În unele probleme de fizică, nu este posibil să se stabilească o legătură directă între mărimile care descriu procesul. Dar este posibil să se obțină o egalitate care să conțină derivatele funcțiilor studiate. Așa apar ecuațiile diferențiale și necesitatea de a le rezolva pentru a găsi o funcție necunoscută.

Acest articol este destinat celor care se confruntă cu problema rezolvării unei ecuații diferențiale în care funcția necunoscută este o funcție a unei variabile. Teoria este structurată în așa fel încât, cu cunoștințe zero ale ecuațiilor diferențiale, puteți face față sarcinii dvs.

Fiecare tip de ecuație diferențială este asociat cu o metodă de rezolvare cu explicații detaliate și soluții la exemple și probleme tipice. Tot ce trebuie să faceți este să determinați tipul de ecuație diferențială a problemei dvs., să găsiți un exemplu analizat similar și să efectuați acțiuni similare.

Pentru a rezolva cu succes ecuații diferențiale, veți avea nevoie și de capacitatea de a găsi seturi de antiderivate (integrale nedefinite) diverse funcții. Dacă este necesar, vă recomandăm să consultați secțiunea.

În primul rând, vom lua în considerare tipurile de ecuații diferențiale obișnuite de ordinul întâi care pot fi rezolvate în raport cu derivata, apoi vom trece la EDO de ordinul doi, apoi ne vom opri asupra ecuațiilor de ordin superior și vom termina cu sisteme de ecuatii diferentiale.

Reamintim că dacă y este o funcție a argumentului x.

Ecuații diferențiale de ordinul întâi.

Cele mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi de formă.

Să notăm câteva exemple de astfel de telecomandă .

Ecuatii diferentiale poate fi rezolvată în raport cu derivata împărțind ambele părți ale egalității la f(x) . În acest caz, ajungem la o ecuație care va fi echivalentă cu cea inițială pentru f(x) ≠ 0. Exemple de astfel de ODE sunt .

Dacă există valori ale argumentului x la care funcțiile f(x) și g(x) dispar simultan, atunci apar soluții suplimentare. Soluții suplimentare pentru ecuație dat x sunt orice funcții definite pentru aceste valori de argument. Exemple de astfel de ecuații diferențiale includ:

Ecuații diferențiale de ordinul doi.

Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

LDE cu coeficienți constanți este un tip foarte comun de ecuație diferențială. Soluția lor nu este deosebit de dificilă. Mai întâi se găsesc rădăcinile ecuație caracteristică . Pentru diferite p și q, sunt posibile trei cazuri: rădăcinile ecuației caracteristice pot fi reale și diferite, reale și coincide sau conjugate complexe. În funcție de valorile rădăcinilor ecuației caracteristice, se scrie decizie comună ecuație diferențială ca , sau , sau respectiv.

De exemplu, luați în considerare o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți. Rădăcinile ecuației sale caracteristice sunt k 1 = -3 și k 2 = 0. Rădăcinile sunt reale și diferite, prin urmare, soluția generală a LODE cu coeficienți constanți are forma


Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Soluția generală a unui LDDE de ordinul doi cu coeficienți constanți y se caută sub forma sumei soluției generale a LDDE corespunzătoare. și o soluție particulară a ecuației neomogene inițiale, adică . Dedicat găsirii unei soluții generale la o ecuație diferențială omogenă cu coeficienți constanți punctul anterior. Și o anumită soluție este determinată fie prin metoda coeficienților nedeterminați pentru o anumită formă a funcției f(x) din partea dreaptă a ecuației originale, fie prin metoda variației constantelor arbitrare.

Ca exemple de LDDE de ordinul doi cu coeficienți constanți, dăm


Înțelegeți teoria și familiarizați-vă cu soluții detaliate Vă oferim exemple pe pagina de ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Ecuații diferențiale liniare omogene (LODE) și ecuații diferențiale neomogene liniare (LNDE) de ordinul doi.

Un caz special de ecuații diferențiale de acest tip sunt LODE și LDDE cu coeficienți constanți.

Soluția generală a LODE pe un anumit segment este reprezentată de o combinație liniară a două soluții parțiale liniar independente y 1 și y 2 ale acestei ecuații, adică .

Principala dificultate constă tocmai în găsirea unor soluții parțiale liniar independente la o ecuație diferențială de acest tip. De obicei, anumite soluții sunt selectate din următoarele sisteme de funcții liniar independente:


Cu toate acestea, soluțiile speciale nu sunt întotdeauna prezentate în această formă.

Un exemplu de LOD este .

Soluția generală a LDDE este căutată sub forma , unde este soluția generală a LDDE corespunzătoare și este soluția particulară a ecuației diferențiale inițiale. Tocmai am vorbit despre găsirea lui, dar poate fi determinat folosind metoda variației constantelor arbitrare.

Se poate da un exemplu de LNDU .

Ecuații diferențiale de ordin superior.

Ecuații diferențiale care permit o reducere în ordine.

Ordinea ecuației diferențiale , care nu conține funcția dorită și derivatele ei până la ordinul k-1, poate fi redusă la n-k prin înlocuirea .

În acest caz, ecuația diferențială inițială va fi redusă la . După găsirea soluției sale p(x), rămâne să revenim la înlocuire și să determinăm funcția necunoscută y.

De exemplu, ecuația diferențială după înlocuire, va deveni o ecuație cu variabile separabile, iar ordinea ei va fi redusă de la a treia la prima.

6.1. CONCEPTE ȘI DEFINIȚII DE BAZĂ

La rezolvarea diferitelor probleme din matematică și fizică, biologie și medicină, destul de des nu este posibil să se stabilească imediat o relație funcțională sub forma unei formule de conectare variabile, care descriu procesul studiat. De obicei trebuie să utilizați ecuații care conțin, pe lângă variabila independentă și funcția necunoscută, și derivatele acesteia.

