dreptei, investigați proprietățile geometrice ale acesteia.
Am considerat prima problemă în cursul geometriei în raport cu un cerc și o dreaptă.
Astăzi vom analiza problema inversă.
Luați în considerare ecuații de forma:
A) x(x-y)=4; b) 2y-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.
sunt exemple de ecuații cu două variabile.
Ecuații cu două variabile XȘi la are forma f(x,y)=(x,y), Unde fȘi – expresii cu variabile XȘi y.
Dacă în ecuație x(x-y)=4înlocuirea unei variabile X valoarea sa este -1 și în loc de la- valoarea 3, atunci se va dovedi egalitatea corectă: 1*(-1-3)=4,
O pereche de (-1; 3) valori variabile XȘi la este o soluție a ecuației x(x-y)=4.
Acesta este rezolvarea ecuației cu două variabile se numește setul de perechi ordonate de valori variabile care formează această ecuație într-o egalitate adevărată.
O ecuație cu două variabile are de obicei un număr infinit de soluții. Excepții constituie, de exemplu, ecuaţii precum X 2 +(y 2 - 4) 2 = 0 sau
2x 2 + la 2 = 0 .
Prima dintre ele are două soluții (0; -2) și (0; 2), a doua are o soluție (0; 0).
Ecuația x 4 + y 4 + 3 = 0 nu are deloc soluții. Este de interes atunci când valorile variabilelor din ecuație sunt numere întregi. Rezolvând astfel de ecuații cu două variabile, găsiți perechi de numere întregi. În astfel de cazuri, se spune că ecuațiile sunt rezolvate în numere întregi.
Se numesc două ecuații care au același set de soluții ecuații echivalente. De exemplu, ecuația x (x + y 2) \u003d x + 1 este o ecuație de gradul al treilea, deoarece poate fi convertită într-o ecuație xy 2 + x 2 - x-1 \u003d 0, partea dreaptă a care este un polinom al formei standard de gradul trei.
Gradul unei ecuații cu două variabile, reprezentat ca F(x, y) = 0, unde F(x, y) este un polinom de forma standard, este gradul polinomului F(x, y).
Dacă toate soluțiile unei ecuații cu două variabile sunt reprezentate prin puncte în planul de coordonate, atunci obținem un grafic al unei ecuații cu două variabile.
programa O ecuație cu două variabile este un set de puncte ale căror coordonate servesc drept soluții pentru această ecuație.
Deci, graficul ecuației ax + by + c = 0 este o linie dreaptă dacă cel puțin unul dintre coeficienți A sau b nu este egal cu zero (Fig. 1). Dacă a=b=c=0, atunci graficul acestei ecuații este plan de coordonate (Fig. 2), dacă a=b=0, A c0, atunci graficul este set gol (Fig. 3).
Graficul ecuației y = un x 2 + prin + c este o parabolă (Fig. 4), graficul ecuației xy=k (k0) – hiperbolă (fig. 5). graficul ecuației X 2 + y 2 = r, unde x și y sunt variabile, r este un număr pozitiv, este cerc centrat la origine și raza egală cu r(Fig. 6). Graficul ecuației este elipsă, Unde AȘi b- semiaxele majore și minore ale elipsei (Fig. 7).
Trasarea unor ecuații este facilitată prin utilizarea transformărilor acestora. Considera transformări ale graficelor ecuaţiilor cu două variabileşi formulaţi regulile prin care se realizează cele mai simple transformări ale graficelor ecuaţiilor
1) Graficul ecuației F (-x, y) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 folosind simetria în jurul axei y.
2) Graficul ecuației F(x, -y) = 0 se obține din graficul ecuației F(x, y) = 0 folosind simetria în jurul axei X.
3) Graficul ecuației F(-x, -y) = 0 se obține din graficul ecuației F(x, y) = 0 folosind simetria centrală în jurul originii.
4) Graficul ecuației F (x-a, y) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 prin deplasarea paralelă cu axa x cu |a| unități (la dreapta dacă A> 0, iar la stânga dacă A < 0).
5) Graficul ecuației F(x, y-b) = 0 se obține din graficul ecuației F(x, y) = 0 prin deplasarea |b| unități paralele cu axa la(sus daca b> 0 și în jos dacă b < 0).
6) Graficul ecuației F (ax, y) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 prin micșorare la axa y și a ori dacă A> 1 și prin întinderea de pe axa y în timp dacă 0< A < 1.
