) sunt numere cu semn pozitiv sau negativ (numere întregi și fracții) și zero. Un concept mai precis al numerelor raționale sună astfel:

Numar rational- un număr care este reprezentat ca o fracție comună m/n, unde numărătorul m sunt numere întregi, iar numitorul n- numere întregi, de exemplu 2/3.

Fracțiile neperiodice infinite NU sunt incluse în mulțimea numerelor raționale.

a/b, Unde A∈ Z (A aparține numerelor întregi), b∈ N (b aparține numerelor naturale).

Utilizarea numerelor raționale în viața reală.

ÎN viata reala setul de numere raționale este folosit pentru a număra părțile unor obiecte divizibile întregi, De exemplu, prăjituri sau alte alimente care sunt tăiate în bucăți înainte de consum, sau pentru estimarea aproximativă a relațiilor spațiale ale obiectelor extinse.

Proprietățile numerelor raționale.

Proprietățile de bază ale numerelor raționale.

1. Ordine AȘi b există o regulă care vă permite să identificați fără ambiguitate 1 și doar una dintre cele 3 relații dintre ele: „<», «>" sau "=". Această regulă este - regula de ordonareși formulează-l astfel:

• 2 numere pozitive a=m a /n aȘi b=m b/n b sunt legate prin aceeași relație ca 2 numere întregi m a⋅ n bȘi m b⋅ N / A;
• 2 numere negative AȘi b sunt legate prin același raport ca 2 numere pozitive |b|Și |a|;
• Când A pozitivă și b- negativ, atunci a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operație de adăugare. Pentru toate numerele raționale AȘi b Există regula de însumare, care le atribuie un anumit număr rațional c. Mai mult decât atât, numărul în sine c- Acest sumă numere AȘi bși se notează ca (a+b) însumare.

Regula de însumare arata asa:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ N / A)/(N / A⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operația de înmulțire. Pentru toate numerele raționale AȘi b Există regula înmulțirii, le asociază cu un anumit număr rațional c. Se numește numărul c muncă numere AȘi b si denota (a⋅b), iar procesul de găsire a acestui număr se numește multiplicare.

Regula înmulțirii arata asa: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru oricare trei numere raționale A, bȘi c Dacă A Mai puțin bȘi b Mai puțin c, Acea A Mai puțin c, si daca A egală bȘi b egală c, Acea A egală c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ A ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Comutativitatea adunării. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Asociativitatea de adunare. Ordinea în care sunt adăugate 3 numere raționale nu afectează rezultatul.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0, care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.

∃ 0 ∈ Q∀ A∈ Q a+0=a

8. Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, iar atunci când sunt adunați, rezultatul este 0.

∀ A∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ A

10. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite 3 numere raționale nu are efect asupra rezultatului.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1, acesta păstrează orice alt număr rațional în procesul de înmulțire.

∃ 1 ∈ Q∀ A∈ Q a⋅ 1=a

12. Disponibilitate numere reciproce . Fiecare număr rațional, altul decât zero, are un număr rațional invers, înmulțind cu care obținem 1 .

∀ A∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este legată de adunare folosind legea distributivă:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Relația dintre relația de comandă și operația de adunare. Același număr rațional se adaugă la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Relația dintre relația de ordine și operația de înmulțire. Laturile stânga și dreapta ale unei inegalități raționale pot fi înmulțite cu același număr rațional nenegativ.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ A ⇒ A⋅ c ⋅ c

16. Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional A, este ușor să luați atât de multe unități încât suma lor va fi mai mare A.

După cum am văzut deja, mulți numere naturale

este închis la adunare și înmulțire și mulțimea numerelor întregi

închis la adunare, înmulțire și scădere. Cu toate acestea, niciuna dintre aceste mulțimi nu este închisă sub diviziune, deoarece împărțirea numerelor întregi poate duce la fracții, ca în cazurile 4/3, 7/6, -2/5 etc. Mulțimea tuturor acestor fracții formează mulțimea numerelor raționale. Astfel, un număr rațional (fracție rațională) este un număr care poate fi reprezentat sub forma , unde a și d sunt numere întregi, iar d nu este egal cu zero. Să facem câteva comentarii despre această definiție.

1) Am cerut ca d să fie diferit de zero. Această cerință (scrisă matematic ca inegalitate) este necesară deoarece aici d este un divizor. Luați în considerare următoarele exemple:

Cazul 1. .

Cazul 2...