Definiție. Se numește o ecuație care conectează o variabilă independentă, o funcție necunoscută și derivatele acesteia de diferite ordine diferenţial.

O funcție necunoscută este de obicei indicată y(x) sau pur și simplu y,și derivatele sale - y", y" etc.

Sunt posibile și alte denumiri, de exemplu: dacă y= x(t), atunci x"(t), x""(t)- derivatele sale, și t- variabila independenta.

Definiție. Dacă o funcție depinde de o variabilă, atunci ecuația diferențială se numește obișnuită. Forma generală ecuație diferențială obișnuită:

sau

Funcții FȘi f poate să nu conțină unele argumente, dar pentru ca ecuațiile să fie diferențiale, prezența unei derivate este esențială.

Definiție.Ordinea ecuației diferențiale se numește ordinea celei mai mari derivate incluse în ea.

De exemplu, x 2 y"- y= 0, y" + sin X= 0 sunt ecuații de ordinul întâi și y"+ 2 y"+ 5 y= X- ecuație de ordinul doi.

La rezolvarea ecuațiilor diferențiale se folosește operația de integrare, care este asociată cu apariția unei constante arbitrare. Dacă se aplică acţiunea de integrare n ori, atunci, evident, soluția va conține n constante arbitrare.

6.2. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL I

Forma generală ecuație diferențială de ordinul întâi este determinată de expresie

Ecuația poate să nu conțină în mod explicit XȘi y, dar conține în mod necesar y”.

Dacă ecuația poate fi scrisă ca

atunci obținem o ecuație diferențială de ordinul întâi rezolvată în raport cu derivata.

Definiție. Soluția generală a ecuației diferențiale de ordinul întâi (6.3) (sau (6.4)) este mulțimea soluțiilor , Unde CU- constantă arbitrară.

Graficul soluției unei ecuații diferențiale se numește curba integrala.

Oferind o constantă arbitrară CUsensuri diferite, se pot obține soluții private. La suprafață xOy soluția generală este o familie de curbe integrale corespunzătoare fiecărei soluții particulare.

Dacă ai stabilit un punct A (x 0 , y 0), prin care curba integrală trebuie să treacă, apoi, de regulă, dintr-un set de funcții Se poate evidenția una - o soluție privată.

Definiție.Decizie privată a unei ecuații diferențiale este soluția acesteia care nu conține constante arbitrare.

Dacă este o soluție generală, apoi din condiție

poți găsi o constantă CU. Se numește condiția condiția inițială.

Problema găsirii unei anumite soluții la ecuația diferențială (6.3) sau (6.4) care satisface condiția inițială la numit Problema Cauchy. Această problemă are întotdeauna o soluție? Răspunsul este conținut în următoarea teoremă.

teorema lui Cauchy(teorema existenței și unicității unei soluții). Lăsați ecuația diferențială y"= f(x,y) funcţie f(x,y) si ea

derivat parțial definită şi continuă în unele

regiune D, conţinând un punct Apoi în zonă D există

singura soluție a ecuației care satisface condiția inițială la

Teorema lui Cauchy afirmă că în anumite condiții există o curbă integrală unică y= f(x), trecând printr-un punct Puncte în care nu sunt îndeplinite condițiile teoremei

Cauchies se numesc special.În aceste puncte se rupe f(x, y) sau.

Fie mai multe curbe integrale, fie nici una nu trece printr-un punct singular.

Definiție. Dacă soluția (6.3), (6.4) se găsește sub forma f(X y, C)= 0, nu este permis în raport cu y, atunci se numește integrală generală ecuație diferențială.

Teorema lui Cauchy garantează doar că există o soluție. Deoarece nu există o metodă unică pentru găsirea unei soluții, vom lua în considerare doar câteva tipuri de ecuații diferențiale de ordinul întâi care pot fi integrate în cuadraturi

Definiție. Ecuația diferențială se numește integrabil în cuadraturi, dacă găsirea soluției sale se reduce la integrarea funcțiilor.

6.2.1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi cu variabile separabile

Definiție. O ecuație diferențială de ordinul întâi se numește ecuație cu variabile separabile,

Partea dreaptă a ecuației (6.5) este produsul a două funcții, fiecare dintre ele depinde de o singură variabilă.

De exemplu, ecuația este o ecuație cu separare

cu variabile
și ecuația

nu poate fi reprezentat sub forma (6.5).

Având în vedere că , rescriem (6.5) sub forma

Din această ecuație obținem o ecuație diferențială cu variabile separate, în care diferențialele sunt funcții care depind doar de variabila corespunzătoare:

Integrarea termen cu termen, avem

unde C = C 2 - C 1 - constantă arbitrară. Expresia (6.6) este integrala generală a ecuației (6.5).

Împărțind ambele părți ale ecuației (6.5) la, putem pierde acele soluții pentru care, Într-adevăr, dacă la

Acea în mod evident, este o soluție a ecuației (6.5).

Exemplul 1. Găsiți o soluție a ecuației care satisface

condiție: y= 6 at X= 2 (y(2) = 6).

Soluţie. Vom înlocui y" apoi . Înmulțiți ambele părți cu

dx,întrucât în ​​timpul integrării ulterioare este imposibil să pleci dx la numitor:

iar apoi împărțind ambele părți la obținem ecuația,

care poate fi integrat. Să integrăm:

Apoi ; potențarea, obținem y = C. (x + 1) - ob-

solutie generala.

Folosind datele inițiale, determinăm o constantă arbitrară, înlocuindu-le în soluția generală

În sfârșit, obținem y= 2(x + 1) este o soluție particulară. Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a ecuațiilor cu variabile separabile.

Exemplul 2. Găsiți soluția ecuației

Soluţie. Având în vedere că , primim .

