Lasă funcția W = f(Z) este dat pe un set și Z 0 , aparținând E, punctul limită al acestui set. Să adăugăm Z 0 = x 0 + i· y 0 increment Δ Z = Δ x+ i· Δ y a puncta Z = Z 0 + Δ Z a aparținut multora E. Apoi funcția W = u+ i· v = f(Z) = u(x, y)+ i· v(x, y). Obținem incrementul Δ W = Δ u+ i· Δ v = f(Z 0 + Δ Z) - f(Z 0 ) = Δ f(Z 0 ) ,
.

Dacă există o limită finită
, atunci se numește derivata unei functiif(Z) la un moment datZ 0 de multiE, și este notat
,
,
, W" .

Formal, funcția derivată a unei variabile complexe este definită exact în același mod ca și funcția derivată a unei variabile reale, dar conținutul lor este diferit.

În definiţia derivatei unei funcţii f(x) variabilă reală într-un punct X 0 , x→ x 0 de-a lungul unei linii drepte. În cazul unei funcţii a unei variabile complexe f(Z), Z se poate strădui pentru Z 0 de-a lungul oricărui traseu plan care duce la un punct Z 0 .

Prin urmare, cerința existenței unei derivate a unei funcții a unei variabile complexe este foarte strictă. Aceasta explică faptul că chiar și funcțiile simple ale unei variabile complexe nu au o derivată.

Exemplu.

Luați în considerare funcția W = = x- i· y. Să arătăm că această funcție nu are nicio derivată în niciun moment. Să luăm orice punct Z 0 = x 0 + i· y 0 , să-i dăm un increment Δ Z = Δ x+ i· Δ y, atunci funcția va fi incrementată. Mijloace

,
,

Vom lua în considerare mai întâi Δ Z = Δ x + i· Δ y astfel încât Δ x → 0 , și Δ y = 0 , adică punctul Z 0 + Δ Z → Z 0 de-a lungul unei linii drepte orizontale. În acest caz, obținem asta

Vom considera acum incrementul ∆ Z astfel încât ∆ x = 0 , și ∆ y → 0 , adică Când Z 0 + ∆ Z→ Z 0 de-a lungul unei linii drepte verticale și va fi evident
.

Limitele rezultate sunt diferite, deci raportul nu are limita la ∆ Z → 0 , adică funcția
nu are nici un punct derivat Z 0 .

Să aflăm semnificația derivatei față de o mulțime. Lasă E este axa reală și W = f(Z) = x, atunci aceasta este o funcție reală obișnuită a unei variabile reale f(x) = x iar derivata sa va fi egală 1 (
).

Lasă-l acum E- acesta este întregul avion (Z). Să arătăm că funcția f(Z) = xîn acest caz nu are nici un punct derivat. Într-adevăr, în acest caz
.De aici rezultă clar că dacă
O
, Asta
. Dacă
, A
, Asta
.De aici, atitudinea nu are limita la
, deci funcția f(Z) = x nu are nici un punct derivat
.

Rețineți că dacă se ia în considerare o funcție cu valori complexe a unei variabile reale, atunci din definiția derivatei rezultă imediat că
, prin urmare, (aceasta este derivata de-a lungul axei reale).

Formula pentru incrementarea funcțiilor.

Lasă funcția W = f(Z) are la punct Z 0 derivat
. Să arătăm că reprezentarea (1) este valabilă, unde cantitatea
, Când
.

Într-adevăr, prin definiția derivatei avem
, prin urmare, valoarea
, Când
. Prin urmare, are loc reprezentarea (1) (înmulțiți ambele părți cu
și mutați-l
în partea stângă).

Cursul nr. 8 Diferențiabilitatea și diferențiala unei funcții a unei variabile complexe

Funcţie W = f(Z) numit diferentiabil la punctZ 0 , dacă în acest moment are loc reprezentarea (2), unde O este un număr complex fix, iar cantitatea
tinde spre zero când
.

Dacă funcţia W = f(Z) diferentiabil la punct Z 0 , apoi liniarul principal relativ la
parte din ea O·
creştere
la punct Z 0 numit functie diferentiala f(Z) la punct si este desemnat
.

Teorema este valabilă.

Teorema.

Pentru functiaW = f(Z) era diferențiabilă la punctul respectivZ 0 , este necesar și suficient ca acesta să aibă o derivată finită în acest punct
, și se dovedește întotdeauna că în reprezentarea (2)
.

Dovada.

Necesitate. Fie ca funcția să fie diferențiabilă în punct Z 0 . Să arătăm că are o derivată finită în acest punct și că această derivată este egală cu numărul O. Datorită diferențierii f(Z) la punct Z 0 are loc reprezentarea (2), ceea ce înseamnă
(3). Trecand la limita aici la
înţelegem asta
, Înseamnă
.

Adecvarea. Lasă funcția f(Z) are la punct Z 0 derivată finală
. Să arătăm că reprezentarea (2) este valabilă. Datorită existenţei derivatului
are loc reprezentarea (1), dar aceasta este și reprezentarea (2), în care O =
. S-a stabilit suficiența.

După cum știm, diferența, luând ca diferență a variabilei independente Z creșterea acestuia
, adică presupunând
, putem scrie
şi prin urmare
(aceasta este o relație de diferențe, nu un singur simbol).

Să considerăm o cantitate complexă $w$, care este dată de expresia $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, unde $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ sunt funcții reale ale unei variabile reale, $z=x+yi$.

Această mărime este o funcție complexă a unei variabile reale.

Definiția 1

O funcție $w(z)$ se numește analitică la un punct z dacă această funcție este diferențiabilă într-o vecinătate a acestui punct z.

Definiția 2

O funcție se numește analitică într-un anumit domeniu D dacă este analitică în fiecare punct din acest domeniu.

Fie funcțiile $u(x),\, \, \, v(x)$ să fie diferențiabile.

Definiția 3

Expresia $w_(x) "=u"_(x) (x,y)+i\cdot v"_(x) (x,y)$ se numește derivata unei funcții complexe a unei variabile reale în raport cu la argumentul real $x$.

Derivata față de argumentul real $y$ este definită în mod similar.

Pentru a calcula derivata, folosim următoarea formulă:

\ \

1) Pentru funcția $w=(3x+2)+(x^(3) +2y)\cdot i$ obținem:

\ \

2) Pentru funcția $w=(x+e^(y))+(3y^(2) +\ln x)\cdot i$ obținem:

\ \

Pentru ca o funcție $w(z)$ să fie diferențiabilă la un moment dat $z_(0) =x_(0) +y_(0) \cdot i$, este necesar și suficient ca $u(x,y) $ și $v(x,y)$ au fost diferențiabile în punctul $(x_(0) ;y_(0))$ și au fost îndeplinite următoarele condiții:

\[\begin(array)(l) (\frac(\partial u(x,y))(\partial x) =\frac(\partial v(x,y))(\partial y) ) \\ ( \frac(\partial u(x,y))(\partial y) =-\frac(\partial v(x,y))(\partial x) ) \end(array).\]

Aceste condiții se numesc condiții Cauchy-Riemann.