7) Graficul ecuației F(x, by) = 0 se obține din graficul ecuației F(x, y) = 0 folosind compresia pe axa x în b ori dacă b> 1 și prin întinderea de pe axa x în timp dacă 0 < b < 1.
Dacă graficul unei ecuații este rotit cu un unghi aproape de origine, atunci noul grafic va fi graficul unei alte ecuații. Cazurile particulare de rotație prin unghiurile 90 0 și 45 0 sunt importante.
8) Graficul ecuației F (x, y) \u003d 0 ca urmare a întoarcerii originii cu un unghi de 90 0 în sensul acelor de ceasornic intră în graficul ecuației F (-y, x) \u003d 0 și în sens invers acelor de ceasornic - în graficul ecuației F (y , -x) = 0.
9) Graficul ecuației F (x, y) = 0, ca rezultat al întoarcerii originii cu un unghi de 45 0 în sensul acelor de ceasornic, intră în graficul ecuației F = 0 și în sens invers acelor de ceasornic - în graficul ecuației F 
= 0.
Din regulile pe care le-am luat în considerare pentru transformarea graficelor ecuațiilor cu două variabile, se obțin cu ușurință reguli pentru transformarea graficelor funcțiilor.
Exemplul 1. Să arătăm că graficul ecuației X 2 + y 2 + 2x - 8y + 8 = 0 este un cerc (Fig. 17).
Să transformăm ecuația după cum urmează:
1) grupează termenii care conțin variabila Xși care conține o variabilă lași reprezintă fiecare grup de termeni ca un pătrat complet al unui trinom: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2 * 4 * y + 16) + 8 - 1 - 16 \u003d 0;
2) scriem trinoamele rezultate ca un pătrat al sumei (diferenței) a două expresii: (x + 1) 2 + (y - 4) 2 - 9 \u003d 0;
3) analizați, conform regulilor de conversie a graficelor ecuațiilor cu două variabile, ecuația (x + 1) 2 + (y - 4) 2 \u003d 3 2: graficul acestei ecuații este un cerc cu un centru la punctul (-1; 4) și o rază de 3 unități .
Exemplul 2. Trasează ecuația X 2 + 4 ani 2 = 9 .
Să reprezentăm 4y 2 sub forma (2y) 2, obținem ecuația x 2 + (2y) 2 \u003d 9, al cărei grafic poate fi obținut din cercul x 2 + y 2 \u003d 9 prin compresie la x -axa de 2 ori.
Să desenăm un cerc centrat la origine și cu o rază de 3 unități.
Să reducem de 2 ori distanța fiecăruia dintre punctele sale față de axa X, obținem graficul ecuației
x 2 + (2y) 2 = 9.
Am obținut figura micșorând cercul la unul dintre diametrele sale (la diametrul care se află pe axa x). O astfel de figură se numește elipsă (Fig. 18).
Exemplul 3. Aflați ce reprezintă graficul ecuației x 2 - y 2 \u003d 8.
Să folosim formula F= 0.
Înlocuind în această ecuație în loc de X și în loc de Y, obținem:
U: Care este graficul ecuației y = ?
D: Graficul ecuației y = este o hiperbolă.
Y: Am convertit o ecuație de forma x 2 - y 2 = 8 într-o ecuație y = .
Care linie va fi graficul acestei ecuații?
D: Deci, graficul ecuației x 2 - y 2 \u003d 8 este o hiperbolă.
Y: Care linii sunt asimptotele hiperbolei y = .
D: Asimptotele hiperbolei y = sunt liniile y = 0 și x = 0.
Y: Când se face întoarcerea, aceste linii vor intra în linii = 0 și = 0, adică în linii y \u003d x și y \u003d - x. (fig.19).
Exemplul 4: Să aflăm ce formă va lua ecuația y \u003d x 2 a unei parabole atunci când este rotită în jurul originii cu un unghi de 90 0 în sensul acelor de ceasornic.
Folosind formula F (-y; x) \u003d 0, înlocuim variabila x cu - y în ecuația y \u003d x 2, iar variabila y cu x. Obținem ecuația x \u003d (-y) 2, adică x \u003d y 2 (Fig. 20).