În cazul 1, d este un divizor în sensul capitolului anterior, adică 7 este un divizor exact al lui 21. În cazul 2, d este încă un divizor, dar într-un sens diferit, deoarece 7 nu este un divizor exact al lui 25 .

Dacă 25 se numește dividend și 7 divizor, obținem câtul de 3 și restul de 4. Deci cuvântul divizor este folosit aici într-un sens mai general și se aplică unui număr mai mare de cazuri decât în ​​cap. I. Cu toate acestea, în cazuri precum Cazul 1, conceptul de divizor introdus în Cap. eu; de aceea este necesar, ca în cap. I, exclud posibilitatea d = 0.

2) Rețineți că, în timp ce expresiile număr rațional și fracție rațională sunt sinonime, cuvântul fracție în sine este folosit pentru a desemna orice expresie algebrică constând dintr-un numărător și un numitor, cum ar fi

3) Definiția unui număr rațional include expresia „un număr care poate fi reprezentat sub forma , unde a și d sunt numere întregi și . De ce nu poate fi înlocuit cu expresia „un număr de forma , unde a și d sunt numere întregi și Motivul pentru aceasta este faptul că există infinite moduri de a exprima aceeași fracție (de exemplu, 2/3 poate se scrie, de asemenea, ca 4/6, 6/9 sau sau 213/33, sau, etc.), și este de dorit pentru noi ca definiția noastră a unui număr rațional să nu depindă de modul particular de exprimare a acestuia.

O fracție este definită în așa fel încât valoarea ei să nu se modifice atunci când numărătorul și numitorul sunt înmulțite cu același număr. Cu toate acestea, nu este întotdeauna posibil să spunem doar privind o anumită fracție dacă este rațională sau nu. Luați în considerare, de exemplu, numerele

Nici unul dintre ele din intrarea pe care am ales-o nu are forma , unde a și d sunt numere întregi.

Putem, totuși, să efectuăm o serie de transformări aritmetice asupra primei fracții și să obținem

Astfel, ajungem la o fracție egală cu fracția inițială, pentru care . Numărul este așadar rațional, dar nu ar fi rațional dacă definiția unui număr rațional ar presupune ca numărul să fie de forma a/b, unde a și b sunt numere întregi. În cazul conversiei fracțiilor

duce la un număr. În capitolele următoare vom afla că un număr nu poate fi reprezentat ca un raport de două numere întregi și, prin urmare, nu este rațional sau se spune că este irațional.

4) Rețineți că fiecare număr întreg este rațional. După cum tocmai am văzut, acest lucru este adevărat în cazul numărului 2. În caz general numerelor întregi arbitrare li se poate atribui în mod similar un numitor egal cu 1 fiecăruia dintre ele și se poate obține reprezentarea lor sub formă de fracții raționale.

Școlarii mai mari și studenții la matematică vor răspunde probabil cu ușurință la această întrebare. Dar pentru cei care sunt departe de asta de profesie, va fi mai dificil. Ce este de fapt?

Esența și denumirea

Numerele raționale sunt cele care pot fi reprezentate ca o fracție obișnuită. Pozitiv, negativ și zero sunt de asemenea incluse în acest set. Numătorul fracției trebuie să fie un număr întreg, iar numitorul trebuie să fie

Această mulțime în matematică este denumită Q și este numită „câmpul numerelor raționale”. Include toate numerele întregi și naturale, notate respectiv Z și N. Mulțimea Q însăși este inclusă în mulțimea R. Această literă este cea care denotă așa-numitul real sau

Performanţă

După cum sa menționat deja, numerele raționale sunt o mulțime care include toate valorile întregi și fracționale. Ele pot fi prezentate în forme diferite. În primul rând, sub forma unei fracții obișnuite: 5/7, 1/5, 11/15 etc. Desigur, numerele întregi pot fi scrise și într-o formă similară: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 etc. În al doilea rând, un alt tip de reprezentare este o fracție zecimală cu o parte fracțională finală: 0,01, -15,001006 etc. Aceasta este poate una dintre cele mai comune forme.