Nota 1

Condițiile Cauchy-Riemann sunt relații care conectează părțile reale și imaginare ale funcției diferențiabile $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, unde $u(x,y) ,\, \, \, v(x,y)$ sunt funcții reale ale unei variabile reale, $z=x+yi$.

Să selectăm părțile reale și imaginare ale funcției. Să punem $z=x+yi$ și să obținem:

Prin urmare, $u(x,y)=e^(1+2y) \cdot \cos (-2x);\, \, \, \, v(x,y)=e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)$ - părțile reale și imaginare necesare ale funcției.

Să folosim condițiile Cauchy-Riemann: $\frac(\partial u)(\partial x) =\frac(\partial v)(\partial y) ;\frac(\partial u)(\partial y) =-\ frac( \partial v)(\partial x) $.

\[\begin(array)(l) (\frac(\partial u)(\partial x) =2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x);\frac(\partial v)(\partial y) =2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)) \\ (2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)=2e^(1+2y) \cdot \sin ( -2x)) \end(array)\] \[\begin(array)(l) (\frac(\partial u)(\partial y) =2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x) ;\frac(\partial v)(\partial x) =-2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x)) \\ (2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x)= -(-2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x))) \end(array)\]

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite pentru orice $x,y$ real. Prin urmare, funcția este analitică pentru orice $x,y$ real.

Să găsim derivata funcției și să calculăm valoarea derivatei funcției la un punct dat $z_(0) =\frac(\pi )(6) $.

Derivata functiei are forma:

Să calculăm valoarea derivatei funcției la un punct dat

În practică, puteți întâmpina următoarele probleme.

Problema 1

Având în vedere partea reală $u(x,y)$ a unei funcții a unei variabile complexe $w(z)$, este necesar să găsim partea imaginară $v(x,y)$ a acestei funcții. Reconstituiți funcția $w(z)$ din părțile reale și imaginare cunoscute.

Problema 2

Având în vedere partea imaginară $v(x,y)$ a unei funcții a unei variabile complexe $w(z)$, este necesar să găsim partea imaginară $u(x,y)$ a acestei funcții. Reconstituiți funcția $w(z)$ din părțile reale și imaginare cunoscute.

Algoritmul pentru rezolvarea problemei 2 va fi următorul:

• găsiți partea reală folosind condițiile Cauchy-Riemann;
• compuneți funcția $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
• efectuați transformări și selectați variabila $z=x+yi$ sau $\overline(z)=x-yi$.

Nota 1

La rezolvarea problemelor practice pot fi utile următoarele relații:

\ \ \

Nota 2

Operația de împărțire cu unitatea imaginară $i$ este echivalentă cu operația de înmulțire cu $-i$.

Exemplul 3

Din partea reală $u(x,y)=-x^(2) +y^(2) -5y$ a unei anumite funcții a unei variabile complexe, restaurați partea sa imaginară $v(x,y)$ și restaurați aceasta funcția, în timp ce funcția satisface condiția inițială $w(0)=0$.

Să găsim partea imaginară $v(x,y)$ a funcției dorite $w(z)$. Să folosim prima condiție Cauchy-Riemann:

\[\frac(\partial u(x,y))(\partial x) =\frac(\partial v(x,y))(\partial y) .\]

Să înlocuim valorile originale și să obținem:

\[\frac(\partial v(x,y))(\partial y) =\frac(\partial (-x^(2) +y^(2) -5y))(\partial x) =-2x \] \ \

Să găsim funcția necunoscută $\phi (x)$.

Să folosim a doua condiție Cauchy-Riemann:

\[\frac(\partial u(x,y))(\partial y) =-\frac(\partial v(x,y))(\partial x).\] \ \[\phi "(x) =5\Săgeată la dreapta \phi (x)=\int 5dx =5x+C\]

Prin urmare,

Partea imaginară a funcției dorite $w(z)$ este restaurată, apoi putem scrie funcția în sine:

Să transformăm expresia rezultată:

\ \[=-x^(2) +y^(2) -5y+-2xyi+5xi+Ci=(-x^(2) +y^(2) -2xyi)+(-5y+5xi)+Ci =\] \[=-(x^(2) +2xyi-y^(2))+5i\cdot (x-\frac(y)(i))+Ci\] \

Folosind condiția inițială $w(0)=0$, găsim valoarea constantei $C$.

Prin urmare, funcția necesară are forma:

Partea imaginară a funcției va lua forma.

Teorema

Pentru functia w = f(z) , definit într-o anumită zonă D plan complex, era diferențiabilă la punct z 0 = x 0 + iy 0 în funcţie de o variabilă complexă z, este necesar și suficient ca părțile sale reale și imaginare uŞi v au fost diferențiabile la punctul ( x 0 ,y 0) ca funcţii ale variabilelor reale xŞi yși că, în plus, în acest moment sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann:

; ;

Dacă sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, atunci derivata f"(z) poate fi reprezentat în oricare dintre următoarele forme:

Dovada

Consecințele

Poveste

Aceste condiții au apărut pentru prima dată în lucrarea lui d'Alembert (1752) În lucrarea lui Euler, raportată la Academia de Științe din Sankt Petersburg în 1777, condițiile au primit pentru prima dată caracterul de semn general al analiticității funcțiilor a folosit aceste relații pentru a construi teoria funcțiilor, începând cu memoria, prezentată Academiei de Științe din Paris în 1814. Celebra disertație a lui Riemann despre fundamentele teoriei funcțiilor datează din 1851.

Literatură

• Shabbat B.V. Introducere în analiza complexă. - M.: Știință, . - 577 p.
• Titchmarsh E. Teoria funcţiilor: Trad. din engleză - Ed. a II-a, revizuită. - M.: Știință, . - 464 s.
• Privalov I. I. Introducere în teoria funcțiilor unei variabile complexe: un manual pentru învățământul superior. - M.-L.: Editura de Stat, . - 316 s.
• Evgrafov M. A. Funcții analitice. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare - M.: Știință, . - 472 s.

Fundația Wikimedia.

2010.