Am examinat exemple de grafice ale ecuațiilor de gradul doi cu două variabile și am descoperit că graficele unor astfel de ecuații pot fi o parabolă, hiperbolă, elipsă (în special, un cerc). În plus, un grafic al unei ecuații de gradul doi poate fi o pereche de drepte (în intersectare sau paralele).Acesta este așa-numitul caz degenerat. Deci, graficul ecuației x 2 - y 2 \u003d 0 este o pereche de linii care se intersectează (Fig. 21a), iar graficul ecuației x 2 - 5x + 6 + 0y \u003d 0 este linii paralele.
II Consolidare.
(Elevilor li se dau „Fișe de instrucțiuni” pentru executarea construcției graficelor ecuațiilor cu două variabile în programul Agrapher (Anexa 2) și fișe „Sarcina practică” (Anexa 3) cu formularea sarcinilor 1-8 Profesorul demonstrează grafice de ecuații pentru sarcinile 4-5 pe diapozitive).
Exercitiul 1. Care dintre perechile (5; 4), (1; 0), (-5; -4) și (-1; -) sunt soluții ale ecuației:
a) x 2 - y 2 \u003d 0, b) x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y?
Soluţie:
Înlocuind în ecuația dată, la rândul său, coordonatele acestor puncte, ne asigurăm că nici o singură pereche dată nu este o soluție a ecuației x 2 - y 2 \u003d 0, iar soluțiile ecuației x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y sunt perechi (5; 4), (1; 0) și (-1; -).
125 - 1 = 100 + 24 (I)
1 - 1= 0 + 0 (ȘI)
125 - 1 \u003d -100 - 24 (L)
1 - 1 = - - (ȘI)
Răspuns: A); b) (5; 4), (1; 0), (-1; -).
Sarcina 2. Găsiți astfel de soluții pentru ecuația xy 2 - x 2 y \u003d 12, în care valoarea X este egal cu 3.
Rezolvare: 1) Înlocuiți valoarea 3 în loc de X în ecuația dată.
2) Obțineți ecuație pătratică față de variabila Y, având forma:
3y 2 - 9y = 12.
4) Să rezolvăm această ecuație:
3y 2 - 9y - 12 = 0
D \u003d 81 + 144 \u003d 225
Răspuns: perechile (3; 4) și (3; -1) sunt soluții ale ecuației xy 2 - x 2 y \u003d 12
Sarcina 3. Determinați gradul ecuației:
a) 2y 2 - 3x 3 + 4x \u003d 2; c) (3 x 2 + x) (4x - y 2) = x;
b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 \u003d 0; d) (2y - x 2) 2 \u003d x (x 2 + 4xy + 1).
Răspuns: a) 3; b) 5; la 4; d) 4.
Sarcina 4. Care figură este graficul ecuației:
a) 2x \u003d 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x \u003d y - 1; c) 2(x + 1) = x 2 - y;
d) (x - 1,5) (x - 4) = 0; e) xy - 1,2 = 0; f) x 2 + y 2 = 9.
Sarcina 5. Scrieți o ecuație al cărei grafic este simetric cu graficul ecuației x 2 - xy + 3 \u003d 0 (Fig. 24) în raport cu: a) axa X; b) axele la; c) linie dreaptă y \u003d x; d) linie dreaptă y \u003d -x.
Sarcina 6. Faceți o ecuație, al cărei grafic este obținut prin întinderea graficului ecuației y \u003d x 2 -3 (Fig. 25):
a) de pe axa x de 2 ori; b) de pe axa y de 3 ori.
Utilizați programul Agrapher pentru a verifica corectitudinea sarcinii.
Răspuns: a) y - x 2 + 3 = 0 (Fig. 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (Fig. 25b).
b) liniile sunt paralele, deplasându-se paralel cu axa x cu 1 unitate spre dreapta și paralel cu axa y cu 3 unități în jos (Fig. 26b);
c) liniile se intersectează, afișare simetrică în jurul axei x (Fig. 26c);
d) liniile se intersectează, afișare simetrică față de axa y (Fig. 26d);
e) liniile sunt paralele, afișate simetrice față de origine (Fig. 26e);
f) liniile se intersectează, se rotesc în jurul originii cu 90 în sensul acelor de ceasornic și se afișează simetric față de axa x (Fig. 26f).
III. Muncă independentă cu caracter didactic.
(elevilor li se dau fișe „Munca independentă” și „Tabelul de raportare a rezultatelor muncii independente”, în care elevii își notează răspunsurile și, după autoexaminare, evaluează munca conform schemei propuse) Anexa 4 ..