Dar există și o a treia - o fracție periodică. Acest tip nu este foarte comun, dar este încă folosit. De exemplu, fracția 10/3 poate fi scrisă ca 3,33333... sau 3,(3). în care viziuni diferite vor fi considerate numere similare. Fracțiile care sunt egale între ele vor fi, de asemenea, numite la fel, de exemplu 3/5 și 6/10. Se pare că a devenit clar ce sunt numerele raționale. Dar de ce este folosit acest termen pentru a se referi la ei?

originea numelui

Cuvântul „rațional” în limba rusă modernă are în general un înțeles ușor diferit. Este mai degrabă „rezonabil”, „gândit”. Dar termenii matematici sunt aproape de literalmente Aceasta În latină, „raport” este un „raport”, „fracție” sau „diviziune”. Astfel, numele surprinde esența a ceea ce sunt numerele raționale. Cu toate acestea, al doilea sens

nu departe de adevar.

Acțiuni cu ei

Când rezolvăm probleme matematice, întâlnim în mod constant numere raționale fără să le știm noi înșine. Și sunt aproape proprietăți interesante. Toate rezultă fie din definirea unui set, fie din acțiuni.

În primul rând, numerele raționale au proprietatea relației de ordine. Aceasta înseamnă că poate exista o singură relație între două numere - fie sunt egale între ele, fie unul este mai mare sau mai mic decât celălalt. Acesta este:

sau a = b; sau a > b, sau A< b.

În plus, din această proprietate rezultă și tranzitivitatea relației. Adică dacă A Mai mult b, b Mai mult c, Acea A Mai mult c. În limbajul matematic arată astfel:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

În al doilea rând, există operații aritmetice cu numere raționale, adică adunarea, scăderea, împărțirea și, bineînțeles, înmulțirea. În același timp, în procesul transformărilor, pot fi identificate și o serie de proprietăți.

• a + b = b + a (schimbarea locurilor termenilor, comutativitatea);
• 0 + a = a + 0 ;
• (a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate);
• a + (-a) = 0;
• ab = ba;
• (ab)c = a(bc) (distributivitate);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (în acest caz a nu este egal cu 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Când despre care vorbim despre numere obișnuite, nu numere întregi, operațiile cu acestea pot provoca anumite dificultăți. Astfel, adunarea și scăderea sunt posibile numai dacă numitorii sunt egali. Dacă inițial sunt diferite, ar trebui să o găsiți pe cea comună înmulțind întreaga fracție cu anumite numere. Comparația este, de asemenea, cel mai adesea posibilă numai dacă această condiție este îndeplinită.

Împărțirea și înmulțirea fracții obișnuite sunt produse în conformitate cu suficiente reguli simple. Reducerea la un numitor comun nu este necesară. Număratorii și numitorii se înmulțesc separat, iar în procesul de efectuare a acțiunii, dacă este posibil, fracția trebuie redusă și simplificată pe cât posibil.

În ceea ce privește împărțirea, această acțiune este similară cu prima cu o ușoară diferență. Pentru a doua fracție ar trebui să găsiți inversul, adică

„întoarce”-o. Astfel, numărătorul primei fracții va trebui înmulțit cu numitorul celei de-a doua și invers.

În cele din urmă, o altă proprietate inerentă numerelor raționale se numește axioma lui Arhimede. Adesea în literatură se găsește și numele „principiu”. Este valabil pentru întregul set de numere reale, dar nu peste tot. Astfel, acest principiu nu se aplică unor seturi de funcții raționale. În esență, această axiomă înseamnă că, având în vedere existența a două mărimi a și b, puteți lua întotdeauna suficient a pentru a depăși b.

Zona de aplicare

Deci, pentru cei care au învățat sau și-au amintit ce sunt numerele raționale, devine clar că ele sunt folosite peste tot: în contabilitate, economie, statistică, fizică, chimie și alte științe. Desigur, au un loc și în matematică. Neștiind întotdeauna că avem de-a face cu ele, folosim constant numere raționale. Încă copii mici, învață să numere obiecte, tăind un măr în bucăți sau executând altele pași simpli, întâlnește-i. Ne înconjoară literalmente. Și totuși, ele nu sunt suficiente pentru a rezolva unele probleme; în special, folosind teorema lui Pitagora ca exemplu, se poate înțelege necesitatea introducerii conceptului

În această secțiune vom da mai multe definiții ale numerelor raționale. În ciuda diferențelor de formulare, toate aceste definiții au același sens: numerele raționale combină numere întregi și numere fracționare, la fel cum numerele întregi combină numerele naturale, contrariile lor și numărul zero. Cu alte cuvinte, numerele raționale generalizează numerele întregi și fracționale.

Sa incepem cu definițiile numerelor raționale, care este perceput cel mai natural.

Definiție.

Numere rationale sunt numere care pot fi scrise ca o fracție pozitivă, o fracție negativă sau ca număr zero.