Vedeți care sunt „Condițiile Cauchy-Riemann” în alte dicționare:

Riemann, numit și condiții d'Alembert Euler, relații care leagă părțile reale și imaginare ale oricărei funcții diferențiabile a unei variabile complexe. Cuprins 1 Formulare ... Wikipedia

Condiții Cauchy-Riemann, sau condiții D'Alembert Euler, condiții pe părțile reale u = u(x,y) și v = v(x,y) imaginare ale unei funcții a unei variabile complexe, asigurând diferențiabilitatea continuă infinită a lui f( z) în funcție de un complex... ... Wikipedia D Condiții Alembert Euler, condiții pe u=u(x, y) real și v=v(x, y imaginar).părți dintr-o funcție a unei variabile complexe care asigură monogeneitatea și analiticitatea lui f(z) ca funcție a unei variabile complexe. Pentru ca funcția w=f(z),… …

Enciclopedie matematică

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy ... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy ... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy ... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy ... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (francez Augustin Louis Cauchy; 21 august 1789, Paris 23 mai 1857, Saux (Eau de Seine)) Matematician francez, membru al Academiei de Științe din Paris, a dezvoltat bazele analizei matematice și a făcut el însuși o contribuție uriașă la analiză... Wikipedia
Funcțiile unei variabile complexe.

Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe. Acest articol deschide o serie de lecții în care voi lua în considerare probleme tipice legate de teoria funcțiilor unei variabile complexe. Pentru a stăpâni cu succes exemplele, trebuie să aveți cunoștințe de bază despre numerele complexe. Pentru a consolida și repeta materialul, trebuie doar să vizitați pagina. Veți avea nevoie și de abilitățile pentru a găsi derivate parțiale de ordinul doi

. Iată-le, aceste derivate parțiale... chiar și acum am fost puțin surprins de cât de des apar...

Subiectul pe care începem să îl examinăm nu prezintă dificultăți deosebite, iar în funcțiile unei variabile complexe, în principiu, totul este clar și accesibil. Principalul lucru este să adere la regula de bază, pe care am derivat-o experimental. Citiți mai departe!

Conceptul de funcție a unei variabile complexe

Mai întâi, să ne reîmprospătăm cunoștințele despre funcția școlară a unei variabile: este o regulă conform căreia fiecărei valori a variabilei independente (din domeniul definiției) îi corespunde una și doar o singură valoare a funcției. Desigur, „x” și „y” sunt numere reale.

În cazul complex, dependența funcțională este specificată în mod similar:

Funcția cu o singură valoare a unei variabile complexe- aceasta este regula conform căreia toată lumea cuprinzătoare valoarea variabilei independente (din domeniul definiţiei) corespunde uneia şi numai una cuprinzătoare valoarea functiei. Teoria ia în considerare și funcții multi-valorice și alte tipuri de funcții, dar pentru simplitate mă voi concentra pe o singură definiție.

Care este diferența dintre o funcție variabilă complexă?

Principala diferență: numere complexe. Nu sunt ironic. Asemenea întrebări îi lasă pe oameni într-o stupoare, la sfârșitul articolului, vă voi spune o poveste amuzantă. În clasă Numere complexe pentru manechine am considerat un număr complex sub forma . De acum litera „z” a devenit variabilă, atunci îl vom nota astfel: , în timp ce „x” și „y” pot lua diferite valabil sensuri. În linii mari, funcția unei variabile complexe depinde de variabilele și , care iau valori „obișnuite”. Următorul punct decurge logic din acest fapt:

Funcția unei variabile complexe poate fi scrisă astfel:
, unde și sunt două funcții ale lui doi valabil variabile.

Funcția este numită parte reală funcții
Funcția este numită parte imaginară funcții

Adică, funcția unei variabile complexe depinde de două funcții reale și . Pentru a clarifica totul, să ne uităm la exemple practice:

Exemplul 1

Soluţie: Variabila independentă „zet”, după cum vă amintiți, este scrisă sub forma , prin urmare:

(1) Am înlocuit .

(2) Pentru primul termen s-a folosit formula de înmulțire prescurtată. În termen, parantezele au fost deschise.

(3) Pătrat cu grijă, fără a uita că

(4) Rearanjarea termenilor: mai întâi rescriem termenii , în care nu există o unitate imaginară(primul grup), apoi termenii unde există (al doilea grup). Trebuie remarcat faptul că amestecarea termenilor nu este necesară, iar acest pas poate fi omis (făcându-l efectiv pe cale orală).

(5) Pentru al doilea grup îl scoatem din paranteze.

Ca rezultat, funcția noastră s-a dovedit a fi reprezentată în formă

Răspuns:
– parte reală a funcției.
– parte imaginară a funcției.

Ce fel de funcții s-au dovedit a fi acestea? Cele mai obișnuite funcții a două variabile din care puteți găsi atât de populare derivate parțiale. Fără milă, o vom găsi. Dar puțin mai târziu.

Pe scurt, algoritmul pentru problema rezolvată poate fi scris după cum urmează: înlocuim , în funcția originală, efectuăm simplificări și împărțim toți termenii în două grupuri - fără o unitate imaginară (partea reală) și cu o unitate imaginară (partea imaginară) .

Exemplul 2

Găsiți partea reală și imaginară a funcției

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Înainte să vă grăbiți în luptă pe planul complex cu piesele trase, permiteți-mi să vă dau cele mai importante sfaturi pe această temă:

ATENȚIE! Trebuie să fii atent, desigur, peste tot, dar în numere complexe ar trebui să fii mai atent ca niciodată! Amintiți-vă că, deschideți cu atenție parantezele, nu pierdeți nimic. Conform observațiilor mele, cea mai frecventă greșeală este pierderea unui semn. Nu te grăbi!

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Acum cubul. Folosind formula de înmulțire prescurtată, obținem:
.

Formulele sunt foarte convenabile de utilizat în practică, deoarece accelerează semnificativ procesul de soluție.

Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe.

Am două vești: bune și rele. Voi începe cu cel bun. Pentru o funcție a unei variabile complexe sunt valabile regulile de diferențiere și tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Astfel, derivata este luată exact în același mod ca și în cazul unei funcții a unei variabile reale.

Vestea proastă este că pentru multe funcții variabile complexe nu există nicio derivată și trebuie să vă dați seama este diferentiabil o funcție sau alta. Și „a-ți da seama” cum se simte inima ta este asociată cu probleme suplimentare.

Să luăm în considerare funcția unei variabile complexe. Pentru ca această funcție să fie diferențiabilă este necesar și suficient:

1) Astfel încât să existe derivate parțiale de ordinul întâi. Uitați imediat de aceste notații, deoarece în teoria funcțiilor unei variabile complexe se folosește în mod tradițional o notație diferită: .

2) Pentru a îndeplini așa-numitul Condiții Cauchy-Riemann:

Numai în acest caz derivatul va exista!

Exemplul 3

Soluţie este împărțit în trei etape succesive:

1) Să găsim părțile reale și imaginare ale funcției. Această sarcină a fost discutată în exemplele anterioare, așa că o voi scrie fără comentarii:

De atunci:

Astfel:

– parte imaginară a funcției.