I. opțiunea.
a) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 \u003d 2 (x + y).
a) x 3 + y 3 -5x 2 \u003d 0; b) x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4x 3 + y 4 \u003d 1.
x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.
a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;
b) x 2 -y 2 \u003d 1;
c) x - y 2 \u003d 9.
x 2 - 2x + y 2 - 4y \u003d 20.
Specificați coordonatele centrului cercului și raza acestuia.
6. Cum ar trebui să fie mutată hiperbola y \u003d pe planul de coordonate, astfel încât ecuația sa să ia forma x 2 - y 2 \u003d 16?
Verificați răspunsul prin reprezentarea grafică folosind Agrapher.
7. Cum să mutați parabola y \u003d x 2 pe planul de coordonate, astfel încât ecuația sa să ia forma x \u003d y 2 - 1
varianta II.
1. Determinați gradul ecuației:
a) 3xy \u003d (y-x 3) (x 2 + y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 \u003d 0.
2. Este o pereche de numere (-2; 3) o soluție a ecuației:
a) x 2 -y 2 -3x \u003d 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6x 2 + y 3 \u003d -1.
3. Găsiți un set de soluții ale ecuației:
x 2 + y 2 -2x - 8y + 17 \u003d 0.
4. Care curbă (hiperbolă, cerc, parabolă) este mulțimea de puncte dacă ecuația acestei curbe are forma:
a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 \u003d 9
b) y 2 - x 2 \u003d 1
c) x \u003d y 2 - 1.
(verificați cu ajutorul programului Agrapher corectitudinea sarcinii)
5. Trasează, folosind programul Agrapher, un grafic al ecuației:
x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.
6. Cum ar trebui să fie mutată hiperbola y \u003d pe planul de coordonate, astfel încât ecuația sa să ia forma x 2 - y 2 \u003d 28?
7. Cum să mutați parabola y \u003d x 2 pe planul de coordonate, astfel încât ecuația sa să ia forma x \u003d y 2 + 9.
Lasă dat ecuație cu două variabile F(x; y). Ați învățat deja cum să rezolvați astfel de ecuații analitic. Mulțimea soluțiilor unor astfel de ecuații poate fi reprezentată și sub forma unui grafic.
Graficul ecuației F(x; y) este mulțimea de puncte ale planului de coordonate xOy ale căror coordonate satisfac ecuația.
Pentru a reprezenta o ecuație cu două variabile, mai întâi exprimați variabila y în termenii variabilei x din ecuație.
Cu siguranță știți deja cum să construiți diverse grafice de ecuații cu două variabile: ax + b \u003d c este o linie dreaptă, yx \u003d k este o hiperbolă, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 este un cerc a cărui rază este R, iar centrul este în punctul O(a; b).
Exemplul 1
Trasează ecuația x 2 - 9y 2 = 0.
Soluţie.
Să factorizăm partea stanga ecuații.
(x - 3y)(x+ 3y) = 0, adică y = x/3 sau y = -x/3.
Răspuns: figura 1.
Un loc aparte îl ocupă alocarea figurilor pe plan prin ecuații care conțin semnul valoare absolută, despre care vom discuta în detaliu. Luați în considerare etapele de reprezentare a ecuațiilor de forma |y| = f(x) și |y| = |f(x)|.
Prima ecuație este echivalentă cu sistemul
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) sau y = -f(x).
Adică, graficul său este format din grafice a două funcții: y = f(x) și y = -f(x), unde f(x) ≥ 0.
Pentru a reprezenta graficul celei de-a doua ecuații, sunt reprezentate grafice a două funcții: y = f(x) și y = -f(x).
Exemplul 2
Trasează ecuația |y| = 2 + x.
Soluţie.
Ecuația dată este echivalentă cu sistemul
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 sau y = -x - 2.
Construim un set de puncte.
Răspuns: figura 2.
Exemplul 3
Trasează ecuația |y – x| = 1.
Soluţie.
Dacă y ≥ x, atunci y = x + 1, dacă y ≤ x, atunci y = x - 1.
Răspuns: figura 3.
Când construiți grafice ale ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului, este convenabil și rațional să utilizați metoda zonei, bazat pe împărțirea planului de coordonate în părți în care fiecare expresie de submodul își păstrează semnul.
Exemplul 4
Trasează ecuația x + |x| + y + |y| = 2.