Din definiția menționată rezultă că un număr rațional este:

Orice număr natural n. Într-adevăr, puteți reprezenta orice număr natural ca o fracție obișnuită, de exemplu, 3=3/1 .

· Orice număr întreg, în special numărul zero. De fapt, orice număr întreg poate fi scris fie ca fracție pozitivă, fie ca fracție negativă, fie ca zero. De exemplu, 26=26/1 , .

· Orice fracție comună (pozitivă sau negativă). Acest lucru este confirmat direct de definiția dată a numerelor raționale.

· Orice număr mixt. Într-adevăr, puteți reprezenta întotdeauna un număr mixt ca o fracție improprie. De exemplu, și.

· Orice fracție zecimală finită sau fracție periodică infinită. Acest lucru se datorează faptului că fracțiile zecimale indicate sunt convertite în fracții obișnuite. De exemplu, a 0,(3)=1/3 .

De asemenea, este clar că orice fracție zecimală infinită neperiodică NU este un număr rațional, deoarece nu poate fi reprezentată ca o fracție comună.

Acum putem da cu ușurință exemple de numere raționale. Numerele 4 ,903 , 100 321 Acestea sunt numere raționale pentru că sunt numere naturale. Numere întregi 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 sunt și exemple de numere raționale. Fracții comune 4/9 , 99/3 , sunt și exemple de numere raționale. Numerele raționale sunt și numere.

Din exemplele de mai sus este clar că există atât numere raționale pozitive, cât și negative, iar numărul rațional zero nu este nici pozitiv, nici negativ.

Definiția de mai sus a numerelor raționale poate fi formulată într-o formă mai concisă.

Definiție.

Numere rationale numere numere care pot fi scrise ca fracții z/n, Unde z este un număr întreg și n- numar natural.

Să demonstrăm că această definiție a numerelor raționale este echivalentă cu definiția anterioară. Știm că putem considera linia unei fracții ca semn de divizare, apoi din proprietățile împărțirii numerelor întregi și regulile de împărțire a numerelor întregi rezultă că următoarele egalitățiȘi. Deci asta este dovada.

Să dăm exemple de numere raționale bazate pe această definiție. Numerele −5 , 0 , 3 , și sunt numere raționale, deoarece pot fi scrise ca fracții cu un numărător întreg și, respectiv, un numitor natural de forma și.

Definiția numerelor raționale poate fi dată în formularea următoare.

Definiție.

Numere rationale sunt numere care pot fi scrise ca periodice finite sau infinite zecimal.

Această definiție este, de asemenea, echivalentă cu prima definiție, deoarece fiecare fracție obișnuită corespunde unei fracții zecimale finite sau periodice și invers, iar orice număr întreg poate fi asociat cu o fracție zecimală cu zerouri după virgulă.

De exemplu, numerele 5 , 0 , −13 , sunt exemple de numere raționale, deoarece pot fi scrise ca următoarele fracții zecimale 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Și −7,(18) .

Să încheiem teoria acestui punct cu următoarele afirmații:

· numerele întregi și fracții (pozitive și negative) alcătuiesc mulțimea numerelor raționale;

· fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție cu un numărător întreg și un numitor natural, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un anumit număr rațional;

· fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un anumit număr rațional.

Începutul paginii

Adunarea numerelor raționale pozitive este comutativă și asociativă,

("a, b О Q +) a + b= b + a;

("a, b, c О Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Înainte de a formula definiția înmulțirii numerelor raționale pozitive, luați în considerare următoarea problemă: se știe că lungimea unui segment X se exprimă ca o fracție cu o unitate de lungime E, iar lungimea unui segment unitar se măsoară cu o unitate. E 1 și se exprimă ca fracție. Cum să găsiți numărul care va reprezenta lungimea segmentului X dacă este măsurat folosind unitatea de lungime E 1?

Deoarece X = E, atunci nX = mE, iar din faptul că E = E 1 rezultă că qE = pE 1. Să înmulțim prima egalitate obținută cu q, iar a doua cu m. Atunci (nq)X = (mq)E și (mq)E= (mp)E 1, de unde (nq)X= (mp)E 1. Această egalitate arată că lungimea segmentului x cu o unitate de lungime este exprimată ca fracție, ceea ce înseamnă , =, adică înmulțirea fracțiilor presupune trecerea de la o unitate de lungime la alta la măsurarea lungimii aceluiași segment.