Integrând ambele părți ale ecuației, avem

Unde

Exemplul 3. Găsiți soluția ecuației Soluţie.Împărțim ambele părți ale ecuației în acei factori care depind de o variabilă care nu coincide cu variabila sub semnul diferențial, i.e. și să integreze. Apoi primim

și, în sfârșit

Exemplul 4. Găsiți soluția ecuației

Soluţie.Știind ce vom obține. Secțiune

variabile lim. Apoi

Integrarea, obținem

Cometariu.În exemplele 1 și 2, funcția necesară este y exprimată în mod explicit (soluție generală). În exemplele 3 și 4 - implicit (integrală generală). Pe viitor, forma deciziei nu va fi specificată.

Exemplul 5. Găsiți soluția ecuației Soluţie.

Exemplul 6. Găsiți soluția ecuației , satisfacator

condiție voi)= 1.

Soluţie. Să scriem ecuația sub forma

Înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu dxși mai departe, primim

Integrând ambele părți ale ecuației (integrala din partea dreaptă este luată pe părți), obținem

Dar după condiție y= 1 la X= e. Apoi

Să înlocuim valorile găsite CU la solutia generala:

Expresia rezultată se numește soluție parțială a ecuației diferențiale.

6.2.2. Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi

Definiție. Se numește ecuația diferențială de ordinul întâi omogen, dacă poate fi reprezentat sub formă

Să prezentăm un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații omogene.

1.În schimb y să introducem o nouă funcție Apoi prin urmare

2.În ceea ce privește funcția u ecuația (6.7) ia forma

adică înlocuirea reduce o ecuație omogenă la o ecuație cu variabile separabile.

3. Rezolvând ecuația (6.8), găsim mai întâi u și apoi y= ux.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația Soluţie. Să scriem ecuația sub forma

Facem înlocuirea:
Apoi

Vom înlocui

Înmulțiți cu dx: Împarte la Xși pe Apoi

După ce am integrat ambele părți ale ecuației peste variabilele corespunzătoare, avem

sau, revenind la vechile variabile, ajungem în sfârșit

Exemplul 2.Rezolvați ecuația Soluţie.Lăsa Apoi

Să împărțim ambele părți ale ecuației cu x2: Să deschidem parantezele și să rearanjam termenii:

Trecând la vechile variabile, ajungem la rezultatul final:

Exemplul 3.Găsiți soluția ecuației dat fiind

Soluţie.Efectuarea unei înlocuiri standard primim

sau

sau

Aceasta înseamnă că soluția particulară are forma Exemplul 4. Găsiți soluția ecuației

Soluţie.

Exemplul 5.Găsiți soluția ecuației Soluţie.

Muncă independentă

Găsiți soluții la ecuații diferențiale cu variabile separabile (1-9).

Găsiți o soluție pentru ecuații diferențiale omogene (9-18).

6.2.3. Câteva aplicații ale ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi

Problema dezintegrarii radioactive

Rata de descompunere a Ra (radiului) în fiecare moment de timp este proporțională cu masa sa disponibilă. Aflați legea dezintegrarii radioactive a lui Ra dacă se știe că la momentul inițial a existat Ra și timpul de înjumătățire al lui Ra este de 1590 de ani.

Soluţie. Fie în momentul de față masa Ra X= x(t) g, și Atunci rata de dezintegrare Ra este egală cu

În funcție de condițiile problemei

Unde k

Separând variabilele din ultima ecuație și integrând, obținem

Unde

Pentru determinare C folosim condiția inițială: când .

Apoi prin urmare,

Factorul de proporționalitate k determinată din condiția suplimentară:

Avem

De aici și formula necesară

Problema ratei de reproducere a bacteriilor

Rata de reproducere a bacteriilor este proporțională cu numărul lor. La început erau 100 de bacterii. În 3 ore numărul lor s-a dublat. Găsiți dependența de timp a numărului de bacterii. De câte ori va crește numărul bacteriilor în decurs de 9 ore?

Soluţie. Lăsa X- numărul de bacterii la un moment dat t. Apoi, conform condiției,

Unde k- coeficientul de proporţionalitate.

De aici Din condiţie se ştie că . Mijloace,

Din condiția suplimentară . Apoi

Funcția pe care o cauți:

Deci când t= 9 X= 800, adică în 9 ore numărul bacteriilor a crescut de 8 ori.

Problema creșterii cantității de enzime

Într-o cultură de drojdie de bere, rata de creștere a enzimei active este proporțională cu cantitatea sa inițială X. Cantitatea inițială de enzimă A dublat într-o oră. Găsiți dependența

x(t).

Soluţie. După condiție, ecuația diferențială a procesului are forma

de aici

Dar . Mijloace, C= Ași apoi

Se mai stie ca

Prin urmare,

6.3. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL AL DOILEA

6.3.1. Noțiuni de bază

Definiție.Ecuație diferențială de ordinul doi se numește relație care leagă variabila independentă, funcția dorită și derivatele sale prima și a doua.

În cazuri speciale, x poate lipsi din ecuație, la sau y". Cu toate acestea, o ecuaţie de ordinul doi trebuie să conţină în mod necesar y." ÎN caz general ecuația diferențială de ordinul doi se scrie astfel:

sau, dacă este posibil, în forma rezolvată cu privire la derivata a doua:

Ca și în cazul unei ecuații de ordinul întâi, pentru o ecuație de ordinul doi pot exista soluții generale și particulare. Solutia generala este:

Găsirea unei anumite soluții

în condiţii iniţiale – dat

numere) se numește Problema Cauchy. Geometric, aceasta înseamnă că trebuie să găsim curba integrală la= y(x), trecând printr-un punct dat şi având o tangentă în acest punct care este

se aliniază cu direcția pozitivă a axei Bou unghiul specificat. e. (Fig. 6.1). Problema Cauchy are o soluție unică dacă partea dreaptă a ecuației (6.10), neîncetat

este discontinuă și are derivate parțiale continue în raport cu uh, uh"într-o vecinătate a punctului de plecare

Pentru a găsi constante incluse într-o soluție privată, sistemul trebuie rezolvat

Orez. 6.1. Curba integrală

Ecuație diferențială (DE) - aceasta este ecuația,
unde sunt variabilele independente, y este funcția și sunt derivatele parțiale.