Permiteți-mi să abordez încă un punct tehnic: în ce ordine scrieți termenii în părțile reale și imaginare? Da, în principiu, nu contează. De exemplu, partea reală poate fi scrisă astfel: , iar cea imaginară – așa: .

2) Să verificăm îndeplinirea condiţiilor Cauchy-Riemann. Sunt doi dintre ei.

Să începem prin a verifica starea. Găsim derivate parțiale:

Astfel, condiția este îndeplinită.

Desigur, vestea bună este că derivatele parțiale sunt aproape întotdeauna foarte simple.

Verificăm îndeplinirea celei de-a doua condiții:

Rezultatul este același, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, prin urmare funcția este diferențiabilă.

3) Să găsim derivata funcției. Derivatul este, de asemenea, foarte simplu și se găsește conform regulilor obișnuite:

Unitatea imaginară este considerată o constantă în timpul diferențierii.

Răspuns: – parte reală, – partea imaginară.
Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, .

Mai există două moduri de a găsi derivatul, ele sunt, desigur, folosite mai rar, dar informațiile vor fi utile pentru înțelegerea celei de-a doua lecție - Cum să găsiți o funcție a unei variabile complexe?

Derivatul poate fi găsit folosind formula:

În acest caz:

Astfel

Trebuie să rezolvăm problema inversă - în expresia rezultată trebuie să izolăm . Pentru a face acest lucru, este necesar în termenii și în afara parantezei:

Acțiunea inversă, după cum mulți au observat, este ceva mai dificil de verificat, este întotdeauna mai bine să luați expresia pe o ciornă sau să deschideți oral parantezele înapoi, asigurându-vă că rezultatul este exact;

Formula oglindă pentru găsirea derivatei:

În acest caz: , De aceea:

Exemplul 4

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Dacă sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, găsiți derivata funcției.

O scurtă soluție și o mostră aproximativă a proiectului final la sfârșitul lecției.

Sunt întotdeauna îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann? Teoretic, ele nu sunt îndeplinite mai des decât sunt îndeplinite. Dar în exemple practice nu îmi amintesc un caz în care nu au fost îndeplinite =) Astfel, dacă derivatele tale parțiale „nu converg”, atunci cu o probabilitate foarte mare poți spune că ai greșit undeva.

Să ne complicăm funcțiile:

Exemplul 5

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Calcula

Soluţie: Algoritmul de soluție este complet păstrat, dar la final se va adăuga un nou punct: găsirea derivatei într-un punct. Pentru cub, formula necesară a fost deja derivată:

Să definim părțile reale și imaginare ale acestei funcții:

Atenție și atenție din nou!

De atunci:


Astfel:
– parte reală a funcției;
– parte imaginară a funcției.

Verificarea a doua condiție:

Rezultatul este același, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, prin urmare funcția este diferențiabilă:

Să calculăm valoarea derivatei în punctul necesar:

Răspuns:, , sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann,

Funcțiile cu cuburi sunt comune, așa că iată un exemplu de consolidat:

Exemplul 6

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Calcula.

Soluție și exemplu de finalizare la sfârșitul lecției.

În teoria analizei complexe sunt definite și alte funcții ale unui argument complex: exponent, sinus, cosinus etc. Aceste funcții au proprietăți neobișnuite și chiar bizare - și acest lucru este cu adevărat interesant! Chiar vreau să vă spun, dar aici, așa cum se întâmplă, nu este o carte de referință sau un manual, ci o carte de soluții, așa că voi lua în considerare aceeași problemă cu unele funcții comune.

În primul rând despre așa-numitul formulele lui Euler:

Pentru oricine valabil numere, sunt valabile următoarele formule:

De asemenea, îl puteți copia în caiet ca material de referință.

Strict vorbind, există o singură formulă, dar de obicei, pentru comoditate, scriu și un caz special cu un minus în exponent. Parametrul nu trebuie să fie o singură literă, poate fi o expresie sau o funcție complexă, este important doar să accepte valabil numai sensuri. De fapt, vom vedea asta chiar acum:

Exemplul 7

Găsiți derivata.

Soluţie: Linia generală a partidului rămâne de neclintit - este necesar să se distingă părțile reale și imaginare ale funcției. Voi oferi o soluție detaliată și voi comenta fiecare pas de mai jos:

De atunci:

(1) Înlocuiți „z” în schimb.

(2) După înlocuire, trebuie să selectați părțile reale și imaginare primul în indicator expozanti. Pentru a face acest lucru, deschideți parantezele.

(3) Grupăm partea imaginară a indicatorului, plasând unitatea imaginară din paranteze.

(4) Folosim acțiunea școlară cu grade.

(5) Pentru multiplicator folosim formula lui Euler și .

(6) Deschideți parantezele, rezultând:

– parte reală a funcției;
– parte imaginară a funcției.

Alte acțiuni sunt standard, să verificăm îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann:

Exemplul 9

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Așa fie, nu vom găsi derivatul.

Soluţie: Algoritmul de soluție este foarte asemănător cu cele două exemple anterioare, dar există puncte foarte importante, așa că voi comenta din nou etapa inițială pas cu pas:

De atunci:

1) Înlocuiți „z” în schimb.

(2) În primul rând, selectăm părțile reale și imaginare în interiorul sinusului. În aceste scopuri, deschidem parantezele.

(3) Folosim formula și .

(4) Utilizare paritatea cosinusului hiperbolic: Și ciudățenie de sinus hiperbolic: . Hiperbolicele, deși sunt în afara acestei lumi, amintesc în multe privințe de funcții trigonometrice similare.

Ca urmare:
– parte reală a funcției;
– parte imaginară a funcției.

Atenţie! Semnul minus se referă la partea imaginară și în niciun caz nu trebuie să-l pierdem! Pentru o ilustrare clară, rezultatul de mai sus poate fi rescris după cum urmează:

Să verificăm îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann:

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite.

Răspuns:, , sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann.

Doamnelor și domnilor, să ne dăm seama singuri:

Exemplul 10

Determinați părțile reale și imaginare ale funcției. Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann.

Am ales în mod deliberat exemple mai dificile, pentru că toată lumea pare să poată face față cu ceva, cum ar fi arahidele decojite. În același timp, îți vei antrena atenția! Spărgător de nuci la sfârșitul lecției.

Ei bine, în concluzie, voi privi un alt exemplu interesant când un argument complex este la numitor. S-a întâmplat de câteva ori în practică, să ne uităm la ceva simplu. Eh, îmbătrânesc...

Exemplul 11

Determinați părțile reale și imaginare ale funcției. Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann.

Soluţie: Din nou, este necesar să se distingă părțile reale și imaginare ale funcției.
Dacă, atunci

Apare întrebarea, ce să faci când „Z” este la numitor?