Definiție: Dacă un număr pozitiv a este reprezentat printr-o fracție, iar un număr rațional pozitiv b este o fracție, atunci produsul lor este numărul a b, care este reprezentat printr-o fracție.

Înmulțirea numerelor raționale pozitive comutativ, asociativ și distributiv în ceea ce privește adunarea și scăderea. Dovada acestor proprietăți se bazează pe definiția înmulțirii și adunării numerelor raționale pozitive, precum și a proprietăților corespunzătoare de adunare și înmulțire a numerelor naturale.

46. ​​După cum se știe scădere- Aceasta este acțiunea opusă adunării.

Dacă AȘi b - numere pozitive, apoi scăderea numărului b din numărul a înseamnă găsirea unui număr c care, adăugat la numărul b, dă numărul a.
a - b = c sau c + b = a
Definiția scăderii este valabilă pentru toate numerele raționale. Adică, scăderea numerelor pozitive și negative poate fi înlocuită cu adunarea.
Pentru a scădea altul dintr-un număr, trebuie să adăugați numărul opus celui care se scade.
Sau, într-un alt mod, putem spune că scăderea numărului b este la fel cu adunarea, dar cu numărul opus lui b.
a - b = a + (- b)
Exemplu.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Exemplu.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Merită să ne amintim expresiile de mai jos.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Reguli pentru scăderea numerelor negative
Scăderea unui număr b înseamnă adăugarea lui cu numărul opus lui b.
Această regulă este valabilă nu numai atunci când scădeți un număr mai mic dintr-un număr mai mare, dar vă permite și să scădeți dintr-un număr mai mic. număr mai mare, adică poți găsi întotdeauna diferența dintre două numere.
Diferența poate fi un număr pozitiv, un număr negativ sau un număr zero.
Exemple de scădere a numerelor negative și pozitive.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Este convenabil să vă amintiți regula semnului, care vă permite să reduceți numărul de paranteze.
Semnul plus nu schimbă semnul numărului, așa că dacă există un plus în fața parantezei, semnul dintre paranteze nu se schimbă.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Semnul minus din fața parantezei inversează semnul numărului din paranteze.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Din egalități este clar că, dacă există semne identice înainte și în interiorul parantezelor, atunci obținem „+”, iar dacă semnele sunt diferite, atunci obținem „-”.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Regula semnului se aplică și dacă parantezele conțin nu doar un număr, ci o sumă algebrică de numere.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Vă rugăm să rețineți că dacă există mai multe numere între paranteze și există un semn minus în fața parantezelor, atunci semnele din fața tuturor numerelor din aceste paranteze trebuie să se schimbe.
Pentru a vă aminti regula semnelor, puteți crea un tabel pentru determinarea semnelor unui număr.
Regula semnelor pentru numere+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Sau învață o regulă simplă.
Două negative fac o afirmație,
Plus ori minus este egal cu minus.

Reguli pentru împărțirea numerelor negative.
Pentru a găsi modulul unui coeficient, trebuie să împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului.
Deci, pentru a împărți două numere cu aceleași semne, trebuie să:

· modulul dividendului se împarte la modulul divizorului;

· pune semnul „+” în fața rezultatului.

Exemple de împărțire a numerelor cu semne diferite:

De asemenea, puteți utiliza următorul tabel pentru a determina semnul coeficient.
Regula semnelor pentru împărțire
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

La calcularea expresiilor „lungi” în care apar doar înmulțirea și împărțirea, este foarte convenabil să folosiți regula semnului. De exemplu, pentru a calcula o fracție
Vă rugăm să rețineți că numărătorul are 2 semne minus, care atunci când sunt înmulțite vor da un plus. Există, de asemenea, trei semne minus în numitor, care atunci când sunt înmulțite vor da un semn minus. Prin urmare, în cele din urmă, rezultatul se va dovedi cu un semn minus.
Reducerea unei fracții (acțiuni ulterioare cu modulele de numere) se efectuează în același mod ca înainte:
Coeficientul de zero împărțit la un număr altul decât zero este zero.
0: a = 0, a ≠ 0
NU POȚI împărți la zero!
Toate regulile cunoscute anterior de împărțire la unu se aplică și setului de numere raționale.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, unde a este orice număr rațional.
Relațiile dintre rezultatele înmulțirii și împărțirii, cunoscute pentru numerele pozitive, rămân aceleași pentru toate numerele raționale (cu excepția zero):
dacă a × b = c; a = c: b; b = c: a;
dacă a: b = c; a = c × b; b = a: c
Aceste dependențe sunt folosite pentru a găsi multiplicator necunoscut, dividend și divizor (la rezolvarea ecuațiilor), precum și pentru verificarea rezultatelor înmulțirii și împărțirii.
Un exemplu de găsire a necunoscutului.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2

Informații conexe.