Ecuație diferențială obișnuită este o ecuație diferențială care are o singură variabilă independentă, .

Ecuație cu diferență parțială este o ecuație diferențială care are două sau mai multe variabile independente.

Cuvintele „ordinare” și „derivate parțiale” pot fi omise dacă este clar ce ecuație este luată în considerare. În cele ce urmează, sunt luate în considerare ecuațiile diferențiale obișnuite.

Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate.

Iată un exemplu de ecuație de ordinul întâi:

Iată un exemplu de ecuație de ordinul al patrulea:

Uneori, o ecuație diferențială de ordinul întâi este scrisă în termeni de diferențe:

În acest caz, variabilele x și y sunt egale. Adică, variabila independentă poate fi fie x, fie y. În primul caz, y este o funcție a lui x. În al doilea caz, x este o funcție a lui y. Dacă este necesar, putem reduce această ecuație la o formă care include în mod explicit derivata y′.
Împărțind această ecuație la dx obținem:
.
Din moment ce și , rezultă că
.

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale

Derivate din functii elementare sunt exprimate prin funcţii elementare. Integralele funcțiilor elementare nu sunt adesea exprimate în termeni de funcții elementare. Cu ecuațiile diferențiale situația este și mai proastă. Ca rezultat al soluției puteți obține:

• dependența explicită a unei funcții de o variabilă;

  Rezolvarea unei ecuații diferențiale este funcția y = u (X), care este definit, de n ori diferențiabil și .

• dependenta implicita sub forma unei ecuatii de tip Φ (x, y) = 0 sau sisteme de ecuații;

  Integrală a unei ecuații diferențiale este o soluție a unei ecuații diferențiale care are o formă implicită.

• dependența exprimată prin funcții elementare și integrale din acestea;

  Rezolvarea unei ecuații diferențiale în pătraturi - aceasta este găsirea unei soluții sub forma unei combinații de funcții elementare și integrale ale acestora.

• soluţia poate să nu fie exprimată prin funcţii elementare.

Deoarece rezolvarea ecuațiilor diferențiale se reduce la calcularea integralelor, soluția include o mulțime de constante C 1, C 2, C 3, ... C n. Numărul de constante este egal cu ordinea ecuației. Integrală parțială a unei ecuații diferențiale este integrala generală pentru valorile date ale constantelor C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Referinte:
V.V. Stepanov, Curs de ecuații diferențiale, „LKI”, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.

Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Exemple de soluții.
Ecuații diferențiale cu variabile separabile

Ecuații diferențiale (DE). Aceste două cuvinte îl îngrozesc de obicei pe omul obișnuit. Ecuațiile diferențiale par a fi ceva prohibitiv și greu de stăpânit pentru mulți studenți. Uuuuuu... ecuații diferențiale, cum pot supraviețui tuturor astea?!

Această părere și această atitudine este fundamental greșită, pentru că de fapt ECUATII DIFERENTIALE – ESTE SIMPLU SI CHIAR DISTRACT. Ce trebuie să știți și să puteți face pentru a învăța cum să rezolvați ecuații diferențiale? Pentru a studia cu succes difuzele, trebuie să fii bun la integrare și diferențiere. Cu cât subiectele sunt mai bine studiate Derivată a unei funcții a unei variabileȘi Integrală nedefinită, cu atât va fi mai ușor de înțeles ecuațiile diferențiale. Voi spune mai multe, dacă ai abilități de integrare mai mult sau mai puțin decente, atunci subiectul a fost aproape stăpânit! Cu cât poți rezolva mai multe integrale de diferite tipuri, cu atât mai bine. De ce? Va trebui să te integrezi mult. Și diferențiați. De asemenea recomand cu caldura invata sa gasesti.

În 95% din cazuri, lucrările de testare conțin 3 tipuri de ecuații diferențiale de ordinul întâi: ecuații separabile pe care ne vom uita în această lecție; ecuații omogeneȘi ecuații liniare neomogene. Pentru cei care încep să studieze difuzoarele, vă sfătuiesc să citiți lecțiile exact în această ordine, iar după ce ați studiat primele două articole, nu va strica să vă consolidați abilitățile într-un atelier suplimentar - ecuaţii reducându-se la omogene.

Există și mai rare tipuri de ecuații diferențiale: ecuații diferențiale totale, ecuații Bernoulli și altele. Cele mai importante dintre ultimele două tipuri sunt ecuațiile în diferențiale totale, deoarece pe lângă această ecuație diferențială consider material nou – integrare parțială.

Dacă mai ai doar o zi sau două, Acea pentru preparare ultra-rapidă Există curs blitzîn format pdf.

Deci, reperele sunt setate - să mergem:

Mai întâi, să ne amintim ecuațiile algebrice obișnuite. Acestea conțin variabile și numere. Cel mai simplu exemplu: . Ce înseamnă să rezolvi o ecuație obișnuită? Aceasta înseamnă găsirea set de numere, care satisfac această ecuație. Este ușor de observat că ecuația copiilor are o singură rădăcină: . Doar pentru distracție, să verificăm și să înlocuim rădăcina găsită în ecuația noastră:

– se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția a fost găsită corect.

Difuzoarele sunt proiectate aproape în același mod!

Ecuație diferențială prima comandaîn general conţine:
1) variabilă independentă;
2) variabilă dependentă (funcție);
3) derivata întâi a funcției: .