Totul este simplu - cel standard va ajuta metodă de înmulțire a numărătorului și numitorului cu expresia conjugată, a fost deja folosit în exemplele lecției Numere complexe pentru manechine. Să ne amintim formula școlii. Avem deja în numitor, ceea ce înseamnă că expresia conjugată va fi . Astfel, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu:

Transcriere

1 Condiţii Cauchy-Riemann.) Verificaţi îndeplinirea condiţiilor Cauchy-Riemann pentru funcţia w zi e. Se spune că o funcție care are o derivată într-un punct z este diferențiabilă în acel punct. Condiții Cauchy - Riemann (D'Alembert - Euler, Euler - D'Alembert): w f z u, iv, atunci în fiecare punct de derivabilitate al funcției f z Dacă z i egalitățile sunt îndeplinite, u v u v Scriem această funcție în formă algebrică, punând z i : zi ii i i we e e e e cos isin e cos isin e cos ie sin Să selectăm părțile u reale și v imaginare ale funcției w: u, e cos v, e sin Calculăm derivatele parțiale: u cos e e cos v e sin e cos u e cos e sin v e sin e sin - sunt îndeplinite condiţiile Cauchy-Riemann. Literatură:) Gusak A.A. „Teoria funcțiilor unei variabile complexe și calcul operațional”, 00, p. 59 (exemplu 9), p. 0 (exemplu);) Scris de D.T. „Note de curs în matematică superioară”, 006, p. 530, pp (Condiții Euler-D'Alembert, analiticitatea funcției).) Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann pentru funcția w z 4iz. Să scriem această funcție în formă algebrică, stabilind z i: w i 4i i i 4 i i

2 Să selectăm părțile u reale și v imaginare ale funcției w: u, 4 v, 4 Calculăm derivatele parțiale: u 4 v 4 u 4 4 v sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann. 3) Verificaţi îndeplinirea condiţiilor Cauchy-Riemann pentru funcţia sin iz. Să exprimăm funcția trigonometrică sin z prin exponențial: iz iz e e sin z i și să ținem cont că z i: ii ii ii ii i i e e e e e e e sin iz i i i e i e e e e e cos isin e cos isin e sin icose sin icos e sin icose sin icos e sin ie cose sin ie cos sin cos e e i e e Părți reale și imaginare ale numărului u iv: u, sin e e, cos v e e

3 Calculăm derivatele parțiale: u sin sin e e e e v cos e e sin e e sin e e și u sin cos e e e e cos cos e e e e v După cum vedem, condițiile Cauchy-Riemann u v u v sin iz sunt îndeplinite. pentru funcția 4) Utilizând condițiile Cauchy-Riemann, verificați dacă funcția w f z este analitică: Funcția wsin z3 z. w f z se numește analitică într-un punct z dacă este diferențiabilă atât în ​​punctul z însuși, cât și în unele din vecinătatea acestuia. O funcție w f z, diferențiabilă în fiecare punct al unui domeniu D, se numește funcție analitică în acest domeniu. Condiții Cauchy - Riemann (D'Alembert - Euler, Euler - D'Alembert): Dacă z i w f z u, iv, atunci în fiecare punct de derivabilitate al funcției f z sunt îndeplinite egalitățile u v u v. Să scriem această funcție în formă algebrică, punând z i: i 3 i w sin ii ii e e 3i3 i i i e e 3i3 i i i e e e e 3i3 i e cos isin e cosisin 3i3 i e cos ie sin e cos i e sin 3 i3 i 3

4 cos e e i e e sin 3i3 i cos i e e e e sin 3i3 e e sin i e e cos 3i3 e e sin 3i e e cos 3 ch sin 3 sh i cos 3 Formule folosite în transformări: iz iz e e sin z i, zc e e sh, Re e ch, R Select părți reale și imaginare w z u, i v, u, chsin 3 v, shcos3: Calculați derivatele parțiale: u ch sin 3 ch cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin v sh cos 3 sh sin Deci, Cauchy-Riemann condiţii u v u v , completate; prin urmare, funcția sin w f z z3 z este analitică. 4

5 5) Demonstrați analiticitatea funcției și găsiți derivata: z z e w e Scrieți această funcție în formă algebrică, punând z i: i i e e w e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin e cos ie sin e cos ie sin cos e e i e e sin e e e e cos i sin ch cos ish sin Să selectăm părțile reale și imaginare w z u, i v, u, chcos v, shsin Calculați derivatele parțiale: u ch cos sh cos v sh sin sh cos u ch cos ch sin v sh sin ch sin: Cauchy- Condiţiile Riemann u v u v, satisfăcute; prin urmare, funcția w f z e z e z este analitică. Pentru orice funcție analitică f z u, i v, derivate parțiale ale funcțiilor u u, și v v, : derivată f u v v u u u v v f z i i i i Se calculează derivata derivatelor de funcție ale funcțiilor u, și v, : z se exprimă prin f z, folosind expresia pentru derivată a funcției w z z z e e u v w z i sh cos ich sin z în termeni de parțial 5

6 sau direct: z z e e z z z z w e e z e e z i i i i e e e e e e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin cos sin e e i e e e e e cos i sin sh cos ich sn i 6) Reprezentați iz w, unde z i e, sub forma w u, i v. Verificați dacă va fi analitică, dacă da, atunci găsiți derivata în punctul z0 6. Să identificăm în mod explicit în acest număr u reale și părțile imaginare, ep ep ep ep e cos i sin e cos i e sin v: i w iz i i i i e e - se obține un număr complex în notație algebrică. Re w u, e cos Im w v, e sin Pentru orice funcție analitică f z u, i v, derivatele parțiale ale funcțiilor u u, și v v, : derivata f u v v u u u v v f z i i i i z se exprimă prin Să calculăm derivatele parțiale u, e cos, sin v e u e cos sin e u cos e cos e v e sin sin e v sin e cos e Deoarece sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann (u v, u v) pentru toate punctele planului O, funcția studiată este analitică pe întregul plan, iar derivata ei 6

7 u v w z i e i e sin cos 6 6 w zesin iecos e 3 ie 3 3 La punctul z0 i0: Literatura:) Gusak A.A. „Teoria funcțiilor unei variabile complexe și calcul operațional”, 00, p. 59 (exemplu 9), p. 0 (exemplu). Calculați valoarea funcției. 7) Calculaţi valoarea funcţiei variabilei complexe w cos z în punctul z0 i. e Pentru orice z C: cos z iz e iz Apoi ii ii i i i e e e e e e e e wicosi e cos isin e cos isin cos e e isin e e e e e e cos i sin ch cos i sh sin Raspuns: i cos ch cos ish sin Literatura:) Morozova V.D. „Teoria funcțiilor unei variabile complexe”, 009, volumul 0, ed. MSTU, p. 06;) Lunts G.L., Elsgolts L.E. „Funcțiile unei variabile complexe”, 00, pag.) Calculați valoarea funcției unei variabile complexe cu z în punctul z 0 ln 3 în formă algebrică. z z e e Pentru orice z C: z z z e e So i i ln 3 i ln 3 i e 4 e w z 0 i e e th ln ln 3 i ln 3 i i i e 4 e 4 e 4 3 e 4 3 i 4, notează răspunsul 7