Soluţie.
ÎN acest exemplu semnul fiecărei expresii submodulului depinde de cadranul de coordonate.
1) În primul trimestru de coordonate x ≥ 0 și y ≥ 0. După extinderea modulului, ecuația dată va arăta astfel:
2x + 2y = 2, iar după simplificare x + y = 1.
2) În al doilea trimestru, unde x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) În trimestrul al treilea x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) În al patrulea trimestru, pentru x ≥ 0 și y< 0 получим, что x = 1.
Vom reprezenta această ecuație în sferturi.
Răspuns: figura 4.
Exemplul 5
Desenați o mulțime de puncte ale căror coordonate satisfac egalitatea |x – 1| + |y – 1| = 1.
Soluţie.
Zerourile expresiilor submodulului x = 1 și y = 1 împart planul de coordonate în patru regiuni. Să defalcăm modulele în funcție de regiune. Să-l punem sub formă de tabel.
| Regiune |
Semnul expresiei submodulului |
Ecuația rezultată după extinderea modulului |
| eu | x ≥ 1 și y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | X< 1 и y ≥ 1 | -x+y=1 |
| III | X< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 și y< 1 | x – y = 1 |
Răspuns: figura 5.
Pe planul de coordonate pot fi specificate cifre și inegalităților.
Graficul inegalității cu două variabile este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate ale căror coordonate sunt soluții ale acestei inegalități.
Considera algoritm pentru construirea unui model pentru rezolvarea unei inegalități cu două variabile:
- Scrieți ecuația corespunzătoare inegalității.
- Trasează ecuația de la pasul 1.
- Alegeți un punct arbitrar într-unul dintre semiplanuri. Verificați dacă coordonatele punctului selectat satisfac inegalitatea dată.
- Desenați grafic mulțimea tuturor soluțiilor inegalității.
Luați în considerare, în primul rând, inegalitatea ax + bx + c > 0. Ecuația ax + bx + c = 0 definește o dreaptă care împarte planul în două semiplane. În fiecare dintre ele, funcția f(x) = ax + bx + c este păstrătoare de semne. Pentru a determina acest semn, este suficient să luați orice punct aparținând semiplanului și să calculați valoarea funcției în acest punct. Dacă semnul funcției coincide cu semnul inegalității, atunci acest semiplan va fi soluția inegalității.
Luați în considerare exemple solutie grafica cele mai comune inegalități cu două variabile.
1) ax + bx + c ≥ 0. Figura 6.
2)
|x| ≤ a, a > 0. Figura 7.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Figura 8.
4) y ≥ x2. Figura 9
5)
xy ≤ 1. Figura 10. 
Dacă aveți întrebări sau doriți să exersați modelarea mulțimilor tuturor soluțiilor inegalităților cu două variabile folosind modelarea matematică, puteți lecție gratuită de 25 de minute cu un tutor online dupa ce te inregistrezi. Pentru a lucra în continuare cu profesorul, veți avea posibilitatea de a alege planul tarifar care vi se potrivește.
Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să desenezi o figură pe planul de coordonate?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Un sistem de coordonate dreptunghiular este o pereche de linii de coordonate perpendiculare, numite axe de coordonate, care sunt plasate astfel încât să se intersecteze la origine.
Desemnare axele de coordonate literele x și y sunt în general acceptate, dar literele pot fi oricare. Dacă sunt folosite literele x și y, atunci planul este numit planul xy. Diferitele aplicații pot folosi alte litere decât x și y și, așa cum se arată în figurile de mai jos, există avioane UVȘi ts-avion.
Pereche comandată
Prin o pereche ordonată de numere reale, înțelegem două numere reale într-o anumită ordine. Fiecare punct P din planul de coordonate poate fi asociat cu o pereche unică ordonată de numere reale prin trasarea a două linii prin punctul P, una perpendiculară pe axa x și cealaltă perpendiculară pe axa y.
De exemplu, dacă luăm (a,b)=(4,3), atunci pe banda de coordonate
A construi un punct P(a,b) înseamnă a defini un punct cu coordonatele (a,b) pe planul de coordonate. De exemplu, în figura de mai jos sunt reprezentate diferite puncte.
Într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, axele de coordonate împart planul în patru regiuni numite cadrane. Sunt numerotate în sens invers acelor de ceasornic cu cifre romane, așa cum se arată în figură.