În unele ecuații de ordinul 1, este posibil să nu existe „x” și/sau „y”, dar acest lucru nu este semnificativ - important pentru a merge în camera de control a fost prima derivată și nu a avut derivate de ordin superior – , etc.

Ce înseamnă ? Rezolvarea unei ecuații diferențiale înseamnă a găsi set de toate funcțiile, care satisfac această ecuație. Un astfel de set de funcții are adesea forma (– o constantă arbitrară), care este numită soluție generală a ecuației diferențiale.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația diferențială

Muniție completă. Unde sa încep soluţie?

În primul rând, trebuie să rescrieți derivatul într-o formă ușor diferită. Ne amintim denumirea greoaie, pe care mulți dintre voi probabil părea ridicolă și inutilă. Așa se regăsește în difuzoare!

În al doilea pas, să vedem dacă se poate variabile separate? Ce înseamnă separarea variabilelor? Aproximativ vorbind, pe partea stângă a trebuie să plecăm doar "greci", A pe drumul cel bun organiza doar "X". Împărțirea variabilelor se realizează folosind manipulări „școlare”: scoaterea lor din paranteze, transferarea termenilor dintr-o parte în parte cu o schimbare de semn, transferarea factorilor de la o parte la alta conform regulii proporției etc.

Diferențiale și sunt multiplicatori completi și participanți activi la ostilități. În exemplul luat în considerare, variabilele sunt ușor separate prin aruncarea factorilor conform regulii proporției:

Variabilele sunt separate. În partea stângă sunt doar „Y”, în partea dreaptă – doar „X”.

Etapa urmatoare - integrarea ecuației diferențiale. Este simplu, punem integrale pe ambele părți:

Desigur, trebuie să luăm integrale. În acest caz, acestea sunt tabelare:

După cum ne amintim, o constantă este atribuită oricărei antiderivate. Există două integrale aici, dar este suficient să scrieți constanta o dată (deoarece constanta + constantă este încă egală cu o altă constantă). În cele mai multe cazuri, este plasat pe partea dreaptă.

Strict vorbind, după ce sunt luate integralele, ecuația diferențială este considerată rezolvată. Singurul lucru este că „y”-ul nostru nu este exprimat prin „x”, adică soluția este prezentată într-un mod implicit formă. Soluția unei ecuații diferențiale în formă implicită se numește integrala generala a ecuatiei diferentiale. Adică, aceasta este o integrală generală.

Răspunsul în această formă este destul de acceptabil, dar există o opțiune mai bună? Să încercăm să obținem decizie comună.

Vă rog, amintiți-vă prima tehnică, este foarte comun și este adesea folosit în sarcini practice: dacă un logaritm apare în partea dreaptă după integrare, atunci în multe cazuri (dar nu întotdeauna!) este de asemenea recomandabil să scrieți constanta sub logaritm.

Acesta este, ÎN LOC DE intrările sunt de obicei scrise .

De ce este necesar acest lucru? Și pentru a facilita exprimarea „jocului”. Folosind proprietatea logaritmilor . În acest caz:

Acum logaritmii și modulele pot fi eliminate:

Funcția este prezentată explicit. Aceasta este soluția generală.

Răspuns: decizie comună: .

Răspunsurile la multe ecuații diferențiale sunt destul de ușor de verificat. În cazul nostru, acest lucru se face destul de simplu, luăm soluția găsită și o diferențiem:

Apoi înlocuim derivata în ecuația originală:

– se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția generală satisface ecuația, ceea ce trebuia verificat.

Dând o constantă diferite valori, puteți obține un număr infinit de solutii private ecuație diferențială. Este clar că oricare dintre funcțiile , etc. satisface ecuația diferențială.

Uneori se numește soluția generală familie de funcții. ÎN în acest exemplu decizie comună - aceasta este o familie funcții liniare, sau mai bine zis, o familie de proporționalitate directă.

După o revizuire amănunțită a primului exemplu, este oportun să răspundem la câteva întrebări naive despre ecuațiile diferențiale:

1)În acest exemplu, am putut separa variabilele. Se poate face asta mereu? Nu, nu întotdeauna. Și chiar mai des, variabilele nu pot fi separate. De exemplu, în ecuații omogene de ordinul întâi, trebuie mai întâi să-l înlocuiți. În alte tipuri de ecuații, de exemplu, într-o ecuație neomogenă liniară de ordinul întâi, trebuie să utilizați diverse tehnici și metode pentru a găsi o soluție generală. Ecuațiile cu variabile separabile, pe care le considerăm în prima lecție, sunt cel mai simplu tip de ecuații diferențiale.

2) Este întotdeauna posibil să se integreze o ecuație diferențială? Nu, nu întotdeauna. Este foarte ușor să veniți cu o ecuație „fantezică” care nu poate fi integrată; în plus, există integrale care nu pot fi luate. Dar astfel de DE pot fi rezolvate aproximativ folosind metode speciale. D’Alembert și Cauchy garantează... ...ugh, lurkmore.pentru a citi mult acum, aproape că am adăugat „din cealaltă lume”.

3) În acest exemplu, am obținut o soluție sub forma unei integrale generale . Este întotdeauna posibil să se găsească o soluție generală dintr-o integrală generală, adică să se exprime „y” în mod explicit? Nu, nu întotdeauna. De exemplu: . Ei bine, cum poți exprima „greacă” aici?! În astfel de cazuri, răspunsul trebuie scris ca o integrală generală. În plus, uneori este posibil să găsiți o soluție generală, dar este scris atât de greoi și stângaci încât este mai bine să lăsați răspunsul sub forma unei integrale generale.

4) ...poate că este suficient deocamdată. În primul exemplu pe care l-am întâlnit Încă unul punct important , dar pentru a nu acoperi „manențele” cu o avalanșă informație nouă, o las pana la urmatoarea lectie.