8 i i 9cos isin cos isin 9e 4 e i i 9e 4 e 4 9cos isin cos isin i i 9 i i 9 i i 9 i i 9 i9 i 8 i0 45i 9 i9 i 0 i 8 5 4i 4 5i5 4i 0 5i6i 4i 4i 4i 0 5i6i 4i 4i calcule în formă algebrică. 9) Calculaţi valoarea funcţiei variabilei complexe Ln z în punctul z 0. Indicaţi valoarea principală a funcţiei. Funcția logaritmică Ln ln arg z z i z k kz Valoarea principală a logaritmului numărului z este valoarea corespunzătoare valorii principale a argumentului numărului z; aceste. obținem valoarea principală a logaritmului la k 0: ln z ln z i arg z Modulul și argumentul numărului z0 0 i: z 0 arg z 0 Prin urmare Ln ln i k 0k i kz sunt valorile funcției unui variabilă complexă în punctul z 0, scrisă sub formă algebrică. (funcția logaritmică Ln z este multivalorică) Valoarea principală a logaritmului numărului z ln 0 i 8

9 0) Calculaţi valoarea funcţiei variabilei complexe i z în punctul z i 0. Pentru orice w z C: w z z Ln w e. i iln i iln i iarg i ki i e e, kz Modulul si argumentul numarului w i: i arg iarctg 4 ln i ln i ki i k i k i i ln i iarg i ki ln i i e e 4 e 4 e 4 ln k i k 4 ln ln e e e 4 cos isin, kz - valorile funcției unei variabile complexe z în punctul z0 i, scrise în formă trigonometrică (funcție multivalorică).) Calculați valoarea funcției variabilei complexe arcctg z în punctul z0 i, scrieți răspunsul în forma algebrică. i z i Arcctg z Ln z i Ln z ln z iarg z k, kz (la k 0 obținem valoarea principală a logaritmului ln z ln z i arg z) z0 i ii i i3i i3i3 4i i z i ii 3i 3i3i z0 i Lctn ln iarctg k ln 5iarctg k, kz 5 și z0 i ln ln 5 i arctg z i 0 i arcctg z0 ln 5 iarcg t arctg i ln 5 0,3 i 0,40 4 (valoarea principală a Arcctg i) 9

10) Calculați valoarea funcției variabilei complexe arccos z în punctul z0 i, scrieți răspunsul în formă algebrică. Arccos z iln z z Ln z ln z i arg z k, kz Când k 0 obținem valoarea principală a logaritmului ln z ln z i arg z și valoarea principală a arccosinus arccos z arg z z iln z z Rădăcina pătrată a unui număr complex dă două valori; Pentru valoarea principală a funcției, selectăm una al cărei argument se încadrează în intervalul 0 ;. În acest caz: arccos ln ln iln i i Rădăcina numărului i i i i i i i ia două valori. Să le găsim: cos arctg i sin arctg i arctg k arctg k i 5 cos isin 4 arctg arctg 5cos isin, k 0 i 4 arctg arctg 5 cos i sin, k cos Folosind formulele cos cosarctg 5, obținem: cos și sin, și ținând cont de faptul că arctg 5 5 cos 0 arctg 5 5 sin 0 și apoi i, k 0 i, k i i, k i, k 0 0 0

11 și 5 5 i, k 0 i i 5 5 i, k Dintre cele două valori, o alegem pe a doua, deoarece argumentul său se încadrează în intervalul 0 ;. Deci, i i 5 i arccos z arg z z iln z z arctg 5 5 iln i 5 5 arctg 5 5 i ln 5 arctg 5 i l n 5 5 5, 7 i 0, 59 5 (valoarea principală a Arccos i) Literatură:) Morozova V.D. . „Teoria funcțiilor unei variabile complexe”, 009, volumul 0, ed. MSTU, p. 06;) Lunts G.L., Elsgolts L.E. „Funcțiile unei variabile complexe”, 00, p. 40.

Un număr complex este o expresie de forma x y (forma algebrică a unui număr complex), unde x, y R; x Re - parte reală a unui număr complex; y Im este partea imaginară a unui număr complex; - imaginar

Tema 11 Informații de bază din teoria numerelor complexe. Un număr complex este o pereche ordonată de numere reale scrise sub forma în care i este „unitatea imaginară” pentru care i = -1; - parte reală

Numerele complexe. Polinoame. Numerele complexe. 1. Definiții și formule de bază pentru rezolvarea problemelor Un număr complex în formă algebrică este o expresie de forma = x + y, unde x și y sunt reale

1 Concepte de bază ale funcțiilor unei variabile complexe Conceptele de bază asociate unei funcții ale unei variabile complexe se regăsesc în același mod ca și în domeniul real. Fie două seturi de complexe

Universitatea de Stat din Sankt Petersburg Departamentul de Analiză Matematică INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE pentru desfășurarea orelor practice de teoria funcțiilor unei variabile complexe partea 1 Capitolele inițiale

Instrucţiuni metodologice pentru testul la matematică Tema 1. Funcţiile unei variabile complexe Să definim funcţia unei variabile complexe. Definiţie. Ei spun că pe mulțimea D de puncte de complex

Opțiune Sarcină Calculați valoarea funcției, dați răspunsul în formă algebrică: a sh ; b l Rezolvarea a Să folosim formula pentru legătura dintre sinusul trigonometric şi sinusul hiperbolic: ; sh -s Ia

Opțiune Problemă Calculați valoarea funcției (dați răspunsul în formă algebrică: a th(; b L(sh(/ Soluția a Să exprimăm tangenta prin sinus și cosinus): th(Aplicați ch(/ formulele pentru diferența de sinus și cosinus)

Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse UNIVERSITATEA DE STAT RUSĂ DE PETROL ȘI GAZ NUMIT DUPĂ IM GUBKIN DIN Melnikov, NO Fastovets TEORIA FUNCȚIILOR O VARIABILE COMPLEXE OPERAȚIONALE

Subiect: Numere și funcții complexe. Definiția unui număr complex, forma algebrică a unui număr complex. Părți reale și imaginare ale unui număr complex. Operatii de adunare si inmultire a numerelor complexe.