Definirea graficului
programa ecuația cu două variabile x și y este mulțimea de puncte de pe planul xy ale căror coordonate sunt membre ale mulțimii soluții a acestei ecuații
Exemplu: desenați un grafic y = x 2
Deoarece 1/x este nedefinit când x=0, putem reprezenta numai puncte pentru care x ≠ 0
Exemplu: Găsiți toate intersecțiile cu axe
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x
Fie y = 0, apoi 3x = 6 sau x = 2
este punctul de intersecție necesar al axei x.
După ce am stabilit că x=0, aflăm că punctul de intersecție al axei y este punctul y=3.
În acest fel puteți rezolva ecuația (b), iar soluțiile pentru (c) sunt date mai jos
x-încrucișare
Fie y = 0
1/x = 0 => x nu poate fi determinat, adică nu există intersecție cu axa y
Fie x = 0
y = 1/0 => y este de asemenea nedefinit, => nicio intersecție cu axa y
În figura de mai jos, punctele (x,y), (-x,y),(x,-y) și (-x,-y) reprezintă colțurile dreptunghiului.
Un grafic este simetric față de axa x dacă pentru fiecare punct (x,y) al graficului, punctul (x,-y) este, de asemenea, un punct pe grafic.
Un grafic este simetric față de axa y dacă pentru fiecare punct al graficului (x,y) și punctul (-x,y) aparține graficului.
Un grafic este simetric față de centrul coordonatelor dacă pentru fiecare punct (x,y) al graficului, punctul (-x,-y) aparține și acest grafic.
Definiție:
Programa funcții pe planul de coordonate este definit ca graficul ecuației y = f(x)
Graficul f(x) = x + 2
Exemplul 2. Graficul f(x) = |x|
Graficul coincide cu linia y = x pentru x > 0 și cu linia y = -x
pentru x< 0 .
graficul lui f(x) = -x
Combinând aceste două grafice, obținem
graficul f(x) = |x|
Exemplul 3 Graficul
t(x) \u003d (x 2 - 4) / (x - 2) \u003d
= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =
= (x + 2) x ≠ 2
Prin urmare, această funcție poate fi scrisă ca
y = x + 2 x ≠ 2
Graficul h(x)= x 2 - 4 Sau x - 2
graficul y = x + 2 x ≠ 2
Exemplul 4 Graficul
Grafice ale funcțiilor cu deplasare
Să presupunem că graficul funcției f(x) este cunoscut
Apoi putem găsi grafice
y = f(x) + c - graficul funcției f(x), deplasat
UP cu valorile c
y = f(x) - c - graficul funcției f(x), deplasat
JOS cu valorile c
y = f(x + c) - graficul funcției f(x), deplasat
LEFT cu valorile c
y = f(x - c) - graficul funcției f(x), deplasat
Chiar după valorile c
Exemplul 5. Construire
graficul y = f(x) = |x - 3| + 2
Mutați graficul y = |x| 3 valori la DREAPTA pentru a obține graficul
Mutați graficul y = |x - 3| UP 2 valori pentru a reprezenta grafic y = |x - 3| + 2
Complot
y = x 2 - 4x + 5
Transformăm ecuația dată după cum urmează, adăugând 4 la ambele părți:
y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4
y = (x - 2) 2 + 1
Aici vedem că acest grafic poate fi obținut prin mutarea graficului y = x 2 la dreapta 2 valori pentru că x este 2 și în sus cu 1 valoare pentru că +1.
y = x 2 - 4x + 5
Reflecții
(-x, y) este reflexia lui (x, y) în jurul axei y
(x, -y) este reflexia lui (x, y) în jurul axei x
Graficele y = f(x) și y = f(-x) sunt reflexii unul celuilalt în jurul axei y
Graficele y = f(x) și y = -f(x) sunt reflexii unul celuilalt în jurul axei x
Graficul poate fi obținut prin reflecție și translație:
desenează un grafic
Să găsim reflexia acesteia în raport cu axa y și să obținem un grafic
Mutați acest grafic dreapta cu 2 valori și obțineți un grafic
Iată graficul dorit
Dacă f(x) este înmulțit cu o constantă pozitivă c, atunci
graficul f(x) se micșorează vertical dacă 0< c < 1
graficul f(x) se întinde pe verticală dacă c > 1
Curba nu este un grafic y = f(x) pentru nicio funcție f