Nu ne vom grăbi. O altă telecomandă simplă și o altă soluție tipică:

Exemplul 2

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială

Soluţie: în funcție de condiție, trebuie să găsiți soluție privată DE care satisface o condiție inițială dată. Această formulare a întrebării se mai numește Problema Cauchy.

Mai întâi găsim o soluție generală. Nu există o variabilă „x” în ecuație, dar acest lucru nu trebuie să confunde, principalul lucru este că are prima derivată.

Rescriem derivata în în forma potrivită:

Evident, variabilele pot fi separate, băieții la stânga, fetele la dreapta:

Să integrăm ecuația:

Se obține integrala generală. Aici am desenat o constantă cu un asterisc, fapt este că foarte curând se va transforma într-o altă constantă.

Acum încercăm să transformăm integrala generală într-o soluție generală (exprimăm „y” în mod explicit). Să ne amintim vechile lucruri bune de la școală: . În acest caz:

Constanta din indicator pare oarecum nekosher, deci este de obicei adusă la pământ. În detaliu, așa se întâmplă. Folosind proprietatea gradelor, rescriem funcția după cum urmează:

Dacă este o constantă, atunci este și o constantă, să o redesemnăm cu litera:

Amintiți-vă că „demolarea” este o constantă a doua tehnică, care este adesea folosit la rezolvarea ecuațiilor diferențiale.

Deci, soluția generală este: . Aceasta este o familie frumoasă de funcții exponențiale.

În etapa finală, trebuie să găsiți o anumită soluție care să satisfacă condiția inițială dată. Acest lucru este, de asemenea, simplu.

Care este sarcina? Trebuie să ridic astfel de valoarea constantei astfel încât condiția să fie îndeplinită.

Poate fi formatat în diferite moduri, dar acesta va fi probabil cel mai clar mod. În soluția generală, în loc de „X” înlocuim un zero, iar în loc de „Y” înlocuim un doi:



Acesta este,

Versiune de design standard:

Acum înlocuim valoarea găsită a constantei în soluția generală:
– aceasta este soluția specială de care avem nevoie.

Răspuns: solutie privata:

Sa verificam. Verificarea unei soluții private include două etape:

Mai întâi trebuie să verificați dacă soluția particulară găsită într-adevăr satisface condiția inițială? În loc de „X”, înlocuim un zero și vedem ce se întâmplă:
- da, intr-adevar, s-a primit un doi, ceea ce inseamna ca este indeplinita conditia initiala.

A doua etapă este deja familiară. Luăm soluția particulară rezultată și găsim derivata:

Inlocuim in ecuatia initiala:

– se obţine egalitatea corectă.

Concluzie: soluția particulară a fost găsită corect.

Să trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 3

Rezolvați ecuația diferențială

Soluţie: Rescriem derivata sub forma de care avem nevoie:

Evaluăm dacă este posibilă separarea variabilelor? Poate sa. Mutăm al doilea termen în partea dreaptă cu o schimbare de semn:

Și transferăm multiplicatorii conform regulii proporției:

Variabilele sunt separate, să integrăm ambele părți:

Trebuie să te avertizez, ziua judecății se apropie. Dacă nu ai studiat bine integrale nedefinite, ai rezolvat câteva exemple, atunci nu ai unde să mergi - va trebui să le stăpânești acum.

Integrala părții stângi este ușor de găsit; ne ocupăm de integrala cotangentei folosind tehnica standard pe care am analizat-o în lecție Integrarea funcțiilor trigonometrice anul trecut:

În partea dreaptă avem un logaritm, și conform primului meu sfat tehnic, constanta ar trebui scrisă și sub logaritm.

Acum încercăm să simplificăm integrala generală. Deoarece avem doar logaritmi, este foarte posibil (și necesar) să scăpăm de ei. Prin utilizarea proprietăți cunoscute„Ambalăm” logaritmii cât mai mult posibil. O voi scrie în detaliu:

Ambalajul este finisat pentru a fi zdrențuit barbar:

Este posibil să exprimăm „joc”? Poate sa. Este necesar să pătrați ambele părți.

Dar nu trebuie să faci asta.

Al treilea sfat tehnic: dacă pentru a obține o soluție generală este necesar să se ridice la o putere sau să se înrădăcineze, atunci În cele mai multe cazuri ar trebui să vă abțineți de la aceste acțiuni și să lăsați răspunsul sub forma unei integrale generale. Faptul este că soluția generală va arăta pur și simplu îngrozitoare - cu rădăcini mari, semne și alte gunoi.

Prin urmare, scriem răspunsul sub forma unei integrale generale. Este considerată o bună practică să o prezentați sub forma , adică în partea dreaptă, dacă este posibil, lăsați doar o constantă. Nu este necesar să faceți acest lucru, dar este întotdeauna benefic să-i faceți pe plac profesorului ;-)

Răspuns: integrala generala:

! Notă: integrala generală a oricărei ecuații se poate scrie nu singura cale. Astfel, dacă rezultatul tău nu coincide cu răspunsul cunoscut anterior, asta nu înseamnă că ai rezolvat incorect ecuația.

Integrala generală este, de asemenea, destul de ușor de verificat, principalul lucru este să poți găsi derivata unei functii specificata implicit. Să diferențiem răspunsul:

Înmulțim ambii termeni cu:

Și împărțiți la:

Ecuația diferențială inițială a fost obținută exact, ceea ce înseamnă că integrala generală a fost găsită corect.

Exemplul 4

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială. Efectuați verificarea.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Permiteți-mi să vă reamintesc că algoritmul constă din două etape:
1) găsirea unei soluții generale;
2) găsirea soluției particulare necesare.