Analiză complexă Funcțiile unei variabile complexe Nikita Aleksandrovich Evseev Facultatea de Fizică, Universitatea de Stat Novosibirsk Institutul Chinez-Rus, Universitatea Heilongjiang

Subiecte: Denumirea secțiunii, subiecte Total ore de curs Prelegeri, ore Cursuri practice, ore 1 2 3 4 Tema 1. Geometrie analitică și algebră liniară 68 34 34 Tema 2. Introducere în analiza matematică

V. D. Mikhailov Funcțiile unei variabile complexe în exemple și probleme 04 UDC 57.5 BBK.6 M69 Mikhailov V. D. Funcţiile unei variabile complexe în exemple şi probleme: Manual. Sankt Petersburg, ora 04.30 p. Tutorial

Pagină 1 din 14 Lecția a 2-a. Forma exponențială a unui număr complex Math. analiză, apl. matematică, semestrul 4 A1 Aflați modulele și argumentele următoarelor numere complexe și scrieți aceste numere sub forma z = ρe iϕ,

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL RUSIEI Bugetarul Federal de Stat Instituția de Învățământ de Învățământ Profesional Superior „Universitatea de Stat Tula” Institutul de Sisteme de Înaltă Precizie numit după V.P.

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL ACADEMIEI TEHNICE DE STAT RF ANGARA Museva TN Sverdlova OL Turkina NM ELEMENTE ALE TEORIEI FUNCȚIEI UNEI VARIABILE COMPLEXE Manual Angarsk CUPRINS

ELEMENTE ALE TEORIEI FUNCȚILOR UNUI CALCUL OPERAȚIONAL DE VARIABILE COMPLEXE În urma studierii acestei teme, elevul trebuie să învețe: să găsească formele trigonometrice și exponențiale ale unui număr complex prin

PROBLEME DE AUTOPREGĂTIRE Numerele complexe și operațiile asupra lor Se dau numere complexe și Găsiți:)))) 5): a) b) Scrieți acest număr complex:) în formă trigonometrică) în formă exponențială

OPȚIUNEA PROBLEMA ESTE DE A CALCULA VALOAREA FUNCȚIEI (RĂSPUNSUL ESTE DAT ÎN FORMA ALGEBRICĂ: a Arch; b SOLUȚIA A VOM CALCULA ARH FOLOSIND FORMULA Arch(L(ÎN ACEST EXEMPLU ZI, DECI, Arch L(± L( ± UTILIZARE ÎN MULTE

Varianta 9 Problema Calculati valoarea functiei (dati raspunsul in forma algebrica: a cos(; b l(Rezolvare a Folosind formula trigonometrica cos(-cos cos(s s) Folosim formulele de relatii intre trigonometrice)

AGENȚIA FEDERALĂ DE ÎNVĂȚĂMÂNT INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT DE STAT PROFESIONAL SUPERIOR „UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE STAT SAMARA” Departamentul de Matematică Aplicată

Prelegerea.7. Extinderea conceptului de număr. Numere complexe, operații asupra lor Rezumat: Conferința subliniază necesitatea generalizării conceptului de număr de la natural la complex. Algebric,

OPȚIUNE PROBLEMA CALCULAȚI VALOAREA UNEI FUNCȚII DAȚI RĂSPUNSUL ÎN FORMA ALGEBRICĂ: a Arch b SOLUȚIE A VOM CALCULA ARH FOLOSIND FORMULA Arch L ÎN ACEST EXEMPLU ZI, DECI, Arch L± L± UTILIZAȚI ÎN MAI MULTE

Prelegerea..3. Integrală nedefinită Rezumat: O integrală nedefinită este definită ca mulțime de funcții antiderivative ale integrandului. Se consideră proprietățile integralei nedefinite și

„semn de acțiune” a+(-b)=a-b 1) De ce sunt introduse numerele negative? „semnul cantității”) De ce se efectuează acțiunile asupra lor după așa și așa reguli și nu după altele? De ce este negativ atunci când înmulțim și împărțim?

Lecție practică Funcții analitice Condiții Cauchy-Riemann Derivată și diferențială a unei funcții a unei variabile complexe Condiții Cauchy-Riemann 3 Sensul geometric al modulului și argumentul derivatei 4 Conform

Cursul 2 2.1 Secvențe de numere complexe Un număr complex a se numește limita unei secvențe de numere complexe (z n), dacă pentru orice număr ε > 0 există un număr n 0 n 0 (ε) astfel încât

Opțiune Sarcină Calculați valoarea funcției (dați răspunsul în formă algebrică: a cos(; b l(Rezolvare a Folosind formula de trigonometrie cos(cos cos(-s s(Folosim relațiile dintre formulele trigonometrice)

Agenția Federală pentru Educație Instituție de învățământ de stat de învățământ profesional superior „Universitatea Pedagogică de Stat Ural” Facultatea de Matematică Departamentul

Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse Bugetul federal de stat Instituția de învățământ de învățământ profesional superior „Komsomolsk-on-Amur Tehnic de stat

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE STAT DE AVIIAȚIE CIVILĂ MOSCOVA O.G. Illarionova, I.V. Platonova MATEMATICĂ SUPERIORĂ Manual educațional și metodologic privind realizarea sarcinilor practice pentru elevi II

Conceptul de variabilă complexă Limita și continuitatea unei variabile complexe Să fie date două seturi de numere complexe D și Δ și fiecare număr z D este asociat cu un număr ω Δ care este notat

Analiză complexă Exemple de funcții ale unei variabile complexe Nikita Aleksandrovich Evseev Facultatea de Fizică, Universitatea de Stat Novosibirsk Institutul Chinez-Rus, Universitatea Heilongjiang

PRELARE N34. Serii numerice cu termeni complexi. Serii de puteri în domeniul complex. Funcții analitice. Funcții inverse..seri numerice cu termeni complecși.....seri de putere în domeniul complex....

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL RF BUGETAR DE STAT FEDERAL INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT PROFESIONAL SUPERIOR Departamentul „UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE STAT SAMARA”

Introducere 1 Scrieți numărul în formă algebrică Găsiți, Re, Im, arg, Arg = 5 + i 3 + i Rezolvare Înmulțiți și împărțiți numărul la numărul conjugat la numitor: 5 + i 3 + i = 5 + i) 3 i) 3 + i) 3 i) = 15

1 Funcții complexe 1.1 Numere complexe Reamintim că numerele complexe pot fi definite ca o mulțime de perechi ordonate de numere reale C = ((x, y) : x, y R), z = x + iy, unde i este unitatea imaginară ( i

Concepte de bază 1 NUMERE COMPLEXE Un număr complex este o expresie de forma i, unde și sunt numere reale, i este o unitate imaginară care satisface condiția i 1 Numărul se numește partea reală a unui complex

Cursul 3. Integrală nedefinită. Antiderivată și integrală nedefinită În calculul diferențial, se rezolvă problema: având în vedere o funcție dată f(), găsiți derivata (sau diferențiala). Calcul integral