Numere rationale

Sferturi

1. Ordine. AȘi b există o regulă care permite cuiva să identifice în mod unic una și doar una dintre cele trei relații dintre ei: „< », « >" sau " = ". Această regulă se numește regula de ordonareși se formulează astfel: două numere nenegative și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; două numere nepozitive AȘi b sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; dacă deodată A nenegativ, dar b- negativ, atunci A > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Adunarea fracțiilor

2. Operație de adăugare. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula de însumare c. Mai mult decât atât, numărul în sine c numit Cantitate numere AȘi bși este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit însumare. Regula însumării are următoarea vedere: .
3. Operația de înmulțire. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula înmulțirii, care le atribuie un număr rațional c. Mai mult decât atât, numărul în sine c numit muncă numere AȘi bși este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit și multiplicare. Regula înmulțirii arată astfel: .
4. Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu de numere raționale A , bȘi c Dacă A Mai puțin bȘi b Mai puțin c, Acea A Mai puțin c, si daca A egală bȘi b egală c, Acea A egală c. 6435">Comutativitatea adunării. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.
5. Asociativitatea adunării. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul.
6. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.
7. Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care atunci când este adăugat la dă 0.
8. Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.
9. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.
10. Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.
11. Prezența numerelor reciproce. Orice număr rațional are un număr rațional invers, care atunci când este înmulțit cu dă 1.
12. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este coordonată cu operația de adunare prin legea distribuției:
13. Legătura relației de ordine cu operația de adunare. Același număr rațional poate fi adăugat la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional A, puteți lua atât de multe unități încât suma lor depășește A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu se disting ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi dovedite pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția unui obiect matematic. . Astfel de proprietăți suplimentare asa de mult. Este logic să enumerați doar câteva dintre ele aici.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Numărabilitatea unui set

Numerotarea numerelor raționale

Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să dați un algoritm care enumeră numerele raționale, adică stabilește o bijecție între mulțimile de numere raționale și naturale.

Cel mai simplu dintre acești algoritmi arată așa. Se întocmește un tabel nesfârșit de fracții obișnuite, pe fiecare i-a linie din fiecare j a-a coloană din care se află fracția. Pentru certitudine, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate începând de la unu. Celulele din tabel sunt notate cu , unde i- numărul rândului tabelului în care se află celula și j- numărul coloanei.

Tabelul rezultat este parcurs folosind un „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată pe baza primei potriviri.

În procesul unei astfel de parcurgeri, fiecare număr rațional nou este asociat cu un alt număr natural. Adică, fracția 1/1 este atribuită numărului 1, fracția 2/1 numărului 2 etc. Trebuie remarcat că sunt numerotate numai fracțiile ireductibile. Un semn formal de ireductibilitate este că cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției este egal cu unu.

Urmând acest algoritm, putem enumera toate numerele raționale pozitive. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale pozitive este numărabilă. Este ușor să stabiliți o bijecție între mulțimile de numere raționale pozitive și negative prin simpla atribuire fiecărui număr rațional opusul său. Acea. mulţimea numerelor raţionale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este de asemenea numărabilă prin proprietatea seturilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca unire a unei mulțimi numărabile cu una finită.

Afirmația despre numărabilitatea mulțimii numerelor raționale poate provoca o oarecare confuzie, deoarece la prima vedere pare că este mult mai extinsă decât mulțimea numerelor naturale. De fapt, nu este așa și există suficiente numere naturale pentru a le enumera pe toate raționale.

Lipsa numerelor raționale

Ipotenuza unui astfel de triunghi nu poate fi exprimată prin niciun număr rațional

Numere raționale de forma 1 / nîn mare n pot fi măsurate cantități arbitrar mici. Acest fapt creează impresia înșelătoare că numerele raționale pot fi folosite pentru a măsura orice distanțe geometrice. Este ușor să arăți că acest lucru nu este adevărat.

Note

Literatură

• I. Kushnir. Manual de matematică pentru școlari. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Alexandrov. Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. - M.: capitolul. ed. fizica si matematica aprins. ed. „Știință”, 1977
• I. L. Hmelnițki. Introducere în teoria sistemelor algebrice

Legături

Fundația Wikimedia. 2010.