Verificarea este, de asemenea, efectuată în doi pași (vezi exemplul din Exemplul nr. 2), trebuie să:
1) asigurați-vă că soluția particulară găsită satisface condiția inițială;
2) verificați dacă o anumită soluție satisface în general ecuația diferențială.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Exemplul 5

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale , îndeplinind condiția inițială. Efectuați verificarea.

Soluţie: Mai întâi, să găsim o soluție generală. Această ecuație conține deja diferențe gata făcute și, prin urmare, soluția este simplificată. Separăm variabilele:

Să integrăm ecuația:

Integrala din stânga este tabelară, integrala din dreapta este luată metoda de subsumare a unei functii sub semnul diferential:

Integrala generală a fost obținută; este posibilă exprimarea cu succes a soluției generale? Poate sa. Atârnăm logaritmi pe ambele părți. Deoarece sunt pozitive, semnele modulului nu sunt necesare:

(Sper că toată lumea înțelege transformarea, astfel de lucruri ar trebui deja cunoscute)

Deci, soluția generală este:

Să găsim o anumită soluție corespunzătoare condiției inițiale date.
În soluția generală, în loc de „X” înlocuim zero, iar în loc de „Y” înlocuim logaritmul a doi:

Design mai familiar:

Inlocuim valoarea gasita a constantei in solutia generala.

Răspuns: solutie privata:

Verificați: În primul rând, să verificăm dacă condiția inițială este îndeplinită:
- totul este bine.

Acum să verificăm dacă soluția particulară găsită satisface ecuația diferențială. Găsirea derivatei:

Să ne uităm la ecuația inițială: – se prezintă în diferențiale. Există două moduri de a verifica. Este posibil să se exprime diferența față de derivata găsită:

Să înlocuim soluția particulară găsită și diferența rezultată în ecuația originală :

Folosim identitatea logaritmică de bază:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția particulară a fost găsită corect.

A doua metodă de verificare este oglindită și mai familiară: din ecuație Să exprimăm derivata, pentru a face acest lucru împărțim toate piesele la:

Iar în DE transformat înlocuim soluția parțială obținută și derivata găsită. Ca urmare a simplificărilor, ar trebui să se obțină și egalitatea corectă.

Exemplul 6

Rezolvați ecuația diferențială. Prezentați răspunsul sub forma unei integrale generale.

Acesta este un exemplu pe care să-l rezolvi singur, să completezi soluția și să răspunzi la sfârșitul lecției.

Ce dificultăți se așteaptă la rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile?

1) Nu este întotdeauna evident (în special pentru un „ceainic”) că variabilele pot fi separate. Să luăm în considerare un exemplu condiționat: . Aici trebuie să scoateți factorii din paranteze: și să separați rădăcinile: . Este clar ce trebuie făcut în continuare.

2) Dificultăți cu integrarea în sine. Integralele nu sunt adesea cele mai simple și dacă există defecte în abilitățile de a găsi integrală nedefinită, atunci va fi dificil cu multe difuzoare. În plus, logica „din moment ce ecuația diferențială este simplă, atunci măcar să fie integralele mai complicate” este populară printre compilatorii de colecții și manuale de instruire.

3) Transformări cu o constantă. După cum toată lumea a observat, constanta din ecuațiile diferențiale poate fi gestionată destul de liber, iar unele transformări nu sunt întotdeauna clare pentru un începător. Să ne uităm la un alt exemplu condiționat: . Este recomandabil să înmulțiți toți termenii cu 2: . Constanta rezultată este, de asemenea, un fel de constantă, care poate fi notată prin: . Da, și deoarece există un logaritm în partea dreaptă, atunci este recomandabil să rescrieți constanta sub forma unei alte constante: .

Problema este că adesea nu se deranjează cu indici și folosesc aceeași literă. Ca urmare, procesul-verbal de decizie ia următoarea vedere:

Ce fel de erezie? Există greșeli chiar acolo! Strict vorbind, da. Totuși, din punct de vedere de fond, nu există erori, deoarece în urma transformării unei constante variabile se obține în continuare o constantă variabilă.

Sau alt exemplu, să presupunem că în cursul rezolvării ecuației se obține o integrală generală. Acest răspuns arată urât, așa că este recomandabil să schimbați semnul fiecărui termen: . Formal, există o altă greșeală aici - ar trebui să fie scrisă în dreapta. Dar în mod informal se sugerează că „minus ce” este încă o constantă ( care poate la fel de ușor să ia orice înțeles!), deci punerea unui „minus” nu are sens și puteți folosi aceeași literă.

Voi încerca să evit o abordare neglijentă și, totuși, voi atribui diferiți indici constantelor atunci când le convertesc.

Exemplul 7

Rezolvați ecuația diferențială. Efectuați verificarea.

Soluţie: Această ecuație permite separarea variabilelor. Separăm variabilele:

Să integrăm:

Nu este necesar să definiți constanta aici ca un logaritm, deoarece nu va rezulta nimic util din asta.

Răspuns: integrala generala:

Verificați: diferențiați răspunsul (funcție implicită):

Scăpăm de fracții înmulțind ambii termeni cu:

S-a obținut ecuația diferențială inițială, ceea ce înseamnă că integrala generală a fost găsită corect.

Exemplul 8

Găsiți o soluție specială a DE.
,

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Singurul indiciu este că aici veți obține o integrală generală și, mai corect vorbind, trebuie să încercați să găsiți nu o soluție anume, ci integrală parțială. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Instrucțiuni

Dacă ecuația este prezentată sub forma: dy/dx = q(x)/n(y), clasifică-le ca ecuații diferențiale cu variabile separabile. Ele pot fi rezolvate scriind condiția în diferențiale astfel: n(y)dy = q(x)dx. Apoi integrați ambele părți. În unele cazuri, soluția este scrisă sub formă de integrale luate din funcții cunoscute. De exemplu, în cazul lui dy/dx = x/y, obținem q(x) = x, n(y) = y. Scrie-l sub forma ydy = xdx și integrează. Ar trebui să fie y^2 = x^2 + c.