CAPITOLUL TEORIA FUNCȚIILOR UNEI VARIABILE COMPLEXE Conceptul de funcție a unei variabile complexe Continuitatea unui fcp Definiția unui fcp este în multe privințe similară cu definiția unui fcp Ei spun că pe o anumită mulțime de complex

Funcții Diferențierea funcțiilor 1 Reguli de diferențiere Deoarece derivata unei funcții este determinată ca în domeniul real, i.e. sub forma unei limite, atunci, folosind această definiție și proprietățile limitelor,

Opțiune Sarcină Calculați valoarea funcției (dați răspunsul în formă algebrică: a Arctg; b (Soluție a În general Arctg arctg + kπ Să găsim alte valori în complexul + planul Vom calcula Arctg folosind formula

Funcții ale mai multor variabile Funcții ale mai multor variabile Extremul unei funcții a mai multor variabile. Găsirea valorilor maxime și minime ale unei funcții într-o regiune închisă Complexul extremum condiționat

TASK BANK pentru probele de admitere la programul de master (partea de bază) Sarcini de bilete, 4 5 Secțiuni, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 4, 5, 9 Număr de puncte 5 b b 5 b Cuprins Secțiunea Derivată, coeficient

Cursul 5 Derivate ale funcțiilor elementare de bază Rezumat: Sunt prezentate interpretări fizice și geometrice ale derivatei unei funcții a unei variabile.

Lucru independent Sarcină Determinați tipul de curbă, dat parametric, și descrieți curba t t t t 5 7 t t b) e e, 0 t π c) t t t 5 Răspunsuri rază închisă y, 0, y, parcursă de două ori, raza este reprezentată

SA Zotova, VB Svetlichnaya GHID PRACTIC PENTRU TEORIA FUNCȚILOR VARIABILLOR COMPLEXE MATEMATICĂ UDC 5 Recenzători - df-mn, prof. Goryainov VV la f-mn, conf. Kulkov VG Zotova SA, Svetlichnaya VB Practic.

7 ECUAȚII ȘI INEGALITATI EXPONENTARE ȘI LOGARITMICE 7. CONCEPTE ȘI FORMULE DE BAZĂ. Egalitățile log a b și a b sunt echivalente pentru a > 0, a, b > 0. log. Identitatea logaritmică de bază: a a b b, a > 0,

Derivate ale funcţiilor elementare de bază Derivata unei funcţii poate fi găsită după următoarea schemă: dăm argumentului x un increment pentru funcţia y găsim incrementul corespunzător y y facem o relaţie pe care o găsim

FUNCȚIILE EDITURII VARIABILE COMPLEXE TSTU Ministerul Educației și Științei Federației Ruse Instituția de Stat de Învățământ Profesional Superior „Universitatea Tehnică de Stat Tambov” FUNCȚIILE UNEI VARIABILE COMPLEXE Metodologice

Întrebări pentru examen Întrebări pentru verificarea nivelului de învățare „CUNOAȘTE” Concepte de bază ale teoriei seriilor Criteriul Cauchy pentru convergența unei serii de numere Semn necesar al convergenței serii de numere Semne suficiente

Agenția Federală pentru Educație Instituție de învățământ de stat de învățământ profesional superior Universitatea Tehnică de Stat Ukhta NUMERE COMPLEXE Ghid

Analiză complexă Geometria numerelor complexe Nikita Aleksandrovich Evseev Facultatea de Fizică, Universitatea de Stat din Novosibirsk 2015 Analiză complexă 1 / 31 Linia numerică R Complex

OPȚIUNEA SARCINA CALCULAȚI VALOAREA FUNCȚIEI (DAȚI RĂSPUNSUL ÎN FORMA ALGEBRICĂ: s(; b a SOLUȚIE A PRIN FORMULA DE TRIGONOMETRIE SIN(ISIN OSIOS SINI UTILIZÂND FORMULELE DE CONEXIUNE ÎNTRE TRIGONOMETRIE ȘI HIPERBOLICE)

Svetlichnaya V. B., Agisheva D. K., Matveeva T. A., Zotova S. A. Capitole speciale de matematică. Teoria funcțiilor unei variabile complexe Volgograd 0 Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse Politehnica Volzhsky

CALCUL TIPIC „Teoria funcţiilor unei variabile complexe” Sarcini practice Sarcini. Este dat numărul s. Găsiți c arg c și scrieți numărul c în forme trigonometrice și exponențiale:))))) 8 6) 7) 8) 9)

MINISTERUL EDUCAȚIEI AL FEDERATIEI RUSE TEORIA FUNCȚILOR UNEI VARIABILE COMPLEXE Manual metodologic Alcătuit de: MDUlymzhiev LIInkheyeva IBYumov SZhyumova Revizuirea manualului metodologic privind teoria funcțiilor

Numere complexe, funcții și operații pe ele y modulul R parte reală număr real, yim parte imaginară număr real iy formă algebrică de scriere a numerelor complexe Valoarea principală a argumentului

Subiect: derivat. Informații teoretice scurte. Tabelul derivatelor. (c) 0 (arcsin) () (arccos) (sin) cos (cos) sin (arctg) (tg) cos (arcctg) (ctg) sin v vln u vln u v v (u) (e) e (

Analiza matematica Sectiunea: Teoria functiilor unei variabile complexe Tema: Operatii non-algebrice in C. Functii elementare de baza in C. B.b. secvențe de numere complexe Lector O.V Januszczyk

Subiect. Funcţie. Metode de atribuire. Funcție implicită. Funcția inversă. Clasificarea funcţiilor Elemente de teoria mulţimilor. Concepte de bază Unul dintre conceptele de bază ale matematicii moderne este conceptul de mulțime.

Lucru de testare În intervalul dintre sesiuni, studenții trebuie să desfășoare lucrări de pregătire independente prin material teoretic din prelegeri pe tema „Funcțiile mai multor variabile” (Material prezentat

MIREA. Calcul tipic pentru analiza matematică Atribuții de testare pe tema Numere complexe, TFKP. Sarcina 1. Rezolvați ecuații, reprezentați soluția setată pe planul complex A) 4 i + 81i 0 B)

CALCUL OPERAȚIONAL Transformată Laplace și formulă de inversare Fie în intervalul Dirichlet și anume: integrala Fourier (l l) a) este mărginită pe acest interval; funcţia îndeplineşte condiţiile b) continuu pe bucăţi

Funcții ale unei variabile complexe Funcții analitice Ca și mai înainte, dacă nu se specifică altfel, avem de-a face cu o funcție cu o singură valoare w = f(z). Definiție 1. Funcția f(z) se numește analitică

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL ACADEMIEI TEHNICE DE STAT RF ANGARA Ivanova SV, Evsevleeva LG, Bykova LM, Dobrynina NN FUNCȚII ALE UNUI MANUAL DE CALCUL COMPLEX ȘI OPERAȚIONAL