La liniar ecuații relaționați ecuațiile cu „primul”. O funcție necunoscută cu derivatele sale intră într-o astfel de ecuație doar până la primul grad. Liniara are forma dy/dx + f(x) = j(x), unde f(x) si g(x) sunt functii dependente de x. Soluția se scrie folosind integrale luate din funcții cunoscute.

Vă rugăm să rețineți că multe ecuații diferențiale sunt ecuații de ordinul doi (conțin derivate secunde) De exemplu, ecuația mișcării armonice simple se scrie în formă generală: md 2x/dt 2 = –kx. Astfel de ecuații au, în , soluții speciale. Ecuația mișcării armonice simple este un exemplu de una destul de importantă: ecuații diferențiale liniare care au coeficient constant.

Dacă în condiţiile sarcinii există doar unul ecuație liniară, ceea ce înseamnă că vi s-au oferit condiții suplimentare prin care puteți găsi o soluție. Citiți cu atenție problema pentru a găsi aceste condiții. Dacă variabile x și y indică distanța, viteza, greutatea - nu ezitați să setați limita x≥0 și y≥0. Este foarte posibil ca x sau y să ascundă numărul de mere etc. – atunci valorile pot fi doar . Dacă x este vârsta fiului, este clar că acesta nu poate fi mai în vârstă decât tatăl său, așa că indicați acest lucru în condițiile problemei.

Surse:

• cum se rezolvă o ecuație cu o variabilă

Problemele de calcul diferențial și integral sunt elemente importante consolidarea teoriei analiză matematică, ramură a matematicii superioare studiată în universități. Diferenţial ecuația rezolvată prin metoda integrării.

Instrucțiuni

Calculul diferenţial explorează proprietăţile lui . Și invers, integrarea unei funcții permite proprietăți date, de ex. derivate sau diferențiale ale unei funcții pentru a o găsi în sine. Aceasta este soluția ecuației diferențiale.

Orice este o relație între o cantitate necunoscută și datele cunoscute. În cazul unei ecuații diferențiale, rolul necunoscutului este jucat de o funcție, iar rolul cantităților cunoscute îl joacă derivatele sale. În plus, relația poate conține o variabilă independentă: F(x, y(x), y'(x), y''(x),..., y^n(x)) = 0, unde x este o necunoscută variabilă, y (x) este funcția care trebuie determinată, ordinea ecuației este ordinea maximă a derivatei (n).

O astfel de ecuație se numește ecuație diferențială obișnuită. Dacă relația conține mai multe variabile independente și derivate parțiale (diferențiale) ale funcției față de aceste variabile, atunci ecuația se numește ecuație cu diferență parțială și are forma: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , unde z(x, y) este funcția necesară.

Deci, pentru a învăța cum să rezolvi ecuațiile diferențiale, trebuie să poți găsi antiderivate, adică. rezolvați problema inversă diferențierii. De exemplu: Rezolvați ecuația de ordinul întâi y’ = -y/x.

Soluție Înlocuiește y’ cu dy/dx: dy/dx = -y/x.

Reduceți ecuația la o formă convenabilă pentru integrare. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți cu dx și împărțiți cu y:dy/y = -dx/x.

Integrați: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +C.

Această soluție se numește ecuație diferențială generală. C este o constantă al cărei set de valori determină setul de soluții ale ecuației. Pentru orice sens specific C va fi singura soluție. Această soluție este o soluție parțială a ecuației diferențiale.

Rezolvarea majorității ecuațiilor de ordin superior grade nu are o formulă clară pentru găsirea rădăcinilor pătrate ecuații. Cu toate acestea, există mai multe metode de reducere care vă permit să transformați o ecuație de grad mai mare într-o formă mai vizuală.

Instrucțiuni

Cea mai comună metodă de rezolvare a ecuațiilor de grad superior este expansiunea. Această abordare este o combinație de selectare a rădăcinilor întregi, divizorilor termenului liber și împărțirea ulterioară a polinomului general în forma (x – x0).

De exemplu, rezolvați ecuația x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Rezolvare: Termenul liber al acestui polinom este -3, prin urmare, divizorii săi întregi pot fi numerele ±1 și ±3. Substituiți-le unul câte unul în ecuație și aflați dacă obțineți identitatea: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

A doua rădăcină x = -1. Împărțiți la expresia (x + 1). Notați ecuația rezultată (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Gradul a fost redus la al doilea, prin urmare, ecuația poate avea încă două rădăcini. Pentru a le găsi, rezolvați ecuația pătratică: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Discriminantul este o valoare negativă, ceea ce înseamnă că ecuația nu mai are rădăcini reale. Aflați rădăcinile complexe ale ecuației: x = (-2 + i·√11)/2 și x = (-2 – i·√11)/2.

O altă metodă de rezolvare a unei ecuații de grad superior este schimbarea variabilelor pentru a o face pătratică. Această abordare este utilizată atunci când toate puterile ecuației sunt pare, de exemplu: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Acum găsiți rădăcinile ecuației inițiale: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Sfat 10: Cum să determinați ecuațiile redox

O reacție chimică este un proces de transformare a substanțelor care are loc odată cu modificarea compoziției lor. Acele substanțe care reacționează se numesc substanțe inițiale, iar cele care se formează în urma acestui proces se numesc produse. Se întâmplă ca în timpul unei reacții chimice, elementele care alcătuiesc substanțele inițiale să își schimbe starea de oxidare. Adică, ei pot accepta electronii altcuiva și îi pot oferi pe ai lor. În ambele cazuri, taxa lor se modifică. Astfel de reacții se numesc reacții redox.